Per quanto tempo è valida la divergenza o l'estremo. Come trovare l'estremo (punti di minimo e massimo) di una funzione. Località degli estremi della funzione

Consideriamo la funzione y = f(x), che è considerata sull'intervallo (a, b).

Se è possibile specificare un b-vicinato del punto x1 appartenente all'intervallo (a, b) tale che per ogni x (x1, b) sia soddisfatta la disuguaglianza f(x1) > f(x), allora y1 = f1(x1) viene chiamato funzione massima y = f(x) vedi fig.

Il massimo della funzione y = f(x) è indicato da max f(x). Se è possibile specificare un 6-vicinanze del punto x2 appartenente all'intervallo (a, b) tale che per ogni x appartenga a O(x2, 6), x non è uguale a x2, la disuguaglianza f(x2)< f(x) , allora y2= f(x2) è detto minimo della funzione y-f(x) (vedi Fig.).

Un esempio di come trovare il massimo, vedere il seguente video

Funzionalità Minimo

Il minimo della funzione y = f(x) è indicato da min f(x). In altre parole, il massimo o il minimo di una funzione y = f(x) chiamato il suo valore, che è maggiore (minore) di tutti gli altri valori presi in punti sufficientemente vicini a quello dato e diversi da esso.

Osservazione 1. Massima funzionalità, determinato dalla disuguaglianza è detto massimo stretto; il massimo non rigoroso è definito dalla disuguaglianza f(x1) > = f(x2)

Osservazione 2. avere un carattere locale (questi sono i valori più grandi e più piccoli della funzione in un intorno sufficientemente piccolo del punto corrispondente); i minimi individuali di una funzione possono essere maggiori dei massimi della stessa funzione

Di conseguenza, viene chiamato il massimo (minimo) della funzione massimo locale(minimo locale) in contrasto con il massimo assoluto (minimo) - il valore più grande (più piccolo) nel dominio della funzione.

Il massimo e minimo di una funzione si dice estremo. . Estremi in find per tracciare funzioni

latino extremum significa "estremo" Senso. Il valore dell'argomento x, al quale viene raggiunto l'estremo, è chiamato punto estremo. La condizione necessaria per un estremo è espressa dal seguente teorema.

Teorema. Nel punto di estremo della funzione differenziabile e la sua derivata è uguale a zero.

Il teorema ha un semplice significato geometrico: la tangente al grafico di una funzione differenziabile nel punto corrispondente è parallela all'asse x

1°. Determinazione dell'estremo di una funzione.

Il concetto di massimo, minimo, estremo di una funzione di due variabili è simile ai corrispondenti concetti di una funzione di una variabile indipendente.

Lascia la funzione z=F(X; si) definita in qualche area D, punto N(x0 ;y0) D.

Punto (x0 ;y0) chiamato punto massimo funzioni z.z= F(X;si ), se esiste tale -vicinanza di un punto (x0 ;e 0), che per ogni punto (x;y), diverso da (x0 ;y0) questo quartiere soddisfa la disuguaglianza F(X;si)< F(x0 ;y0). Figura 12: N 1 - punto massimo, a N2- punto di minimo della funzione z=F(X;si).

Il punto minimo funzioni: per tutti i punti (x0 ;e 0), altro che (x0 ;e 0), dalla d-vicinanza del punto (x0 ;y0) vale la seguente disuguaglianza: F(x0 ;e 0) >F(x0 ;y0).

Allo stesso modo, viene determinato l'estremo di una funzione di tre o più variabili.

Viene chiamato il valore della funzione nel punto di massimo (minimo). massimo (minimo) funzioni.

Viene chiamato il massimo e il minimo di una funzione estrema.

Si noti che, in virtù della definizione, il punto estremo della funzione giace all'interno del dominio della funzione; massimo e minimo sono Locale Carattere (locale): il valore di una funzione in un punto (x0 ;y0) viene confrontato con i suoi valori in punti sufficientemente vicini a (x0 ;y0). In zona D Una funzione può avere diversi estremi o nessuno.

2°. Condizioni necessarie per un estremo.

Consideriamo le condizioni per l'esistenza di un estremo di una funzione.

Geometricamente uguale F"si (x0 ;y0)= 0 e F"si (x0 ;e 0) = 0 significa che nel punto estremo della funzione z.z = F(X; si) piano tangente alla superficie raffigurante la funzione F(X; io), parallela al piano Oh oh poiché l'equazione del piano tangente è z=z0.

Commento. Una funzione può avere un estremo nei punti in cui almeno una delle derivate parziali non esiste. Ad esempio, la funzione ha un massimo nel punto DI(0;0), ma a questo punto non ha derivate parziali.

Il punto in cui le derivate parziali di primo ordine di una funzione z.z = F(X;si) sono uguali a zero, cioè F"X = 0, F" e= 0, chiamato punto stazionario funzioni z.z.

Vengono chiamati punti stazionari e punti in cui non esiste almeno una derivata parziale punti critici.

Nei punti critici, la funzione può avere o meno un estremo. L'uguaglianza a zero delle derivate parziali è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza di un estremo. Si consideri, ad esempio, la funzione z.z = uh. Per esso, il punto 0 (0; 0) è critico (svaniscono su di esso). Tuttavia, la funzione estrema in esso z = xy non ha, perché in un intorno sufficientemente piccolo del punto O(0;0) ci sono punti per i quali z > 0 (punti I e III quarti) e z.z< 0 (punti II e IV quarti).

