Metodo delle coordinate nella lezione spaziale. Metodo delle coordinate nello spazio. Angolo tra le linee a e b

Il metodo delle coordinate è un modo molto efficiente e versatile per trovare qualsiasi angolo o distanza tra oggetti stereometrici nello spazio. Se il tuo tutor di matematica è altamente qualificato, allora dovrebbe saperlo. Altrimenti, consiglierei per la parte "C" di cambiare tutor. La mia preparazione per l'esame di matematica C1-C6 prevede solitamente un'analisi degli algoritmi e delle formule di base descritti di seguito.

Angolo tra le linee a e b

L'angolo tra le linee nello spazio è l'angolo tra tutte le linee che si intersecano parallele ad esse. Questo angolo è uguale all'angolo tra i vettori di direzione di queste linee (o lo integra a 180 gradi).

Quale algoritmo usa il tutor di matematica per trovare l'angolo?

1) Scegli qualsiasi vettore e aventi direzioni delle linee a e b (parallele ad esse).
2) Determiniamo le coordinate dei vettori e dalle corrispondenti coordinate del loro inizio e fine (le coordinate dell'inizio devono essere sottratte dalle coordinate della fine del vettore).
3) Sostituiamo le coordinate trovate nella formula:
. Per trovare l'angolo stesso, devi trovare l'arcocoseno del risultato.

Normale al piano

Una normale a un piano è qualsiasi vettore perpendicolare a quel piano.
Come trovare il normale? Per trovare le coordinate della normale è sufficiente conoscere le coordinate di tre punti qualsiasi M, N e K che giacciono nel piano dato. Usando queste coordinate, troviamo le coordinate dei vettori e e richiediamo che le condizioni e siano soddisfatte. Uguagliando il prodotto scalare dei vettori a zero, componiamo un sistema di equazioni con tre variabili, da cui possiamo trovare le coordinate della normale.

Nota del tutor di matematica : Non è necessario risolvere completamente il sistema, perché è sufficiente sceglierne almeno una normale. Per fare ciò, puoi sostituire qualsiasi numero (ad esempio uno) invece di una qualsiasi delle sue coordinate sconosciute e risolvere un sistema di due equazioni con le restanti due incognite. Se non ha soluzioni, significa che nella famiglia delle normali non c'è nessuno che abbia un'unità per la variabile selezionata. Quindi sostituiscine uno con un'altra variabile (un'altra coordinata) e risolvi un nuovo sistema. Se manchi di nuovo, la tua normale avrà un'unità sull'ultima coordinata e risulterà essere parallela a un piano di coordinate (in questo caso, è facile trovarla senza un sistema).

Diciamo che ci vengono dati una retta e un piano con le coordinate del vettore direzione e della normale
L'angolo tra una linea retta e un piano viene calcolato utilizzando la seguente formula:

Sia E due normali qualsiasi ai piani dati. Quindi il coseno dell'angolo tra i piani è uguale al modulo del coseno dell'angolo tra le normali:

Equazione di un piano nello spazio

I punti che soddisfano l'uguaglianza formano un piano con la normale . Il coefficiente è responsabile della quantità di deviazione (spostamento parallelo) tra due piani con la stessa data normale. Per scrivere l'equazione di un piano, devi prima trovare la sua normale (come descritto sopra), quindi sostituire le coordinate di qualsiasi punto del piano, insieme alle coordinate della normale trovata, nell'equazione e trovare il coefficiente .

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Didascalie delle diapositive:

Sistema di coordinate rettangolari nello spazio. Coordinate vettoriali.

Sistema di coordinate rettangolare

Se tre linee perpendicolari a coppie vengono tracciate attraverso un punto nello spazio, viene scelta una direzione su ciascuna di esse e viene scelta un'unità di misura dei segmenti, quindi dicono che un sistema di coordinate rettangolare è impostato nello spazio

Le linee rette, con le direzioni scelte su di esse, sono chiamate assi di coordinate e il loro punto comune è chiamato origine delle coordinate. Di solito è indicato dalla lettera O. Gli assi delle coordinate sono indicati come segue: Ox, Oy, Oz - e hanno nomi: l'asse delle ascisse, l'asse y, l'asse applicato.

