Cono come figura geometrica. Corpi geometrici. Cono Qual è la lunghezza della generatrice del cono

Che partono da un punto (la sommità del cono) e che attraversano una superficie piana.

Accade che un cono sia una parte di un corpo che ha un volume limitato e si ottiene unendo ciascun segmento che collega il vertice e i punti di una superficie piana. Quest'ultimo, in questo caso, lo è base del cono, e si dice che il cono poggi su questa base.

Quando la base di un cono è un poligono, lo è già piramide .

Cono circolare- questo è un corpo costituito da un cerchio (la base del cono), un punto che non giace nel piano di questo cerchio (la sommità del cono e tutti i segmenti che collegano la sommità del cono con i punti del base). Si chiamano i segmenti che collegano il vertice del cono e i punti della circonferenza di base formando un cono. La superficie del cono è costituita da una base e da una superficie laterale.

L'area della superficie laterale è corretta N-una piramide di carbonio inscritta in un cono:

S n =½P n l n,

Dove Pn- il perimetro della base della piramide, e ln- apotema.

Con lo stesso principio: per la superficie laterale di un tronco di cono con raggi di base R1, R2 e formando l otteniamo la seguente formula:

S=(R1+R2)l.

Coni circolari diritti e obliqui con base e altezza uguali. Questi corpi hanno lo stesso volume:

Proprietà di un cono.

• Quando l'area della base ha un limite, significa che anche il volume del cono ha un limite ed è pari alla terza parte del prodotto dell'altezza per l'area della base.

Dove S- superficie della base, H- altezza.

Pertanto ciascun cono che poggia su questa base e ha il vertice che si trova su un piano parallelo alla base ha uguale volume, poiché le loro altezze sono la stessa.

• Il baricentro di ciascun cono di volume limite si trova ad un quarto dell'altezza dalla base.
• L'angolo solido al vertice di un cono circolare retto può essere espresso dalla seguente formula:

Dove α - angolo di apertura del cono.

• La superficie laterale di un tale cono, formula:

e la superficie totale (cioè la somma delle aree della superficie laterale e di base), la formula:

S=πR(l+R),

Dove R- raggio della base, l— lunghezza della generatrice.

• Volume di un cono circolare, formula:

• Per un tronco di cono (non solo dritto o circolare), volume, formula:

Dove S1 E S2- area delle basi superiore e inferiore,

H E H- distanze dal piano della base superiore ed inferiore al piano.

• L'intersezione di un piano con un cono circolare retto è una delle sezioni coniche.

In questa lezione faremo conoscenza con una figura come un cono. Studiamo gli elementi di un cono e i tipi delle sue sezioni. E scopriremo con quale figura il cono ha molte proprietà in comune.

Fig. 1. Oggetti a forma di cono

Nel mondo, un numero enorme di cose ha la forma di un cono. Spesso non li notiamo nemmeno. Coni stradali che segnalano lavori stradali, tetti di castelli e case, coni gelato: tutti questi oggetti hanno la forma di un cono (vedi Fig. 1).

Riso. 2. Triangolo rettangolo

Considera un triangolo rettangolo arbitrario con le gambe e (vedi Fig. 2).

Riso. 3. Cono circolare diritto

Ruotando un dato triangolo attorno a uno dei cateti (senza perdita di generalità, supponiamo che sia un cateto), l'ipotenusa descriverà la superficie e il cateto descriverà il cerchio. Si otterrà così un corpo che verrà chiamato cono circolare retto (vedi Fig. 3).

Riso. 4. Tipi di coni

Visto che parliamo di un cono circolare rettilineo, a quanto pare ne esiste sia uno indiretto che uno non circolare? Se la base del cono è un cerchio, ma il vertice non è proiettato nel centro di questo cerchio, tale cono viene chiamato inclinato. Se la base non è un cerchio, ma una figura arbitraria, allora tale corpo viene talvolta chiamato anche cono, ma, ovviamente, non circolare (vedi Fig. 4).

Quindi, arriviamo di nuovo all'analogia che ci è già familiare lavorando con i cilindri. In effetti, il cono è qualcosa come una piramide, è solo che la piramide ha un poligono alla base, e il cono (che considereremo) ha un cerchio (vedi Fig. 5).

Il segmento dell'asse di rotazione (nel nostro caso questa è la gamba) racchiuso all'interno del cono è chiamato asse del cono (vedi Fig. 6).

Riso. 5. Cono e piramide

Riso. 6. - asse del cono

Riso. 7. Base del cono

Il cerchio formato dalla rotazione della seconda gamba () è chiamato base del cono (vedi Fig. 7).

E la lunghezza di questa gamba è il raggio della base del cono (o, più semplicemente, il raggio del cono) (vedi Fig. 8).

