Il metodo di Picard Picard Charles Emile (1856-1941) è stato un matematico francese.

Questo metodo permette di ottenere una soluzione approssimata dell'equazione differenziale (1) sotto forma di una funzione presentata analiticamente.

Supponiamo che le condizioni del teorema di esistenza richiedano di trovare una soluzione all'equazione (1) con la condizione iniziale (2). Integriamo i lati sinistro e destro dell'equazione (1) entro i limiti da a:

La soluzione dell'equazione integrale (9) soddisferà l'equazione differenziale (1) e la condizione iniziale (2). Infatti, quando, otteniamo:

Allo stesso tempo, l'equazione integrale (9) permette di applicare il metodo delle approssimazioni successive. Considereremo il lato destro della formula (9) come un operatore che mappa qualsiasi funzione (della classe di funzioni per le quali esiste l'integrale incluso in (9)) in un'altra funzione della stessa classe:

Se questo operatore è contrattivo (il che segue dalle condizioni del teorema di Picard), allora è possibile costruire una sequenza di approssimazioni che converge ad una soluzione esatta. Come prima approssimazione si accetta e si trova la prima approssimazione

L'integrale a destra contiene solo la variabile x; trovato questo integrale si otterrà un'espressione analitica per l'approssimazione in funzione della variabile x. Successivamente, sostituiamo y sul lato destro dell'equazione (9) con il valore trovato e otteniamo la seconda approssimazione

eccetera. Nel caso generale, la formula di iterazione ha la forma

(n=1, 2…) (10)

L'applicazione ciclica della formula (10) dà una sequenza di funzioni

convergendo alla soluzione dell'equazione integrale (9) (e, conseguentemente, dell'equazione differenziale (1) con condizioni iniziali (2)). Ciò significa anche che il k-esimo termine della sequenza (11) è un'approssimazione alla soluzione esatta dell'equazione (1) con un certo grado di accuratezza controllato.

Si noti che quando si utilizza il metodo delle approssimazioni successive, l'analiticità del membro destro dell'equazione differenziale non è richiesta, quindi questo metodo può essere utilizzato anche nei casi in cui è impossibile espandere la soluzione dell'equazione differenziale in una serie di potenze .

Errore del metodo Picard

La stima dell'errore per l'approssimazione k-esima è data dalla formula

dove y(x) è la soluzione esatta ed è la costante di Lipschitz della disuguaglianza (4).

In pratica il metodo Picard viene utilizzato molto raramente. Uno dei motivi è che gli integrali che devono essere calcolati quando si costruiscono approssimazioni successive molto spesso non si trovano analiticamente, e il loro utilizzo per calcolare metodi numerici complica così tanto la soluzione che diventa molto più conveniente applicare direttamente altri metodi inizialmente numerico.

Esempi di risoluzione di un problema in Maple

Compito n. 1: Utilizzando il metodo delle approssimazioni successive, trovare il valore in cui si trova la soluzione dell'equazione differenziale: soddisfacendo la condizione iniziale, sul segmento, facendo un passo (calcolare fino alla seconda approssimazione).

Dato: - equazione differenziale

Condizione iniziale

Intervallo

Trovare: Senso

Soluzione:

> y1:=semplifica (1+int (x+1, x=0…x));

> y2:= semplifica (1+int (x+semplifica (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Troviamo il valore in x=0,5:

Compito n. 2: Utilizzando il metodo delle approssimazioni successive, trovare una soluzione approssimata dell'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale.

Dato: - equazione differenziale

Condizione iniziale

Trovare: Senso

Soluzione:

Troveremo una soluzione approssimata di un dato DE su un segmento con un passo (scelto arbitrariamente).

Scriviamo per questo caso una formula della forma (10)

> y1:=semplifica (1+int (x*1, x=0…x));

>y2:=semplifica (1+int (x*semplifica (1+int (x*1, x=0...x)), x=0...x));

Allo stesso modo troviamo la terza approssimazione:

>y3:=semplifica (1+int (x*semplifica (1+int (x*semplifica (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0… X));

Troviamo una soluzione approssimata dell'equazione differenziale data in, a questo scopo in terza approssimazione invece di x, sostituiamo e otteniamo:

Confrontiamo il risultato approssimato ottenuto con la soluzione esatta dell'equazione differenziale:

Dai risultati della tabella risulta chiaro che l’errore di calcolo è molto piccolo.

1
18.01.2018

Formulazione del problema
Differenziale
equazioni
stabilire connessioni tra indipendenti
variabili, funzioni richieste e loro
derivati. Se la funzione richiesta
dipende da una variabile, quindi
si chiama l'equazione differenziale
ordinario.

Formulazione del problema
Ad esempio, la condizione di equilibrio per un mezzo elastico
descritto dal differenziale ordinario
equazione:
dTx
Fx0
dx
Tx – componente meccanico
stress, F - agire su
forza media continua per
unità di massa
Ecco la funzione richiesta (meccanica
tensione) T(x) dipende da una variabile
x (coordinata).

Formulazione del problema

Nel caso in cui la funzione richiesta dipenda da
più variabili, equazione differenziale
sarà un'equazione alle derivate parziali.
Ad esempio, si può descrivere il movimento di un mezzo elastico
equazione alle derivate parziali:
2u x Tx
2
T
X
ux – spostamento del mezzo, ρ – densità
ambiente, Tx – componente di stress
In questa equazione la funzione u(t,x) dipende dal tempo
(t) e la direzione di spostamento del mezzo (x).

