Gli antipiretici per i bambini sono prescritti da un pediatra. Ma ci sono situazioni di emergenza per la febbre in cui il bambino ha bisogno di ricevere immediatamente medicine. Quindi i genitori si assumono la responsabilità e usano farmaci antipiretici. Cosa è consentito dare ai neonati? Come abbassare la temperatura nei bambini più grandi? Quali farmaci sono i più sicuri?
VETTORI
Vettori chiamati oggetti matematici ( UN, B, C, …), per la quale sono definite due operazioni algebriche:
somma di due vettori a+b=c
moltiplicazione di un vettore per un numero a un = b.
La caratteristica più significativa di queste operazioni è che danno sempre come risultato un vettore dello stesso tipo dei vettori originali. Pertanto, avendo un insieme iniziale di vettori, possiamo espanderlo gradualmente, ad es. ottenere sempre più nuovi vettori, applicando le operazioni di addizione e moltiplicazione per un numero ai vettori già esistenti. Alla fine, arriveremo a un insieme di vettori che non si espanderà più, ad es. risulta chiuso rispetto alle operazioni specificate. Tale insieme di vettori viene chiamato spazio vettoriale.
Se, durante l'esecuzione di queste operazioni, aggiuntivo condizioni di linearità :
UN( a+b)= UN un+ UN B
(UN + B) un = UN un+ B B
quindi viene chiamato lo spazio risultante lineare spazio (LP) o vettore lineare spazio (HDL). LCS può, insieme ai gruppi di simmetria, servire come un altro esempio di strutture matematiche che sono insiemi chiusi di oggetti dello stesso tipo e ordinati in un certo modo (con l'aiuto di operazioni algebriche).
Combinazioni lineari
Avendo le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per numeri, è possibile costruire una costruzione più complessa del tipo:
UN un+ B b+ G c + ..... = x
che è chiamato combinazione lineare (LC) vettori a, b, c, . . . con coefficienti a, b, g, . . . , rispettivamente.
Il concetto di LC ci consente di formulare alcune regole generali:
· qualsiasi LC di qualsiasi vettore di qualche LP è anche vettore dello stesso LP;
qualsiasi vettore di qualche PL può essere rappresentato come una LC di più vettori dello stesso PL;
in ogni LP esiste un insieme di vettori così distinto chiamato insieme di base (o semplicemente base ) che tutti, senza eccezione, i vettori di questo PL possono essere rappresentati come combinazioni lineari di questi vettori base selezionati. Ai vettori scelti come base viene imposta una condizione importante: devono esserlo linearmente indipendenti tra di loro (non dovrebbero essere espressi l'uno attraverso l'altro, vale a dire: X≠a× sì).
Queste regole consentono di introdurre un modo speciale di descrivere qualsiasi LP. Scegliamo un insieme di basi ed espandiamo tutti i vettori di nostro interesse in questa base (cioè li rappresentiamo sotto forma di vettori di base LK); quindi ciascun vettore può essere specificato univocamente mediante un insieme di coefficienti LC corrispondenti al vettore dato. Tali coefficienti sono chiamati coordinate vettore (rispetto alla base data). Sottolineiamo che le coordinate di un vettore sono numeri ordinari e la rappresentazione delle coordinate di un vettore ci consente di descriverlo solo mediante un insieme di numeri, indipendentemente dal significato fisico specifico che diamo al concetto di vettore.
Consideriamo un esempio specifico. Supponiamo di avere un insieme di diverse miscele di due sostanze chimiche pure: acqua e alcol. Tra tutte le miscele possibili ne segnaliamo due particolari:
1) miscela S1 contenente il 100% di acqua e lo 0% di alcol;
2) miscela S2 contenente lo 0% di acqua e il 100% di alcol.
È chiaro che una miscela arbitraria può essere rappresentata come una LC di queste due miscele base:
S = N 1 * S1 + N 2 * S2
e caratterizzarlo pienamente con due soli numeri-coordinate: N 1 e N 2. In altre parole, dato l'insieme di basi, possiamo stabilire l'equivalenza di una miscela chimica arbitraria e di un insieme di numeri:
S~ {N 1 , N 2 }.
Ora è sufficiente sostituire la parola chimica specifica “miscela” con il termine matematico astratto “vettore” per ottenere un modello HDL che descrive l'insieme delle miscele di due sostanze.
