Equazione razionale. Una guida esaustiva (2019). Risoluzione di equazioni intere e frazionarie

Finora abbiamo risolto solo equazioni intere rispetto all'incognita, cioè equazioni in cui i denominatori (se presenti) non contenevano l'incognita.

Spesso devi risolvere equazioni che contengono l'ignoto nei denominatori: tali equazioni sono chiamate frazionarie.

Per risolvere questa equazione, moltiplichiamo entrambi i suoi lati per cioè, per un polinomio contenente l'incognita. La nuova equazione sarà equivalente a quella data? Per rispondere alla domanda, risolviamo questa equazione.

Moltiplicando entrambi i membri per , otteniamo:

Risolvendo questa equazione di primo grado troviamo:

Quindi, l'equazione (2) ha un'unica radice

Sostituendolo nell'equazione (1), otteniamo:

Quindi, è anche la radice dell'equazione (1).

L'equazione (1) non ha altre radici. Nel nostro esempio, questo può essere visto, ad esempio, dal fatto che nell'equazione (1)

Come il divisore sconosciuto deve essere uguale al dividendo 1 diviso per il quoziente 2, cioè

Quindi le equazioni (1) e (2) hanno un'unica radice e quindi sono equivalenti.

2. Risolviamo ora la seguente equazione:

Il denominatore comune più semplice: ; moltiplica tutti i termini dell'equazione per essa:

Dopo la riduzione otteniamo:

Allarghiamo le parentesi:

Portando termini simili, abbiamo:

Risolvendo questa equazione, troviamo:

Sostituendo nell'equazione (1), otteniamo:

Sul lato sinistro, abbiamo ricevuto espressioni che non hanno senso.

Quindi, la radice dell'equazione (1) non lo è. Ciò implica che le equazioni (1) e non sono equivalenti.

In questo caso diciamo che l'equazione (1) ha acquisito una radice estranea.

Confrontiamo la soluzione dell'equazione (1) con la soluzione delle equazioni che abbiamo considerato in precedenza (vedi § 51). Per risolvere questa equazione, abbiamo dovuto eseguire due operazioni del genere che non erano mai state incontrate prima: in primo luogo, abbiamo moltiplicato entrambi i lati dell'equazione per un'espressione contenente un'incognita (denominatore comune) e, in secondo luogo, abbiamo ridotto le frazioni algebriche per fattori contenenti uno sconosciuto.

Confrontando l'equazione (1) con l'equazione (2), vediamo che non tutti i valori x validi per l'equazione (2) sono validi per l'equazione (1).

Sono i numeri 1 e 3 che non sono valori ammissibili dell'incognita per l'equazione (1), e come risultato della trasformazione sono diventati ammissibili per l'equazione (2). Uno di questi numeri si è rivelato essere una soluzione dell'equazione (2), ma, ovviamente, non può essere una soluzione dell'equazione (1). L'equazione (1) non ha soluzioni.

Questo esempio mostra che quando si moltiplicano entrambe le parti dell'equazione per un fattore contenente l'ignoto e quando si riducono le frazioni algebriche, si può ottenere un'equazione che non è equivalente a quella data, vale a dire: possono apparire radici estranee.

Quindi traiamo la seguente conclusione. Quando si risolve un'equazione contenente un'incognita nel denominatore, le radici risultanti devono essere verificate mediante sostituzione nell'equazione originale. Le radici estranee devono essere scartate.

Risoluzione di equazioni con frazioni diamo un'occhiata agli esempi. Gli esempi sono semplici e illustrativi. Con il loro aiuto, puoi capire nel modo più comprensibile.
Ad esempio, devi risolvere una semplice equazione x/b + c = d.

Un'equazione di questo tipo si dice lineare, perché il denominatore contiene solo numeri.

La soluzione viene eseguita moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per b, quindi l'equazione assume la forma x = b*(d – c), cioè il denominatore della frazione sul lato sinistro viene ridotto.

Ad esempio, come risolvere un'equazione frazionaria:
x/5+4=9
Moltiplichiamo entrambe le parti per 5. Otteniamo:
x+20=45
x=45-20=25

Un altro esempio in cui l'ignoto è nel denominatore:

Equazioni di questo tipo sono chiamate razionali frazionarie o semplicemente frazionarie.

Risolveremmo un'equazione frazionaria eliminando le frazioni, dopodiché questa equazione, molto spesso, si trasforma in una lineare o quadratica, che viene risolta nel solito modo. Dovresti prendere in considerazione solo i seguenti punti:

• il valore di una variabile che trasforma il denominatore in 0 non può essere una radice;
• non puoi dividere o moltiplicare l'equazione per l'espressione =0.

