Perché non puoi dividere per zero? Un esempio illustrativo. Divisione per zero. Matematica affascinante

Molto spesso, molte persone si chiedono perché sia ​​\u200b\u200bimpossibile utilizzare la divisione per zero? In questo articolo, entreremo nei dettagli sull'origine di questa regola e su quali azioni possono essere eseguite con zero.

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Zero può essere definito uno dei numeri più interessanti. Questo numero non ha significato, significa vuoto nel vero senso della parola. Tuttavia, se metti zero accanto a qualsiasi cifra, il valore di questa cifra diventerà molte volte più grande.

Il numero è di per sé molto misterioso. Era usato dall'antico popolo Maya. Per i Maya, zero significava "inizio", e anche il conto alla rovescia dei giorni del calendario iniziava da zero.

Un fatto molto interessante è che il segno di zero e il segno di incertezza erano simili per loro. Con questo, i Maya volevano dimostrare che lo zero è lo stesso identico segno dell'incertezza. In Europa, la designazione di zero è apparsa relativamente di recente.

Inoltre, molte persone conoscono il divieto associato allo zero. Chiunque lo dirà non può essere diviso per zero. Questo è ciò che dicono gli insegnanti a scuola e i bambini di solito lo credono sulla parola. Di solito, i bambini o semplicemente non sono interessati a saperlo, oppure sanno cosa succederà se, sentendo un divieto importante, chiedono immediatamente "Perché non puoi dividere per zero?". Ma quando invecchi, l'interesse si risveglia e vuoi saperne di più sui motivi di tale divieto. Tuttavia, ci sono prove ragionevoli.

Azioni con zero

Per prima cosa devi determinare quali azioni possono essere eseguite con zero. Esiste diversi tipi di attività:

• Aggiunta;
• Moltiplicazione;
• Sottrazione;
• Divisione (zero per numero);
• Esponenziamento.

Importante! Se durante l'addizione viene aggiunto zero a qualsiasi numero, questo numero rimarrà lo stesso e non cambierà il suo valore numerico. La stessa cosa accade se sottrai zero da qualsiasi numero.

Con la moltiplicazione e la divisione, le cose sono un po' diverse. Se moltiplicare qualsiasi numero per zero, allora anche il prodotto diventerà zero.

Considera un esempio:

Scriviamo questo come aggiunta:

Ci sono cinque zeri aggiunti in totale, quindi risulta che

Proviamo a moltiplicare uno per zero. Anche il risultato sarà nullo.

Lo zero può anche essere diviso per qualsiasi altro numero diverso da esso. In questo caso, risulterà, il cui valore sarà anche zero. La stessa regola si applica ai numeri negativi. Se dividi zero per un numero negativo, ottieni zero.

Puoi anche aumentare qualsiasi numero a potenza nulla. In questo caso ottieni 1. È importante ricordare che l'espressione "zero to zero power" è assolutamente priva di significato. Se provi ad elevare zero a qualsiasi potenza, ottieni zero. Esempio:

Usiamo la regola della moltiplicazione, otteniamo 0.

È possibile dividere per zero

Quindi, qui arriviamo alla domanda principale. È possibile dividere per zero affatto? E perché è impossibile dividere un numero per zero, dato che tutte le altre operazioni con zero esistono e si applicano pienamente? Per rispondere a questa domanda, devi rivolgerti alla matematica superiore.

Iniziamo con la definizione del concetto, cos'è zero? Gli insegnanti scolastici affermano che zero non è niente. Vuoto. Cioè, quando dici che hai 0 penne, significa che non hai affatto penne.

Nella matematica superiore, il concetto di "zero" è più ampio. Non significa affatto vuoto. Qui, zero si chiama incertezza, perché se fai una piccola ricerca, si scopre che dividendo zero per zero, possiamo ottenere qualsiasi altro numero come risultato, che potrebbe non essere necessariamente zero.

Sai che quelle semplici operazioni aritmetiche che hai studiato a scuola non sono così uguali tra loro? I passaggi più basilari sono addizione e moltiplicazione.