Concetto di vettore
Definizione 1.Vettoreè chiamato segmento orientato (o, che è lo stesso, coppia ordinata di punti).
Designare: (il punto A è l'inizio del vettore), il punto B è la fine del vettore) o con una lettera -.
Definizione 2.Lunghezza del vettore (modulo)è la distanza tra l'inizio e la fine del vettore. La lunghezza di un vettore è indicata con o.
Definizione 3.Vettore zero Viene chiamato un vettore il cui inizio e fine sono gli stessi. Designare:
Definizione 4.vettore unitarioè un vettore la cui lunghezza è uguale a uno.
Un vettore unitario che ha la stessa direzione di un dato vettore è chiamato vettore vettore ed è indicato con il simbolo .
Definizione 5. I vettori sono chiamati collineare, se si trovano sulla stessa linea o su linee parallele. Il vettore nullo è considerato collineare a qualsiasi vettore.
Definizione 6. I vettori sono chiamati pari se sono collineari, hanno la stessa lunghezza e la stessa direzione.
Operazioni lineari sui vettori
Definizione 7.Operazioni lineari sui vettori sono chiamate addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per un numero.
Definizione 8.La somma di due vettori si chiama vettore che va dall'inizio del vettore alla fine del vettore, a condizione che il vettore sia attaccato alla fine del vettore (regola del triangolo). Nel caso di vettori non collineari si può utilizzare la regola del parallelogramma invece della regola del triangolo: se i vettori u sono tracciati a partire da un'origine comune e su di essi è costruito un parallelogramma, allora la somma è un vettore coincidente con la diagonale di questo parallelogramma proveniente da un'origine comune u.
Definizione 9.La differenza di due vettori e si chiama vettore, il quale, sommato a un vettore, costituisce un vettore. Se due vettori e sono posticipati da un inizio comune, la loro differenza è un vettore che va dalla fine del vettore ("sottratto") alla fine del vettore ("ridotto").
Definizione 10. Si chiamano due vettori collineari di uguale lunghezza che puntano in direzioni opposte opposto. Viene indicato il vettore opposto al vettore.
Il prodotto di un vettore e di un numero si indica con α.
Alcune proprietà delle operazioni lineari
7)
;
Teorema 1.(Sui vettori collineari). Se e sono due vettori collineari e il vettore è diverso da zero, allora esiste un numero univoco x tale che = x
In particolare, un vettore diverso da zero e il suo orto sono legati dall'uguaglianza:=·.
Le proprietà formulate delle operazioni lineari consentono di trasformare espressioni composte da vettori secondo le consuete regole dell'algebra: puoi aprire parentesi, portare termini simili, trasferire alcuni termini in un'altra parte dell'uguaglianza con il segno opposto, ecc.
Esempio 1
Dimostrare le uguaglianze:
e scopri qual è il loro significato geometrico.
Soluzione. a) Sul lato sinistro dell'uguaglianza, apriamo le parentesi, diamo termini simili, otteniamo un vettore sul lato destro. Spieghiamo questa uguaglianza geometricamente. Dati due vettori, mettiamoli da parte dall'origine comune e osserviamo il parallelogramma e le sue diagonali, otteniamo:
§2 Combinazione lineare di vettori
Base vettoriale sull'aereo e nello spazio.
Definizione 1.Combinazione lineare di vettori ,, è la somma dei prodotti di questi vettori per alcuni numeri,,:++.
Definizione 2.base vettoriale qualsiasi coppia di vettori non collineari in questo piano è chiamata in un dato piano.
Il vettore è chiamato primo vettore base, secondo vettore.
Vale il seguente teorema.
Teorema 1. Se la base ,– base vettoriale in un piano, allora qualsiasi vettore di questo piano può essere rappresentato, e per di più in modo unico, come una combinazione lineare di vettori base: = x + y. (*)
Definizione 3. Viene chiamata l'uguaglianza (*) , e i numeri xey lo sono coordinate vettoriali nella base,(O rispetto alla base,). Se è chiaro in anticipo quale base viene discussa, scrivono brevemente: = (x, y). Dalla definizione delle coordinate di un vettore rispetto alla base segue che vettori uguali hanno corrispondentemente coordinate uguali.
Vengono chiamati due o più vettori nello spazio Complanare, se sono paralleli allo stesso piano o giacciono su quel piano.
Definizione 4.base vettoriale nello spazio vengono chiamati tre vettori qualsiasi , ,.
