Lavoro meccanico: definizione e formula. Esempi di calcolo del lavoro di una forza Quale formula puoi usare per calcolare il lavoro?

Tieni presente che lavoro ed energia hanno le stesse unità di misura. Ciò significa che il lavoro può essere convertito in energia. Ad esempio, per sollevare un corpo ad una certa altezza, avrà energia potenziale, è necessaria una forza che farà questo lavoro. Il lavoro svolto dalla forza di sollevamento si trasformerà in energia potenziale.

La regola per determinare il lavoro secondo il grafico di dipendenza F(r): il lavoro è numericamente uguale all'area della figura sotto il grafico forza-spostamento.

Angolo tra il vettore forza e lo spostamento

1) Determinare correttamente la direzione della forza che compie il lavoro; 2) Rappresentiamo il vettore spostamento; 3) Trasferiamo i vettori in un punto e otteniamo l'angolo desiderato.

Nella figura, il corpo è sottoposto alla forza di gravità (mg), alla reazione del supporto (N), alla forza di attrito (Ftr) e alla forza di tensione della fune F, sotto l'influenza della quale il corpo si muove a d.

Lavoro di gravità

Lavoro di reazione del terreno

Lavoro della forza di attrito

Lavoro compiuto dalla tensione della fune

Lavoro compiuto dalla forza risultante

Il lavoro compiuto dalla forza risultante può essere trovato in due modi: 1° metodo - come somma del lavoro (tenendo conto dei segni “+” o “-”) di tutte le forze che agiscono sul corpo, nel nostro esempio
Metodo 2: prima di tutto, trova la forza risultante, poi direttamente il suo lavoro, vedi figura

Lavoro della forza elastica

Per trovare il lavoro compiuto dalla forza elastica è necessario tenere conto che questa forza varia perché dipende dall'allungamento della molla. Dalla legge di Hooke segue che all'aumentare dell'allungamento assoluto aumenta la forza.

Per calcolare il lavoro della forza elastica durante la transizione di una molla (corpo) da uno stato indeformato a uno stato deformato, utilizzare la formula

Energia

Una quantità scalare che caratterizza la velocità del lavoro (si può tracciare un'analogia con l'accelerazione, che caratterizza il tasso di variazione della velocità). Determinato dalla formula

Efficienza

Il rendimento è il rapporto tra il lavoro utile svolto da una macchina e tutto il lavoro speso (energia fornita) nello stesso tempo

L'efficienza è espressa in percentuale. Quanto più questo numero si avvicina al 100%, tanto maggiori saranno le prestazioni della macchina. Non può esserci un rendimento maggiore di 100, poiché è impossibile svolgere più lavoro utilizzando meno energia.

L'efficienza di un piano inclinato è il rapporto tra il lavoro svolto dalla gravità e il lavoro speso per spostarsi lungo il piano inclinato.

La cosa principale da ricordare

1) Formule e unità di misura;
2) Il lavoro viene eseguito con la forza;
3) Essere in grado di determinare l'angolo tra i vettori forza e spostamento

Se il lavoro compiuto da una forza quando si sposta un corpo lungo un percorso chiuso è zero, vengono chiamate tali forze conservatore O potenziale. Il lavoro compiuto dalla forza di attrito quando si muove un corpo lungo un percorso chiuso non è mai uguale a zero. La forza di attrito, a differenza della forza di gravità o della forza elastica, lo è non conservativo O non potenziale.

Esistono condizioni in cui la formula non può essere utilizzata
Se la forza è variabile, se la traiettoria del movimento è una linea curva. In questo caso, il percorso viene suddiviso in piccole sezioni per le quali sono soddisfatte queste condizioni, e su ciascuna di queste sezioni viene calcolato il lavoro elementare. Il lavoro totale in questo caso è pari alla somma algebrica dei lavori elementari:

Il valore del lavoro compiuto da una certa forza dipende dalla scelta del sistema di riferimento.

Definizione

Nel caso in cui, sotto l'influenza di una forza, si verifichi un cambiamento nel modulo della velocità di movimento di un corpo, allora si dice che la forza rende lavoro. Si ritiene che se la velocità aumenta, il lavoro è positivo, se la velocità diminuisce, il lavoro svolto dalla forza è negativo. La variazione dell'energia cinetica di un punto materiale durante il suo movimento tra due posizioni è uguale al lavoro compiuto dalla forza:

L'azione di una forza su un punto materiale può essere caratterizzata non solo dalla modifica della velocità di movimento del corpo, ma dalla quantità di movimento che il corpo in questione compie sotto l'influenza della forza ().

