>> Periodicità delle funzioni y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodicità delle funzioni y \u003d sin x, y \u003d cos x

Nei paragrafi precedenti abbiamo utilizzato sette proprietà funzioni: dominio, pari o dispari, monotonia, limitatezza, valori massimi e minimi, continuità, gamma di funzioni. Abbiamo usato queste proprietà o per costruire un grafico di funzione (come era, per esempio, nel § 9), o per leggere il grafico costruito (come era, per esempio, nel § 10). Ora è giunto un momento favorevole per introdurre un'altra (ottava) proprietà delle funzioni, che è perfettamente visibile sulla sopra costruita grafici funzioni y \u003d sin x (vedi Fig. 37), y \u003d cos x (vedi Fig. 41).

Definizione. Una funzione si dice periodica se esiste un numero T diverso da zero tale che per ogni x degli insiemi, il doppio uguaglianza:

Il numero T che soddisfa la condizione indicata è chiamato il periodo della funzione y \u003d f (x).
Ne consegue che, poiché per ogni x, le uguaglianze sono vere:

quindi le funzioni y \u003d sin x, y \u003d cos x sono periodiche e il numero 2 P funge da periodo di entrambe le funzioni.
La periodicità di una funzione è l'ottava proprietà promessa delle funzioni.

Ora guarda il grafico della funzione y \u003d sin x (Fig. 37). Per costruire una sinusoide, è sufficiente costruire una delle sue onde (su un segmento e poi spostare questa onda lungo l'asse x di Di conseguenza, usando un'onda, costruiremo l'intero grafico.

Diamo un'occhiata dallo stesso punto di vista al grafico della funzione y \u003d cos x (Fig. 41). Vediamo che anche qui, per tracciare un grafico, è sufficiente tracciare prima un'onda (ad esempio, sul segmento

E poi spostalo lungo l'asse x di
Riassumendo, traiamo la seguente conclusione.

Se la funzione y \u003d f (x) ha un periodo T, quindi per tracciare il grafico della funzione, devi prima tracciare un ramo (onda, parte) del grafico su qualsiasi intervallo di lunghezza T (il più delle volte, prendono un intervallo con estremità in punti e quindi spostare questo ramo lungo l'asse x a destra e sinistra a T, 2T, ZT, ecc.
Una funzione periodica ha infiniti periodi: se T è un periodo, allora 2T è un periodo, 3T è un periodo e -T è un periodo; in generale, un periodo è un numero qualsiasi della forma KT, dove k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Di solito, se possibile, cercano di individuare il periodo positivo più piccolo, si chiama periodo principale.
Quindi, qualsiasi numero della forma 2pc, dove k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, è il periodo delle funzioni y \u003d sinn x, y \u003d cos x; 2p è il periodo principale di entrambe le funzioni.

Esempio. Trova il periodo principale di una funzione:

UN) Sia T il periodo principale della funzione y \u003d sin x. Mettiamo

Affinché il numero T sia il periodo della funzione, deve valere l'identità Ho, dato che stiamo parlando di trovare il periodo principale, otteniamo
B) Sia T il periodo principale della funzione y = cos 0.5x. Sia f(x)=cos 0.5x. Quindi f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

Affinché il numero T sia il periodo della funzione, deve essere soddisfatta l'identità cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x.

Quindi, 0.5t = 2pp. Ma, poiché stiamo parlando di trovare il periodo principale, otteniamo 0.5T = 2 l, T = 4l.

