Gli antipiretici per i bambini sono prescritti da un pediatra. Ma ci sono situazioni di emergenza per la febbre in cui il bambino ha bisogno di ricevere immediatamente medicine. Quindi i genitori si assumono la responsabilità e usano farmaci antipiretici. Cosa è consentito dare ai neonati? Come abbassare la temperatura nei bambini più grandi? Quali farmaci sono i più sicuri?
I numeri primi sono uno dei fenomeni matematici più interessanti che attira l'attenzione di scienziati e cittadini comuni da più di due millenni. Nonostante il fatto che ora viviamo nell'era dei computer e dei più moderni programmi di informazione, molti misteri dei numeri primi non sono ancora stati risolti, ci sono anche quelli a cui gli scienziati non sanno come affrontare.
I numeri primi sono, come noto dal corso di aritmetica elementare, quelli che sono divisibili senza resto solo per uno e per se stessi. A proposito, se un numero naturale è divisibile, oltre a quelli sopra elencati, per un altro numero, allora si chiama composto. Uno dei teoremi più famosi afferma che qualsiasi numero composto può essere rappresentato come l'unico prodotto possibile di numeri primi.
Alcuni fatti interessanti. Innanzitutto l'unità è unica nel senso che, di fatto, non appartiene né ai numeri primi né ai numeri composti. Allo stesso tempo, nella comunità scientifica è ancora consuetudine attribuirlo al primo gruppo, poiché formalmente soddisfa pienamente i suoi requisiti.
In secondo luogo, l’unico numero pari che è entrato nel gruppo dei “numeri primi” è, ovviamente, due. Qualsiasi altro numero pari semplicemente non può arrivare qui, poiché per definizione, oltre a se stesso e uno, è anche divisibile per due.
I numeri primi, il cui elenco, come accennato in precedenza, può iniziare con uno, sono una serie infinita, infinita come la serie dei numeri naturali. In base al teorema fondamentale dell'aritmetica si può giungere alla conclusione che i numeri primi non vengono mai interrotti e non finiscono mai, poiché altrimenti la serie dei numeri naturali verrebbe inevitabilmente interrotta.
I numeri primi non compaiono in modo casuale nelle serie naturali, come potrebbe sembrare a prima vista. Dopo averli analizzati attentamente, si notano subito diverse caratteristiche, le più curiose delle quali sono associate ai cosiddetti numeri “gemelli”. Si chiamano così perché in qualche modo incomprensibile sono finiti uno accanto all'altro, separati solo da un delimitatore pari (cinque e sette, diciassette e diciannove).
Se li guardi attentamente, noterai che la somma di questi numeri è sempre un multiplo di tre. Inoltre, quando si divide per tre il compagno di sinistra, il resto rimane sempre due e quello di destra - uno. Inoltre, la distribuzione stessa di questi numeri lungo la serie naturale può essere prevista se l'intera serie viene presentata sotto forma di sinusoidi oscillatori, i cui punti principali si formano quando i numeri vengono divisi per tre e due.
I numeri primi non sono solo oggetto di attento esame da parte dei matematici di tutto il mondo, ma sono stati a lungo utilizzati con successo nella compilazione di varie serie di numeri, che costituiscono la base, anche per la cifratura. Allo stesso tempo, va riconosciuto che un numero enorme di misteri associati a questi meravigliosi elementi sono ancora in attesa di essere risolti, molte domande non hanno solo un significato filosofico, ma anche pratico.
In questo articolo studieremo numeri primi e composti. Innanzitutto, diamo le definizioni di numeri primi e composti e forniamo anche esempi. Successivamente dimostriamo che i numeri primi sono infiniti. Successivamente, scriviamo una tabella di numeri primi e consideriamo i metodi per compilare una tabella di numeri primi, ci soffermeremo con particolare attenzione sul metodo chiamato crivello di Eratostene. In conclusione, evidenziamo i punti principali di cui tenere conto per dimostrare che un dato numero è primo o composto.
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Numeri primi e compositi: Definizioni ed esempi
I concetti di numeri primi e numeri composti si riferiscono a quelli maggiori di uno. Tali numeri interi, a seconda del numero dei loro divisori positivi, sono divisi in numeri primi e composti. Quindi per capire definizioni di numeri primi e composti, devi avere una buona idea di cosa sono i divisori e i multipli.
Definizione.
numeri primi sono numeri interi, maggiori di uno, che hanno solo due divisori positivi, vale a dire se stessi e 1 .
Definizione.
Numeri compositi sono numeri interi maggiori di uno che hanno almeno tre divisori positivi.