Riso. 8. - raggio del cono

Riso. 9. - parte superiore del cono

Il vertice di un angolo acuto di un triangolo rotante giacente sull'asse di rotazione è chiamato vertice di un cono (vedi Fig. 9).

Riso. 10. - altezza del cono

L'altezza di un cono è un segmento tracciato dalla sommità del cono perpendicolare alla sua base (vedi Fig. 10).

Qui potresti avere una domanda: in che modo allora il segmento dell'asse di rotazione differisce dall'altezza del cono? Infatti coincidono solo nel caso di cono dritto; se osservate un cono inclinato noterete che si tratta di due segmenti completamente diversi (vedi Fig. 11).

Riso. 11. Altezza in un cono inclinato

Torniamo al cono dritto.

Riso. 12. Generatori del cono

I segmenti che collegano il vertice del cono con i punti del cerchio della sua base si chiamano generatori del cono. A proposito, tutte le generatrici di un cono retto sono uguali tra loro (vedi Fig. 12).

Riso. 13. Oggetti naturali a forma di cono

Tradotto dal greco, konos significa “pigna”. In natura ci sono abbastanza oggetti che hanno la forma di un cono: abete rosso, montagna, formicaio, ecc. (vedi Fig. 13).

Ma siamo abituati al fatto che il cono sia dritto. Ha generatrici uguali e la sua altezza coincide con l'asse. Abbiamo chiamato un cono di questo tipo un cono dritto. Nei corsi di geometria scolastica, vengono solitamente considerati coni diritti e per impostazione predefinita qualsiasi cono è considerato circolare retto. Ma abbiamo già detto che non esistono solo coni diritti, ma anche inclinati.

Riso. 14. Sezione perpendicolare

Torniamo ai coni dritti. “Tagliamo” il cono con un piano perpendicolare all'asse (vedi Fig. 14).

Quale cifra sarà sul taglio? Certo che è un cerchio! Ricordiamo che il piano corre perpendicolare all'asse, e quindi parallelo alla base, che è un cerchio.

Riso. 15. Sezione inclinata

Ora incliniamo gradualmente il piano di sezione. Quindi il nostro cerchio inizierà a trasformarsi gradualmente in un ovale sempre più allungato. Ma solo finché il piano di sezione non entra in collisione con il cerchio di base (vedi Fig. 15).

Riso. 16. Tipi di sezioni usando l'esempio di una carota

Coloro che amano esplorare il mondo sperimentalmente possono verificarlo con l'aiuto di una carota e di un coltello (prova a tagliare fette di carota con diverse angolazioni) (vedi Fig. 16).

Riso. 17. Sezione assiale del cono

La sezione di un cono mediante un piano passante per il suo asse è chiamata sezione assiale del cono (vedi Fig. 17).

Riso. 18. Triangolo isoscele - figura in sezione

Qui otteniamo una figura in sezione completamente diversa: un triangolo. Questo triangolo è isoscele (vedi Fig. 18).

In questa lezione abbiamo appreso la superficie cilindrica, i tipi di cilindro, gli elementi di un cilindro e la somiglianza di un cilindro con un prisma.

La generatrice del cono è lunga 12 cm ed è inclinata rispetto al piano della base di un angolo di 30 gradi. Trova l'area della sezione trasversale assiale del cono.

Soluzione

Consideriamo la sezione assiale richiesta. Questo è un triangolo isoscele in cui i lati misurano 12 gradi e l'angolo alla base è 30 gradi. Quindi puoi procedere in diversi modi. Oppure puoi disegnare l'altezza, trovarla (metà dell'ipotenusa, 6), poi la base (secondo il teorema di Pitagora) e poi l'area.

Riso. 19. Illustrazione del problema

Oppure trova immediatamente l'angolo al vertice - 120 gradi - e calcola l'area come il semiprodotto dei lati per il seno dell'angolo compreso tra loro (la risposta sarà la stessa).

1. Geometria. Libro di testo per le classi 10-11. Atanasyan L.S. e altri. - M.: Educazione, 2009. - 255 p.
2. Geometria 11a elementare, A.V. Pogorelov, M.: Educazione, 2002
3. Quaderno di esercizi di geometria 11a elementare, V.F. Butuzov, Yu.A. Glazkov

1. Yaklass.ru ().
2. Uztest.ru ().
3. Bitclass.ru ().

Compiti a casa

Definizione. Parte superiore del conoè il punto (K) da cui hanno origine i raggi.

Definizione. Base a conoè il piano formato dall'intersezione di una superficie piana e di tutti i raggi provenienti dalla sommità del cono. Un cono può avere basi come cerchio, ellisse, iperbole e parabola.

Definizione. Generatrice del cono(L) è qualsiasi segmento che collega il vertice del cono al confine della base del cono. La generatrice è un segmento del raggio che emerge dal vertice del cono.

