L'impossibilità di dividere un angolo in tre parti uguali. Costruzione e divisione degli angoli Dividere un angolo in 3 parti

L'emergere del problema della trisezione di un angolo (cioè della divisione di un angolo in tre parti uguali) è condizionato dalla necessità di risolvere il problema della costruzione di poligoni regolari. La costruzione di un pentagono regolare con compasso e righello avrebbe dovuto fare una grande impressione sui pitagorici, perché la stella regolare a cinque punte era il loro segno identificativo (simboleggiava la salute). La seguente leggenda è nota.

Un pitagorico stava morendo in terra straniera e non poteva pagare l'uomo che si prendeva cura di lui. Prima di morire, gli ordinò di raffigurare una stella a cinque punte sulla sua dimora: se mai passasse un pitagorico, lo chiederà sicuramente. E infatti, qualche anno dopo, un pitagorico vide questo segno e ricompensò il proprietario della casa.

L'origine del problema della trisezione di un angolo è anche legata ad attività pratiche, in particolare era necessario poter dividere un cerchio in parti uguali nella fabbricazione di una ruota a raggi, dividendo un angolo o un arco di il cerchio in più parti uguali era necessario anche in architettura, nella creazione di ornamenti, nelle attrezzature da costruzione e in astronomia.

Con l'aiuto di un compasso e di una riga per n=6 e 8 si possono costruire n-goni regolari, ma per n=7 e 9 è impossibile. Costruire un ettagono regolare è un problema interessante: può essere risolto usando il metodo "insert". La costruzione di un ettagono regolare fu proposta da Archimede. Ma i tentativi di costruire un nonagono regolare avrebbero dovuto portare al problema della trisezione dell'angolo, perché per costruire un nonagono regolare era necessario costruire un angolo di 360 ° / 9 \u003d 120/3, cioè dividere l'angolo di 120° in tre parti uguali.

Perché i greci preferivano il compasso e il righello ad altri strumenti?

Gli scienziati non possono rispondere a questa domanda in modo inequivocabile e sufficientemente convincente. Sarà perché il compasso e il righello sono gli strumenti più semplici? Può darsi. Tuttavia, è possibile specificare molti altri strumenti, semplici come compassi e righe, o quasi altrettanto semplici. Con l'aiuto di alcuni di loro, vengono risolti anche i compiti formulati.

Nella letteratura pertinente si possono trovare tentativi di spiegare una simpatia così insolita dei greci specificamente per il compasso e il righello. Ogni figura geometrica è composta da due tipi di linee: una linea retta o una curva. E ogni curva è composta da parti di cerchi di diverso diametro. In questo caso la retta e il cerchio sono le uniche rette a curvatura costante sul piano.

Divisione di un angolo retto in tre parti uguali.

In alcuni casi particolari, è facile eseguire la divisione dell'angolo. Quindi, i Pitagorici erano in grado di dividere un angolo retto in tre parti uguali, basandosi sul fatto che in un triangolo equilatero ogni angolo è uguale a 60º.

Sia necessario dividere in tre parti uguali la retta (MAN.

Mettiamo da parte un segmento arbitrario AC sulla semiretta AN, sul quale costruiamo un triangolo equilatero ASV. Poiché (CAB è uguale a 60º, allora (BAM è uguale a 30º. Costruiamo la bisettrice AD ​​dell'angolo CAB, otteniamo la divisione richiesta della retta (MAN in tre angoli uguali: (NAD, (DAB, (BAM .

Il problema della trisezione di un angolo risulta essere risolvibile per alcuni altri valori particolari dell'angolo (ad esempio, per angoli di 90o/2n, dove n è un numero naturale). Il fatto che qualsiasi angolo non possa essere diviso in tre parti uguali usando solo un compasso e una riga fu dimostrato solo nella prima metà del XIX secolo.

Risolvere con il metodo degli "inserti"

Alcuni dei metodi di trisezione angolare considerati dai greci utilizzavano il cosiddetto metodo di inserimento. Consisteva nel trovare la posizione di una retta passante per un dato punto O, sulla quale due rette date (o una retta e un cerchio) avrebbero tagliato un segmento di una data lunghezza a. Tale costruzione può essere eseguita utilizzando un compasso e un righello con due divisioni, la cui distanza è uguale a a.

Con l'aiuto di "inserti" è molto facile dividere l'angolo in tre parti uguali. Prendi un punto A arbitrario sul lato dell'angolo con il vertice B e rilascia la perpendicolare AC da esso all'altro lato.

Traccia per il punto A una semiretta codirezionale con la semiretta BC. Inseriamo ora un segmento DE di lunghezza 2AB tra i raggi AC e l in modo che la sua continuazione passi per il punto B. Quindi (EBC \u003d (ABC / 3. Infatti, sia G il punto medio del segmento DE. Il punto A giace su una circonferenza di diametro DE, quindi AG = GE = DE/2 = AB. I triangoli BAG e AGE sono isosceli, quindi (ABG = (AGB = 2(AEG = 2(EBC.

