Equazione del calore in coordinate sferiche. Propagazione del calore per conduzione termica in pareti piane e cilindriche in condizioni stazionarie (condizioni al contorno di prima specie). Equazione differenziale della conduzione del calore

Domanda 23 Qual è il calore specifico di fusione del ghiaccio

Il calore specifico di fusione si trova con la formula:

dove Q è la quantità di calore necessaria per fondere un corpo di massa m.

quando solidificate, le sostanze emettono la stessa quantità di calore necessaria per la loro fusione. Le molecole, perdendo energia, formano cristalli, non potendo resistere all'attrazione di altre molecole. E ancora, la temperatura del corpo non diminuirà fino al momento in cui l'intero corpo si solidifica e fino a quando tutta l'energia che è stata spesa per il suo scioglimento non sarà rilasciata. Cioè, il calore specifico di fusione mostra quanta energia deve essere spesa per fondere un corpo di massa m, e quanta energia verrà rilasciata durante la solidificazione di questo corpo.

Ad esempio, il calore specifico di fusione dell'acqua allo stato solido, cioè il calore specifico di fusione del ghiaccio è 3,4 * 10^5 J / kg

Il calore specifico di fusione del ghiaccio è 3,4 volte 10 alla potenza di 5 joule/kg

Il calore specifico di fusione è indicato dalla lettera greca λ (lambda), e l'unità di misura è 1 J/kg

Domanda 24 Indichiamo L1 - calore specifico di vaporizzazione, L2 - calore specifico di fusione. Quello di più?

Poiché il corpo riceve energia durante la vaporizzazione, si può concludere che l'energia interna di un corpo allo stato gassoso è maggiore dell'energia interna di un corpo della stessa massa allo stato liquido. Pertanto, durante la condensazione, il vapore emette la quantità di energia necessaria per la sua formazione.

Calore specifico di vaporizzazione- una grandezza fisica che mostra la quantità di calore necessaria per convertire 1 kg di una sostanza in vapore senza modificarne la temperatura. Coefficienti " R

Calore specifico di fusione- una grandezza fisica che mostra la quantità di calore necessaria per trasformare 1 kg di una sostanza in un liquido senza modificarne la temperatura. Coefficienti " λ » per sostanze diverse, di regola, sono diverse. Sono misurati empiricamente ed elencati in apposite tabelle.

Il calore specifico di vaporizzazione è maggiore

Domanda 25 Equazione differenziale del calore per un campo di temperatura bidimensionale non stazionario in coordinate cartesiane?

х i = x, y, z – Sistema di coordinate cartesiane;

Se la temperatura rimane costante lungo una delle coordinate, allora matematicamente questa condizione si scrive (per esempio, per la coordinata z) come segue: dT/dz=0.

In questo caso il campo si dice bidimensionale e si scrive:

per modo non stazionario T=T(x, y, t);

per il modo stazionario T=T(x, y).

Equazioni bidimensionali del campo di temperatura per il regime

non stazionario:

Domanda 26 Equazione differenziale della conduzione del calore per un campo di temperatura non stazionario in coordinate cilindriche?

х i = r, φ, z – sistema di coordinate cilindrico;

campo di temperaturaè un insieme di valori di temperatura in tutti i punti di un dato dominio computazionale e nel tempo.

Il campo di temperatura è misurato in gradi Celsius e Kelvin ed è anche indicato come in TTD: , dove x i - coordinate del punto nello spazio in cui si trova la temperatura, in metri [m]; τ è il tempo del processo di scambio termico in secondi, [s]. Quello. il campo di temperatura è caratterizzato dal numero di coordinate e dal suo comportamento nel tempo.

I seguenti sistemi di coordinate vengono utilizzati nei calcoli termici:

х i = r, φ, z – sistema di coordinate cilindrico;

campo di temperatura, che cambiamenti nel tempo, chiamato non stazionario campo di temperatura. Al contrario, il campo di temperatura, quale non cambia nel tempo, chiamato stazionario campo di temperatura.

cilindrico coordinate (r è il raggio; φ è l'angolo polare; z è l'applicata), l'equazione del calore differenziale ha la forma

,

1. Equazione del calore differenziale senza fonti di calore interne ( = 0) :

2. Equazione del calore differenziale senza sorgenti di calore interne in coordinate cilindriche.

In coordinate cilindriche, dove Rè il raggio vettore, è l'angolo polare, l'equazione sarà simile

Condizioni di unicità per i processi di conduzione del calore. L'equazione differenziale della conduzione del calore descrive non uno, ma un'intera classe di fenomeni di conduzione del calore. Per ottenere una descrizione analitica di uno specifico processo è necessario indicare le sue caratteristiche peculiari, che, insieme all'equazione differenziale, danno una descrizione matematica completa di uno specifico processo di conduzione del calore e sono chiamate condizioni di unicità o condizioni al contorno.

Le condizioni di unicità includono:

Condizioni geometriche che caratterizzano la forma e le dimensioni del corpo in cui avviene il processo;

Condizioni fisiche che caratterizzano le proprietà fisiche del mezzo e del corpo;

Condizioni temporali o iniziali che caratterizzano la distribuzione della temperatura nel corpo nel momento iniziale del tempo;

Condizioni al contorno che caratterizzano le condizioni di interazione tra il corpo considerato e l'ambiente.

Le condizioni al contorno possono essere specificate in diversi modi.

Le condizioni al contorno del primo tipo definiscono la distribuzione della temperatura sulla superficie del corpo per ogni istante di tempo:

Le condizioni al contorno del secondo tipo fissano i valori del flusso termico per ogni punto della superficie corporea e per ogni istante di tempo:

Le condizioni al contorno del terzo tipo stabiliscono la temperatura ambiente e la legge del trasferimento di calore tra il corpo e l'ambiente, che viene utilizzata come legge di trasferimento del calore (equazione di Newton-Richmann):

Secondo questa legge, la densità del flusso di calore sulla superficie

corpo è proporzionale alla differenza di temperatura tra la superficie della parete e l'ambiente. Il fattore di proporzionalità in questa equazione è chiamato coefficiente di scambio termico ed è indicato da a, [W / (m 2 × K)]. Caratterizza l'intensità dello scambio termico tra la superficie del corpo e l'ambiente.

D'altra parte, la stessa densità di flusso di calore può essere trovata dall'equazione:

dove l'indice "c" indica che il gradiente di temperatura è calcolato sulla superficie del corpo. Otteniamo un'espressione analitica per le condizioni al contorno del terzo tipo:

Le condizioni al contorno del quarto tipo considerano il caso in cui due o più corpi sono in stretto contatto tra loro. In questo caso, il flusso di calore che ha attraversato la superficie di un corpo passerà anche attraverso la superficie di un altro corpo (non ci sono perdite di calore nel punto di contatto).