Formula. Lunghezza del generatore(L) di un cono circolare retto passante per il raggio R e l'altezza H (tramite il teorema di Pitagora):

Definizione. Guida cono è una curva che descrive il contorno della base del cono.

Definizione. Superficie laterale cono è la totalità di tutti i costituenti del cono. Cioè la superficie che si forma dal movimento della generatrice lungo la guida del cono.

Definizione. Superficie Il cono è costituito dalla superficie laterale e dalla base del cono.

Definizione. Altezza il cono (H) è un segmento che si estende dalla sommità del cono ed è perpendicolare alla sua base.

Definizione. Asse il cono (a) è una linea retta che passa per la sommità del cono e il centro della base del cono.

Definizione. Conicità (C) cono è il rapporto tra il diametro della base del cono e la sua altezza. Nel caso di un tronco di cono, questo è il rapporto tra la differenza dei diametri delle sezioni trasversali D e d del tronco di cono e la distanza tra loro: dove R è il raggio della base e H è l'altezza di il cono.

Un cono (più precisamente, un cono circolare) è un corpo costituito da un cerchio - la base del cono, un punto che non giace nel piano di questo cerchio - la parte superiore del cono e tutti i segmenti che collegano la parte superiore del cono con i punti della base (Fig. 1) I segmenti che collegano la sommità del cono con i punti del cerchio di base sono detti generatori del cono. Tutti i generatori del cono sono uguali tra loro. La superficie del cono è costituita da una base e da una superficie laterale.
Riso. 1
Un cono si dice diritto se la retta che congiunge la sommità del cono con il centro della base è perpendicolare al piano della base. Visivamente, un cono circolare diritto può essere immaginato come un corpo ottenuto ruotando un triangolo rettangolo attorno alla sua gamba come asse (Fig. 2).
Riso. 2
L'altezza di un cono è la perpendicolare che scende dalla sua sommità al piano della base. Per un cono diritto la base dell'altezza coincide con il centro della base. L'asse di un cono circolare retto è la retta contenente la sua altezza.
La sezione di un cono mediante un piano passante per il suo vertice è un triangolo isoscele, i cui lati formano il cono (Fig. 3). In particolare, la sezione assiale di un cono è un triangolo isoscele. Si tratta di una sezione che passa per l'asse del cono (Fig. 4).
Riso. 3fig. 4

Superficie del cono
La superficie laterale del cono, come la superficie laterale del cilindro, può essere ruotata su un piano tagliandola lungo una delle generatrici (Fig. 2, a, b). Lo sviluppo della superficie laterale del cono è un settore circolare (Fig. 2.6), il cui raggio è uguale alla generatrice del cono, e la lunghezza dell'arco del settore è la circonferenza della base del cono.
L'area della superficie laterale del cono è considerata l'area del suo sviluppo. Esprimiamo l'area S della superficie laterale del cono in termini della sua generatrice l e del raggio della base r.
L'area del settore circolare - sviluppo della superficie laterale del cono (Fig. 2) - è pari a (Pl2a)/360, dove a è la misura in gradi dell'arco ABA", quindi
Slato = (Pl2a)/360. (*)
Esprimiamo a in termini di l e r. Poiché la lunghezza dell'arco ABA" è uguale a 2Pr (la circonferenza della base del cono), allora 2Pr = Pla/180, da cui a=360r/l. Sostituendo questa espressione nella formula (*), otteniamo:
Sside = Prl. (**)
Pertanto, l'area della superficie laterale del cono è uguale al prodotto della metà della circonferenza della base e della generatrice.
La superficie totale di un cono è la somma delle aree della superficie laterale e di quella di base. Per calcolare l'area Scon della superficie totale del cono si ottiene la formula: Scon = Pr (l + r). (***)

Tronco
Prendiamo un cono arbitrario e disegniamo un piano di taglio perpendicolare al suo asse. Questo piano si interseca con il cono in un cerchio e divide il cono in due parti. Una delle parti è un cono e l'altra è chiamata tronco di cono. La base del cono originale e il cerchio ottenuto tagliando questo cono con un piano sono chiamati basi del tronco di cono, e il segmento che collega i loro centri è chiamato altezza del tronco di cono.

La parte della superficie conica che delimita il tronco di cono si chiama superficie laterale, e i segmenti delle generatrici della superficie conica racchiusi tra le basi si chiamano generatrici del tronco di cono. Tutti i generatori di un tronco di cono sono uguali tra loro (dimostralo tu stesso).
L'area della superficie laterale di un tronco di cono è pari al prodotto della metà della somma delle lunghezze dei cerchi delle basi e del generatore: Slato = П (r + r1) l.