Pappo di Alessandria ha dimostrato che il compito di "inserire" un segmento tra determinate rette perpendicolari l1 e l2 si riduce alla costruzione di un punto di intersezione di un cerchio e di un'iperbole. Si consideri un rettangolo ABCD, i cui prolungamenti dei lati BC e CD sono date rette, e il vertice A è un dato punto per il quale è necessario tracciare una retta che intersechi le rette l1 e l2 nei punti E ed F tali che il segmento EF ha una data lunghezza.

Completiamo il triangolo DEF al parallelogramma DEFG. Per costruire la retta desiderata basta costruire il punto G, e poi attraverso il punto A tracciare una retta parallela alla retta DG. Il punto G è allontanato dal punto D di una data distanza DG = EF, quindi il punto G giace su un cerchio che può essere costruito.

Invece dalla somiglianza dei triangoli ABF e EDA otteniamo AB: ED = BF: AD, cioè ED*BF=AB*AD. Pertanto, FG*BF=AB*AD = SABCD, cioè il punto G giace sull'iperbole (se dirigi gli assi Ox e Oy lungo i raggi BF e BA, allora questa iperbole è data dall'equazione xy = SABCD)

Soluzione usando quadritrix

I problemi “grammaticali” includono il problema della divisione di un angolo a tutti gli effetti. La prima curva per risolvere un simile problema fu inventata da Ippia di Elide. In seguito (a partire da Dinostratus) questa curva fu utilizzata anche per risolvere la quadratura del cerchio. Leibniz chiamò questa curva una quadritrice.

Si ottiene nel modo seguente. Siano nel quadrato ABCD gli estremi del segmento B′C′ si muovano uniformemente lungo i lati, rispettivamente, BA e CD, e il segmento AN ruoti uniformemente attorno al punto A. Il segmento B′C′ all'istante iniziale coincide con il segmento BC, e il segmento AN coincide con il segmento AB ; entrambi i segmenti raggiungono contemporaneamente la loro posizione finale AD. Una quadritrice è una curva, che è descritta dal punto di intersezione dei segmenti B′C′ e AN.

Per dividere l'angolo acuto φ in qualche rapporto, è necessario mettere da parte l'angolo DAL = φ nel disegno sopra, dove L giace sulla quadratica. Lasciamo cadere la perpendicolare LH al segmento AD. Dividiamo questa perpendicolare nel rapporto richiesto per il punto P. Tracciamo per P un segmento parallelo ad AD finché non intersechi con la quadritrice nel punto Q; la semiretta AQ divide l'angolo LAD nel rapporto necessario, poiché, per definizione della quadratica, (LAQ: (QAD = (LP: (LH.

Lavoro pratico sulla costruzione di trisettori di un angolo

Il metodo di inserimento

Con l'aiuto di un quadritrix

Soluzione usando il teorema di Morley

Poiché nessun angolo può essere diviso in tre parti uguali, possiamo risolvere il problema della trisezione di un angolo in ordine inverso usando il teorema di Morley.

Teorema. Si intersechino nel punto A1 le trisettrici degli angoli B e C più vicine al lato BC; i punti B1 e C1 sono definiti in modo analogo. Allora il triangolo A1B1C1 è equilatero e il segmento C1C è perpendicolare alla base di un triangolo regolare.

Risolviamo il seguente problema: costruiremo un triangolo, da tutti gli angoli di cui sono disegnati i trisettori.

Piano di costruzione.

1) Costruisci due angoli arbitrari (BAC1 e (ABC1), di cui un lato è comune.

Gli angoli costruiti devono soddisfare la disuguaglianza:

2) Sia la semiretta AC1 l'asse di simmetria. Rifletti (BAC1 attorno all'asse AC1. Analogamente, rifletti attorno all'asse BC1 (ABC1.

3) Sia la semiretta AC2 l'asse di simmetria. Rifletti (C1AC2 attorno all'asse AC2. Analogamente, rifletti attorno all'asse BC2 (C1BC2.

4) Collegare i punti di intersezione dei trisettori C1 e C2 con un segmento C1C2.

5) Il teorema di Morley dice che quando le trisettrici di un triangolo si intersecano si ottiene un triangolo regolare, e il segmento C1C2 è perpendicolare alla base di un triangolo regolare e passa per il vertice di questo triangolo. Per costruire un triangolo regolare, conoscendone l'altezza, è necessario: a) costruire raggi emananti dal punto C1 con un angolo di 30º rispetto al segmento C1C2; b) segnare con le lettere B1 e A1 i punti di intersezione dei raggi costruiti con i trisettori; c) collegare i punti A1, B1, C1. Otteniamo un triangolo equilatero A1B1C1.

6) Tracciamo i raggi dal punto C, passanti per i vertici del triangolo regolare B1 e A1.

Lasciamo in figura i segmenti dei trisettori del triangolo.

Abbiamo costruito un triangolo ABC, da tutti gli angoli di cui sono disegnati i trisettori.