Qui entra in vigore un concetto come l'area dei valori consentiti (ODZ): questi sono i valori delle radici dell'equazione per i quali l'equazione ha senso.

Pertanto, risolvendo l'equazione, è necessario trovare le radici e quindi verificarne la conformità con l'ODZ. Quelle radici che non corrispondono al nostro DHS sono escluse dalla risposta.

Ad esempio, è necessario risolvere un'equazione frazionaria:

Sulla base della regola precedente, x non può essere = 0, cioè ODZ in questo caso: x - qualsiasi valore diverso da zero.

Eliminiamo il denominatore moltiplicando tutti i termini dell'equazione per x

E risolvi la solita equazione

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Risposta: x = 1/3

Risolviamo l'equazione più complicata:

ODZ è presente anche qui: x -2.

Risolvendo questa equazione, non trasferiremo tutto in una direzione e porteremo le frazioni a un comune denominatore. Moltiplichiamo immediatamente entrambi i lati dell'equazione per un'espressione che ridurrà tutti i denominatori contemporaneamente.

Per ridurre i denominatori, devi moltiplicare il lato sinistro per x + 2 e il lato destro per 2. Quindi, entrambi i lati dell'equazione devono essere moltiplicati per 2 (x + 2):

Questa è la moltiplicazione di frazioni più comune, di cui abbiamo già discusso sopra.

Scriviamo la stessa equazione, ma in modo leggermente diverso.

Il lato sinistro è ridotto di (x + 2) e il lato destro di 2. Dopo la riduzione, otteniamo la solita equazione lineare:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, che corrisponde alla nostra ODZ

Risposta: x = 2.

Risoluzione di equazioni con frazioni non così difficile come potrebbe sembrare. In questo articolo, lo abbiamo mostrato con esempi. Se hai qualche difficoltà con come risolvere le equazioni con le frazioni, quindi annulla l'iscrizione nei commenti.

Le equazioni con le frazioni stesse non sono difficili e molto interessanti. Considera i tipi di equazioni frazionarie e i modi per risolverli.

Come risolvere equazioni con frazioni - x al numeratore

Se viene fornita un'equazione frazionaria, dove l'incognita è nel numeratore, la soluzione non richiede condizioni aggiuntive e viene risolta senza problemi inutili. La forma generale di tale equazione è x/a + b = c, dove x è un'incognita, a, b e c sono numeri ordinari.

Trova x: x/5 + 10 = 70.

Per risolvere l'equazione, devi eliminare le frazioni. Moltiplica ogni termine dell'equazione per 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. Si riducono 5x e 5, si moltiplicano 10 e 70 per 5 e si ottiene: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Trova x: x/5 + x/10 = 90.

Questo esempio è una versione leggermente più complicata del primo. Ci sono due soluzioni qui.

• Opzione 1: eliminare le frazioni moltiplicando tutti i termini dell'equazione per un denominatore più grande, cioè per 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Opzione 2: aggiungi il lato sinistro dell'equazione. x/5 + x/10 = 90. Il comune denominatore è 10. Dividi 10 per 5, moltiplica per x, otteniamo 2x. 10 diviso 10, moltiplicato per x, otteniamo x: 2x+x/10 = 90. Quindi 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Spesso ci sono equazioni frazionarie in cui le x si trovano ai lati opposti del segno di uguale. In una situazione del genere, è necessario trasferire tutte le frazioni con x in una direzione e i numeri nell'altra.

• Trova x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Sposta 2x/5 verso destra con il segno opposto: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Riduciamo 5x/5 e otteniamo: x = 130.

Come risolvere un'equazione con frazioni - x al denominatore

Questo tipo di equazioni frazionarie richiede la scrittura di condizioni aggiuntive. L'indicazione di tali condizioni è parte obbligatoria ed integrante della giusta decisione. Non attribuendole si corre il rischio, poiché la risposta (anche se corretta) potrebbe semplicemente non essere conteggiata.

La forma generale delle equazioni frazionarie, dove x è al denominatore, è: a/x + b = c, dove x è un'incognita, a, b, c sono numeri ordinari. Nota che x potrebbe non essere un numero qualsiasi. Ad esempio, x non può essere zero, poiché non puoi dividere per 0. Questa è precisamente la condizione aggiuntiva che dobbiamo specificare. Questo è chiamato l'intervallo di valori accettabili, abbreviato - ODZ.

Trova x: 15/x + 18 = 21.

Scriviamo immediatamente l'ODZ per x: x ≠ 0. Ora che l'ODZ è indicato, risolviamo l'equazione secondo lo schema standard, eliminando le frazioni. Moltiplichiamo tutti i termini dell'equazione per x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Spesso ci sono equazioni in cui il denominatore contiene non solo x, ma anche qualche altra operazione con esso, come addizione o sottrazione.