Separatamente, notiamo che il numero 1 non si applica né ai numeri primi né ai numeri composti. L'unità ha un solo divisore positivo, che è il numero 1 stesso. Ciò distingue il numero 1 da tutti gli altri numeri interi positivi che hanno almeno due divisori positivi.
Considerando che gli interi positivi sono , e che l'unità ha un solo divisore positivo, si possono dare altre formulazioni delle definizioni accertate di numeri primi e composti.
Definizione.
numeri primi sono numeri naturali che hanno solo due divisori positivi.
Definizione.
Numeri compositi sono numeri naturali che hanno più di due divisori positivi.
Si noti che ogni intero positivo maggiore di uno è un numero primo o un numero composto. In altre parole, non esiste un singolo intero che non sia né primo né composto. Ciò deriva dalla proprietà di divisibilità, secondo la quale i numeri 1 e a sono sempre divisori di qualsiasi intero a.
Sulla base delle informazioni contenute nel paragrafo precedente, possiamo dare la seguente definizione di numeri composti.
Definizione.
I numeri naturali che non sono primi vengono chiamati costituente.
Portiamo esempi di numeri primi e composti.
Come esempi di numeri composti, diamo 6 , 63 , 121 e 6697 . Anche questa affermazione necessita di una spiegazione. Il numero 6, oltre ai divisori positivi 1 e 6, ha anche i divisori 2 e 3, poiché 6 \u003d 2 3, quindi 6 è davvero un numero composto. I divisori positivi di 63 sono i numeri 1 , 3 , 7 , 9 , 21 e 63 . Il numero 121 è uguale al prodotto di 11 11 , quindi i suoi divisori positivi sono 1 , 11 e 121 . E il numero 6697 è composto, poiché i suoi divisori positivi, oltre a 1 e 6697, sono anche i numeri 37 e 181.
In conclusione di questo paragrafo, vorrei anche attirare l’attenzione sul fatto che i numeri primi e i numeri coprimi sono tutt’altro che la stessa cosa.
Tabella dei numeri primi
I numeri primi, per comodità del loro ulteriore utilizzo, sono registrati in una tabella chiamata tabella dei numeri primi. Sotto è tabella dei numeri primi fino a 1 000 .
Sorge una domanda logica: “Perché abbiamo compilato la tabella dei numeri primi solo fino a 1.000, non è possibile creare una tabella di tutti i numeri primi esistenti”?
Rispondiamo prima alla prima parte di questa domanda. Per la maggior parte dei problemi che coinvolgono i numeri primi, saranno sufficienti numeri primi fino a mille. In altri casi, molto probabilmente, dovrai ricorrere ad alcune tecniche risolutive speciali. Sebbene, ovviamente, possiamo tabellare i numeri primi fino a un intero positivo finito arbitrariamente grande, sia esso 10.000 o 1.000.000.000, nel prossimo paragrafo parleremo dei metodi per compilare tabelle di numeri primi, in particolare analizzeremo il metodo chiamato.
Consideriamo ora la possibilità (o meglio, l'impossibilità) di compilare una tabella di tutti i numeri primi esistenti. Non possiamo creare una tabella di tutti i numeri primi perché di numeri primi ce ne sono infiniti. L'ultima affermazione è un teorema che dimostreremo dopo il seguente teorema ausiliario.
Teorema.
Il più piccolo divisore positivo di un numero naturale maggiore di 1 diverso da 1 è un numero primo.
Prova.
Permettere a è un numero naturale maggiore di uno e b è il divisore non uno meno positivo di a. Dimostriamo che b è un numero primo per assurdo.
Supponiamo che b sia un numero composto. Poi c'è un divisore del numero b (denotiamolo b 1 ), che è diverso sia da 1 che da b . Se teniamo conto anche che il valore assoluto del divisore non supera il valore assoluto del dividendo (lo sappiamo dalle proprietà della divisibilità), allora la condizione 1
Poiché il numero a è divisibile per b per condizione, e abbiamo detto che b è divisibile per b 1, allora il concetto di divisibilità ci permette di parlare dell'esistenza di tali numeri interi q e q 1 che a=b q e b=b 1 q 1 , da cui a= b 1 ·(q 1 ·q) . Da ciò consegue che il prodotto di due interi è un intero, allora l'uguaglianza a=b 1 ·(q 1 ·q) indica che b 1 è un divisore del numero a . Tenendo conto delle disuguaglianze di cui sopra 1
Ora possiamo dimostrare che i numeri primi sono infiniti.
Teorema.
Esistono infiniti numeri primi.
Prova.
