Soluzione delle frazioni improprie. Frazione impropria

Frazione in matematica, un numero costituito da una o più parti (frazioni) di un'unità. Le frazioni fanno parte del campo dei numeri razionali. In base al modo in cui sono scritte, le frazioni si dividono in 2 formati: ordinario tipo e decimale .

Numeratore della frazione- un numero indicante il numero di azioni prese (situato nella parte superiore della frazione - sopra la linea). Denominatore della frazione- un numero che indica in quante quote è suddivisa l'unità (posizionato sotto la linea - in basso). , a loro volta si dividono in: corretto E errato, misto E composito sono strettamente legati alle unità di misura. 1 metro contiene 100 cm, il che significa che 1 metro è diviso in 100 parti uguali. Pertanto, 1 cm = 1/100 m (un centimetro equivale a un centesimo di metro).

o 3/5 (tre quinti), qui 3 è il numeratore, 5 è il denominatore. Se il numeratore è minore del denominatore la frazione è minore di uno e viene chiamata corretto:

Se il numeratore è uguale al denominatore la frazione è uguale a uno. Se il numeratore è maggiore del denominatore la frazione è maggiore di uno. In entrambi gli ultimi casi viene chiamata la frazione sbagliato:

Per isolare il numero intero più grande contenuto in una frazione impropria, si divide il numeratore per il denominatore. Se la divisione viene eseguita senza resto, la frazione impropria considerata è uguale al quoziente:

Se la divisione viene eseguita con un resto, il quoziente (incompleto) dà l'intero desiderato e il resto diventa il numeratore della parte frazionaria; il denominatore della parte frazionaria rimane lo stesso.

Viene chiamato un numero contenente un intero e una parte frazionaria misto. Frazione numero misto Forse frazione impropria. Quindi puoi selezionare l'intero più grande dalla parte frazionaria e rappresentare il numero misto in modo tale che la parte frazionaria diventi una frazione propria (o scompaia del tutto).

Frazione impropria

Quarti

1. Ordine. UN E B esiste una regola che permette di individuare univocamente una ed una sola delle tre relazioni tra loro: “< », « >" o " = ". Questa regola si chiama regola di ordinamento ed è formulato come segue: due numeri non negativi e sono legati dalla stessa relazione di due numeri interi e ; due numeri non positivi UN E B sono legati dalla stessa relazione di due numeri non negativi e ; se all'improvviso UN non negativo, ma B- negativo, allora UN > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Aggiunta di frazioni

2. Operazione di addizione. Per qualsiasi numero razionale UN E B c'è un cosiddetto regola di sommatoria C. Inoltre, il numero stesso C chiamato quantità numeri UN E B ed è indicato con , e il processo per trovare tale numero è chiamato somma. La regola della sommatoria ha la seguente forma: .
3. Operazione di moltiplicazione. Per qualsiasi numero razionale UN E B c'è un cosiddetto regola della moltiplicazione, che assegna loro un numero razionale C. Inoltre, il numero stesso C chiamato lavoro numeri UN E B ed è indicato con , e viene anche chiamato il processo per trovare tale numero moltiplicazione. La regola della moltiplicazione è simile alla seguente: .
4. Transitività della relazione d'ordine. Per ogni terna di numeri razionali UN , B E C Se UN meno B E B meno C, Quello UN meno C, e se UN equivale B E B equivale C, Quello UN equivale C. 6435">Commutatività dell'addizione. Cambiare il posto dei termini razionali non cambia la somma.
5. Associatività dell'addizione. L'ordine in cui vengono aggiunti tre numeri razionali non influisce sul risultato.
6. Presenza dello zero. Esiste un numero razionale 0 che preserva ogni altro numero razionale quando viene aggiunto.
7. La presenza di numeri opposti. Ogni numero razionale ha un numero razionale opposto, che sommato dà 0.
8. Commutatività della moltiplicazione. Cambiare la posizione dei fattori razionali non cambia il prodotto.
9. Associatività della moltiplicazione. L'ordine in cui vengono moltiplicati tre numeri razionali non influisce sul risultato.
10. Disponibilità dell'unità. Esiste un numero razionale 1 che preserva ogni altro numero razionale quando moltiplicato.
11. Presenza di numeri reciproci. Qualsiasi numero razionale ha un numero razionale inverso, che moltiplicato per dà 1.
12. Distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione. L'operazione di moltiplicazione è coordinata con l'operazione di addizione tramite la legge di distribuzione:
13. Collegamento della relazione d'ordine con l'operazione di addizione. Lo stesso numero razionale può essere aggiunto ai lati sinistro e destro di una disuguaglianza razionale. /immagini/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Assioma di Archimede. Qualunque sia il numero razionale UN, puoi prendere così tante unità che la loro somma supera UN. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietà aggiuntive

