Matrice inversa del 4° ordine. Esistenza e unicità della definizione di matrice inversa

Questo argomento è uno dei più odiati dagli studenti. Peggio, probabilmente, solo determinanti.

Il trucco è che il concetto stesso di elemento inverso (e non sto parlando solo di matrici ora) ci rimanda all'operazione di moltiplicazione. Anche nel curriculum scolastico la moltiplicazione è considerata un'operazione complessa e la moltiplicazione di matrici è generalmente un argomento a parte, a cui ho dedicato un intero paragrafo e una video lezione.

Oggi non entreremo nei dettagli dei calcoli matriciali. Ricorda solo: come vengono denotate le matrici, come vengono moltiplicate e cosa ne consegue.

Recensione: moltiplicazione di matrici

Prima di tutto, mettiamoci d'accordo sulla notazione. Una matrice $A$ di dimensione $\left[ m\times n \right]$ è semplicemente una tabella di numeri con esattamente $m$ righe e $n$ colonne:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

Per non confondere accidentalmente righe e colonne in alcuni punti (credimi, nell'esame puoi confonderne uno con un due - cosa possiamo dire di alcune righe lì), dai un'occhiata all'immagine:

Cosa sta succedendo? Se posizioniamo il sistema di coordinate standard $OXY$ nell'angolo in alto a sinistra e dirigiamo gli assi in modo che coprano l'intera matrice, allora ogni cella di questa matrice può essere univocamente associata alle coordinate $\left(x;y \right) $ - questo sarà il numero di riga e il numero di colonna.

Perché il sistema di coordinate è posizionato esattamente nell'angolo in alto a sinistra? Sì, perché è da lì che si comincia a leggere qualsiasi testo. È molto facile da ricordare.

Perché l'asse $x$ punta verso il basso e non verso destra? Di nuovo, è semplice: prendi il sistema di coordinate standard (l'asse $x$ va a destra, l'asse $y$ sale) e ruotalo in modo che racchiuda la matrice. Questa è una rotazione di 90 gradi in senso orario: ne vediamo il risultato nell'immagine.

In generale, abbiamo capito come determinare gli indici degli elementi della matrice. Ora occupiamoci della moltiplicazione.

Definizione. Le matrici $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$, quando il numero di colonne nella prima corrisponde al numero di righe nella seconda, sono chiamato coerente.

È in quest'ordine. Si può essere ambigui e dire che le matrici $A$ e $B$ formano una coppia ordinata $\left(A;B \right)$: se sono coerenti in questo ordine, allora non è affatto necessario che $B $ e $A$, quelli. anche la coppia $\left(B;A \right)$ è consistente.

Possono essere moltiplicate solo matrici consistenti.

Definizione. Il prodotto delle matrici coerenti $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$ è la nuova matrice $C=\left[ m\times k \right ]$ , i cui elementi $((c)_(ij))$ sono calcolati dalla formula:

\[((c)_(ij))=\somma\limiti_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

In altre parole: per ottenere l'elemento $((c)_(ij))$ della matrice $C=A\cdot B$, devi prendere la $i$-riga della prima matrice, la $j$ -esima colonna della seconda matrice, quindi moltiplicare a coppie gli elementi di questa riga e colonna. Somma i risultati.

Sì, è una definizione dura. Ne derivano immediatamente diversi fatti:

1. La moltiplicazione di matrici è, in generale, non commutativa: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Tuttavia, la moltiplicazione è associativa: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. E anche distributivo: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. E ancora distributivo: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

La distributività della moltiplicazione doveva essere descritta separatamente per la somma del moltiplicatore sinistro e destro proprio a causa della non commutatività dell'operazione di moltiplicazione.

Se, tuttavia, risulta che $A\cdot B=B\cdot A$, tali matrici sono dette permutabili.

Tra tutte le matrici che vengono moltiplicate per qualcosa lì, ce ne sono di speciali - quelle che, se moltiplicate per qualsiasi matrice $A$, danno ancora $A$:

Definizione. Una matrice $E$ è detta identità se $A\cdot E=A$ o $E\cdot A=A$. Nel caso di una matrice quadrata $A$ possiamo scrivere:

La matrice identità è un ospite frequente nella risoluzione di equazioni matriciali. E in generale, un ospite frequente nel mondo delle matrici. :)

E a causa di questo $E$, qualcuno ha inventato tutto il gioco che verrà scritto dopo.