Supponiamo che non lo sia. Cioè, supponiamo che ci siano solo n primi e che questi primi siano p 1 , p 2 , …, p n . Mostriamo che possiamo sempre trovare un numero primo diverso da quelli indicati.
Consideriamo un numero p uguale a p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . È chiaro che questo numero è diverso da ciascuno dei primi p 1 , p 2 , …, p n . Se il numero p è primo il teorema è dimostrato. Se questo numero è composto, allora, in virtù del teorema precedente, esiste un divisore primo di questo numero (denotiamolo p n+1 ). Mostriamo che questo divisore non coincide con nessuno dei numeri p 1 , p 2 , …, p n .
Se così non fosse, allora per le proprietà di divisibilità, il prodotto p 1 ·p 2 ·…·p n sarebbe divisibile per p n+1 . Ma il numero p è divisibile anche per p n+1, pari alla somma p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Ciò implica che il secondo termine di questa somma, che è uguale a uno, deve essere divisibile per p n+1, e questo è impossibile.
In tal modo è dimostrato che si può sempre trovare un nuovo numero primo che non sia contenuto tra nessun numero primo dato in anticipo. Pertanto i numeri primi sono infiniti.
Quindi, poiché i numeri primi sono infiniti, quando compilano tabelle di numeri primi, si limitano sempre dall'alto a un numero, di solito 100, 1.000, 10.000, ecc.
Setaccio di Eratostene
Ora discuteremo le modalità di compilazione delle tabelle dei numeri primi. Supponiamo di dover creare una tabella dei numeri primi fino a 100 .
Il metodo più ovvio per risolvere questo problema è controllare in sequenza gli interi positivi, iniziando da 2 e terminando con 100 , per la presenza di un divisore positivo maggiore di 1 e minore del numero da controllare (dalle proprietà di divisibilità, otteniamo sapere che il valore assoluto del divisore non supera il valore assoluto del dividendo, diverso da zero). Se tale divisore non viene trovato, il numero da controllare è primo e viene inserito nella tabella dei numeri primi. Se viene trovato un tale divisore, il numero da controllare è composto, NON viene inserito nella tabella dei numeri primi. Successivamente, si passa al numero successivo, su cui viene controllata in modo simile la presenza di un divisore.
Descriviamo i primi passi.
Iniziamo dal numero 2. Il numero 2 non ha divisori positivi diversi da 1 e 2. Pertanto è primo, quindi lo inseriamo nella tabella dei numeri primi. Qui va detto che 2 è il numero primo più piccolo. Passiamo al numero 3. Il suo possibile divisore positivo diverso da 1 e 3 è 2 . Ma 3 non è divisibile per 2, quindi 3 è un numero primo e deve essere inserito anche nella tabella dei numeri primi. Passiamo al numero 4. I suoi divisori positivi diversi da 1 e 4 possono essere 2 e 3 , controlliamoli. Il numero 4 è divisibile per 2, quindi 4 è un numero composto e non necessita di essere inserito nella tabella dei numeri primi. Nota che 4 è il numero composto più piccolo. Passiamo al numero 5. Controlliamo se almeno uno dei numeri 2 , 3 , 4 è il suo divisore. Poiché 5 non è divisibile né per 2, né per 3, né per 4, è primo e deve essere scritto nella tabella dei numeri primi. Poi c'è il passaggio ai numeri 6, 7 e così via fino a 100.
Questo approccio alla compilazione di una tabella di numeri primi è tutt’altro che ideale. In un modo o nell'altro, ha il diritto di esistere. Nota che con questo metodo di costruzione di una tabella di numeri interi, puoi utilizzare i criteri di divisibilità, che accelereranno leggermente il processo di ricerca dei divisori.
Esiste un modo più conveniente per compilare una tabella di numeri primi chiamata . La parola “setaccio” presente nel nome non è casuale, poiché le azioni di questo metodo aiutano, per così dire, a “setacciare” gli interi di Eratostene, le unità grandi, per separare quelle semplici da quelle composte.
Mostriamo il crivello di Eratostene in azione durante la compilazione di una tabella dei numeri primi fino a 50.
Per prima cosa scriviamo i numeri 2, 3, 4, ..., 50 in ordine.
Il primo numero scritto 2 è primo. Ora dal numero 2 ci spostiamo in sequenza a destra di due numeri e cancelliamo questi numeri fino ad arrivare alla fine della tabella dei numeri compilata. Quindi tutti i numeri multipli di due verranno cancellati.
Il primo numero non barrato dopo il 2 è 3 . Questo numero è primo. Ora, dal numero 3, ci spostiamo in sequenza a destra di tre numeri (tenendo conto dei numeri già cancellati) e li cancelliamo. Quindi tutti i numeri multipli di tre verranno cancellati.