Tutte le altre proprietà inerenti ai numeri razionali non si distinguono come fondamentali, perché in generale non si basano più direttamente sulle proprietà degli interi, ma possono essere dimostrate sulla base delle proprietà di base date o direttamente mediante la definizione di qualche oggetto matematico . Ci sono molte di queste proprietà aggiuntive. È opportuno elencarne qui solo alcuni.

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Numerabilità di un insieme

Numerazione dei numeri razionali

Per stimare il numero dei numeri razionali è necessario trovare la cardinalità del loro insieme. È facile dimostrare che l’insieme dei numeri razionali è numerabile. Per fare ciò è sufficiente fornire un algoritmo che enumeri i numeri razionali, cioè stabilisca una biiezione tra gli insiemi dei numeri razionali e naturali.

Il più semplice di questi algoritmi si presenta così. Su ciascuna viene compilata una tabella infinita di frazioni ordinarie io-esima riga in ciascuno J l'esima colonna di cui si trova la frazione. Per chiarezza si presuppone che le righe e le colonne di questa tabella siano numerate a partire da uno. Le celle della tabella sono indicate con , dove io- il numero della riga della tabella in cui si trova la cella e J- numero di colonna.

La tabella risultante viene attraversata utilizzando un “serpente” secondo il seguente algoritmo formale.

Queste regole vengono cercate dall'alto verso il basso e la posizione successiva viene selezionata in base alla prima corrispondenza.

Nel processo di tale attraversamento, ogni nuovo numero razionale è associato a un altro numero naturale. Cioè, la frazione 1/1 è assegnata al numero 1, la frazione 2/1 al numero 2, ecc. Va notato che vengono numerate solo le frazioni irriducibili. Un segno formale di irriducibilità è che il massimo comun divisore del numeratore e del denominatore della frazione è uguale a uno.

Seguendo questo algoritmo, possiamo enumerare tutti i numeri razionali positivi. Ciò significa che l’insieme dei numeri razionali positivi è numerabile. È facile stabilire una biiezione tra gli insiemi dei numeri razionali positivi e negativi semplicemente assegnando a ciascun numero razionale il suo opposto. Quello. è numerabile anche l’insieme dei numeri razionali negativi. Anche la loro unione è numerabile per la proprietà degli insiemi numerabili. L'insieme dei numeri razionali è numerabile anche come unione di un insieme numerabile con uno finito.

L'affermazione sulla numerabilità dell'insieme dei numeri razionali può causare qualche confusione, poiché a prima vista sembra che sia molto più estesa dell'insieme dei numeri naturali. In realtà non è così e ci sono abbastanza numeri naturali per enumerare tutti quelli razionali.

Mancanza di numeri razionali

L'ipotenusa di un tale triangolo non può essere espressa da nessun numero razionale

Numeri razionali della forma 1 / N in generale NÈ possibile misurare quantità arbitrariamente piccole. Questo fatto crea l'impressione fuorviante che i numeri razionali possano essere utilizzati per misurare qualsiasi distanza geometrica. È facile dimostrare che ciò non è vero.

Dal teorema di Pitagora sappiamo che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è espressa come radice quadrata della somma dei quadrati dei suoi cateti. Quello. la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con cateto unitario è uguale a , cioè al numero il cui quadrato è 2.

Se assumiamo che un numero possa essere rappresentato da un numero razionale, allora esiste un tale numero intero M e un numero così naturale N, quello , e la frazione è irriducibile, cioè i numeri M E N- reciprocamente semplice.

Semplici regole e tecniche matematiche, se non vengono utilizzate costantemente, vengono dimenticate molto rapidamente. I termini scompaiono dalla memoria ancora più velocemente.

Una di queste semplici azioni è convertire una frazione impropria in una frazione propria o, in altre parole, mista.

