Gli antipiretici per i bambini sono prescritti da un pediatra. Ma ci sono situazioni di emergenza per la febbre quando il bambino ha bisogno di ricevere immediatamente la medicina. Quindi i genitori si assumono la responsabilità e usano farmaci antipiretici. Cosa è permesso dare ai neonati? Come abbassare la temperatura nei bambini più grandi? Quali farmaci sono i più sicuri?

Problema 6.12. La stessa domanda del problema precedente, ma per un pentagono regolare (suggerimento: vedi problema 3.5).

Problema 6.13. Nel problema 4.8 si è detto che come valore approssimato del coseno di un piccolo angolo α si può prendere il numero 1, cioè il valore della funzione coseno a zero. E se, senza ulteriori indugi, prendessimo 0 = sin 0 come valore approssimativo per il seno di un piccolo angolo α? Perché è cattivo?

Riso. 6.4. Il punto M si sposta lungo la cicloide.

Problema 6.14. Si consideri una ruota di raggio 1 che tocchi l'asse x nell'origine (Fig. 6.4). Supponiamo che la ruota abbia rotolato lungo l'asse delle ascisse nella direzione positiva a una velocità di 1 (cioè, nel tempo t, il suo centro si è spostato t verso destra).

a) Disegnare (approssimativamente) la curva che il punto M descriverà, toccando l'asse x al primo momento.

b) Trovare quali saranno l'ascissa e l'ordinata del punto M dopo l'istante t dall'inizio del movimento.

6.1. Asse tangente

In questo paragrafo abbiamo definito geometricamente il seno e il coseno, come l'ordinata e l'ascissa di un punto, e la tangente, algebricamente, come sin t / cos t. Tuttavia, alla tangente può anche essere attribuito un significato geometrico.

Per fare ciò, tracciamo attraverso un punto con coordinate (1; 0) (l'origine del cerchio trigonometrico) una tangente al cerchio trigonometrico - una linea retta parallela all'asse

Riso. 6.5. Asse delle tangenti.

ordinato Chiamiamo questo asse rettilineo delle tangenti (figura 6.5). Questo nome è giustificato come segue: sia M un punto su un cerchio trigonometrico corrispondente al numero t. Continuiamo il raggio SM finché non si interseca con l'asse tangente. Quindi risulta che l'ordinata del punto di intersezione è uguale a tg t.

Infatti, i triangoli NOS e MP S in Fig. 6,5, ovviamente

	ma simile. Da qui



	che è quanto affermato.									o (0; −1), allora
	Se il punto M ha coordinate (0; 1)

May SM è parallelo all'asse delle tangenti e la tangente non può essere determinata con il nostro metodo. Ciò non sorprende: l'ascissa di questi punti è 0, quindi cos t = 0 per i corrispondenti valori di t, e tg t = sin t/ cos t non è definito.

6.2. Segni di funzioni trigonometriche

Scopriamo a quali valori di t seno, coseno e tangente sono positivi ea cosa sono negativi. Per definizione, sin t è l'ordinata di un punto su un cerchio trigonometrico corrispondente al numero t. Pertanto, sin t > 0 se il punto t è acceso

Centrato nel punto A .
α è l'angolo espresso in radianti.

Tangente ( tga) è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza della gamba adiacente |AB| .

Cotangente ( ctga) è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza della gamba opposta |BC| .

Tangente

Dove N- Totale.

Nella letteratura occidentale, la tangente è indicata come segue:
.
;
;
.

Grafico della funzione tangente, y = tg x

Cotangente

Dove N- Totale.

Nella letteratura occidentale, la cotangente è indicata come segue:
.
È stata inoltre adottata la seguente notazione:
;
;
.

Grafico della funzione cotangente, y = ctg x

Proprietà di tangente e cotangente

Periodicità

Funzioni y= tg x e y= ctg x sono periodiche di periodo π.

Parità

Le funzioni tangente e cotangente sono dispari.

Domini di definizione e valori, ascendenti, discendenti

Le funzioni tangente e cotangente sono continue nel loro dominio di definizione (vedi la dimostrazione di continuità). Le principali proprietà della tangente e della cotangente sono presentate nella tabella ( N- numero intero).

	e= tg x	e= ctg x
Portata e continuità
Intervallo di valori	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Ascendente		-
Discendente	-
Estremi	-	-
Zero, y= 0
Punti di intersezione con l'asse y, x = 0	e= 0	-

Formule

Espressioni in termini di seno e coseno

; ;
; ;
;

Formule per tangente e cotangente di somma e differenza

Il resto delle formule è facile da ottenere, per esempio

Prodotto di tangenti

La formula per la somma e la differenza delle tangenti

Questa tabella mostra i valori di tangenti e cotangenti per alcuni valori dell'argomento.

