Calcolatrice online Conversione delle frazioni decimali in frazioni ordinarie. Decimali

Conversione di una frazione in un decimale

Diciamo che vogliamo convertire la frazione 11/4 in un decimale. Il modo più semplice per farlo è questo:

Ci siamo riusciti perché in questo caso la scomposizione del denominatore in fattori primi consiste solo di due. Abbiamo integrato questa espansione con altri due cinque, abbiamo approfittato del fatto che 10 = 2∙5 e abbiamo ottenuto una frazione decimale. Tale procedimento è ovviamente possibile se e solo se la scomposizione del denominatore in fattori primi non contiene altro che due e cinque. Se nell'espansione del denominatore è presente qualsiasi altro numero primo, tale frazione non può essere convertita in un decimale. Tuttavia, proveremo a farlo, ma solo in un modo diverso, che faremo conoscere usando l'esempio della stessa frazione 11/4. Dividiamo 11 per 4 utilizzando l'“angolo”:

Nella riga di risposta abbiamo ricevuto l'intera parte (2), e abbiamo anche il resto (3). In precedenza, abbiamo terminato la divisione qui, ma ora sappiamo che possiamo aggiungere una virgola e diversi zeri a destra del dividendo (11), cosa che ora faremo mentalmente. Dopo la virgola seguono i decimi. Lo zero che appare nel dividendo in questa cifra verrà aggiunto al resto risultante (3):

Ora la divisione può continuare come se nulla fosse accaduto. Devi solo ricordarti di mettere una virgola dopo l'intera parte nella riga di risposta:

Ora aggiungiamo uno zero al resto (2), che si trova ai centesimi del dividendo, e completiamo la divisione:

Di conseguenza, otteniamo, come prima,

Proviamo ora a calcolare esattamente nello stesso modo a cosa equivale la frazione 27/11:

Abbiamo ricevuto il numero 2.45 nella riga di risposta e il numero 5 nella riga rimanente. Ma abbiamo già incontrato un simile residuo in precedenza. Pertanto, possiamo subito dire che se continuiamo la nostra divisione con un “angolo”, il numero successivo nella riga di risposta sarà 4, poi arriverà il numero 5, poi ancora 4 e ancora 5, e così via all'infinito :

27 / 11 = 2,454545454545...

Abbiamo ottenuto il cosiddetto periodico una frazione decimale con un punto di 45. Per tali frazioni viene utilizzata una notazione più compatta, in cui il punto viene scritto solo una volta, ma è racchiuso tra parentesi:

2,454545454545... = 2,(45).

In generale, se dividiamo un numero naturale per un altro con un “angolo”, scrivendo il risultato sotto forma di frazione decimale, allora sono possibili solo due risultati: (1) prima o poi otterremo zero nella riga del resto , (2) oppure ci sarà un resto simile a quello che abbiamo già incontrato in precedenza (l'insieme dei possibili resti è limitato, poiché sono tutti ovviamente inferiori al divisore). Nel primo caso, il risultato della divisione è una frazione decimale finita, nel secondo caso - periodica.

Convertire il decimale periodico in frazione

Diamo una frazione decimale periodica positiva con una parte intera pari a zero, ad esempio:

UN = 0,2(45).

Come posso riconvertire questa frazione in una frazione comune?

Moltiplichiamolo per 10 K, Dove Kè il numero di cifre tra il punto decimale e la parentesi aperta che indica l'inizio del punto. In questo caso K= 1 e 10 K = 10:

UN∙ 10 K = 2,(45).

Moltiplicare il risultato per 10 N, Dove N- la “lunghezza” del punto, cioè il numero di cifre racchiuse tra parentesi. In questo caso N= 2 e 10 N = 100:

UN∙ 10 K ∙ 10 N = 245,(45).

Ora calcoliamo la differenza

UN∙ 10 K ∙ 10 N − UN∙ 10 K = 245,(45) − 2,(45).

Poiché le parti frazionarie del minuendo e del sottraendo sono uguali, allora la parte frazionaria della differenza è uguale a zero e arriviamo a una semplice equazione per UN:

UN∙ 10 K ∙ (10 N − 1) = 245 − 2.