In questo caso il vettore si chiama primo vettore base, secondo e terzo.
Commento. 1. Tre vettori = (),= () e = () costituiscono la base dello spazio se il determinante composto dalle loro coordinate è diverso da zero:
.
2. Le principali disposizioni della teoria dei determinanti e come calcolarle sono considerate nel modulo 1 "algebra lineare".
Teorema 2. Permettere , , è una base vettoriale nello spazio. Quindi qualsiasi vettore nello spazio può essere rappresentato, e per di più in modo unico, come una combinazione lineare di vettori base , E:
X+y+z. (**)
Definizione 5. Si chiama uguaglianza (**). espansione del vettore in termini di base,,, e i numeri x, y, z sono le coordinate (componenti) del vettore nella base , ,.
Se è chiaro in anticipo quale base viene discussa, scrivono brevemente: = (x, y, z).
Definizione 6. Base , , è chiamato Ortonormale, se i vettori , , sono perpendicolari a due a due e hanno lunghezza unitaria. In questo caso viene adottata la notazione ,.
Azioni sui vettori dati dalle loro coordinate.
Teorema 3. Si scelga una base vettoriale sul piano , e rispetto ai suoi vettori e sono dati dalle loro coordinate: = (),= ().
Quindi =(),=( 
), cioè. quando si aggiungono o sottraggono vettori, vengono aggiunte o sottratte le loro coordinate con lo stesso nome; = ( ;), cioè quando un vettore viene moltiplicato per un numero, le sue coordinate vengono moltiplicate per quel numero.
Condizione di collinearità per due vettori
Teorema 4. Un vettore è collineare a un vettore diverso da zero se e solo se le coordinate del vettore sono proporzionali alle corrispondenti coordinate del vettoreat.e.
Le operazioni lineari sui vettori dati dalle loro coordinate nello spazio vengono eseguite in modo simile.
Esempio 1 Siano dati i vettori = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) in una qualche base vettoriale , ,. Trova le coordinate della combinazione lineare 2+3-4.
Soluzione. Introduciamo la notazione per la combinazione lineare=2+3+(-4).
Coefficienti di combinazione lineare =2,=3,=-4. Scriviamo questa uguaglianza vettoriale nella forma delle coordinate = (x, y, z) =:
2
Ovviamente, ciascuna coordinata di una combinazione lineare di vettori è uguale alla stessa combinazione lineare di coordinate con lo stesso nome, cioè
x \u003d 2 1 + 3 3 + (-4) 1 \u003d 7,
y = 2 2+3 2+(-4) 0=10,
z= 2 (-1)+3 1+(-4) 0=-3.
Coordinate vettoriali in base , , sarà:
Risposta:= {7,10,-3}.
Sistema di coordinate cartesiane generali (affini).
Definizione 7. Sia O un punto fisso, che chiameremo inizio.
Se M è un punto arbitrario, viene chiamato il vettore vettore del raggio punto M rispetto all'origine, in breve il raggio vettore del punto M.
Coordinate cartesiane (affini) su una linea
Sia data una certa linea retta nello spazio l. Scegliamo l'origine O che giace su questa retta. Inoltre, scegliamo sulla linea l vettore diverso da zero, che chiameremo vettore base.
Definizione 8. Sia il punto M sulla retta l. Poiché i vettori sono collineari, allora = x, dove x è un numero. Chiameremo questo numero coordinata punti M sulla retta.
L'origine O ha coordinate positive o negative, a seconda che le direzioni dei vettori siano uguali o opposte. La linea retta su cui le coordinate sono chiamate asse delle coordinate o asse OX.
L'introduzione di coordinate su una linea corrisponde ad un unico numero x, e viceversa esiste un unico punto M per il quale questo numero è una coordinata.
Coordinate cartesiane (affini) sul piano.
Scegliamo due vettori non collineari u sul piano O, che formano una base. Ovviamente, le lunghezze dei vettori possono essere diverse.
Definizione 9. L'insieme (0;;) del punto O e la base vettoriale , chiamato Sistema cartesiano (affine). in superficie.
Due rette passanti per O e parallele rispettivamente ai vettori , sono chiamati assi coordinati. Il primo di essi è solitamente chiamato asse delle ascisse ed è indicato con Ox, il secondo è l'asse delle ordinate ed è indicato con Oy.