Lavoro elementare

Il lavoro elementare di una forza è definito come prodotto scalare:

Il raggio è il vettore del punto a cui è applicata la forza, è lo spostamento elementare del punto lungo la traiettoria, è l'angolo compreso tra i vettori e . Se il lavoro è minore di zero ad un angolo ottuso, se l'angolo è acuto, allora il lavoro è positivo, a

In coordinate cartesiane, la formula (2) ha la forma:

dove F x , F y , F z – proiezioni del vettore sugli assi cartesiani.

Quando si considera il lavoro di una forza applicata ad un punto materiale, è possibile utilizzare la formula:

dove è la velocità del punto materiale, è la quantità di moto del punto materiale.

Se più forze agiscono contemporaneamente su un corpo (sistema meccanico), allora il lavoro elementare che queste forze compiono sul sistema è pari a:

dove viene eseguita la somma del lavoro elementare di tutte le forze, dt è un piccolo periodo di tempo durante il quale viene eseguito lavoro elementare sul sistema.

Il lavoro risultante delle forze interne, anche se il corpo rigido è in movimento, è zero.

Lascia che un corpo rigido ruoti attorno a un punto fisso: l'origine (o un asse fisso che passa attraverso questo punto). In questo caso il lavoro elementare di tutte le forze esterne (supponiamo che il loro numero sia n) che agiscono sul corpo è pari a:

dove è la coppia risultante relativa al punto di rotazione, è il vettore di rotazione elementare, ed è la velocità angolare istantanea.

Lavoro svolto con forza sul tratto finale della traiettoria

Se una forza lavora per spostare un corpo nella sezione finale della sua traiettoria, allora il lavoro può essere trovato come:

Nel caso in cui il vettore forza abbia un valore costante durante l'intero segmento di movimento, allora:

dove è la proiezione della forza sulla tangente alla traiettoria.

Unità di lavoro

L'unità di misura base della coppia nel sistema SI è: [A]=J=N m

Nel GHS: [A]=erg=dyne cm

1J=10 7 erg

Esempi di risoluzione dei problemi

Esempio

Esercizio. Il punto materiale si muove rettilineamente (Fig. 1) sotto l'influenza di una forza che è data dall'equazione: . La forza è diretta lungo il movimento del punto materiale. Qual è il lavoro compiuto da questa forza sul segmento del percorso da s=0 a s=s 0?

Soluzione. Come base per risolvere il problema, prenderemo la formula per il calcolo del lavoro del modulo:

dove , quello come in base alle condizioni del problema. Sostituiamo l'espressione al modulo di forza data dalle condizioni, prendiamo l'integrale:

Risposta.

Esempio

Esercizio. Un punto materiale si muove attorno a un cerchio. La sua velocità cambia secondo l'espressione: . In questo caso il lavoro della forza che agisce sul punto è proporzionale al tempo: . Qual è il valore di n?

Gli esempi discussi di seguito forniscono risultati che possono essere utilizzati direttamente durante la risoluzione dei problemi.

1. Lavoro di gravità. Lasciamo che il punto M, su cui agisce la forza di gravità P, si sposti da una posizione all'altra. Scegliamo gli assi coordinati in modo che l'asse sia diretto verticalmente verso l'alto (Fig. 231). Poi . Sostituendo questi valori nella formula (44), otteniamo, tenendo conto che la variabile di integrazione è:

Se il punto è più alto, allora , dove h è il movimento verticale del punto; se il punto è sotto il punto allora .

Finalmente otteniamo

Di conseguenza, il lavoro compiuto dalla gravità è uguale al prodotto dell'entità della forza presa con segno più o meno e lo spostamento verticale del punto di applicazione. Il lavoro è positivo se il punto iniziale è più alto del punto finale e negativo se il punto iniziale è inferiore al punto finale.

Dal risultato ottenuto segue che il lavoro della gravità non dipende dal tipo di traiettoria lungo la quale si muove il punto della sua applicazione. Le forze con questa proprietà sono chiamate potenziali (vedi § 126).

