Metodo della matrice in linea. Come risolvere un sistema di equazioni in modo matriciale

Questo calcolatore online risolve un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo della matrice. Viene fornita una soluzione molto dettagliata. Per risolvere un sistema di equazioni lineari, seleziona il numero di variabili. Scegli un metodo per calcolare la matrice inversa. Quindi inserisci i dati nelle celle e fai clic sul pulsante "Calcola".

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Metodo matriciale per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari

Consideriamo il seguente sistema di equazioni lineari:

Tenendo conto della definizione di matrice inversa, abbiamo UN −1 UN=E, Dove Eè la matrice identità. Pertanto la (4) può essere scritta come segue:

Pertanto, per risolvere il sistema di equazioni lineari (1) (o (2)), è sufficiente moltiplicare l'inverso per UN matrice per vettore di vincolo B.

Esempi di risoluzione di un sistema di equazioni lineari con il metodo matriciale

Esempio 1. Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo della matrice:

Troviamo l'inverso della matrice A con il metodo Jordan-Gauss. Sul lato destro della matrice UN scrivere la matrice identità:

Escludiamo gli elementi della prima colonna della matrice sotto la diagonale principale. Per fare ciò, aggiungi le righe 2,3 con la riga 1, moltiplicate rispettivamente per -1/3, -1/3:

Escludiamo gli elementi della 2a colonna della matrice sotto la diagonale principale. Per fare ciò, aggiungi la riga 3 con la riga 2 moltiplicata per -24/51:

Escludiamo gli elementi della 2a colonna della matrice sopra la diagonale principale. Per fare ciò, aggiungi la riga 1 con la riga 2, moltiplicata per -3/17:

Separa il lato destro della matrice. La matrice risultante è l'inverso di UN :

Forma matriciale per scrivere un sistema di equazioni lineari: ascia=b, Dove

Calcolare tutti i complementi algebrici della matrice UN:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

La matrice inversa si calcola dalla seguente espressione.

Metodo della matrice Soluzioni SLAU utilizzato per risolvere sistemi di equazioni in cui il numero di equazioni corrisponde al numero di incognite. Il metodo è utilizzato al meglio per risolvere sistemi di ordine basso. Il metodo matriciale per risolvere sistemi di equazioni lineari si basa sull'applicazione delle proprietà della moltiplicazione di matrici.

In questo modo, in altre parole metodo della matrice inversa, chiamato così, poiché la soluzione si riduce alla solita equazione di matrice, per la cui soluzione è necessario trovare la matrice inversa.

Metodo di soluzione della matrice Uno SLAE con un determinante maggiore o minore di zero è il seguente:

Supponiamo che esista un SLE (sistema di equazioni lineari) con N sconosciuto (su un campo arbitrario):

Quindi è facile tradurlo in una forma matriciale:

ASSE=B, Dove UNè la matrice principale del sistema, B E X- colonne dei membri liberi e delle soluzioni del sistema, rispettivamente:

Moltiplica questa equazione di matrice a sinistra per A-1- matrice inversa a matrice A: A −1 (AX)=A −1 B.

Perché UN −1 LA=E, Significa, X=A −1 B. Il lato destro dell'equazione fornisce una colonna di soluzioni al sistema iniziale. La condizione per l'applicabilità del metodo della matrice è la non degenerazione della matrice UN. Una condizione necessaria e sufficiente per questo è che il determinante della matrice UN:

detA≠0.

Per sistema omogeneo di equazioni lineari, cioè. se vettore B=0, vale la regola opposta: il sistema AX=0è una soluzione non banale (cioè non uguale a zero) solo quando detA=0. Viene chiamata questa connessione tra le soluzioni di sistemi omogenei e disomogenei di equazioni lineari alternativa a Fredholm.

Pertanto, la soluzione dello SLAE mediante il metodo della matrice viene effettuata secondo la formula . Oppure la soluzione SLAE viene trovata utilizzando matrice inversa A-1.