L'intero sistema di coordinate è indicato con Oxy z . I piani passanti per gli assi coordinati Ox e Oy, Oy e Oz , Oz e Ox, rispettivamente, sono chiamati piani coordinati e sono indicati con Oxy, Oy z , Oz x.

Il punto O divide ciascuno degli assi delle coordinate in due raggi. La semiretta la cui direzione coincide con la direzione dell'asse è detta semiasse positivo e l'altra semiasse negativa.

In un sistema di coordinate rettangolari, ogni punto M dello spazio è associato a una tripla di numeri, che sono chiamati le sue coordinate.

La figura mostra sei punti A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0), F (0; 0; -3).

Coordinate vettoriali

Qualsiasi vettore può essere scomposto in vettori di coordinate, cioè rappresentato nella forma in cui i coefficienti di espansione x, y, z sono determinati in modo univoco.

I coefficienti x, y e z nell'espansione di un vettore in termini di vettori di coordinate sono chiamati le coordinate del vettore nel dato sistema di coordinate.

Considera le regole che ci consentono di trovare le coordinate della loro somma e differenza, nonché le coordinate del prodotto di un dato vettore per un dato numero, utilizzando le coordinate di questi vettori.

10 . Ogni coordinata della somma di due o più vettori è uguale alla somma delle coordinate corrispondenti di questi vettori. In altre parole, se a (x 1 , y 1 , z 1 ) e b (x 2 , y 2 , z 2 ) sono dati vettori, allora il vettore a + b ha coordinate (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ).

20 . Ogni coordinata della differenza di due vettori è uguale alla differenza delle corrispondenti coordinate di questi vettori. In altre parole, se a (x 1 , y 1 , z 1 ) e b (x 2 y 2 ; z 2 ) sono dati vettori, allora il vettore a - b ha coordinate (x 1 - x 2 , y 1 - y 2 , z 1 - z 2 ).

trenta. Ogni coordinata del prodotto di un vettore per un numero è uguale al prodotto della corrispondente coordinata del vettore per quel numero. In altre parole, se a (x; y; x) è un dato vettore, α è un dato numero, allora il vettore α a ha coordinate (αx; αy; α z).

Sul tema: sviluppi metodologici, presentazioni e note

Dispensa didattica "Una serie di appunti per gli studenti sull'argomento "Metodo delle coordinate nello spazio" per lo svolgimento di lezioni sotto forma di lezioni frontali. Geometria grado 10-11....

Lo scopo della lezione: testare le conoscenze, le abilità e le capacità degli studenti sull'argomento "Utilizzo del metodo delle coordinate nello spazio per risolvere i compiti C2 USE." Risultati educativi pianificati: Gli studenti dimostrano: ...

Per utilizzare il metodo delle coordinate, è necessario conoscere bene le formule. Ce ne sono tre:

A prima vista sembra minaccioso, ma basta un po' di pratica e tutto funzionerà alla grande.

Compito. Trova il coseno dell'angolo tra i vettori a = (4; 3; 0) e b = (0; 12; 5).

Soluzione. Poiché ci vengono fornite le coordinate dei vettori, le sostituiamo nella prima formula:

Compito. Scrivere un'equazione per il piano passante per i punti M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) e K = (2; 1; 0), se si sa che non passa per l'origine.

Soluzione. L'equazione generale del piano: Ax + By + Cz + D = 0, ma poiché il piano desiderato non passa per l'origine - il punto (0; 0; 0) - allora impostiamo D = 1. Poiché questo piano passa attraverso i punti M, N e K, le coordinate di questi punti dovrebbero trasformare l'equazione nella corretta uguaglianza numerica.