2. Lavoro della forza elastica. Consideriamo un carico M giacente su un piano orizzontale e fissato all'estremità libera di una molla (Fig. 232, a). Sul piano, segna con un punto O la posizione occupata dall'estremità della molla quando non è tesa (la lunghezza della molla non tesa) e prendi questo punto come origine delle coordinate. Se ora tiriamo il carico dalla posizione di equilibrio O, allungando la molla ad un valore I, allora la molla riceverà un allungamento e sul carico agirà la forza elastica F diretta al punto O. Poiché nel nostro caso, allora secondo alla formula (6) del § 76

L'ultima uguaglianza vale anche per (il carico è a sinistra del punto O); quindi la forza F è diretta verso destra e il risultato sarà come dovrebbe essere,

Troviamo il lavoro compiuto dalla forza elastica quando si sposta un carico da una posizione all'altra

Poiché in questo caso, sostituendo questi valori nella formula (44), troviamo

(Lo stesso risultato si può ottenere dal grafico della dipendenza di F da (Fig. 232, b), calcolando l'area a del trapezio ombreggiato nel disegno e tenendo conto del segno del lavoro.) Nella formula risultante , rappresenta l'allungamento iniziale della molla - l'allungamento finale della molla Pertanto,

cioè il lavoro della forza elastica è pari alla metà del prodotto tra il coefficiente di rigidezza e la differenza tra i quadrati degli allungamenti (o compressioni) iniziali e finali della molla.

Il lavoro sarà positivo quando cioè quando l'estremità della molla si sposta verso la posizione di equilibrio, e negativo quando cioè quando l'estremità della molla si allontana dalla posizione di equilibrio.

Si può dimostrare che la formula (48) resta valida nel caso in cui il movimento del punto M non sia rettilineo. Risulta quindi che il lavoro della forza F dipende solo dai valori di e e non dipende dal tipo di traiettoria del punto M. Di conseguenza anche la forza elastica è potenziale.

3. Lavoro della forza di attrito. Consideriamo un punto che si muove lungo una superficie ruvida (Fig. 233) o una curva. La forza di attrito che agisce su un punto è uguale in grandezza a dove f è il coefficiente di attrito e N è la reazione normale della superficie. La forza di attrito è diretta in modo opposto al movimento della punta. Di conseguenza, e secondo la formula (44)

Se la forza di attrito è numericamente costante, allora dove s è la lunghezza dell'arco curvo lungo il quale si muove il punto.

Pertanto il lavoro compiuto dalla forza di attrito durante lo scorrimento è sempre negativo. Poiché questo lavoro dipende dalla lunghezza dell'arco, quindi, la forza di attrito è una forza non potenziale.

4. Lavoro di gravità Se la Terra (pianeta) è considerata come una palla omogenea (o una palla costituita da strati concentrici omogenei), allora in un punto M con massa situata all'esterno della palla ad una distanza dal suo centro O (o situato su la superficie della palla), si verificherà un atto della forza gravitazionale F diretta verso il centro O (Fig. 234), il cui valore è determinato dalla formula (5) del § 76. Presentiamo questa formula nella forma

n determiniamo il coefficiente k dalla condizione che quando un punto si trova sulla superficie terrestre (r = R, dove R è il raggio della Terra), la forza di gravità è pari a mg, dove g è l'accelerazione di gravità (più precisamente, la forza di gravità) sulla superficie terrestre. Allora deve essere

Il lavoro di una forza dipende generalmente dalla natura del movimento del punto di applicazione della forza. Pertanto, per calcolare il lavoro, è necessario conoscere lo spostamento di questo punto. Ma in natura esistono forze ed esempi di movimento per i quali il lavoro può essere calcolato in modo relativamente semplice, conoscendo la posizione iniziale e finale del punto.

Lavoro di gravità. La forza di gravità di un punto materiale di massa vicino alla superficie terrestre può essere considerata costante, pari a , diretta verticalmente verso il basso. Se prendiamo gli assi delle coordinate, dove l'asse è diretto verticalmente verso l'alto, allora

dove è l'altezza di discesa del punto.

Quando un punto sale, l'altezza è negativa. Pertanto, nel caso generale, il lavoro compiuto dalla gravità è pari a

Se abbiamo un sistema di punti materiali, allora per ogni punto dotato di massa avremo il lavoro compiuto dalla sua forza di gravità

,

dove sono le coordinate iniziale e finale del punto.