Formulazione del problema
Equazioni differenziali ordinarie
(ODE) sono equazioni che contengono uno o
diverse derivate della funzione desiderata y = y(x):
F (x, y, y ,..., y (n)) 0 ,
dove x è la variabile indipendente.
L'ordine più alto di n che appare nell'equazione
la derivata è detta ordine del differenziale
equazioni
Per esempio:
F (x, y, y ") 0 equazione del primo ordine;
F (x, y, y " , y") 0 equazione del secondo ordine

Formulazione del problema
Dalla notazione generale dell'equazione differenziale
Puoi esprimere la derivata in modo esplicito:
y" f(x, y),
y" f (x, y, y")
L'equazione derivata ha infinito
molte soluzioni. Per ottenere l'unico
è necessario specificare ulteriori soluzioni
condizioni che devono essere soddisfatte dal richiesto
soluzioni.

Formulazione del problema
A seconda del tipo di tali condizioni
considerare tre tipi di problemi per i quali è stato dimostrato
Esistenza e unicità delle soluzioni.
Il primo tipo sono i problemi con l'iniziale
condizioni.
Per
come
compiti
tranne
originale
equazione differenziale in un punto x0
devono essere specificate le condizioni iniziali, ad es.
valori della funzione y (x) e delle sue derivate: y (x0) =
y0
y" (x0) = y"0 , . . . , y(n-1) (x0) = yn-10 .

Formulazione del problema
Il secondo tipo di compiti sono i cosiddetti
confine, o bordo, in cui
condizioni aggiuntive sono specificate nel modulo
funzionale
rapporti
fra
le soluzioni ricercate.
Il terzo tipo di problemi per l'ordinario
le equazioni differenziali sono problemi che coinvolgono
autovalori.

Formulazione del problema
Formuliamo il problema di Cauchy.
Trova la soluzione del differenziale ordinario
equazione del primo ordine (ODE), risolta
rispetto al derivato
y" f(x, y),
soddisfacendo la condizione iniziale
y(x0)y0

10.

Formulazione del problema
È necessario trovare su un segmento tale
funzione continua
y = y(x), che
soddisfa l'equazione differenziale
y " f (x, y), e la condizione iniziale y (x0) y0
quelli.
Trovare
soluzione
differenziale
equazioni Si chiama trovare una soluzione del genere
risolvere il problema di Cauchy. Soluzione numerica di questo
Il compito è costruire una tabella approssimativa
valori y1,y2,...,yn soluzioni dell'equazione y(x) nei punti
x1,x2,...,xn con qualche passo h.
xi x0 io h,
i=1,2,...,n.

11.

Ordinario
equazioni differenziali
Equazioni in quozienti
derivati
z z
dy
0
2(y 3)
2
2
X
sì
dx
2
d a
2
2
T
1
2
z
z
dt
3 2 2 4
X
sì
3
xdy=y dx
2
y'=x
2
11
2
18.01.2018

12.

Equazioni del primo ordine
dy
2(y 3)
dx
Equazioni del secondo ordine
2
d a
T
1
2
dt
z z
0
2
2
X
sì
2
3
xdy=y dx
z z
3 2 2 4
xy
2
2
y′=x
12
2
2
18.01.2018

13.

Esempio 1. Per un'equazione differenziale
dy
2x
dx
y0 = 2 in x0 = 1
soluzione generale: y = x2 +
CON
2 = 1 + C, cioè C = 1
M0 (1; 2)
13
18.01.2018

14.

Condizione di Lipschitz
R[ a ,b ] (| x x0 | a, | y y0 | b)
f (x, y) f (x, y) N y y
14
18.01.2018

15.

Metodi per la soluzione approssimata dei differenziali
equazioni
metodi analitici
Metodi numerici
Metodo sequenziale
approssimazioni - metodo
Picara
Il metodo di Eulero e suoi
modifiche
Metodo di integrazione
differenziale
equazioni utilizzando
serie di potenze
Metodo Runge-Kutta
Metodo di estrapolazione
Adams
15
18.01.2018

16.

18.01.2018

17.

Risolvere l'equazione differenziale
у′=f(x, y) con il metodo numerico –
questo significa per un dato
sequenze di argomenti
x0, x1,…, xn e i numeri y0,
senza definire la funzione y=F(x),
trova tali valori y1, y2, …, yn,
che yi=F(xi) e F(x0)=y0.
h=xk-xk-1
18.01.2018

18.

Sia data un'equazione differenziale
primo ordine
y'= f (x, y)
con condizione iniziale
x=x0, y(x0)=y0
b a
H
N
fase di integrazione
18.01.2018

19.

19
18.01.2018

20.

xk 1
xk 1
f(x, y) y"dx y(x)
xk
xk 1
xk
y (xk 1) y (xk) yk 1 yk
xk
questo è
sì 1 sì
xk 1
f(x, y)dx
xk
18.01.2018

21.

xk 1
f(x, y)dx f(x, y)x
K
K
xk 1
xk
f (xk , yk)(xk 1 xk) y " h
xk
sì 1 sì sì"k h
sì 1 sì sì"k h
Denotiamo
sì 1 sì sì
ehi, ehi"k
sì 1 sì sì
18.01.2018

22.

sì
H
0
x0
x1
x2
X
18.01.2018

23.

Errore di metodo
hM
N
sì (xn) sì n
(1 hN) 1
2N
Dove
f(x1, y1) f(x1, y2) N y1 y2
df
F
F
F
M
dx
X
sì
18.01.2018

24.

Esempio 1. Risolvi y’=y-x con iniziale
condizione x0=0, y0=1.5 sul segmento , h=0.25
Soluzione
io
(1)
0
1
2
3
4
5
6
xi
(2)
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
sì
(3)
1.5000
1.875
2.2812
2.7265
3.226
3.7758
4.4072
yi’=yi-xi
(4)
1.5000
1.6250
1.7812
1.9765
2.2206
2.5258
sì, ciao
"
io
(5)
0.3750
0.4062
0.4453
0.4941
0.5552
0.6314
18.01.2018

25.

Metodo di Eulero
Inserisci x, y, h, b
Uscita x,y
y: y hf x, y
x: x h
+
x b
FINE
18.01.2018

26.