Il primo numero non barrato dopo il 3 è 5 . Questo numero è primo. Ora, dal numero 5, ci spostiamo in sequenza a destra di 5 numeri (prendiamo in considerazione anche i numeri cancellati in precedenza) e li cancelliamo. Quindi tutti i numeri multipli di cinque verranno cancellati.
Successivamente, cancelliamo i numeri che sono multipli di 7, poi multipli di 11 e così via. Il processo termina quando non ci sono più numeri da cancellare. Di seguito è riportata una tabella completa dei numeri primi fino a 50 ottenuti utilizzando il crivello di Eratostene. Tutti i numeri non barrati sono primi e tutti i numeri barrati sono compositi.
Formuliamo e dimostriamo un teorema che accelererà il processo di compilazione di una tabella di numeri primi utilizzando il crivello di Eratostene.
Teorema.
Il divisore non uno meno positivo di un numero composto a non supera , dove proviene da a .
Prova.
Indichiamo con la lettera b il più piccolo divisore del numero composto a che differisce dall'unità (il numero b è primo, che segue dal teorema dimostrato all'inizio del paragrafo precedente). Allora esiste un intero q tale che a=b q (qui q è un intero positivo, che segue dalle regole per la moltiplicazione degli interi), e (quando b>q, la condizione che b sia il più piccolo divisore di a è violata, poiché q è anche un divisore di a per l'uguaglianza a=q b ). Moltiplicando entrambi i lati della disuguaglianza per un positivo e maggiore di un intero b (ci è consentito farlo), otteniamo , da dove e .
Cosa ci dà il teorema dimostrato riguardo al crivello di Eratostene?
Innanzitutto, la cancellazione dei numeri composti che sono multipli di un numero primo b dovrebbe iniziare con un numero uguale a (questo segue dalla disuguaglianza ). Ad esempio, i numeri multipli di due dovrebbero iniziare con il numero 4, i multipli di tre con il numero 9, i multipli di cinque con il numero 25 e così via.
In secondo luogo, la compilazione di una tabella dei numeri primi fino al numero n utilizzando il crivello di Eratostene può considerarsi completa quando vengono cancellati tutti i numeri composti che sono multipli di numeri primi non superiori. Nel nostro esempio, n=50 (perché stiamo tabulando i primi fino a 50 ) e , quindi il crivello di Eratostene deve eliminare tutti i multipli compositi dei primi 2 , 3 , 5 e 7 che non superano la radice quadrata aritmetica di 50 . Cioè, non abbiamo più bisogno di cercare e cancellare i numeri che sono multipli dei numeri primi 11 , 13 , 17 , 19 , 23 e così via fino a 47 , poiché saranno già cancellati come multipli dei numeri primi più piccoli 2 , 3, 5 e 7.
Questo numero è primo o composto?
Alcuni compiti richiedono di scoprire se un dato numero è primo o composto. Nel caso generale, questo compito è tutt'altro che semplice, soprattutto per i numeri il cui record è costituito da un numero significativo di caratteri. Nella maggior parte dei casi, devi cercare un modo specifico per risolverlo. Cercheremo comunque di dare una direzione al filone di pensiero per casi semplici.
Indubbiamente si può provare a utilizzare criteri di divisibilità per dimostrare che un dato numero è composto. Se, ad esempio, qualche criterio di divisibilità mostra che il numero dato è divisibile per un intero positivo maggiore di uno, allora il numero originale è composto.
Esempio.
Dimostrare che il numero 898 989 898 989 898 989 è composto.
Soluzione.
La somma delle cifre di questo numero è 9 8+9 9=9 17 . Poiché il numero uguale a 9 17 è divisibile per 9, in base al criterio di divisibilità per 9 si può sostenere che anche il numero originale è divisibile per 9. Pertanto è composito.
Uno svantaggio significativo di questo approccio è che i criteri di divisibilità non ci consentono di dimostrare la semplicità di un numero. Pertanto, quando si controlla se un numero è primo o composto, è necessario procedere diversamente.
L'approccio più logico è enumerare tutti i possibili divisori di un dato numero. Se nessuno dei possibili divisori è un vero divisore di un dato numero, allora quel numero è primo; altrimenti è composto. Dai teoremi dimostrati nel paragrafo precedente consegue che i divisori di un dato numero a vanno ricercati tra i numeri primi non superiori a . Pertanto, il numero dato a può essere successivamente diviso per i numeri primi (che è conveniente ricavare dalla tabella dei numeri primi), cercando di trovare il divisore del numero a. Se viene trovato un divisore, il numero a è composto. Se tra i numeri primi non superiori a , non esiste alcun divisore del numero a, allora il numero a è primo.