La generalizzazione dei risultati ottenuti nell'esempio è la seguente affermazione: il periodo principale della funzione

A.G. Algebra di Mordkovich Grado 10

Contenuto della lezione riassunto della lezione cornice di supporto lezione presentazione metodi accelerativi tecnologie interattive Pratica compiti ed esercizi laboratori di autoesame, corsi di formazione, casi, ricerche compiti a casa domande di discussione domande retoriche degli studenti Illustrazioni audio, videoclip e multimedia fotografie, immagini grafiche, tabelle, schemi umoristici, aneddoti, barzellette, parabole a fumetti, detti, cruciverba, citazioni Componenti aggiuntivi abstract articoli chip per curiosi cheat sheet libri di testo glossario di termini di base e aggiuntivo altro Migliorare libri di testo e lezionicorreggere errori nel libro di testo aggiornamento di un frammento nel libro di testo elementi di innovazione nella lezione sostituzione di conoscenze obsolete con nuove Solo per insegnanti lezioni perfette piano di calendario per l'anno raccomandazioni metodologiche del programma di discussione Lezioni integrate

Scopo: generalizzare e sistematizzare le conoscenze degli studenti sull'argomento "Periodicità delle funzioni"; formare abilità nell'applicare le proprietà di una funzione periodica, trovare il più piccolo periodo positivo di una funzione, tracciare funzioni periodiche; promuovere l'interesse per lo studio della matematica; coltivare l'osservazione, la precisione.

Equipaggiamento: computer, proiettore multimediale, schede attività, diapositive, orologi, tavoli ornamentali, elementi di artigianato popolare

“La matematica è ciò che le persone usano per controllare la natura e se stessi”
UN. Kolmogorov

Durante le lezioni

I. Fase organizzativa.

Verifica della disponibilità degli studenti per la lezione. Presentazione dell'argomento e degli obiettivi della lezione.

II. Controllo dei compiti.

Controlliamo i compiti in base ai campioni, discutiamo i punti più difficili.

III. Generalizzazione e sistematizzazione della conoscenza.

1. Lavoro frontale orale.

Questioni di teoria.

1) Formare la definizione del periodo della funzione
2) Qual è il più piccolo periodo positivo delle funzioni y=sin(x), y=cos(x)
3). Qual è il più piccolo periodo positivo delle funzioni y=tg(x), y=ctg(x)
4) Usa il cerchio per dimostrare la correttezza delle relazioni:

y=sen(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Come tracciare una funzione periodica?

esercizi orali.

1) Dimostrare le seguenti relazioni

UN) sin(740º) = sin(20º)
B) cos(54º ) = cos(-1026º)
C) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Dimostrare che l'angolo di 540º è uno dei periodi della funzione y= cos(2x)

3. Dimostra che l'angolo di 360º è uno dei periodi della funzione y=tg(x)

4. Trasforma queste espressioni in modo che gli angoli in esse inclusi non superino i 90º in valore assoluto.

UN) tg375º
B) ctg530º
C) sin1268º
D) cos(-7363º)

5. Dove hai incontrato le parole PERIODO, PERIODICITÀ?

Risposte degli studenti: Un periodo in musica è una costruzione in cui si afferma un pensiero musicale più o meno completo. Il periodo geologico fa parte di un'era ed è suddiviso in epoche con un periodo compreso tra 35 e 90 milioni di anni.

Il tempo di dimezzamento di una sostanza radioattiva. Frazione periodica. I periodici sono pubblicazioni stampate che appaiono in date strettamente definite. Sistema periodico di Mendeleev.

6. Le figure mostrano parti dei grafici delle funzioni periodiche. Definire il periodo della funzione. Determina il periodo della funzione.

Risposta: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Dove nella tua vita hai incontrato la costruzione di elementi ripetuti?

Gli studenti rispondono: elementi di ornamenti, arte popolare.

IV. Risoluzione collettiva dei problemi.

(Risoluzione dei problemi sulle diapositive.)

Consideriamo uno dei modi per studiare una funzione per la periodicità.

Questo metodo aggira le difficoltà associate alla dimostrazione che l'uno o l'altro periodo è il più piccolo, e inoltre non è necessario toccare domande sulle operazioni aritmetiche su funzioni periodiche e sulla periodicità di una funzione complessa. Il ragionamento si basa solo sulla definizione di una funzione periodica e sul fatto seguente: se T è il periodo della funzione, allora nT(n? 0) è il suo periodo.