Per i matematici i concetti di "" e "sottrazione" non esistono. Supponiamo: se tre vengono sottratti da cinque, ne rimarranno due. Questo è l'aspetto della sottrazione. Tuttavia, i matematici lo scriverebbero in questo modo:

Quindi, si scopre che la differenza sconosciuta è un certo numero che deve essere aggiunto a 3 per ottenere 5. Cioè, non è necessario sottrarre nulla, devi solo trovare un numero adatto. Questa regola si applica all'addizione.

Le cose sono un po' diverse con regole di moltiplicazione e divisione.È noto che la moltiplicazione per zero porta a zero risultati. Ad esempio, se 3:0=x, se capovolgi il record, ottieni 3*x=0. E il numero che viene moltiplicato per 0 darà zero nel prodotto. Si scopre che un numero che darebbe qualsiasi valore diverso da zero nel prodotto con zero non esiste. Ciò significa che la divisione per zero non ha senso, cioè si adatta alla nostra regola.

Ma cosa succede se provi a dividere zero per se stesso? Prendiamo x come un numero indefinito. Risulta l'equazione 0 * x \u003d 0. Può essere risolto.

Se proviamo a prendere zero invece di x, otteniamo 0:0=0. Sembrerebbe logico? Ma se proviamo a prendere qualsiasi altro numero invece di x, ad esempio 1, allora otteniamo 0:0=1. La stessa situazione sarà se prendi qualsiasi altro numero e inserirlo nell'equazione.

In questo caso, risulta che possiamo prendere qualsiasi altro numero come fattore. Il risultato sarà un numero infinito di numeri diversi. A volte, tuttavia, la divisione per 0 nella matematica superiore ha senso, ma di solito c'è una certa condizione grazie alla quale possiamo ancora scegliere un numero adatto. Questa azione è chiamata "divulgazione dell'incertezza". Nell'aritmetica ordinaria, la divisione per zero perderà nuovamente il suo significato, poiché non saremo in grado di scegliere nessun numero dall'insieme.

Importante! Lo zero non può essere diviso per zero.

Zero e infinito

L'infinito è molto comune nella matematica superiore. Poiché semplicemente non è importante per gli scolari sapere che esistono ancora operazioni matematiche con l'infinito, gli insegnanti non possono spiegare adeguatamente ai bambini perché è impossibile dividere per zero.

Gli studenti iniziano ad apprendere i segreti matematici di base solo nel primo anno dell'istituto. La matematica superiore fornisce una vasta gamma di problemi che non hanno soluzione. I problemi più famosi sono i problemi con l'infinito. Possono essere risolti con analisi matematica.

Puoi anche applicare all'infinito operazioni matematiche elementari: addizione, moltiplicazione per un numero. Anche la sottrazione e la divisione sono comunemente usate, ma alla fine si riducono ancora a due semplici operazioni.

I matematici hanno uno specifico senso dell'umorismo e alcune questioni relative ai calcoli non sono state prese sul serio per molto tempo. Non è sempre chiaro se stiano cercando di spiegarti in tutta serietà perché è impossibile dividere per zero, o è un altro scherzo. Ma la domanda in sé non è così ovvia, se nella matematica elementare è possibile raggiungere la sua soluzione in modo puramente logico, allora nella matematica superiore potrebbero esserci altre condizioni iniziali.

Quando è apparso lo zero?

Il numero zero è irto di molti misteri:

• Nell'antica Roma questo numero non era noto, il sistema di riferimento iniziava con I.
• Arabi e indiani hanno sostenuto a lungo il diritto di essere chiamati i progenitori dello zero.
• Gli studi sulla cultura Maya hanno dimostrato che questa antica civiltà potrebbe essere la prima in termini di utilizzo dello zero.
• Lo zero non ha valore numerico, nemmeno minimo.
• Letteralmente non significa niente, l'assenza di cose da contare.

Nel sistema primitivo non c'era particolare bisogno di una tale figura, l'assenza di qualcosa poteva essere spiegata con l'aiuto delle parole. Ma con l'ascesa delle civiltà sono aumentate anche le esigenze umane, in termini di architettura e ingegneria.

Per eseguire calcoli più complessi e derivare nuove funzioni, ci sono voluti un numero che indicherebbe la completa assenza di qualcosa.

È possibile dividere per zero?