Ulteriori informazioni sul cono
1. In geologia esiste il concetto di “ventaglio”. Si tratta di una morfologia formata dall'accumulo di rocce clastiche (ciottoli, ghiaia, sabbia) trasportate dai fiumi di montagna su una pianura pedemontana o in una valle più pianeggiante e più ampia.
2. In biologia esiste il concetto di “cono di crescita”. Questa è la punta del germoglio e della radice delle piante, costituita da cellule di tessuto educativo.
3. "Coni" è una famiglia di molluschi marini della sottoclasse prosobranchi. La conchiglia è conica (2–16 cm), dai colori vivaci. Esistono oltre 500 tipi di coni. Vivono nelle zone tropicali e subtropicali, sono predatori e hanno una ghiandola velenosa. Il morso dei coni è molto doloroso. I decessi sono noti. Le conchiglie sono usate come decorazioni e souvenir.
4. Secondo le statistiche, ogni anno 6 persone su 1 milione di abitanti muoiono a causa dei fulmini sulla Terra (più spesso nei paesi del sud). Ciò non accadrebbe se ci fossero parafulmini ovunque, poiché si forma un cono di sicurezza. Più alto è il parafulmine, maggiore è il volume di tale cono. Alcune persone cercano di nascondersi dalle scariche sotto un albero, ma l'albero non è un conduttore, su di esso si accumulano cariche e l'albero può essere una fonte di tensione.
5. In fisica si incontra il concetto di “angolo solido”. Questo è un angolo a forma di cono tagliato in una palla. L'unità dell'angolo solido è 1 steradiante. 1 steradiante è un angolo solido il cui raggio al quadrato è uguale all'area della parte della sfera che ritaglia. Se posizioniamo in questo angolo una sorgente luminosa da 1 candela (1 candela), otterremo un flusso luminoso di 1 lumen. La luce di una cinepresa o di un riflettore si diffonde sotto forma di cono.

Nell'ingegneria meccanica, insieme a quelle cilindriche, sono ampiamente utilizzate parti con superfici coniche sotto forma di coni esterni o sotto forma di fori conici. Ad esempio, il centro di un tornio ha due coni esterni, uno dei quali serve per installarlo e fissarlo nel foro conico del mandrino; un trapano, uno svasatore, un alesatore, ecc. hanno anche un cono esterno per l'installazione e il fissaggio. La bussola adattatrice per il fissaggio di punte con gambo conico ha un cono esterno e un foro conico

1. Il concetto di cono e i suoi elementi

Elementi di un cono. Se ruoti il ​​triangolo rettangolo ABC attorno alla gamba AB (Fig. 202, a), si forma un corpo ABG, chiamato cono pieno. La linea AB è chiamata asse o altezza del cono, linea AB - generatrice del cono. Il punto A lo è la sommità del cono.

Quando la gamba BV ruota attorno all'asse AB, si forma una superficie circolare, chiamata base del cono.

L'angolo VAG compreso tra i lati laterali AB e AG si chiama angolo del cono ed è indicato con 2α. Si chiama metà di questo angolo formato dal lato laterale AG e dall'asse AB angolo del cono ed è indicato con α. Gli angoli sono espressi in gradi, minuti e secondi.

Se tagliamo la sua parte superiore da un cono completo con un piano parallelo alla base (Fig. 202, b), otteniamo un corpo chiamato tronco di cono. Ha due basi, superiore e inferiore. Si chiama la distanza OO 1 lungo l'asse tra le basi altezza del tronco di cono. Poiché nell'ingegneria meccanica abbiamo a che fare per lo più con parti di coni, cioè tronchi di cono, di solito vengono chiamati semplicemente coni; D'ora in poi chiameremo coni tutte le superfici coniche.

La connessione tra gli elementi del cono. Il disegno indica solitamente tre dimensioni principali del cono: il diametro maggiore D, il diametro minore d e l'altezza del cono l (Fig. 203).

A volte il disegno indica solo uno dei diametri del cono, ad esempio il più grande D, l'altezza del cono l e la cosiddetta conicità. La conicità è il rapporto tra la differenza tra i diametri di un cono e la sua lunghezza. Indichiamo allora la rastremazione con la lettera K

Se il cono ha dimensioni: D = 80 mm, d = 70 mm e l = 100 mm, quindi secondo la formula (10):

Ciò significa che su una lunghezza di 10 mm il diametro del cono diminuisce di 1 mm ovvero per ogni millimetro di lunghezza del cono la differenza tra i suoi diametri cambia di

A volte nel disegno, invece dell'angolo del cono, è indicato pendenza del cono. La pendenza del cono mostra quanto la generatrice del cono si discosta dal proprio asse.
La pendenza del cono è determinata dalla formula

dove tan α è la pendenza del cono;


l è l'altezza del cono in mm.