Metodo di Eulero migliorato
yn+1 = yn + h/2
Torniamo allo sviluppo della funzione in serie di Taylor
l'aumento della precisione del calcolo può essere ottenuto mantenendo
membro contenente h2. y (t0) può essere approssimato con una differenza finita:
Tenendo conto di questa espressione, lo sviluppo della funzione in una serie di Taylor assume la forma
l'errore è dell'ordine h3
18.01.2018

27.

18.01.2018

28.

Compito. Sia dato il differenziale
equazione del primo ordine
y’= f(x, y)
con condizione iniziale
x=x0, y(x0)=y0
Trovare la soluzione dell'equazione su un segmento
sì 1 sì sì
18.01.2018

29.

k1 hf (x, y)
H
k1
k 2 hf (x , y)
2
2
H
k2
k3 hf(x, y)
2
2
k4 hf (x h, y k3)
18.01.2018

30.

1
y (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
sì 1 sì sì
18.01.2018

31.

18.01.2018

32.

Errore di metodo Rn(h5)
18.01.2018

33.

Esempio 1. Risolvi il differenziale
equazione y′=y-x con iniziale
condizione x0=0, metodo y(x0)=y0=1.5
Runge-Kutta. Calcolare allo 0,01 più vicino.
Soluzione
k1(0)=(y0-x0)h=1,5000*0,25=0,3750
k2(0)
k1(0)
H
x0 h (1,5000 0,1875) 0,125 0,25 0,3906
y0
2
2
18.01.2018

34.

k3(0)
k2(0)
H
x0 h (1,5000 0,1953) 0,125 0,25 0,3926
y0
2
2
k4(0)=[(y0+k3(0))-(x0+h)]h=[(1,5000+0,3926)0,125]*0,25=0,4106
1
y0 (0,3750 2 * 0,3906 2 * 0,3926 0,4106)
6
=0,3920
y1=1,50000+0,3920=1,8920
18.01.2018

35.

18.01.2018

36.

18.01.2018

37.

Metodo Runge-Kutta per la risoluzione dei sistemi
equazioni differenziali
,
y " f (x, y, z)
z
"
G
X
,
sì
,
z
18.01.2018

38.

1(i)
(io)
(io)
(io)
sì (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
1(i)
(io)
(io)
(io)
zi (l1 2l2 2l3 l4)
6
, Dove
18.01.2018

39.

(io)
1
K
(io)
1
l
hf(xi, yi, zi)
hq(xi, yi, zi)
18.01.2018

40.

K
l
(io)
2
(io)
2
(io)
1
(io)
1
H
K
l
hf(xi, yi
, zi)
2
2
2
(io)
1
(io)
1
H
K
l
hq(xi, yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018

41.

K
(io)
3
(io)
3
l
(io)
2
(io)
2
(io)
2
(io)
2
H
K
l
hf(xi, yi
, zi)
2
2
2
H
K
l
hq(xi, yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018

42.

K
l
,
(io)
4
(io)
4
(io)
3
K
H
(io)
hf(xi, yi
, zi l3)
2
2
(io)
3
K
H
(io)
hq(xi, yi
, z i l3)
2
2
sì 1 sì sì
zi 1 zi zi
18.01.2018

43.

Metodo delle approssimazioni successive
43
18.01.2018

44.

Primo approccio:
Seconda approssimazione:
Terza approssimazione:
…
ennesima approssimazione:
44
18.01.2018

45.

Teorema. Lasciamo nell'intorno del punto (x0; y0)
la funzione f(x, y) è continua e ha
Derivata parziale limitata f'y (x, y).
Poi in qualche intervallo contenente
punto x0, sequenza ( yi(x))
converge alla funzione y(x), servendo
soluzione differenziale
equazioni y’ = f(x, y) e
soddisfacendo la condizione y (x0) = y0
45
18.01.2018

46.

Stima dell'errore del metodo Picard
n1
H
| sì sì | NM
(n1)!
N
dove M = max |f(x, y)|
N = max |f ’y(x, y)|
B
hmm,
M
46
18.01.2018

47. Metodo delle approssimazioni successive di Picard

Equazione differenziale dell'ordine n
Consideriamo l'equazione differenziale della prima
ordine
y’ = f(x, y)
(1)
con condizioni iniziali
y(x0) = y0
(2).
Si presume che in qualche quartiere del punto
M0(x0, y0) l'equazione (1) soddisfa le condizioni del teorema
Esistenza e unicità di una soluzione.

48.

Costruiremo la soluzione richiesta y = y(x) per i valori
xx0.
Il caso x x0 è simile.
Integrazione dei lati destro e sinistro dell'equazione (1) in
intervallo da x0 a x, otteniamo
X
y (x) y (x0) f (x, y)dx
x0
o a causa della condizione iniziale (2), avremo
X
y (x) y0 f (x, y)dx
x0
(3)

49.

Poiché la funzione desiderata y = y(x) è sotto
segno dell'integrale, allora l'equazione (3) è
integrante.
Ovviamente, la soluzione dell’equazione integrale (3)
soddisfa l'equazione differenziale (1) e
alla condizione iniziale (2).
Per trovare questa soluzione applichiamo il metodo
approssimazioni successive.
Sostituendo la funzione sconosciuta y nell'uguaglianza (3)
dato il valore y0, otteniamo la prima approssimazione
X
y1 y0 f(x, y0)dx
x0

50.

Successivamente, sostituendo nell'uguaglianza (3) invece dell'ignoto
funzione y trovata la funzione y1, avremo la seconda
approssimazione
X
y2 y0 f(x, y1)dx
eccetera.
x0
Tutte le ulteriori approssimazioni vengono costruite utilizzando la formula
X
yn y0 f (x, yn 1)dx
(n = 1, 2, …)
x0
Geometricamente
sequenziale
avvicinandosi
rappresentare le curve yn = yn(x) (n = 1, 2, ...),
passante per il punto comune M0(x0, y0).

