Cono. Concetti basilari. Area superficiale di un cono. Concetto di cono Parametri del cono

Un cono (più precisamente, un cono circolare) è un corpo costituito da un cerchio - la base del cono, un punto che non giace nel piano di questo cerchio - la parte superiore del cono e tutti i segmenti che collegano la parte superiore del cono con i punti della base (Fig. 1) I segmenti che collegano la sommità del cono con i punti del cerchio di base sono detti generatori del cono. Tutti i generatori del cono sono uguali tra loro. La superficie del cono è costituita da una base e da una superficie laterale.
Riso. 1
Un cono si dice diritto se la retta che congiunge la sommità del cono con il centro della base è perpendicolare al piano della base. Visivamente, un cono circolare diritto può essere immaginato come un corpo ottenuto ruotando un triangolo rettangolo attorno alla sua gamba come asse (Fig. 2).
Riso. 2
L'altezza di un cono è la perpendicolare che scende dalla sua sommità al piano della base. Per un cono diritto la base dell'altezza coincide con il centro della base. L'asse di un cono circolare retto è la retta contenente la sua altezza.
La sezione di un cono mediante un piano passante per il suo vertice è un triangolo isoscele, i cui lati formano il cono (Fig. 3). In particolare, la sezione assiale di un cono è un triangolo isoscele. Si tratta di una sezione che passa per l'asse del cono (Fig. 4).
Riso. 3fig. 4

Superficie del cono
La superficie laterale del cono, come la superficie laterale del cilindro, può essere ruotata su un piano tagliandola lungo una delle generatrici (Fig. 2, a, b). Lo sviluppo della superficie laterale del cono è un settore circolare (Fig. 2.6), il cui raggio è uguale alla generatrice del cono, e la lunghezza dell'arco del settore è la circonferenza della base del cono.
L'area della superficie laterale del cono è considerata l'area del suo sviluppo. Esprimiamo l'area S della superficie laterale del cono in termini della sua generatrice l e del raggio della base r.
L'area del settore circolare - sviluppo della superficie laterale del cono (Fig. 2) - è pari a (Pl2a)/360, dove a è la misura in gradi dell'arco ABA", quindi
Slato = (Pl2a)/360. (*)
Esprimiamo a in termini di l e r. Poiché la lunghezza dell'arco ABA" è uguale a 2Pr (la circonferenza della base del cono), allora 2Pr = Pla/180, da cui a=360r/l. Sostituendo questa espressione nella formula (*), otteniamo:
Sside = Prl. (**)
Pertanto, l'area della superficie laterale del cono è uguale al prodotto della metà della circonferenza della base e della generatrice.
La superficie totale di un cono è la somma delle aree della superficie laterale e di quella di base. Per calcolare l'area Scon della superficie totale del cono si ottiene la formula: Scon = Pr (l + r). (***)

Tronco
Prendiamo un cono arbitrario e disegniamo un piano di taglio perpendicolare al suo asse. Questo piano si interseca con il cono in un cerchio e divide il cono in due parti. Una delle parti è un cono e l'altra è chiamata tronco di cono. La base del cono originale e il cerchio ottenuto tagliando questo cono con un piano sono chiamati basi del tronco di cono, e il segmento che collega i loro centri è chiamato altezza del tronco di cono.

La parte della superficie conica che delimita il tronco di cono si chiama superficie laterale, e i segmenti delle generatrici della superficie conica racchiusi tra le basi si chiamano generatrici del tronco di cono. Tutti i generatori di un tronco di cono sono uguali tra loro (dimostralo tu stesso).
L'area della superficie laterale di un tronco di cono è pari al prodotto della metà della somma delle lunghezze dei cerchi delle basi e del generatore: Slato = П (r + r1) l.

Ulteriori informazioni sul cono
1. In geologia esiste il concetto di “ventaglio”. Si tratta di una morfologia formata dall'accumulo di rocce clastiche (ciottoli, ghiaia, sabbia) trasportate dai fiumi di montagna su una pianura pedemontana o in una valle più pianeggiante e più ampia.
2. In biologia esiste il concetto di “cono di crescita”. Questa è la punta del germoglio e della radice delle piante, costituita da cellule di tessuto educativo.
3. "Coni" è una famiglia di molluschi marini della sottoclasse prosobranchi. La conchiglia è conica (2–16 cm), dai colori vivaci. Esistono oltre 500 tipi di coni. Vivono nelle zone tropicali e subtropicali, sono predatori e hanno una ghiandola velenosa. Il morso dei coni è molto doloroso. I decessi sono noti. Le conchiglie sono usate come decorazioni e souvenir.
4. Secondo le statistiche, ogni anno 6 persone su 1 milione di abitanti muoiono a causa dei fulmini sulla Terra (più spesso nei paesi del sud). Ciò non accadrebbe se ci fossero parafulmini ovunque, poiché si forma un cono di sicurezza. Più alto è il parafulmine, maggiore è il volume di tale cono. Alcune persone cercano di nascondersi dalle scariche sotto un albero, ma l'albero non è un conduttore, su di esso si accumulano cariche e l'albero può essere una fonte di tensione.
5. In fisica si incontra il concetto di “angolo solido”. Questo è un angolo a forma di cono tagliato in una palla. L'unità dell'angolo solido è 1 steradiante. 1 steradiante è un angolo solido il cui raggio al quadrato è uguale all'area della parte della sfera che ritaglia. Se posizioniamo in questo angolo una sorgente luminosa da 1 candela (1 candela), otterremo un flusso luminoso di 1 lumen. La luce di una cinepresa o di un riflettore si diffonde sotto forma di cono.