Questa equazione viene risolta utilizzando le seguenti trasformazioni:

UN∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

UN∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

Volutamente non completiamo ancora i calcoli, affinché sia ​​ben visibile come questo risultato possa essere subito trascritto, omettendo argomenti intermedi. Il minuendo al numeratore (245) è la parte frazionaria del numero

UN = 0,2(45)

se cancelli le parentesi nella sua voce. Il sottraendo al numeratore (2) è la parte non periodica del numero UN, situato tra la virgola e la parentesi aperta. Il primo fattore nel denominatore (10) è un'unità, alla quale sono assegnati tanti zeri quante sono le cifre nella parte non periodica ( K). Il secondo fattore nel denominatore (99) è pari a tanti nove quante sono le cifre del periodo ( N).

Ora possiamo completare i nostri calcoli:

Qui il numeratore contiene il punto e il denominatore contiene tanti nove quante sono le cifre del periodo. Dopo la riduzione di 9, la frazione risultante è uguale a

Nello stesso modo,

Molto spesso nel curriculum scolastico di matematica i bambini si trovano ad affrontare il problema di come convertire una frazione regolare in un numero decimale. Per convertire una frazione comune in un decimale, ricordiamo prima cosa sono una frazione comune e un decimale. Una frazione ordinaria è una frazione della forma m/n, dove m è il numeratore e n è il denominatore. Esempio: 8/13; 6/7, ecc. Le frazioni si dividono in numeri regolari, impropri e misti. Una frazione propria è quando il numeratore è minore del denominatore: m/n, dove m 3. Una frazione impropria può sempre essere rappresentata come un numero misto, ovvero: 4/3 = 1 e 1/3;

Convertire una frazione in un numero decimale

Ora vediamo come convertire una frazione mista in un decimale. Qualsiasi frazione ordinaria, propria o impropria, può essere convertita in un numero decimale. Per fare ciò, devi dividere il numeratore per il denominatore. Esempio: frazione semplice (propria) 1/2. Dividi il numeratore 1 per il denominatore 2 per ottenere 0,5. Prendiamo l'esempio di 45/12; è subito chiaro che si tratta di una frazione irregolare. Qui il denominatore è inferiore al numeratore. Convertire una frazione impropria in un decimale: 45: 12 = 3,75.

Conversione di numeri misti in decimali

Esempio: 25/8. Per prima cosa trasformiamo il numero misto in una frazione impropria: 25/8 = 3x8+1/8 = 3 e 1/8; dividi quindi il numeratore pari a 1 per il denominatore pari a 8, utilizzando una colonna o una calcolatrice e ottieni una frazione decimale pari a 0,125. L'articolo fornisce gli esempi più semplici di conversione in frazioni decimali. Avendo compreso la tecnica di traduzione utilizzando semplici esempi, potrai risolvere facilmente quelli più complessi.

Già nella scuola elementare gli studenti sono esposti alle frazioni. E poi compaiono in ogni argomento. Non puoi dimenticare le azioni con questi numeri. Pertanto, è necessario conoscere tutte le informazioni sulle frazioni ordinarie e decimali. Questi concetti non sono complicati, l'importante è capire tutto in ordine.

Perché sono necessarie le frazioni?

Il mondo che ci circonda è costituito da interi oggetti. Pertanto non sono necessarie azioni. Ma la vita di tutti i giorni spinge costantemente le persone a lavorare con parti di oggetti e cose.

Ad esempio, il cioccolato è composto da più pezzi. Considera una situazione in cui la sua tessera è formata da dodici rettangoli. Se lo dividi in due, ottieni 6 parti. Si può facilmente dividere in tre. Ma non sarà possibile regalare a cinque persone un numero intero di fette di cioccolato.

A proposito, queste fette sono già frazioni. E la loro ulteriore divisione porta alla comparsa di numeri più complessi.

Cos'è una "frazione"?

Questo è un numero composto da parti di un'unità. Esternamente, sembra due numeri separati da una linea orizzontale o da una barra. Questa funzionalità è chiamata frazionaria. Il numero scritto in alto (a sinistra) è chiamato numeratore. Ciò che è in basso (a destra) è il denominatore.