51.

sì
0
x0
xx+h
X
Commento.
A
metodo
consecutivo
approssimazioni come l'approssimazione iniziale y0,
puoi scegliere qualsiasi funzione abbastanza vicina a
soluzione esatta y.
Ad esempio, a volte è vantaggioso prendere come y0
il segmento finale della serie di Taylor della soluzione desiderata.

52.

Notare che
Che cosa
A
utilizzo
metodo
approssimazioni successive analiticità del diritto
parte dell'equazione differenziale è facoltativa,
Pertanto, questo metodo può essere utilizzato anche nei casi in cui
Quando
decomposizione
soluzioni
differenziale
le equazioni in una serie di potenze sono impossibili.
Esempio 1. Utilizzo del metodo delle approssimazioni successive
trovare una soluzione approssimata del differenziale
equazioni
y’ = x – y,
Soddisfando la condizione iniziale y(0) = 1.

53.

Soluzione. COME
prendiamo y0(x) = 1. Poiché
primario
avvicinandosi
X
y1 (x y)dx
0
allora avremo
X
x2
y1 1 (x 1)dx 1 x
2
0
Allo stesso modo
3
x2
X
dx1xx2
y2 1 x 1 x
2
6
0
X

54.

In modo simile otteniamo
3
4
X
X
y31xx2
3 24
3
4
5
X
X
X
y41xx2
3 12 120
eccetera.

55. Sistema di equazioni differenziali (metodo Picard)

Viene fornito un sistema di equazioni differenziali
dy
f(x,y)
dx
(4)
y(x0) y0
(5)
Dove
Scrittura dell'equazione vettoriale (4) in integrale
forma, avremo

56.

X
y y0 f(x, y)dx
(6)
x0
dove sotto l'integrale della funzione vettoriale
è inteso come un vettore
X
x0
X
f1 dx
x0
f dx
X
fndx
x0
f1
F
ecc

57.

Approssimazioni successive
sono determinati dalla formula
X
sì
(P)
y 0 f (x, y
(pag. 1)
y (p) (p = 1, 2, …)
)dx
x0
Inoltre, di solito si crede
y(0)y
Questo metodo è adatto anche per il differenziale
equazione dell'ennesimo ordine, se scritta nella forma
sistemi.

58.

Esempio 2. Costruisci diversi consecutivi
approssimazioni per la risoluzione del sistema
dy1
dxx y1 y2
dy2x2y2
1
dx
soddisfacendo le condizioni iniziali
y1(0) = 1; y2(0) = 0

59.

Soluzione. Abbiamo:
X
y1 1 (x y1 y2)dx
0
X
y2 (x2 y12)dx
0
Quindi, supponendo
y1(0) = 1;
y2(0) = 0
noi abbiamo
X
2
X
(1)
y1 1 (x 0)dx 1
2
0
X
3
X
(1)
y2(x21)dxx
3
0

60.

x2
x3
x4x6
1x1xdx1
2
3
24 36
0
X
(2)
1
sì
4
5
2
X
X
x1x2dxx
4
20
0
X
y2
(2)
eccetera.

61.

Fine dei calcoli
n1
H
| sì sì | NM
(n1)!
N
61
18.01.2018

Obiettivo del lavoro: formare negli studenti un'idea dell'applicazione del telecomando in vari campi; instillare la capacità di risolvere il problema di Cauchy per il controllo remoto A" = F(X,sì) sul segmento [ UN, B] per una data condizione iniziale A 0 = F(X 0) metodi di Picard, Eulero, Runge – Kutta, Adams; sviluppare competenze nel controllo dei risultati ottenuti utilizzando programmi applicativi.

Metodo Picard

Esempio 5.1.

: A H= 0,1 con il metodo Picard a gradini H.

Nella relazione, presenti: avanzamento lavori, programma - funzione, errore, illustrazione grafica della soluzione.

Soluzione.

1. Immettere i dati (Fig. 5.1)

UN= 1,7 b = 2,7

H = 0,1

sì 0 = 5,3 io = 0..N

Fig.5.1. Impostazione dei dati iniziali

2. Definire una funzione che restituisca i valori della derivata prima rispetto alla variabile A(Fig. 5.2).

F derivare( sì) =

Fig.5.2. Funzione che restituisce il valore della derivata prima di una funzione

3. Creiamo una funzione che restituisce la soluzione al DE utilizzando il metodo

Picara. Qui: F - funzione originale; f derivativo –

Derivata di una funzione rispetto a A; UN,B– estremità del segmento; H- fare un passo; A 0 –

valore iniziale della variabile A.

4. Troviamo la soluzione dell'equazione differenziale utilizzando il metodo Picard (Fig. 5.3).

fnPikan(fn, fn deriva, a, b, h, y0)=

Riso. 5.3. Specificare una funzione che restituisce la soluzione a un telecomando

Metodo Picard (file fnPikar.mcd)

fnPikar(f, f deriva, a, b, 0.1, y0) =

	7.78457519486 10 -11
	5,3
	5,46340155616
	5,62650688007
	5,78947945853
	5,95251650231
	6,11584391144
	6,27971330675
	6,44440084325
	6,61020759752
	6,77746140952
	6,94652015221

Riso. 5.4. Trovare una soluzione numerica all'equazione differenziale utilizzando il metodo Picard

Il metodo di Eulero e sue modifiche

Esempio 5.2.

A(1.7) = 5.3 e passo di integrazione H= 0,1 Metodo di Eulero e metodo di Eulero migliorato con passaggi H E H/2.

Soluzione.

Lo stato di avanzamento della risoluzione del problema utilizzando il metodo di Eulero è mostrato in Fig. 5.5 – 5.7.

a = 1,7 b = 2,7 y0 = 5,3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05

Figura 5.5. Frammento di un foglio di lavoro di Mathcad con una soluzione

equazioni con il metodo di Eulero con passo H E H/2 e grafica

visualizzazione del metodo di Eulero.