Utilizzando la formula (11), puoi utilizzare le tabelle trigonometriche per determinare l'angolo a del cono.

Esempio 6. Dato D = 80 mm; d=70mm; l=100 mm. Utilizzando la formula (11), abbiamo Dalla tavola delle tangenti troviamo il valore più vicino a tan α = 0,05, cioè tan α = 0,049, che corrisponde all'angolo di inclinazione del cono α = 2°50". Pertanto, l'angolo del cono 2α = 2 ·2°50" = 5°40".

La pendenza e la rastremazione del cono sono solitamente espresse come frazione semplice, ad esempio: 1:10; 1:50 o una frazione decimale, ad esempio 0,1; 0,05; 0,02, ecc.

2. Metodi per produrre superfici coniche al tornio

Su un tornio, le superfici coniche vengono lavorate in uno dei seguenti modi:
a) ruotare la parte superiore della pinza;
b) spostamento trasversale del corpo della contropunta;
c) utilizzando un righello a cono;
d) utilizzando una taglierina larga.

3. Lavorazione di superfici coniche mediante rotazione della parte superiore della pinza

Quando si realizzano superfici coniche esterne ed interne corte con un ampio angolo di inclinazione su un tornio, è necessario ruotare la parte superiore del supporto rispetto all'asse della macchina con un angolo α della pendenza del cono (vedere Fig. 204). Con questo metodo di funzionamento l'avanzamento può essere effettuato solo manualmente, ruotando la maniglia della vite di comando della parte superiore del supporto, e solo i torni più moderni dispongono di un avanzamento meccanico della parte superiore del supporto.

Per impostare la parte superiore della pinza 1 all'angolazione richiesta, è possibile utilizzare le divisioni contrassegnate sulla flangia 2 della parte rotante della pinza (Fig. 204). Se l'angolo di inclinazione α del cono è specificato secondo il disegno, la parte superiore del calibro viene ruotata insieme alla sua parte rotante del numero richiesto di divisioni che indicano i gradi. Il numero di divisioni viene conteggiato rispetto al segno segnato sul fondo del calibro.

Se l'angolo α non è indicato nel disegno, ma sono indicati i diametri maggiore e minore del cono e la lunghezza della sua parte conica, il valore dell'angolo di rotazione della pinza è determinato dalla formula (11)

Esempio 7. I diametri del cono indicati sono D = 80 mm, d = 66 mm, lunghezza del cono l = 112 mm. Abbiamo: Utilizzando la tavola delle tangenti troviamo approssimativamente: a = 3°35". Pertanto la parte superiore del calibro dovrà essere ruotata di 3°35".

Il metodo di tornitura delle superfici coniche ruotando la parte superiore della pinza presenta i seguenti svantaggi: solitamente consente l'utilizzo del solo avanzamento manuale, che influisce sulla produttività del lavoro e sulla pulizia della superficie lavorata; consente di rettificare superfici coniche relativamente corte limitate dalla lunghezza della corsa della parte superiore della pinza.

4. Lavorazione di superfici coniche utilizzando il metodo di spostamento trasversale del corpo della contropunta

Per ottenere una superficie conica su un tornio, quando si ruota il pezzo, è necessario spostare la punta della fresa non parallelamente, ma ad un certo angolo rispetto all'asse dei centri. Questo angolo deve essere uguale all'angolo di inclinazione α del cono. Il modo più semplice per ottenere l'angolo tra l'asse centrale e la direzione di avanzamento è spostare la linea centrale spostando il centro posteriore nella direzione trasversale. Spostando il centro posteriore verso la fresa (verso se stessa) a seguito della rettifica, si ottiene un cono la cui base maggiore è diretta verso la paletta; quando il centro posteriore viene spostato nella direzione opposta, cioè lontano dalla fresa (lontano da voi), la base più grande del cono si troverà sul lato della contropunta (Fig. 205).

Lo spostamento del corpo della contropunta è determinato dalla formula

dove S è lo spostamento del corpo della contropunta dall'asse del mandrino della contropunta in mm;
D è il diametro della base grande del cono in mm;
d è il diametro della base piccola del cono in mm;
L è la lunghezza del pezzo intero o l'interasse in mm;
l è la lunghezza della parte conica del pezzo in mm.

Esempio 8. Determinare l'offset del centro della contropunta per la tornitura di un tronco di cono se D = 100 mm, d = 80 mm, L = 300 mm e l = 200 mm. Utilizzando la formula (12) troviamo:

L'alloggiamento della contropunta viene spostato utilizzando le divisioni 1 (Fig. 206) contrassegnate sull'estremità della piastra di base e il segno 2 sull'estremità dell'alloggiamento della contropunta.