Frazione impropria

Una frazione impropria è quella in cui il numeratore (il numero sopra la linea) è maggiore o uguale al denominatore (il numero sotto la linea). Questa frazione si ottiene sommando frazioni o moltiplicando una frazione per un numero intero. Secondo le regole della matematica, tale frazione deve essere convertita in una frazione propria.

Frazione propria

È logico supporre che tutte le altre frazioni siano dette proprie. Una definizione rigorosa è che una frazione il cui numeratore è minore del denominatore è detta propria. Una frazione che ha una parte intera è talvolta chiamata frazione mista.

Trasformare una frazione impropria in una frazione propria

• Primo caso: numeratore e denominatore sono uguali tra loro. Il risultato della conversione di qualsiasi frazione di questo tipo è uno. Non importa se sono tre terzi osimi. Essenzialmente, tale frazione denota l'azione di dividere un numero per se stesso.

• Secondo caso: il numeratore è maggiore del denominatore. Qui devi ricordare il metodo per dividere i numeri con il resto.
  Per fare ciò, devi trovare il numero più vicino al valore del numeratore, che è divisibile per il denominatore senza resto. Ad esempio, hai la frazione diciannove terzi. Il numero più vicino che può essere diviso per tre è diciotto. Sono le sei. Ora sottrai il numero risultante dal numeratore. Ne prendiamo uno. Questo è il resto. Annota il risultato della conversione: sei interi e un terzo.

Ma prima di poter ridurre una frazione alla sua forma corretta, devi verificare se può essere ridotta.
Puoi ridurre una frazione se il numeratore e il denominatore hanno un fattore comune. Cioè un numero per il quale entrambi sono divisibili senza resto. Se esistono diversi divisori di questo tipo, è necessario trovare quello più grande.
Ad esempio, tutti i numeri pari hanno un divisore comune: due. E la frazione sedici-dodicesimi ha un altro divisore comune: quattro. Questo è il massimo divisore. Dividi numeratore e denominatore per quattro. Risultato della riduzione: quattro terzi. Ora, come pratica, converti questa frazione in una frazione propria.

Studiando la regina di tutte le scienze: la matematica, a un certo punto tutti si imbattono nelle frazioni. Sebbene questo concetto (come i tipi di frazioni stessi o le operazioni matematiche con essi) non sia affatto complicato, è necessario trattarlo con attenzione, perché nella vita reale al di fuori della scuola sarà molto utile. Quindi, aggiorniamo le nostre conoscenze sulle frazioni: cosa sono, a cosa servono, di che tipo sono e come eseguire varie operazioni aritmetiche con esse.

Frazione di Sua Maestà: cos'è

In matematica, le frazioni sono numeri, ciascuno dei quali è costituito da una o più parti di un'unità. Tali frazioni sono anche chiamate ordinarie o semplici. Di norma, sono scritti sotto forma di due numeri separati da una linea orizzontale o barrata, detta linea “frazionaria”. Ad esempio: ½, ¾.

Il superiore, o il primo, di questi numeri è il numeratore (mostra quante parti sono prese dal numero), e il inferiore, o il secondo, è il denominatore (dimostra in quante parti è divisa l'unità).

La barra della frazione funziona effettivamente come un segno di divisione. Ad esempio, 7:9=7/9

Tradizionalmente, le frazioni comuni sono inferiori a uno. Mentre i decimali possono essere più grandi di esso.

A cosa servono le frazioni? Sì, per tutto, perché nel mondo reale non tutti i numeri sono interi. Ad esempio, due studentesse nella mensa hanno comprato insieme una deliziosa tavoletta di cioccolato. Quando stavano per condividere il dessert, hanno incontrato un'amica e hanno deciso di regalare anche a lei. Adesso però è necessario dividere correttamente la tavoletta di cioccolato, considerando che è composta da 12 quadrati.

All'inizio le ragazze volevano dividere tutto equamente e poi ciascuna avrebbe ricevuto quattro pezzi. Ma, dopo averci pensato su, hanno deciso di regalare al loro amico, non 1/3, ma 1/4 del cioccolato. E poiché le studentesse non studiavano bene le frazioni, non tenevano conto che in una situazione del genere si sarebbero ritrovate con 9 pezzi, che sono molto difficili da dividere in due. Questo esempio abbastanza semplice mostra quanto sia importante riuscire a trovare correttamente una parte di un numero. Ma nella vita ci sono molti altri casi simili.