1. Creiamo un programma che implementa il metodo di Eulero (Fig.

Fig.5.6. Listato di un programma che implementa il metodo di Eulero

2. Otteniamo la soluzione della DE utilizzando il metodo di Eulero (Fig. 5.7.).

ES h = eyler(f, a, b, h, y0)

ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)

Riso. 5.7. Trovare una soluzione numerica ad un'equazione differenziale utilizzando il metodo di Eulero

Nota

Puoi comporre tu stesso una funzione che restituisca la soluzione al DE utilizzando il metodo di Eulero migliorato.

Riso. 5.8. Risolvere DE utilizzando un metodo migliorato

Eulero con passaggi H E H/2

5.3. Metodo Runge-Kutta

In pratica, viene spesso utilizzato il metodo Runge-Kutta del quarto ordine.

Esempio 5.3.

Risolvere il problema di Cauchy per un telecomando su un segmento per un dato sistema operativo A(1.7) = 5.3 e passo di integrazione H= 0,1 con il metodo Runge-Kutta del quarto ordine con passaggi H e 2 H.

Nella relazione, presenti: lo stato di avanzamento dei lavori, il funzionamento del programma, l'errore, un'illustrazione grafica della soluzione e una valutazione dell'errore di approssimazione.

Soluzione.

1. Immettere i dati dell'attività (Fig. 5.9).

UN = 1,7 B = 2,7

H = 0,1

sì 0 = 5,3

io= 0...n

Fig.5.9. Impostazione dei dati iniziali

2. Componiamo una funzione che restituisca una soluzione a un DE del primo ordine utilizzando il metodo Runge–Kutta. Qui: ecc– funzione specificata; UN, B– estremità del segmento; H- fare un passo; sì 0 – valore iniziale della funzione.

3. Troviamo una soluzione al DE del primo ordine utilizzando le funzioni integrate di Mathcad (Fig. 5.10).

RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)

Riso. 5.10. Elenco di una funzione che restituisce un numero numerico

risolvere la DE utilizzando il metodo Runge-Kutta

Metodo Adams

Esempio 5.4.

Risolvere il problema di Cauchy per un telecomando su un segmento per un dato sistema operativo A(1.7) = 5.3 e passo di integrazione H= 0,1 con il metodo Adams a passi H.

Nella relazione, presenti: calcolo manuale, programma - funzione, errore, illustrazione grafica della soluzione e valutazione dell'errore di approssimazione.

Soluzione.

1. Trova i primi quattro numeri utilizzando la formula Runge–Kutta (Fig. 5.11).

y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i

Riso. 5.11. Calcolo dei primi quattro valori della soluzione numerica utilizzando la formula Runge-Kutta

2. Creiamo una funzione che implementa il metodo Adams (Fig. 2.10.3). Qui UN, B– estremità del segmento; sì 1 – valore iniziale della funzione; H- fare un passo.

Riso. 5.12. Funzione che restituisce una soluzione numerica

DE con il metodo Adams

3. Un'illustrazione grafica della risoluzione della DE utilizzando diversi metodi è presentata in Fig. 5.13.

Riso. 5.13. Visualizzazione della soluzione DE utilizzando diversi metodi

Domande sull'argomento

1. Cosa significa risolvere il problema di Cauchy per equazioni differenziali del primo ordine?

2. Interpretazione grafica della soluzione numerica della DE.

3. A seconda di quali metodi esistono per risolvere DE

forme di presentazione della soluzione?

4. Qual è l'essenza del principio di compressione

display?

5. Formula ricorrente del metodo di Picard.

6. Qual è l'essenza del metodo della linea spezzata di Eulero?

7. Applicazione di quali formule consente di ottenere valori

la funzione desiderata utilizzando il metodo di Eulero?

8. Interpretazione grafica del metodo di Eulero e

metodo di Eulero migliorato. Qual è la loro differenza?

9. Qual è l'essenza del metodo Runge-Kutta?

10. Come determinare il numero di cifre corrette in un numero

che è una soluzione dell’equazione differenziale con il metodo di Eulero,

metodo migliorato di Eulero, Picard, Runge–

Incarico di laboratorio n. 5

Compito 5.1.

Risolvi il problema di Cauchy per il controllo remoto sì’ = F(X, sì) sul segmento [ UN, B] per una determinata NU A(UN) = Con e fase di integrazione H(i parametri iniziali sono riportati nella Tabella 2.10.1):

1) Metodo di Eulero e metodo di Eulero migliorato con step H E H/2;

2) Metodo Runge-Kutta con passo H e 2 H;

3) Metodo di Adams;

4) Metodo di Picard.

La soluzione deve contenere: lo stato di avanzamento del lavoro, il programma del metodo, una soluzione grafica dell'equazione e una stima dell'errore di approssimazione. Lasciare 5 cifre dopo la virgola nei numeri.