Trova x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Sappiamo già che il denominatore non può essere uguale a zero, il che significa x-3 ≠ 0. Trasferiamo -3 a destra, cambiando il segno "-" in "+" e otteniamo che x ≠ 3. ODZ è indicato.

Risolvi l'equazione, moltiplica tutto per x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Sposta le x a destra, i numeri a sinistra: 24 = 3x => x = 8.

Continuiamo a parlare di soluzione di equazioni. In questo articolo, ci concentreremo su equazioni razionali e principi per risolvere equazioni razionali con una variabile. Per prima cosa, cerchiamo di capire che tipo di equazioni sono chiamate razionali, diamo una definizione di equazioni razionali intere e razionali frazionarie e forniamo esempi. Inoltre, otterremo algoritmi per risolvere equazioni razionali e, naturalmente, considereremo le soluzioni di esempi tipici con tutte le spiegazioni necessarie.

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Sulla base delle definizioni suonate, diamo diversi esempi di equazioni razionali. Ad esempio, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , sono tutte equazioni razionali.

Dagli esempi mostrati, si può vedere che le equazioni razionali, così come le equazioni di altro tipo, possono essere sia con una variabile, sia con due, tre, ecc. variabili. Nei paragrafi seguenti parleremo della risoluzione di equazioni razionali in una variabile. Risoluzione di equazioni con due variabili e il loro gran numero merita un'attenzione speciale.

Oltre a dividere le equazioni razionali per il numero di variabili sconosciute, sono anche divise in numeri interi e frazionari. Diamo le definizioni corrispondenti.

Definizione.

L'equazione razionale è chiamata Totale, se entrambe le sue parti sinistra e destra sono espressioni razionali intere.

Definizione.

Se almeno una delle parti di un'equazione razionale è un'espressione frazionaria, viene chiamata tale equazione frazionalmente razionale(o razionale frazionario).

È chiaro che le equazioni intere non contengono la divisione per una variabile; al contrario, le equazioni razionali frazionarie contengono necessariamente la divisione per una variabile (o una variabile al denominatore). Quindi 3 x+2=0 e (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5 sono intere equazioni razionali, entrambe le loro parti sono espressioni intere. A e x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sono esempi di equazioni razionali frazionarie.

Concludendo questo paragrafo, prestiamo attenzione al fatto che le equazioni lineari e le equazioni quadratiche conosciute da questo momento sono intere equazioni razionali.

Risoluzione di equazioni intere

Uno dei principali approcci per risolvere intere equazioni è la loro riduzione all'equivalente equazioni algebriche. Questo può sempre essere fatto eseguendo le seguenti trasformazioni equivalenti dell'equazione:

• in primo luogo, l'espressione dal lato destro dell'equazione intera originale viene trasferita sul lato sinistro con il segno opposto per ottenere zero sul lato destro;
• dopodiché, sul lato sinistro dell'equazione, la forma standard risultante.

Il risultato è un'equazione algebrica equivalente all'intera equazione originale. Quindi, nei casi più semplici, la soluzione di intere equazioni si riduce alla soluzione di equazioni lineari o quadratiche e, nel caso generale, alla soluzione di un'equazione algebrica di grado n. Per chiarezza, analizziamo la soluzione dell'esempio.

Esempio.

Trova le radici dell'intera equazione 3 (x+1) (x−3)=x (2x−1)−3.

Soluzione.

Riduciamo la soluzione di tutta questa equazione alla soluzione di un'equazione algebrica equivalente. Per fare ciò, in primo luogo, trasferiamo l'espressione da destra a sinistra, di conseguenza arriviamo all'equazione 3 (x+1) (x−3)−x (2x−1)+3=0. E, in secondo luogo, trasformiamo l'espressione formata sul lato sinistro in un polinomio della forma standard facendo quanto necessario: 3 (x+1) (x−3)−x (2x−1)+3= (3x+3) (x−3)−2x2 +x+3= 3x2−9x+3x−9−2x2 +x+3=x2−5x−6. Pertanto, la soluzione dell'equazione intera originale è ridotta alla soluzione dell'equazione quadratica x 2 −5·x−6=0 .

Calcola il suo discriminante D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, è positivo, il che significa che l'equazione ha due radici reali, che troviamo dalla formula delle radici dell'equazione quadratica:

Per essere completamente sicuri, facciamolo controllando le radici trovate dell'equazione. Innanzitutto, controlliamo la radice 6, sostituendola invece della variabile x nell'equazione intera originale: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, che è lo stesso, 63=63 . Questa è un'equazione numerica valida, quindi x=6 è effettivamente la radice dell'equazione. Ora controlliamo la radice −1 , abbiamo 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, da cui, 0=0 . Per x=−1, anche l'equazione originale si è trasformata in una vera uguaglianza numerica, quindi x=−1 è anche la radice dell'equazione.