Problema 1. Trova il più piccolo periodo positivo della funzione f(x)=1+3(x+q>5)

Soluzione: Supponiamo che il periodo T di questa funzione. Allora f(x+T)=f(x) per ogni x ∈ D(f), cio`e

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Sia x=-0.25 otteniamo

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Abbiamo ottenuto che tutti i periodi della funzione considerata (se esistono) sono tra interi. Scegli tra questi numeri il numero positivo più piccolo. Questo 1 . Controlliamo se è effettivamente un periodo 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Poiché (T+1)=(T) per ogni T, allora f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), cioè 1 - periodo f. Poiché 1 è il più piccolo di tutti i numeri interi positivi, allora T=1.

Compito 2. Mostra che la funzione f(x)=cos 2 (x) è periodica e trova il suo periodo principale.

Attività 3. Trova il periodo principale della funzione

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Assumi il periodo T della funzione, quindi per qualsiasi X il rapporto

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)

Se x=0 allora

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Se x=-T, allora

sin0+5cos0=sen(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

Sommando otteniamo:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Scegliamo tra tutti i numeri "sospetti" per il periodo il più piccolo positivo e controlliamo se è un periodo per f. Questo numero

f(x+)=sen(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Quindi, è il periodo principale della funzione f.

Attività 4. Verifica se la funzione f(x)=sin(x) è periodica

Sia T il periodo della funzione f. Allora per ogni x

sin|x+T|=sen|x|

Se x=0, allora sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Supponiamo. Che per qualche n il numero π n è un periodo

funzione considerata π n>0. Allora sin|π n+x|=sin|x|

Ciò implica che n deve essere sia pari che dispari allo stesso tempo, il che è impossibile. Pertanto, questa funzione non è periodica.

Attività 5. Verifica se la funzione è periodica

f(x)=

Sia T il periodo f, allora

, quindi sinT=0, T=π n, n € Z. Supponiamo che per qualche n il numero π n sia proprio il periodo della funzione data. Allora anche il numero 2π n sarà un periodo

Poiché i numeratori sono uguali, lo sono anche i loro denominatori, quindi

Quindi la funzione f non è periodica.

Lavoro di gruppo.

Compiti per il gruppo 1.

Compiti per il gruppo 2.

Controlla se la funzione f è periodica e trova il suo periodo principale (se esiste).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Compiti per il gruppo 3.

Alla fine del lavoro, i gruppi presentano le loro soluzioni.

VI. Riassumendo la lezione.

Riflessione.

L'insegnante consegna agli studenti schede con disegni e si offre di dipingere su parte del primo disegno secondo la misura in cui, a loro avviso, hanno padroneggiato i metodi di studio della funzione per la periodicità, e in parte del secondo disegno , in accordo con il loro contributo al lavoro nella lezione.

VII. Compiti a casa

1). Controlla se la funzione f è periodica e trova il suo periodo principale (se esiste)

B). f(x)=x2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). La funzione y=f(x) ha periodo T=2 e f(x)=x 2 +2x per x € [-2; 0]. Trova il valore dell'espressione -2f(-3)-4f(3,5)

Letteratura/

1. Mordkovich A.G. L'algebra e l'inizio dell'analisi con lo studio approfondito.
2. Matematica. Preparazione per l'esame. ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra e analisi iniziale per le classi 10-11.

Trigonometrico funzioni periodico, cioè ripetuto dopo un certo periodo. Di conseguenza, è sufficiente studiare la funzione su questo intervallo ed estendere le proprietà scoperte a tutti gli altri periodi.

Istruzione

1. Se ti viene data un'espressione primitiva in cui c'è solo una funzione trigonometrica (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), e l'angolo all'interno della funzione non è moltiplicato per nessun numero, e non è esso stesso elevato a nessun potere - usa la definizione. Per le espressioni contenenti sin, cos, sec, cosec, imposta in grassetto il periodo su 2P, e se c'è tg, ctg nell'equazione, allora P. Dì, per la funzione y \u003d 2 sinx + 5, il periodo sarà 2P .