Cos'è una matrice inversa

Poiché la moltiplicazione di matrici è un'operazione che richiede molto tempo (devi moltiplicare un mucchio di righe e colonne), anche il concetto di matrice inversa non è il più banale. E ha bisogno di qualche spiegazione.

Definizione chiave

Bene, è ora di conoscere la verità.

Definizione. La matrice $B$ è detta l'inverso della matrice $A$ if

La matrice inversa è indicata con $((A)^(-1))$ (da non confondere con il grado!), quindi la definizione può essere riscritta in questo modo:

Sembrerebbe che tutto sia estremamente semplice e chiaro. Ma quando si analizza una tale definizione, sorgono immediatamente diverse domande:

1. Esiste sempre una matrice inversa? E se non sempre, allora come determinare: quando esiste e quando no?
2. E chi ha detto che una tale matrice è esattamente una? E se per qualche matrice originale $A$ ci fosse un'intera folla di inverse?
3. Che aspetto hanno tutti questi "rovesci"? E come li conti effettivamente?

Per quanto riguarda gli algoritmi di calcolo, ne parleremo un po 'più tardi. Ma risponderemo subito al resto delle domande. Disponiamoli sotto forma di asserzioni-lemmi separati.

Proprietà fondamentali

Cominciamo con come dovrebbe apparire la matrice $A$ affinché abbia $((A)^(-1))$. Ora faremo in modo che entrambe queste matrici siano quadrate e della stessa dimensione: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. Data una matrice $A$ e la sua inversa $((A)^(-1))$. Allora entrambe queste matrici sono quadrate e hanno lo stesso ordine $n$.

Prova. Tutto è semplice. Sia la matrice $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Poiché il prodotto $A\cdot ((A)^(-1))=E$ esiste per definizione, le matrici $A$ e $((A)^(-1))$ sono coerenti in questo ordine:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( allineare)\]

Questa è una diretta conseguenza dell'algoritmo di moltiplicazione di matrici: i coefficienti $n$ e $a$ sono "di transito" e devono essere uguali.

Allo stesso tempo, viene definita anche la moltiplicazione inversa: $((A)^(-1))\cdot A=E$, quindi le matrici $((A)^(-1))$ e $A$ sono coerente anche in questo ordine:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( allineare)\]

Quindi, senza perdita di generalità, possiamo supporre che $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Tuttavia, secondo la definizione di $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, quindi le dimensioni delle matrici sono esattamente le stesse:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Quindi risulta che tutte e tre le matrici - $A$, $((A)^(-1))$ e $E$ - sono di dimensioni quadrate $\left[ n\times n \right]$. Il lemma è dimostrato.

Bene, questo è già buono. Vediamo che solo le matrici quadrate sono invertibili. Assicuriamoci ora che la matrice inversa sia sempre la stessa.

Lemma 2. Data una matrice $A$ e la sua inversa $((A)^(-1))$. Quindi questa matrice inversa è unica.

Prova. Partiamo dall'opposto: lascia che la matrice $A$ abbia almeno due istanze di inverse — $B$ e $C$. Allora, secondo la definizione, sono vere le seguenti uguaglianze:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Dal Lemma 1 concludiamo che tutte e quattro le matrici $A$, $B$, $C$ e $E$ sono quadrati dello stesso ordine: $\left[ n\times n \right]$. Pertanto, il prodotto è definito:

Poiché la moltiplicazione di matrici è associativa (ma non commutativa!), possiamo scrivere:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Freccia destra B=C. \\ \end(align)\]

Abbiamo l'unica opzione possibile: due copie della matrice inversa sono uguali. Il lemma è dimostrato.

Il ragionamento di cui sopra ripete quasi alla lettera la dimostrazione dell'unicità dell'elemento inverso per tutti i numeri reali $b\ne 0$. L'unica aggiunta significativa è la presa in considerazione della dimensione delle matrici.

Tuttavia, non sappiamo ancora se una matrice quadrata sia invertibile. Qui ci viene in aiuto il determinante, caratteristica chiave di tutte le matrici quadrate.