Indecidibilità della trisezione di un angolo al compasso e alla riga

Per dimostrare l'impossibilità di dividere un angolo qualsiasi in tre parti uguali con l'aiuto di un compasso e di un righello, è sufficiente dimostrare che è impossibile dividere un angolo particolare in questo modo. Dimostreremo che non è possibile trisecare un angolo di 30° usando un compasso e una riga. Introduciamo il sistema di coordinate Oxy, scegliendo come origine delle coordinate il vertice dell'angolo dato AOB e dirigendo l'asse Ox lungo il lato OA. Possiamo supporre che i punti A e B siano a una distanza di 1 dal punto O. Quindi, nel problema della trisezione di un angolo, è necessario costruire un punto (cosφ, sinφ) da un punto con coordinate (cos Зφ, peccato Зφ). Nel caso in cui φ=10°, il punto di partenza ha coordinate. Entrambe le sue coordinate sono espresse in radicali quadrati. Basta quindi dimostrare che il numero sin 10° non si esprime in radicali quadrati.

Poiché sin3φ = sin(φ + 2φ) =

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

Sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =

cos2α = cos2α - sin2α

sin2α = 2sinα cosα

Sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =

sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α

Sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =

Sinφ(1 - 2sin2φ) + 2sinφ(1 - sin2φ) =

Sinφ(1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =

Sinφ(3 - 4sin2φ) =

3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ, allora il numero x = sin 10° soddisfa l'equazione cubica

3x - 4x3 = ½ (φ =10°, 3φ =30°, sin3φ = ½)

8x3 - 6x + 1 = 0

(2x)3 -3*2x + 1 = 0

Basta dimostrare che questa equazione non ha radici razionali. Supponiamo che 2x=p/q, dove p e q siano numeri interi senza divisori comuni. Allora p3 – 3pq2 + q3 = 0, cioè q3=p(3q2-p2). Pertanto, il numero q è divisibile per p, e quindi p=±1. Pertanto, ±13q2 + q3 =0, cioè q2(q±3)= ±1. Il numero 1 è divisibile per q, quindi q=±1. Di conseguenza, otteniamo che x \u003d ± 1/2. È facile verificare che i valori ±1/2 non siano radici dell'equazione. Si è ottenuta una contraddizione, quindi l'equazione non ha radici razionali, il che significa che il numero sin10° non è espresso in radicali quadrati.

Applicazione

La trisezione di un angolo è necessaria quando si costruiscono poligoni regolari. Considereremo il processo di costruzione utilizzando l'esempio di un nonagono regolare inscritto in un cerchio.

Costruiamo un triangolo rettangolo ABC. Costruiamo i trisettori BC1 e BC2. Gli angoli sono di 30º. Dividiamo uno degli angoli formati in due bisettrici di 15º. All'angolo retto "aggiungi" 15º su ciascun lato. Ancora una volta costruiamo i trisettori dell'angolo risultante DBE. Lo ripetiamo altre due volte, ruotando il triangolo nel punto B in modo che DB coincida con la precedente posizione BE. Colleghiamo i punti ricevuti.

Siamo riusciti a costruire un nonagono regolare utilizzando la costruzione di trisettori.

Trisettore

Il problema della trisezione di un angolo non è generalmente risolvibile con compasso e riga, ma ciò non significa affatto che questo problema non possa essere risolto con altri mezzi ausiliari.

Per raggiungere questo obiettivo sono stati inventati molti dispositivi meccanici, chiamati trisettori. Il trisector più semplice è facile da realizzare con carta spessa, cartone o latta sottile. Servirà come strumento di disegno ausiliario.

Trisector e schema della sua applicazione.

La striscia AB adiacente al semicerchio è di lunghezza uguale al raggio del semicerchio. Il bordo della striscia BD forma un angolo retto con la retta AC; tocca il semicerchio nel punto B; la lunghezza di questa striscia è arbitraria. La stessa figura mostra l'applicazione del trisettore. Ad esempio, è necessario dividere l'angolo KSM in tre parti uguali

Il trisettore è posto in modo che il vertice dell'angolo S sia sulla linea BD, un lato dell'angolo passi per il punto A e l'altro lato tocchi il semicerchio. Quindi vengono tracciate le linee rette SB e SO e viene completata la divisione di questo angolo in tre parti uguali. Per dimostrarlo, colleghiamo con un segmento il centro del semicerchio O con il punto tangente N. È facile vedere che il triangolo ASB è uguale al triangolo SBO e il triangolo SBO è uguale al triangolo OSN. Dall'uguaglianza di questi tre triangoli segue che gli angoli ASB, BS0 e 0SN sono uguali tra loro, il che doveva essere dimostrato.

Questo modo di trisecare un angolo non è puramente geometrico; può essere chiamato meccanico.

Orologio Trisector

(Istruzioni per l'uso)

Attrezzatura: compasso, righello, orologio con frecce, matita, carta trasparente.

Progresso:

Trasferisci la figura di questo angolo su carta trasparente e nel momento in cui entrambe le lancette dell'orologio sono combinate, posiziona il disegno sul quadrante in modo che la parte superiore dell'angolo coincida con il centro di rotazione delle lancette e un lato dell'angolo va lungo le mani.