Tabella 5.1. Opzioni per attività per svolgere lavoro indipendente

№	F( X, sì)	[UN, B]	e 0	H
	3X 2 + 0,1xy		A(0) = 0,2	0,1
	0,185(X 2 + cos(0,7 X)) + 1,843sì		A(0,2) = 0,25	0,1
			A(1,6) = 4,6	0,1
			A(0,2) = 1,1	0,1
			A(1,4) = 2,5	0,1
			A(1,7) = 5,3	0,1
			A(2,6) = 3,5	0,2
			A(2) = 2,3	0,1
	1,6 + 0,5 anni 2		A(0) = 0,3	0,1
			A(1,8) = 2,6	0,1
			A(2,1) = 2,5	0,1
	e 2X + 0,25sì 2		A(0) = 2,6	0,05
		[- 2; -1]	A(-2) = 3	0,1
	0,133·( x2+ peccato(2 X)) + 0,872sì		A(0,2) = 0,25	0,1
	peccato( X + sì) +1,5		A(1,5) = 4,5	0,1
			A(0,4) = 0,8	0,1
	2,5X+cos( sì + 0,6)		A(1) = 1,5	0,2
	cos(1.5 sì +X) 2 + 1,4		A(1) = 1,5	0,1
			A(1,5) = 2,1	0,05
	cos sì+ 3X		A(0) = 1,3	0,1
	cos(1.5 X – sì 2) – 1,3	[-1; 1]	A(-1) = 0,2	0,2
			A(1,6) = 4,6	0,1
	e -(sì – 1) + 2X		A(0) = 0,3	0,05
	1 + 2sì peccato X – sì 2		A(1) = 0	0,1
			A(0) = 0	0,1
	0,166(X 2 + peccato(1,1 X)) + 0,883sì		A(0,2) = 0,25	0,1
			A(1,7) = 5,6	0,1
			A(1,4) = 2,5	0,1
			A(0,6) = 0,8	0,1
			A(1) = 5,9	0,1
	1 + 0,8sì peccato X - 2sì 2		A(0) = 0	0,1
			A(0,5) = 1,8	0,1
			A(1,2) = 1,8	0,1
	1 + 2,2 peccato X + 1,5sì 2		A(0) = 0	0,1
			A(0) = 0	0,1
			A(0) = 0	0,1
			A(0) = 0	0,1
	0,2X 2 + sì 2		A(0) = 0,8	0,1
	X 2 + a		A(0) = 0,4	0,1
	xy + 0,1sì 2		A(0) = 0,5	0,1

Letteratura

Letteratura principale:

Alekseev G.V., Voronenko B.A., Lukin N.I. Metodi matematici in

ingegneria alimentare: libro di testo. – San Pietroburgo: “Lan”, 2012. – 212 p.

Alekseev G.V. Metodi matematici in ingegneria: Metodo didattico. indennità. – San Pietroburgo: NRU ITMO; IHBT. 2012. – 39 pag.

Alekseev G.V., Kholyavin I.I. Modellazione e ottimizzazione economico-matematica numerica: libro di testo per le università, Istituto Statale di Economia e Tecnologia, 2011, 211 pp.

Makarov E.G. Mathcad: corso di formazione. – San Pietroburgo: Pietro, 2009. - 384 p.

letteratura aggiuntiva:

Porshnev S.V., Belenkova I.V. Metodi numerici basati su Mathcad. –

San Pietroburgo: BHV-Pietroburgo, 2005. – 464 p.

Agapev B.D., Belov V.N., Kesamanly F.P., Kozlovsky V.V., Markov S.I. Elaborazione dei dati sperimentali: libro di testo. indennità / Università tecnica statale di San Pietroburgo. San Pietroburgo, 2001.

GorelovaG.V. Teoria della probabilità e statistica matematica in esempi e problemi con Excel. – M.: Phoenix, 2005. – 476 pag.

Adler Yu.P., Markova E.V., Granovsky Yu.V. Pianificazione di un esperimento durante la ricerca delle condizioni ottimali - M.: Nauka, 1976

Asaturyan V.I. Teoria della pianificazione degli esperimenti.-M.: Radio e comunicazione, 1983

Brodsky V.Z. Introduzione al disegno fattoriale degli esperimenti.-M.: Nauka, 1976

Demidenko E.Z. Regressione lineare e non lineare.-M.: Finanza e Statistica, 1981

Krasovsky G.I., Filaretov G.F. Pianificazione di un esperimento.-Minsk: BSU, 1982

Markova E.V., Lisenkov A.N. Piani combinatori in problemi di esperimenti multifattoriali.-M.: Nauka, 1979

Frolkis V.A. Ottimizzazione lineare e non lineare.-SPb. 2001. 306 pag.

Kuritsky B.Ya. Ricerca di soluzioni ottimali utilizzando Excel 7.0.-SPb.: BHV, 1997, 384с

software e risorse Internet:

http://www.open-mechanics.com/journals - Processi e apparati per la produzione alimentare

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Meccanica dei fluidi e dei gas, idraulica e macchine idrauliche

http://elibrary.ru/defaultx.asp - biblioteca elettronica scientifica "Biblioteca"

introduzione

1. Lavoro di laboratorio n. 1: Teoria dei calcoli approssimativi

1.1. Errori assoluti e relativi

1.2. Errore nel numero arrotondato

1.3. Errori aritmetici

1.4. Errori di funzioni elementari

1.5. Metodo del confine

1.6. Problema inverso della teoria degli errori

1.7. Domande sull'argomento

1.8. Incarichi per lavori di laboratorio n. 1

2. Lavoro di laboratorio n. 2: Metodi numerici di soluzione

equazioni scalari

1.1. Metodo degli accordi

1.2. Metodo della tangente

1.3. Metodo di iterazione semplice

1.4. Domande sull'argomento

1.5. Incarichi per lavori di laboratorio n. 2

3. Lavoro di laboratorio n. 3: Metodi numerici per la risoluzione dei sistemi

equazioni non lineari

3.1. Il metodo di Newton

3.2. Domande sull'argomento

3.3. Incarico di laboratorio n. 3

4. Lavoro di laboratorio n. 4: Integrazione numerica

4.1. Metodo del rettangolo

4.2. Metodo Simpson

4.3. Metodo del trapezio

4 .4. Metodo Montecarlo

4.5. Domande sull'argomento

4.6. Incarico di laboratorio n. 4

5. Lavoro di laboratorio n. 5: Risoluzione di equazioni differenziali ordinarie

5.1. Metodo Picard

5.2. Il metodo di Eulero e sue modifiche

5.3. Metodo Runge-Kutta

Biglietto numero 5.3. Modello a livello di sistema dell'oggetto di controllo. Caratteristiche dei gruppi di variabili. Decisione gestionale dal punto di vista del modello. Il problema delle variabili di “output” e i modi per risolverlo

Si tratta di un metodo di soluzione approssimato, che è una generalizzazione del metodo delle approssimazioni successive (vedi Capitolo V, § 2). Consideriamo il problema di Cauchy per un'equazione del primo ordine

Integrando l'equazione differenziale, sostituiamo questo problema con un'equazione integrale equivalente di tipo Volterra

Risolvendo questa equazione integrale mediante il metodo delle approssimazioni successive, otteniamo il processo iterativo di Picard

(indicheremo con y la soluzione approssimata, a differenza di quella esatta). Ad ogni iterazione di questo processo, l'integrazione viene eseguita esattamente o utilizzando i metodi numerici descritti nel Capitolo IV.