Su questo account, ci sono due opinioni diametralmente opposte:

A scuola, anche alle elementari, insegnano che la divisione per zero è comunque impossibile. Questo è spiegato molto semplicemente:

1. Immaginiamo di avere 20 fette di mandarino.
2. Dividendoli per 5, distribuirai 4 fette a cinque amici.
3. Dividere per zero non funzionerà, perché il processo di divisione tra qualcuno non funzionerà.

Naturalmente, questa è una spiegazione figurativa, in gran parte semplificata e non del tutto coerente con la realtà. Ma spiega nel modo più accessibile l'insensatezza di dividere qualcosa per zero.

Dopotutto, infatti, in questo modo è possibile denotare il fatto dell'assenza di divisione. E perché complicare calcoli matematici e annotare anche l'assenza di divisione?

Lo zero può essere diviso per un numero?

Dal punto di vista della matematica applicata, qualsiasi divisione in cui prende parte lo zero non ha molto senso. Ma i libri di testo scolastici sono inequivocabili secondo loro:

• Lo zero può essere diviso.
• Qualsiasi numero dovrebbe essere usato per la divisione.
• Non puoi dividere zero per zero.

Il terzo punto può causare un leggero sconcerto, perché solo pochi paragrafi sopra è stato indicato che una tale divisione è del tutto possibile. In effetti, tutto dipende dalla disciplina in cui conduci i calcoli.

In questo caso, è davvero meglio che gli scolari lo scrivano l'espressione non può essere determinata e, quindi, non ha senso. Ma in alcuni rami della scienza algebrica è consentito scrivere una tale espressione, con la divisione di zero per zero. Soprattutto quando si tratta di computer e linguaggi di programmazione.

La necessità di dividere zero per un numero può sorgere durante la soluzione di eventuali uguaglianze e la ricerca dei valori iniziali. Ma in tal caso, la risposta sarà sempre zero. Qui, come con la moltiplicazione, indipendentemente dal numero per cui dividi lo zero, non otterrai più di zero. Pertanto, se questo caro numero viene notato in una formula enorme, prova a "stimare" rapidamente se tutti i calcoli si ridurranno a una soluzione molto semplice.

Se l'infinito è diviso per zero

Era necessario menzionare poco prima i valori infinitamente grandi e infinitamente piccoli, perché questo apre anche alcune scappatoie per la divisione, incluso l'uso dello zero. È vero, e c'è un piccolo intoppo, perché il valore infinitesimale e la completa assenza di valore sono concetti diversi.

Ma questa piccola differenza nelle nostre condizioni può essere trascurata, alla fine i calcoli vengono eseguiti utilizzando quantità astratte:

• Il numeratore deve avere il segno di infinito.
• I denominatori sono un'immagine simbolica di un valore tendente allo zero.
• La risposta sarà infinito, che rappresenta una funzione infinitamente grande.

Va notato che stiamo ancora parlando della visualizzazione simbolica di una funzione infinitesimale e non dell'uso di zero. Nulla è cambiato con questo segno, non può ancora essere diviso in esso, solo come eccezioni molto, molto rare.

Per la maggior parte, lo zero viene utilizzato per risolvere i problemi presenti piano puramente teorico. Forse, dopo decenni o addirittura secoli, tutti i calcoli moderni troveranno applicazioni pratiche e forniranno una sorta di grandiosa svolta nella scienza.

Nel frattempo, la maggior parte dei geni matematici sogna solo il riconoscimento mondiale. Un'eccezione a queste regole è il nostro connazionale, Perelmann. Ma è noto grazie alla soluzione di un problema davvero epocale con la dimostrazione della congettura di Poinquere e del comportamento stravagante.

Paradossi e l'insensatezza della divisione per zero

La divisione per zero, per la maggior parte, non ha senso:

• la divisione è rappresentata come funzione inversa alla moltiplicazione.
• Possiamo moltiplicare qualsiasi numero per zero e ottenere zero nella risposta.
• Con la stessa logica, si potrebbe dividere qualsiasi numero per zero.
• In tali condizioni, non sarebbe difficile concludere che qualsiasi numero moltiplicato o diviso per zero è uguale a qualsiasi altro numero su cui è stata eseguita questa operazione.
• Scartiamo l'azione matematica e otteniamo una conclusione interessante: qualsiasi numero è uguale a qualsiasi numero.