Rappresenteremo sempre e giaceremo sugli assi delle coordinate corrispondenti.
Definizione 10.coordinate del punto M sul piano rispetto al sistema di coordinate cartesiane (affini) (0;;) si chiama coordinate del suo raggio vettore secondo la base:
X + y, allora i numeri xey saranno le coordinate di M rispetto al sistema di coordinate cartesiane (affini) (0;;). Viene chiamata la coordinata x ascissa punto M, coordinata y- ordinato punti M.
Quindi, se si sceglie un sistema di coordinate, (0;;) sul piano, allora ogni punto M del piano corrisponde ad un singolo punto M sul piano: questo punto è l'estremità del vettore
L'introduzione di un sistema di coordinate è alla base del metodo della geometria analitica, la cui essenza è quella di poter ridurre qualsiasi problema geometrico a problemi di aritmetica o algebra.
Definizione 11.Coordinate vettoriali sul piano rispetto al sistema di coordinate cartesiane (0;;) sono chiamate le coordinate di questo vettore in base,.
Per trovare le coordinate del vettore , è necessario espanderlo in termini di base ,:
X + y, dove i coefficienti x, y e saranno le coordinate del vettore rispetto al sistema cartesiano (0;;).
Sistema di coordinate cartesiane (affini) nello spazio.
Si fissi un punto O (inizio) nello spazio e si scelga una base vettoriale
Definizione 12. Viene chiamata la raccolta (0;;;). Sistema di coordinate cartesiano nello spazio.
Definizione 13. Tre rette passanti per O e parallele ai vettori , ,, chiamato assi coordinati e denotano rispettivamente Oz, Oy, Oz. Rappresenteremo sempre i vettori , giacenti sui rispettivi assi.
Definizione 14.coordinate del punto M nello spazio rispetto al sistema di coordinate cartesiane (0;;;) è chiamato le coordinate del suo raggio vettore in questo sistema.
In altre parole, le coordinate del punto M sono tre numeri x, y, z, rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto M; la terza coordinata z è detta applicata del punto M.
L'introduzione di un sistema di coordinate cartesiane nello spazio consente di stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti M dello spazio e triple ordinate di numeri x, y, z.
Definizione 15.Coordinate vettoriali nello spazio rispetto al sistema di coordinate cartesiane (0;;;) sono le coordinate di questo vettore in base;;.
Esempio 2
Dati tre vertici consecutivi del parallelogramma A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Trova la sua quarta coordinata D. Il sistema di coordinate è affine.
Soluzione.
I vettori sono uguali, il che significa che le loro coordinate sono uguali (coefficienti di una combinazione lineare):
= (3;2), =(4-x;-y); 
. Quindi D(1;-2).
Risposta: D(1;-2).
Dipendenza lineare. Concetto di base
Definizione 16. Vettori, chiamati linearmente dipendente, se ci sono i numeri
Questa definizione di dipendenza lineare dei vettori è equivalente a questa: i vettori sono linearmente dipendenti se uno di essi può essere rappresentato come una combinazione lineare degli altri (o espanso sugli altri).
I vettori, si dicono linearmente dipendenti se l'uguaglianza (***) è possibile nell'unico caso in cui
Il concetto di dipendenza lineare gioca un ruolo importante nell'algebra lineare. Nell'algebra vettoriale, la dipendenza lineare ha un significato geometrico semplice.
Due vettori collineari qualsiasi sono linearmente dipendenti e viceversa due vettori non collineari sono linearmente indipendenti.
Tre vettori complanari sono linearmente dipendenti e viceversa, tre vettori non complanari sono linearmente indipendenti.
Ogni quattro vettori sono linearmente dipendenti.
Definizione 17. Vengono chiamati tre vettori linearmente indipendenti la base dello spazio quelli. qualsiasi vettore può essere rappresentato come alcuni.
Definizione 18. Si chiamano due vettori linearmente indipendenti che giacciono su un piano base aerea, quelli. qualsiasi vettore che giace in questo piano può essere rappresentato come una combinazione lineare di vettori.
Compiti per una decisione indipendente.
vettori per trovare le coordinate in questa base.
In questo articolo tratteremo:
- cosa sono i vettori collineari;
- quali sono le condizioni per i vettori collineari;
- quali sono le proprietà dei vettori collineari;
- qual è la dipendenza lineare dei vettori collineari.