Dimostriamo la convergenza del metodo, assumendo che in qualche regione limitata il membro destro sia continuo e soddisfi la variabile e la condizione di Lipschitz

Poiché l'area è limitata, le relazioni sono soddisfatte. Indichiamo l'errore della soluzione approssimata sottraendo (8) da (9) e utilizzando la condizione di Lipschitz, otteniamo

Risolvendo questa relazione di ricorrenza e tenendo conto che troviamo in sequenza

Ciò implica la stima dell’errore

Si può vedere che per , cioè, la soluzione approssimata converge uniformemente alla soluzione esatta in tutta la regione.

Esempio. Applichiamo il metodo di Picard al problema di Cauchy per l'equazione (3), la cui soluzione non è espressa in termini di funzioni elementari

In questo caso le quadrature (9) sono calcolate esattamente e si ottengono facilmente

ecc. È chiaro che queste approssimazioni convergono rapidamente e consentono di calcolare la soluzione con elevata precisione,

Da questo esempio è chiaro che il metodo Picard è vantaggioso da utilizzare se gli integrali (9) possono essere calcolati tramite funzioni elementari. Se il lato destro dell'equazione (7) è più complesso, per cui questi integrali devono essere trovati con metodi numerici, allora il metodo di Picard diventa poco conveniente.

Il metodo di Picard è facilmente generalizzabile ai sistemi di equazioni nel modo descritto nel paragrafo 2. Tuttavia, in pratica, quanto più alto è l'ordine del sistema, tanto meno spesso è possibile calcolare accuratamente gli integrali in (9), il che limita l'uso del metodo in questo caso.

Esistono molti altri metodi approssimativi. Ad esempio, S.A. Chaplygin ha proposto un metodo che è una generalizzazione del metodo algebrico di Newton al caso delle equazioni differenziali. Un altro modo per generalizzare il metodo di Newton fu proposto da L. V. Kantorovich nel 1948. In entrambi questi metodi, così come nel metodo di Picard, le iterazioni vengono eseguite utilizzando le quadrature. Tuttavia, le quadrature in essi contenute hanno una forma molto più complessa della (9) e raramente vengono prese in funzioni elementari. Pertanto, questi metodi non vengono quasi mai utilizzati.

Questo metodo è un rappresentante della classe dei metodi approssimati

L'idea del metodo è estremamente semplice e si riduce a una procedura sequenziale

approssimazioni specifiche per risolvere l'equazione integrale a cui

è data l'equazione differenziale originale.

Poniamoci il problema di Cauchy

,

Integriamo l'equazione scritta

. (5.2)

La procedura per le approssimazioni successive del metodo Picard è implementata secondo il seguente schema

, (5.3)

Esempio . Risolvi l'equazione utilizzando il metodo Picard

,

La soluzione di questa equazione non è espressa in termini di funzioni elementari.

,

Si vede che la serie converge velocemente. Il metodo è conveniente se gli integrali possono essere presi analiticamente.

Dimostriamo la convergenza del metodo di Picard. Lasciarne entrare alcuni limitati

dominio, il membro di destra è continuo e, inoltre, soddisfa la condizione di Lipschitz rispetto alla variabile, cioè

dove c'è una costante.

A causa dell’area limitata, si verificano disuguaglianze

Sottraendo la formula (5.2) dalla (5.3), otteniamo per i moduli destro e sinistro

,

.

Infine, utilizzando la condizione di continuità di Lipschitz, otteniamo

, (5.4)

dove è l'errore della soluzione approssimata.

L'applicazione coerente della formula (5.4) a dà la seguente catena di relazioni, tenendo conto del fatto che

,

,

.

Perché , Poi abbiamo

.

Sostituendo utilizzando la formula di Stirling, otteniamo infine una stima dell'errore della soluzione approssimata

. (5.5)

Dalla (5.4) ne consegue che quando il modulo di errore, cioè

la soluzione approssimata converge uniformemente a quella esatta.

5.2.2. Metodi Runge-Kutta

Questi metodi sono numerici.

In pratica vengono utilizzati i metodi Runge-Kutta, che forniscono post-

sviluppo di schemi di differenza (metodi) di vari ordini di accuratezza. Maggior parte

vengono utilizzati schemi (metodi) del secondo e quarto ordine. Loro noi e

Diamo un'occhiata qui sotto.

Introduciamo innanzitutto alcuni concetti e definizioni. Griglia accesa

un segmento è un insieme fisso di punti su quel segmento.

La funzione definita in questi punti è chiamata funzione griglia.

Le coordinate dei punti soddisfano le condizioni

I punti sono nodi della griglia. Una griglia uniforme è un insieme di punti

, ,

dov'è il passo della griglia.

Quando si risolvono equazioni differenziali utilizzando un metodo approssimato, il problema principale è la convergenza. In relazione ai metodi di differenza, il concetto di convergenza è tradizionalmente più comune. Indichiamo i valori della funzione griglia come i valori della soluzione esatta dell'equazione differenziale (5.1) al nodo - (sono valori approssimativi). Convergenza significa quanto segue. Fissiamo un punto e costruiamo una serie di griglie in modo tale che (in cui). Allora si considera che il metodo numerico converga in un punto se

A ,. Un metodo converge su un segmento se converge in ogni suo punto. Si dice che un metodo abbia l'ordine di precisione se riesce a trovare un numero tale A.