Esempio.
Numero 11 723 semplice o composto?
Soluzione.
Scopriamo a quale numero primo possono appartenere i divisori del numero 11 723. Per questo, stimiamo .
È abbastanza ovvio 
, dal 200 2 \u003d 40 000 e 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью confronto numerico). Pertanto i possibili divisori primi di 11.723 sono inferiori a 200. Ciò semplifica già notevolmente il nostro compito. Se non lo sapessimo, dovremmo ordinare tutti i numeri primi non fino a 200, ma fino al numero 11 723 .
Se lo desideri, puoi stimare in modo più accurato. Da 108 2 \u003d 11 664 e 109 2 \u003d 11 881, quindi 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Pertanto, qualsiasi numero primo inferiore a 109 è potenzialmente un divisore primo del numero dato 11.723.
Ora divideremo in sequenza il numero 11 723 nei numeri primi 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. Se il numero 11 723 viene diviso interamente per uno dei numeri primi scritti, allora sarà composto. Se non è divisibile per nessuno dei numeri primi scritti, allora il numero originale è primo.
Non descriveremo l'intero processo di divisione monotono e monotono. Diciamo solo che 11 723
Tutti gli altri numeri naturali sono detti compositi. Il numero naturale 1 non è né primo né composto.
Esempio
Esercizio. Quali tra i seguenti numeri naturali sono primi:
Risposta.
Fattorizzazione di un numero
Si chiama la rappresentazione di un numero naturale come prodotto di numeri naturali fattorizzazione. Se nella fattorizzazione di un numero naturale tutti i fattori sono numeri primi, viene chiamata tale fattorizzazione fattorizzazione in numeri primi.
Teorema
(Teorema fondamentale dell'aritmetica)
Ogni numero naturale diverso da 1 può essere scomposto in fattori primi, e per di più in modo unico (se identifichiamo le scomposizioni e , dove e sono numeri primi).
Combinando fattori primi identici nella scomposizione di un numero, otteniamo la cosiddetta scomposizione canonica di un numero:
dove , sono numeri primi diversi e sono numeri naturali.
Esempio
Esercizio. Trovare l'espansione canonica dei numeri:
Soluzione. Per trovare la scomposizione canonica dei numeri, devi prima scomporli in fattori primi, quindi combinare gli stessi fattori e scrivere il loro prodotto come un grado con esponente naturale:
Risposta.
Riferimento storico
Come determinare quale numero è primo e quale no? Il metodo più comune per trovare tutti i numeri primi in qualsiasi intervallo numerico fu proposto nel III secolo. AVANTI CRISTO e. Eratostene (il metodo è chiamato il “criaccio di Eratostene”). Supponiamo di dover determinare quale dei numeri è primo. Li scriviamo in fila e cancelliamo ogni secondo numero da quelli che seguono il numero 2: sono tutti composti, poiché sono multipli del numero 2. Il primo dei restanti numeri non barrati - 3 - è primo. Cancella ogni terzo numero da quelli che seguono il numero 3; anche il successivo dei numeri non incrociati, 5, sarà primo. Con lo stesso principio cancelliamo ogni quinto numero da quelli che seguono il numero 5 e, in generale, ogni -e da quelli che seguono il numero . Tutti i restanti numeri non barrati saranno primi.
Man mano che i numeri primi aumentano, diventano sempre meno comuni. Tuttavia già gli antichi erano ben consapevoli del fatto che ne esistono un'infinità. La sua dimostrazione è data negli Elementi di Euclide.
- Traduzione
Le proprietà dei numeri primi furono studiate per la prima volta dai matematici dell'antica Grecia. I matematici della scuola pitagorica (500-300 a.C.) erano interessati principalmente alle proprietà mistiche e numerologiche dei numeri primi. Sono stati i primi a inventare idee sui numeri perfetti e amichevoli.
Un numero perfetto ha i propri divisori uguali a se stesso. Ad esempio, i divisori propri del numero 6 sono: 1, 2 e 3. 1 + 2 + 3 = 6. I divisori del numero 28 sono 1, 2, 4, 7 e 14. Inoltre, 1 + 2 + 4 +7+14 = 28.
I numeri sono chiamati amichevoli se la somma dei divisori propri di un numero è uguale a un altro e viceversa, ad esempio 220 e 284. Possiamo dire che un numero perfetto è amico di se stesso.