I vettori collineari sono vettori paralleli alla stessa retta o che giacciono sulla stessa retta.
Esempio 1
Condizioni per vettori collineari
Due vettori sono collineari se è vera una delle seguenti condizioni:
- condizione 1 . I vettori aeb sono collineari se esiste un numero λ tale che a = λ b ;
- condizione 2 . I vettori a e b sono collineari con uguale rapporto di coordinate:
a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2
- condizione 3 . I vettori a e b sono collineari a condizione che il prodotto vettoriale e il vettore zero siano uguali:
un ∥ b ⇔ un , b = 0
Osservazione 1
Condizione 2 non applicabile se una delle coordinate del vettore è zero.
Osservazione 2
Condizione 3 applicabile solo a quei vettori che sono dati nello spazio.
Esempi di problemi per lo studio della collinearità dei vettori
Esempio 1Esaminiamo i vettori a \u003d (1; 3) eb \u003d (2; 1) per collinearità.
Come decidere?
In questo caso è necessario utilizzare la 2a condizione di collinearità. Per dati vettori, assomiglia a questo:
L'uguaglianza è sbagliata. Da ciò possiamo concludere che i vettori a e b non sono collineari.
Risposta : un | | B
Esempio 2
Quale valore m del vettore a = (1 ; 2) e b = (- 1 ; m) è necessario affinché i vettori siano collineari?
Come decidere?
Utilizzando la seconda condizione collineare, i vettori saranno collineari se le loro coordinate sono proporzionali:
Ciò dimostra che m = - 2 .
Risposta: m = - 2 .
Criteri di dipendenza lineare e indipendenza lineare di sistemi di vettori
TeoremaUn sistema di vettori in uno spazio vettoriale è linearmente dipendente solo se uno dei vettori del sistema può essere espresso in termini del resto dei vettori del sistema.
Prova
Sia il sistema e 1 , e 2 , . . . , e n è linearmente dipendente. Scriviamo la combinazione lineare di questo sistema uguale al vettore zero:
un 1 e 1 + un 2 e 2 + . . . + a n e n = 0
in cui almeno uno dei coefficienti della combinazione non è uguale a zero.
Sia a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , N .
Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per un coefficiente diverso da zero:
a k - 1 (ak - 1 a 1) e 1 + (ak - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0
Denota:
A k - 1 am , dove m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n
In questo caso:
β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0
oppure e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n
Ne consegue che uno dei vettori del sistema è espresso in termini di tutti gli altri vettori del sistema. Questo è ciò che bisognava dimostrare (p.t.d.).
Adeguatezza
Sia uno dei vettori espresso linearmente in termini di tutti gli altri vettori del sistema:
e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Trasferiamo il vettore ek a destra di questa uguaglianza:
0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Poiché il coefficiente del vettore e k è uguale a - 1 ≠ 0 , otteniamo una rappresentazione non banale dello zero mediante un sistema di vettori e 1 , e 2 , . . . , e n , e questo, a sua volta, significa che il dato sistema di vettori è linearmente dipendente. Questo è ciò che bisognava dimostrare (p.t.d.).
Conseguenza:
- Un sistema di vettori è linearmente indipendente quando nessuno dei suoi vettori può essere espresso in termini di tutti gli altri vettori del sistema.
- Un sistema vettoriale che contiene un vettore nullo o due vettori uguali è linearmente dipendente.
Proprietà dei vettori linearmente dipendenti
- Per i vettori bidimensionali e tridimensionali la condizione è soddisfatta: due vettori linearmente dipendenti sono collineari. Due vettori collineari sono linearmente dipendenti.
- Per i vettori tridimensionali la condizione è soddisfatta: tre vettori linearmente dipendenti sono complanari. (3 vettori complanari - linearmente dipendenti).
- Per i vettori n-dimensionali la condizione è soddisfatta: n+1 vettori sono sempre linearmente dipendenti.
Esempi di risoluzione di problemi di dipendenza lineare o indipendenza lineare di vettori
Esempio 3Controlliamo i vettori a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 per l'indipendenza lineare.
Soluzione. I vettori sono linearmente dipendenti perché la dimensione dei vettori è inferiore al numero di vettori.
Esempio 4
Controlliamo i vettori a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 per l'indipendenza lineare.