Espressioni in termini di numeri complessi

Espressioni in termini di funzioni iperboliche

;
;

Derivati

; .

.
Derivata dell'ennesimo ordine rispetto alla variabile x della funzione :
.
Derivazione di formule per la tangente > > > ; per cotangente > > >

Integrali

Espansioni in serie

Per ottenere l'espansione della tangente in potenze di x, è necessario prendere diversi termini dell'espansione in una serie di potenze per le funzioni peccato x E cosx e dividere questi polinomi l'uno nell'altro , . Ciò si traduce nelle seguenti formule.

A .

A .
Dove B n- Numeri di Bernoulli. Sono determinati dalla relazione di ricorrenza:
;
;
Dove .
Oppure secondo la formula di Laplace:

Funzioni inverse

Le funzioni inverse di tangente e cotangente sono rispettivamente arcotangente e arcotangente.

Arcotangente, arctg

, Dove N- Totale.

Arcotangente, arcctg

, Dove N- Totale.

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.
G. Korn, Manuale di matematica per ricercatori e ingegneri, 2012.

Coordinate X i punti che giacciono sulla circonferenza sono uguali a cos(θ) e alle coordinate si corrispondono a sin(θ), dove θ è l'ampiezza dell'angolo.

Se trovi difficile ricordare questa regola, ricorda solo che nella coppia (cos; sin) "il seno viene per ultimo".
Questa regola può essere dedotta se consideriamo i triangoli rettangoli e la definizione di queste funzioni trigonometriche (il seno dell'angolo è uguale al rapporto tra la lunghezza dell'opposto e il coseno della gamba adiacente all'ipotenusa).

Annota le coordinate di quattro punti sul cerchio. Un "cerchio unitario" è un cerchio il cui raggio è uguale a uno. Usalo per determinare le coordinate X E si in quattro punti di intersezione degli assi delle coordinate con il cerchio. Sopra, per chiarezza, abbiamo designato questi punti come "est", "nord", "ovest" e "sud", sebbene non abbiano nomi stabiliti.

"Est" corrisponde a un punto con coordinate (1; 0) .
"Nord" corrisponde a un punto con coordinate (0; 1) .
"Ovest" corrisponde a un punto con coordinate (-1; 0) .
"Sud" corrisponde a un punto con coordinate (0; -1) .
Questo è simile a un normale grafico, quindi non è necessario memorizzare questi valori, è sufficiente ricordare il principio di base.

Ricorda le coordinate dei punti nel primo quadrante. Il primo quadrante si trova nella parte in alto a destra del cerchio, dove si trovano le coordinate X E si assumere valori positivi. Queste sono le uniche coordinate che devi ricordare:

il punto π / 6 ha coordinate () ;
il punto π / 4 ha coordinate () ;
il punto π / 3 ha coordinate () ;
si noti che il numeratore accetta solo tre valori. Se ti muovi nella direzione positiva (da sinistra a destra lungo l'asse X e dal basso verso l'alto lungo l'asse si), il numeratore assume i valori 1 → √2 → √3.

Disegna linee rette e determina le coordinate dei punti della loro intersezione con il cerchio. Se disegni linee rette orizzontali e verticali dai punti di un quadrante, i secondi punti di intersezione di queste linee con il cerchio avranno coordinate X E si con gli stessi valori assoluti ma segni diversi. In altre parole si possono tracciare linee orizzontali e verticali dai punti del primo quadrante e segnare i punti di intersezione con il cerchio con le stesse coordinate, ma allo stesso tempo lasciare spazio al segno corretto ("+" o "-") a sinistra.

Ad esempio, si può tracciare una linea orizzontale tra i punti π / 3 e 2π / 3 . Poiché il primo punto ha coordinate ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), le coordinate del secondo punto saranno (? 12 , ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))), dove viene inserito un punto interrogativo invece di un segno "+" o "-".
Usa il modo più semplice: presta attenzione ai denominatori delle coordinate del punto in radianti. Tutti i punti con denominatore 3 hanno gli stessi valori di coordinate assolute. Lo stesso vale per i punti con denominatori 4 e 6.