Lemma 3. Data una matrice $A$. Se esiste la matrice $((A)^(-1))$ inversa ad essa, allora il determinante della matrice originale è diverso da zero:

\[\sinistra| A \giusto|\ne 0\]

Prova. Sappiamo già che $A$ e $((A)^(-1))$ sono matrici quadrate di dimensione $\left[ n\times n \right]$. Pertanto, per ciascuno di essi è possibile calcolare il determinante: $\left| A \right|$ e $\left| ((A)^(-1)) \destra|$. Tuttavia, il determinante del prodotto è uguale al prodotto dei determinanti:

\[\sinistra| A\cdot B \destra|=\sinistra| Un \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \destra|=\sinistra| Un \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \destra|\]

Ma secondo la definizione di $A\cdot ((A)^(-1))=E$, e il determinante di $E$ è sempre uguale a 1, quindi

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \sinistra| A\cdot ((A)^(-1)) \destra|=\sinistra| E\destra|; \\ & \sinistra| Un \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Il prodotto di due numeri è uguale a uno solo se ciascuno di questi numeri è diverso da zero:

\[\sinistra| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Quindi risulta che $\left| A \right|\ne 0$. Il lemma è dimostrato.

In effetti, questo requisito è abbastanza logico. Ora analizzeremo l'algoritmo per trovare la matrice inversa - e diventerà completamente chiaro perché, in linea di principio, non può esistere alcuna matrice inversa con un determinante zero.

Ma prima formuliamo una definizione "ausiliaria":

Definizione. Una matrice degenere è una matrice quadrata di dimensione $\left[ n\times n \right]$ il cui determinante è zero.

Pertanto, possiamo affermare che qualsiasi matrice invertibile è non degenerata.

Come trovare la matrice inversa

Ora considereremo un algoritmo universale per trovare matrici inverse. In generale, ci sono due algoritmi generalmente accettati e oggi considereremo anche il secondo.

Quella che ora considereremo è molto efficiente per matrici di dimensione $\left[ 2\times 2 \right]$ e - in parte - di dimensione $\left[ 3\times 3 \right]$. Ma partendo dalla dimensione $\left[ 4\times 4 \right]$ è meglio non usarlo. Perché - ora capirai tutto.

Addizioni algebriche

Preparati. Ora ci sarà dolore. No, non preoccuparti: una bella infermiera in gonna, calze con pizzo non viene da te e non ti farà un'iniezione nel gluteo. Tutto è molto più prosaico: ti stanno arrivando aggiunte algebriche e Sua Maestà la "Matrice dell'Unione".

Partiamo da quello principale. Sia una matrice quadrata di dimensione $A=\left[ n\times n \right]$ i cui elementi sono denominati $((a)_(ij))$. Quindi, per ciascuno di questi elementi, si può definire un complemento algebrico:

Definizione. Complemento algebrico $((A)_(ij))$ all'elemento $((a)_(ij))$ nella $i$-esima riga e $j$-esima colonna della matrice $A=\left [ n \times n \right]$ è una costruzione della forma

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Dove $M_(ij)^(*)$ è il determinante della matrice ottenuta dall'originale $A$ eliminando la stessa $i$-esima riga e $j$-esima colonna.

Ancora. Il complemento algebrico all'elemento di matrice con coordinate $\left(i;j \right)$ è indicato come $((A)_(ij))$ e viene calcolato secondo lo schema:

1. Per prima cosa, eliminiamo la $i$-riga e la $j$-esima colonna dalla matrice originale. Otteniamo una nuova matrice quadrata e indichiamo il suo determinante come $M_(ij)^(*)$.
2. Quindi moltiplichiamo questo determinante per $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - all'inizio questa espressione può sembrare strabiliante, ma in realtà scopriamo solo il segno davanti a $ M_(ij)^(*) $.
3. Contiamo: otteniamo un numero specifico. Quelli. l'addizione algebrica è solo un numero, non una nuova matrice, e così via.

La stessa matrice $M_(ij)^(*)$ è chiamata minore complementare dell'elemento $((a)_(ij))$. E in questo senso, la precedente definizione di complemento algebrico è un caso speciale di una definizione più complessa, quella che abbiamo considerato nella lezione sul determinante.