In sostanza, la barra risulta essere un segno di divisione. Cioè, il numeratore può essere chiamato dividendo e il denominatore può essere chiamato divisore.

Quali frazioni esistono?

In matematica ne esistono solo due tipi: frazioni ordinarie e decimali. Gli scolari conoscono i primi alle elementari, chiamandoli semplicemente “frazioni”. Quest'ultimo verrà appreso in 5a elementare. È allora che compaiono questi nomi.

Le frazioni comuni sono tutte quelle scritte come due numeri separati da una linea. Ad esempio, 4/7. Un decimale è un numero in cui la parte frazionaria ha una notazione posizionale ed è separata dall'intero numero da una virgola. Ad esempio, 4.7. Gli studenti devono comprendere chiaramente che i due esempi forniti sono numeri completamente diversi.

Ogni frazione semplice può essere scritta come decimale. Questa affermazione è quasi sempre vera al contrario. Esistono regole che ti consentono di scrivere una frazione decimale come frazione comune.

Quali sottotipi hanno questi tipi di frazioni?

È meglio iniziare in ordine cronologico, man mano che vengono studiati. Le frazioni comuni vengono prima. Tra questi si possono distinguere 5 sottospecie.

Corretto. Il suo numeratore è sempre minore del suo denominatore.

Sbagliato. Il suo numeratore è maggiore o uguale al suo denominatore.

Riducibile/irriducibile. Potrebbe rivelarsi giusto o sbagliato. Un'altra cosa importante è se il numeratore e il denominatore hanno fattori comuni. Se ce ne sono, allora è necessario dividere entrambe le parti della frazione per esse, cioè ridurla.

Misto. Un numero intero viene assegnato alla sua consueta parte frazionaria regolare (irregolare). Inoltre, è sempre a sinistra.

Composito. È formato da due frazioni divise tra loro. Cioè, contiene tre linee frazionarie contemporaneamente.

Le frazioni decimali hanno solo due sottotipi:

finito, cioè quello la cui parte frazionaria è limitata (ha una fine);

infinito - un numero le cui cifre dopo il punto decimale non finiscono (possono essere scritte all'infinito).

Come convertire una frazione decimale in una frazione comune?

Se questo è un numero finito, viene applicata un'associazione in base alla regola: come sento, quindi scrivo. Cioè, devi leggerlo correttamente e scriverlo, ma senza virgola, ma con una barra frazionaria.

Come suggerimento sul denominatore richiesto, è necessario ricordare che si tratta sempre di uno e diversi zeri. Di questi ultimi è necessario scrivere tanti quante sono le cifre della parte frazionaria del numero in questione.

Come convertire le frazioni decimali in frazioni ordinarie se manca la loro parte intera, cioè uguale a zero? Ad esempio, 0,9 o 0,05. Dopo aver applicato la regola specificata, risulta che è necessario scrivere zero numeri interi. Ma non è indicato. Non resta che scrivere le parti frazionarie. Il primo numero avrà un denominatore di 10, il secondo avrà un denominatore di 100. Cioè, gli esempi forniti avranno come risposte i seguenti numeri: 9/10, 5/100. Inoltre, risulta che quest'ultimo può essere ridotto di 5. Pertanto, il risultato deve essere scritto come 1/20.

Come si può convertire una frazione decimale in una frazione ordinaria se la sua parte intera è diversa da zero? Ad esempio, 5.23 o 13.00108. In entrambi gli esempi viene letta l'intera parte e viene scritto il suo valore. Nel primo caso è 5, nel secondo è 13. Poi bisogna passare alla parte frazionaria. La stessa operazione dovrebbe essere eseguita con loro. Il primo numero appare 23/100, il secondo - 108/100000. Il secondo valore deve essere nuovamente ridotto. La risposta dà le seguenti frazioni miste: 5 23/100 e 13 27/25000.

Come convertire una frazione decimale infinita in una frazione ordinaria?