Pertanto, per trovare gli estremi della funzione in una data regione, è necessario sottoporre ogni punto critico della funzione a uno studio aggiuntivo.

I punti stazionari si trovano risolvendo il sistema di equazioni

(condizioni necessarie per un estremo).

Il sistema (1) è equivalente a un'equazione df(x,y)=0. In generale, nel punto estremo P(a, b) funzioni f(x,y) O df(x,y)=0, O df(a, b) non esiste.

3°. Condizioni sufficienti per un estremo. Permettere P(a;b)- punto stazionario della funzione F(x,y), cioè. . df(à, b) = 0. Poi:

e se d2f (a, b)< 0 a , allora F(a, b) C'è massimo funzioni F (x, y);

b) se d2f (à, b) > 0 a , allora F(a, b)C'è minimo funzioni F (x,y);

c) se d2f (a, b) cambia segno, quindi F (a, b) non è un estremo della funzione F (x, y).

Le condizioni di cui sopra sono equivalenti alle seguenti: let E . Componiamo discriminante ∆=CA-B2.

1) se Δ > 0, allora la funzione ha un estremo nel punto P (a; b) ovvero il massimo if UN<0 (O CON<0 ), e il minimo if A>0(O С>0);

2) se Δ< 0, то экстремума в точке P(a;b) NO;

3) se Δ = 0, allora la questione della presenza di un estremo della funzione in un punto P(a;b) rimane aperto (richiede ulteriori studi).

4°. Il caso di una funzione a più variabili. Per una funzione di tre o più variabili, le condizioni necessarie per l'esistenza di un estremo sono simili alle condizioni (1), e le condizioni sufficienti sono simili alle condizioni a), b), c) 3°.

Esempio. Studiare una funzione per un estremo z=x³+3xy²-15x-12y.

Soluzione. Troviamo le derivate parziali e componiamo il sistema di equazioni (1):

Risolvendo il sistema si ottengono quattro punti stazionari:

Troviamo le derivate del 2° ordine

e fai il discriminante ∆=CA - B² per ogni punto stazionario.

1) Per punto: , ∆=AC-B²=36-144<0 . Quindi non c'è l'estremo nel punto.

2) Per il punto P2: LA=12, SI=6, DO=12; Δ=144-36>0, A>0. Nel punto P2, la funzione ha un minimo. Questo minimo è uguale al valore della funzione at x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) Per punto: LA=-6, SI=-12, DO=-6; Δ = 36-144<0 . Non c'è estremo.

4) Per il punto P 4: LA=-12, SI=-6, DO=-12; Δ=144-36>0. Nel punto P4 la funzione ha un massimo pari a Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Estremo condizionale. Nel caso più semplice estremo condizionale funzioni F(x,y) è il massimo o il minimo di questa funzione, raggiunto a condizione che i suoi argomenti siano correlati dall'equazione φ(x,y)=0 (equazione di connessione). Trovare l'estremo condizionale di una funzione F(x, y) in presenza della relazione φ(x,y) = 0, costituiscono il cosiddetto Funzione di Lagrange

F(X ,y )=F(X ,si )+λφ (X ,si ),

dove λ è un fattore costante indeterminato e cerca il solito estremo di questa funzione ausiliaria. Le condizioni necessarie per un estremo sono ridotte a un sistema di tre equazioni

con tre incognite x, y, λ, da cui, in generale, si possono determinare queste incognite.

La questione dell'esistenza e della natura dell'estremo condizionale viene risolta sulla base dello studio del segno del secondo differenziale della funzione di Lagrange

per il sistema di valori collaudato x, y, λ ottenuto da (2) a condizione che dx E du legati dall'equazione

.

Ovvero, la funzione F(x,y) ha un massimo condizionale se d²F< 0 e un minimo condizionale if d²F>0. In particolare, se il discriminante Δ per la funzione F(x,y) in un punto stazionario è positivo, quindi a questo punto c'è un massimo condizionale della funzione F(x, y), Se UN< 0 (o CON< 0) e un minimo condizionale if A > O(O С>0).

Analogamente, l'estremo condizionale di una funzione di tre o più variabili si trova in presenza di una o più equazioni di connessione (il cui numero, però, deve essere minore del numero di variabili). Qui è necessario introdurre nella funzione di Lagrange tanti fattori indeterminati quante sono le equazioni di connessione.

Esempio. Trova l'estremo di una funzione z=6-4x-3si a condizione che le variabili X E A soddisfare l'equazione x²+y²=1.

Soluzione. Geometricamente, il problema si riduce a trovare i valori massimo e minimo dell'applicata z.z aereo z=6 - 4x - Zu per i punti di intersezione con il cilindro x2+y2=1.

Comporre la funzione di Lagrange F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Abbiamo . Le condizioni necessarie danno il sistema di equazioni

risolvendo che troviamo:

.

,

d²F=2λ (dx²+dy²).