Nota importante. In realtà, nella matematica "adulta", le addizioni algebriche sono definite come segue:

1. Prendiamo $k$ righe e $k$ colonne in una matrice quadrata. Alla loro intersezione, otteniamo una matrice di dimensione $\left[ k\times k \right]$ — il suo determinante è chiamato minore di ordine $k$ ed è indicato con $((M)_(k))$.
2. Quindi eliminiamo queste righe $k$ "selezionate" e colonne $k$. Di nuovo, otteniamo una matrice quadrata - il suo determinante è chiamato minore complementare ed è indicato con $M_(k)^(*)$.
3. Moltiplica $M_(k)^(*)$ per $((\left(-1 \right))^(t))$, dove $t$ è (attenzione ora!) la somma dei numeri di tutte le righe selezionate e colonne. Questa sarà l'addizione algebrica.

Dai un'occhiata al terzo passaggio: in realtà c'è una somma di termini da $ 2k $! Un'altra cosa è che per $k=1$ otteniamo solo 2 termini - questi saranno gli stessi $i+j$ - le "coordinate" dell'elemento $((a)_(ij))$, per cui siamo alla ricerca di un complemento algebrico.

Quindi oggi usiamo una definizione leggermente semplificata. Ma come vedremo più avanti, sarà più che sufficiente. Molto più importante è quanto segue:

Definizione. La matrice di unione $S$ alla matrice quadrata $A=\left[ n\times n \right]$ è una nuova matrice di dimensione $\left[ n\times n \right]$, che si ottiene da $A$ sostituendo $(( a)_(ij))$ con complementi algebrici $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

Il primo pensiero che sorge al momento di realizzare questa definizione è "questo è quanto devi contare in totale!" Rilassati: devi contare, ma non così tanto. :)

Bene, tutto questo è molto bello, ma perché è necessario? Ma perché.

Teorema principale

Torniamo un po' indietro. Ricordiamo che il Lemma 3 afferma che una matrice invertibile $A$ è sempre non singolare (ovvero il suo determinante è diverso da zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Quindi vale anche il viceversa: se la matrice $A$ non è degenere, allora è sempre invertibile. E c'è anche uno schema di ricerca $((A)^(-1))$. Controlla:

Teorema della matrice inversa. Sia data una matrice quadrata $A=\left[ n\times n \right]$ e il suo determinante sia diverso da zero: $\left| A \right|\ne 0$. Quindi la matrice inversa $((A)^(-1))$ esiste ed è calcolata con la formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

E ora - lo stesso, ma con una calligrafia leggibile. Per trovare la matrice inversa occorre:

1. Calcolare il determinante $\left| A \right|$ e assicurati che sia diverso da zero.
2. Compila la matrice di unione $S$, ad es. conta 100500 addizioni algebriche $((A)_(ij))$ e mettile a posto $((a)_(ij))$.
3. Trasponi questa matrice $S$ e poi moltiplicala per un numero $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

E questo è tutto! Viene trovata la matrice inversa $((A)^(-1))$. Diamo un'occhiata agli esempi:

\[\left[ \begin(matrice) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrice) \right]\]

Soluzione. Controlliamo la reversibilità. Calcoliamo il determinante:

\[\sinistra| A \destra|=\sinistra| \begin(matrice) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrice) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Il determinante è diverso da zero. Quindi la matrice è invertibile. Creiamo una matrice di unione:

Calcoliamo le addizioni algebriche:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\destra|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\destra|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \destra|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\destra|=3. \\ \end(align)\]

Attenzione: determinanti |2|, |5|, |1| e |3| sono le determinanti di matrici di dimensione $\left[ 1\times 1 \right]$, non moduli. Quelli. se c'erano numeri negativi nei determinanti, non è necessario rimuovere il "meno".

In totale, la nostra matrice di unione si presenta così:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

OK è tutto finito ora. Problema risolto.

Risposta. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Compito. Trova la matrice inversa:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Soluzione. Consideriamo ancora il determinante:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrice ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\sinistra(2+1+0 \right)-\sinistra(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Il determinante è diverso da zero: la matrice è invertibile. Ma ora sarà il più metallico: devi contare fino a 9 (nove, dannazione!) Addizioni algebriche. E ognuno di essi conterrà il qualificatore $\left[ 2\times 2 \right]$. Volò:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrice) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrice) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrice) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrice) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrice) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrice) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrice) \right|=2; \\ \end(matrice)\]

In breve, la matrice dell'unione sarà simile a questa:

La matrice inversa sarà quindi:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Bene, questo è tutto. Ecco la risposta.