Sostituiamo le coordinate del punto M = (2; 0; 1) invece di x, y e z. Abbiamo:
LA 2 + SI 0 + DO 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + DO + 1 = 0;

Analogamente, per i punti N = (0; 1; 1) e K = (2; 1; 0) si ottengono le equazioni:
LA 0 + SI 1 + DO 1 + 1 = 0 ⇒ SI + DO + 1 = 0;
LA 2 + SI 1 + DO 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + SI + 1 = 0;

Quindi abbiamo tre equazioni e tre incognite. Componiamo e risolviamo il sistema di equazioni:

Abbiamo ottenuto che l'equazione del piano ha la forma: − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0.

Compito. Il piano è dato dall'equazione 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Trova le coordinate del vettore perpendicolare al piano dato.

Soluzione. Usando la terza formula, otteniamo n = (7; − 2; 4) - tutto qui!

Calcolo delle coordinate dei vettori

Ma cosa succede se non ci sono vettori nel problema: ci sono solo punti che giacciono su linee rette ed è necessario calcolare l'angolo tra queste linee rette? È semplice: conoscendo le coordinate dei punti - l'inizio e la fine del vettore - puoi calcolare le coordinate del vettore stesso.

Per trovare le coordinate di un vettore, è necessario sottrarre le coordinate dell'inizio dalle coordinate della sua fine.

Questo teorema funziona ugualmente sul piano e nello spazio. L'espressione “sottrai coordinate” significa che la coordinata x di un altro punto viene sottratta dalla coordinata x di un punto, quindi lo stesso deve essere fatto con le coordinate y e z. Ecco alcuni esempi:

Compito. Ci sono tre punti nello spazio, dati dalle loro coordinate: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) e C = (− 4; 3; − 2). Trova le coordinate dei vettori AB, AC e BC.

Considera il vettore AB: il suo inizio è nel punto A e la sua fine è nel punto B. Pertanto, per trovare le sue coordinate, è necessario sottrarre le coordinate del punto A dalle coordinate del punto B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Allo stesso modo, l'inizio del vettore AC è sempre lo stesso punto A, ma la fine è il punto C. Pertanto, abbiamo:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Infine, per trovare le coordinate del vettore BC, è necessario sottrarre le coordinate del punto B dalle coordinate del punto C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Risposta: AB = (2; − 7; 4); CA = (−5;−3;−5); BC = (−7; 4; − 9)

Presta attenzione al calcolo delle coordinate dell'ultimo vettore BC: molte persone commettono errori quando lavorano con numeri negativi. Questo vale per la variabile y: il punto B ha la coordinata y = − 1, e il punto C ha y = 3. Otteniamo esattamente 3 − (− 1) = 4, e non 3 − 1, come molti pensano. Non commettere errori così stupidi!

Calcolo dei vettori di direzione per le linee rette

Se leggi attentamente il problema C2, sarai sorpreso di scoprire che non ci sono vettori lì. Ci sono solo linee rette e piani.

Cominciamo con le linee rette. Qui è tutto semplice: su ogni retta ci sono almeno due punti diversi e, viceversa, due qualsiasi punti diversi definiscono un'unica retta...

Qualcuno ha capito cosa c'è scritto nel paragrafo precedente? Non l'ho capito io stesso, quindi lo spiego più semplicemente: nel problema C2 le rette sono sempre date da una coppia di punti. Se introduciamo un sistema di coordinate e consideriamo un vettore con inizio e fine in questi punti, otteniamo il cosiddetto vettore di direzione per una linea retta:

Perché è necessario questo vettore? Il punto è che l'angolo tra due rette è l'angolo tra i loro vettori di direzione. Pertanto, ci stiamo spostando da linee rette incomprensibili a vettori specifici, le cui coordinate sono facilmente calcolabili. Com'è facile? Dai un'occhiata agli esempi:

Compito. Le linee AC e BD 1 sono tracciate nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Trova le coordinate dei vettori di direzione di queste linee.