Lezione 2. Sezione 2. Conducibilità termica in modalità stazionaria

Dichiarazione dei compiti del TMO

Abbiamo un volume che risente dei carichi termici, è necessario determinare il valore numerico qV e distribuzione per volume.

Fig.2-Fonti di attrito esterne ed interne

1. Determinare la geometria del volume esaminato in qualsiasi sistema di coordinate scelto.

2. Determinare le caratteristiche fisiche del volume indagato.

3. Determinare le condizioni che avviano il processo TMT.

4. Chiarire le leggi che determinano il trasferimento di calore nel volume in esame.

5. Determinare lo stato termico iniziale nel volume in studio.

Compiti da risolvere nell'analisi di TMT:

1. Compiti "diretti" di TMT

Dato: 1,2,3,4,5

Determinare: distribuzione della temperatura nello spazio e nel tempo (ulteriori 6).

2. Problemi "inversi" di TMT (inverso):

a) inverso confine compiti

Dato: 1,2,4,5,6

Definisci: 3;

b) inverso probabilità compiti

Dato: 1,3,4,5,6

Definire: 2;

c) inverso retrospettiva compito

Dato: 1,2,3,4,6

Determina: 5.

3. Compiti "induttivi" di TMT

Dato: 1,2,3,5,6

Determina: 4.

FORME DI TRASMISSIONE DEL CALORE E PROCESSI TERMICI

Esistono 3 forme di trasmissione del calore:

1) conducibilità termica nei solidi (determinata dalle microparticelle e nei metalli dagli elettroni liberi);

2) convezione (determinata dalle macroparticelle del mezzo in movimento);

3) radiazione termica (determinata dalle onde elettromagnetiche).

Conducibilità termica dei solidi

Concetti generali

Campo di temperatura è un insieme di valori di temperatura nel volume oggetto di studio, presi in un determinato momento.

t(x, y, z, τ)è una funzione che determina il campo di temperatura.

Esistono campi di temperatura stazionari e non stazionari:

stazionario - t(x,y,z);

non stazionario - t(x, y, z, τ).

La condizione di stazionarietà è:

Prendiamo un certo corpo e colleghiamo i punti con temperature uguali

Fig.3-Gradiente di temperatura e flusso di calore

laurea t- gradiente di temperatura;

Dall'altro lato: .

Legge di Fourier - il flusso di calore nei solidi è proporzionale al gradiente di temperatura, alla superficie attraversata e all'intervallo di tempo considerato.

Il coefficiente di proporzionalità è chiamato coefficiente di conducibilità termica λ , W/m K.

mostra che il calore si propaga nella direzione opposta al vettore del gradiente di temperatura.

;

Per una superficie e un intervallo di tempo infinitamente piccoli:

Equazione del calore (equazione di Fourier)

Consideriamo un volume infinitesimale: dv = dx dy dz

Fig. 4-Stato termico di un volume infinitesimale

Abbiamo una serie di Taylor:

Allo stesso modo:

; ; .

Nel caso generale, abbiamo nel cubo qV. La conclusione si basa sulla legge generalizzata di conservazione dell'energia:

.

Secondo la legge di Fourier:

; ; .

Dopo le trasformazioni abbiamo:

.

Per un processo stazionario:

La dimensione spaziale dei problemi è determinata dal numero di direzioni in cui avviene il trasferimento di calore.

Problema unidimensionale: ;

per un processo stazionario: ;

Per :

Per : ;

UN- coefficiente di diffusività termica, .sistema cartesiano;

K = 1, ξ =x- sistema cilindrico;

K = 2, ξ =x- sistema sferico.

Condizioni di unicità

Condizione di unicità – queste sono condizioni che ci permettono di selezionare dall'insieme delle soluzioni fattibili una e una sola che corrisponda al compito.

La soluzione dei problemi per determinare il campo di temperatura viene effettuata sulla base dell'equazione differenziale della conduzione del calore, le cui conclusioni sono riportate nella letteratura speciale. Questo manuale fornisce varianti di equazioni differenziali senza derivazioni.

L'equazione

L'equazione (4.10) è un'equazione differenziale dell'energia in un sistema di coordinate cartesiane (equazione di Fourier  Kirchhoff). In questa forma, viene utilizzato nello studio del processo di conduzione del calore in qualsiasi corpo.

Se  x = y = z = 0, cioè si considera un corpo solido, e in assenza di fonti di calore interne q v = 0, allora l'equazione dell'energia (4.10) entra nell'equazione del calore per i corpi solidi (equazione di Fourier )

(4.11)

Il valore С=a, m 2 sec nell'equazione (4.10) è chiamato diffusività termica, che è un parametro fisico di una sostanza che caratterizza la velocità di variazione della temperatura nel corpo durante processi instabili.

Se il coefficiente di conduttività termica caratterizza la capacità dei corpi di condurre il calore, allora il coefficiente di diffusività termica è una misura delle proprietà termiche inerziali del corpo. Dall'equazione (4.10) segue che la variazione di temperatura nel tempo t per qualsiasi punto nello spazio è proporzionale al valore "a", cioè la velocità di variazione della temperatura in qualsiasi punto del corpo sarà maggiore, la maggiore la diffusività termica. Pertanto, ceteris paribus, l'equalizzazione delle temperature in tutti i punti dello spazio avverrà più velocemente nel corpo che ha una grande diffusività termica. La diffusività termica dipende dalla natura della sostanza. Ad esempio, liquidi e gas hanno una grande inerzia termica e, di conseguenza, una bassa diffusività termica. I metalli hanno una bassa inerzia termica, in quanto hanno un grande coefficiente di diffusività termica.