Risposta. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Come puoi vedere, alla fine di ogni esempio, abbiamo eseguito un controllo. A questo proposito una nota importante:

Non essere pigro per controllare. Moltiplica la matrice originale per l'inverso trovato: dovresti ottenere $E$.

È molto più facile e veloce eseguire questo controllo piuttosto che cercare un errore in ulteriori calcoli, quando, ad esempio, risolvi un'equazione matriciale.

Modo alternativo

Come ho detto, il teorema della matrice inversa funziona bene per le dimensioni $\left[ 2\times 2 \right]$ e $\left[ 3\times 3 \right]$ (in quest'ultimo caso, non è così "bello" più). ”), ma per le grandi matrici inizia la tristezza.

Ma non preoccuparti: esiste un algoritmo alternativo che può essere utilizzato per trovare tranquillamente l'inversa anche per la matrice $\left[ 10\times 10 \right]$. Ma, come spesso accade, per considerare questo algoritmo, abbiamo bisogno di un piccolo background teorico.

Trasformazioni elementari

Tra le varie trasformazioni della matrice ce ne sono diverse speciali: sono chiamate elementari. Ci sono esattamente tre di queste trasformazioni:

1. Moltiplicazione. Puoi prendere la $i$-esima riga (colonna) e moltiplicarla per qualsiasi numero $k\ne 0$;
2. Aggiunta. Aggiungi alla $i$-esima riga (colonna) qualsiasi altra $j$-esima riga (colonna) moltiplicata per qualsiasi numero $k\ne 0$ (ovviamente, $k=0$ è anche possibile, ma che senso ha di quello? ?Niente cambierà però).
3. Permutazione. Prendi le righe (colonne) $i$-esima e $j$-esima e scambiale.

Perché queste trasformazioni sono chiamate elementari (per matrici grandi non sembrano così elementari) e perché ce ne sono solo tre - queste domande esulano dallo scopo della lezione di oggi. Pertanto, non entreremo nei dettagli.

Un'altra cosa è importante: dobbiamo eseguire tutte queste perversioni sulla matrice associata. Sì, sì, hai sentito bene. Ora ci sarà un'altra definizione, l'ultima nella lezione di oggi.

Matrice allegata

Sicuramente a scuola hai risolto sistemi di equazioni usando il metodo dell'addizione. Bene, lì, sottrai un altro da una riga, moltiplica una riga per un numero - tutto qui.

Quindi: ora tutto sarà uguale, ma già "in modo adulto". Pronto?

Definizione. Si diano la matrice $A=\left[ n\times n \right]$ e la matrice identità $E$ della stessa dimensione $n$. Quindi la matrice associata $\left[ A\left| E\giusto. \right]$ è una nuova matrice $\left[ n\times 2n \right]$ simile a questa:

\[\sinistra[ A\sinistra| E\giusto. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

In breve, prendiamo la matrice $A$, a destra le assegniamo la matrice identità $E$ della dimensione richiesta, le separiamo con una barra verticale per la bellezza - ecco quella allegata. :)

Qual è il problema? Ed ecco cosa:

Teorema. Sia la matrice $A$ invertibile. Consideriamo la matrice aggiunta $\left[ A\left| E\giusto. \destra]$. Se si utilizza trasformazioni elementari di stringa portalo nella forma $\left[ E\left| Luminoso. \destra]$, cioè moltiplicando, sottraendo e riordinando le righe per ottenere da $A$ la matrice $E$ a destra, allora la matrice $B$ ottenuta a sinistra è l'inversa di $A$:

\[\sinistra[ A\sinistra| E\giusto. \destra]\a \sinistra[ E\sinistra| Luminoso. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

È così semplice! In breve, l'algoritmo per trovare la matrice inversa si presenta così:

1. Scrivere la matrice associata $\left[ A\left| E\giusto. \destra]$;
2. Esegui conversioni di stringhe elementari finché a destra invece di $A$ appare $E$;
3. Ovviamente, qualcosa apparirà anche a sinistra: una certa matrice $B$. Questo sarà il contrario;
4. GUADAGNI! :)

Certo, molto più facile a dirsi che a farsi. Quindi diamo un'occhiata a un paio di esempi: per le dimensioni $\left[ 3\times 3 \right]$ e $\left[ 4\times 4 \right]$.