Introduciamo ulteriormente il concetto di discrepanza o errore di approssimazione di un'equazione alle differenze che sostituisce una data equazione differenziale sulla soluzione dell'equazione originale, cioè il residuo è il risultato della sostituzione della soluzione esatta dell'equazione (5.1) nell'equazione alle differenze. Ad esempio, la (5.1) può essere sostituita dalla seguente equazione alle differenze più semplice

, .

Quindi la discrepanza sarà determinata dalla seguente espressione

.

La soluzione approssimata generalmente non coincide con , quindi la discrepanza al punto th non è uguale a zero. Si introduce la seguente definizione: il metodo numerico approssima l'equazione differenziale originale se, e ha l'esimo ordine di accuratezza se .

È dimostrato che l'ordine di accuratezza del metodo numerico per risolvere un'equazione differenziale coincide con l'ordine di approssimazione sotto ipotesi abbastanza generali.

Passiamo ora all'analisi degli schemi Runge-Kutta. Passiamo prima a

schemi di accuratezza del secondo ordine.

Utilizzando la formula di Taylor, risolvere l'equazione differenziale

(5.1) può essere rappresentato come

, (5.6)

dove indicato, ,.

Si noti che secondo la (5.1) ,.

derivata come segue

,

dove sono attualmente quantità sconosciute. Permettere

Indichiamo il valore approssimato della soluzione al nodo numerato da (questa è la soluzione che si otterrà dopo aver limitato la serie a termini di ordine non superiore al secondo).

I parametri qui inseriti sono soggetti a definizione.

Espandendo il membro destro in una serie di Taylor e introducendo termini simili, otteniamo

in sequenza

La condizione per la scelta dei parametri sarà la vicinanza dell'espressione

di (5.7) alla serie (5.6), quindi

, ,.

Un parametro rimane libero. Lascia che sia allora

, ,

e infine dalla (5.7) tenendo conto delle relazioni trovate per e

La relazione (5.8) descrive una famiglia ad un parametro di formule binomiali di Runge-Kutta.

Nella letteratura specializzata è dimostrato che se continua e limitata insieme alle sue derivate seconde, allora la soluzione approssimata dello schema (5.8) converge uniformemente alla soluzione esatta con un errore , cioè. lo schema (5.8) ha accuratezza del secondo ordine.

Nella pratica di calcolo, per i valori dei parametri vengono utilizzate le formule (5.8).

Dalla (5.8) deduciamo

L'applicazione della formula (5.9) si riduce alla seguente sequenza di passaggi:

1. Calcola approssimativamente il valore della funzione (secondo il diagramma polilinea)

2. Determinare la pendenza della curva integrale nel punto ()

3. Trova il valore medio della derivata della funzione nel passaggio

4. Viene calcolato il valore della funzione nel ()esimo nodo

Questo schema ha un nome speciale "predittore - correttore".

Secondo la (5.8) otteniamo

Il problema viene risolto attraverso i seguenti passaggi:

1. Viene calcolato il valore della funzione nel mezzo nodo

.

2. Viene determinato il valore della derivata nel nodo

.

3. Il valore della funzione si trova nel ()esimo nodo

Oltre agli schemi binomiali discussi sopra, gli schemi Runge-Kutta del quarto ordine di precisione sono ampiamente utilizzati nella pratica di calcolo. Le formule corrispondenti sono fornite di seguito senza derivazione

(5.10)

I regimi con un gran numero di membri non vengono praticamente utilizzati. Cinque-

le formule dei termini forniscono il quarto ordine di precisione, le formule a sei termini hanno il sesto ordine, ma la loro forma è molto complicata.

Gli errori degli schemi Runge-Kutta forniti sono determinati dal massimo

ny valori delle derivate corrispondenti.

Le stime degli errori possono essere facilmente ottenute per il caso speciale del diritto

parti dell'equazione differenziale

.

In questo caso, la soluzione dell'equazione può essere ridotta alla quadratura e

tutti gli schemi di soluzione delle differenze si trasformano in formule di integrazione numerica

vagante. Ad esempio, lo schema (5.9) assume la forma

,

cioè ha la forma di una formula trapezoidale, e lo schema (5.10) rientra nello schema

che è la formula di Simpson con un passo.

Le stime dell'errore maggiore per le formule trapezoidale e Simpson sono note (vedere Sezione 3.2). Dalle (3.4) e (3.5) è chiaro che l'accuratezza degli schemi Runge-Kutta è piuttosto elevata.

La scelta dell'uno o dell'altro degli schemi forniti per risolvere un problema specifico

dacia è determinata dalle seguenti considerazioni. Se la funzione in

il lato destro dell'equazione è continuo e limitato, nonché continuo e

le sue derivate quarte sono limitate, allora si ottiene il miglior risultato -

quando si utilizza lo schema (5.10). Nel caso in cui la funzione

non ha i derivati ​​sopra menzionati, limitando il (quarto) ordine

Lo schema (5.10) non è realizzabile e risulta consigliabile

utilizzo di schemi più semplici.

Oltre agli schemi Runge-Kutta, sono di interesse pratico i metodi multi-step, che possono essere descritti dal seguente sistema di equazioni

Dove , a - coefficienti numerici, ,.

Secondo questa equazione, il calcolo inizia con . In questo caso otteniamo una relazione della forma

quelli. Per iniziare a contare è necessario avere i valori iniziali. Questi valori devono essere calcolati con un altro metodo, ad esempio il metodo Runge-Kutta.

Tra i metodi multi-step, il più comune è il metodo Adams, il cui schema di implementazione segue dalla (5.11) con e per :

.

Quando il metodo Adams risulta essere esplicito, ma implicito.