Cono (dal greco "konos")- Pigna. Il cono è noto alle persone fin dai tempi antichi. Nel 1906 fu scoperto il libro “Sul Metodo”, scritto da Archimede (287-212 aC), che fornisce una soluzione al problema del volume della parte comune dei cilindri che si intersecano; Archimede dice che questa scoperta appartiene all'antico filosofo greco Democrito (470-380 a.C.), che, utilizzando questo principio, ottenne formule per calcolare il volume di una piramide e di un cono.

Un cono (cono circolare) è un corpo costituito da un cerchio - la base del cono, un punto non appartenente al piano di questo cerchio - il vertice del cono e tutti i segmenti che collegano il vertice del cono e i punti di il cerchio di base. I segmenti che collegano il vertice del cono con i punti del cerchio di base si chiamano generatori del cono. La superficie del cono è costituita da una base e da una superficie laterale.

Un cono si dice diritto se la retta che congiunge la sommità del cono con il centro della base è perpendicolare al piano della base. Un cono circolare retto può essere considerato come un corpo ottenuto facendo ruotare come asse un triangolo rettangolo attorno al suo gambo.

L'altezza di un cono è la perpendicolare che scende dalla sua sommità al piano della base. Per un cono diritto la base dell'altezza coincide con il centro della base. L'asse di un cono retto è la retta contenente la sua altezza.

La sezione di un cono mediante un piano passante per la generatrice del cono e perpendicolare alla sezione assiale tracciata attraverso tale generatrice è chiamata piano tangente al cono.

Un piano perpendicolare all'asse del cono interseca il cono in un cerchio, e la superficie laterale interseca un cerchio centrato sull'asse del cono.

Un piano perpendicolare all'asse del cono taglia da esso un cono più piccolo. La parte restante è detta tronco di cono.

Il volume di un cono è pari a un terzo del prodotto dell'altezza per l'area della base. Pertanto tutti i coni poggianti su una data base e aventi il ​​vertice situato su un dato piano parallelo alla base hanno uguale volume, poiché le loro altezze sono uguali.

La superficie laterale del cono può essere trovata utilizzando la formula:

Lato S = πRl,

La superficie totale del cono si trova con la formula:

S con = πRl + πR 2,

dove R è il raggio della base, l è la lunghezza della generatrice.

Il volume di un cono circolare è pari a

V = 1/3πR2H,

dove R è il raggio della base, H è l'altezza del cono

La superficie laterale di un tronco di cono può essere trovata utilizzando la formula:

Lato S = π(R + r)l,

La superficie totale di un tronco di cono può essere trovata utilizzando la formula:

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

dove R è il raggio della base inferiore, r è il raggio della base superiore, l è la lunghezza della generatrice.

Il volume di un tronco di cono può essere calcolato come segue:

V = 1/3πH(R2 + Rr + r2),

dove R è il raggio della base inferiore, r è il raggio della base superiore, H è l'altezza del cono.

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Che partono da un punto (la sommità del cono) e che attraversano una superficie piana.

Accade che un cono sia una parte di un corpo che ha un volume limitato e si ottiene unendo ciascun segmento che collega il vertice e i punti di una superficie piana. Quest'ultimo, in questo caso, lo è base del cono, e si dice che il cono poggi su questa base.

Quando la base di un cono è un poligono, lo è già piramide .

Cono circolare- questo è un corpo costituito da un cerchio (la base del cono), un punto che non giace nel piano di questo cerchio (la sommità del cono e tutti i segmenti che collegano la sommità del cono con i punti del base). Si chiamano i segmenti che collegano il vertice del cono e i punti della circonferenza di base formando un cono. La superficie del cono è costituita da una base e da una superficie laterale.

L'area della superficie laterale è corretta N-una piramide di carbonio inscritta in un cono:

S n =½P n l n,

Dove Pn- il perimetro della base della piramide, e ln- apotema.

Con lo stesso principio: per la superficie laterale di un tronco di cono con raggi di base R1, R2 e formando l otteniamo la seguente formula:

S=(R1+R2)l.

Coni circolari diritti e obliqui con base e altezza uguali. Questi corpi hanno lo stesso volume:

Proprietà di un cono.