Poiché la lunghezza dei bordi del cubo non è specificata nella condizione, poniamo AB = 1. Introduciamo un sistema di coordinate con l'origine nel punto A e gli assi x, y, z diretti lungo le linee AB, AD e AA 1, rispettivamente. Il segmento unitario è uguale a AB = 1.

Ora troviamo le coordinate del vettore direzione per la retta AC. Abbiamo bisogno di due punti: A = (0; 0; 0) e C = (1; 1; 0). Da qui otteniamo le coordinate del vettore AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - questo è il vettore di direzione.

Occupiamoci ora della retta BD 1 . Ha anche due punti: B = (1; 0; 0) e D 1 = (0; 1; 1). Otteniamo il vettore di direzione BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Risposta: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Compito. In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1 , i cui bordi sono tutti uguali a 1, vengono disegnate le linee rette AB 1 e AC 1. Trova le coordinate dei vettori di direzione di queste linee.

Introduciamo un sistema di coordinate: l'origine è nel punto A, l'asse x coincide con AB, l'asse z coincide con AA 1 , l'asse y forma il piano OXY con l'asse x, che coincide con il piano ABC.

Per prima cosa, occupiamoci della retta AB 1 . Qui è tutto semplice: abbiamo i punti A = (0; 0; 0) e B 1 = (1; 0; 1). Otteniamo il vettore di direzione AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Ora troviamo il vettore di direzione per AC 1 . È tutto uguale: l'unica differenza è che il punto C 1 ha coordinate irrazionali. Quindi, A = (0; 0; 0), quindi abbiamo:

Risposta: AB 1 = (1; 0; 1);

Una piccola ma importantissima nota sull'ultimo esempio. Se l'inizio del vettore coincide con l'origine, i calcoli sono notevolmente semplificati: le coordinate del vettore sono semplicemente uguali alle coordinate della fine. Sfortunatamente, questo è vero solo per i vettori. Ad esempio, quando si lavora con i piani, la presenza dell'origine delle coordinate su di essi complica solo i calcoli.

Calcolo dei vettori normali per i piani

I vettori normali non sono vettori che stanno andando bene o che si sentono bene. Per definizione, un vettore normale (normale) a un piano è un vettore perpendicolare al piano dato.

In altre parole, una normale è un vettore perpendicolare a qualsiasi vettore in un dato piano. Sicuramente ti sei imbattuto in una definizione del genere, tuttavia, invece di vettori, si trattava di linee rette. Tuttavia, appena sopra è stato dimostrato che nel problema C2 si può operare con qualsiasi oggetto conveniente, anche una linea retta, anche un vettore.

Permettetemi di ricordarvi ancora una volta che qualsiasi piano è definito nello spazio dall'equazione Ax + By + Cz + D = 0, dove A, B, C e D sono alcuni coefficienti. Senza sminuire la generalità della soluzione, possiamo assumere D = 1 se il piano non passa per l'origine, oppure D = 0 se lo fa. In ogni caso, le coordinate del vettore normale a questo piano sono n = (A; B; C).

Quindi, l'aereo può anche essere sostituito con successo da un vettore, lo stesso normale. Ogni piano è definito nello spazio da tre punti. Come trovare l'equazione del piano (e quindi la normale), abbiamo già discusso all'inizio dell'articolo. Tuttavia, questo processo causa problemi a molti, quindi fornirò un altro paio di esempi:

Compito. La sezione A 1 BC 1 è tracciata nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Trova il vettore normale per il piano di questa sezione se l'origine è nel punto A e gli assi x, yez coincidono rispettivamente con i bordi AB, AD e AA 1.

Poiché il piano non passa per l'origine, la sua equazione è la seguente: Ax + By + Cz + 1 = 0, cioè coefficiente D \u003d 1. Poiché questo piano passa attraverso i punti A 1, B e C 1, le coordinate di questi punti trasformano l'equazione del piano nella corretta uguaglianza numerica.