Se non ci sono divisioni all'estremità della piastra, spostare il corpo della contropunta utilizzando un righello di misurazione, come mostrato in Fig. 207.

Il vantaggio di lavorare superfici coniche spostando il corpo della contropunta è che questo metodo può essere utilizzato per tornire coni lunghi e rettificare con avanzamento meccanico.

Svantaggi di questo metodo: incapacità di realizzare fori conici; perdita di tempo per risistemare la contropunta; la capacità di elaborare solo coni poco profondi; disallineamento delle punte nei fori centrali, che porta ad un'usura rapida e irregolare delle punte e dei fori centrali e provoca difetti durante l'installazione secondaria della parte negli stessi fori centrali.

L'usura irregolare dei fori centrali può essere evitata se si utilizza un centro della sfera speciale invece del solito (Fig. 208). Tali centri vengono utilizzati principalmente nella lavorazione di coni di precisione.

5. Lavorazione di superfici coniche utilizzando una riga conica

Per la lavorazione di superfici coniche con un angolo di inclinazione fino a 10-12°, i torni moderni dispongono solitamente di un dispositivo speciale chiamato righello conico. Lo schema per l'elaborazione di un cono utilizzando un righello a cono è mostrato in Fig. 209.

Al basamento della macchina è fissata una piastra 11 sulla quale è montata una riga conica 9. La riga può essere ruotata attorno al perno 8 con l'angolo a richiesto rispetto all'asse del pezzo. Per fissare la riga nella posizione richiesta, vengono utilizzati due bulloni 4 e 10. Un cursore 7 scorre liberamente lungo la riga, collegandosi alla parte trasversale inferiore 12 della pinza mediante un'asta 5 e un morsetto 6. In modo che questa parte di la pinza può scorrere liberamente lungo le guide, si scollega dal carrello 3 svitando la vite a croce o scollegando il suo dado dalla pinza.

Se si dà al carrello un avanzamento longitudinale, il cursore 7, catturato dall'asta 5, inizierà a muoversi lungo il righello 9. Poiché il cursore è fissato alla slitta trasversale della pinza, insieme alla taglierina lo faranno muoversi parallelamente alla riga 9. Grazie a ciò, la fresa lavorerà una superficie conica con un angolo di inclinazione, pari all'angolo α di rotazione della riga conica.

Dopo ogni passata, la fresa viene impostata sulla profondità di taglio utilizzando la maniglia 1 della parte superiore 2 della pinza. Questa parte della pinza deve essere ruotata di 90° rispetto alla sua posizione normale, cioè come mostrato in Fig. 209.

Se vengono forniti i diametri delle basi del cono D e d e la sua lunghezza l, l'angolo di rotazione del righello può essere trovato utilizzando la formula (11).

Avendo calcolato il valore di tan α, è facile determinare il valore dell'angolo α utilizzando la tabella delle tangenti.
L'uso di un righello a cono presenta numerosi vantaggi:
1) impostare il righello è comodo e veloce;
2) quando si passa alla lavorazione dei coni, non è necessario interrompere la normale configurazione della macchina, ovvero non è necessario spostare il corpo della contropunta; i centri della macchina rimangono nella posizione normale, cioè sullo stesso asse, per cui i fori centrali nel pezzo e i centri della macchina non funzionano;
3) utilizzando una riga conica è possibile non solo molare le superfici coniche esterne, ma anche praticare fori conici;
4) è possibile lavorare con una macchina semovente longitudinale, che aumenta la produttività del lavoro e migliora la qualità della lavorazione.

Lo svantaggio di un righello conico è la necessità di scollegare la guida del calibro dalla vite di alimentazione trasversale. Questo inconveniente viene eliminato nella progettazione di alcuni torni, nei quali la vite non è rigidamente collegata al relativo volantino e alle ruote dentate della macchina semovente trasversale.

6. Lavorazione di superfici coniche con una fresa larga

La lavorazione delle superfici coniche (esterne ed interne) con una lunghezza del cono corta può essere eseguita con una fresa larga con un angolo piano corrispondente all'angolo di inclinazione α del cono (Fig. 210). L'avanzamento della fresa può essere longitudinale o trasversale.

Tuttavia, l'utilizzo di una fresa larga sulle macchine convenzionali è possibile solo con una lunghezza del cono non superiore a circa 20 mm. Le frese più larghe possono essere utilizzate solo su macchine e pezzi particolarmente rigidi se ciò non provoca vibrazioni della fresa e del pezzo in lavorazione.

7. Alesatura e alesatura di fori conici

La lavorazione di fori conici è uno dei lavori di tornitura più difficili; è molto più difficile che lavorare i coni esterni.