2. Se l'angolo x sotto il segno di una funzione trigonometrica viene moltiplicato per un numero, per trovare il periodo di questa funzione, dividi il periodo tipico per questo numero. Diciamo che ti viene assegnata una funzione y = sin 5x. Il periodo tipico per un seno è 2P, dividendolo per 5, ottieni 2P / 5 - questo è il periodo desiderato di questa espressione.

3. Per trovare il periodo di una funzione trigonometrica elevata a una potenza, valutare l'uniformità della potenza. Per un grado uniforme, dimezzare il periodo di campionamento. Diciamo, se ti viene data una funzione y \u003d 3 cos ^ 2x, il periodo tipico 2P diminuirà di 2 volte, quindi il periodo sarà uguale a P. Tieni presente che le funzioni tg, ctg sono periodiche in qualsiasi misura P .

4. Se ti viene data un'equazione contenente il prodotto o il quoziente di 2 funzioni trigonometriche, trova prima il periodo per ciascuna di esse separatamente. Successivamente, trova il numero minimo che si adatterebbe al numero intero di entrambi i periodi. Diciamo che la funzione y=tgx*cos5x è data. Per la tangente il periodo è P, per il coseno 5x il periodo è 2P/5. Il numero minimo consentito per adattarsi a entrambi questi periodi è 2P, quindi il periodo desiderato è 2P.

5. Se trovi difficile fare il modo proposto o dubiti del risultato, prova a fare per definizione. Prendi T come periodo della funzione, è maggiore di zero. Sostituisci l'espressione (x + T) nell'equazione invece di x e risolvi l'uguaglianza risultante come se T fosse un parametro o un numero. Di conseguenza, troverai il valore della funzione trigonometrica e potrai scegliere il periodo più piccolo. Diciamo che, come risultato della facilitazione, ottieni l'identità sin (T / 2) \u003d 0. Il valore minimo di T al quale viene eseguito è 2P, e questo sarà il risultato dell'attività.

Una funzione periodica è una funzione che ripete i suoi valori dopo un periodo diverso da zero. Il periodo di una funzione è un numero la cui aggiunta all'argomento della funzione non cambia il valore della funzione.

Avrai bisogno

• Conoscenze di matematica elementare e gli inizi del rilievo.

Istruzione

1. Indichiamo il periodo della funzione f(x) con il numero K. Il nostro compito è trovare questo valore di K. Per fare ciò, immagina che la funzione f(x), usando la definizione di una funzione periodica, equivalga a f (x+K)=f(x).

2. Risolviamo l'equazione risultante per l'incognita K, come se x fosse una costante. A seconda del valore di K, ci saranno diverse opzioni.

3. Se K>0, allora questo è il periodo della tua funzione.Se K=0, allora la funzione f(x) non è periodica.Se la soluzione dell'equazione f(x+K)=f(x) non esiste per ogni K diverso da zero, allora tale funzione è chiamata aperiodica e non ha nemmeno periodo.

Video collegati

Nota!
Tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche e tutte le funzioni polinomiali con grado maggiore di 2 sono aperiodiche.

Consigli utili
Il periodo di una funzione composta da 2 funzioni periodiche è il minimo comune multiplo dei periodi di queste funzioni.

Le equazioni trigonometriche sono equazioni che contengono funzioni trigonometriche di argomento sconosciuto (ad esempio: 5sinx-3cosx =7). Per imparare a risolverli, devi conoscere alcuni metodi per questo.

Istruzione

1. La soluzione di tali equazioni consiste di fasi 2. La prima è la riforma dell'equazione per acquisire la sua forma più semplice. Le equazioni trigonometriche più semplici sono chiamate le seguenti: Sinx=a; cosx=a ecc.

2. Il secondo è la soluzione dell'equazione trigonometrica più semplice ottenuta. Esistono modi basilari per risolvere equazioni di questo tipo: Risolvere in modo algebrico. Questo metodo è notoriamente famoso dalla scuola, dal corso di algebra. È altrimenti chiamato il metodo di sostituzione di una variabile e sostituzione. Applicando le formule di riduzione, trasformiamo, effettuiamo una sostituzione, dopodiché troviamo le radici.