Risposta:

6 , −1 .

Qui va anche notato che il termine "potenza di un'intera equazione" è associato alla rappresentazione di un'intera equazione sotto forma di un'equazione algebrica. Diamo la definizione corrispondente:

Definizione.

Il grado dell'intera equazione chiamiamo il grado di un'equazione algebrica ad esso equivalente.

Secondo questa definizione, l'intera equazione dell'esempio precedente ha il secondo grado.

Su questo si potrebbe finire con la soluzione di intere equazioni razionali, se non per una ma.... Come è noto, la soluzione di equazioni algebriche di grado superiore al secondo è associata a difficoltà significative e per equazioni di grado superiore al quarto non esistono affatto formule generali per le radici. Pertanto, per risolvere intere equazioni di terzo, quarto e grado superiore, spesso si deve ricorrere ad altri metodi risolutivi.

In tali casi, a volte l'approccio alla risoluzione di intere equazioni razionali basate su metodo di fattorizzazione. Allo stesso tempo, viene seguito il seguente algoritmo:

• prima cercano di avere zero sul lato destro dell'equazione, per questo trasferiscono l'espressione dal lato destro dell'intera equazione a sinistra;
• quindi, l'espressione risultante sul lato sinistro viene presentata come un prodotto di diversi fattori, che consente di passare a un insieme di diverse equazioni più semplici.

L'algoritmo di cui sopra per risolvere l'intera equazione attraverso la fattorizzazione richiede una spiegazione dettagliata utilizzando un esempio.

Esempio.

Risolvi l'intera equazione (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Soluzione.

Per prima cosa, come al solito, trasferiamo l'espressione dal lato destro al lato sinistro dell'equazione, senza dimenticare di cambiare il segno, otteniamo (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . È abbastanza ovvio qui che non è consigliabile trasformare il lato sinistro dell'equazione risultante in un polinomio della forma standard, poiché ciò darà un'equazione algebrica del quarto grado della forma x4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, la cui soluzione è difficile.

D'altra parte, è ovvio che x 2 −10·x+13 si trova sul lato sinistro dell'equazione risultante, rappresentandola così come un prodotto. Abbiamo (x2−10x+13) (x2−2x−1)=0. L'equazione risultante è equivalente all'intera equazione originale e, a sua volta, può essere sostituita da un insieme di due equazioni quadratiche x 2 −10·x+13=0 e x 2 −2·x−1=0 . Trovare le loro radici usando le formule delle radici conosciute attraverso il discriminante non è difficile, le radici sono uguali. Sono le radici desiderate dell'equazione originale.

Risposta:

È anche utile per risolvere intere equazioni razionali. metodo per introdurre una nuova variabile. In alcuni casi, permette di passare ad equazioni il cui grado è inferiore al grado dell'equazione intera originaria.

Esempio.

Trova le radici reali di un'equazione razionale (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Soluzione.

Ridurre tutta questa equazione razionale a un'equazione algebrica non è, per usare un eufemismo, una buona idea, poiché in questo caso arriveremo alla necessità di risolvere un'equazione di quarto grado che non ha radici razionali. Pertanto, dovrai cercare un'altra soluzione.

È facile vedere qui che puoi introdurre una nuova variabile y e sostituirla con l'espressione x 2 +3 x. Tale sostituzione ci porta all'intera equazione (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , che dopo aver trasferito l'espressione −2 (y−4) sul lato sinistro e successiva trasformazione dell'espressione ivi formata , si riduce all'equazione y 2 +4 y+3=0 . Le radici di questa equazione y=−1 e y=−3 sono facili da trovare, ad esempio, possono essere trovate in base al teorema inverso del teorema di Vieta.

Passiamo ora alla seconda parte del metodo di introduzione di una nuova variabile, ovvero alla sostituzione inversa. Dopo aver eseguito la sostituzione inversa, otteniamo due equazioni x 2 +3 x=−1 e x 2 +3 x=−3 , che possono essere riscritte come x 2 +3 x+1=0 e x 2 +3 x+3 =0. Secondo la formula delle radici dell'equazione quadratica, troviamo le radici della prima equazione. E la seconda equazione quadratica non ha radici reali, poiché il suo discriminante è negativo (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Risposta:

In generale, quando si tratta di intere equazioni di alto grado, bisogna essere sempre pronti a cercare un metodo non standard o una tecnica artificiale per risolverle.