Se e poi d²F > 0, e, quindi, a questo punto la funzione ha un minimo condizionale. Se poi d²F<0, e, quindi, a questo punto la funzione ha un massimo condizionale.

Così,

6°. I valori più grandi e più piccoli della funzione.

Lascia la funzione z=F(X; si) definito e continuo in un dominio chiuso e limitato . Poi raggiunge in alcuni punti il suo più grande M e minimo T valori (cd. estremo globale). Questi valori vengono raggiunti dalla funzione in punti situati all'interno della regione , o in punti che si trovano sul confine della regione.

Da questo articolo, il lettore apprenderà cos'è un valore estremo di valore funzionale, nonché le caratteristiche del suo utilizzo nella pratica. Lo studio di un tale concetto è estremamente importante per comprendere i fondamenti della matematica superiore. Questo argomento è fondamentale per uno studio più approfondito del corso.

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Cos'è un estremo?

Nel corso scolastico vengono fornite molte definizioni del concetto di "estremo". Questo articolo ha lo scopo di fornire la più profonda e chiara comprensione del termine a coloro che ignorano la questione. Quindi, il termine è inteso in che misura l'intervallo funzionale acquisisce un valore minimo o massimo su un particolare insieme.

L'estremo è sia il valore minimo della funzione che il massimo allo stesso tempo. C'è un punto minimo e un punto massimo, cioè i valori estremi dell'argomento sul grafico. Le principali scienze in cui viene utilizzato questo concetto:

• statistiche;
• controllo della macchina;
• econometria.

I punti estremi giocano un ruolo importante nel determinare la sequenza di una data funzione. Il sistema di coordinate sul grafico al suo meglio mostra il cambiamento nella posizione estrema a seconda del cambiamento nella funzionalità.

Estremi della funzione derivata

Esiste anche una cosa come un "derivato". È necessario determinare il punto estremo. È importante non confondere i punti minimo o massimo con i valori più grandi e più piccoli. Questi sono concetti diversi, anche se possono sembrare simili.

Il valore della funzione è il fattore principale nel determinare come trovare il punto massimo. La derivata non è formata dai valori, ma esclusivamente dalla sua posizione estrema in un ordine o nell'altro.

La derivata stessa è determinata in base ai dati dei punti estremi e non al valore più grande o più piccolo. Nelle scuole russe, il confine tra questi due concetti non è chiaramente tracciato, il che influisce sulla comprensione di questo argomento in generale.

Consideriamo ora una cosa come un "estremo acuto". Ad oggi esiste un valore minimo acuto e un valore massimo acuto. La definizione è data in accordo con la classificazione russa dei punti critici di una funzione. Il concetto di punto estremo è la base per trovare punti critici su un grafico.

Per definire tale concetto, viene utilizzato il teorema di Fermat. È il più importante nello studio dei punti estremi e dà un'idea chiara della loro esistenza in una forma o nell'altra. Per garantire l'estremo, è importante creare determinate condizioni per diminuire o aumentare sul grafico.

Per rispondere con precisione alla domanda "come trovare il punto massimo", è necessario seguire queste disposizioni:

1. Trovare l'esatta area di definizione sul grafico.
2. Cerca la derivata di una funzione e un punto estremo.
3. Risolvi le disuguaglianze standard per il dominio dell'argomento.
4. Saper dimostrare in quali funzioni un punto su un grafo è definito e continuo.

Attenzione! La ricerca di un punto critico di una funzione è possibile solo se esiste una derivata almeno del secondo ordine, che è assicurata da un'elevata proporzione della presenza di un punto di estremo.

Condizione necessaria per l'estremo della funzione

Affinché esista un estremo, è importante che vi siano sia punti di minimo che punti di massimo. Se questa regola viene osservata solo parzialmente, viene violata la condizione per l'esistenza di un estremo.

Ogni funzione in qualsiasi posizione deve essere differenziata per identificare i suoi nuovi significati. È importante capire che il caso in cui un punto svanisce non è il principio fondamentale per trovare un punto differenziabile.

Un estremo acuto, così come un minimo di funzione, è un aspetto estremamente importante della risoluzione di un problema matematico utilizzando valori estremi. Per comprendere meglio questo componente è importante fare riferimento ai valori tabulari per la definizione del funzionale.

Estremità funzionale

Per trovare il valore di cui sopra, è necessario rispettare le seguenti regole:

• determinare la condizione necessaria per il rapporto estremale;
• tenere conto della condizione sufficiente dei punti estremi sul grafico;
• effettui il calcolo di un estremo acuto.

Esistono anche concetti come minimo debole e minimo forte. Questo deve essere preso in considerazione quando si determina l'estremo e il suo calcolo esatto. Allo stesso tempo, la funzionalità nitida è la ricerca e la creazione di tutte le condizioni necessarie per lavorare con il grafico delle funzioni.

Il punto estremo di una funzione è il punto nel dominio della funzione in cui il valore della funzione assume un valore minimo o massimo. I valori della funzione in questi punti sono chiamati estremi (minimo e massimo) della funzione.

Definizione. Punto X1 portata della funzione F(X) è chiamato punto massimo della funzione , se il valore della funzione in questo punto è maggiore dei valori della funzione in punti abbastanza vicini ad essa, situati a destra e a sinistra di essa (ovvero la disuguaglianza F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 massimo.