LA 0 + SI 0 + DO 1 + 1 = 0 ⇒ DO + 1 = 0 ⇒ DO = − 1;

Analogamente, per i punti B = (1; 0; 0) e C 1 = (1; 1; 1) si ottengono le equazioni:
LA 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ LA + 1 = 0 ⇒ LA = - 1;
LA 1 + SI 1 + DO 1 + 1 = 0 ⇒ LA + SI + DO + 1 = 0;

Ma i coefficienti A = − 1 e C = − 1 ci sono già noti, quindi resta da trovare il coefficiente B:
B = - 1 - LA - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Otteniamo l'equazione del piano: - A + B - C + 1 = 0, Pertanto, le coordinate del vettore normale sono n = (- 1; 1; - 1).

Compito. La sezione AA 1 C 1 C è disegnata nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Trova il vettore normale per il piano di questa sezione se l'origine è nel punto A e gli assi x, y e z coincidono rispettivamente con i bordi AB, AD e AA 1.

In questo caso, il piano passa per l'origine, quindi il coefficiente D \u003d 0 e l'equazione del piano è simile a questa: Ax + By + Cz \u003d 0. Poiché il piano passa per i punti A 1 e C, le coordinate di questi punti trasformano l'equazione del piano nella corretta uguaglianza numerica.

Sostituiamo le coordinate del punto A 1 = (0; 0; 1) invece di x, y e z. Abbiamo:
LA 0 + SI 0 + DO 1 = 0 ⇒ DO = 0;

Allo stesso modo, per il punto C = (1; 1; 0) otteniamo l'equazione:
LA 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ LA + B = 0 ⇒ LA = - B;

Sia B = 1. Allora A = − B = − 1, e l'equazione dell'intero piano è: − A + B = 0. Pertanto, le coordinate del vettore normale sono n = (− 1; 1; 0).

In generale, nei problemi di cui sopra è necessario comporre un sistema di equazioni e risolverlo. Ci saranno tre equazioni e tre variabili, ma nel secondo caso una di esse sarà libera, cioè assumere valori arbitrari. Ecco perché abbiamo il diritto di porre B = 1 - fatta salva la generalità della soluzione e la correttezza della risposta.

Molto spesso nel problema C2 è necessario lavorare con punti che dividono il segmento a metà. Le coordinate di tali punti sono facilmente calcolabili se sono note le coordinate delle estremità del segmento.

Quindi, lascia che il segmento sia dato dalle sue estremità: i punti A \u003d (x a; y a; z a) e B \u003d (x b; y b; z b). Quindi le coordinate del centro del segmento - lo indichiamo con il punto H - possono essere trovate con la formula:

In altre parole, le coordinate del centro di un segmento sono la media aritmetica delle coordinate delle sue estremità.

Compito. Il cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 è posizionato nel sistema di coordinate in modo che gli assi x, y e z siano diretti rispettivamente lungo i bordi AB, AD e AA 1 e l'origine coincida con il punto A. Il punto K è il punto medio del bordo A 1 B 1 . Trova le coordinate di questo punto.

Poiché il punto K è il centro del segmento A 1 B 1 , le sue coordinate sono uguali alla media aritmetica delle coordinate degli estremi. Annotiamo le coordinate delle estremità: A 1 = (0; 0; 1) e B 1 = (1; 0; 1). Ora troviamo le coordinate del punto K:

Compito. L'unità cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 è posizionata nel sistema di coordinate in modo che gli assi x, y e z siano orientati rispettivamente lungo i bordi AB, AD e AA 1 e l'origine coincida con il punto A. Trova le coordinate del punto L in cui si intersecano le diagonali del quadrato A 1 B 1 C 1 D 1.