Soluzione di equazioni frazionarie razionali

Innanzitutto, sarà utile capire come risolvere equazioni razionali frazionarie della forma , dove p(x) e q(x) sono espressioni intere razionali. E poi mostreremo come ridurre la soluzione delle restanti equazioni frazionarie razionali alla soluzione delle equazioni della forma indicata.

Uno degli approcci alla risoluzione dell'equazione si basa sulla seguente affermazione: la frazione numerica u/v, dove v è un numero diverso da zero (altrimenti incontreremo , che non è definito), è uguale a zero se e solo se il suo numeratore è uguale a zero, allora è, se e solo se u=0 . In virtù di questa affermazione, la soluzione dell'equazione si riduce al soddisfacimento di due condizioni p(x)=0 e q(x)≠0 .

Questa conclusione è coerente con quanto segue algoritmo per la risoluzione di un'equazione frazionaria razionale. Per risolvere un'equazione razionale frazionaria della forma

• risolvere l'intera equazione razionale p(x)=0 ;
• e verificare se la condizione q(x)≠0 è soddisfatta per ogni radice trovata, while
• se vero, allora questa radice è la radice dell'equazione originale;
• in caso contrario, questa radice è estranea, cioè non è la radice dell'equazione originale.

Analizziamo un esempio di utilizzo dell'algoritmo espresso durante la risoluzione di un'equazione razionale frazionaria.

Esempio.

Trova le radici dell'equazione.

Soluzione.

Questa è un'equazione frazionaria razionale della forma , dove p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Secondo l'algoritmo per risolvere equazioni frazionarie di questo tipo, dobbiamo prima risolvere l'equazione 3·x−2=0 . Questa è un'equazione lineare la cui radice è x=2/3 .

Resta da verificare questa radice, cioè verificare se soddisfa la condizione 5·x 2 −2≠0 . Sostituiamo il numero 2/3 invece di x nell'espressione 5 x 2 −2, otteniamo . La condizione è soddisfatta, quindi x=2/3 è la radice dell'equazione originale.

Risposta:

2/3 .

La soluzione di un'equazione razionale frazionaria può essere affrontata da una posizione leggermente diversa. Questa equazione è equivalente all'intera equazione p(x)=0 sulla variabile x dell'equazione originale. Cioè, puoi seguire questo algoritmo per la risoluzione di un'equazione frazionaria razionale :

• risolvere l'equazione p(x)=0 ;
• trova la variabile ODZ x ;
• prendi le radici appartenenti alla regione dei valori ammissibili - sono le radici desiderate dell'equazione razionale frazionaria originale.

Ad esempio, risolviamo un'equazione razionale frazionaria utilizzando questo algoritmo.

Esempio.

Risolvi l'equazione.

Soluzione.

Innanzitutto, risolviamo l'equazione quadratica x 2 −2·x−11=0 . Le sue radici possono essere calcolate usando la formula della radice per un secondo coefficiente pari, che abbiamo D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, E .

In secondo luogo, troviamo l'ODZ della variabile x per l'equazione originale. Consiste di tutti i numeri per i quali x 2 +3 x≠0 , che è lo stesso x (x+3)≠0 , da cui x≠0 , x≠−3 .

Resta da verificare se le radici trovate al primo passaggio sono incluse nell'ODZ. Ovviamente sì. Pertanto, l'equazione frazionaria originale ha due radici.

Risposta:

Si noti che questo approccio è più vantaggioso del primo se l'ODZ è facilmente reperibile, ed è particolarmente vantaggioso se le radici dell'equazione p(x)=0 sono irrazionali, ad esempio , o razionali, ma con un valore piuttosto ampio numeratore e/o denominatore, ad esempio 127/1101 e -31/59 . Ciò è dovuto al fatto che in tali casi, verificare la condizione q(x)≠0 richiederà notevoli sforzi computazionali, ed è più facile escludere radici estranee dall'ODZ.

In altri casi, quando si risolve l'equazione, soprattutto quando le radici dell'equazione p(x)=0 sono numeri interi, è più vantaggioso utilizzare il primo degli algoritmi di cui sopra. Cioè, è consigliabile trovare immediatamente le radici dell'intera equazione p(x)=0 , quindi verificare se la condizione q(x)≠0 è soddisfatta per esse, e non trovare l'ODZ, quindi risolvere l'equazione p(x)=0 su questo ODZ . Ciò è dovuto al fatto che in tali casi è generalmente più semplice effettuare un controllo che trovare l'ODZ.

Considera la soluzione di due esempi per illustrare le sfumature stipulate.

Esempio.

Trova le radici dell'equazione.

Soluzione.