• Quando l'area della base ha un limite, significa che anche il volume del cono ha un limite ed è pari alla terza parte del prodotto dell'altezza per l'area della base.

Dove S- superficie della base, H- altezza.

Pertanto ciascun cono che poggia su questa base e ha il vertice che si trova su un piano parallelo alla base ha uguale volume, poiché le loro altezze sono la stessa.

• Il baricentro di ciascun cono di volume limite si trova ad un quarto dell'altezza dalla base.
• L'angolo solido al vertice di un cono circolare retto può essere espresso dalla seguente formula:

Dove α - angolo di apertura del cono.

• La superficie laterale di un tale cono, formula:

e la superficie totale (cioè la somma delle aree della superficie laterale e di base), la formula:

S=πR(l+R),

Dove R- raggio della base, l— lunghezza della generatrice.

• Volume di un cono circolare, formula:

• Per un tronco di cono (non solo dritto o circolare), volume, formula:

Dove S1 E S2- area delle basi superiore e inferiore,

H E H- distanze dal piano della base superiore ed inferiore al piano.

• L'intersezione di un piano con un cono circolare retto è una delle sezioni coniche.

Nell'ingegneria meccanica, insieme a quelle cilindriche, sono ampiamente utilizzate parti con superfici coniche sotto forma di coni esterni o sotto forma di fori conici. Ad esempio, il centro di un tornio ha due coni esterni, uno dei quali serve per installarlo e fissarlo nel foro conico del mandrino; un trapano, uno svasatore, un alesatore, ecc. hanno anche un cono esterno per l'installazione e il fissaggio. La bussola adattatrice per il fissaggio di punte con gambo conico ha un cono esterno e un foro conico

1. Il concetto di cono e i suoi elementi

Elementi di un cono. Se ruoti il ​​triangolo rettangolo ABC attorno alla gamba AB (Fig. 202, a), si forma un corpo ABG, chiamato cono pieno. La linea AB è chiamata asse o altezza del cono, linea AB - generatrice del cono. Il punto A lo è la sommità del cono.

Quando la gamba BV ruota attorno all'asse AB, si forma una superficie circolare, chiamata base del cono.

L'angolo VAG compreso tra i lati laterali AB e AG si chiama angolo del cono ed è indicato con 2α. Si chiama metà di questo angolo formato dal lato laterale AG e dall'asse AB angolo del cono ed è indicato con α. Gli angoli sono espressi in gradi, minuti e secondi.

Se tagliamo la sua parte superiore da un cono completo con un piano parallelo alla base (Fig. 202, b), otteniamo un corpo chiamato tronco di cono. Ha due basi, superiore e inferiore. Si chiama la distanza OO 1 lungo l'asse tra le basi altezza del tronco di cono. Poiché nell'ingegneria meccanica abbiamo a che fare per lo più con parti di coni, cioè tronchi di cono, di solito vengono chiamati semplicemente coni; D'ora in poi chiameremo coni tutte le superfici coniche.

La connessione tra gli elementi del cono. Il disegno indica solitamente tre dimensioni principali del cono: il diametro maggiore D, il diametro minore d e l'altezza del cono l (Fig. 203).

A volte il disegno indica solo uno dei diametri del cono, ad esempio il più grande D, l'altezza del cono l e la cosiddetta conicità. La conicità è il rapporto tra la differenza tra i diametri di un cono e la sua lunghezza. Indichiamo allora la rastremazione con la lettera K

Se il cono ha dimensioni: D = 80 mm, d = 70 mm e l = 100 mm, quindi secondo la formula (10):

Ciò significa che su una lunghezza di 10 mm il diametro del cono diminuisce di 1 mm ovvero per ogni millimetro di lunghezza del cono la differenza tra i suoi diametri cambia di

A volte nel disegno, invece dell'angolo del cono, è indicato pendenza del cono. La pendenza del cono mostra quanto la generatrice del cono si discosta dal proprio asse.
La pendenza del cono è determinata dalla formula

dove tan α è la pendenza del cono;


l è l'altezza del cono in mm.

Utilizzando la formula (11), puoi utilizzare le tabelle trigonometriche per determinare l'angolo a del cono.

Esempio 6. Dato D = 80 mm; d=70mm; l=100 mm. Utilizzando la formula (11), abbiamo Dalla tavola delle tangenti troviamo il valore più vicino a tan α = 0,05, cioè tan α = 0,049, che corrisponde all'angolo di inclinazione del cono α = 2°50". Pertanto, l'angolo del cono 2α = 2 ·2°50" = 5°40".

La pendenza e la rastremazione del cono sono solitamente espresse come frazione semplice, ad esempio: 1:10; 1:50 o una frazione decimale, ad esempio 0,1; 0,05; 0,02, ecc.