Oltre a creare tali incidenti, la divisione per zero non ha alcun valore pratico, dalla parola in generale. Anche se puoi eseguire questa azione, non otterrai alcuna nuova informazione.

Dal punto di vista della matematica elementare, durante la divisione per zero, l'intero oggetto viene diviso zero volte, cioè nemmeno una volta. In poche parole - nessun processo di divisione, pertanto, il risultato di questo evento non può essere.

Essendo nella stessa società con un matematico, puoi sempre porre un paio di domande banali, ad esempio perché non puoi dividere per zero e ottenere una risposta interessante e comprensibile. O irritabilità, perché probabilmente non è la prima volta che a una persona viene chiesto questo. E nemmeno dieci. Quindi prenditi cura dei tuoi amici matematici, non fargli ripetere una spiegazione centinaia di volte.

Video: dividi per zero

In questo video, la matematica Anna Lomakova ti dirà cosa succede se dividi un numero per zero e perché questo non può essere fatto, dal punto di vista della matematica:

La regola matematica relativa alla divisione per zero è stata insegnata a tutte le persone della prima elementare di una scuola comprensiva. "Non puoi dividere per zero", hanno insegnato a tutti noi e hanno proibito, pena una pacca sulla schiena, di dividere per zero e discutere in generale di questo argomento. Sebbene alcuni insegnanti di scuola elementare cercassero ancora di spiegare perché è impossibile dividere per zero usando semplici esempi, questi esempi erano così illogici che era più facile ricordare questa regola e non fare troppe domande. Ma tutti questi esempi erano illogici per il motivo che gli insegnanti non potevano spiegarcelo logicamente in prima elementare, poiché in prima elementare non sapevamo nemmeno cosa fosse un'equazione, e logicamente questa regola matematica può essere spiegata solo con il aiuto delle equazioni

Tutti sanno che dividendo un numero qualsiasi per zero, verrà fuori un vuoto. Perché esattamente il vuoto, considereremo più avanti.

In generale, in matematica, solo due procedure con numeri sono riconosciute come indipendenti. Questa è addizione e moltiplicazione. Le restanti procedure sono considerate derivate da queste due procedure. Diamo un'occhiata a questo con un esempio.

Dimmi, quanto sarà, ad esempio, 11-10? Risponderemo tutti all'istante che sarà 1. E come abbiamo trovato una risposta del genere? Qualcuno dirà che è già chiaro che sarà 1, qualcuno dirà che ha preso 10 mele da 11 e ha calcolato che si è rivelata una mela. Dal punto di vista della logica, tutto è corretto, ma secondo le leggi della matematica, questo problema è risolto in modo diverso. Va ricordato che l'addizione e la moltiplicazione sono considerate le procedure principali, quindi è necessario effettuare la seguente equazione: x + 10 \u003d 11, e solo allora x \u003d 11-10, x \u003d 1. Nota che l'addizione viene prima e solo allora, in base all'equazione, possiamo sottrarre. Sembrerebbe, perché così tante procedure? Dopotutto, la risposta è così ovvia. Ma solo tali procedure possono spiegare l'impossibilità di dividere per zero.

Ad esempio, stiamo facendo il seguente compito matematico: vogliamo dividere 20 per zero. Quindi 20:0=x. Per scoprire quanto sarà, devi ricordare che la procedura di divisione segue dalla moltiplicazione. In altre parole, la divisione è la procedura derivata della moltiplicazione. Pertanto, è necessario creare un'equazione dalla moltiplicazione. Quindi, 0*x=20. Ecco il vicolo cieco. Qualunque sia il numero che moltiplichiamo per zero, sarà comunque 0, ma non 20. È qui che segue la regola: non puoi dividere per zero. Lo zero può essere diviso per qualsiasi numero, ma un numero non può essere diviso per zero.