Nel momento in cui la lancetta dei minuti dell'orologio si sposta per coincidere con la direzione del secondo lato di questo angolo, disegna un raggio dalla parte superiore dell'angolo in senso orario. Si forma un angolo uguale all'angolo di rotazione della lancetta delle ore. Ora, con l'aiuto di un compasso e di un righello, raddoppia questo angolo e raddoppia di nuovo l'angolo raddoppiato. L'angolo così ottenuto sarà ⅓ di questo.

Infatti, ogni volta che la lancetta dei minuti descrive un certo angolo, la lancetta delle ore durante questo periodo si sposta su un angolo 12 volte più piccolo, e dopo aver aumentato questo angolo di 4 volte, l'angolo (a / 12) * 4 = ⅓ a è ottenuto.

Conclusione

Pertanto, i problemi di costruzione irrisolvibili hanno svolto un ruolo speciale nella storia della matematica. Dopotutto, è stato dimostrato che questi problemi non possono essere risolti usando solo un compasso e una riga. Ma la stessa formulazione del problema - "dimostrare l'irrisolvibilità" - è stato un coraggioso passo avanti.

Tuttavia, molte soluzioni sono state proposte utilizzando strumenti non tradizionali. Tutto ciò ha portato alla nascita e allo sviluppo di idee completamente nuove in geometria e algebra.

Dopo aver completato e analizzato il mio lavoro di ricerca, sono giunto alle seguenti conclusioni:

✓ l'emergere di tali problemi è dovuto al loro significato pratico (in particolare, la costruzione di poligoni regolari);

✓ tali problemi provocano lo sviluppo di nuovi metodi e teorie (il metodo delle "inserzioni", la comparsa di una quadratica, i teoremi di Morley);

✓ i problemi irrisolvibili attirano più attenzione sulle scienze: trovare una soluzione o dimostrare l'impossibilità è un grande onore.

E ho anche scoperto:

✓ sui matematici che hanno studiato questo problema;

✓ nuovi concetti, termini (trisezione, trisezione, quadratrice) e teoremi (Morley) e appresi:

✓ trovare e selezionare efficacemente il materiale necessario;

✓ sistematizzare le conoscenze acquisite;

✓ redigere correttamente un documento di ricerca.

La costruzione e la divisione degli angoli viene eseguita utilizzando un goniometro, tuttavia molti angoli possono essere costruiti e persino divisi utilizzando squadre e compasso. Usando un righello e squadre con angoli di 30°, 60°, 90° e 45°, 45°, 90°, puoi costruire qualsiasi angolo che sia un multiplo di 15°.

Nell'argomento sul quadrato a T, uno degli mostra quali combinazioni di quadrati vengono utilizzate per costruire angoli diversi. Considera attentamente la posizione dei quadrati quando costruisci vari angoli e usa questa conoscenza quando fai disegni. Nella pratica educativa, quando si realizzano disegni, l'uso di un goniometro è ridotto al minimo.

Dividere un angolo acuto in due parti uguali

La divisione di un angolo acuto in parti uguali viene eseguita utilizzando un compasso e un righello. Trovando la bisettrice dell'angolo, considera l'esempio di dividere l'angolo BAC con un vertice nel punto A. Attraverso il punto A, con un raggio arbitrario R, costruiamo un arco fino a quando i lati dell'angolo si intersecano nei punti 1 e 2. Attraverso punto 1 con lo stesso raggio, costruiamo un altro arco, la stessa corsa attraverso il punto 2.

Due archi che si intersecano danno il punto K, che colleghiamo con il punto A. La retta AK divide l'angolo BAC in due parti uguali e ne è la bisettrice.

Dividere un angolo con un vertice rimosso in due parti uguali

Supponiamo di conoscere le parti AB e CD dei lati di tale angolo. Costruiamo due linee parallele lontane dai lati dell'angolo pari alla distanza L. La distanza dovrebbe essere scelta in modo tale che le linee selezionate si intersechino sul campo del foglio, ad esempio, nel punto M. Successivamente, vengono eseguite tutte le costruzioni che sono state eseguite quando si divide un angolo acuto in due parti uguali.

La retta risultante MN divide l'angolo dato in due parti uguali e ne è la bisettrice.

Divisione di un angolo retto in tre parti uguali

Per dividere un angolo retto (ad esempio l'angolo BCD) in tre parti uguali, tracciare un arco di raggio arbitrario R dal vertice dell'angolo (punto C) finché non interseca con i lati dell'angolo nei punti 1 e 2. Da punti 1 e 2, come dai centri, di raggio R , si disegnano archi che intersecano l'arco 1-2 nei punti M e N, si ottengono angoli 1CM = MCN = NC2 = 30°.

Dividere un angolo in tre parti uguali usando un compasso e un righello (trisezione angolare).

Annotazione:

Viene proposto un approccio generale alla risoluzione dei problemi di divisione di un angolo in parti uguali utilizzando un compasso e un righello. A titolo di esempio, viene mostrata la divisione di un angolo in tre parti uguali (trisezione angolare).

Parole chiave:

angolo; divisione dell'angolo; trisezione angolare.

Introduzione.