2. Metodi per produrre superfici coniche al tornio

Su un tornio, le superfici coniche vengono lavorate in uno dei seguenti modi:
a) ruotare la parte superiore della pinza;
b) spostamento trasversale del corpo della contropunta;
c) utilizzando un righello a cono;
d) utilizzando una taglierina larga.

3. Lavorazione di superfici coniche mediante rotazione della parte superiore della pinza

Quando si realizzano superfici coniche esterne ed interne corte con un ampio angolo di inclinazione su un tornio, è necessario ruotare la parte superiore del supporto rispetto all'asse della macchina con un angolo α della pendenza del cono (vedere Fig. 204). Con questo metodo di funzionamento l'avanzamento può essere effettuato solo manualmente, ruotando la maniglia della vite di comando della parte superiore del supporto, e solo i torni più moderni dispongono di un avanzamento meccanico della parte superiore del supporto.

Per impostare la parte superiore della pinza 1 all'angolazione richiesta, è possibile utilizzare le divisioni contrassegnate sulla flangia 2 della parte rotante della pinza (Fig. 204). Se l'angolo di inclinazione α del cono è specificato secondo il disegno, la parte superiore del calibro viene ruotata insieme alla sua parte rotante del numero richiesto di divisioni che indicano i gradi. Il numero di divisioni viene conteggiato rispetto al segno segnato sul fondo del calibro.

Se l'angolo α non è indicato nel disegno, ma sono indicati i diametri maggiore e minore del cono e la lunghezza della sua parte conica, il valore dell'angolo di rotazione della pinza è determinato dalla formula (11)

Esempio 7. I diametri del cono indicati sono D = 80 mm, d = 66 mm, lunghezza del cono l = 112 mm. Abbiamo: Utilizzando la tavola delle tangenti troviamo approssimativamente: a = 3°35". Pertanto la parte superiore del calibro dovrà essere ruotata di 3°35".

Il metodo di tornitura delle superfici coniche ruotando la parte superiore della pinza presenta i seguenti svantaggi: solitamente consente l'utilizzo del solo avanzamento manuale, che influisce sulla produttività del lavoro e sulla pulizia della superficie lavorata; consente di rettificare superfici coniche relativamente corte limitate dalla lunghezza della corsa della parte superiore della pinza.

4. Lavorazione di superfici coniche utilizzando il metodo di spostamento trasversale del corpo della contropunta

Per ottenere una superficie conica su un tornio, quando si ruota il pezzo, è necessario spostare la punta della fresa non parallelamente, ma ad un certo angolo rispetto all'asse dei centri. Questo angolo deve essere uguale all'angolo di inclinazione α del cono. Il modo più semplice per ottenere l'angolo tra l'asse centrale e la direzione di avanzamento è spostare la linea centrale spostando il centro posteriore nella direzione trasversale. Spostando il centro posteriore verso la fresa (verso se stessa) a seguito della rettifica, si ottiene un cono la cui base maggiore è diretta verso la paletta; quando il centro posteriore viene spostato nella direzione opposta, cioè lontano dalla fresa (lontano da voi), la base più grande del cono si troverà sul lato della contropunta (Fig. 205).

Lo spostamento del corpo della contropunta è determinato dalla formula

dove S è lo spostamento del corpo della contropunta dall'asse del mandrino della contropunta in mm;
D è il diametro della base grande del cono in mm;
d è il diametro della base piccola del cono in mm;
L è la lunghezza del pezzo intero o l'interasse in mm;
l è la lunghezza della parte conica del pezzo in mm.

Esempio 8. Determinare l'offset del centro della contropunta per la tornitura di un tronco di cono se D = 100 mm, d = 80 mm, L = 300 mm e l = 200 mm. Utilizzando la formula (12) troviamo:

L'alloggiamento della contropunta viene spostato utilizzando le divisioni 1 (Fig. 206) contrassegnate sull'estremità della piastra di base e il segno 2 sull'estremità dell'alloggiamento della contropunta.

Se non ci sono divisioni all'estremità della piastra, spostare il corpo della contropunta utilizzando un righello di misurazione, come mostrato in Fig. 207.

Il vantaggio di lavorare superfici coniche spostando il corpo della contropunta è che questo metodo può essere utilizzato per tornire coni lunghi e rettificare con avanzamento meccanico.

Svantaggi di questo metodo: incapacità di realizzare fori conici; perdita di tempo per risistemare la contropunta; la capacità di elaborare solo coni poco profondi; disallineamento delle punte nei fori centrali, che porta ad un'usura rapida e irregolare delle punte e dei fori centrali e provoca difetti durante l'installazione secondaria della parte negli stessi fori centrali.

L'usura irregolare dei fori centrali può essere evitata se si utilizza un centro della sfera speciale invece del solito (Fig. 208). Tali centri vengono utilizzati principalmente nella lavorazione di coni di precisione.