Definizione. Punto X2 portata della funzione F(X) è chiamato punto di minimo della funzione, se il valore della funzione in questo punto è inferiore ai valori della funzione in punti abbastanza vicini ad essa, situati a destra e a sinistra di essa (ovvero la disuguaglianza F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). In questo caso si dice che la funzione ha al punto X2 minimo.

Diciamo il punto X1 - punto massimo della funzione F(X). Poi nell'intervallo fino a X1 funzione aumenta, quindi la derivata della funzione è maggiore di zero ( F "(X) > 0 ), e nell'intervallo successivo X1 la funzione è decrescente, quindi funzione derivata minore di zero ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Supponiamo anche che il punto X2 - punto di minimo della funzione F(X). Poi nell'intervallo fino a X2 la funzione è decrescente e la derivata della funzione è minore di zero ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 la funzione è crescente e la derivata della funzione è maggiore di zero ( F "(X) > 0). In questo caso anche al punto X2 la derivata della funzione è zero o non esiste.

Il teorema di Fermat (un criterio necessario per l'esistenza di un estremo di una funzione). Se punto X0 - punto estremo della funzione F(X), allora a questo punto la derivata della funzione è uguale a zero ( F "(X) = 0 ) o non esiste.

Definizione. Vengono chiamati i punti in cui la derivata di una funzione è uguale a zero o non esiste punti critici .

Esempio 1 Consideriamo una funzione.

Al punto X= 0 la derivata della funzione è uguale a zero, quindi il punto X= 0 è il punto critico. Tuttavia, come si può vedere sul grafico della funzione, aumenta nell'intero dominio di definizione, quindi il punto X= 0 non è un punto estremo di questa funzione.

Pertanto, le condizioni che la derivata di una funzione in un punto sia uguale a zero o non esista sono condizioni necessarie per un estremo, ma non sufficienti, poiché si possono dare altri esempi di funzioni per le quali queste condizioni sono soddisfatte, ma la funzione non ha un estremo nel punto corrispondente. Ecco perché deve avere indicazioni sufficienti, che consentono di giudicare se esiste un estremo in un particolare punto critico e quale - un massimo o un minimo.

Teorema (il primo criterio sufficiente per l'esistenza di un estremo di una funzione). Punto critico X0 F(X) , se la derivata della funzione cambia segno passando per questo punto, e se il segno cambia da "più" a "meno", allora il punto massimo, e se da "meno" a "più", allora il punto minimo .

Se vicino al punto X0 , a sinistra ea destra di essa, la derivata mantiene il suo segno, ciò significa che la funzione o diminuisce o aumenta solo in qualche intorno del punto X0 . In questo caso, al punto X0 non c'è l'estremo.

COSÌ, per determinare i punti estremi della funzione, devi fare quanto segue :

1. Trova la derivata di una funzione.
2. Uguagliare la derivata a zero e determinare i punti critici.
3. Mentalmente o su carta, segna i punti critici sull'asse numerico e determina i segni della derivata della funzione negli intervalli risultanti. Se il segno della derivata cambia da "più" a "meno", allora il punto critico è il punto massimo, e se da "meno" a "più", allora il punto critico è il punto minimo.
4. Calcolare il valore della funzione nei punti estremi.

Esempio 2 Trova gli estremi di una funzione .

Soluzione. Troviamo la derivata della funzione:

Uguagliare la derivata a zero per trovare i punti critici:

.

Poiché per qualsiasi valore di "x" il denominatore non è uguale a zero, equipariamo il numeratore a zero:

Ho un punto critico X= 3. Determiniamo il segno della derivata negli intervalli delimitati da questo punto:

nell'intervallo da meno infinito a 3 - segno meno, ovvero la funzione diminuisce,

nell'intervallo da 3 a più infinito - un segno più, cioè la funzione aumenta.

Cioè punto X= 3 è il punto minimo.

Trova il valore della funzione nel punto di minimo:

Quindi, si trova il punto estremo della funzione: (3; 0) , ed è il punto minimo.

Teorema (il secondo criterio sufficiente per l'esistenza di un estremo di una funzione). Punto critico X0 è il punto estremo della funzione F(X), se la derivata seconda della funzione a questo punto non è uguale a zero ( F ""(X) ≠ 0 ), inoltre, se la derivata seconda è maggiore di zero ( F ""(X) > 0 ), allora il punto di massimo, e se la derivata seconda è minore di zero ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Osservazione 1. Se in un punto X0 svaniscono sia la derivata prima che la derivata seconda, quindi a questo punto è impossibile giudicare la presenza di un estremo in base al secondo segno sufficiente. In questo caso, è necessario utilizzare il primo criterio sufficiente per l'estremo della funzione.

Osservazione 2. Il secondo criterio sufficiente per l'estremo di una funzione è inapplicabile anche quando la derivata prima non esiste nel punto stazionario (quindi non esiste nemmeno la derivata seconda). Anche in questo caso è necessario utilizzare il primo criterio sufficiente per l'estremo della funzione.

Località degli estremi della funzione

Dalle definizioni di cui sopra segue che l'estremo di una funzione è di natura locale - questo è il valore più grande e più piccolo della funzione rispetto ai valori più vicini.