Trisezione di un angolo - il problema di dividere un dato angolo in tre parti uguali costruendo un compasso e un righello. In altre parole, è necessario costruire i trisettori dell'angolo, i raggi che dividono l'angolo in tre parti uguali. Insieme ai problemi della quadratura del cerchio e del raddoppio del cubo, è uno dei classici problemi costruttivi irrisolvibili conosciuti fin dall'antica Grecia.

scopo Questo articolo è una prova dell'erroneità della precedente affermazione circa l'irrisolvibilità, almeno in relazione al problema della trisezione di un angolo.

La soluzione proposta non richiede costruzioni complesse,quasi universale e consente di dividere gli angoli in qualsiasi numero di parti uguali , che a sua volta ti consente di costruire qualsiasi poligono regolare.

Parte introduttiva.

Disegniamo una linea rettaUN e costruire ∆CDE su di esso. Lo chiameremo condizionalmente "di base" (Fig. 1).

Scegliamo sulla lineaUN punto arbitrario F e tracciare un'altra linea rettaB per il punto F e il vertice D del triangolo. In lineaB prendi due punti arbitrari G e H e collegali con i punti C ed E come mostrato in Fig.1. L'analisi della figura ci consente di annotare le seguenti ovvie relazioni tra gli angoli:

1.a 1 -α 3 = si 1 ; α 3 -α 5 = si 3 ; α 1 -α 5 = si 1 +y 3 ;

2.a 2 -α 4 = si 2 ; α 4 -α 6 = si 4 ; α 2 -α 6 = si 2 +y 4 ;

3.a 1 /a 2 = si 3 /a 4 ;

Spiegazione1. al punto 3: Siano gli angoli - ∟C,∟D,∟E gli angoli ai vertici corrispondenti del triangolo di base ∆CDE. Allora puoi scrivere:

∟C+∟D+∟E=180 0 è la somma degli angoli ∆CDE;

∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+y 1 =180 0 è la somma degli angoli ∆CGE;

Lascia che tu 1 /a 2 =n o y 1 =n*y 2 , Poi,

∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+n*y 2 =180 0

Somma degli angoli ∆CHE:

∟C+(y 2 +y 4 )+∟D-(y 2 +y 4 +y 1 +y 3 )+∟E+n*(y 2 +y 4 )=180 0 , Dove

si 1 +y 3 =n*(y 2 +y 4 ) o a 1 +y 3 =n*y 2 +n*y 4 , e poiché y 1 =n*y 2 ,Quello

si 3 =n*y 4 e quindi si 1 /a 2 = si 3 /a 4 =n.

Quindi, prendi due punti arbitrari sulla lineaUN – N e M, e traccia due linee attraverso di essiC ED come mostrato in Fig.2. È ovvio, anche da quanto detto in precedenza, che il rapporto delle variazioni degli angoli corrispondenti sulle rette c e d è una costante, cioè: (β 1 -β 3 )/(β 3 -β 5 )= (β 2 -β 4 )/(β 4 -β 6 )=y 1 /a 3 = si 2 /a 4 ;

Dividi un angolo in tre parti uguali.

Su una circonferenza centrata nel punto A, tracciamo l'angolo E 1 AE 2 =β (vedi Fig. 3.1). Sul lato opposto del cerchio, mettiamo da parte simmetricamente tre angoli - CAC 1 , C 1 AC 2 , C 2 AC 3 ciascuno uguale a β. Dividi l'angolo E 1 AE 2 , nei punti K 1 ,K 3 , in tre angoli uguali - ∟E 1 AK 1 , ∟K 1 AK 3 , ∟K 3 AE 2 uguale a β/3. Disegna linee rette attraverso i punti sul cerchio come mostrato in Fig. 3.1. Collega i punti C,E con linee rette 1 e C 2 ,E. (Vedi figura 3.2)

Attraverso il punto K - intersezioni di linee e punto K 1 tracciamo una linea retta. Scegliamo un punto K arbitrario su questa linea 2 e traccia due linee attraverso di esso dai punti C e C 2 .

Non è difficile notare che la Fig. 3.2, se si toglie la linea circolare, è quasi identica alla Fig. 2. (La linea tratteggiata CC è stata aggiunta per chiarezza 2 ). Ciò significa che tutte le relazioni che sono state menzionate sopra sono applicabili anche qui, vale a dire, per gli angoli che devono essere divisi in tre parti uguali, la relazione y 1 /a 2 = si 3 /a 4 \u003d 1/2 (vedi Spiegazione 1. nella parte introduttiva). Dalla figura 3.2 diventa chiaro come dividere l'angolo in tre parti uguali.

Si consideri, ad esempio, la divisione in tre parti uguali dell'angolo β=50 0 .

Opzione 1.

Su un cerchio con centro A disponiamo con un compasso simmetricamente l'uno rispetto all'altro e diametro CB (vedi Fig. 4.1) archi C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 uguale a β=50 0 - rispetto al centro del cerchio. Mezzo arco C 1 C 2 – CC 1 dimezzare (punto D). Disegna linee attraverso i punti B 1 e D e punti B 3 e C. Collegare i punti B 1 e C, B 3 e C 1 . Colleghiamo i punti di intersezione - F ed E, linee precedentemente disegnate, tra loro. L'angolo risultante α=C 1 AG, dove G è il punto di intersezione della retta FE con il cerchio, è uguale a β/3.