Per indicare la somma delle derivate seconde rispetto alle coordinate nelle equazioni (4.10) e (4.11), si può usare il simbolo  2 , il cosiddetto operatore di Laplace, e quindi nel sistema di coordinate cartesiane

L'espressione  2 t in un sistema di coordinate cilindrico ha la forma

Per un corpo solido in condizioni stazionarie con una fonte di calore interna, l'equazione (4.10) si trasforma nell'equazione di Poisson

(4.12)

Infine, per conduzione termica stazionaria e in assenza di sorgenti interne di calore, l'equazione (4.10) assume la forma dell'equazione di Laplace

(4.13)

Equazione del calore differenziale in coordinate cilindriche con una fonte di calore interna

(4.14)

4.2.6. Condizioni di unicità per i processi di conduzione del calore

Poiché l'equazione differenziale della conduzione del calore è derivata sulla base delle leggi generali della fisica, essa caratterizza il fenomeno della conduzione del calore nella sua forma più generale. Pertanto, possiamo dire che l'equazione differenziale risultante caratterizza un'intera classe di fenomeni di conduzione del calore. Per distinguere il processo specificamente considerato da un numero non numerabile e darne una descrizione matematica completa, è necessario aggiungere all'equazione differenziale una descrizione matematica di tutte le caratteristiche particolari del processo in esame. Queste caratteristiche particolari, che, insieme all'equazione differenziale, danno una descrizione matematica completa di un particolare processo di conduzione del calore, sono chiamate condizioni di unicità o condizioni al contorno, che includono:

a) condizioni geometriche che caratterizzano la forma e le dimensioni del corpo in cui avviene il processo;

b) condizioni fisiche che caratterizzano le proprietà fisiche del mezzo e del corpo (, С z , , a, ecc.);

c) condizioni temporali (iniziali) che caratterizzano la distribuzione delle temperature nel corpo in studio nel momento iniziale del tempo;

d) condizioni al contorno che caratterizzano l'interazione del corpo considerato con l'ambiente.

Le condizioni iniziali sono necessarie quando si considerano processi non stazionari e consistono nell'impostare la legge della distribuzione della temperatura all'interno del corpo nel momento iniziale del tempo. Nel caso generale, la condizione iniziale può essere scritta analiticamente come segue per =0:

t =  1 x, y, z. (4.15)

Nel caso di distribuzione uniforme della temperatura nel corpo, la condizione iniziale è semplificata: a =0; t=t0=idem.

Le condizioni al contorno possono essere specificate in diversi modi.

A. Condizioni al contorno del primo tipo, che specificano la distribuzione della temperatura sulla superficie del corpo t c per ogni istante di tempo:

t c =  2 x, y, z, . (4.16)

Nel caso particolare in cui la temperatura sulla superficie è costante per tutto il tempo dei processi di scambio termico, l'equazione (4.16) è semplificata e assume la forma tc =idem.

B. Condizioni al contorno del secondo tipo, che specificano il valore della densità del flusso termico per ogni punto della superficie e per ogni istante di tempo. Analiticamente, questo può essere rappresentato come segue:

q n = x, y, z, , (4.17)

dove q n  densità del flusso di calore sulla superficie del corpo.

Nel caso più semplice, la densità del flusso di calore sulla superficie e nel tempo rimane costante q n = idem. Un tale caso di trasferimento di calore si verifica, ad esempio, quando vari prodotti metallici vengono riscaldati in forni ad alta temperatura.

B. Condizioni al contorno del terzo tipo, fissando la temperatura ambiente t W e la legge del trasferimento di calore tra la superficie del corpo e l'ambiente. La legge di Newton viene utilizzata per descrivere il processo di trasferimento del calore tra la superficie corporea e il mezzo.

Secondo la legge di Newton, la quantità di calore emessa da un'unità di superficie corporea per unità di tempo è proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo t c e l'ambiente t f

q = t c  t f . (4.18)

Il coefficiente di scambio termico caratterizza l'intensità dello scambio termico tra la superficie del corpo e l'ambiente. Numericamente è pari alla quantità di calore ceduto (o percepito) da un'unità di superficie nell'unità di tempo con una differenza di temperatura tra la superficie del corpo e l'ambiente pari ad un grado.

Secondo la legge di conservazione dell'energia, la quantità di calore che viene rimossa da una superficie unitaria per unità di tempo a causa del trasferimento di calore (4.18) deve essere uguale al calore fornito a una superficie unitaria per unità di tempo a causa della conduzione del calore dal volumi interni del corpo (4.7), cioè

, (4.19)

dove n  normale alla superficie del corpo; l'indice "C" indica che la temperatura e il gradiente sono riferiti alla superficie del corpo (quando n=0).

La condizione al contorno finale del terzo tipo può essere scritta come

. (4.20)

L'equazione (4.20), in sostanza, è una particolare espressione della legge di conservazione dell'energia per la superficie di un corpo.

D. Condizioni al contorno del quarto tipo, che caratterizzano le condizioni per lo scambio termico di un sistema di corpi o di un corpo con l'ambiente secondo la legge di conduzione del calore. Si presume che ci sia un perfetto contatto tra i corpi (le temperature delle superfici a contatto sono le stesse). Nelle condizioni considerate, i flussi di calore che attraversano la superficie di contatto sono uguali:

. (4.21)

z.z
X
CONFERENZA 4
Problemi di conduzione del calore in vari sistemi di coordinate.
Sistema di coordinate cartesiano
T
T
T
Q
io
J
K
T T x, y, z, t
si
X
X
si
T
T T T
C
qV
t x x y y z z
C
T T
qV
txx
(1)
(2)
(3)
In pratica, ci sono spesso tali condizioni che portano alla necessità di scrivere l'equazione
conducibilità termica in una forma diversa, più conveniente per rappresentare la soluzione e il suo fisico
interpretazioni.
Dipendenza dal tipo di equazione
dal sistema utilizzato
le coordinate possono essere escluse,
utilizzando la notazione dell'operatore
1T
Q
TV
A
2
X
2
2
si
2
2
z2
AC
T
C
div gradT qV
T
O
C
T
TqV
T
(4)
I termini che esprimono il rilascio di calore e l'accumulo di energia sono invarianti rispetto a
sistemi di coordinate (cioè invariati); ma i termini che esprimono il conduttivo risultante
il flusso di calore dipende dalla geometria e, di conseguenza, dal sistema di coordinate.