Supponiamo di considerare i tuoi guadagni in un arco di tempo di un anno. Se a maggio hai guadagnato 45.000 rubli, ad aprile 42.000 rubli ea giugno 39.000 rubli, i guadagni di maggio sono il massimo della funzione dei guadagni rispetto ai valori più vicini. Ma in ottobre hai guadagnato 71.000 rubli, in settembre 75.000 rubli e in novembre 74.000 rubli, quindi i guadagni di ottobre sono il minimo della funzione dei guadagni rispetto ai valori vicini. E si vede facilmente che il massimo tra i valori di aprile-maggio-giugno è inferiore al minimo di settembre-ottobre-novembre.

In generale, una funzione può avere diversi estremi su un intervallo e può risultare che qualsiasi minimo della funzione sia maggiore di qualsiasi massimo. Quindi, per la funzione mostrata nella figura sopra, .

Cioè, non si dovrebbe pensare che il massimo e il minimo della funzione siano, rispettivamente, i suoi valori massimo e minimo sull'intero segmento considerato. Nel punto di massimo, la funzione ha il valore massimo solo rispetto a quei valori che ha in tutti i punti sufficientemente vicini al punto massimo, e nel punto minimo, il valore più piccolo solo rispetto a quei valori che abbia in tutti i punti sufficientemente vicino al punto di minimo.

Pertanto, possiamo affinare il concetto di punti estremi di una funzione data sopra e chiamare i punti di minimo punti di minimo locale e i punti di massimo - punti di massimo locale.

Cerchiamo insieme gli estremi della funzione

Esempio 3

Soluzione La funzione è definita e continua su tutta la retta numerica. Il suo derivato esiste anche sull'intera linea dei numeri. Pertanto, in questo caso, solo quelli in cui , ad es., fungono da punti critici. , donde e . Punti critici e dividono l'intero dominio della funzione in tre intervalli di monotonicità: . Selezioniamo un punto di controllo in ciascuno di essi e troviamo il segno della derivata in questo punto.

Per l'intervallo, il punto di riferimento può essere: troviamo . Prendendo un punto nell'intervallo, otteniamo , e prendendo un punto nell'intervallo, abbiamo . Quindi, negli intervalli e , e nell'intervallo . Secondo il primo segno sufficiente di un estremo, non c'è estremo nel punto (poiché la derivata mantiene il segno nell'intervallo ), e la funzione ha un minimo nel punto (poiché la derivata cambia segno da meno a più quando passa attraverso questo punto). Trova i valori corrispondenti della funzione: , e . Nell'intervallo, la funzione diminuisce, poiché in questo intervallo , e nell'intervallo aumenta, poiché in questo intervallo.

Per chiarire la costruzione del grafico, troviamo i punti di intersezione di esso con gli assi delle coordinate. Quando otteniamo un'equazione le cui radici e , cioè due punti (0; 0) e (4; 0) del grafico della funzione si trovano. Utilizzando tutte le informazioni ricevute, costruiamo un grafico (vedi all'inizio dell'esempio).

Per l'autocontrollo durante i calcoli, puoi usare calcolatore di derivati ​​​​online .

Esempio 4 Trova gli estremi della funzione e costruisci il suo grafico.

Il dominio della funzione è l'intera linea numerica, ad eccezione del punto, cioè .

Per abbreviare lo studio, possiamo usare il fatto che questa funzione è pari, poiché . Pertanto, il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse Ehi e lo studio può essere eseguito solo per l'intervallo .

Trovare la derivata e punti critici della funzione:

1) ;

2) ,

ma la funzione subisce un'interruzione a questo punto, quindi non può essere un punto estremo.

Pertanto, la funzione data ha due punti critici: e . Tenendo conto della parità della funzione, controlliamo solo il punto con il secondo segno sufficiente dell'estremo. Per fare questo, troviamo la derivata seconda e determinarne il segno in : otteniamo . Poiché e , allora è il punto di minimo della funzione, mentre .

Per avere un quadro più completo del grafico della funzione, scopriamo il suo comportamento ai limiti del dominio di definizione:

(qui il simbolo indica il desiderio X a zero a destra, e X rimane positivo; allo stesso modo significa aspirazione X a zero a sinistra, e X rimane negativo). Quindi, se , allora . Successivamente, troviamo

,

quelli. se poi .

Il grafico della funzione non ha punti di intersezione con gli assi. L'immagine è all'inizio dell'esempio.

Per l'autocontrollo durante i calcoli, puoi usare calcolatore di derivati ​​​​online .

Continuiamo a cercare insieme gli estremi della funzione

Esempio 8 Trova gli estremi della funzione .

Soluzione. Trova il dominio della funzione. Poiché la disuguaglianza deve valere, otteniamo da .

Troviamo la prima derivata della funzione.

Senso

Più grande

Senso

Meno

Punto massimo

Punto basso

I compiti di trovare i punti estremi della funzione sono risolti secondo lo schema standard in 3 passaggi.