Usa le regole di simmetria per determinare il segno delle coordinate. Esistono diversi modi per determinare dove inserire il segno "-":

ricorda le regole di base per i grafici regolari. Asse X negativo a sinistra e positivo a destra. Asse si negativo dal basso e positivo dall'alto;
iniziare dal primo quadrante e tracciare linee verso altri punti. Se la linea attraversa l'asse si, coordinare X cambierà segno. Se la linea attraversa l'asse X, il segno della coordinata cambierà si;
ricordiamo che nel primo quadrante tutte le funzioni sono positive, nel secondo quadrante solo il seno è positivo, nel terzo quadrante solo la tangente è positiva, e nel quarto quadrante solo il coseno è positivo;
qualunque sia il metodo che usi, dovresti ottenere (+,+) nel primo quadrante, (-,+) nel secondo, (-,-) nel terzo e (+,-) nel quarto.

Controlla se hai commesso un errore. Di seguito è riportato un elenco completo delle coordinate dei punti "speciali" (ad eccezione di quattro punti sugli assi delle coordinate), se ci si sposta in senso antiorario lungo il cerchio unitario. Ricordiamo che per determinare tutti questi valori è sufficiente ricordare le coordinate dei soli punti del primo quadrante:

primo quadrante :( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
secondo quadrante :( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
terzo quadrante :( - 3 2 , - 1 2 (\ displaystyle - (\ frac (\ sqrt (3)) (2)), - (\ frac (1) (2)))); (- 2 2 , - 2 2 (\ displaystyle - (\ frac (\ sqrt (2)) (2)), - (\ frac (\ sqrt (2)) (2)))); (- 1 2 , - 3 2 (\ displaystyle - (\ frac (1) (2)), - (\ frac (\ sqrt (3)) (2))));
quarto quadrante :( 1 2 , - 3 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (2)), - (\ frac (\ sqrt (3)) (2)))); (2 2 , - 2 2 (\ displaystyle (\ frac (\ sqrt (2)) (2)), - (\ frac (\ sqrt (2)) (2)))); (3 2 , - 1 2 (\ displaystyle (\ frac (\ sqrt (3)) (2)), - (\ frac (1) (2)))).

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Il segno della funzione trigonometrica dipende esclusivamente dal quarto di coordinate in cui si trova l'argomento numerico. L'ultima volta abbiamo imparato come tradurre gli argomenti da una misura in radianti in una misura in gradi (vedi la lezione “Misura in radianti e gradi di un angolo”), e quindi determinare questo stesso quarto di coordinate. Occupiamoci ora, infatti, della definizione del segno di seno, coseno e tangente.

Il seno dell'angolo α è l'ordinata (coordinata y) di un punto su un cerchio trigonometrico, che si verifica quando il raggio viene ruotato attraverso l'angolo α.

Il coseno dell'angolo α è l'ascissa (coordinata x) di un punto su un cerchio trigonometrico, che si verifica quando il raggio ruota attraverso l'angolo α.

La tangente dell'angolo α è il rapporto tra seno e coseno. O, equivalentemente, il rapporto tra la coordinata y e la coordinata x.

Notazione: sin α = y ; cosα = x; tga = y : x .

Tutte queste definizioni ti sono familiari dal corso di algebra del liceo. Tuttavia, non siamo interessati alle definizioni stesse, ma alle conseguenze che si presentano sul cerchio trigonometrico. Guarda:

Il colore blu indica la direzione positiva dell'asse OY (asse delle ordinate), il colore rosso indica la direzione positiva dell'asse OX (asse delle ascisse). Su questo "radar" diventano evidenti i segni delle funzioni trigonometriche. In particolare:

sin α > 0 se l'angolo α giace nel I o II quarto di coordinata. Questo perché, per definizione, un seno è un'ordinata (coordinata y). E la coordinata y sarà positiva proprio nei quarti di coordinata I e II;
cos α > 0 se l'angolo α giace nel quarto di coordinata I o IV. Perché solo lì la coordinata x (è anche l'ascissa) sarà maggiore di zero;
tg α > 0 se l'angolo α giace nel I o III quarto di coordinata. Questo segue dalla definizione: dopo tutto, tg α = y : x , quindi è positivo solo dove i segni di x e y coincidono. Questo accade nel 1° quarto di coordinate (qui x > 0, y > 0) e nel 3° quarto di coordinate (x< 0, y < 0).

Per chiarezza, notiamo i segni di ciascuna funzione trigonometrica - seno, coseno e tangente - su un "radar" separato. Otteniamo la seguente immagine:

Nota: nel mio ragionamento non ho mai parlato della quarta funzione trigonometrica, la cotangente. Il fatto è che i segni della cotangente coincidono con i segni della tangente - non ci sono regole speciali lì.