Sistema di coordinate cilindrico
z.z
C
dott
R
dz
r, z
z.z
X
T
div q
T
q t
x r cos
si
r, z
(5)
il tuo peccato
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
rr rr
z.z
D
si
dott
D
morire
dx
z.z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2 T 2 T qV
r 2 2 2
un t rr r
z.z
X
1 T 1 T
R
qV
un t r r
T
1T
T
; Q
; qz
R
R
z.z
UN
(9)
T Ts
C
(8)

R ,
Sistema di coordinate sferiche
z.z
dott
R ,
R
D
X
1T
div q
A
q t
si
1 2
1
1
2
2r
2
peccato
2
r peccato 2
peccato
T
1T
1T
; Q
; Q
R
R
peccato
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2T qv
2r
2
peccato 2
2
a t r r r r peccato
peccato
(11)
D
qr
1 T 1 2 T qV
2r
un t r r
x r sin cos
il tuo peccato peccato
z.z
(12)
zr cos
si
X

Equazioni di conduzione del calore per corpi di forma canonica
Scrivere equazioni in diversi sistemi di coordinate è particolarmente conveniente,
quando è necessario trovare la distribuzione della temperatura nei corpi del canonico
forme - in un cilindro o una palla. In questi casi, le equazioni sono essenzialmente
sono semplificati quando si specificano condizioni speciali, quando il campo di temperatura
dipende da una sola coordinata.
parallelepipedo
piatto
cilindro
sfera
C
T T T T
qV
t x x y y z z
1T 2T qV
2
una tx
qe
1 T 1 T qV
R
un t r r
1 T 1 2 T qV
R
2
un t r r
T Ts
z.z
si
X

1 T 1 n T qV
R
N
un t r r
Gli ultimi tre
equazioni insieme:
n 0
nn 2
n 1 cilindro
aereo
T T0
T*T0
T
T*
(13)
sfera
R
R*
1 1 n
qV
N
Fo
Sulla scrivania
Numero di Fourier
A*
Fo 2
R*
qV1:
A*
A
1: 2
2
R*
R*
(14)
qVr*2
qV
T*T0
Q
T* T0Vr*2
1 n
1
N
Fo

Problemi stazionari di conduzione del calore in diversi sistemi di coordinate
Parete cilindrica: processo di conduzione del calore stazionario in
parete cilindrica (tubo) con raggio interno r1;
d1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2 T 2 T qV
R
a t r r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
tu
dott
tu 1
tu 0
Dr-r
T C1 log r C2
Q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
dott
R
d2T
1dT
0
2 dott
dott
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Il flusso di calore specifico non lo è
costante in spessore e decrescente in
verso la superficie esterna
In condizioni stazionarie, il flusso di calore totale passante
una sezione di un tubo cilindrico con una lunghezza l e pari a
Q q F q 2 rl
Flusso di calore specifico
decrescente con il raggio
!!!
(19)
Superficie
aumenta con il raggio
La temperatura attraverso lo spessore del tubo varia in modo non lineare anche a una costante
conduttività termica
Le costanti di integrazione possono essere trovate dalle condizioni al contorno.

r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 ceppo r1 C2 ,
Sistema lineare
equazioni
T2 C1 ceppo r2 C2 ,
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
logaritmo r2 r1
Q
Q
Flusso termico lineare
qp
(20)
dT
C
1
dott
R
dT
T
l2r
2 litro,
dott
logaritmo r2 r1
Mar
Q
2
T , T T1 T2
l ln r2 r1
(21)
(22)

(le temperature delle pareti sono sconosciute)
T C1 log r C2
Possiamo fare lo stesso:
r r1:
Facciamolo diversamente:
(23)
T
T
1e T Te1 ; rr2:
2e Te2 T
R
R
Flusso di calore convettivo per unità di lunghezza
i tubi dovrebbero essere uguali al flusso di calore lineare
a causa della conduttività termica:
qp 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qp
logaritmo r2 r1
qp Kc Te1 Te2
1
Kc
, W/(M K)
1
1r
1
ln 2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qp 2e T2 Te2 2 r2
Coefficiente di scambio termico per
parete cilindrica
RC
1
1
1r
1
ln 2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
parete piatta
R
1 litro 1
1 2
1 litro 1
K
1
2
1
W/(M2·K)
Dal sistema di equazioni (23) possiamo trovare
e la temperatura della parete e sostituire in (20)
Termico completo
resistenza del tubo
(24)
(25)
(26)
Dimensione
si differenzia da
dimensione K per
muro piatto!
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
logaritmo r2 r1
Potere
Sulla scrivania

In variabili adimensionali
r1
d2
D
r2
2
1d
0
D
(27)
D
Bi
D
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Esercizio
a casa:
1:
Te Te 2
R
; r*r2
Te1 Te2
r2
D
BI 1
D
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 ceppo C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 BiC2 1
(30)
A) Vai con attenzione alle variabili adimensionali
B) Trova le costanti di integrazione dal sistema (30)
C) Costruisci per diversi valori di parametro

10.

I principi
coerente
E
parallelo
collegamenti di resistenze termiche in un circuito,
valido per una parete piana in un rettangolo
sistema di coordinate, può essere applicato anche al problema di
conduzione del calore in un cilindro cavo.
Analogia elettrica
2
Q
1
Q
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
logaritmo r2 r1
2l
Il liquido scorre in un tubo, R 1 1
0
F 2 r1l
rivestito con isolante
Materiale
dT
T
l2r
2l,
dott
logaritmo r2 r1
T
Q
,
ceppo r2 r1 2 l
A forma di
Legge di Ohm
Resistenza termica
cilindro cavo
termica convettiva
resistenza ai fluidi
Abbiamo un collegamento in serie della resistenza convettiva del liquido con due
resistenze termiche conduttive. Se viene data la temperatura del fluido e la temperatura
superficie esterna:
T0 Ts
T
Q
UN)
R
pieno
R
R
1
1
1
ln 2
ln 3
2 1r1l 2 l 1 r1 2 l 2 r2
(31)
Resistenza
isolamento
Se sono fornite le temperature delle superfici interna ed esterna
B)
T
Q
Pieno
T1 Ts
R
R
1
1
ln 2
ln 3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)

11.

Esempio
1 185
In un tubo di alluminio con conducibilità termica
W/(m·K), flusso di vapore acqueo
◦
ad una temperatura di 110 C. Il diametro interno del tubo è di 10 cm, il diametro esterno è di 12
Te
vedi Il tubo si trova in una stanza con una temperatura
30◦С; coefficiente
e
trasferimento di calore convettivo dal tubo
all'aria
pari a 15 W/(m2K). 1) Obbligatorio
trovare il flusso di calore per unità di lunghezza del tubo se il tubo non è isolato termicamente.
2) Per ridurre la dispersione termica del tubo, è stato ricoperto con uno strato di isolante termico
(2 0,2 ​​W / (m K)) 5 cm di spessore Trova il flusso di calore per unità di lunghezza da
tubo termicamente isolato. Supponiamo che il termico convettivo
la resistenza al vapore è trascurabile.
Soluzione. Per un tubo senza isolamento termico, i più significativi sono
resistenza termica conduttiva del tubo stesso e termica convettiva
resistenza dell'aria ambiente. Dal momento che termica convettiva
si può trascurare la resistenza al vapore, la temperatura della superficie interna
tubi è uguale alla temperatura del vapore. Il flusso di calore per unità di lunghezza del tubo segue da
relazioni T T
110 30
80
Q
0
e
logaritmo r2 r1
1
2 1
2r2 e
ln 6 5
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 W/m.
Per un tubo con isolamento termico, è necessario aggiungere resistenza termica
isolamento termico, e il rapporto per il flusso di calore prende la forma
Q
T0 Te
80
138
lnr3 r2 1,57 10 4 0,096 0,482
logaritmo r2 r1
1
2 1
2r3 e
2 2
W/m

12.