Passo 1. Trova la derivata di una funzione

• Memorizza le formule per la derivata delle funzioni elementari e le regole base di derivazione per trovare la derivata.

y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

Passo 2. Trova gli zeri della derivata

• Risolvi l'equazione risultante per trovare gli zeri della derivata.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

Passaggio 3. Trova i punti estremi

• Utilizzare il metodo della spaziatura per determinare i segni della derivata;
• Nel punto di minimo la derivata è zero e cambia segno da meno a più, e nel punto di massimo da più a meno.

Applichiamo questo approccio per risolvere il seguente problema:

Trova il punto di massimo della funzione y=x3−243x+19.

1) Trovare la derivata: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) Risolvi l'equazione y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) La derivata è positiva per x>9 e x<−9 и отрицательная при −9

Come trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione

Per risolvere il problema di trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione necessario:

• Trova i punti estremi della funzione sul segmento (intervallo).
• Trova i valori alle estremità del segmento e scegli il valore più grande o più piccolo tra i valori nei punti estremi e alle estremità del segmento.

Aiuta in molte attività teorema:

Se c'è un solo punto estremo sul segmento, e questo è il punto minimo, in esso viene raggiunto il valore più piccolo della funzione. Se questo è il punto massimo, allora viene raggiunto il valore massimo.

14. Il concetto e le proprietà fondamentali dell'integrale indefinito.

Se la funzione F(X X, E K- numero, allora

In breve: la costante può essere tolta dal segno integrale.

Se funzioni F(X) E G(X) hanno antiderivate sull'intervallo X, Quello

In breve: l'integrale della somma è uguale alla somma degli integrali.

Se la funzione F(X) ha un'antiderivata sull'intervallo X, quindi per i punti interni di questo intervallo:

In breve: la derivata dell'integrale è uguale all'integranda.

Se la funzione F(X) è continua sull'intervallo X ed è differenziabile nei punti interni di questo intervallo, allora:

In breve: l'integrale del differenziale di una funzione è uguale a quella funzione più la costante di integrazione.

Diamo una definizione matematica rigorosa concetti di integrale indefinito.

L'espressione gentile è chiamata integrale della funzione f(x) , Dove f(x) - funzione integranda, che è data (nota), dx - differenziale X , con simbolo sempre presente dx .

Definizione. Integrale indefinito chiamata funzione F(x) + C , contenente una costante arbitraria C , il cui differenziale è uguale a integrando espressione f(x)dx , cioè. o la funzione viene chiamata funzione primitiva. L'antiderivata di una funzione è determinata fino a un valore costante.

Richiama questo - differenziale di funzione ed è definito come segue:

Trovare problema integrale indefinitoè trovare una funzione derivato che è uguale all'integranda. Questa funzione è determinata fino a una costante, perché la derivata della costante è nulla.

Ad esempio, è noto che , poi si scopre che , ecco una costante arbitraria.

Compito di ricerca integrale indefinito dalle funzioni non è così semplice e facile come sembra a prima vista. In molti casi, ci deve essere abilità nel lavorare con integrali indefiniti, dovrebbe essere un'esperienza che viene con la pratica e costante esempi di risoluzione di integrali indefiniti. Vale la pena considerare il fatto che integrali indefiniti da alcune funzioni (ce ne sono parecchie) non vengono prese in funzioni elementari.

15. Tabella degli integrali indefiniti di base.

Formule di base

16. Integrale definito come limite della somma integrale. Significato geometrico e fisico dell'integrale.

Sia definita la funzione y=ƒ(x) sul segmento [a; gruppo musicale< b. Выполним следующие действия.

1. Utilizzando i punti x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0

2. In ogni segmento parziale , i = 1,2,...,n, scegliamo un punto arbitrario con i є e calcoliamo il valore della funzione in esso, cioè il valore ƒ(con i).

3. Moltiplicare il valore trovato della funzione ƒ (da i) per la lunghezza ∆x i =x i -x i-1 del corrispondente segmento parziale: ƒ (da i) ∆х i.

4. Componi la somma S n di tutti questi prodotti:

La somma della forma (35.1) è chiamata somma integrale della funzione y \u003d ƒ (x) sul segmento [a; B]. Indichiamo con λ la lunghezza del segmento parziale maggiore: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. Trovare il limite della somma integrale (35.1) come n → ∞ tale che λ→0.

Se, inoltre, la somma integrale S n ha un limite I, che non dipende dal metodo di partizione del segmento [a; b] in segmenti parziali, o dalla scelta dei punti in essi, allora il numero I è detto integrale definito della funzione y = ƒ(x) sul segmento [a; b] ed è indicato così,

I numeri a e b sono chiamati rispettivamente il limite inferiore e superiore dell'integrazione, ƒ(x) - l'integrando, ƒ(x) dx - l'integrando, x - la variabile di integrazione, il segmento [a; b] - area (segmento) di integrazione.

La funzione y \u003d ƒ (x), per la quale sul segmento [a; b] esiste un integrale definito detto integrabile su questo intervallo.

Formuliamo ora il teorema di esistenza per un integrale definito.

Teorema 35.1 (Cauchy). Se la funzione y = ƒ(x) è continua sul segmento [a; b], quindi l'integrale definito

Si noti che la continuità di una funzione è una condizione sufficiente per la sua integrabilità. Tuttavia, un integrale definito può esistere anche per alcune funzioni discontinue, in particolare per qualsiasi funzione che è delimitata su un intervallo e ha un numero finito di punti di discontinuità su di esso.