Ciò solleva un'altra domanda: è possibile dividere zero per zero? Quindi 0:0=x significa 0*x=0. Questa equazione può essere risolta. Prendi, ad esempio, x=4, che significa 0*4=0. Si scopre che se dividi zero per zero ottieni 4. Ma anche qui non tutto è così semplice. Se prendiamo, ad esempio, x=12 o x=13, verrà fuori lo stesso risultato (0*12=0). In generale, indipendentemente dal numero che sostituiamo, verrà comunque visualizzato 0. Pertanto, se 0: 0, verrà fuori l'infinito. Ecco alcuni semplici calcoli. Sfortunatamente, anche la procedura per dividere zero per zero è priva di significato.

In generale, il numero zero in matematica è il più interessante. Ad esempio, tutti sanno che qualsiasi numero alla potenza zero dà uno. Certo, non incontriamo un esempio del genere nella vita reale, ma con la divisione per zero, le situazioni della vita si incontrano molto spesso. Quindi ricorda che non puoi dividere per zero.

Nel corso dell'aritmetica scolastica, tutte le operazioni matematiche vengono eseguite con numeri reali. L'insieme di questi numeri (o un campo ordinato continuo) ha una serie di proprietà (assiomi): commutatività e associatività di moltiplicazione e addizione, esistenza di elementi zero, uno, opposti e inversi. Inoltre, gli assiomi di ordine e continuità, utilizzati per l'analisi comparativa, ci consentono di determinare tutte le proprietà dei numeri reali.

Poiché la divisione è l'inverso della moltiplicazione, quando si dividono numeri reali per zero sorgono inevitabilmente due problemi irrisolvibili. Innanzitutto, il controllo del risultato della divisione per zero utilizzando la moltiplicazione non ha un'espressione numerica. Qualunque sia il numero del quoziente, se viene moltiplicato per zero, il dividendo non può essere ottenuto. In secondo luogo, nell'esempio 0:0, qualsiasi numero può servire come risposta, che, moltiplicato per un divisore, diventa sempre zero.

Divisione per zero in matematica superiore

Le difficoltà elencate di dividere per zero hanno portato al tabù su questa operazione, almeno nell'ambito del corso scolastico. Tuttavia, nella matematica superiore, trovano modi per aggirare questo divieto.

Ad esempio, costruendo un'altra struttura algebrica, diversa dalla familiare linea dei numeri. Un esempio di tale struttura è una ruota. Ci sono leggi e regolamenti qui. In particolare, la divisione non è legata alla moltiplicazione e viene convertita da un'operazione binaria (con due argomenti) a un'operazione unaria (con un argomento), indicata dal simbolo /x.

L'espansione del campo dei numeri reali avviene a causa dell'introduzione dei numeri iperreali, che coprono quantità infinitamente grandi e infinitamente piccole. Questo approccio ci permette di considerare il termine "infinito" come un certo numero. Inoltre, questo numero, espandendo la linea numerica, perde il suo segno, trasformandosi in un punto idealizzato che collega le due estremità di questa linea. Questo approccio può essere paragonato alla linea di cambio data, quando, spostandosi tra due fusi orari UTC + 12 e UTC-12, ci si può ritrovare nel giorno successivo o in quello precedente. In questo caso, l'affermazione x/0=∞ diventa vera per ogni x≠0.

Per eliminare l'incertezza 0/0, viene introdotto un nuovo elemento ⏊=0/0 per la ruota. Allo stesso tempo, questa struttura algebrica ha le sue sfumature: 0 x≠0; x-x≠0 nel caso generale. Anche x·/x≠1, poiché divisione e moltiplicazione non sono più considerate operazioni inverse. Ma queste caratteristiche della ruota sono ben spiegate usando le identità della legge distributiva, che opera in una tale struttura algebrica in modo alquanto diverso. Spiegazioni più dettagliate possono essere trovate nella letteratura specializzata.

L'algebra, a cui tutti sono abituati, è, infatti, un caso speciale di sistemi più complessi, ad esempio la stessa ruota. Come puoi vedere, è possibile dividere per zero in matematica superiore. Ciò richiede di andare oltre i confini delle solite idee sui numeri, le operazioni algebriche e le leggi a cui obbediscono. Anche se questo è un processo del tutto naturale che accompagna qualsiasi ricerca di nuove conoscenze.

Divisione per zero in matematica, una divisione in cui il divisore è zero. Tale divisione può essere formalmente scritta come ⁄ 0, dove è il dividendo.