Parete cilindrica multistrato
qc
Tn T1 1
N
D
1
registro io 1
2 io
di
, d io 2r1
qc
io 1
Il concetto rimane valido.
coefficiente equivalente
conduttività termica
eq
logaritmo d n 1 d1
N
io 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d io 1
ln
io di
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
N
Tn 1
r2 d2 2
Temperatura Ti 1
Ti 1 Ti
2 equivalente T1 Tn 1
logaritmo d n 1 d1
sul confine tra l'i-esimo e l'i+1-strato
qc 1 d 2 1 d3
1d
ln ln ... ln io 1
2 1 d1 2 d 2
io
di
(35)
Coefficiente di scambio termico:
Kc
1
1
1d1
N
io 1
1 di 1
1
ln
2 io di 2 d 2
(36)

13.

r1
Il flusso di calore radiale nel tubo è inversamente proporzionale al logaritmo
raggio esterno (aumenta la resistenza della conduzione radiale);
r2
La dissipazione del calore dalla superficie esterna è direttamente proporzionale a questo
raggio (l'area della superficie di raffreddamento aumenta)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Pertanto, c'è un certo raggio, a
dove la perdita di calore è maggiore.
Se, per un raggio interno fisso (piccolo), aumentare
spessore della parete del tubo (cioè, aumentare il raggio esterno r2), quindi l'azione
il logaritmo nella formula per la resistenza termica sarà maggiore
più forte che con un raggio interno più grande

14.

Diametro critico dell'isolamento termico
qc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Condizione estrema:
dà
r2*1
2
Raggio critico
Caso speciale di resistenza interna nulla, 1 1 0
si
Q
2 Te1 Te 2
1
R
,x2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Anche la resistenza esterna è zero
r1 r2
Lo spessore della parete è 0
1:x2r2
Per un dato raggio interno, il valore del critico
il raggio esterno aumenta se aumenta
conducibilità termica del tubo o se il coefficiente diminuisce
trasferimento di calore sulla superficie esterna
(37)
BI 1

15.

isolamento
L'esistenza di un raggio esterno critico porta al fatto che a
alcune condizioni reali, contrariamente alle solite idee,
la perdita di calore del tubo coibentato può essere effettivamente ridotta
riducendo lo spessore dell'isolante
d1
d2
Resistenza termica totale per un tubo a due strati, la cui sezione trasversale
mostrato nella figura, è determinato dalla formula
d3
RC
1 2
tubo
Condizione
estremo:
d2 d3*
d3 d2
(39)
- spessore isolante
La resistenza termica della conduttività termica dell'isolante (I) aumenta con l'aumentare
spessore del rivestimento isolante; resistenza termica dell'isolamento termico
(II) - diminuisce (poiché la superficie di trasferimento del calore aumenta)
dRC
1
1
0
gg3 2 2 d3 2 d 32
RC
d2 d3*
1
1
1d2
1d3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(IO)
d3*
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
non dipende da
d2
(40)
(cioè, non dipende dal diametro della tubazione stessa)
Nel punto critico, la termica totale
la resistenza è minima!
l'aumento dello spessore dell'isolante riduce il trasferimento di calore
l'applicazione del rivestimento selezionato comporterà inizialmente un aumento
trasferimento di calore, e solo quando viene raggiunto il diametro critico, il flusso di calore lo farà
diminuire; allora raggiungerà il valore che era senza isolamento, e solo allora
porterà all'effetto desiderato.

16.

Problema per una palla vuota
(muro di palla)
d2T
dott
2
2dT
0
r dott
(41)
Consideriamo uno stazionario spazialmente unidimensionale
problema di conduzione del calore in una parete sferica con dato
raggi delle superfici interna ed esterna. Unidimensionalità
problema significa che la distribuzione della temperatura nel muro
dipende solo dal raggio
Sostituendo
variabili
r1
dT
tu
dott
du
2u
Decisione comune
dott
R
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; u 21 ; T r 1 C2 ;
2
R
Dr-r
R
r2
Condizioni al contorno di prima specie
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
Tr 1
1r1 1r2
r r2: T T2
(42)
Densità del flusso di calore
Flusso termico totale
Q
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
Q
2C1
dott
1r1 1r2
R
(45)
dT
4
T1 T2
4r24C1
dott
1r1 1r2
(46)

17.

Condizioni al contorno del terzo tipo
Tr
Decisione comune
non cambia
C1
C2
R
T
r r1: -
1TTe1
R
T
r r2: -
2Te2 T
R
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2r22
2r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
Dr-r
C2
(48)
Il flusso di calore totale Q non lo è
dipende dal raggio corrente
1r1 T 1r12 T
2r2 e 22r22 e1
1r1 1r12
2r22r22
(49)
Nel limite del trasferimento di calore ideale dei fluidi con determinate temperature e
parete sferica (cioè a coefficienti di scambio termico infiniti) soluzione del problema con
le condizioni al contorno del terzo tipo passano nella soluzione di un problema con condizioni al contorno
condizioni del primo tipo.
4
Q
T T
1 1 1 2
r1 r2
=
flusso di calore,
4 r1 2 1 Te1 T
venendo a
muro interno
=
flusso di calore,
4 r 2 2 2 T Te 2
in partenza
muro esterno

18.

Distribuzione della temperatura in una parete sferica
per condizioni al contorno di terza specie
A casa:
giocare tutto
soluzione
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
Tr
1 1
r1 r2
Temperature parete:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2Te1
r2 2
R12 1
s 1 2 r12 1
R
2 2
R12 1
R12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 1 2
s 1 2 r1 1
R
2 2
r12 1Te 2
T2
Conducibilità della parete della sfera:
S
1 1
r1 r2
r1r2
r 2 r1

19.