Indichiamo alcune proprietà dell'integrale definito che derivano direttamente dalla sua definizione (35.2).

1. L'integrale definito è indipendente dalla notazione della variabile di integrazione:

Ciò deriva dal fatto che la somma integrale (35.1) e, di conseguenza, il suo limite (35.2) non dipendono da quale lettera denota l'argomento di questa funzione.

2. Un integrale definito con gli stessi limiti di integrazione è uguale a zero:

3. Per qualsiasi numero reale c.

17. Formula di Newton-Leibniz. Proprietà fondamentali di un integrale definito.

Lascia la funzione y = f(x) continuo sul segmento E F(x)è una delle antiderivate della funzione su questo segmento, quindi Formula di Newton-Leibniz: .

Viene chiamata la formula di Newton-Leibniz la formula base del calcolo integrale.

Per dimostrare la formula di Newton-Leibniz, abbiamo bisogno del concetto di integrale con un limite superiore variabile.

Se la funzione y = f(x) continuo sul segmento , allora l'integrale della forma per l'argomento è una funzione del limite superiore. Indichiamo questa funzione , e questa funzione è continua e l'uguaglianza .

Scriviamo infatti l'incremento della funzione corrispondente all'incremento dell'argomento e usiamo la quinta proprietà dell'integrale definito e il corollario dalla decima proprietà:

Dove .

Riscriviamo questa uguaglianza nella forma . Se ricordiamo la definizione della derivata di una funzione e andiamo al limite in , otteniamo . Cioè, è uno degli antiderivati ​​della funzione y = f(x) sul segmento . Quindi, l'insieme di tutte le antiderivate F(x) può essere scritto come , Dove CONè una costante arbitraria.

Calcolare Fa), utilizzando la prima proprietà dell'integrale definito: , quindi, . Usiamo questo risultato per calcolare F(b): , questo è . Questa uguaglianza fornisce la formula dimostrabile di Newton-Leibniz .

L'incremento di una funzione è solitamente indicato come . Usando questa notazione, la formula di Newton-Leibniz assume la forma .

Per applicare la formula di Newton-Leibniz ci basta conoscere una delle antiderivate y=F(x) integrando y=f(x) sul segmento e calcola l'incremento di questa primitiva su questo segmento. Nell'articolo, i metodi di integrazione vengono analizzati i principali modi per trovare l'antiderivato. Diamo alcuni esempi di calcolo di integrali definiti usando la formula di Newton-Leibniz per chiarimenti.

Esempio.

Calcolare il valore dell'integrale definito utilizzando la formula di Newton-Leibniz.

Soluzione.

Innanzitutto, nota che l'integranda è continua sull'intervallo , quindi, è integrabile su di essa. (Abbiamo parlato di funzioni integrabili nella sezione sulle funzioni per le quali esiste un integrale definito).

Si può vedere dalla tabella degli integrali indefiniti che per una funzione, l'insieme delle primitive per tutti i valori reali dell'argomento (quindi, per ) è scritto come . Prendiamo il primitivo C=0: .

Ora resta da usare la formula di Newton-Leibniz per calcolare l'integrale definito: .

18. Applicazioni geometriche di un integrale definito.

APPLICAZIONI GEOMETRICHE DI UN INTEGRALE DEFINITO

Rettangolare S.K.	Funzione, definita parametricamente	Polyarnaya S.K.
Calcolo dell'area delle figure piane
Calcolo della lunghezza dell'arco di una curva planare
Calcolo della superficie di rivoluzione

Calcolo del volume corporeo

Calcolo del volume corporeo da aree note di sezioni parallele:

Volume del corpo di rotazione: ; .

Esempio 1. Trova l'area di una figura delimitata da una curva y=sinx, linee rette

Soluzione: Trovare l'area della figura:

Esempio 2. Calcola l'area di una figura delimitata da linee

Soluzione: Troviamo le ascisse dei punti di intersezione dei grafici di queste funzioni. Per fare ciò, risolviamo il sistema di equazioni

Da qui troviamo x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2,5.

19. Concetto di comandi differenziali. Equazioni differenziali del primo ordine.

Equazione differenziale- un'equazione che collega il valore della derivata di una funzione con la funzione stessa, i valori della variabile indipendente, i numeri (parametri). L'ordine delle derivate incluse nell'equazione può essere diverso (formalmente non è limitato da nulla). Derivate, funzioni, variabili indipendenti e parametri possono essere inclusi nell'equazione in varie combinazioni, oppure tutte le derivate tranne una possono essere del tutto assenti. Nessuna equazione contenente derivate di una funzione sconosciuta è un'equazione differenziale. Per esempio, non è un'equazione differenziale.

Equazioni alle derivate parziali(URCHP) sono equazioni contenenti funzioni sconosciute di più variabili e le loro derivate parziali. La forma generale di tali equazioni può essere rappresentata come:

dove sono variabili indipendenti ed è una funzione di queste variabili. L'ordine delle equazioni alle derivate parziali può essere determinato allo stesso modo delle equazioni alle derivate ordinarie. Un'altra importante classificazione delle equazioni alle derivate parziali è la loro divisione in equazioni di tipo ellittico, parabolico e iperbolico, specialmente per le equazioni del secondo ordine.