È noto che una matrice quadrata UN ordine N SU N esiste una matrice inversa A-1 solo se il suo determinante è diverso da zero. Così il sistema N equazioni algebriche lineari con N le incognite vengono risolte con il metodo matriciale solo se il determinante della matrice principale del sistema non è uguale a zero.

Nonostante esistano limitazioni alla possibilità di utilizzare tale metodo e vi siano difficoltà computazionali per grandi valori dei coefficienti e sistemi di ordine elevato, il metodo può essere facilmente implementato su un computer.

Un esempio di risoluzione di uno SLAE disomogeneo.

Innanzitutto, controlliamo se il determinante della matrice dei coefficienti per SLAE sconosciuti non è uguale a zero.

Ora troviamo matrice di alleanza, trasponilo e sostituiscilo nella formula per determinare la matrice inversa.

Sostituiamo le variabili nella formula:

Ora troviamo le incognite moltiplicando la matrice inversa e la colonna dei termini liberi.

COSÌ, x=2; y=1; z=4.

Quando si passa dalla forma usuale di SLAE alla forma matriciale, fare attenzione all'ordine delle variabili sconosciute nelle equazioni del sistema. Per esempio:

NON scrivere come:

È necessario, innanzitutto, ordinare le variabili incognite in ciascuna equazione del sistema e solo dopo procedere alla notazione matriciale:

Inoltre, è necessario prestare attenzione alla designazione delle variabili sconosciute, invece di x1, x2,..., xn potrebbero esserci altre lettere. Per esempio:

in forma matriciale scriviamo:

Utilizzando il metodo della matrice, è meglio risolvere sistemi di equazioni lineari in cui il numero di equazioni coincide con il numero di variabili sconosciute e il determinante della matrice principale del sistema non è uguale a zero. Quando ci sono più di 3 equazioni nel sistema, sarà necessario uno sforzo computazionale maggiore per trovare la matrice inversa, quindi, in questo caso, è consigliabile utilizzare il metodo di Gauss per risolvere.

Prendere in considerazione sistema di equazioni algebriche lineari(LENTO) riguardo N sconosciuto X 1 , X 2 , ..., X N :

Questo sistema in forma "piegata" può essere scritto come segue:

S N io=1 UN ij X J = b io , i=1,2, ..., n.

Secondo la regola della moltiplicazione delle matrici, è possibile scrivere il sistema di equazioni lineari considerato forma matriciale ascia=b, Dove

, ,.

Matrice UN, le cui colonne sono i coefficienti delle incognite corrispondenti e le righe sono i coefficienti delle incognite nella corrispondente equazione è chiamata matrice del sistema. matrice di colonne B, i cui elementi sono le parti giuste delle equazioni del sistema, è detta matrice della parte destra o semplicemente lato destro del sistema. matrice di colonne X , i cui elementi sono sconosciuti, si chiama soluzione di sistema.

Il sistema di equazioni algebriche lineari scritto come ascia=b, È equazione di matrice.

Se la matrice del sistema non degenerato, allora ha una matrice inversa, e quindi la soluzione del sistema ascia=bè dato dalla formula:

x=A -1 B.

Esempio Risolvi il sistema metodo della matrice.

Soluzione trovare la matrice inversa per la matrice dei coefficienti del sistema

Calcola il determinante espandendo sulla prima riga:

Perché il Δ ≠ 0 , Quello UN -1 esiste.

La matrice inversa viene trovata correttamente.

Troviamo una soluzione al sistema

Quindi, X 1 = 1,x 2 = 2,x 3 = 3 .

Visita medica:

7. Il teorema di Kronecker-Capelli sulla compatibilità di un sistema di equazioni algebriche lineari.

Sistema di equazioni lineari sembra:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Qui sono dati a i j e b i (i = ; j = ), e x j sono numeri reali sconosciuti. Utilizzando il concetto di prodotto di matrici, possiamo riscrivere il sistema (5.1) nella forma:

dove A = (a i j) è la matrice costituita dai coefficienti delle incognite del sistema (5.1), che prende il nome matrice del sistema, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - vettori colonna composti rispettivamente da incognite x j e termini liberi b i .