Soluzione. Troviamo i valori dei coefficienti ai quali la combinazione lineare sarà uguale al vettore zero:
x1a + x2b + x3c1 = 0
Scriviamo l'equazione vettoriale sotto forma di equazione lineare:
x1 + x2 = 0 x1 + 2 x2 - x3 = 0 x1 + x3 = 0
Risolviamo questo sistema utilizzando il metodo di Gauss:
1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~
Dalla 2a riga sottraiamo la 1a, dalla 3a alla 1a:
~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~
Sottrarre il 2° dalla prima riga, aggiungere il 2° al 3°:
~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0
Dalla soluzione segue che il sistema ha molte soluzioni. Ciò significa che esiste una combinazione diversa da zero dei valori di tali numeri x 1 , x 2 , x 3 per la quale la combinazione lineare a , b , c è uguale al vettore zero. Quindi i vettori a , b , c lo sono linearmente dipendente.
Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio
Secondo questo criterio di compromesso, per ciascuna soluzione viene determinata una combinazione lineare dei payoff minimo e massimo
La seconda opzione prevede di concentrarsi su un criterio. Può essere scelto come uno degli indicatori standard che hanno un'interpretazione economica completamente comprensibile (ad esempio, uno dei rapporti di liquidità, rapporto di copertura degli interessi, ecc.), Oppure questo criterio è sviluppato sotto forma di un indicatore artificiale che generalizza criteri privati. Per questo criterio generalizzato viene fissato un valore soglia con il quale viene confrontato il valore effettivo del criterio calcolato per un potenziale mutuatario. La principale difficoltà nell’implementazione di questo approccio risiede nel metodo di costruzione di un indicatore generalizzato. Molto spesso si tratta di una combinazione lineare di criteri parziali, ciascuno dei quali è incluso nell'indicatore generale con un determinato coefficiente di ponderazione. È stato questo l'approccio utilizzato da E. Altman durante lo sviluppo del criterio Z per prevedere il fallimento.
Una riga e è detta combinazione lineare delle righe e, e-..., em di una matrice se
Il concetto di combinazione lineare, dipendenza lineare e indipendenza dei vettori e, e2. f em sono simili ai concetti corrispondenti per le righe della matrice e, e2,..., em (11.5).
Come mostrato in , per insiemi ammissibili limitati e convessi (2.14), il vettore x% 0 che soddisfa il vincolo A xk bk può essere rappresentato come una combinazione lineare convessa di un insieme finito di punti estremi
La procedura di ottimizzazione per il calcolo dei valori limite degli elementi a e delle loro combinazioni lineari è in gran parte priva di questi inconvenienti.
È ovvio che anche il punto (X1, q) ottenuto dalla combinazione lineare di (A/, q) e (L., q") è soluzione del sistema (4.43), (4.44).
In questa sezione considereremo le regole per il calcolo dell'aspettativa matematica e della varianza di una variabile casuale multivariata, che è una combinazione lineare di variabili casuali correlate
Pertanto, per una combinazione lineare di un numero arbitrario di variabili casuali, otteniamo
Consideriamo il caso in cui l'investimento viene effettuato in più attività (portafoglio). Un portafoglio è una combinazione lineare di asset, ciascuno dei quali ha il proprio rendimento atteso e la propria dispersione dei rendimenti.
A differenza di una combinazione lineare arbitraria di variabili casuali, i pesi degli asset obbediscono alla regola di normalizzazione
Nel paragrafo precedente si è visto che quando il coefficiente di correlazione tra asset è inferiore a 1, la diversificazione del portafoglio può migliorare il rapporto tra rendimento atteso e rischio atteso. Ciò è dovuto al fatto che il rendimento atteso di un portafoglio è una combinazione lineare dei rendimenti attesi delle attività incluse nel portafoglio, e la varianza del portafoglio è una funzione quadratica della s.d. inclusi nel portafoglio di beni.
Poiché la funzione discriminante dipende solo da una combinazione lineare di input, il neurone è un discriminatore lineare. In alcune situazioni più semplici, un discriminatore lineare è il migliore possibile, cioè nel caso in cui le probabilità di appartenenza alla classe k dei vettori di input sono date da distribuzioni gaussiane
Per essere più precisi, gli output della rete Oya sono combinazioni lineari dei primi componenti principali W. Per ottenere esattamente i componenti principali stessi, nella regola di Oya è sufficiente sostituire la somma di tutti gli output con
I vettori b costituiscono anche la cosiddetta base minima. Cioè questo è il numero minimo di vettori, con l'aiuto di una combinazione lineare di cui si possono rappresentare tutti i vettori memorizzati
La seguente procedura sistematica è in grado di estrarre iterativamente le caratteristiche più significative che sono combinazioni lineari di variabili di input X = W X (un sottoinsieme di input è un caso speciale di combinazione lineare, cioè formalmente si può trovare una soluzione migliore di quella disponibile da selezionando le combinazioni più significative di input).