Per prima cosa troviamo le radici dell'intera equazione (2x−1) (x−6) (x2−5x+14) (x+1)=0, compilato utilizzando il numeratore della frazione. Il lato sinistro di questa equazione è un prodotto e il lato destro è zero, quindi, secondo il metodo di risoluzione delle equazioni tramite fattorizzazione, questa equazione è equivalente all'insieme di quattro equazioni 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tre di queste equazioni sono lineari e una è quadratica, possiamo risolverle. Dalla prima equazione troviamo x=1/2, dalla seconda - x=6, dalla terza - x=7, x=−2, dalla quarta - x=−1.

Con le radici trovate, è abbastanza facile controllarle per vedere se il denominatore della frazione situata sul lato sinistro dell'equazione originale non svanisce, e non è così facile determinare l'ODZ, poiché questo dovrà risolvere un'equazione algebrica di quinto grado. Pertanto, rifiuteremo di trovare l'ODZ a favore del controllo delle radici. Per fare ciò, le sostituiamo a turno al posto della variabile x nell'espressione x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, ottenuti dopo la sostituzione, e confrontarli con zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Pertanto, 1/2, 6 e −2 sono le radici desiderate dell'equazione frazionaria originale, e 7 e −1 sono radici estranee.

Risposta:

1/2 , 6 , −2 .

Esempio.

Trova le radici di un'equazione razionale frazionaria.

Soluzione.

Per prima cosa troviamo le radici dell'equazione (5x2−7x−1)(x−2)=0. Questa equazione è equivalente a un insieme di due equazioni: il quadrato 5·x 2 −7·x−1=0 e il lineare x−2=0 . Secondo la formula delle radici dell'equazione quadratica, troviamo due radici e dalla seconda equazione abbiamo x=2.

Controllare se il denominatore non svanisce ai valori trovati di x è piuttosto spiacevole. E determinare l'intervallo di valori accettabili della variabile x nell'equazione originale è abbastanza semplice. Pertanto, agiremo attraverso l'ODZ.

Nel nostro caso, l'ODZ della variabile x dell'equazione razionale frazionaria originaria è composta da tutti i numeri, ad eccezione di quelli per i quali è soddisfatta la condizione x 2 +5·x−14=0. Le radici di questa equazione quadratica sono x=−7 e x=2, da cui concludiamo sull'ODZ: ​​è composta da tutti gli x tali che .

Resta da verificare se le radici trovate e x=2 appartengono alla regione dei valori ammissibili. Le radici - appartengono, quindi, sono le radici dell'equazione originale, e x=2 non appartiene, quindi è una radice estranea.

Risposta:

Sarà anche utile soffermarsi separatamente sui casi in cui un'equazione razionale frazionaria della forma contiene un numero al numeratore, cioè quando p (x) è rappresentato da un numero. In cui

• se questo numero è diverso da zero, allora l'equazione non ha radici, poiché la frazione è zero se e solo se il suo numeratore è zero;
• se questo numero è zero, allora la radice dell'equazione è qualsiasi numero dalla ODZ.

Esempio.

Soluzione.

Poiché c'è un numero diverso da zero nel numeratore della frazione sul lato sinistro dell'equazione, per nessun x il valore di questa frazione può essere uguale a zero. Pertanto, questa equazione non ha radici.

Risposta:

senza radici.

Esempio.

Risolvi l'equazione.

Soluzione.

Il numeratore della frazione sul lato sinistro di questa equazione razionale frazionaria è zero, quindi il valore di questa frazione è zero per ogni x per cui ha senso. In altre parole, la soluzione a questa equazione è qualsiasi valore di x dal DPV di questa variabile.

Resta da determinare questo intervallo di valori accettabili. Include tutti questi valori x per i quali x 4 +5 x 3 ≠0. Le soluzioni dell'equazione x 4 +5 x 3 \u003d 0 sono 0 e −5, poiché questa equazione è equivalente all'equazione x 3 (x + 5) \u003d 0 e, a sua volta, è equivalente alla combinazione di due equazioni x 3 \u003d 0 e x +5=0 , da dove sono visibili queste radici. Pertanto, l'intervallo desiderato di valori accettabili è qualsiasi x , ad eccezione di x=0 e x=−5 .

Pertanto, un'equazione frazionaria razionale ha infinite soluzioni, che sono numeri qualsiasi tranne zero e meno cinque.

Risposta:

Infine, è il momento di parlare della risoluzione di equazioni razionali frazionarie arbitrarie. Possono essere scritti come r(x)=s(x) , dove r(x) e s(x) sono espressioni razionali e almeno una di esse è frazionaria. Guardando al futuro, diciamo che la loro soluzione si riduce alla risoluzione di equazioni della forma a noi già familiare.