La lavorazione dei fori conici sui torni viene eseguita nella maggior parte dei casi mediante alesatura con fresa con tornitura della parte superiore del supporto e, meno spesso, utilizzando una riga conica. Tutti i calcoli associati alla rotazione della parte superiore del calibro o del righello conico vengono eseguiti allo stesso modo di quando si ruotano le superfici coniche esterne.

Se il foro deve essere in materiale pieno, viene prima praticato un foro cilindrico, che viene poi conificato con una fresa o lavorato con svasatori conici e alesatori.

Per accelerare la perforazione o l'alesatura, è necessario prima praticare un foro con un trapano, diametro d, che è 1-2 mm inferiore al diametro della piccola base del cono (Fig. 211, a). Successivamente si pratica il foro con una (Fig. 211, b) o due (Fig. 211, c) punte per ottenere dei gradini.

Dopo aver terminato l'alesatura del cono, questo viene alesato utilizzando un alesatore conico di apposita conicità. Per i coni con una piccola conicità, è più vantaggioso lavorare i fori conici immediatamente dopo la perforazione con una serie di alesatori speciali, come mostrato in Fig. 212.

8. Modalità di taglio durante la lavorazione di fori con alesatori conici

Gli alesatori conici lavorano in condizioni più difficili rispetto agli alesatori cilindrici: mentre gli alesatori cilindrici rimuovono un leggero margine con taglienti piccoli, gli alesatori conici tagliano l'intera lunghezza dei loro taglienti situati sulla generatrice del cono. Pertanto, quando si lavora con alesatori conici, gli avanzamenti e le velocità di taglio vengono utilizzati meno rispetto a quando si lavora con alesatori cilindrici.

Nella lavorazione di fori con alesatori conici, l'avanzamento avviene manualmente ruotando il volantino della contropunta. È necessario garantire che il cannotto della contropunta si muova in modo uniforme.

L'avanzamento nell'alesatura dell'acciaio è 0,1-0,2 mm/giro, nell'alesatura della ghisa 0,2-0,4 mm/giro.

La velocità di taglio durante l'alesatura di fori conici con alesatori in acciaio rapido è di 6-10 m/min.

Il raffreddamento deve essere utilizzato per facilitare il funzionamento degli alesatori conici e per ottenere una superficie pulita e liscia. Quando si lavora acciaio e ghisa, viene utilizzata un'emulsione o sulfofresolo.

9. Misurazione di superfici coniche

Le superfici dei coni vengono controllate con dime e calibri; la misurazione e il controllo simultaneo degli angoli del cono vengono effettuati utilizzando goniometri. Nella fig. 213 mostra un metodo per controllare un cono utilizzando un modello.

Gli angoli esterni ed interni di varie parti possono essere misurati con un goniometro universale (Fig. 214). È costituito da una base 1, sulla quale è segnata su un arco 130 la scala principale. Alla base 1 è fissata rigidamente una riga 5. Il settore 4 si muove lungo l'arco della base, portando un nonio 3. Al settore 4 può essere fissata una squadra 2 mediante un supporto 7, nel quale, a sua volta, è fissata una il righello rimovibile 5 è fisso. La squadra 2 e il righello rimovibile 5 possono spostarsi lungo il bordo del settore 4.

Attraverso varie combinazioni nell'installazione delle parti di misura del goniometro, è possibile misurare angoli da 0 a 320°. Il valore di lettura sul nonio è 2". La lettura ottenuta quando si misurano gli angoli viene effettuata utilizzando la scala e il nonio (Fig. 215) come segue: la corsa dello zero del nonio mostra il numero di gradi, e la corsa del nonio, coincidente con il tratto della scala base, indica il numero dei minuti. Nella Fig. 215 l'11° tratto del nonio coincide con il tratto della scala base, che significa 2 "X 11 = 22". è 76°22".

Nella fig. 216 mostra combinazioni di parti di misurazione di un goniometro universale, che consente la misurazione di vari angoli da 0 a 320°.

Per test più accurati dei coni nella produzione di massa, vengono utilizzati calibri speciali. Nella fig. 217, e mostra un calibro per boccole coniche per il controllo dei coni esterni, e in Fig. 217, tampone b-conico per il controllo dei fori conici.

Sui calibri vengono realizzate delle battute 1 e 2 alle estremità oppure vengono applicati i segni 3, che servono a determinare la precisione delle superfici da controllare.

Sul. riso. 218 fornisce un esempio di controllo di un foro conico con un tampone.