Nel corso dell'analisi, per caratterizzare vari aspetti della condizione finanziaria, vengono utilizzati come. indicatori assoluti e rapporti finanziari, che sono indicatori relativi della condizione finanziaria. Questi ultimi sono calcolati come rapporti di indicatori assoluti della condizione finanziaria o loro combinazioni lineari. Secondo la classificazione di N.A. Blatov, uno dei fondatori della scienza dell'equilibrio, gli indicatori relativi della condizione finanziaria sono divisi in coefficienti di distribuzione e vengono utilizzati nei casi in cui è necessario determinare quale parte dell'uno o dell'altro
Una combinazione lineare di vettori è un'espressione della forma: 
, dove sono numeri reali, detti coefficienti della combinazione lineare.
Definizione di indipendenza lineare dei vettori
Un sistema di vettori À 1 ,À 2 ,…À n si dice linearmente indipendente se la combinazione lineare di questi vettori λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An è uguale al vettore nullo solo per un insieme nullo di numeri λ1, λ2,..., λn, cioè il sistema di equazioni: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ ha unica soluzione nulla.
Determinazione della dipendenza lineare dei vettori
Due vettori piani sono linearmente dipendenti se e solo se sono collineari.
Due vettori si dicono collineari se giacciono sulla stessa retta o su rette parallele.
Teorema della dipendenza lineare dei vettori
Teorema sulla rappresentazione di una stringa come combinazione lineare di stringhe indipendenti
Ogni riga della matrice A può essere rappresentata come una combinazione lineare di righe indipendenti della matrice A.
Lascia che la matrice A abbia rango r, allora esiste un minore di ordine r diverso da 0, aggiungi la i-esima riga e la j-esima colonna a questo minore
| un 11 | un 12 | … | un 1r | un 1j |
| un 21 | un 22 | … | un 2r | un 2j |
| … | … | … | … | … |
| un 41 | un 42 | … | un 4r | a4j |
| un i1 | un i2 | … | aria | aij |
Mr =
Mr+1 =0; Perché rango A=r (come minore di ordine superiore a r). Questo minore può essere espanso nell'ultima colonna.
[а 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0
Dividi tutto per M r e introduci A ij /((-1) i+j M r)=λ i
a ij = λ 1 a 1j +λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j, dove j=r+1 questa uguaglianza vale anche per j=1 m
81. Il teorema sulla rappresentazione di una colonna come combinazione lineare di indipendenti colonne
Teorema sulla relazione tra il rango di una matrice e il numero di righe/colonne indipendenti
Il rango della matrice A è uguale al numero delle sue righe/colonne indipendenti. Sia la matrice A (m*n) ad avere rango r
| un 11 | un 12 | … | un 1r |
| un 21 | un 22 | … | un 2r |
| … | … | … | … |
| un 21 | un 22 | … | un 2r |
Esiste un minore di ordine r = 0; (e 1….. e r ) sono linearmente indipendenti
Sia il contrario: e r = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1
Eseguiamo la conversione ele-s. non cambiando il determinante di questo minore (M r)
er - λ 1 e 1 - λ 2 e 2
e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 – λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1
Quindi otteniamo l'ultima riga composta da 0, ma poi M r = 0, la nostra ipotesi è sbagliata!
Determinanti
Proprietà dei determinanti. N. 01. (Recepimento)
Il determinante della matrice trasposta è uguale al determinante della matrice originaria: .
Prova. Per definizione,
Quando si traspone una matrice UN c'è solo una riorganizzazione dei termini in questa somma.
Proprietà dei determinanti. N. 02. (Riorganizzazione di righe o colonne).
Se due righe o due colonne qualsiasi vengono scambiate nel determinante, il determinante cambia segno nel contrario.
Prova. Per il Teorema 1, qualsiasi trasposizione cambia la parità della permutazione. Pertanto, quando due righe (colonne) vengono permutate, ciascun addendo cambia segno nell'opposto.