Opzione 2.

Su un cerchio con centro A, disponiamo con una bussola simmetricamente l'uno rispetto all'altro e diametro CB (vedi Fig. 4.2) archi C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 =β=50 0 - rispetto al centro del cerchio. Punti di connessione B 1 e C, B 3 e C 1 . Metti da parte gli angoli y 2 =2a 1 (vedi Figura 4.2) dalle linee B 1 C e B 3 C 1 e disegna linee rette corrispondenti a questi angoli. Colleghiamo i punti di intersezione - F ed E, linee precedentemente disegnate, tra loro. L'angolo risultante α=C 1 AG≈16.67 0 , dove G è il punto di intersezione della retta FE con la circonferenza, è uguale a β/3.

Costruzione completa della divisione dell'angolo in tre parti uguali (usando l'esempio dell'angolo β=50 0 ) mostrato in Fig.5

Dividere un angolo in un numero dispari (>3) di angoli uguali.

Ad esempio, consideriamo la divisione dell'angolo β=35 0 in cinque angoli uguali.

Metodo numero 1.

Su un cerchio di centro A disponiamo con un compasso simmetricamente l'uno rispetto all'altro e diametro CB angoli C 2 AC 1 =B 1 AB 2 =B 2 AB 3 =B 3 AB 4 =B 4 AB 5 =B 5 AB 6 =β=35 0 .(vedi Fig.6)

Dividendo l'angolo C 2 AC mezzo angolo C 2 AC 1 a metà nel punto E. Unendo i puntini

E,C 2 ,B 1 ,B 2 ,B 3 tra loro come mostrato nella Figura 6. Inoltre, per dividere l'angolo, usiamo l'opzione 2 dell'esempio dato in precedenza, poiché l'opzione 1 per dividere gli angoli in un numero dispari di > 3 angoli uguali non è ovviamente applicabile. Dalle linee B 3 E e B 1 C 2 nei punti B 3 e B 1 di conseguenza, metti da parte gli angoli y 1 e Y 2 in un rapporto di 1:4. Dai punti B 3 e B 1 traccia linee corrispondenti a questi angoli finché non si intersecano nel punto N. Angolo C 2 RE=α=7 0 sarà desiderato.

Metodo numero 2.

Questo metodo (vedi Fig. 7) è simile al primo con la sola differenza che per le costruzioni viene utilizzato ¼ dell'angolo C2AC1 - l'angolo EAC adiacente alla linea mediana del cerchio BC. Il vantaggio di questo metodo è che rende più facile dividere l'angolo in un gran numero di angoli: 7, 9, 11, ecc.

Costruzione di un ettagono regolare.

Supponiamo che n sia il numero di partizioni (il numero di settori in cui è diviso l'angolo).

Allora sen-1=2 K (1), doveK è qualsiasi numero intero, allora l'angolo viene diviso in un passo, come mostrato in precedenza. Sen-1≠2 K (2) - quindi l'angolo è diviso in due fasi, prima inn-1 , e poi viaN . In tutti i casi si osserva la relazione:si 1 /a 2 = 1/n-1 (3).

Spieghiamo questo con l'esempio della costruzione di un ettagono regolare.

Per costruire un ettagono, devi trovare 1/7 dell'angolo 60 0 , moltiplicalo per sei e posticipa l'angolo risultante sette volte attorno al cerchio (questa è una delle possibili opzioni). Poiché 7-1 \u003d 6, quindi secondo la formula (2) l'angolo è 60 0 sarà articolato in due fasi. Nella prima fase, dividiamo per sei e poi, nella seconda fase, per sette. A tal fine, dividiamo l'angolo 30 0 in tre settori uguali di 10 0 (vedi Fig.8), utilizzando, come la più semplice, l'Opzione 1 descritta all'inizio dell'articolo. Angolo ricevuto ECL=10 0 mettere da parte dalla linea mediana del cerchio (vedi Fig. 9). Supponiamo che l'angolo ECL appartenga all'angolo 60 disposto simmetricamente rispetto alla linea mediana 0 .

Avanti per trovare 1/7 di un angolo di 60 0 Usiamo il metodo n. 2 descritto in precedenza. A tale scopo mettiamo da parte l'angolo D 1 CD 2 =60 0 simmetrico alla linea mediana e all'angolo D 2 CD 3 =60 0 adiacente ad esso. Ai punti D 1 e d 3 costruire angoli y 1 e Y 2 alle linee D 1 E e D 3 L rispettivamente, osservando le proporzioni secondo la formula (3) - cioè da 1 a 6.

Disegniamo linee rette agli angoli y 1 e Y 2 . Collega i punti di intersezione G e F delle linee corrispondenti. Angolo LCH=60 0 /7. Rimandiamo questo angolo sei volte dal punto L al punto B. Rimandiamo l'angolo risultante BCL altre sei volte e come risultato otteniamo l'ettagono LBKFMNA.