Per controllare il foro, si inserisce con una leggera pressione nel foro un calibro (vedi Fig. 218), che presenta una sporgenza 1 ad una certa distanza dall'estremità 2 e due segni 3, e si controlla se il calibro oscilla il buco. L'assenza di oscillazioni indica che l'angolo del cono è corretto. Una volta che sei sicuro che l'angolo del cono sia corretto, procedi a verificarne le dimensioni. Per fare ciò, osservare fino a che punto il calibro entrerà nella parte da testare. Se l'estremità del cono del pezzo coincide con l'estremità sinistra della sporgenza 1 o con uno dei segni 3 o si trova tra i segni, allora le dimensioni del cono sono corrette. Ma può succedere che il calibro entri nel pezzo così profondamente che entrambi i segni 3 entrano nel foro o entrambe le estremità della sporgenza 1 ne escono. Ciò indica che il diametro del foro è maggiore di quanto specificato. Se invece entrambi i rischi sono all'esterno del foro oppure nessuna delle estremità della battuta esce da esso, allora il diametro del foro è inferiore a quello richiesto.

Per controllare accuratamente la rastremazione, utilizzare il seguente metodo. Sulla superficie del pezzo o del calibro da misurare, tracciare due o tre linee con un gesso o una matita lungo la generatrice del cono, quindi inserire o appoggiare il calibro sul pezzo e girarlo per una parte del giro. Se le linee vengono cancellate in modo non uniforme, significa che il cono del pezzo non è stato lavorato accuratamente e deve essere corretto. La cancellazione delle linee alle estremità del calibro indica una rastremazione errata; la cancellazione delle linee nella parte centrale del calibro mostra che la conicità presenta una leggera concavità, solitamente causata dalla posizione imprecisa della punta della fresa lungo l'altezza dei centri. Invece delle linee di gesso, puoi applicare un sottile strato di vernice speciale (blu) sull'intera superficie conica della parte o del calibro. Questo metodo offre una maggiore precisione di misurazione.

10. Difetti nella lavorazione delle superfici coniche e misure per prevenirli

Nella lavorazione di superfici coniche, oltre ai tipi di difetti menzionati per le superfici cilindriche, sono possibili anche i seguenti tipi di difetti:
1) conicità errata;
2) deviazioni nelle dimensioni del cono;
3) deviazioni dei diametri delle basi con conicità corretta;
4) non rettilineità della generatrice della superficie conica.

1. Una conicità errata è dovuta principalmente al disallineamento impreciso dell'alloggiamento della contropunta, alla rotazione imprecisa della parte superiore della pinza, all'installazione errata del righello conico, all'affilatura o all'installazione errata della taglierina larga. Pertanto, posizionando accuratamente l'alloggiamento della contropunta, la parte superiore del calibro o il righello conico prima di iniziare la lavorazione, è possibile prevenire eventuali difetti. Questo tipo di difetto può essere corretto solo se l'errore su tutta la lunghezza del cono è diretto nel corpo del pezzo, cioè tutti i diametri del manicotto sono più piccoli e quelli dell'asta conica sono più grandi del necessario.

2. La dimensione errata del cono con l'angolo corretto, cioè la dimensione errata dei diametri su tutta la lunghezza del cono, si verifica se non viene rimosso abbastanza o troppo materiale. I difetti possono essere prevenuti solo impostando attentamente la profondità di taglio lungo il quadrante nelle passate di finitura. Correggeremo il difetto se non è stato girato abbastanza materiale.

3. Potrebbe risultare che con la conicità corretta e le dimensioni esatte di un'estremità del cono, il diametro della seconda estremità non sia corretto. L'unico motivo è il mancato rispetto della lunghezza richiesta dell'intera sezione conica del pezzo. Correggeremo il difetto se la parte è troppo lunga. Per evitare questo tipo di difetto è necessario controllarne attentamente la lunghezza prima di lavorare il cono.

4. La non rettilineità della generatrice del cono in lavorazione si ottiene quando la fresa è installata sopra (Fig. 219, b) o sotto (Fig. 219, c) il centro (in queste figure, per maggiore chiarezza, le distorsioni della generatrice del cono sono mostrati in forma molto esagerata). Pertanto, questo tipo di difetto è il risultato del lavoro distratto del tornitore.

Domande di controllo 1. In quali modi si possono lavorare le superfici coniche sui torni?
2. In quali casi è consigliabile ruotare la parte superiore della pinza?
3. Come viene calcolato l'angolo di rotazione della parte superiore del supporto per girare un cono?
4. Come si controlla che la parte superiore della pinza sia ruotata correttamente?
5. Come controllare lo spostamento dell'alloggiamento della contropunta? Come calcolare l'entità dello spostamento?
6. Quali sono gli elementi principali di un righello a cono? Come impostare un righello affusolato per questa parte?
7. Impostare i seguenti angoli sul goniometro universale: 50°25"; 45°50"; 75°35".
8. Quali strumenti vengono utilizzati per misurare le superfici coniche?
9. Perché ci sono sporgenze o rischi sugli indicatori conici e come utilizzarli?
10. Elencare i tipi di difetti durante la lavorazione di superfici coniche. Come evitarli?