Compito. Trova la matrice inversa:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Soluzione. Componiamo la matrice allegata:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Poiché l'ultima colonna della matrice originale è piena di quelli, sottrai la prima riga dal resto:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Non ci sono più unità, ad eccezione della prima riga. Ma non lo tocchiamo, altrimenti le unità appena rimosse inizieranno a "moltiplicarsi" nella terza colonna.

Ma possiamo sottrarre la seconda riga due volte dall'ultima: otteniamo un'unità nell'angolo in basso a sinistra:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ora possiamo sottrarre l'ultima riga dalla prima e due volte dalla seconda - in questo modo azzereremo la prima colonna:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ a \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Moltiplica la seconda riga per −1, quindi sottraila 6 volte dalla prima e aggiungi 1 volta all'ultima:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrice)\a \\ & \a \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Resta solo da scambiare le righe 1 e 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

Pronto! Sulla destra è la matrice inversa richiesta.

Risposta. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Compito. Trova la matrice inversa:

\[\left[ \begin(matrice) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\fine(matrice) \destra]\]

Soluzione. Ancora una volta componiamo quello allegato:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Prendiamone in prestito un po', preoccupiamoci di quanto dobbiamo contare adesso... e iniziamo a contare. Per cominciare, "azzeriamo" la prima colonna sottraendo la riga 1 dalle righe 2 e 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 e 2 e 3 e 1 e 0 e 0 e 0 \\ 0 e -6 e -1 e -5 e -1 e 1 e 0 e 0 \\ 0 e -5 e -1 e -2 e -1 e 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Osserviamo troppi "svantaggi" nelle righe 2-4. Moltiplica tutte e tre le righe per −1, quindi brucia la terza colonna sottraendo la riga 3 dal resto:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \sinistra| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \sinistra| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ora è il momento di "friggere" l'ultima colonna della matrice originale: sottrai la riga 4 dal resto:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Lancio finale: "brucia" la seconda colonna sottraendo la riga 2 dalla riga 1 e 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

E ancora, la matrice identità a sinistra, quindi l'inverso a destra. :)

Risposta. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\fine(matrice) \destra]$

Continuiamo a parlare di azioni con matrici. Vale a dire, nel corso dello studio di questa lezione, imparerai come trovare la matrice inversa. Imparare. Anche se la matematica è stretta.

Cos'è una matrice inversa? Qui possiamo tracciare un'analogia con i reciproci: si consideri, ad esempio, l'ottimista numero 5 e il suo reciproco. Il prodotto di questi numeri è uguale a uno: . È lo stesso con le matrici! Il prodotto di una matrice e della sua inversa è - matrice identità, che è l'analogo di matrice dell'unità numerica. Tuttavia, per prima cosa, risolveremo un importante problema pratico, vale a dire, impareremo come trovare questa matrice molto inversa.

Cosa devi sapere ed essere in grado di trovare la matrice inversa? Devi essere in grado di decidere determinanti. Devi capire cos'è matrice ed essere in grado di eseguire alcune azioni con loro.

Esistono due metodi principali per trovare la matrice inversa:
usando addizioni algebriche E utilizzando trasformazioni elementari.

Oggi studieremo il primo modo più semplice.

Cominciamo con il più terribile e incomprensibile. Prendere in considerazione piazza matrice. La matrice inversa può essere trovata utilizzando la seguente formula:

Dove è il determinante della matrice, è la matrice trasposta dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice.

Il concetto di matrice inversa esiste solo per matrici quadrate, matrici "due per due", "tre per tre", ecc.

Notazione: Come probabilmente avrai già notato, l'inverso di una matrice è indicato da un apice

Iniziamo con il caso più semplice: una matrice due per due. Molto spesso, ovviamente, è richiesto "tre per tre", ma, tuttavia, consiglio vivamente di studiare un compito più semplice per apprendere il principio generale della soluzione.

Esempio:

Trova l'inversa di una matrice

Noi decidiamo. La sequenza di azioni è opportunamente scomposta in punti.