Al momento della comparsa dell'opera degli "Inizi" di Euclide nel 300 a.C. Molti fatti importanti sui numeri primi sono già stati dimostrati. Nel Libro IX degli Elementi Euclide dimostrò che i numeri primi sono infiniti. A proposito, questo è uno dei primi esempi di utilizzo della prova per contraddizione. Dimostra anche il teorema fondamentale dell'aritmetica: ogni intero può essere rappresentato in modo unico come prodotto di numeri primi.
Mostrò anche che se il numero 2 n -1 è primo, allora il numero 2 n-1 * (2 n -1) sarà perfetto. Un altro matematico, Eulero, nel 1747 riuscì a dimostrare che tutti i numeri perfetti pari possono essere scritti in questa forma. Ad oggi non è noto se esistano numeri perfetti dispari.
Nell'anno 200 a.C. Il greco Eratostene inventò un algoritmo per trovare i numeri primi chiamato Setaccio di Eratostene.
E poi ci fu una grande svolta nella storia dello studio dei numeri primi associati al Medioevo.
Le seguenti scoperte furono fatte già all'inizio del XVII secolo dal matematico Fermat. Dimostrò la congettura di Albert Girard secondo cui qualsiasi numero primo della forma 4n+1 può essere scritto unicamente come somma di due quadrati e formulò anche un teorema secondo cui qualsiasi numero può essere rappresentato come somma di quattro quadrati.
Sviluppò un nuovo metodo di fattorizzazione per grandi numeri e lo dimostrò sul numero 2027651281 = 44021 × 46061. Dimostrò anche il Piccolo Teorema di Fermat: se p è un numero primo, allora a p = a modulo p sarà vero per qualsiasi intero a.
Questa affermazione dimostra la metà di quella che era conosciuta come “ipotesi cinese” e risale a 2000 anni prima: un intero n è primo se e solo se 2n-2 è divisibile per n. La seconda parte dell'ipotesi si è rivelata falsa: ad esempio, 2341 - 2 è divisibile per 341, sebbene il numero 341 sia composto: 341 = 31 × 11.
Il Piccolo Teorema di Fermat costituì la base per molti altri risultati nella teoria dei numeri e metodi per verificare se i numeri sono primi, molti dei quali sono ancora in uso oggi.
Fermat mantenne un'ampia corrispondenza con i suoi contemporanei, in particolare con un monaco di nome Marin Mersenne. In una delle sue lettere congetturò che i numeri della forma 2 n + 1 saranno sempre primi se n è una potenza di due. Lo testò per n = 1, 2, 4, 8 e 16, ed era sicuro che quando n non è una potenza di due, il numero non era necessariamente primo. Questi numeri sono chiamati numeri di Fermat, e solo 100 anni dopo Eulero dimostrò che il numero successivo, 232 + 1 = 4294967297, è divisibile per 641 e quindi non è primo.
Anche i numeri della forma 2 n - 1 sono stati oggetto di ricerca, poiché è facile dimostrare che se n è composto, allora anche il numero stesso è composto. Questi numeri sono chiamati numeri di Mersenne perché li studiò attivamente.
Ma non tutti i numeri della forma 2 n - 1, dove n è primo, sono primi. Ad esempio, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Questo fu scoperto per la prima volta nel 1536.
Per molti anni numeri di questo tipo hanno dato ai matematici i più grandi numeri primi conosciuti. Che il numero M 19 fu dimostrato da Cataldi nel 1588, e per 200 anni fu il più grande numero primo conosciuto, finché Eulero dimostrò che anche M 31 è primo. Questo record è rimasto per altri cento anni, quindi Lucas ha dimostrato che M 127 è primo (e questo è già un numero di 39 cifre), e successivamente la ricerca è continuata con l'avvento dei computer.
Nel 1952 fu dimostrata la primizia dei numeri M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 e M 2281.
Nel 2005 erano stati trovati 42 primi di Mersenne. Il più grande di essi, M 25964951, è composto da 7816230 cifre.
Il lavoro di Eulero ha avuto un enorme impatto sulla teoria dei numeri, compresi i numeri primi. Estese il Piccolo Teorema di Fermat e introdusse la funzione φ. Fattorizzò il 5° numero di Fermat 2 32 +1, trovò 60 coppie di numeri amici e formulò (ma non riuscì a dimostrare) la legge quadratica di reciprocità.
Fu il primo a introdurre i metodi dell'analisi matematica e sviluppò la teoria analitica dei numeri. Dimostrò che non solo la serie armonica ∑ (1/n), ma anche una serie della forma
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Ottenuto dalla somma di quantità inverse ai numeri primi, diverge anch'essa. La somma degli n termini della serie armonica cresce approssimativamente come log(n), mentre la seconda serie diverge più lentamente, come log[ log(n) ]. Ciò significa che, ad esempio, la somma dei reciproci di tutti i numeri primi finora trovati darà solo 4, anche se la serie diverge ancora.