Lavoro di tutte le forze di gravità di un sistema di punti materiali

dov'è la massa del sistema di punti; e sono le coordinate iniziali e finali del centro di massa del sistema di punti. Introduzione di una notazione per modificare l'altezza del centro di massa , abbiamo

Lavoro della forza elastica lineare. La forza elastica lineare (o forza lineare di richiamo) è la forza che agisce secondo la legge di Hooke:

dov'è la distanza dal punto di equilibrio, dove la forza è zero, al punto in esame; – coefficiente di rigidezza costante.

. (191)

Questa formula viene utilizzata per calcolare il lavoro della forza elastica lineare di una molla quando si muove lungo un qualsiasi percorso dal punto in cui il suo allungamento (deformazione iniziale) è uguale a , al punto in cui la deformazione è corrispondentemente uguale a . Nella nuova notazione assume la forma (191).

. (191")

Lavoro compiuto da una forza applicata ad un corpo rigido . Otteniamo le formule per calcolare il lavoro elementare e totale della forza applicata in un punto qualsiasi di un corpo rigido che compie un particolare movimento. Consideriamo innanzitutto i moti traslatori e rotazionali di un corpo, e poi il caso generale del moto di un corpo rigido.

Durante il moto traslatorio di un corpo rigido tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità in grandezza e direzione. Pertanto, se ad un punto viene applicata una forza, allora, poiché ,

dove è il raggio vettore di un punto arbitrario di un corpo rigido. Su qualsiasi movimento lavoro completo

Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso la velocità di un punto può essere calcolata utilizzando la formula vettoriale di Eulero:

quindi determiniamo il lavoro elementare della forza con la formula

. (194)

Pertanto, il lavoro elementare di una forza applicata a qualsiasi punto di un corpo rotante attorno ad un asse fisso è uguale al prodotto del momento della forza relativo all'asse di rotazione e al differenziale dell'angolo di rotazione del corpo.

Lavoro completo

. (195)

Nel caso particolare, se il momento della forza rispetto all'asse di rotazione è costante, cioè , il lavoro è determinato dalla formula

Utilizzando la definizione di forza-potenza

. (197)

La potenza della forza applicata ad un corpo rigido rotante attorno ad un asse fisso è uguale al prodotto della velocità angolare del corpo e del momento della forza relativo all'asse di rotazione del corpo.

Per un corpo libero nel caso generale del movimento la velocità del punto in cui viene applicata la forza,

quindi,

Pertanto, il lavoro elementare di una forza applicata in un punto qualsiasi di un corpo rigido, nel caso generale del movimento, consiste nel lavoro elementare sul movimento di traslazione elementare insieme ad un punto del corpo e sul movimento di rotazione elementare attorno a questo punto.

Nel caso di rotazione di un corpo rigido attorno ad un punto fisso, scegliendo questo punto come polo, per lavoro elementare abbiamo

. (199)

La rotazione attraverso un angolo dovrebbe essere considerata in ogni momento attorno al suo asse di rotazione istantaneo.

Lavoro delle forze interne di un corpo rigido. Per un corpo rigido, la somma del lavoro svolto dalle forze interne è zero per qualsiasi movimento.

Energia cinetica

Energia cinetica di un punto e di un sistema . L'energia cinetica di un punto materiale è la metà del prodotto della massa del punto per il quadrato della sua velocità., cioè. o , poiché il quadrato scalare di qualsiasi vettore è uguale al quadrato del modulo di questo vettore. L'energia cinetica è una quantità scalare positiva.

L'energia cinetica di un sistema è la somma delle energie cinetiche di tutti i punti di un sistema meccanico., cioè.

. (200)

L'energia cinetica sia di un punto che di questo argomento non dipende dalla direzione delle velocità dei punti. L'energia cinetica di un sistema può essere uguale a zero solo se tutti i suoi punti sono fermi.

Calcolo dell’energia cinetica del sistema (teorema di König): L'energia cinetica di un sistema in movimento assoluto è costituita dall'energia cinetica del centro di massa, se l'intera massa del sistema è concentrata in esso, e dall'energia cinetica del sistema relativa al centro di massa:

, (201)

Dove .

La quantità è l'energia cinetica del movimento relativo del sistema rispetto a un sistema di coordinate che si muove traslativamente insieme al suo centro di massa, o l'energia cinetica del sistema rispetto al centro di massa.