Nell'aritmetica ordinaria (con numeri reali), questa espressione non ha senso, perché:

• a ≠ 0, non esiste un numero che, moltiplicato per 0, dia, quindi, nessun numero può essere preso come quoziente ⁄ 0;
• a = 0, anche la divisione per zero è indefinita, poiché qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà 0 e può essere preso come quoziente 0 ⁄ 0.

Storicamente, uno dei primi riferimenti all'impossibilità matematica di assegnare il valore ⁄ 0 è nella critica di George Berkeley al calcolo infinitesimale.

Errori logici

Poiché quando moltiplichiamo qualsiasi numero per zero, otteniamo sempre zero come risultato, quando dividiamo entrambe le parti dell'espressione × 0 = × 0, che è vero indipendentemente dal valore di e, per 0, otteniamo l'espressione = , che è errato nel caso di variabili date arbitrariamente. Poiché lo zero può essere dato implicitamente, ma sotto forma di un'espressione matematica piuttosto complessa, ad esempio sotto forma della differenza di due valori ridotti l'uno dall'altro mediante trasformazioni algebriche, tale divisione può essere un errore piuttosto evidente. L'impercettibile introduzione di una tale divisione nel processo di dimostrazione per mostrare l'identità di quantità ovviamente diverse, provando così qualsiasi affermazione assurda, è una delle varietà del sofisma matematico.

Nell'informatica

Nella programmazione, a seconda del linguaggio di programmazione, del tipo di dati e del valore del dividendo, un tentativo di dividere per zero può portare a conseguenze diverse. Le conseguenze della divisione per zero nell'aritmetica intera e reale sono fondamentalmente diverse:

• Tentativo numero intero la divisione per zero è sempre un errore critico che rende impossibile continuare l'esecuzione del programma. Porta a lanciare un'eccezione (che il programma può gestire da solo, evitando così un arresto di emergenza), o ad arrestare immediatamente il programma con un messaggio di errore fatale e, possibilmente, il contenuto dello stack di chiamate. In alcuni linguaggi di programmazione, come Go, la divisione di interi per una costante zero è considerata un errore di sintassi e causa l'interruzione della compilazione del programma.
• IN vero le conseguenze aritmetiche possono essere diverse nelle diverse lingue:

• lanciare un'eccezione o fermare il programma, come con la divisione intera;
• ottenendo uno speciale valore non numerico come risultato dell'operazione. In questo caso i calcoli non vengono interrotti e il loro risultato può essere successivamente interpretato dal programma stesso o dall'utente come valore significativo o come prova di calcoli errati. Il principio è ampiamente utilizzato, secondo il quale, dividendo la forma ⁄ 0, dove ≠ 0 è un numero in virgola mobile, il risultato è uguale a positivo o negativo (a seconda del segno del dividendo) infinito - o, e quando = 0, il risultato è un valore speciale NaN (abbreviato dall'inglese not a number - "not a number"). Questo approccio è adottato nello standard IEEE 754, che è supportato da molti moderni linguaggi di programmazione.

La divisione casuale per zero in un programma per computer a volte può causare guasti costosi o pericolosi nell'apparecchiatura controllata dal programma. Ad esempio, il 21 settembre 1997, una divisione per zero nel sistema di controllo computerizzato dell'incrociatore della US Navy USS Yorktown (CG-48) ha spento tutte le apparecchiature elettroniche nel sistema, provocando l'interruzione del funzionamento della centrale elettrica della nave.

Guarda anche

Appunti

Funzione = 1 ⁄ . Quando tende a zero da destra, tende all'infinito; quando tende a zero da sinistra, tende a meno infinito

Se dividi un numero qualsiasi per zero su una calcolatrice convenzionale, otterrai la lettera E o la parola Errore, ovvero "errore".

La calcolatrice del computer in un caso simile scrive (in Windows XP): "La divisione per zero è vietata".

Tutto è coerente con la regola nota a scuola che non si può dividere per zero.

Vediamo perché.

La divisione è l'operazione matematica che è l'inverso della moltiplicazione. La divisione è definita attraverso la moltiplicazione.