A prima vista, sembra che i numeri primi siano distribuiti tra gli interi in modo piuttosto casuale. Ad esempio, tra i 100 numeri immediatamente prima di 10000000, ci sono 9 numeri primi, e tra i 100 numeri immediatamente dopo questo valore, ce ne sono solo 2. Ma su segmenti grandi, i numeri primi sono distribuiti in modo abbastanza uniforme. Legendre e Gauss si sono occupati della loro distribuzione. Gauss una volta disse a un amico che in ogni 15 minuti liberi conta sempre il numero di primi nei successivi 1000 numeri. Alla fine della sua vita aveva contato tutti i numeri primi fino a 3 milioni. Legendre e Gauss calcolarono ugualmente che per n grandi la densità dei numeri primi è 1/log(n). Legendre ha stimato il numero di numeri primi tra 1 e n as
π(n) = n/(log(n) - 1,08366)
E Gauss - come integrale logaritmico
π(n) = ∫ 1/log(t) dt
Con un intervallo di integrazione da 2 a n.
L'affermazione sulla densità dei numeri primi 1/log(n) è nota come Teorema dei Numeri Primi. Tentarono di dimostrarlo per tutto il XIX secolo e Chebyshev e Riemann fecero progressi. Lo collegarono all'ipotesi di Riemann, una congettura finora non dimostrata sulla distribuzione degli zeri della funzione zeta di Riemann. La densità dei numeri primi fu dimostrata simultaneamente da Hadamard e de la Vallée-Poussin nel 1896.
Nella teoria dei numeri primi ci sono ancora molte questioni irrisolte, alcune delle quali risalgono a molte centinaia di anni fa:
- Ipotesi dei primi gemelli: riguarda un numero infinito di coppie di numeri primi che differiscono tra loro di 2
- Congettura di Goldbach: qualsiasi numero pari, a partire da 4, può essere rappresentato come la somma di due numeri primi
- Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n 2 + 1 ?
- è sempre possibile trovare un numero primo compreso tra n 2 e (n + 1) 2 ? (il fatto che tra n e 2n esista sempre un numero primo è stato dimostrato da Chebyshev)
- Esiste un numero infinito di numeri primi di Fermat? esistono primi di Fermat dopo il 4?
- esiste una progressione aritmetica di numeri primi consecutivi per una data lunghezza? ad esempio per la lunghezza 4: 251, 257, 263, 269. La lunghezza massima trovata è 26 .
- Esiste un numero infinito di serie di tre numeri primi consecutivi in una progressione aritmetica?
- n 2 - n + 41 è un numero primo per 0 ≤ n ≤ 40. Esiste un numero infinito di tali numeri primi? La stessa domanda per la formula n 2 - 79 n + 1601. Questi numeri sono primi per 0 ≤ n ≤ 79.
- Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n# + 1? (n# è il risultato della moltiplicazione di tutti i numeri primi minori di n)
- Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n# -1 ?
- Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n! +1?
- Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n! - 1?
- se p è primo, 2 p -1 non è sempre compreso tra i fattori dei primi quadrati
- La sequenza di Fibonacci contiene un numero infinito di numeri primi?
I numeri primi gemelli più grandi sono 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sono costituiti da 58711 cifre e sono stati trovati nel 2007.
Il numero primo fattoriale più grande (della forma n! ± 1) è 147855! - 1. È composto da 142891 cifre ed è stato trovato nel 2002.
Il più grande numero primo primoriale (un numero della forma n# ± 1) è 1098133# + 1.
Definizione 1. numero primoè un numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per se stesso e per 1.
In altre parole, un numero è primo se ha solo due divisori naturali distinti.
Definizione 2. Viene chiamato qualsiasi numero naturale che abbia altri divisori oltre a se stesso e uno numero composto.
In altre parole, i numeri naturali che non sono primi sono detti numeri composti. La definizione 1 implica che un numero composto ha più di due divisori naturali. Il numero 1 non è né primo né composto. ha un solo divisore 1 e, oltre a questo, molti teoremi sui numeri primi non valgono per l'unità.
Dalle definizioni 1 e 2 segue che ogni intero positivo maggiore di 1 è un numero primo o un numero composto.
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Tabella dei numeri primi
Dichiarazione 1. Se Pè un numero primo e UN qualsiasi numero intero, allora neanche UN diviso per P, O P E UN numeri relativamente primi.