5. Lavorazione di superfici coniche utilizzando una riga conica

Per la lavorazione di superfici coniche con un angolo di inclinazione fino a 10-12°, i torni moderni dispongono solitamente di un dispositivo speciale chiamato righello conico. Lo schema per l'elaborazione di un cono utilizzando un righello a cono è mostrato in Fig. 209.

Al basamento della macchina è fissata una piastra 11 sulla quale è montata una riga conica 9. La riga può essere ruotata attorno al perno 8 con l'angolo a richiesto rispetto all'asse del pezzo. Per fissare la riga nella posizione richiesta, vengono utilizzati due bulloni 4 e 10. Un cursore 7 scorre liberamente lungo la riga, collegandosi alla parte trasversale inferiore 12 della pinza mediante un'asta 5 e un morsetto 6. In modo che questa parte di la pinza può scorrere liberamente lungo le guide, si scollega dal carrello 3 svitando la vite a croce o scollegando il suo dado dalla pinza.

Se si dà al carrello un avanzamento longitudinale, il cursore 7, catturato dall'asta 5, inizierà a muoversi lungo il righello 9. Poiché il cursore è fissato alla slitta trasversale della pinza, insieme alla taglierina lo faranno muoversi parallelamente alla riga 9. Grazie a ciò, la fresa lavorerà una superficie conica con un angolo di inclinazione, pari all'angolo α di rotazione della riga conica.

Dopo ogni passata, la fresa viene impostata sulla profondità di taglio utilizzando la maniglia 1 della parte superiore 2 della pinza. Questa parte della pinza deve essere ruotata di 90° rispetto alla sua posizione normale, cioè come mostrato in Fig. 209.

Se vengono forniti i diametri delle basi del cono D e d e la sua lunghezza l, l'angolo di rotazione del righello può essere trovato utilizzando la formula (11).

Avendo calcolato il valore di tan α, è facile determinare il valore dell'angolo α utilizzando la tabella delle tangenti.
L'uso di un righello a cono presenta numerosi vantaggi:
1) impostare il righello è comodo e veloce;
2) quando si passa alla lavorazione dei coni, non è necessario interrompere la normale configurazione della macchina, ovvero non è necessario spostare il corpo della contropunta; i centri della macchina rimangono nella posizione normale, cioè sullo stesso asse, per cui i fori centrali nel pezzo e i centri della macchina non funzionano;
3) utilizzando una riga conica è possibile non solo molare le superfici coniche esterne, ma anche praticare fori conici;
4) è possibile lavorare con una macchina semovente longitudinale, che aumenta la produttività del lavoro e migliora la qualità della lavorazione.

Lo svantaggio di un righello conico è la necessità di scollegare la guida del calibro dalla vite di alimentazione trasversale. Questo inconveniente viene eliminato nella progettazione di alcuni torni, nei quali la vite non è rigidamente collegata al relativo volantino e alle ruote dentate della macchina semovente trasversale.

6. Lavorazione di superfici coniche con una fresa larga

La lavorazione delle superfici coniche (esterne ed interne) con una lunghezza del cono corta può essere eseguita con una fresa larga con un angolo piano corrispondente all'angolo di inclinazione α del cono (Fig. 210). L'avanzamento della fresa può essere longitudinale o trasversale.

Tuttavia, l'utilizzo di una fresa larga sulle macchine convenzionali è possibile solo con una lunghezza del cono non superiore a circa 20 mm. Le frese più larghe possono essere utilizzate solo su macchine e pezzi particolarmente rigidi se ciò non provoca vibrazioni della fresa e del pezzo in lavorazione.

7. Alesatura e alesatura di fori conici

La lavorazione di fori conici è uno dei lavori di tornitura più difficili; è molto più difficile che lavorare i coni esterni.

La lavorazione dei fori conici sui torni viene eseguita nella maggior parte dei casi mediante alesatura con fresa con tornitura della parte superiore del supporto e, meno spesso, utilizzando una riga conica. Tutti i calcoli associati alla rotazione della parte superiore del calibro o del righello conico vengono eseguiti allo stesso modo di quando si ruotano le superfici coniche esterne.

Se il foro deve essere in materiale pieno, viene prima praticato un foro cilindrico, che viene poi conificato con una fresa o lavorato con svasatori conici e alesatori.

Per accelerare la perforazione o l'alesatura, è necessario prima praticare un foro con un trapano, diametro d, che è 1-2 mm inferiore al diametro della piccola base del cono (Fig. 211, a). Successivamente si pratica il foro con una (Fig. 211, b) o due (Fig. 211, c) punte per ottenere dei gradini.

Dopo aver terminato l'alesatura del cono, questo viene alesato utilizzando un alesatore conico di apposita conicità. Per i coni con una piccola conicità, è più vantaggioso lavorare i fori conici immediatamente dopo la perforazione con una serie di alesatori speciali, come mostrato in Fig. 212.