1) Per prima cosa troviamo il determinante della matrice.

Se la comprensione di questa azione non è buona, leggi il materiale Come calcolare il determinante?

Importante! Se il determinante della matrice è ZERO– matrice inversa NON ESISTE.

Nell'esempio in esame, come si è scoperto, , il che significa che tutto è in ordine.

2) Trova la matrice dei minori.

Per risolvere il nostro problema non è necessario sapere cos'è un minore, tuttavia è consigliabile leggere l'articolo Come calcolare il determinante.

La matrice dei minori ha le stesse dimensioni della matrice , cioè in questo caso .
Il caso è piccolo, resta da trovare quattro numeri e metterli al posto degli asterischi.

Torniamo alla nostra matrice
Diamo prima un'occhiata all'elemento in alto a sinistra:

Come trovarlo minore?
E questo è fatto in questo modo: cancella MENTALMENTE la riga e la colonna in cui si trova questo elemento:

Il numero rimanente è minore dell'elemento dato, che scriviamo nella nostra matrice dei minori:

Consideriamo il seguente elemento di matrice:

Cancella mentalmente la riga e la colonna in cui si trova questo elemento:

Ciò che rimane è il minore di questo elemento, che scriviamo nella nostra matrice:

Allo stesso modo, consideriamo gli elementi della seconda riga e troviamo i loro minori:


Pronto.

È semplice. Nella matrice dei minori, hai bisogno SEGNI DI CAMBIAMENTO per due numeri:

Sono questi numeri che ho cerchiato!

è la matrice dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice .

E solo qualcosa...

4) Trova la matrice trasposta delle addizioni algebriche.

è la matrice trasposta dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice .

5) Rispondi.

Ricorda la nostra formula
Tutto trovato!

Quindi la matrice inversa è:

È meglio lasciare la risposta così com'è. NON C'È BISOGNO dividere ogni elemento della matrice per 2, poiché si otterranno numeri frazionari. Questa sfumatura è discussa in modo più dettagliato nello stesso articolo. Azioni con matrici.

Come verificare la soluzione?

Anche la moltiplicazione di matrici deve essere eseguita

Visita medica:

già accennato matrice identitàè una matrice con unità attive diagonale principale e zeri altrove.

Pertanto, la matrice inversa viene trovata correttamente.

Se esegui un'azione, anche il risultato sarà una matrice di identità. Questo è uno dei pochi casi in cui la moltiplicazione di matrici è permutabile, maggiori informazioni possono essere trovate nell'articolo Proprietà delle operazioni su matrici. Espressioni matriciali. Si noti inoltre che durante il controllo, la costante (frazione) viene anticipata ed elaborata proprio alla fine, dopo la moltiplicazione della matrice. Questa è una ripresa standard.

Passiamo a un caso più comune nella pratica: la matrice tre per tre:

Esempio:

Trova l'inversa di una matrice

L'algoritmo è esattamente lo stesso del caso due per due.

Troviamo la matrice inversa dalla formula: , dove è la matrice trasposta dei complementi algebrici degli elementi corrispondenti della matrice .

1) Trova il determinante della matrice.

Qui si rivela il determinante sulla prima riga.

Inoltre, non dimenticarlo, il che significa che va tutto bene - esiste una matrice inversa.

2) Trova la matrice dei minori.

La matrice dei minori ha la dimensione "tre per tre" , e dobbiamo trovare nove numeri.

Darò un'occhiata a un paio di minori in dettaglio:

Consideriamo il seguente elemento di matrice:

MENTALMENTE cancella la riga e la colonna in cui si trova questo elemento:

I restanti quattro numeri sono scritti nel determinante "due a due"

Questo determinante due per due e è un minore dell'elemento dato. Deve essere calcolato:


Tutto, il minore è trovato, lo scriviamo nella nostra matrice di minori:

Come avrai intuito, ci sono nove determinanti due per due da calcolare. Il processo, ovviamente, è triste, ma il caso non è il più difficile, può essere peggio.

Bene, per consolidare - trovare un altro minore nelle immagini:

Prova a calcolare tu stesso il resto dei minori.

Risultato finale:
è la matrice dei minori dei corrispondenti elementi della matrice .