Se non è periodico, tale operazione non sarà possibile. Questo fatto è dovuto al fatto che ogni frazione decimale viene sempre convertita in una frazione finita o periodica.

L'unica cosa che puoi fare con una frazione del genere è arrotondarla. Ma allora la virgola sarà approssimativamente uguale a quella infinita. Può già essere trasformato in uno normale. Ma il processo inverso: la conversione in decimale non darà mai il valore iniziale. Cioè, infinite frazioni non periodiche non vengono convertite in frazioni ordinarie. Questo deve essere ricordato.

Come scrivere una frazione periodica infinita come frazione ordinaria?

In questi numeri ci sono sempre una o più cifre dopo la virgola che si ripetono. Si chiamano periodo. Ad esempio, 0,3(3). Qui "3" è nel punto. Sono classificati come razionali perché possono essere convertiti in frazioni ordinarie.

Coloro che hanno incontrato le frazioni periodiche sanno che possono essere pure o miste. Nel primo caso il punto inizia immediatamente dalla virgola. Nella seconda, la parte frazionaria inizia con alcuni numeri, quindi inizia la ripetizione.

La regola secondo cui è necessario scrivere un decimale infinito come frazione comune sarà diversa per i due tipi di numeri indicati. È abbastanza semplice scrivere le frazioni periodiche pure come frazioni ordinarie. Come quelli finiti, devono essere convertiti: scrivi il punto al numeratore, e il denominatore sarà il numero 9, ripetuto tante volte quante sono le cifre contenute nel punto.

Ad esempio, 0, (5). Il numero non ha una parte intera, quindi è necessario iniziare immediatamente con la parte frazionaria. Scrivi 5 al numeratore e 9 al denominatore, ovvero il risultato sarà la frazione 5/9.

La regola su come scrivere una frazione periodica decimale ordinaria mista.

Guarda la durata del periodo. Questo è il numero di 9 che avrà il denominatore.

Annota il denominatore: prima i nove, poi gli zeri.

Per determinare il numeratore, è necessario scrivere la differenza tra due numeri. Tutti i numeri dopo la virgola verranno minimizzati, insieme al punto. Franchigia: è senza periodo.

Ad esempio, 0,5(8): scrivi la frazione decimale periodica come frazione comune. La parte frazionaria prima del punto contiene una cifra. Quindi ci sarà uno zero. C'è anche un solo numero nel periodo: 8. Cioè, c'è solo un nove. Cioè, devi scrivere 90 al denominatore.

Per determinare il numeratore, devi sottrarre 5 da 58. Risulta 53. Ad esempio, dovresti scrivere la risposta come 53/90.

Come si convertono le frazioni in decimali?

L'opzione più semplice è un numero il cui denominatore è il numero 10, 100, ecc. Quindi il denominatore viene semplicemente scartato e viene inserita una virgola tra la parte frazionaria e quella intera.

Ci sono situazioni in cui il denominatore si trasforma facilmente in 10, 100, ecc. Ad esempio, i numeri 5, 20, 25. È sufficiente moltiplicarli rispettivamente per 2, 5 e 4. Devi solo moltiplicare non solo il denominatore, ma anche il numeratore per lo stesso numero.

Per tutti gli altri casi è utile una semplice regola: dividere il numeratore per il denominatore. In questo caso potresti ottenere due possibili risposte: una frazione decimale finita o periodica.

Operazioni con le frazioni ordinarie

Addizione e sottrazione

Gli studenti li conoscono prima degli altri. Inoltre, all'inizio le frazioni hanno gli stessi denominatori, poi ne hanno di diversi. Le regole generali possono essere ridotte a questo piano.

Trova il minimo comune multiplo dei denominatori.

Scrivi ulteriori fattori per tutte le frazioni ordinarie.

Moltiplica i numeratori e i denominatori per i fattori specificati per loro.

Somma (sottrai) i numeratori delle frazioni e lascia invariato il denominatore comune.

Se il numeratore del minuendo è minore del sottraendo, allora dobbiamo scoprire se si tratta di un numero misto o di una frazione propria.

Nel primo caso, devi prenderne in prestito uno dall'intera parte. Aggiungi il denominatore al numeratore della frazione. E poi fai la sottrazione.