8. Modalità di taglio durante la lavorazione di fori con alesatori conici

Gli alesatori conici lavorano in condizioni più difficili rispetto agli alesatori cilindrici: mentre gli alesatori cilindrici rimuovono un leggero margine con taglienti piccoli, gli alesatori conici tagliano l'intera lunghezza dei loro taglienti situati sulla generatrice del cono. Pertanto, quando si lavora con alesatori conici, gli avanzamenti e le velocità di taglio vengono utilizzati meno rispetto a quando si lavora con alesatori cilindrici.

Nella lavorazione di fori con alesatori conici, l'avanzamento avviene manualmente ruotando il volantino della contropunta. È necessario garantire che il cannotto della contropunta si muova in modo uniforme.

L'avanzamento nell'alesatura dell'acciaio è 0,1-0,2 mm/giro, nell'alesatura della ghisa 0,2-0,4 mm/giro.

La velocità di taglio durante l'alesatura di fori conici con alesatori in acciaio rapido è di 6-10 m/min.

Il raffreddamento deve essere utilizzato per facilitare il funzionamento degli alesatori conici e per ottenere una superficie pulita e liscia. Quando si lavora acciaio e ghisa, viene utilizzata un'emulsione o sulfofresolo.

9. Misurazione di superfici coniche

Le superfici dei coni vengono controllate con dime e calibri; la misurazione e il controllo simultaneo degli angoli del cono vengono effettuati utilizzando goniometri. Nella fig. 213 mostra un metodo per controllare un cono utilizzando un modello.

Gli angoli esterni ed interni di varie parti possono essere misurati con un goniometro universale (Fig. 214). È costituito da una base 1, sulla quale è segnata su un arco 130 la scala principale. Alla base 1 è fissata rigidamente una riga 5. Il settore 4 si muove lungo l'arco della base, portando un nonio 3. Al settore 4 può essere fissata una squadra 2 mediante un supporto 7, nel quale, a sua volta, è fissata una il righello rimovibile 5 è fisso. La squadra 2 e il righello rimovibile 5 possono spostarsi lungo il bordo del settore 4.

Attraverso varie combinazioni nell'installazione delle parti di misura del goniometro, è possibile misurare angoli da 0 a 320°. Il valore di lettura sul nonio è 2". La lettura ottenuta quando si misurano gli angoli viene effettuata utilizzando la scala e il nonio (Fig. 215) come segue: la corsa dello zero del nonio mostra il numero di gradi, e la corsa del nonio, coincidente con il tratto della scala base, indica il numero dei minuti. Nella Fig. 215 l'11° tratto del nonio coincide con il tratto della scala base, che significa 2 "X 11 = 22". è 76°22".

Nella fig. 216 mostra combinazioni di parti di misurazione di un goniometro universale, che consente la misurazione di vari angoli da 0 a 320°.

Per test più accurati dei coni nella produzione di massa, vengono utilizzati calibri speciali. Nella fig. 217, e mostra un calibro per boccole coniche per il controllo dei coni esterni, e in Fig. 217, tampone b-conico per il controllo dei fori conici.

Sui calibri vengono realizzate delle battute 1 e 2 alle estremità oppure vengono applicati i segni 3, che servono a determinare la precisione delle superfici da controllare.

Sul. riso. 218 fornisce un esempio di controllo di un foro conico con un tampone.

Per controllare il foro, si inserisce con una leggera pressione nel foro un calibro (vedi Fig. 218), che presenta una sporgenza 1 ad una certa distanza dall'estremità 2 e due segni 3, e si controlla se il calibro oscilla il buco. L'assenza di oscillazioni indica che l'angolo del cono è corretto. Una volta che sei sicuro che l'angolo del cono sia corretto, procedi a verificarne le dimensioni. Per fare ciò, osservare fino a che punto il calibro entrerà nella parte da testare. Se l'estremità del cono del pezzo coincide con l'estremità sinistra della sporgenza 1 o con uno dei segni 3 o si trova tra i segni, allora le dimensioni del cono sono corrette. Ma può succedere che il calibro entri nel pezzo così profondamente che entrambi i segni 3 entrano nel foro o entrambe le estremità della sporgenza 1 ne escono. Ciò indica che il diametro del foro è maggiore di quanto specificato. Se invece entrambi i rischi sono all'esterno del foro oppure nessuna delle estremità della battuta esce da esso, allora il diametro del foro è inferiore a quello richiesto.

Per controllare accuratamente la rastremazione, utilizzare il seguente metodo. Sulla superficie del pezzo o del calibro da misurare, tracciare due o tre linee con un gesso o una matita lungo la generatrice del cono, quindi inserire o appoggiare il calibro sul pezzo e girarlo per una parte del giro. Se le linee vengono cancellate in modo non uniforme, significa che il cono del pezzo non è stato lavorato accuratamente e deve essere corretto. La cancellazione delle linee alle estremità del calibro indica una rastremazione errata; la cancellazione delle linee nella parte centrale del calibro mostra che la conicità presenta una leggera concavità, solitamente causata dalla posizione imprecisa della punta della fresa lungo l'altezza dei centri. Invece delle linee di gesso, puoi applicare un sottile strato di vernice speciale (blu) sull'intera superficie conica della parte o del calibro. Questo metodo offre una maggiore precisione di misurazione.