Raccolta ordinata N si chiamano numeri reali (c 1 , c 2 ,..., c n). soluzione di sistema(5.1) se per effetto della sostituzione di questi numeri al posto delle corrispondenti variabili x 1 , x 2 ,..., x n ciascuna equazione del sistema si trasforma in un'identità aritmetica; in altre parole, se esiste un vettore C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tale che AC  B.

Viene chiamato il sistema (5.1). giunto, O risolvibile se ha almeno una soluzione. Il sistema si chiama incompatibile, O insolubile se non ha soluzioni.

,

formato assegnando una colonna di termini liberi alla matrice A di destra, si chiama sistema a matrice estesa.

La questione della compatibilità del sistema (5.1) è risolta dal seguente teorema.

Teorema di Kronecker-Capelli . Il sistema di equazioni lineari è consistente se e solo se i ranghi delle matrici A e A coincidono, cioè r(A) = r(A) = r.

Per l’insieme M delle soluzioni del sistema (5.1), ci sono tre possibilità:

1) M =  (in questo caso il sistema è incoerente);

2) M è costituito da un elemento, cioè il sistema ha un'unica soluzione (in questo caso il sistema si chiama certo);

3) M è costituito da più di un elemento (allora il sistema si chiama incerto). Nel terzo caso il sistema (5.1) ha infinite soluzioni.

Il sistema ha unica soluzione solo se r(A) = n. In questo caso il numero di equazioni non è inferiore al numero di incognite (mn); se m>n, allora le equazioni m-n sono conseguenze del resto. Se 0

Per risolvere un sistema arbitrario di equazioni lineari, bisogna essere in grado di risolvere sistemi in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite, i cosiddetti Sistemi di tipo Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

I sistemi (5.3) si risolvono in uno dei seguenti modi: 1) con il metodo di Gauss, ovvero con il metodo dell'eliminazione delle incognite; 2) secondo le formule di Cramer; 3) mediante il metodo matriciale.

Esempio 2.12. Analizza il sistema di equazioni e risolvilo se è compatibile:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Soluzione. Scriviamo la matrice estesa del sistema:

 .

Calcoliamo il rango della matrice principale del sistema. È ovvio che, ad esempio, il secondo ordine minore in alto a sinistra = 7  0; i minori di terz'ordine che lo contengono sono pari a zero:

Pertanto, il rango della matrice principale del sistema è 2, cioè r(A) = 2. Per calcolare il rango della matrice estesa A, considerare la matrice minore confinante

quindi, il rango della matrice estesa è r(A) = 3. Poiché r(A)  r(A), il sistema è incoerente.

Sistema di m equazioni lineari con n incognite chiamato sistema della forma

Dove aij E b i (io=1,…,M; B=1,…,N) sono alcuni numeri noti, e x1,...,xn- sconosciuto. Nella notazione dei coefficienti aij primo indice io denota il numero dell'equazione e il secondo Jè il numero dell'incognita a cui si trova questo coefficiente.

I coefficienti per le incognite verranno scritti sotto forma di matrice , che chiameremo matrice del sistema.

I numeri sul lato destro delle equazioni b 1 ,…,b m chiamato membri liberi.

Aggregato N numeri c 1 ,…,c n chiamato decisione di questo sistema, se ciascuna equazione del sistema diventa un'uguaglianza dopo aver sostituito dei numeri al suo interno c 1 ,…,c n invece delle corrispondenti incognite x1,...,xn.

Il nostro compito sarà trovare soluzioni al sistema. In questo caso si possono verificare tre situazioni:

Si dice che un sistema di equazioni lineari che abbia almeno una soluzione giunto. Altrimenti, ad es. se il sistema non ha soluzioni, allora viene chiamato incompatibile.

Considerare i modi per trovare soluzioni al sistema.

METODO MATRICISTICO PER LA RISOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

Le matrici consentono di scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Sia dato un sistema di 3 equazioni in tre incognite:

Consideriamo la matrice del sistema e colonne della matrice di membri sconosciuti e liberi

Troviamo il prodotto

quelli. come risultato del prodotto, otteniamo i membri sinistri delle equazioni di questo sistema. Quindi, utilizzando la definizione di uguaglianza di matrici, questo sistema può essere scritto come:

o più breve UN∙X=B.