3. Scomposizione dell'equazione in fattori. Innanzitutto, trasferiamo tutti i termini a sinistra e li decomponiamo in fattori.

4. Portare l'equazione a una omogenea. Le equazioni sono chiamate equazioni omogenee se tutti i termini sono dello stesso grado e il seno, coseno dello stesso angolo Per risolverlo, dovresti: prima trasferire tutti i suoi membri dal lato destro al lato sinistro; sposta tutti i fattori comuni fuori dalle parentesi; equiparare fattori e parentesi a zero; le parentesi equiparate danno un'equazione omogenea di grado minore, che dovrebbe essere divisa per cos (o sin) in misura maggiore; risolvere l'equazione algebrica risultante per l'abbronzatura.

5. Il prossimo modo è andare a metà angolo. Dì, risolvi l'equazione: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Passiamo al mezzo angolo: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 peccato? (x / 2) = 7sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , dopodiché riduciamo tutti i termini a una parte (altrimenti a destra) e risolviamo l'equazione.

6. Ingresso angolare ausiliario. Quando sostituiamo il valore intero cos(a) o sin(a). Il segno "a" è un angolo ausiliario.

7. Un modo per riformattare un prodotto in una somma. Qui è necessario applicare le formule appropriate. Diciamo dato: 2 sin x sin 3x = cos 4x, lo risolviamo trasformando il membro sinistro in una somma, cioè: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p/16 + pk/8.

8. L'ultimo modo, chiamato sostituzione multifunzione. Trasformiamo l'espressione e facciamo una sostituzione, diciamo Cos(x/2)=u, dopodiché risolviamo l'equazione con il parametro u. Quando acquisiamo il totale, traduciamo il valore nel contrario.

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Se consideriamo punti su un cerchio, allora i punti x, x + 2π, x + 4π, ecc. corrispondono tra loro. Quindi il trigonometrico funzioni su una linea retta periodicamente ripetere il loro significato. Se il periodo è famoso funzioni, è consentito costruire una funzione su questo periodo e ripeterla su altri.

Istruzione

1. Il periodo è un numero T tale che f(x) = f(x+T). Per trovare il periodo, risolvi l'equazione corrispondente, sostituendo x e x + T come argomento. In questo caso, vengono utilizzati i periodi noti per le funzioni. Per le funzioni seno e coseno, il periodo è 2π, mentre per la tangente e la cotangente è π.

2. Sia data la funzione f(x) = sin^2(10x). Consideriamo l'espressione sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Usa la formula per ridurre il grado: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Quindi ottieni 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) o cos 20x = cos (20x+20T). Sapendo che il periodo del coseno è 2π, 20T = 2π. Quindi, T = π/10. T è il periodo minimo corretto e la funzione verrà ripetuta dopo 2T e dopo 3T e nell'altra direzione lungo l'asse: -T, -2T, ecc.

Consigli utili
Usa le formule per abbassare il grado di una funzione. Se hai più familiarità con i periodi di alcune funzioni, prova a ridurre la funzione esistente a quelle note.

Trovare una funzione pari e dispari aiuta a costruire un grafico della funzione e comprendere la natura del suo comportamento. Per questa ricerca, è necessario confrontare la funzione data scritta per l'argomento "x" e per l'argomento "-x".

Istruzione

1. Scrivi la funzione che vuoi esplorare come y=y(x).

2. Sostituire l'argomento della funzione con "-x". Sostituire questo argomento in un'espressione funzionale.

3. Semplifica l'espressione.

4. Quindi, hai la stessa funzione scritta per gli argomenti "x" e "-x". Guarda queste due voci. Se y(-x)=y(x), allora questa è una funzione pari. Se y(-x)=-y(x), allora questa è una funzione dispari. Se è impossibile dì sulla funzione che y (-x)=y(x) o y(-x)=-y(x), allora, per la proprietà della parità, questa è una funzione di forma universale. Cioè, non è né pari né dispari.