È noto che il trasferimento di un termine da una parte dell'equazione a un'altra di segno opposto porta a un'equazione equivalente, quindi l'equazione r(x)=s(x) è equivalente all'equazione r(x)−s (x)=0.

Sappiamo anche che any può essere identicamente uguale a questa espressione. Pertanto, possiamo sempre trasformare l'espressione razionale sul lato sinistro dell'equazione r(x)−s(x)=0 in una frazione razionale identicamente uguale della forma .

Quindi passiamo dall'equazione razionale frazionaria originale r(x)=s(x) all'equazione , e la sua soluzione, come abbiamo scoperto sopra, si riduce alla soluzione dell'equazione p(x)=0 .

Ma qui è necessario tenere conto del fatto che quando si sostituisce r(x)−s(x)=0 con , e quindi con p(x)=0 , l'intervallo di valori consentiti della variabile x può espandersi .

Pertanto, l'equazione originale r(x)=s(x) e l'equazione p(x)=0 , a cui siamo arrivati, potrebbero non essere equivalenti, e risolvendo l'equazione p(x)=0 , possiamo ottenere radici che saranno radici estranee dell'equazione originale r(x)=s(x) . È possibile identificare e non includere radici estranee nella risposta, sia controllando, sia controllando la loro appartenenza all'ODZ dell'equazione originale.

Riassumiamo queste informazioni in algoritmo per risolvere un'equazione razionale frazionaria r(x)=s(x). Per risolvere l'equazione razionale frazionaria r(x)=s(x) , si deve

• Ottieni zero a destra spostando l'espressione dal lato destro con il segno opposto.
• Esegui azioni con frazioni e polinomi sul lato sinistro dell'equazione, convertendola così in una frazione razionale della forma.
• Risolvi l'equazione p(x)=0 .
• Identificare ed escludere le radici estranee, che viene fatto sostituendole nell'equazione originale o controllando la loro appartenenza all'ODZ dell'equazione originale.

Per maggiore chiarezza, mostreremo l'intera catena di risoluzione di equazioni razionali frazionarie:
.

Esaminiamo le soluzioni di diversi esempi con una spiegazione dettagliata della soluzione al fine di chiarire il dato blocco di informazioni.

Esempio.

Risolvere un'equazione razionale frazionaria.

Soluzione.

Agiremo secondo l'algoritmo di soluzione appena ottenuto. E prima trasferiamo i termini dal lato destro dell'equazione al lato sinistro, di conseguenza passiamo all'equazione .

Nella seconda fase, dobbiamo convertire l'espressione razionale frazionaria sul lato sinistro dell'equazione risultante nella forma di una frazione. Per fare ciò, eseguiamo la riduzione delle frazioni razionali a un comune denominatore e semplifichiamo l'espressione risultante: . Quindi arriviamo all'equazione.

Nel passaggio successivo, dobbiamo risolvere l'equazione −2·x−1=0 . Trova x=−1/2 .

Resta da verificare se il numero trovato −1/2 è una radice estranea dell'equazione originale. Per fare ciò, puoi controllare o trovare la variabile ODZ x dell'equazione originale. Dimostriamo entrambi gli approcci.

Cominciamo con un controllo. Sostituiamo il numero −1/2 invece della variabile x nell'equazione originale, otteniamo , che è lo stesso, −1=−1. La sostituzione fornisce l'uguaglianza numerica corretta, quindi x=−1/2 è la radice dell'equazione originale.

Ora mostreremo come viene eseguito l'ultimo passaggio dell'algoritmo attraverso l'ODZ. L'intervallo di valori ammissibili dell'equazione originale è l'insieme di tutti i numeri tranne −1 e 0 (quando x=−1 e x=0, i denominatori delle frazioni svaniscono). La radice x=−1/2 trovata al passaggio precedente appartiene all'ODZ, quindi x=−1/2 è la radice dell'equazione originale.

Risposta:

−1/2 .

Consideriamo un altro esempio.

Esempio.

Trova le radici dell'equazione.

Soluzione.

Dobbiamo risolvere un'equazione razionale in modo frazionario, eseguiamo tutti i passaggi dell'algoritmo.

Innanzitutto, trasferiamo il termine dal lato destro a quello sinistro, otteniamo .

In secondo luogo, trasformiamo l'espressione formata sul lato sinistro: . Di conseguenza, arriviamo all'equazione x=0 .

La sua radice è ovvia: è zero.

Al quarto passaggio, resta da scoprire se la radice trovata non è una radice esterna per l'equazione frazionaria originale. Quando viene sostituito nell'equazione originale, si ottiene l'espressione. Ovviamente non ha senso, poiché contiene la divisione per zero. Da ciò concludiamo che 0 è una radice estranea. Pertanto, l'equazione originale non ha radici.