Qui matrici UN E B sono noti e la matrice X sconosciuto. Ha bisogno di essere trovata, perché. i suoi elementi sono la soluzione di questo sistema. Questa equazione si chiama equazione di matrice.

Sia il determinante della matrice diverso da zero | UN| ≠ 0. Quindi l'equazione della matrice viene risolta come segue. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione a sinistra per la matrice A-1, l'inverso della matrice UN: . Perché il LA -1 LA = E E E∙X=X, quindi otteniamo la soluzione dell'equazione di matrice nella forma X = A-1 B .

Si noti che poiché la matrice inversa può essere trovata solo per matrici quadrate, il metodo della matrice può risolvere solo quei sistemi in cui il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite. Tuttavia, la notazione matriciale del sistema è possibile anche nel caso in cui il numero di equazioni non sia uguale al numero di incognite, quindi la matrice UN non è quadrato e quindi è impossibile trovare una soluzione al sistema nella forma X = A-1 B.

Esempi. Risolvere sistemi di equazioni.

REGOLA DI CRAMER

Consideriamo un sistema di 3 equazioni lineari con tre incognite:

Determinante del terzo ordine corrispondente alla matrice del sistema, cioè composto da coefficienti ad incognite,

chiamato determinante del sistema.

Componiamo altri tre determinanti come segue: sostituiamo successivamente 1, 2 e 3 colonne nel determinante D con una colonna di termini liberi

Allora possiamo dimostrare il seguente risultato.

Teorema (regola di Cramer). Se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema in esame ha una ed una sola soluzione, e

Prova. Quindi, considera un sistema di 3 equazioni con tre incognite. Moltiplica la prima equazione del sistema per il complemento algebrico UN 11 elemento un 11, 2a equazione - attiva A21 e 3 ° in poi A 31:

Aggiungiamo queste equazioni:

Considera ciascuna delle parentesi e il lato destro di questa equazione. Dal teorema sull'espansione del determinante in termini di elementi della 1a colonna

Allo stesso modo, si può dimostrare che e .

Infine, è facile vederlo

Otteniamo quindi l'uguaglianza: .

Quindi, .

Le uguaglianze e si derivano in modo simile, da cui segue l'asserzione del teorema.

Notiamo quindi che se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema ha un'unica soluzione e viceversa. Se il determinante del sistema è uguale a zero, allora il sistema o ha un insieme infinito di soluzioni oppure non ha soluzioni, cioè incompatibile.

Esempi. Risolvere un sistema di equazioni

METODO GAUSS

I metodi precedentemente considerati possono essere utilizzati per risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni coincide con il numero di incognite e il determinante del sistema deve essere diverso da zero. Il metodo gaussiano è più universale ed è adatto a sistemi con qualsiasi numero di equazioni. Consiste nella successiva eliminazione delle incognite dalle equazioni del sistema.

Consideriamo ancora un sistema di tre equazioni in tre incognite:

.

Lasciamo invariata la prima equazione e dalla 2a e 3a escludiamo i termini contenenti x1. Per fare ciò, dividiamo la seconda equazione per UN 21 e moltiplicare per - UN 11 e poi aggiungi con la prima equazione. Allo stesso modo, dividiamo la terza equazione in UN 31 e moltiplicare per - UN 11 e poi aggiungerlo al primo. Di conseguenza, il sistema originale assumerà la forma:

Ora, dall'ultima equazione, eliminiamo il termine contenente x2. Per fare ciò, dividi la terza equazione per , moltiplicala per e sommala alla seconda. Quindi avremo un sistema di equazioni:

Quindi dall'ultima equazione è facile da trovare x3, quindi dalla 2a equazione x2 e infine dal 1° - x1.

Quando si utilizza il metodo gaussiano, le equazioni possono essere scambiate se necessario.