Soluzioni dei problemi più semplici in forma adimensionale
Raccogliamo soluzioni di problemi stazionari per corpi di forma canonica con
condizioni al contorno del primo tipo insieme
T p T1 T1 T2
R
r2
Casa: Gioca!
Tc
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
Ts
1 1
r1 r2
T1 log r 2 r T 2 log r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T2
R
r2
0,8
p1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
C
P
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
In una parete piana, la distribuzione qualitativa
la temperatura (lineare) non dipende dalla sua
spessore. Ma in cilindrico e sferico -
varia in modo non lineare con il raggio;
carattere
distribuzione (curvatura della curva) dipende da
rapporto tra raggio esterno e raggio interno.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Distribuzione della temperatura in piano
(1), cilindrico (2) e sferico (3)
parete. linee continue
;
10
linee tratteggiate - . 5

20.

Nel caso di condizioni al contorno del terzo tipo, soluzioni ai problemi più semplici
dipendono dai parametri che caratterizzano il trasferimento di calore.
Per gli stessi coefficienti di scambio termico.
Te Te 2
Te1 Te2
R
r2
1 2
0,8
per piatto
1
p 1 1 2
1 1
2Bi
2
1
2Bi
per cilindro:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 ceppo 2 ceppo
ln
1 1
2
1 mld
1 mld
C
per sfera:
S
1
1 1 1 2
1
1Bi 1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Distribuzione della temperatura
lungo la coordinata nel piano (1),
cilindrico (2) e sferico
(3) muri in condizioni
trasferimento di calore convettivo.
Linee continue - Bi 2 ;
punteggiato - Bi 1 0

21.

Esempi: bottiglia Dewar
Una particella metallica rivestita da una pellicola di ossido
Compiti a casa:
1. Formulare il problema della distribuzione della temperatura in un bistrato
guscio sferico durante il suo raffreddamento convettivo, utilizzando il materiale
lezioni. Si presume che il contatto termico tra gli strati sia ideale. Guida
problema a una forma adimensionale. Costruisci una soluzione analitica esatta
questo compito.
2.*Calcola la temperatura delle superfici interna ed esterna della sfera
gusci nel problema 1, nonché la temperatura al contatto; determinare il pieno
il flusso di calore che lascia la superficie della palla, assumendo che le temperature
ambiente all'interno del guscio - 175 C, temperatura ambiente - 25 C;
i coefficienti di scambio termico sono gli stessi e uguali - 28,8 kcal / (m2 hour deg);
raggi della calotta interna ed esterna - 3 cm e 5 cm, spessore
calotta interna - 25 mm. La calotta interna è realizzata in
materiale con una conducibilità termica di 1,45 kcal/(m ora deg); esterno di
materiale con un coefficiente di conducibilità termica di 0,137 kcal/(m h deg). Come
il flusso di calore cambierà al variare dello spessore dell'esterno
gusci che vanno da 25 mm a 300 mm?

22.

d2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
GU. primo tipo: r r1:
qV cost
T T1;
(1)
rr2:
T T2 (2)
GU. terzo tipo:
r r1:
-
T
1T Te1 ;
R
rr2:
-
T
2Te2 T
R
La prima "via" della soluzione:
Il problema è risolto dall'integrazione elementare:
qV x 2
Tx
DO1xDO2
2
dT
Q
V x DO1;
dx
(4)
Sostituendo la soluzione generale nel CG, troviamo le costanti di integrazione.
Il massimo è a una certa distanza dalle superfici.
La posizione massima può essere trovata dalla condizione (condizione estrema)
dT
qx
V DO1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)

23.

Compiti con fonti di calore interne
PARETE PIANA CONDUTTRICE DI CALORE CON RILASCIO CALORE VOLUME
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Facciamolo in modo un po' diverso. (Il secondo modo
soluzioni)
qV x 2
Tx
DO1xDO2
generale
soluzione
2
(4)
Poniamo l'origine delle coordinate nel punto in cui
la temperatura è massima
T2
1; 2
- distanza dal massimo ai bordi della lastra
0
C10
Riscriviamo la condizione al contorno a destra come segue:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
Q
v
2
2C2
Te2qV2
2
(6)
Poiché il piano x=0 può essere considerato termicamente isolato, tutto il calore rilasciato all'interno
la targa a destra per unità di tempo deve essere dirottata verso l'ambiente
attraverso il trasferimento di calore dalla parete destra. In caso contrario, la condizione sarà violata
stazionarietà
qV 2 - la quantità di calore rilasciata nel volume della piastra con spessore \u003d 1 per unità di tempo
A sinistra - l'espressione per il flusso di scambio termico per unità di superficie della superficie della piastra

24.

Analogo ragionamento per lo strato sinistro della lastra con spessore
1 2
portare all'espressione
2
Q
v
2
1 C2
Te1qV2
2
(7)
Usando le uguaglianze (6), (7), troviamo la posizione
massimo
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV 1 2 1 2
(8)
Determinando la costante C2, (qualsiasi delle uguaglianze è adatta), troviamo la soluzione generale.
Assume la forma più semplice if
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
Poi
qV qV 2
C2
Te
2
8
E
2
Q
qV
2
Tx
x VTe
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Più bassa è, maggiore è la conduttività termica della piastra
Tmax T x 0
Te
8
2
Q
La temperatura di parete Ts T1 T2 V Te aumenta con il deterioramento del trasferimento di calore
2

25.

Condizioni al contorno di prima specie
T1
2
1
T2
0
qv 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qv 2
(11)
qv 2 2
C2T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
TxT2
X
1
2
2 2
qV
Per valori molto grandi
x2:
qV x 2
Tx
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Le condizioni al contorno del terzo tipo si trasformano in condizioni al contorno
condizioni del primo tipo. Pertanto, abbiamo la stessa soluzione
utilizzare la soluzione precedente
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Di conseguenza, da un problema simmetrico con condizioni al contorno del terzo tipo troviamo (10).
2
qV
2
Tx
x Ts
2 2
Tmax T x 0
Q
VTS
8
2
Temperatura
muri
(14)
La stessa uguaglianza segue dalla soluzione precedente, a condizione che le temperature delle pareti siano uguali

26.

Si consideri un cilindro solido infinito uniformemente riscaldato (o
raffreddato) dalla superficie laterale. La fonte di calore si trova nel volume del cilindro
intensità costante. È necessario trovare la distribuzione della temperatura per
modalità stabilita.
d 2T 1 dT q
dott
u dT dott
2
r dott
qr
du
R
u V 0
dott
v
O
0
(1)
d ru qV r
0
dott
qV r 2
it
C1
2
qr C
dT
V 1
dott
2
R
Decisione comune
Primo
integrante
(3)
qV r 2
T
C1 log r C2
4
Condizione in centro per
cilindro solido
dTdr0; r0
(2)
(4)
C10

27.