Nella seconda è necessario applicare la regola di sottrarre un numero maggiore da un numero minore. Cioè, dal modulo del sottraendo, sottrai il modulo del minuendo e in risposta metti il ​​\u200b\u200bsegno "-".

Osserva attentamente il risultato dell'addizione (sottrazione). Se ottieni una frazione impropria, devi selezionare l'intera parte. Cioè, dividi il numeratore per il denominatore.

Moltiplicazione e divisione

Per eseguirli, non è necessario ridurre le frazioni a un denominatore comune. Ciò semplifica l'esecuzione delle azioni. Ma richiedono comunque che tu segua le regole.

Quando moltiplichi le frazioni, devi guardare i numeri ai numeratori e ai denominatori. Se qualsiasi numeratore e denominatore hanno un fattore comune, possono essere ridotti.

Moltiplica i numeratori.

Moltiplicare i denominatori.

Se il risultato è una frazione riducibile, deve essere nuovamente semplificato.

Quando dividi, devi prima sostituire la divisione con la moltiplicazione e il divisore (seconda frazione) con la frazione reciproca (scambia numeratore e denominatore).

Procedere poi come per la moltiplicazione (partendo dal punto 1).

Nei compiti in cui è necessario moltiplicare (dividere) per un numero intero, quest'ultimo dovrebbe essere scritto come frazione impropria. Cioè con denominatore 1. Successivamente agire come descritto sopra.



Operazioni con i decimali

Addizione e sottrazione

Naturalmente puoi sempre convertire un numero decimale in una frazione. E agisci secondo il piano già descritto. Ma a volte è più conveniente agire senza questa traduzione. Quindi le regole per la loro addizione e sottrazione saranno esattamente le stesse.

Uguaglia il numero di cifre nella parte frazionaria del numero, cioè dopo la virgola decimale. Aggiungi il numero mancante di zeri.

Scrivi le frazioni in modo che la virgola sia sotto la virgola.

Aggiungi (sottrai) come i numeri naturali.

Rimuovi la virgola.

Moltiplicazione e divisione

È importante che non sia necessario aggiungere zeri qui. Le frazioni dovrebbero essere lasciate così come sono fornite nell'esempio. E poi vai secondo i piani.

Per moltiplicare è necessario scrivere le frazioni una sotto l'altra, ignorando le virgole.

Moltiplicare come i numeri naturali.

Inserisci una virgola nella risposta, contando dall'estremità destra della risposta tante cifre quante sono le parti frazionarie di entrambi i fattori.

Per dividere devi prima trasformare il divisore: rendilo un numero naturale. Cioè moltiplicalo per 10, 100, ecc., a seconda di quante cifre sono presenti nella parte frazionaria del divisore.

Moltiplicare il dividendo per lo stesso numero.

Dividere una frazione decimale per un numero naturale.

Inserisci una virgola nella tua risposta nel momento in cui termina la divisione dell'intera parte.



Cosa succede se un esempio contiene entrambi i tipi di frazioni?

Sì, in matematica ci sono spesso esempi in cui è necessario eseguire operazioni su frazioni ordinarie e decimali. In tali compiti ci sono due possibili soluzioni. È necessario valutare oggettivamente i numeri e scegliere quello ottimale.

Primo modo: rappresentare i decimali ordinari

È adatto se la divisione o la traslazione danno come risultato frazioni finite. Se almeno un numero fornisce una parte periodica, questa tecnica è vietata. Pertanto, anche se non ti piace lavorare con le frazioni ordinarie, dovrai contarle.

Secondo modo: scrivere le frazioni decimali come al solito

Questa tecnica risulta essere conveniente se la parte dopo la virgola contiene 1-2 cifre. Se ce ne sono di più, potresti ritrovarti con una frazione comune molto grande e la notazione decimale renderà il compito più veloce e più facile da calcolare. Pertanto, è sempre necessario valutare in modo sobrio l'attività e scegliere il metodo di soluzione più semplice.