5. Annota i tuoi risultati. Ora puoi usarli per tracciare un grafico di funzione o in una futura ricerca analitica delle proprietà di una funzione.

6. È anche possibile parlare di funzioni pari e dispari nel caso in cui il grafico della funzione sia più definito. Supponiamo che il grafico sia il risultato di un esperimento fisico. Se il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'asse y, allora y(x) è una funzione pari. Se il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'asse x, allora x(y ) è una funzione pari. x(y) è la funzione inversa di y(x) Se il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine (0,0), allora y(x) è una funzione dispari. Anche la funzione inversa x(y) sarà dispari.

7. È significativo ricordare che il concetto di funzioni pari e dispari ha una relazione diretta con il dominio della funzione. Se, diciamo, una funzione pari o dispari non esiste per x=5, allora non esiste per x=-5, il che è impossibile da dire su una funzione di una forma generale. Quando si stabiliscono pari e dispari, prestare attenzione al dominio della funzione.

8. La ricerca di funzioni pari e dispari è correlata alla ricerca dell'insieme dei valori delle funzioni. Per trovare l'insieme dei valori di una funzione pari, è sufficiente vedere metà della funzione, a destra oa sinistra dello zero. Se per x>0 una funzione pari y(x) assume valori da A a B, allora assumerà gli stessi valori per x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 funzione dispari y(x) accetta un intervallo di valori da A a B, quindi per x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

Le "trigonometriche" una volta iniziarono a essere chiamate funzioni determinate dalla dipendenza degli angoli acuti in un triangolo rettangolo dalle lunghezze dei suoi lati. Queste funzioni includono, prima di tutto, il seno e il coseno, e in secondo luogo, la secante e la cosecante, che sono inverse a queste funzioni, le loro derivate tangente e cotangente, nonché le funzioni inverse arcoseno, arcoseno, ecc. È più positivo parlare non della "soluzione" di tali funzioni, ma del loro "calcolo", cioè della ricerca di un valore numerico.

Istruzione

1. Se l'argomento della funzione trigonometrica è sconosciuto, è consentito calcolarne il valore con un metodo indiretto basato sulle definizioni di queste funzioni. Per fare ciò, devi conoscere le lunghezze dei lati del triangolo, la funzione trigonometrica per uno degli angoli di cui vuoi calcolare. Diciamo, per definizione, il seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la lunghezza della gamba opposta a questo angolo e la lunghezza dell'ipotenusa. Ne consegue che per trovare il seno di un angolo è sufficiente conoscere le lunghezze di questi 2 lati. Una definizione simile dice che il seno di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza della gamba adiacente a questo angolo e la lunghezza dell'ipotenusa. La tangente di un angolo acuto può essere calcolata dividendo la lunghezza della gamba opposta per la lunghezza di quella adiacente, e la cotangente richiede di dividere la lunghezza della gamba adiacente per la lunghezza di quella opposta. Per calcolare la secante di un angolo acuto, è necessario trovare il rapporto tra la lunghezza dell'ipotenusa e la lunghezza della gamba adiacente all'angolo richiesto e la cosecante è determinata dal rapporto tra la lunghezza dell'ipotenusa e la lunghezza della gamba opposta.

2. Se viene eseguito l'argomento della funzione trigonometrica, non è necessario conoscere le lunghezze dei lati del triangolo: è consentito utilizzare tabelle di valori o calcolatori di funzioni trigonometriche. Tale calcolatrice è tra i programmi standard del sistema operativo Windows. Per eseguirlo, puoi premere la combinazione di tasti Win + R, inserire il comando calc e fare clic sul pulsante OK. Nell'interfaccia del programma, apri la sezione "Visualizza" e seleziona la voce "Ingegneria" o "Scienziato". Successivamente, è consentito introdurre l'argomento della funzione trigonometrica. Per calcolare le funzioni seno, coseno e tangente, invece dopo aver inserito il valore, fare clic sul pulsante dell'interfaccia corrispondente (sin, cos, tg) e per trovare i loro reciproci di arcoseno, arcoseno e arcotangente, selezionare la casella di controllo Inv in anticipo.