7 , che porta all'equazione . Da ciò possiamo concludere che l'espressione nel denominatore del lato sinistro deve essere uguale a dal lato destro, cioè . Ora sottraiamo da entrambe le parti della terna: . Per analogia, da dove e oltre.

Il controllo mostra che entrambe le radici trovate sono le radici dell'equazione razionale frazionaria originale.

Risposta:

Bibliografia.

• Algebra: manuale per 8 celle. educazione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. SA Telyakovsky. - 16a ed. - M. : Istruzione, 2008. - 271 p. : malato. -ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8 ° grado. Alle 14:00 Parte 1. Un libro di testo per studenti di istituti scolastici / A. G. Mordkovich. - 11a ed., cancellato. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: riprod. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: Grado 9: libro di testo. per l'istruzione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. SA Telyakovsky. - 16a ed. - M. : Istruzione, 2009. - 271 p. : malato. -ISBN 978-5-09-021134-5.

Equazioni frazionarie. ODZ.

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")

Continuiamo a padroneggiare le equazioni. Sappiamo già come lavorare con equazioni lineari e quadratiche. Rimane l'ultima vista equazioni frazionarie. Oppure sono anche chiamati molto più solidi - equazioni razionali frazionarie. È lo stesso.

Equazioni frazionarie.

Come suggerisce il nome, queste equazioni contengono necessariamente frazioni. Ma non solo frazioni, ma frazioni che hanno sconosciuto al denominatore. Almeno in uno. Per esempio:

Lascia che te lo ricordi, se solo nei denominatori numeri, queste sono equazioni lineari.

Come decidere equazioni frazionarie? Prima di tutto, sbarazzati delle frazioni! Successivamente, l'equazione, molto spesso, si trasforma in lineare o quadratica. E poi sappiamo cosa fare... In alcuni casi può trasformarsi in un'identità, come 5=5 o in un'espressione errata, come 7=2. Ma questo accade raramente. Di seguito lo menzionerò.

Ma come sbarazzarsi delle frazioni!? Molto semplice. Applicando tutte le stesse identiche trasformazioni.

Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per la stessa espressione. In modo che tutti i denominatori diminuiscano! Tutto diventerà immediatamente più facile. Spiego con un esempio. Diciamo che dobbiamo risolvere l'equazione:

Come venivano insegnate alle elementari? Trasferiamo tutto in una direzione, lo riduciamo a un comune denominatore, ecc. Dimentica quanto brutto sogno! Questo è ciò che devi fare quando aggiungi o sottrai espressioni frazionarie. O lavorare con le disuguaglianze. E nelle equazioni, moltiplichiamo immediatamente entrambe le parti per un'espressione che ci darà l'opportunità di ridurre tutti i denominatori (cioè, in sostanza, per un comune denominatore). E qual è questa espressione?

Sul lato sinistro, per ridurre il denominatore, devi moltiplicare per x+2. E a destra, è richiesta la moltiplicazione per 2. Quindi, l'equazione deve essere moltiplicata per 2(x+2). Moltiplichiamo:

Questa è la solita moltiplicazione di frazioni, ma scriverò in dettaglio:

Si prega di notare che non sto ancora aprendo la parentesi. (x + 2)! Quindi, nella sua interezza, lo scrivo:

Sul lato sinistro, è ridotto interamente (x+2), ea destra 2. Come richiesto! Dopo la riduzione otteniamo lineare l'equazione:

Chiunque può risolvere questa equazione! x = 2.

Risolviamo un altro esempio, un po' più complicato:

Se ricordiamo che 3 = 3/1, e 2x = 2x/ 1 si può scrivere:

E ancora una volta ci liberiamo di ciò che non ci piace davvero: dalle frazioni.

Vediamo che per ridurre il denominatore con x, è necessario moltiplicare la frazione per (x - 2). E le unità non sono un ostacolo per noi. Bene, moltiplichiamo. Tutto lato sinistro e Tutto lato destro:

Di nuovo parentesi graffe (x - 2) non rivelo. Lavoro con la staffa nel suo insieme, come se fosse un numero! Questo deve essere sempre fatto, altrimenti non verrà ridotto nulla.

Con una sensazione di profonda soddisfazione, tagliamo (x - 2) e otteniamo l'equazione senza frazioni, in un righello!

E ora apriamo le parentesi:

Diamo quelli simili, trasferiamo tutto sul lato sinistro e otteniamo:

Ma prima impareremo a risolvere altri problemi. Per interesse. Quei rastrelli, comunque!

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