Un buon numero di persone fa domande su come convertire una frazione in una frazione decimale. Esistono diversi modi. La scelta di un metodo specifico dipende dal tipo di frazione che deve essere convertita in un'altra forma o, più precisamente, dal numero al suo denominatore. Tuttavia, per affidabilità, è necessario indicare che una frazione ordinaria è una frazione scritta con un numeratore e un denominatore, ad esempio 1/2. Più spesso, la linea tra numeratore e denominatore è tracciata orizzontalmente anziché obliquamente. Una frazione decimale si scrive come un numero ordinario con una virgola: ad esempio 1,25; 0,35, ecc.

Quindi, per convertire una frazione in un numero decimale senza una calcolatrice devi:

Presta attenzione al denominatore della frazione comune. Se il denominatore può essere facilmente moltiplicato fino a 10 per lo stesso numero del numeratore, dovresti utilizzare questo metodo come il più semplice. Ad esempio, la frazione comune 1/2 viene facilmente moltiplicata al numeratore e al denominatore per 5, ottenendo il numero 5/10, che può già essere scritto come frazione decimale: 0,5. Questa regola si basa sul fatto che una frazione decimale ha sempre un numero tondo al denominatore: 10, 100, 1000 e simili. Pertanto, se si moltiplica il numeratore e il denominatore di una frazione, è necessario ottenere esattamente lo stesso numero al denominatore come risultato della moltiplicazione, indipendentemente da ciò che si ottiene al numeratore.

Esistono frazioni ordinarie, il cui calcolo dopo la moltiplicazione presenta alcune difficoltà. Ad esempio, è abbastanza difficile determinare quanto moltiplicare la frazione 5/16 per ottenere uno dei numeri sopra indicati al denominatore. In questo caso dovresti usare la solita divisione, che viene fatta in colonne. La risposta dovrebbe essere una frazione decimale, che segnerà la fine dell'operazione di trasferimento. Nell'esempio sopra, il numero risultante è 0,3125. Se i calcoli colonnari sono difficili, non puoi fare a meno dell'aiuto di una calcolatrice.

Infine, ci sono frazioni ordinarie che non possono essere convertite in numeri decimali. Ad esempio, quando si converte la frazione comune 4/3, il risultato è 1.33333, dove il tre viene ripetuto all'infinito. La calcolatrice inoltre non eliminerà i tre ripetuti. Esistono molte di queste frazioni, devi solo conoscerle. Una via d'uscita dalla situazione di cui sopra può essere l'arrotondamento, se le condizioni dell'esempio o del problema da risolvere consentono l'arrotondamento. Se le condizioni non lo consentono, e la risposta deve essere scritta esattamente sotto forma di frazione decimale, significa che l'esempio o il problema è stato risolto in modo errato, e dovresti tornare indietro di diversi passaggi per trovare l'errore.

Pertanto, convertire una frazione in un numero decimale è abbastanza semplice e questo compito non è difficile da affrontare senza l'aiuto di una calcolatrice. È ancora più semplice convertire le frazioni decimali in frazioni ordinarie eseguendo i passaggi inversi descritti nel metodo 1.

Video: 6a elementare. Convertire una frazione in un numero decimale.

Se dobbiamo dividere 497 per 4, durante la divisione vedremo che 497 non è equamente divisibile per 4, ad es. rimane il resto della divisione. In questi casi si dice che è completata divisione con resto, e la soluzione si scrive così:
497: 4 = 124 (1 resto).

I componenti della divisione sul lato sinistro dell'uguaglianza hanno lo stesso nome della divisione senza resto: 497 - dividendo, 4 - divisore. Viene chiamato il risultato della divisione quando viene diviso con un resto privato incompleto. Nel nostro caso si tratta del numero 124. Infine, l'ultimo componente, che non è nella divisione ordinaria, è resto. Nei casi in cui non c'è resto, si dice che un numero è diviso per un altro senza lasciare traccia, o completamente. Si ritiene che con tale divisione il resto sia zero. Nel nostro caso il resto è 1.

Il resto è sempre minore del divisore.

La divisione può essere controllata mediante moltiplicazione. Se, ad esempio, esiste un'uguaglianza 64: 32 = 2, la verifica può essere eseguita in questo modo: 64 = 32 * 2.