Sia le equazioni alle derivate ordinarie che le equazioni alle derivate parziali possono essere suddivise in lineare E non lineare. Un'equazione differenziale è lineare se la funzione sconosciuta e le sue derivate entrano nell'equazione solo alla prima potenza (e non si moltiplicano tra loro). Per tali equazioni, le soluzioni formano un sottospazio affine dello spazio delle funzioni. La teoria delle equazioni differenziali lineari è stata sviluppata molto più profondamente della teoria delle equazioni non lineari. Forma generale di un'equazione differenziale lineare N-esimo ordine:

Dove pi(X) sono funzioni note della variabile indipendente, chiamate coefficienti dell'equazione. Funzione R(X) sul lato destro è chiamato membro libero(l'unico termine che non dipende dalla funzione incognita) Un'importante classe particolare di equazioni lineari sono le equazioni differenziali lineari con coefficienti costanti.

Una sottoclasse di equazioni lineari sono omogeneo equazioni differenziali - equazioni che non contengono un termine libero: R(X) = 0. Per equazioni differenziali omogenee, vale il principio di sovrapposizione: una combinazione lineare di soluzioni particolari di tale equazione sarà anche la sua soluzione. Tutte le altre equazioni differenziali lineari sono chiamate eterogeneo equazioni differenziali.

Le equazioni differenziali non lineari nel caso generale non hanno metodi di soluzione sviluppati, ad eccezione di alcune classi particolari. In alcuni casi (con l'uso di certe approssimazioni) possono essere ridotti a quelli lineari. Ad esempio, l'equazione lineare di un oscillatore armonico può essere considerato come un'approssimazione dell'equazione non lineare di un pendolo matematico per il caso di piccole ampiezze, quando si≈ peccato si.

· è un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti. La soluzione è una famiglia di funzioni , dove e sono costanti arbitrarie, che per una soluzione specifica sono determinate da condizioni iniziali specificate separatamente. Questa equazione, in particolare, descrive il moto di un oscillatore armonico con una frequenza ciclica di 3.

· La seconda legge di Newton può essere scritta sotto forma di equazione differenziale dove M- massa corporea, X- la sua coordinata, F(X, T) è la forza che agisce sul corpo con la coordinata X al momento T. La sua soluzione è la traiettoria del corpo sotto l'azione della forza specificata.

· L'equazione differenziale di Bessel è un'equazione lineare ordinaria omogenea del secondo ordine a coefficienti variabili: le sue soluzioni sono le funzioni di Bessel.

Un esempio di equazione differenziale ordinaria non lineare non omogenea del 1° ordine:

Nel seguente gruppo di esempi, la funzione sconosciuta tu dipende da due variabili X E T O X E si.

Equazione lineare omogenea alle derivate parziali del primo ordine:

Equazione d'onda unidimensionale - un'equazione lineare omogenea in derivate parziali del tipo iperbolico del secondo ordine con coefficienti costanti, descrive la vibrazione della corda, se - la deviazione della corda in un punto con coordinate X al momento T, e il parametro UN imposta le proprietà della stringa:

L'equazione di Laplace nello spazio bidimensionale è un'equazione lineare omogenea alle derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico a coefficienti costanti, che si pone in molti problemi fisici di meccanica, conduzione del calore, elettrostatica, idraulica:

L'equazione di Korteweg-de Vries, un'equazione differenziale parziale di terzo ordine non lineare che descrive le onde non lineari stazionarie, inclusi i solitoni:

20. Equazioni differenziali con applicabile separabile. Equazioni lineari e metodo di Bernoulli.

Un'equazione differenziale lineare del primo ordine è un'equazione lineare rispetto a una funzione sconosciuta e alla sua derivata. Ha la forma di un grado intero. Infatti, se troviamo e sostituiamo nelle equazioni dei tipi considerati, otteniamo l'uguaglianza corretta. Come notato nell'articolo su equazioni omogenee, se per condizione si richiede di trovare solo una soluzione particolare, allora la funzione, per ovvie ragioni, non ci infastidisce, ma quando si richiede di trovare una soluzione/integrale generale, allora occorre fare in modo che tale funzione sia non perso!

Ho portato tutte le varietà popolari dell'equazione di Bernoulli in una grande borsa con regali e procedo alla distribuzione. Appendi i calzini sotto l'albero.

Esempio 1

Trova una particolare soluzione dell'equazione differenziale corrispondente alla data condizione iniziale.
,

Probabilmente, molti sono rimasti sorpresi dal fatto che il primo regalo sia stato immediatamente tolto dalla borsa insieme a Problema di Cauchy. Questo non è un incidente. Quando un'equazione di Bernoulli viene proposta per una soluzione, per qualche motivo è spesso necessario trovare una particolare soluzione. Nella mia raccolta, ho condotto un campione casuale di 10 equazioni di Bernoulli e la soluzione generale (senza una soluzione particolare) deve essere trovata solo in 2 equazioni. Ma, in realtà, questa è una sciocchezza, poiché la soluzione generale dovrà comunque essere cercata.

Soluzione: Questo diffur ha la forma , e quindi è l'equazione di Bernoulli