Tipi di frazioni: ordinarie e decimali

Tutte le frazioni matematiche sono divise in due grandi categorie: ordinarie e decimali. Le caratteristiche del primo sono state descritte nel paragrafo precedente, quindi ora vale la pena prestare attenzione al secondo.

Il decimale è una notazione posizionale di una frazione di un numero, che è scritta per iscritto separata da una virgola, senza trattino o barra. Ad esempio: 0,75, 0,5.

In effetti, una frazione decimale è identica a una frazione ordinaria, tuttavia il suo denominatore è sempre uno seguito da zeri, da qui il suo nome.

Il numero che precede la virgola è una parte intera e tutto ciò che segue è una frazione. Qualsiasi frazione semplice può essere convertita in un numero decimale. Pertanto, le frazioni decimali indicate nell'esempio precedente possono essere scritte come al solito: ¾ e ½.

Vale la pena notare che sia le frazioni decimali che quelle ordinarie possono essere positive o negative. Se sono preceduti dal segno “-”, questa frazione è negativa, se “+” è una frazione positiva.

Sottotipi di frazioni ordinarie

Esistono questi tipi di frazioni semplici.

Sottotipi di frazione decimale

A differenza di una frazione semplice, una frazione decimale è divisa solo in 2 tipi.

• Finale: ha ricevuto questo nome perché dopo il punto decimale ha un numero limitato (finito) di cifre: 19,25.
• Una frazione infinita è un numero con un numero infinito di cifre dopo la virgola. Ad esempio, dividendo 10 per 3, il risultato sarà una frazione infinita 3,333...

Aggiunta di frazioni

Eseguire varie manipolazioni aritmetiche con le frazioni è un po' più difficile che con i numeri ordinari. Tuttavia, se si comprendono le regole di base, non sarà difficile risolvere qualsiasi esempio con l'aiuto di esse.

Ad esempio: 2/3+3/4. Il minimo comune multiplo per loro sarà 12, quindi è necessario che questo numero sia in ciascun denominatore. Per fare questo, moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della prima frazione per 4, risulta 8/12, facciamo lo stesso con il secondo termine, ma moltiplichiamo solo per 3 - 9/12. Ora puoi risolvere facilmente l'esempio: 8/12+9/12= 17/12. La frazione risultante è un'unità errata perché il numeratore è maggiore del denominatore. Può e deve essere trasformato in un misto corretto dividendo 17:12 = 1 e 5/12.

Quando si aggiungono frazioni miste, le operazioni vengono eseguite prima con i numeri interi e poi con le frazioni.

Se l'esempio contiene una frazione decimale e una frazione regolare, è necessario renderle semplici entrambe, poi portarle allo stesso denominatore e sommarle. Ad esempio 3.1+1/2. Il numero 3.1 può essere scritto come frazione mista di 3 e 1/10 o come frazione impropria - 31/10. Il denominatore comune dei termini sarà 10, quindi devi moltiplicare alternativamente il numeratore e il denominatore di 1/2 per 5, ottieni 5/10. Quindi puoi facilmente calcolare tutto: 31/10+5/10=35/10. Il risultato ottenuto è una frazione riducibile impropria, la riportiamo nella forma normale riducendola di 5: 7/2 = 3 e 1/2, ovvero decimale - 3,5.

Quando si sommano 2 frazioni decimali, è importante che ci sia lo stesso numero di cifre dopo la virgola. In caso contrario, devi solo aggiungere il numero richiesto di zeri, perché in una frazione decimale questo può essere fatto indolore. Ad esempio, 3,5+3,005. Per risolvere questo problema, devi aggiungere 2 zeri al primo numero e poi sommare uno per uno: 3.500+3.005=3.505.

Sottrarre frazioni

Quando sottrai frazioni, dovresti fare la stessa cosa che fai quando addizioni: riduci a un denominatore comune, sottrai un numeratore da un altro e, se necessario, converti il ​​risultato in una frazione mista.