Spesso nei casi in cui viene eseguita la divisione con resto, è conveniente utilizzare l'uguaglianza
a = b * n + r,
dove a è il dividendo, b è il divisore, n è il quoziente parziale, r è il resto.

Il quoziente dei numeri naturali può essere scritto come frazione.

Il numeratore di una frazione è il dividendo e il denominatore è il divisore.

Poiché il numeratore di una frazione è il dividendo e il denominatore è il divisore, credere che la linea di una frazione significhi l'azione di divisione. A volte è conveniente scrivere la divisione come frazione senza usare il segno ":".

Il quoziente della divisione dei numeri naturali m e n può essere scritto come una frazione \(\frac(m)(n)\), dove il numeratore m è il dividendo e il denominatore n è il divisore:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Sono vere le seguenti regole:

Per ottenere la frazione \(\frac(m)(n)\), devi dividere l'unità in n parti uguali (azioni) e prendere m di tali parti.

Per ottenere la frazione \(\frac(m)(n)\), devi dividere il numero m per il numero n.

Per trovare una parte del tutto, devi dividere il numero corrispondente al tutto per il denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore della frazione che esprime questa parte.

Per trovare un intero dalla sua parte, devi dividere il numero corrispondente a questa parte per il numeratore e moltiplicare il risultato per il denominatore della frazione che esprime questa parte.

Se sia il numeratore che il denominatore di una frazione vengono moltiplicati per lo stesso numero (eccetto zero), il valore della frazione non cambierà:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Se sia il numeratore che il denominatore di una frazione sono divisi per lo stesso numero (eccetto zero), il valore della frazione non cambierà:
\(\grande \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Questa proprietà si chiama proprietà principale di una frazione.

Vengono chiamate le ultime due trasformazioni riducendo una frazione.

Se le frazioni devono essere rappresentate come frazioni con lo stesso denominatore, viene chiamata questa azione portare le frazioni a un denominatore comune.

Frazioni proprie e improprie. Numeri misti

Sai già che una frazione può essere ottenuta dividendo un intero in parti uguali e prendendo diverse parti simili. Ad esempio, la frazione \(\frac(3)(4)\) significa tre quarti di uno. In molti dei problemi del paragrafo precedente, le frazioni venivano usate per rappresentare parti di un tutto. Il buon senso impone che la parte sia sempre inferiore all'intero, ma che dire delle frazioni come \(\frac(5)(5)\) o \(\frac(8)(5)\)? È chiaro che questo non fa più parte dell'unità. Questo è probabilmente il motivo per cui vengono chiamate frazioni il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore frazioni improprie. Vengono chiamate le restanti frazioni, cioè le frazioni il cui numeratore è inferiore al denominatore frazioni corrette.

Come sai, qualsiasi frazione comune, sia propria che impropria, può essere pensata come il risultato della divisione del numeratore per il denominatore. Pertanto in matematica, a differenza del linguaggio comune, il termine “frazione impropria” non significa che abbiamo fatto qualcosa di sbagliato, ma solo che il numeratore di questa frazione è maggiore o uguale al denominatore.

Se un numero è costituito da una parte intera e da una frazione, allora tale le frazioni si dicono miste.

Per esempio:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 è la parte intera e \(\frac(2)(3) \) è la parte frazionaria.

Se il numeratore della frazione \(\frac(a)(b)\) è divisibile per un numero naturale n, allora per dividere questa frazione per n, il suo numeratore deve essere diviso per questo numero:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Se il numeratore della frazione \(\frac(a)(b)\) non è divisibile per un numero naturale n, per dividere questa frazione per n, devi moltiplicare il suo denominatore per questo numero:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Si noti che la seconda regola è vera anche quando il numeratore è divisibile per n. Pertanto possiamo usarlo quando è difficile determinare a prima vista se il numeratore di una frazione è divisibile per n oppure no.

Azioni con frazioni. Aggiunta di frazioni.