10. Difetti nella lavorazione delle superfici coniche e misure per prevenirli

Nella lavorazione di superfici coniche, oltre ai tipi di difetti menzionati per le superfici cilindriche, sono possibili anche i seguenti tipi di difetti:
1) conicità errata;
2) deviazioni nelle dimensioni del cono;
3) deviazioni dei diametri delle basi con conicità corretta;
4) non rettilineità della generatrice della superficie conica.

1. Una conicità errata è dovuta principalmente al disallineamento impreciso dell'alloggiamento della contropunta, alla rotazione imprecisa della parte superiore della pinza, all'installazione errata del righello conico, all'affilatura o all'installazione errata della taglierina larga. Pertanto, posizionando accuratamente l'alloggiamento della contropunta, la parte superiore del calibro o il righello conico prima di iniziare la lavorazione, è possibile prevenire eventuali difetti. Questo tipo di difetto può essere corretto solo se l'errore su tutta la lunghezza del cono è diretto nel corpo del pezzo, cioè tutti i diametri del manicotto sono più piccoli e quelli dell'asta conica sono più grandi del necessario.

2. La dimensione errata del cono con l'angolo corretto, cioè la dimensione errata dei diametri su tutta la lunghezza del cono, si verifica se non viene rimosso abbastanza o troppo materiale. I difetti possono essere prevenuti solo impostando attentamente la profondità di taglio lungo il quadrante nelle passate di finitura. Correggeremo il difetto se non è stato girato abbastanza materiale.

3. Potrebbe risultare che con la conicità corretta e le dimensioni esatte di un'estremità del cono, il diametro della seconda estremità non sia corretto. L'unico motivo è il mancato rispetto della lunghezza richiesta dell'intera sezione conica del pezzo. Correggeremo il difetto se la parte è troppo lunga. Per evitare questo tipo di difetto è necessario controllarne attentamente la lunghezza prima di lavorare il cono.

4. La non rettilineità della generatrice del cono in lavorazione si ottiene quando la fresa è installata sopra (Fig. 219, b) o sotto (Fig. 219, c) il centro (in queste figure, per maggiore chiarezza, le distorsioni della generatrice del cono sono mostrati in forma molto esagerata). Pertanto, questo tipo di difetto è il risultato del lavoro distratto del tornitore.

Domande di controllo 1. In quali modi si possono lavorare le superfici coniche sui torni?
2. In quali casi è consigliabile ruotare la parte superiore della pinza?
3. Come viene calcolato l'angolo di rotazione della parte superiore del supporto per girare un cono?
4. Come si controlla che la parte superiore della pinza sia ruotata correttamente?
5. Come controllare lo spostamento dell'alloggiamento della contropunta? Come calcolare l'entità dello spostamento?
6. Quali sono gli elementi principali di un righello a cono? Come impostare un righello affusolato per questa parte?
7. Impostare i seguenti angoli sul goniometro universale: 50°25"; 45°50"; 75°35".
8. Quali strumenti vengono utilizzati per misurare le superfici coniche?
9. Perché ci sono sporgenze o rischi sugli indicatori conici e come utilizzarli?
10. Elencare i tipi di difetti durante la lavorazione di superfici coniche. Come evitarli?

) - un corpo nello spazio euclideo ottenuto combinando tutti i raggi provenienti da un punto ( picchi cono) e passante attraverso una superficie piana. A volte un cono è una parte di un corpo che ha un volume limitato e si ottiene unendo tutti i segmenti che collegano il vertice e i punti di una superficie piana (quest'ultima in questo caso si chiama base cono, e il cono si chiama pendente su questa base). Se la base di un cono è un poligono, tale cono è una piramide.

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✪ Come realizzare un cono di carta.

• Sottotitoli

Definizioni correlate

• Si chiama il segmento che collega il vertice e il confine della base generatrice del cono.
• Si chiama l'unione dei generatori di un cono generatrice(O lato) superficie del cono. La superficie di formazione del cono è una superficie conica.
• Un segmento sceso perpendicolarmente dal vertice al piano della base (nonché la lunghezza di tale segmento) si chiama altezza del cono.
• Angolo del cono- l'angolo tra due generatrici opposte (l'angolo al vertice del cono, all'interno del cono).
• Se la base di un cono ha un centro di simmetria (ad esempio è un cerchio o un'ellisse) e la proiezione ortogonale del vertice del cono sul piano della base coincide con questo centro, allora il cono si chiama diretto. In questo caso viene chiamata la retta che collega la parte superiore e il centro della base asse del cono.
• Obliquo (inclinato) cono - un cono la cui proiezione ortogonale del vertice sulla base non coincide con il suo centro di simmetria.
• Cono circolare- un cono la cui base è un cerchio.
• Cono circolare diritto(spesso chiamato semplicemente cono) può essere ottenuto ruotando un triangolo rettangolo attorno a una linea contenente la gamba (questa linea rappresenta l'asse del cono).
• Un cono poggiante su un'ellisse, una parabola o un'iperbole si chiama rispettivamente ellittico, parabolico E cono iperbolico(gli ultimi due hanno volume infinito).
• Viene chiamata la parte del cono compresa tra la base e un piano parallelo alla base e situato tra la sommità e la base tronco di cono, O strato conico.