Spesso, invece di scrivere un nuovo sistema di equazioni, si limitano a scrivere la matrice estesa del sistema:

e poi portarlo alla forma triangolare o diagonale mediante trasformazioni elementari.

A trasformazioni elementari le matrici includono le seguenti trasformazioni:

1. permutazione di righe o colonne;
2. moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;
3. aggiungendo ad una riga altre righe.

Esempi: Risolvere sistemi di equazioni utilizzando il metodo di Gauss.

Il sistema ha quindi un numero infinito di soluzioni.

Le equazioni in generale, le equazioni algebriche lineari e i loro sistemi, nonché i metodi per risolverle, occupano un posto speciale nella matematica, sia teorica che applicata.

Ciò è dovuto al fatto che la stragrande maggioranza dei problemi fisici, economici, tecnici e persino pedagogici possono essere descritti e risolti utilizzando una varietà di equazioni e i loro sistemi. Recentemente, la modellazione matematica ha guadagnato particolare popolarità tra ricercatori, scienziati e professionisti in quasi tutte le aree tematiche, il che è spiegato dai suoi evidenti vantaggi rispetto ad altri metodi ben noti e comprovati per lo studio di oggetti di varia natura, in particolare i cosiddetti complessi sistemi. Esiste una grande varietà di definizioni diverse di un modello matematico fornite dagli scienziati in tempi diversi, ma a nostro avviso quella di maggior successo è la seguente affermazione. Un modello matematico è un'idea espressa da un'equazione. Pertanto, la capacità di comporre e risolvere equazioni e i loro sistemi è una caratteristica integrale di uno specialista moderno.

Per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari, i metodi più comunemente utilizzati sono: Cramer, Jordan-Gauss e il metodo delle matrici.

Metodo di soluzione della matrice - un metodo per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari con un determinante diverso da zero utilizzando una matrice inversa.

Se scriviamo i coefficienti per i valori sconosciuti xi nella matrice A, raccogliamo i valori sconosciuti nel vettore della colonna X e i termini liberi nel vettore della colonna B, allora il sistema di equazioni algebriche lineari può essere scritto in la forma della seguente equazione di matrice A X = B, che ha unica soluzione solo quando il determinante della matrice A non è uguale a zero. In questo caso, la soluzione del sistema di equazioni può essere trovata nel modo seguente X = UN-1 · B, Dove UN-1 - matrice inversa.

Il metodo di soluzione della matrice è il seguente.

Sia dato un sistema di equazioni lineari con N sconosciuto:

Può essere riscritto in forma matriciale: ASCIA = B, Dove UN- la matrice principale del sistema, B E X- colonne dei membri liberi e delle soluzioni del sistema, rispettivamente:

Moltiplica questa equazione di matrice a sinistra per UN-1 - matrice inversa a matrice UN: UN -1 (ASCIA) = UN -1 B

Perché UN -1 UN = E, noi abbiamo X=A -1 B. Il lato destro di questa equazione fornirà una colonna di soluzioni al sistema originale. La condizione per l'applicabilità di questo metodo (così come l'esistenza generale di una soluzione a un sistema disomogeneo di equazioni lineari con un numero di equazioni pari al numero di incognite) è la non degenerazione della matrice UN. Una condizione necessaria e sufficiente per questo è che il determinante della matrice UN: dett UN≠ 0.

Per un sistema omogeneo di equazioni lineari, cioè quando il vettore B = 0 , anzi la regola opposta: il sistema ASCIA = 0 ha una soluzione non banale (cioè diversa da zero) solo se det UN= 0. Tale connessione tra le soluzioni di sistemi omogenei e disomogenei di equazioni lineari è chiamata alternativa di Fredholm.

Esempio soluzioni di un sistema disomogeneo di equazioni algebriche lineari.

Assicuriamoci che il determinante della matrice, composta dai coefficienti delle incognite del sistema di equazioni algebriche lineari, non sia uguale a zero.

Il passo successivo è calcolare i complementi algebrici per gli elementi della matrice costituita dai coefficienti delle incognite. Saranno necessari per trovare la matrice inversa.