Conclusione.

Il metodo per dividere l'angolo in parti uguali, proposto in questo articolo, ha una limitazione: l'impossibilità della sua applicazione diretta per angoli > 60 0 , che, tuttavia, non è così significativo dal punto di vista della fondamentale risolvibilità del problema.

Elenco bibliografico:

1. Metelsky N. V. Matematica. Corso di scuola superiore per i candidati alle università e agli istituti tecnici. ed. 3°, stereotipo. Mn., “Visheysh. Scuola”, 1975, 688 p. da malato.

Sotto forma di applicazione, possiamo ora riprendere la soluzione di un popolare problema matematico già accennato, vale a dire il problema della divisione di qualsiasi angolo in parti uguali, in particolare per il problema della trisezione di un angolo. Il problema è trovare una costruzione esatta usando un compasso e una riga, che dia la divisione di qualsiasi angolo in tre parti uguali. Per una serie di valori speciali dell'angolo si possono facilmente trovare tali costruzioni. Voglio farti conoscere il corso del pensiero nel provare l'impossibilità di trisecare un angolo nel senso indicato; allo stesso tempo vi chiedo di ricordare la prova dell'impossibilità di costruire un ettagono regolare con compasso e riga. Come in quella dimostrazione, ridurremo il problema a un'equazione cubica irriducibile e poi mostreremo che non può essere risolto prendendo solo la radice quadrata. Ma solo ora l'equazione includerà un parametro - l'angolo - mentre prima i coefficienti erano numeri interi; in accordo con ciò, ora, invece che numerica, dovrebbe esserci irriducibilità funzionale.

Per ottenere un'equazione che renda conto del nostro problema, immaginiamo di costruire un angolo sul semiasse positivo dei numeri reali (fig. 41); quindi l'altro suo lato intersecherà il cerchio di raggio 1 nel punto

Il nostro compito è trovare una tale costruzione, indipendente dall'ampiezza dell'angolo, consistente in un numero finito di operazioni con un compasso e un righello, che dia ogni volta il punto di intersezione di questo cerchio con il lato dell'angolo, cioè il punto

Questo valore z soddisfa l'equazione

e l'equivalente analitico del nostro problema geometrico è risolvere questa equazione prendendo un numero finito di radici quadrate di funzioni razionali di perché queste sono le coordinate del punto w, da cui dobbiamo partire nella nostra costruzione.

Prima di tutto, dobbiamo assicurarci che l'equazione (3) sia irriducibile dal punto di vista della teoria delle funzioni. È vero, questa equazione non si adatta perfettamente al tipo di equazioni che avevamo in mente nel ragionamento generale precedente: invece del parametro complesso w che ricorre razionalmente, qui entrano razionalmente due funzioni - il coseno e il seno - del parametro reale. chiamiamo qui riducibile il polinomio a patto che si scomponga in polinomi rispetto a , i cui coefficienti sono anch'essi funzioni razionali di Possiamo dare un criterio di riducibilità inteso in questo senso, che è del tutto simile al precedente. Vale a dire, se nell'uguaglianza (3) percorre tutti i valori reali, allora allo stesso tempo percorre il cerchio di raggio 1 nel piano w, che, per la proiezione stereografica, corrisponde all'equatore sulla sfera w. La linea che giace al di sopra di questo cerchio sulla superficie di Riemann dell'equazione e che attraversa simultaneamente tutti e tre i fogli è mappata uno a uno con l'aiuto di (3) su un cerchio di raggio 1 della sfera e quindi può essere chiamata a qualche estensione della sua "immagine riemanniana unidimensionale". È chiaro che in modo analogo è possibile costruire una tale immagine riemanniana per qualsiasi equazione della forma; per fare ciò, devi prendere tante istanze di cerchi con un raggio di 1 e con una lunghezza d'arco quante radici ha l'equazione e fissarle in base alla connessione delle radici.

Inoltre, concludiamo, esattamente nello stesso modo di prima, che l'equazione potrebbe essere riducibile solo se la sua immagine riemanniana unidimensionale fosse divisa in parti separate, ma in questo caso non è così, e quindi l'irriducibilità della nostra equazione (3) è dimostrato.

La precedente dimostrazione che ogni equazione cubica con coefficienti numerici razionali, risolvibile mediante una serie di estrazioni di radice quadrata, è riducibile, può essere riportata testualmente al caso presente dell'equazione (3), che è funzionalmente irriducibile; vale solo la pena dire invece delle parole “numeri razionali” ogni volta “funzioni razionali da Dopodiché, la nostra affermazione che è impossibile eseguire la divisione in tre parti di un angolo arbitrario per mezzo di un numero finito di operazioni (con un compasso e righello) in modo tale che tutti gli sforzi delle persone coinvolte nella trisezione dell'angolo siano destinati all'eterna futilità!

Ora passiamo a un esempio leggermente più complesso.