Veramente. Se P numero primo, allora è divisibile solo per se stesso e 1 se UN non divisibile per P, quindi il massimo comun divisore UN E Pè uguale a 1. Quindi P E UN numeri relativamente primi.
Dichiarazione 2. Se il prodotto di più numeri di numeri UN 1 , UN 2 , UN 3 , ... è divisibile per un numero primo P, quindi almeno uno dei numeri UN 1 , UN 2 , UN 3 , ... è divisibile per P.
Veramente. Se nessuno dei numeri è divisibile per P, poi i numeri UN 1 , UN 2 , UN 3 , ... sarebbero numeri relativamente primi rispetto a P. Ma dal Corollario 3 () ne consegue che il loro prodotto UN 1 , UN 2 , UN 3 , ... è anche coprimo rispetto a P, il che contraddice il presupposto dell'affermazione. Pertanto, almeno uno dei numeri è divisibile per P.
Teorema 1. Qualsiasi numero composto può sempre essere rappresentato, e per di più in modo unico, come prodotto di un numero finito di numeri primi.
Prova. Permettere K numero composto e lasciamo UN 1 è uno dei suoi divisori diverso da 1 e da se stesso. Se UN 1 è composto, quindi ha in aggiunta a 1 e UN 1 e un altro divisore UN 2. Se UN 2 è un numero composto, quindi ha, oltre a 1 e UN 2 e un altro divisore UN 3 . Argomentando in questo modo e tenendo conto che sono i numeri UN 1 , UN 2 , UN 3 , ... diminuiscono e questa serie contiene un numero finito di termini, raggiungeremo un numero primo P 1 . Poi K può essere rappresentato come
Supponiamo che ci siano due espansioni di un numero K:
Perché k=p 1 P 2 P 3... è divisibile per un numero primo Q 1 , allora almeno uno dei fattori, ad esempio P 1 è divisibile per Q 1 . Ma P 1 è primo ed è divisibile solo per 1 e per se stesso. Quindi P 1 =Q 1 (perché Q 1 ≠1)
Allora da (2) possiamo escludere P 1 e Q 1:
Pertanto, ci assicuriamo che qualsiasi numero primo che entra nella prima espansione come fattore una o più volte entri nella seconda espansione almeno lo stesso numero di volte e viceversa, qualsiasi numero primo che entra nella seconda espansione come fattore una o più volte times entra anche nella prima espansione almeno altrettante volte. Pertanto, qualsiasi numero primo entra come fattore in entrambe le espansioni lo stesso numero di volte e, quindi, queste due espansioni sono le stesse.
Scomposizione di un numero composto K può essere scritto nella seguente forma
| (3) |
Dove P 1 , P 2 , ... numeri primi distinti, α, β, γ ... numeri interi positivi.
Viene chiamata la scomposizione (3). decomposizione canonica numeri.
I numeri primi nella serie dei numeri naturali si presentano in modo non uniforme. In alcune parti della serie ce ne sono di più, in altre meno. Più ci muoviamo lungo la serie dei numeri, più rari saranno i numeri primi. La domanda è: esiste un numero primo più grande? L'antico matematico greco Euclide dimostrò che esistono infiniti numeri primi. Presentiamo questa dimostrazione di seguito.
Teorema 2. Il numero dei numeri primi è infinito.
Prova. Supponiamo che esista un numero finito di numeri primi e sia il numero primo più grande P. Consideriamo tutti i numeri P. Per presupposto dell'enunciato, questi numeri devono essere composti e devono essere divisibili per almeno uno dei numeri primi. Scegliamo un numero che è il prodotto di tutti questi numeri primi più 1:
Numero z Di più P Perché 2p già di più P. P non è divisibile per nessuno di questi numeri primi, poiché diviso per ciascuno di essi dà resto 1. Arriviamo così a una contraddizione. Pertanto i numeri primi sono infiniti.
Questo teorema è un caso speciale di un teorema più generale:
Teorema 3. Sia data una progressione aritmetica
Quindi qualsiasi numero primo inserito N, dovrebbe essere incluso anche in M, quindi dentro N non può includere altri fattori primi che non sono inclusi in M e, inoltre, questi fattori primi in N non appaiono più volte che in M.
È vero anche il contrario. Se ogni fattore primo di un numero N si verifica almeno lo stesso numero di volte M, Quello M diviso per N.
Dichiarazione 3. Permettere UN 1 ,UN 2 ,UN 3 ,... vari numeri primi che compaiono in M COSÌ
Dove io=0,1,...α , J=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . notare che un io accetta α +1 valori, β j accetta β +1 valori, γ k prende γ +1 valori, ... .