Ad esempio: 16/20-5/10. Il denominatore comune sarà 20. Devi portare la seconda frazione a questo denominatore moltiplicando entrambe le sue parti per 2, otterrai 10/20. Ora puoi risolvere l'esempio: 16/20-10/20= 6/20. Tuttavia, questo risultato si applica alle frazioni riducibili, quindi vale la pena dividere entrambi i membri per 2 e il risultato è 3/10.

Moltiplicazione delle frazioni

Dividere e moltiplicare le frazioni sono operazioni molto più semplici dell'addizione e della sottrazione. Il fatto è che quando si eseguono questi compiti non è necessario cercare un denominatore comune.

Per moltiplicare le frazioni, devi semplicemente moltiplicare uno per uno entrambi i numeratori e poi entrambi i denominatori. Riduci il risultato risultante se la frazione è una quantità riducibile.

Ad esempio: 4/9x5/8. Dopo la moltiplicazione alternata, il risultato è 4x5/9x8=20/72. Questa frazione può essere ridotta di 4, quindi la risposta finale nell'esempio è 5/18.

Come dividere le frazioni

Anche dividere le frazioni è un'operazione semplice, infatti si tratta comunque di moltiplicarle. Per dividere una frazione per un'altra è necessario invertire la seconda e moltiplicare per la prima.

Ad esempio, dividendo le frazioni 5/19 e 5/7. Per risolvere l'esempio, devi invertire denominatore e numeratore della seconda frazione e moltiplicare: 5/19x7/5=35/95. Il risultato può essere ridotto di 5: risulta 7/19.

Se devi dividere una frazione per un numero primo, la tecnica è leggermente diversa. Inizialmente, dovresti scrivere questo numero come frazione impropria, quindi dividerlo secondo lo stesso schema. Ad esempio, 2/13:5 dovrebbe essere scritto come 2/13: 5/1. Ora devi girare 5/1 e moltiplicare le frazioni risultanti: 2/13x1/5= 2/65.

A volte devi dividere frazioni miste. Devi trattarli come faresti con i numeri interi: trasformali in frazioni improprie, inverti il ​​divisore e moltiplica tutto. Ad esempio, 8 ½: 3. Converti tutto in frazioni improprie: 17/2: 3/1. Questo è seguito da un lancio 3/1 e da una moltiplicazione: 17/2x1/3= 17/6. Ora dovresti convertire la frazione impropria in quella corretta: 2 interi e 5/6.

Quindi, dopo aver capito cosa sono le frazioni e come puoi eseguire varie operazioni aritmetiche con esse, devi cercare di non dimenticartene. Dopotutto, le persone sono sempre più propense a dividere qualcosa in parti che ad aggiungere, quindi devi essere in grado di farlo correttamente.

Ci imbattiamo nelle frazioni nella vita molto prima di quando iniziamo a studiarle a scuola. Se tagliamo a metà una mela intera, otteniamo ½ del frutto. Tagliamolo di nuovo: sarà ¼. Queste sono frazioni. E tutto sembrava semplice. Per un adulto. Per un bambino (e questo argomento inizia a essere studiato alla fine della scuola primaria), i concetti matematici astratti sono ancora spaventosamente incomprensibili, e l'insegnante deve spiegare chiaramente cosa sono una frazione propria e impropria, comune e decimale, quali operazioni possono essere eseguite con loro e, soprattutto, perché tutto ciò è necessario.

Cosa sono le frazioni?

L'introduzione di un nuovo argomento a scuola inizia con le frazioni ordinarie. Sono facilmente riconoscibili dalla linea orizzontale che separa i due numeri: sopra e sotto. Quello in alto è chiamato numeratore, quello in basso è denominatore. C'è anche un'opzione minuscola per scrivere le frazioni ordinarie improprie e proprie - attraverso una barra, ad esempio: ½, 4/9, 384/183. Questa opzione viene utilizzata quando l'altezza della riga è limitata e non è possibile utilizzare un modulo di iscrizione "a due piani". Perché? Sì, perché è più conveniente. Lo vedremo un po' più tardi.

Oltre alle frazioni ordinarie, esistono anche le frazioni decimali. È molto semplice distinguerli: se in un caso si usa una barra orizzontale o una barra, nell'altro si usa la virgola per separare sequenze di numeri. Consideriamo un esempio: 2.9; 163,34; 1.953. Abbiamo utilizzato intenzionalmente un punto e virgola come separatore per delimitare i numeri. Il primo si leggerà così: “due punto nove”.