Puoi eseguire operazioni aritmetiche con numeri frazionari, proprio come con i numeri naturali. Consideriamo prima l'addizione delle frazioni. È facile sommare frazioni con denominatori simili. Troviamo, ad esempio, la somma di \(\frac(2)(7)\) e \(\frac(3)(7)\). È facile capire che \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore.

Usando le lettere, la regola per sommare frazioni con denominatori simili può essere scritta come segue:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Se devi sommare frazioni con denominatori diversi, devi prima ridurle a un denominatore comune. Per esempio:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Per le frazioni, come per i numeri naturali, valgono le proprietà commutative e associative dell'addizione.

Aggiunta di frazioni miste

Vengono chiamate notazioni come \(2\frac(2)(3)\). frazioni miste. In questo caso viene chiamato il numero 2 intera parte frazione mista e il numero \(\frac(2)(3)\) è suo parte frazionaria. La voce \(2\frac(2)(3)\) si legge così: “due e due terzi”.

Dividendo il numero 8 per il numero 3, puoi ottenere due risposte: \(\frac(8)(3)\) e \(2\frac(2)(3)\). Esprimono lo stesso numero frazionario, ovvero \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Pertanto, la frazione impropria \(\frac(8)(3)\) è rappresentata come frazione mista \(2\frac(2)(3)\). In questi casi lo dicono da una frazione impropria evidenziata tutta la parte.

Sottrazione di frazioni (numeri frazionari)

La sottrazione dei numeri frazionari, come i numeri naturali, è determinata sulla base dell'azione dell'addizione: sottrarne un altro da un numero significa trovare un numero che, sommato al secondo, dà il primo. Per esempio:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) poiché \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

La regola per sottrarre frazioni con denominatori simili è simile alla regola per aggiungere tali frazioni:
Per trovare la differenza tra frazioni con lo stesso denominatore, devi sottrarre il numeratore della seconda dal numeratore della prima frazione e lasciare lo stesso denominatore.

Usando le lettere, questa regola è scritta in questo modo:
\(\grande \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Moltiplicazione delle frazioni

Per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori e scrivere il primo prodotto come numeratore e il secondo come denominatore.

Usando le lettere, la regola per moltiplicare le frazioni può essere scritta come segue:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Usando la regola formulata, puoi moltiplicare una frazione per un numero naturale, per una frazione mista e anche moltiplicare le frazioni miste. Per fare ciò, devi scrivere un numero naturale come una frazione con un denominatore 1, una frazione mista - come una frazione impropria.

Il risultato della moltiplicazione va semplificato (se possibile) riducendo la frazione e isolando tutta la parte impropria.

Per le frazioni, come per i numeri naturali, valgono le proprietà commutative e combinatorie della moltiplicazione, nonché la proprietà distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione.

Divisione di frazioni

Prendiamo la frazione \(\frac(2)(3)\) e “capovolgiamola”, scambiando numeratore e denominatore. Otteniamo la frazione \(\frac(3)(2)\). Questa frazione si chiama inversione frazioni \(\frac(2)(3)\).

Se ora “invertiamo” la frazione \(\frac(3)(2)\), otterremo la frazione originale \(\frac(2)(3)\). Pertanto, le frazioni come \(\frac(2)(3)\) e \(\frac(3)(2)\) sono chiamate reciprocamente inverso.

Ad esempio, le frazioni \(\frac(6)(5) \) e \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) e \(\frac (18 )(7)\).

Utilizzando le lettere, le frazioni reciproche possono essere scritte come segue: \(\frac(a)(b) \) e \(\frac(b)(a) \)

È chiaro che il prodotto delle frazioni reciproche è uguale a 1. Ad esempio: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Utilizzando le frazioni reciproche, puoi ridurre la divisione delle frazioni alla moltiplicazione.

La regola per dividere una frazione per una frazione è:
Per dividere una frazione per un'altra è necessario moltiplicare il dividendo per il reciproco del divisore.

Usando le lettere, la regola per dividere le frazioni può essere scritta come segue:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Se il dividendo o il divisore è un numero naturale o una frazione mista, per poter utilizzare la regola per dividere le frazioni è necessario prima rappresentarlo come frazione impropria.