Il fatto che tutti i minori siano risultati negativi è pura coincidenza.

3) Trova la matrice delle addizioni algebriche.

Nella matrice dei minori, è necessario SEGNI DI CAMBIAMENTO rigorosamente per i seguenti elementi:

In questo caso:

Trovare la matrice inversa per la matrice "quattro per quattro" non è considerata, poiché solo un insegnante sadico può assegnare un tale compito (affinché lo studente calcoli un determinante "quattro per quattro" e 16 determinanti "tre per tre") . Nella mia pratica c'era solo un caso del genere e il cliente del test ha pagato a caro prezzo il mio tormento =).

In numerosi libri di testo, manuali, puoi trovare un approccio leggermente diverso per trovare la matrice inversa, ma ti consiglio di utilizzare l'algoritmo di soluzione sopra. Perché? Perché la probabilità di confondersi nei calcoli e nei segni è molto inferiore.

matrice inversa

matrice inversa Si chiama matrice che, moltiplicata sia a destra che a sinistra per una data matrice, dà la matrice identità.
Denota la matrice inversa alla matrice UN through , quindi secondo la definizione otteniamo:

Dove Eè la matrice identità.
matrice quadrata chiamato non speciale (non degenerato) se il suo determinante non è uguale a zero. Altrimenti si chiama speciale (degenerare) O singolare.

C'è un teorema: ogni matrice non singolare ha una matrice inversa.

Viene chiamata l'operazione di trovare la matrice inversa appello matrici. Considera l'algoritmo di inversione di matrice. Sia data una matrice non singolare N-esimo ordine:

dove Δ = det UN ≠ 0.

Complemento di elementi algebrici matrici N-esimo ordine UN il determinante della matrice ( N–1)-esimo ordine ottenuto cancellando io-esima riga e J-esima colonna della matrice UN:

Creiamo un cosiddetto allegato matrice:

dove sono i complementi algebrici degli elementi corrispondenti della matrice UN.
Si noti che i complementi algebrici degli elementi riga della matrice UN sono collocati nelle colonne corrispondenti della matrice à , cioè la matrice viene trasposta simultaneamente.
Divisione di tutti gli elementi della matrice à su Δ - il valore del determinante della matrice UN, otteniamo come risultato la matrice inversa:

Notiamo una serie di proprietà speciali della matrice inversa:
1) per una data matrice UN sua matrice inversa è l'unico;
2) se esiste una matrice inversa , allora destra inversa E sinistro inverso le matrici coincidono con essa;
3) una matrice quadrata speciale (degenerata) non ha una matrice inversa.

Le principali proprietà della matrice inversa:
1) il determinante della matrice inversa e il determinante della matrice originaria sono reciproci;
2) la matrice inversa del prodotto di matrici quadrate è uguale al prodotto delle matrici inverse di fattori, prese in ordine inverso:

3) la matrice inversa trasposta è uguale alla matrice inversa dalla data matrice trasposta:

ESEMPIO Calcolare la matrice inversa di quella data.

In genere, le operazioni inverse vengono utilizzate per semplificare espressioni algebriche complesse. Ad esempio, se il problema contiene l'operazione di divisione per una frazione, puoi sostituirla con l'operazione di moltiplicazione per un reciproco, che è l'operazione inversa. Inoltre, le matrici non possono essere divise, quindi è necessario moltiplicare per la matrice inversa. Calcolare l'inverso di una matrice 3x3 è abbastanza noioso, ma devi essere in grado di farlo manualmente. Puoi anche trovare il reciproco con una buona calcolatrice grafica.

Passi

Utilizzando la matrice allegata

Trasponi la matrice originale. La trasposizione è la sostituzione di righe con colonne relative alla diagonale principale della matrice, ovvero è necessario scambiare gli elementi (i, j) e (j, i). In questo caso, gli elementi della diagonale principale (inizia nell'angolo in alto a sinistra e termina nell'angolo in basso a destra) non cambiano.

• Per scambiare righe con colonne, scrivi gli elementi della prima riga nella prima colonna, gli elementi della seconda riga nella seconda colonna e gli elementi della terza riga nella terza colonna. L'ordine di modifica della posizione degli elementi è mostrato nella figura, in cui gli elementi corrispondenti sono cerchiati con cerchi colorati.