3. Esistono anche metodi alternativi. Uno di questi è andare sul sito del motore di ricerca Nigma o Google e inserire la funzione desiderata e il suo argomento (diciamo, sin 0.47) come query di ricerca. Questi motori di ricerca dispongono di calcolatori integrati, pertanto, dopo aver inviato tale richiesta, riceverai il valore della funzione trigonometrica che hai inserito.

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Suggerimento 7: Come rilevare il valore delle funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche sono apparse per la prima volta come strumenti per calcoli matematici astratti delle dipendenze delle grandezze degli angoli acuti in un triangolo rettangolo dalle lunghezze dei suoi lati. Ora sono ampiamente utilizzati sia nei campi scientifici che tecnici dell'attività umana. Per i calcoli utilitaristici delle funzioni trigonometriche da determinati argomenti, è consentito utilizzare vari strumenti: alcuni dei più accessibili sono descritti di seguito.

Istruzione

1. Usa, ad esempio, un programma di calcolatrice installato per impostazione predefinita con il sistema operativo. Si apre selezionando la voce "Calcolatrice" nella cartella "Utilità" dalla sottosezione "Tipica" situata nella sezione "Tutti i programmi". Questa sezione può essere trovata aprendo il menu principale del sistema operativo facendo clic sul pulsante "Start". Se stai utilizzando la versione per Windows 7, puoi inserire in modo primitivo la parola "Calcolatrice" nel campo "Rileva programmi e file" del menu principale, quindi fare clic sul collegamento corrispondente nei risultati della ricerca.

2. Immettere il valore dell'angolo per il quale si desidera calcolare la funzione trigonometrica, quindi fare clic sul pulsante corrispondente a questa funzione: sin, cos o tan. Se sei preoccupato per le funzioni trigonometriche inverse (arcoseno, arcocoseno o arcotangente), fai prima clic sul pulsante etichettato Inv - inverte le funzioni assegnate ai pulsanti di controllo della calcolatrice.

3. Nelle versioni precedenti del sistema operativo (ad esempio Windows XP), per accedere alle funzioni trigonometriche, è necessario aprire la sezione "Visualizza" nel menu della calcolatrice e preferire la riga "Ingegneria". Inoltre, al posto del pulsante Inv nell'interfaccia delle vecchie versioni del programma, è presente una casella di spunta con la stessa scritta.

4. Puoi fare a meno di una calcolatrice se hai accesso a Internet. Ci sono molti servizi sul web che offrono calcolatori di funzioni trigonometriche organizzati in modo diverso. Un'opzione particolarmente utile è integrata nel motore di ricerca Nigma. Dopo essere andato alla sua pagina principale, inserisci in modo primitivo il valore che ti interessa nel campo della query di ricerca, ad esempio "arcotangente di 30 gradi". Dopo aver premuto il pulsante "Scopri!" il motore di ricerca calcolerà e mostrerà il risultato del calcolo - 0.482347907101025.

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La trigonometria è una branca della matematica per comprendere le funzioni che esprimono diverse dipendenze dei lati di un triangolo rettangolo dalle grandezze degli angoli acuti all'ipotenusa. Tali funzioni sono chiamate trigonometriche e per facilitare il lavoro con esse sono state derivate funzioni trigonometriche. identità .