Proprietà

• Se l'area della base è finita, anche il volume del cono è finito e pari a un terzo del prodotto dell'altezza e dell'area della base.

V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \over 3)SH,)

Dove S- superficie della base, H- altezza. Pertanto, tutti i coni poggianti su una data base (di area finita) e aventi il ​​vertice situato su un dato piano parallelo alla base hanno uguale volume, poiché le loro altezze sono uguali.

• Il baricentro di ogni cono di volume finito si trova a un quarto dell'altezza della base.
• L'angolo solido al vertice di un cono circolare retto è uguale a

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alpha \over 2)\right),) dove α è l'angolo di apertura del cono.

• La superficie laterale di tale cono è uguale a

S = π R l , (\displaystyle S=\pi Rl,)

e la superficie totale (cioè la somma delle aree della superficie laterale e di base)

S = π R (l + R), (\displaystyle S=\pi R(l+R),) Dove R- raggio di base, l = R 2 + H 2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- lunghezza della generatrice.

• Il volume di un cono circolare (non necessariamente dritto) è pari a

V = 1 3 π R 2 H . (\displaystyle V=(1 \over 3)\pi R^(2)H.)

• Per un tronco di cono (non necessariamente rettilineo e circolare), il volume è pari a:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , (\displaystyle V=(1 \over 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

dove S 1 e S 2 sono rispettivamente le aree della base superiore (più vicina alla sommità) e inferiore, H E H- distanze rispettivamente dal piano della base superiore e inferiore al piano.

• L'intersezione di un piano con un cono circolare retto è una delle sezioni coniche (nei casi non degenerati - un'ellisse, una parabola o un'iperbole, a seconda della posizione del piano di taglio).

Equazione del cono

Equazioni che definiscono la superficie laterale di un cono circolare retto con angolo di apertura pari a 2Θ, vertice nell'origine e asse coincidente con l'asse Oz :

• In un sistema di coordinate sferiche con coordinate ( R, φ, θ) :

θ = Θ. (\displaystyle \theta =\theta.)

• In un sistema di coordinate cilindriche con coordinate ( R, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operatorname (ctg) \Theta ) O r = z ⋅ tan ⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \nomeoperatore (tg) \Theta .)

• In un sistema di coordinate cartesiane con coordinate (X, sì, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ lettino ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operatorname (ctg) \Theta .) Questa equazione in forma canonica è scritta come

dove sono le costanti UN, Con determinato dalla proporzione c / a = cos ⁡ Θ / peccato ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .) Ciò dimostra che la superficie laterale di un cono circolare retto è una superficie del secondo ordine (si chiama superficie conica). In generale, una superficie conica del secondo ordine poggia su un'ellisse; in un opportuno sistema di coordinate cartesiane (asse OH E UO parallelo agli assi dell'ellisse, il vertice del cono coincide con l'origine, il centro dell'ellisse giace sull'asse Oz) la sua equazione ha la forma

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

E AC E avanti Cristo uguale ai semiassi dell'ellisse. Nel caso più generale, quando un cono poggia su una superficie piana arbitraria, si può dimostrare che l'equazione della superficie laterale del cono (con il vertice nell'origine) è data dall'equazione f (x, y, z) = 0, (\displaystyle f(x,y,z)=0,) dov'è la funzione f (x, y, z) (\displaystyle f(x,y,z))è omogeneo, cioè soddisfa la condizione f (α X , α y , α z) = α n f (x , y , z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y ,z)) per ogni numero reale α.

Scansione

Un cono circolare retto come corpo di rotazione è formato da un triangolo rettangolo che ruota attorno a una delle gambe, dove H- l'altezza del cono dal centro della base alla sommità - è la gamba di un triangolo rettangolo attorno al quale avviene la rotazione. Secondo cateto di un triangolo rettangolo R- raggio alla base del cono. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è l- formare un cono.

È possibile utilizzare solo due quantità per creare una scansione del cono R E l. Raggio di base R definisce il cerchio della base del cono nello sviluppo, ed il settore della superficie laterale del cono è determinato dalla generatrice della superficie laterale l, che è il raggio del settore della superficie laterale. Angolo del settore φ (\displaystyle \varphi ) nello sviluppo della superficie laterale del cono è determinato dalla formula:

φ = 360° ( R/l) .