Energia cinetica di un solido . Durante il movimento in avanti solido

, (202)

poiché nel moto traslatorio di un corpo rigido le velocità di tutti i punti del corpo sono le stesse, cioè dov'è la velocità totale per tutti i punti del corpo.

Il termine “potere” in fisica ha un significato specifico. Il lavoro meccanico può essere eseguito a velocità diverse. E la potenza meccanica indica la velocità con cui viene svolto questo lavoro. La capacità di misurare correttamente la potenza è essenziale per l'utilizzo delle risorse energetiche.

Diversi tipi di potere

Per la formula della potenza meccanica si utilizza la seguente espressione:

Il numeratore della formula è il lavoro svolto e il denominatore è il periodo di tempo per il suo completamento. Questo rapporto è chiamato potenza.

Le grandezze che possono essere utilizzate per esprimere la potenza sono tre: istantanea, media e di picco:

1. La potenza istantanea è un indicatore di potenza misurato in un dato momento nel tempo. Se consideriamo l'equazione per la potenza N = ΔA/Δt, allora la potenza istantanea è quella prelevata in un periodo di tempo estremamente piccolo Δt. Se viene tracciata graficamente la dipendenza della potenza dal tempo, la potenza istantanea è semplicemente il valore letto dal grafico in un dato momento nel tempo. Un'altra espressione per potenza istantanea:

1. La potenza media è un valore di potenza misurato su un periodo di tempo relativamente lungo Δt;
2. La potenza di picco è il valore massimo che la potenza istantanea può avere in un particolare sistema durante un certo periodo di tempo. Gli impianti stereo e i motori delle automobili sono esempi di dispositivi in ​​grado di fornire la potenza massima ben al di sopra della potenza nominale media. Tuttavia, questo livello di potenza può essere mantenuto per un breve periodo. Sebbene possa essere più importante per le prestazioni del dispositivo rispetto alla potenza media.

Importante! La forma differenziale dell'equazione N = dA/dt è universale. Se il lavoro meccanico viene eseguito in modo uniforme nel tempo t, la potenza media sarà uguale alla potenza istantanea.

Dall'equazione generale otteniamo la seguente voce:

dove A sarà il lavoro totale svolto in un dato tempo t. Quindi, con un funzionamento uniforme, l'indicatore calcolato è uguale alla potenza istantanea e con un funzionamento irregolare, la potenza media.

In quali unità si misura la potenza?

L'unità standard per misurare la potenza è il watt (W), dal nome dell'inventore e industriale scozzese James Watt. Secondo la formula, W = J/s.

Esiste un'altra unità di potenza ancora ampiamente utilizzata oggi: la potenza (hp).

Interessante. Il termine "potenza" affonda le sue origini nel XVII secolo, quando i cavalli venivano utilizzati per sollevare carichi dalle miniere. Uno l. Con. pari alla potenza necessaria per sollevare 75 kg 1 m in 1 s. Ciò equivale a 735,5 watt.

Potenza

L’equazione della potenza combina il lavoro svolto e il tempo. Poiché sappiamo che il lavoro è compiuto dalle forze e che le forze possono spostare gli oggetti, possiamo derivare un'altra espressione per la potenza istantanea:

1. Lavoro compiuto dalla forza durante lo spostamento:

A = F x S x cos φ.

1. Se inseriamo A nella formula universale perN, la potenza della forza è determinata:

N = (F x S x cos φ)/t = F x V x cos φ, poiché V = S/t.

1. Se la forza è parallela alla velocità della particella, la formula assume la forma:

Potenza degli oggetti rotanti

I processi associati alla rotazione degli oggetti possono essere descritti da equazioni simili. L'equivalente della forza di rotazione è la coppia M, l'equivalente della velocità V è la velocità angolare ω.

Se sostituiamo i valori corrispondenti, otteniamo la formula:

M = F x r, dove r è il raggio di rotazione.

Per calcolare la potenza di un albero che ruota contro una forza, viene utilizzata la formula:

N = 2πxMxn,

dove n è la velocità in giri/s (n = ω/2π).

Questo dà la stessa espressione semplificata:

Pertanto, il motore può raggiungere una potenza elevata sia ad alta velocità che con una coppia elevata. Se la velocità angolare ω è zero, anche la potenza è zero, indipendentemente dalla coppia.

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