Dividere un angolo a metà (Figura 26, a). Dall'alto IN angolo ABC raggio arbitrario R 1 disegna un arco finché non si interseca con i lati dell'angolo nei punti M E N . Poi dai punti M E N disegnare archi con un raggio > R 1 finché non si intersecano in un punto D . Dritto BD bisecare l'angolo dato.

La divisione dell'angolo in 4, 8, ecc. Parti uguali viene effettuata mediante dimezzamento successivo di ciascuna parte dell'angolo (Figura 26, b).

Figura 26

Ad esempio, nel caso in cui l'angolo sia impostato da lati che non si intersecano all'interno del disegno AB E CD nella figura 26, c, la divisione dell'angolo a metà viene eseguita come segue. Ad una distanza arbitraria ma uguale l traccia linee rette dai lati dell'angolo CL || AB E MN || CD e continuali finché non si intersecano in un punto DI . Angolo ricevuto l SU bisecare dritto DI . Dritto DI dividerà anche in due l'angolo dato.

Divisione di un angolo retto in tre parti uguali (Figura 27). Dal vertice di un angolo retto - punti IN disegnare un arco di raggio arbitrario R finché non si interseca con entrambi i lati dell'angolo nei punti UN E C . Stesso raggio R dai punti UN E CON disegna archi fino all'intersezione con l'arco AC a punti M E N . Rette passanti per il vertice di un angolo IN e punti M E N , dividi l'angolo retto in tre parti uguali.

Figura 27

2.4 Dividere un cerchio in parti uguali, costruire poligoni regolari

2.4.1 Dividere un cerchio in parti uguali e costruire poligoni regolari inscritti

Per dividere un cerchio a metà, è sufficiente disegnarne uno qualsiasi diametro. Due diametri reciprocamente perpendicolari divideranno il cerchio in quattro parti uguali (Figura 28, a). Dividendo ogni quarta parte a metà, ottengono l'ottava parte e, con un'ulteriore divisione, la sedicesima, la trentaduesima parte, ecc. (Figura 28, b). Se collegato da linee rette punti di divisione, si ottengono i lati di un quadrato regolare inscritto (UN 4 ), Ottagono ( UN 8 ) e T . d. (Figura 28, c).

Figura 28

Dividendo il cerchio in 3, 6, 12, ecc., parti uguali, E costruzione dei corrispondenti poligoni regolari inscritti effettuato come segue. Due diametri reciprocamente perpendicolari sono disegnati in un cerchio 1–2 E 3–4 (Figura 29a). Da punti 1 E 2 come descrivere archi dai centri con il raggio di un cerchio R prima di intersecarsi con esso in punti A,B,C E D . punti UN ,B ,1, C, D E 2 dividere il cerchio in sei parti uguali. Gli stessi punti, presi attraverso uno, divideranno il cerchio in tre parti uguali (Figura 29, b). Per dividere il cerchio in 12 parti uguali, descrivi altri due archi con un raggio di un cerchio dai punti 3 E 4 (Figura 29, c).

Figura 29

Puoi anche costruire un triangolo regolare inscritto, un esagono, ecc. utilizzando un righello e un quadrato a 30 e 60 °. La figura 30 mostra una costruzione simile per un triangolo inscritto.

Figura 30

Dividere un cerchio in sette parti uguali e la costruzione di un ettagono regolare inscritto (figura 31) viene eseguita utilizzando la metà del lato del triangolo inscritto, approssimativamente uguale al lato dell'ettagono inscritto.

Figura 31

Per dividere un cerchio per cinque o dieci parti uguali vengono eseguiti due diametri reciprocamente perpendicolari (Figura 32, a). Raggio OA dividere a metà e, dopo aver ricevuto un punto IN , descrivi da esso un arco con un raggio R = AVANTI CRISTO finché non si interseca in un punto D con diametro orizzontale. Distanza tra i punti C E D uguale alla lunghezza di un lato di un pentagono regolare inscritto ( UN 5 ), e il segmento OD uguale alla lunghezza di un lato di un decagono regolare inscritto ( UN 10 ). La divisione del cerchio in cinque e dieci parti uguali, così come la costruzione del pentagono e del decagono regolari inscritti sono mostrate nella figura 32, b. Un esempio di utilizzo della divisione di un cerchio in cinque parti è una stella a cinque punte (Figura 32, c).

Figura 32

La figura 33 mostra un metodo generale per la divisione approssimativa di un cerchio in parti uguali . Sia necessario dividere il cerchio in nove parti uguali. Due diametri reciprocamente perpendicolari e un diametro verticale sono disegnati in un cerchio. AB diviso in nove parti uguali usando una linea retta ausiliaria (Figura 33, a). Da un punto B descrivere un arco di raggio R =AB , e alla sua intersezione con la continuazione del diametro orizzontale si ottengono dei punti CON E D . Da punti C E D attraverso punti di divisione del diametro pari o dispari AB condurre raggi. I punti di intersezione dei raggi con il cerchio lo divideranno in nove parti uguali (Figura 33, b).

Figura 33

Durante la costruzione, è necessario tenere conto del fatto che questo metodo di divisione del cerchio in parti uguali richiede una precisione particolarmente elevata nell'esecuzione di tutte le operazioni.