Nuovi concetti

Torniamo alle frazioni ordinarie. Sono disponibili in due tipi.

La definizione di frazione propria è la seguente: è una frazione il cui numeratore è minore del denominatore. Perché è importante? Vedremo ora!

Hai diverse mele, dimezzate. Totale: 5 parti. Come diresti: hai “due mele e mezzo” o “cinque e mezzo”? Naturalmente, la prima opzione sembra più naturale e la useremo quando parleremo con gli amici. Ma se dobbiamo calcolare quanti frutti riceverà ogni persona, se ci sono cinque persone in azienda, scriveremo il numero 5/2 e lo divideremo per 5 - da un punto di vista matematico, questo sarà più chiaro .

Quindi, per nominare le frazioni proprie e improprie, la regola è questa: se in una frazione è possibile distinguere una parte intera (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), allora è irregolare. Se ciò non può essere fatto, come nel caso di ½, 13/16, 9/10, sarà corretto.

La proprietà principale di una frazione

Se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono moltiplicati o divisi contemporaneamente per lo stesso numero, il suo valore non cambia. Immagina: hanno tagliato la torta in 4 parti uguali e te ne hanno regalato una. Hanno tagliato la stessa torta in otto pezzi e te ne hanno dati due. Importa davvero? Dopotutto, ¼ e 2/8 sono la stessa cosa!

Riduzione

Gli autori di problemi ed esempi nei libri di testo di matematica spesso cercano di confondere gli studenti proponendo frazioni che sono scomode da scrivere ma che in realtà possono essere abbreviate. Ecco un esempio di frazione propria: 167/334, che, a quanto pare, sembra molto “spaventoso”. Ma in realtà possiamo scriverlo come ½. Il numero 334 è divisibile per 167 senza resto: dopo aver eseguito questa operazione otteniamo 2.

Numeri misti

Una frazione impropria può essere rappresentata come un numero misto. Questo è il momento in cui l'intera parte viene portata avanti e scritta a livello della linea orizzontale. Infatti l'espressione assume la forma di una somma: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 e così via.

Per eliminare l'intera parte, devi dividere il numeratore per il denominatore. Scrivi il resto della divisione in alto, sopra la linea, e l'intera parte, prima dell'espressione. Otteniamo così due parti strutturali: unità intere + frazione propria.

Puoi anche eseguire l'operazione inversa: per fare ciò, devi moltiplicare la parte intera per il denominatore e aggiungere il valore risultante al numeratore. Niente di complicato.

Moltiplicazione e divisione

Stranamente, moltiplicare le frazioni è più semplice che aggiungere. Tutto ciò che serve è estendere la linea orizzontale: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Con la divisione, anche tutto è semplice: devi moltiplicare le frazioni in modo incrociato: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Aggiunta di frazioni

Cosa fare se è necessario eseguire un'addizione o se hanno numeri diversi al denominatore? Non funzionerà come con la moltiplicazione: qui dovresti comprendere la definizione di frazione propria e la sua essenza. È necessario portare i termini a un denominatore comune, cioè la parte inferiore di entrambe le frazioni deve avere gli stessi numeri.

Per fare ciò, dovresti utilizzare la proprietà di base di una frazione: moltiplicare entrambe le parti per lo stesso numero. Ad esempio, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Come scegliere a quale denominatore ridurre i termini? Questo deve essere il numero minimo che sia multiplo di entrambi i numeri ai denominatori delle frazioni: per 1/3 e 1/9 sarà 9; per ½ e 1/7 - 14, perché non esiste un valore più piccolo divisibile per 2 e 7 senza resto.

Utilizzo

A cosa servono le frazioni improprie? Dopotutto, è molto più conveniente selezionare immediatamente l'intera parte, ottenere un numero misto e il gioco è fatto! Si scopre che se devi moltiplicare o dividere due frazioni, è più vantaggioso usare quelle irregolari.

Prendiamo il seguente esempio: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Sembrerebbe che non ci sia nulla da tagliare. Ma cosa succede se scriviamo il risultato dell'addizione tra le prime parentesi come frazione impropria? Guarda: (37/17) / (37/68)

Ora tutto va a posto! Scriviamo l'esempio in modo che tutto diventi ovvio: (37*68) / (17*37).