Dal corso della planimetria si sa che il punto di intersezione delle diagonali di un quadrato è equidistante da tutti i suoi vertici. In particolare, A 1 L = C 1 L, cioè il punto L è il punto medio del segmento A 1 C 1 . Ma A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), quindi abbiamo:

Risposta: L = (0,5; 0,5; 1)

L'essenza del metodo delle coordinate per risolvere problemi geometrici

L'essenza della risoluzione dei problemi utilizzando il metodo delle coordinate è introdurre un sistema di coordinate conveniente per noi in un caso o nell'altro e riscrivere tutti i dati utilizzandolo. Successivamente, tutte le quantità o le prove sconosciute vengono conservate utilizzando questo sistema. Come inserire le coordinate dei punti in qualsiasi sistema di coordinate è stato discusso da noi in un altro articolo - non ci soffermeremo su questo qui.

Introduciamo le principali asserzioni utilizzate nel metodo delle coordinate.

Dichiarazione 1: Le coordinate del vettore saranno determinate dalla differenza tra le corrispondenti coordinate della fine di questo vettore e il suo inizio.

Dichiarazione 2: Le coordinate del punto medio del segmento saranno definite come metà della somma delle corrispondenti coordinate dei suoi confini.

Dichiarazione 3: La lunghezza di qualsiasi vettore $\overline(δ)$ con date coordinate $(δ_1,δ_2,δ_3)$ sarà determinata dalla formula

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Dichiarazione 4: La distanza tra due punti qualsiasi data dalle coordinate $(δ_1,δ_2,δ_3)$ e $(β_1,β_2,β_3)$ sarà determinata dalla formula

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Schema per la risoluzione di problemi geometrici utilizzando il metodo delle coordinate

Per risolvere problemi geometrici utilizzando il metodo delle coordinate, è meglio utilizzare questo schema:

Analizza ciò che è dato nel problema:

• Impostare il sistema di coordinate più appropriato per l'attività;
• Matematicamente, la condizione del problema, la domanda del problema sono scritte, viene costruito un disegno per questo problema.

1. Annotare tutti i dati del problema nelle coordinate del sistema di coordinate selezionato.

2. Componi le relazioni necessarie dalla condizione del problema e collega anche queste relazioni con ciò che deve essere trovato (dimostrato nel problema).
3. Il risultato ottenuto viene tradotto nel linguaggio della geometria.

Esempi di problemi risolti con il metodo delle coordinate

Le seguenti attività possono essere individuate come le attività principali che portano al metodo delle coordinate (le loro soluzioni non saranno fornite qui):

1. Compiti per trovare le coordinate di un vettore alla fine e all'inizio.
2. Compiti relativi alla divisione di un segmento a tutti gli effetti.
3. Dimostrare che tre punti giacciono sulla stessa retta o che quattro punti giacciono sullo stesso piano.
4. Compiti per trovare la distanza tra due punti dati.
5. Problemi per la ricerca di volumi e aree di forme geometriche.

I risultati della risoluzione del primo e del quarto problema sono presentati da noi come le affermazioni principali di cui sopra e sono abbastanza spesso utilizzati per risolvere altri problemi utilizzando il metodo delle coordinate.

Esempi di attività per l'applicazione del metodo delle coordinate

Esempio 1

Trova il lato di una piramide regolare la cui altezza è $3$ cm se il lato della base è $4$ cm.

Diamo una piramide regolare $ABCDS$, la cui altezza è $SO$. Introduciamo un sistema di coordinate, come in Figura 1.

Poiché il punto $A$ è il centro del sistema di coordinate che abbiamo costruito, allora

Poiché i punti $B$ e $D$ appartengono rispettivamente agli assi $Ox$ e $Oy$, allora

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Poiché il punto $C$ appartiene al piano $Oxy$, allora

Poiché la piramide è regolare, allora $O$ è il punto medio del segmento $$. Secondo l'affermazione 2, otteniamo:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

Poiché l'altezza $SO$