Cilindro con dissipazione termica volumetrica
dT
T Te
r r
dott
qv 2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
R
Te
C2
Te
4
2
2
4
Q
qR
qR
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Condizione esterna:
densità del flusso di calore sulla superficie del cilindro:
flusso di calore totale dalla superficie del cilindro:
q Ts Te
QQF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Il problema del raffreddamento di un cilindro con rilascio di calore volumetrico è, in
in particolare, di interesse per trovare la distribuzione della temperatura nei catodi,
utilizzato nelle torce al plasma per generare flussi ionici. In pratica
applicazione, questo problema può essere riformulato come segue: trova la potenza
fonte sufficiente per spruzzare il catodo, a condizione che ciò richieda
raggiungere il punto di fusione del materiale del catodo
Usando la soluzione generale (4), si può trovare la distribuzione della temperatura sullo spessore
pareti di un cilindro cavo o secondo lo spessore di un cilindro ricoperto da uno strato protettivo
(considereremo ulteriormente). Nel primo caso è necessario impostare le condizioni sulla superficie interna
cilindro. Nel secondo caso, è richiesta una condizione aggiuntiva all'interfaccia
due materiali con proprietà diverse, ad es. condizione al contorno di quarta specie.

28.

Sfera con dissipazione volumetrica del calore
qV r 2 C1
A casa: spettacolo
T
C2(2)
(1)
qual è la soluzione generale
6
r1
dr2
(1) ha la forma (2)
dT
Condizioni:
dTdr0; r 0 e dr T Te ; r r
Q
Q
dare C1 0 e
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R1
3
6
R
Q
Q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Temperatura massima
3
6
Q
Q
Temperatura superficiale
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R2dT
1
Flusso termico totale attraverso la superficie
Q
R3qV
4 dr r R 3
palla
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
cilindro
S
2
4
2
Confrontare
d2T
2dT qV
0
r dott
Strato piano Tmax
qV qV 2
Te
2
8
Q
TsVTe
2
con (4), (5)

29.

Esempio 1. Trova la corrente massima che può essere attraversata
filo di alluminio (λ = 204 W / (m K)) con un diametro di 1 mm, in modo che
la temperatura non ha superato i 200 C. Il filo è sospeso in aria con
temperatura 25 C. Il coefficiente di trasferimento di calore convettivo dal filo a
aria è 10 W/(m2 K). Resistenza elettrica Re/l per unità
la lunghezza del filo è di 0,037 ohm/m.
Soluzione. Usiamo la formula (66), da cui segue
qV
Re I 2
R2l
Tmax
qV R R
I2 Ri
Te
1
Te
2
2
2Rl
R
1 2
Sostituiamo i valori dati delle quantità fisiche:
200 25
IO
2
2 1 0 3
Da qui troviamo la forza attuale:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
Io 12.2 A

30.

Filo con isolamento
Formulazione matematica rigorosa del problema:
d2T1
dott
2
d2T2
La prima condizione è la condizione di simmetria;
il secondo dice che il termico
contatto tra filo e isolante
perfetto, e il terzo corrisponde
fili di scambio termico convettivo con
isolamento dall'ambiente.
dott
2
1dT2
0
r dott
r0: dT dr0
R R: 1
r r
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2 ; T1 T2
dott
dott
r R: 2
Soluzione generale del problema:
1 dT1 qV
0
r dott
1
dT2
T2 Te
dott
qV r 2
T1
DO1 lnr DO2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
A casa: spettacolo
giustizia

31.

Filo con isolamento
qV r 2
T1
DO1 lnr DO2
4 1
Soluzione generale del problema:
T2 C3 l n r C 4
Dalla condizione (3) abbiamo:
C10
qR
C
1 V 2 3
R
2 1
Le condizioni (4) danno:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
La condizione (5) implica:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
ln R C 4 Te
R
R22
2 2
Noi troviamo:
qV R 2
qR
C4Te
l n RV
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C2 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R

32.

Pertanto, la distribuzione della temperatura nel filo con isolamento
è descritto da formule
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1Te
ln
1
4 1 R 2 2
R41
E
qV R 2 2 qV R 2 R
T2Te
ln
2 2 R
2 2
R
Presentiamo la soluzione finale nella forma:
T Te
io io
T Te
qV R 2
T Te
1
R
R
1
Bi K
2
1 1 2
registro 1
4
K2
4
2
KK 1
ln
2Bi
2
Determinare il flusso di calore dalla superficie
conduttore
q T2R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Vai a casa a
variabili adimensionali
0 1
Bi
1 1
K
Q
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- l'isolamento non sottrae calore al conduttore percorso da corrente
- possibile raffreddamento del conduttore a causa della perdita di calore in
ambiente
R

33.

Esempio 2. Far passare un lungo filo di alluminio del diametro di 1 cm
una corrente elettrica scorre con una corrente di 1000 A. Il filo è ricoperto da uno strato
isolamento in gomma spessore 3 mm (λ2=0,15 W/(m·K)). Temperatura
superficie esterna dell'isolante 30 C. Trovare la temperatura dell'interno
superficie isolante. Resistenza ohmica del filo per unità
lunghezza 3,7 10-4 Ohm/m.
Soluzione. Per risolvere questo problema, usiamo la seconda formula per Т2
considerato problema aggiunto. Dato che la temperatura è impostata
2
superficie esterna dell'isolante, ad es.
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
Rl
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Utilizzando il valore della conduttività termica del filo di alluminio
1 232 W / (m K) e la formula per T, possiamo calcolare la temperatura al centro
1
fili. Nelle condizioni in esame, abbiamo
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2r R
l 2 2 R l 4 1
l4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2

34.

Compito a casa.
1. La corrente con una potenza di I \u003d 200 A viene fatta passare attraverso un filo di acciaio inossidabile
con un diametro di 2 mm e una lunghezza di 1 m La resistenza elettrica del filo è
0,125 Ohm, conducibilità termica 17W/(m·K). Temperatura
superficie del filo 150 C. È necessario calcolare la temperatura sull'asse
filo.
2. Supponiamo nello stesso problema che il filo sia ricoperto da uno strato di isolante
(coefficiente di conducibilità termica dell'isolante 0,15 W/(m K)), e il coefficiente
il trasferimento di calore sulla superficie isolante è di 60 W/(m2K). Come necessario
modificare la forza attuale (aumentare o diminuire) in modo che la temperatura
la superficie del filo è rimasta pari a 150 C.

35.