Ora propongo di considerare esempi simili ai compiti B11 dell'esame di prova in matematica, che si è svolto il 27 settembre 2011. Dopotutto, il modo migliore per comprendere la teoria è la pratica. Preferibilmente molta pratica. Naturalmente, le condizioni dei compiti sono state leggermente modificate.

Compito. Determina i segni delle funzioni e delle espressioni trigonometriche (non è necessario considerare i valori delle funzioni stesse):

peccato(3π/4);

cos(7π/6);

marrone chiaro (5π/3);

sin(3π/4) cos(5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin(5π/6) cos(7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Il piano d'azione è il seguente: in primo luogo, convertiamo tutti gli angoli dalla misura in radianti alla misura in gradi (π → 180°), e poi guardiamo in quale quarto di coordinate si trova il numero risultante. Conoscendo i quartieri, possiamo facilmente trovare i segni - secondo le regole appena descritte. Abbiamo:

sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Poiché 135° ∈ , questo è un angolo dal II quadrante delle coordinate. Ma il seno nel secondo quarto è positivo, quindi sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Perché 210° ∈ , questo è un angolo dal quadrante delle coordinate III in cui tutti i coseni sono negativi. Pertanto, cos (7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Da 300° ∈ , siamo nel quadrante IV, dove la tangente assume valori negativi. Pertanto tg (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Affrontiamo il seno: perché 135° ∈ , questo è il secondo quarto, in cui i seni sono positivi, cioè sin (3π/4) > 0. Ora lavoriamo con il coseno: 150° ∈ - di nuovo il secondo quarto, i coseni sono negativi. Quindi cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Osserviamo il coseno: 120° ∈ è l'II quarto di coordinata, quindi cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Ancora una volta abbiamo ottenuto un prodotto in cui fattori di segni diversi. Poiché “un meno per un più dà un meno”, abbiamo: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Lavoriamo con il seno: da 150° ∈ , stiamo parlando del II quarto di coordinata, dove i seni sono positivi. Pertanto, sin (5π/6) > 0. Allo stesso modo, 315° ∈ è il quarto della coordinata IV, i coseni sono positivi. Pertanto, cos (7π/4) > 0. Abbiamo ottenuto il prodotto di due numeri positivi - tale espressione è sempre positiva. Concludiamo: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ma l'angolo 135° ∈ è il secondo quarto, cioè marrone chiaro (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Poiché “un meno più dà un segno meno”, abbiamo: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Osserviamo l'argomento della cotangente: 240° ∈ è il III quarto di coordinata, quindi ctg (4π/3) > 0. Allo stesso modo, per la tangente abbiamo: 30° ∈ è il I quarto di coordinata, cioè angolo più facile. Pertanto, tg (π/6) > 0. Di nuovo, abbiamo due espressioni positive: anche il loro prodotto sarà positivo. Quindi ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Infine, diamo un'occhiata ad alcuni problemi più complessi. Oltre a scoprire il segno della funzione trigonometrica, qui devi fare un piccolo calcolo, proprio come si fa nei problemi reali B11. In linea di principio, si tratta di compiti quasi reali che si trovano realmente nell'esame di matematica.

Compito. Trova sin α se sin 2 α = 0.64 e α ∈ [π/2; π].

Poiché sin 2 α = 0.64, abbiamo: sin α = ±0.8. Resta da decidere: più o meno? Per ipotesi, l'angolo α ∈ [π/2; π] è l'II quarto di coordinata, dove tutti i seni sono positivi. Pertanto, sin α = 0,8 - l'incertezza con i segni viene eliminata.

Compito. Trova cos α se cos 2 α = 0.04 e α ∈ [π; 3π/2].

Agiamo in modo simile, ad es. prendiamo la radice quadrata: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. Per ipotesi, l'angolo α ∈ [π; 3π/2], cioè stiamo parlando del III quarto di coordinate. Qui tutti i coseni sono negativi, quindi cos α = −0.2.

Compito. Trova sin α se sin 2 α = 0.25 e α ∈ .

Si ha: sin 2 α = 0.25 ⇒ sin α = ±0.5. Di nuovo guardiamo all'angolo: α ∈ è il quarto di coordinata IV, in cui, come sai, il seno sarà negativo. Quindi, concludiamo: sin α = −0.5.

Compito. Trova tg α se tg 2 α = 9 e α ∈ .

Tutto è uguale, solo per la tangente. Prendiamo la radice quadrata: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ma per condizione, l'angolo α ∈ è il quadrante delle coordinate I. Tutte le funzioni trigonometriche, incl. tangente, ci sono positivi, quindi tg α = 3. Ecco fatto!