Dividi un numero UN(dividendo, ad esempio 8) per un numero B(divisore, ad esempio, il numero 2) - significa trovare un tale numero X(quoziente), se moltiplicato per un divisore B risulta divisibile UN(4 2 = 8), cioè UN dividi per B significa risolvere l'equazione x · b = a.

L'equazione a: b = x è equivalente all'equazione x · b = a.

Sostituiamo la divisione con la moltiplicazione: invece di 8:2 = x scriviamo x 2 = 8.

8: 2 = 4 equivale a 4 2 = 8

18: 3 = 6 equivale a 6 3 = 18

20: 2 = 10 equivale a 10 2 = 20

Il risultato della divisione può sempre essere controllato dalla moltiplicazione. Il risultato della moltiplicazione di un divisore per un quoziente deve essere il dividendo.

Allo stesso modo, proviamo a dividere per zero.

Ad esempio, 6: 0 = ... Dobbiamo trovare un numero che, moltiplicato per 0, dia 6. Ma sappiamo che moltiplicato per zero si ottiene sempre zero. Non esiste un numero che, moltiplicato per zero, dia qualcosa di diverso da zero.

Quando dicono che è impossibile o vietato dividere per zero, significa che non esiste un numero corrispondente al risultato di tale divisione (è possibile dividere per zero, ma non dividere :)).

Perché a scuola dicono che non si può dividere per zero?

Pertanto, dentro definizione operazioni di divisione di a per b, si sottolinea subito che b ≠ 0.

Se tutto quanto scritto sopra ti è sembrato troppo complicato, allora è completamente nelle tue dita: dividere 8 per 2 significa scoprire quanti due devi prendere per ottenere 8 (risposta: 4). Dividere 18 per 3 significa scoprire quante triple devi prendere per ottenere 18 (risposta: 6).

Dividere 6 per zero significa scoprire quanti zeri devi prendere per ottenere 6. Non importa quanti zeri prendi, ottieni comunque zero, ma non ottieni mai 6, ad es. la divisione per zero non è definita.

Un risultato interessante si ottiene se si tenta di dividere il numero per zero sulla calcolatrice Android. Lo schermo visualizzerà ∞ (infinito) (o - ∞ se si divide per un numero negativo). Questo risultato non è corretto, poiché non esiste un numero ∞. Apparentemente, i programmatori hanno confuso operazioni completamente diverse: dividere i numeri e trovare il limite di una sequenza numerica n / x, dove x → 0. Quando si divide zero per zero, verrà scritto NaN (Not a Number - Not a number).

"Non puoi dividere per zero!" - La maggior parte degli studenti memorizza questa regola a memoria, senza fare domande. Tutti i bambini sanno cos'è il "no" e cosa succederà se chiedi in risposta: "Perché?" Ma in realtà è molto interessante e importante sapere perché è impossibile.

Il fatto è che le quattro operazioni aritmetiche - addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione - sono in realtà disuguali. I matematici ne riconoscono solo due a tutti gli effetti: addizione e moltiplicazione. Queste operazioni e le loro proprietà sono incluse nella definizione stessa del concetto di numero. Tutte le altre azioni sono costruite in un modo o nell'altro da queste due.

Consideriamo, ad esempio, la sottrazione. Cosa significa 5 - 3 ? Lo studente risponderà semplicemente: devi prendere cinque oggetti, portarne via (rimuoverne) tre e vedere quanti ne rimangono. Ma i matematici guardano a questo problema in un modo completamente diverso. Non ci sono sottrazioni, solo addizioni. Pertanto, l'ingresso 5 - 3 significa un numero che, quando aggiunto a un numero 3 darà il numero 5 . Questo è 5 - 3 è solo una scorciatoia per l'equazione: x + 3 = 5. Non c'è sottrazione in questa equazione.

Divisione per zero

C'è solo un compito: trovare un numero adatto.

Lo stesso vale per la moltiplicazione e la divisione. Registrazione 8: 4 può essere inteso come il risultato della divisione di otto oggetti in quattro pile uguali. Ma in realtà è solo una forma abbreviata dell'equazione 4 x = 8.