Proprietà termofisiche effettive (equivalenti).
Molto utilizzato nell'ingegneria meccanica e nei materiali che ci circondano
sono multicomponenti e multifase. Questo vale per l'acciaio
leghe, compositi intermetallici, materiali sinterizzati,
compositi in fibra, compositi a base di polimeri, miscele,
soluzioni, ecc.
Se per i componenti iniziali (da cui sono sintetizzati i compositi in
diverse tecnologie) o dati i materiali utilizzati con le proprietà di tutti
più o meno chiaro, quindi per materiali di nuova concezione
la definizione delle proprietà è un grosso problema.
I metodi sperimentali standard potrebbero non funzionare o diventare
costoso o laborioso
Per il calcolo è necessario conoscere le proprietà dei componenti, la struttura e il mutuo
influenza reciproca dei fenomeni fisici.
Nessuna ricerca scientifica è possibile senza dati sulle proprietà fisiche.
o calcolo ingegneristico
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Conducibilità termica di miscele e compositi
materiali

36.

Modelli per il calcolo delle proprietà:
corpuscolare (molecolare), continuo e combinato
Nei modelli corpuscolari, le proprietà sono studiate sulla base della conoscenza della natura,
la struttura e la natura dell'interazione delle particelle. Calcolo delle proprietà fisiche in
In questo caso, è possibile solo con l'utilizzo di dati su altri immobili.
Classificazione delle strutture eterogenee:
Dulnev, pp.10-52 (aperto)
Compositi: pp.106-130

37.

Esistono numerosi modi per calcolare i coefficienti effettivi
conducibilità termica di materiali eterogenei e porosi
Nella più semplice approssimazione per il processo di conduzione del calore in un separato
microdominio (che è considerato un volume rappresentativo)
le equazioni fisiche sono valide
JT ,kk grad Tk , div JT ,k 0
Condizioni al contorno sulle interfacce delle regioni con l'ideale
il contatto termico ha la forma:
T
T
k k k 1 k 1 ; Tk Tk 1
N
N
Per determinare l'effettiva conduttività termica di un materiale (costituito da
diverse fasi), è necessario determinare le distribuzioni dei campi fisici durante
tutti i microdomini, per poi passare a un ambiente quasi omogeneo, per
quali le relazioni
JT*T
1
J k dV ;
v
1
Tk d
T
v
v
Stabilire il tipo di questo
Coefficiente effettivo: f k , k ;
dipendenze ed è
compito principale
- frazioni di fase
varie teorie.
JT
T

38.

Sistema a due fasi
1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
v
V2
V1
1V1V, 2V2V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
K
T1 T1
2T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Segue da
precedente
, k 1,2
- gradiente medio di volume
Il sistema di due equazioni (1) contiene tre incognite. Per e chiusura
sono necessarie ulteriori informazioni, come i dettagli della struttura
sistema eterogeneo, i dati di un esperimento appositamente progettato.
La soluzione del problema della chiusura di tali sistemi ha portato alla comparsa di tutti
varietà di metodi per determinare i coefficienti di trasferimento (non solo
coefficiente di conducibilità termica), noto in letteratura

39.

1. Nel caso della struttura più semplice, che è un sistema
lastre illimitate parallele al flusso J
1 2 1
E
1 1 2 2
2. Se gli strati sono perpendicolari al flusso
1 T1 2 T2 ;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
I tipi di strutture di media disomogenei sono molto diversi. Quindi, nel caso
mezzi a due fasi, a quali fasi (microregioni contenenti fasi diverse)
può essere distribuito nello spazio sia in modo casuale che ordinato,
è possibile distinguere strutture contenenti una delle fasi sotto forma di isolato
inclusioni isomeriche (1) o anisotropicamente orientate (2) in
continua altra fase, sistemi granulari con una struttura continua (3) e
pori (4), sistemi fibrosi di fibre (5) e pori (6), statisticamente
sistemi disomogenei (microdisomogenei) di dimensioni simili
componenti (7), sistemi stratificati di parallele (8) e perpendicolari
(9) strati di flusso. Si possono immaginare sistemi costituiti da individui
sottosistemi con varie strutture del tipo descritto. Inoltre
ciascuna delle fasi incluse nelle strutture può essere sia multicomponente che
e singolo componente. In ogni caso, è necessario calcolare le proprietà di ciascuna delle fasi
o la loro definizione sperimentale.

40.

Equazione di Kondorsky
3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevsky (metodo
1
ambiente efficiente)
4
16
2
2 1
1V1V, 2V2V
13
2 1
1 2
metodo integrale
Stime bilaterali (stime
Hashin Shtrikhman)
Shermergard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
L'indice 1 si riferisce alla matrice e "2" si riferisce alle inclusioni
Nonostante i modelli di media semplificati, alcune delle formule ben note
consentono di effettuare stime abbastanza affidabili, sebbene il numero di formule per
vari casi speciali di media aumenta rapidamente con l'aumentare del numero di fasi.

41.

A casa:
C'è un composto. La matrice è una lega a base di tungsteno (la consideriamo
conducibilità termica uguale alla conduttività termica del tungsteno).
Particelle (inclusioni) di carburo di titanio.
Utilizzando le formule precedenti, calcola le dipendenze
coefficienti effettivi di conducibilità termica del composito sulla frazione
inclusioni (ξ= da 0 a 0,75). Trama su un grafico.
Quale conclusione si può trarre?

42.

Proprietà dei materiali granulari e porosi
Sulla conducibilità termica effettiva dei materiali porosi, ceteris paribus
condizioni è influenzata dalla conducibilità termica della fase solida. Allo stesso tempo, per
per alcuni materiali porosi (basati su A12O3, BeO, MgO, ecc.) coefficiente
la conducibilità termica diminuisce con l'aumentare della temperatura, mentre per
altri, realizzati sulla base di SiO2, ZrO2, - aumentano. Decisivo
la porosità ha un effetto sulla conduttività termica effettiva, poiché
i pori stessi, per la bassa conducibilità del gas, sono efficaci
barriera alla diffusione del calore. Tuttavia, ce ne sono altri
meccanismi di trasmissione del calore (convezione, irraggiamento).
I modelli più semplici si basano sulla rappresentazione di un poroso o
materiale disperso sotto forma di strati piani alternati, composti e
telaio solido (nucleo) e aria.
1
1
2
2
1
1 1 2
- proporzione di pori; porosità
- conduttività termica dell'aria o di altra sostanza riempita
spazio poroso

43.

I modelli presentati nella figura al centro sono associati a dei nomi
Maxwell-Eucken (Maxwell-Aiken). Il risultato sembra
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
il telaio solido è continuo
continuo è poroso
spazio
modello di teoria del mezzo effettivo