Cancelliamo 37 al numeratore e al denominatore e infine dividiamo la parte superiore e quella inferiore per 17. Ricordi la regola base per le frazioni proprie e improprie? Possiamo moltiplicarli e dividerli per qualsiasi numero purché lo facciamo contemporaneamente per il numeratore e il denominatore.

Quindi otteniamo la risposta: 4. L'esempio sembrava complicato, ma la risposta contiene solo un numero. Questo accade spesso in matematica. L'importante è non avere paura e seguire semplici regole.

Errori comuni

Durante l'implementazione, uno studente può facilmente commettere uno degli errori più comuni. Di solito si verificano a causa della disattenzione e talvolta del fatto che il materiale studiato non è stato ancora adeguatamente immagazzinato nella testa.

Spesso la somma dei numeri al numeratore porta a ridurne i singoli componenti. Diciamo nell'esempio: (13 + 2) / 13, scritto senza parentesi (con linea orizzontale), molti studenti, per inesperienza, cancellano 13 sopra e sotto. Ma questo non dovrebbe essere fatto in nessun caso, perché questo è un grave errore! Se al posto dell'addizione ci fosse il segno della moltiplicazione, nella risposta otterremmo il numero 2. Ma quando si esegue l'addizione non sono consentite operazioni con uno dei termini, solo con l'intera somma.

Anche i ragazzi spesso commettono errori quando dividono le frazioni. Prendiamo due frazioni irriducibili proprie e dividiamo l'una per l'altra: (5/6) / (25/33). Lo studente può mescolarli e scrivere l'espressione risultante come (5*25) / (6*33). Ma questo accadrebbe con la moltiplicazione, ma nel nostro caso tutto sarà leggermente diverso: (5*33) / (6*25). Riduciamo ciò che è possibile e la risposta sarà 11/10. Scriviamo la frazione impropria risultante come decimale - 1.1.

Parentesi

Ricorda che in qualsiasi espressione matematica l'ordine delle operazioni è determinato dalla precedenza dei segni di operazione e dalla presenza delle parentesi. A parità di condizioni, l'ordine delle azioni viene conteggiato da sinistra a destra. Questo vale anche per le frazioni: l'espressione al numeratore o al denominatore viene calcolata rigorosamente secondo questa regola.

Dopotutto, questo è il risultato della divisione di un numero per un altro. Se non vengono divisi equamente, diventano una frazione: tutto qui.

Come scrivere una frazione su un computer

Poiché gli strumenti standard non sempre consentono di creare una frazione composta da due "livelli", gli studenti a volte ricorrono a vari trucchi. Ad esempio, copiano i numeratori e i denominatori nell'editor grafico Paint e li incollano insieme, disegnando una linea orizzontale tra di loro. Naturalmente, esiste un'opzione più semplice che, tra l'altro, fornisce molte funzionalità aggiuntive che ti saranno utili in futuro.

Apri Microsoft Word. Uno dei pannelli nella parte superiore dello schermo si chiama "Inserisci": fai clic su di esso. A destra, sul lato dove si trovano le icone di chiusura e minimizzazione della finestra, è presente il pulsante “Formula”. Questo è esattamente ciò di cui abbiamo bisogno!

Se utilizzi questa funzione, sullo schermo apparirà un'area rettangolare in cui potrai utilizzare eventuali segni matematici che non sono presenti sulla tastiera, nonché scrivere le frazioni nella forma classica. Cioè dividendo numeratore e denominatore con una linea orizzontale. Potresti anche rimanere sorpreso dal fatto che una frazione propria sia così facile da scrivere.

Impara la matematica

Se sei nelle classi 5-6, presto la conoscenza della matematica (inclusa la capacità di lavorare con le frazioni!) sarà richiesta in molte materie scolastiche. In quasi tutti i problemi di fisica, quando si misura la massa di sostanze in chimica, in geometria e trigonometria, non si può fare a meno delle frazioni. Presto imparerai a calcolare tutto nella tua testa, senza nemmeno scrivere le espressioni su carta, ma appariranno esempi sempre più complessi. Quindi impara cos'è una frazione propria e come lavorarci, mantieni il passo con il tuo curriculum, fai i compiti in tempo e avrai successo.