È qui che diventa chiaro perché è impossibile (o meglio impossibile) dividere per zero. Registrazione 5: 0 è un'abbreviazione di 0 x = 5. Cioè, questo compito è trovare un numero che, una volta moltiplicato per 0 darà 5 . Ma lo sappiamo quando moltiplicato per 0 risulta sempre 0 . Questa è una proprietà intrinseca di zero, in senso stretto, parte della sua definizione.

Un numero che, moltiplicato per 0 darà qualcosa di diverso da null, semplicemente non esiste. Cioè, il nostro problema non ha soluzione. (Sì, succede, non tutti i problemi hanno una soluzione.) 5: 0 non corrisponde a nessun numero specifico e semplicemente non rappresenta nulla e quindi non ha senso. L'insignificanza di questa voce è brevemente espressa dicendo che non puoi dividere per zero.

I lettori più attenti a questo punto si chiederanno sicuramente: è possibile dividere zero per zero?

Infatti, poiché l'equazione 0 x = 0 risolto con successo. Ad esempio, puoi prendere x=0, e quindi otteniamo 0 0 = 0. Si scopre 0: 0=0 ? Ma non affrettiamoci. Proviamo a prendere x=1. Ottenere 0 1 = 0. Giusto? Significa, 0: 0 = 1 ? Ma puoi prendere qualsiasi numero e ottenere 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 eccetera.

Ma se un qualsiasi numero è adatto, allora non abbiamo motivo di optare per nessuno di essi. Cioè, non possiamo dire quale numero corrisponde alla voce 0: 0 . E se è così, allora siamo costretti ad ammettere che anche questo record non ha senso. Si scopre che anche zero non può essere diviso per zero. (Nell'analisi matematica ci sono casi in cui, a causa di ulteriori condizioni del problema, si può dare la preferenza a una delle possibili opzioni per risolvere l'equazione 0 x = 0; in tali casi, i matematici parlano di "rivelazione di indeterminatezza", ma in aritmetica tali casi non si verificano.)

Questa è la caratteristica dell'operazione di divisione. Più precisamente, l'operazione di moltiplicazione e il numero ad essa associato hanno zero.

Ebbene, il più meticoloso, avendo letto fino a questo punto, potrebbe chiedere: perché è così che non puoi dividere per zero, ma puoi sottrarre zero? In un certo senso, è qui che inizia la vera matematica. Si può rispondere solo familiarizzando con le definizioni matematiche formali degli insiemi numerici e delle operazioni su di essi. Non è così difficile, ma per qualche motivo non è studiato a scuola. Ma nelle lezioni di matematica all'università, questo ti verrà insegnato in primo luogo.

La funzione di divisione non è definita per un intervallo in cui il divisore è zero. Puoi dividere, ma il risultato non è definito

Non puoi cancellare per zero. Matematica 2 classi di scuola superiore.

Se la mia memoria mi serve bene, allora zero può essere rappresentato come un valore infinitesimale, quindi ci sarà infinito. E la scuola "zero - niente" è solo una semplificazione, ce ne sono così tante nella matematica scolastica. Ma senza di loro in alcun modo, tutto a tempo debito.

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Divisione per zero

Privato da divisione per zero non esiste un numero diverso da zero.

Il ragionamento qui è il seguente: poiché in questo caso nessun numero può soddisfare la definizione di quoziente.

Scriviamo, ad esempio,

qualunque sia il numero che prendi per il test (diciamo, 2, 3, 7), non va bene perché:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Cosa succede se dividi per 0?

ecc., ma devi inserire il prodotto 2,3,7.

Possiamo dire che il problema di dividere per zero un numero diverso da zero non ha soluzione. Tuttavia, un numero diverso da zero può essere diviso per un numero arbitrariamente vicino a zero e più il divisore è vicino a zero, maggiore sarà il quoziente. Quindi se dividiamo 7 per

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

poi otteniamo 70, 700, 7000, 70.000 privati, ecc., che aumentano indefinitamente.

Pertanto, si dice spesso che il quoziente di divisione di 7 per 0 è "infinitamente grande", o "uguale all'infinito", e scrivono

\[7:0 = \infine\]

Il significato di questa espressione è che se il divisore si avvicina allo zero e il dividendo rimane uguale a 7 (o si avvicina a 7), il quoziente aumenta indefinitamente.