Prestazione identità in matematica denota un'uguaglianza che è soddisfatta per qualsiasi valore degli argomenti delle funzioni in esso incluse. Trigonometrico identità- si tratta di uguaglianze di funzioni trigonometriche, confermate e accettate per semplificare il lavoro con formule trigonometriche Una funzione trigonometrica è una funzione elementare della dipendenza di una delle gambe di un triangolo rettangolo dalla grandezza di un angolo acuto all'ipotenusa. Il più delle volte vengono utilizzate sei funzioni trigonometriche di base: sin (seno), cos (coseno), tg (tangente), ctg (cotangente), sec (secante) e cosec (cosecante). Queste funzioni sono chiamate dirette, ci sono anche funzioni inverse, ad esempio seno - arcoseno, coseno - arcoseno, ecc. Inizialmente, le funzioni trigonometriche hanno trovato riflesso nella geometria, dopodiché si sono diffuse in altre aree della scienza: fisica, chimica, geografia, ottica , teoria della probabilità , così come acustica, teoria musicale, fonetica, computer grafica e molti altri. Ora è più difficile immaginare calcoli matematici senza queste funzioni, sebbene in un lontano passato fossero utilizzate solo in astronomia e architettura. identità sono usati per semplificare il lavoro con lunghe formule trigonometriche e portarle a una forma digeribile. Esistono sei identità trigonometriche di base, associate a funzioni trigonometriche dirette: tg ? = peccato?/cos?; peccato^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/peccato^2?; peccato (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d peccato?. Questi identità facile da confermare dalle proprietà del rapporto tra lati e angoli in un triangolo rettangolo: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; TG? = b/a Prima identità tg ? = peccato?/cos? segue dal rapporto dei lati nel triangolo e dall'esclusione del lato c (ipotenusa) quando si divide sin per cos. Allo stesso modo, l'identità ctg è definita? = cos ?/sin ?, perché ctg ? = 1/tg ?. Per il teorema di Pitagora, a^2 + b^2 = c^2. Dividi questa uguaglianza per c^2, otteniamo la seconda identità: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Terzo e quarto identità ottiene dividendo rispettivamente per b^2 e a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? o 1 + ctg^2 ? \u003d 1 / sin ^ 2?.Il quinto e il sesto principale identità si dimostrano determinando la somma degli angoli acuti di un triangolo rettangolo, che è pari a 90° o?/2. Trigonometrico più difficile identità: formule per aggiungere argomenti, angoli doppi e tripli, abbassare il grado, riformare la somma o il prodotto di funzioni, nonché formule di sostituzione trigonometrica, ovvero le espressioni delle principali funzioni trigonometriche in termini di mezzo angolo tg: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

La necessità di trovare il minimo Senso matematico funzioniè di reale interesse per la risoluzione di problemi applicati, diciamo, in economia. Enorme Senso per l'attività imprenditoriale ha la minimizzazione delle perdite.

Istruzione

1. Per trovare il minimo Senso funzioni, è necessario determinare a quale valore dell'argomento x0 sarà soddisfatta la disuguaglianza y(x0)? y(x), dove x ? x0. Come al solito, questo problema viene risolto a un certo intervallo o in ogni intervallo di valori funzioni, se non ne è impostato uno. Un aspetto della soluzione è trovare punti fissi.

2. Il punto stazionario è chiamato Senso l'argomento che la derivata funzioni va a zero. Secondo il teorema di Fermat, se una funzione differenziabile assume un'estremale Senso ad un certo punto (in questo caso, un minimo locale), allora questo punto è stazionario.

3. Minimo Senso la funzione spesso prende esattamente a questo punto, tuttavia, può essere determinata non invariabilmente. Inoltre, non è sempre possibile dire esattamente quale sia il minimo funzioni oppure accetta un infinitamente piccolo Senso. Quindi, come al solito, trovano il limite a cui gravita quando diminuisce.

4. Per determinare il minimo Senso funzioni, è necessario eseguire una sequenza di azioni composta da quattro fasi: trovare il dominio di definizione funzioni, acquisizione dei punti fissi, panoramica dei valori funzioni in questi punti e alle estremità del divario, il rilevamento di un minimo.

5. Risulta che sia data una funzione y(x) su un intervallo con confini nei punti A e B. Trova il suo dominio di definizione e scopri se l'intervallo è il suo sottoinsieme.

6. Calcola derivata funzioni. Uguagliare l'espressione risultante a zero e trovare le radici dell'equazione. Controlla se questi punti stazionari rientrano nell'intervallo. In caso contrario, nella fase successiva non vengono presi in considerazione.

7. Guarda il divario per il tipo di confini: aperto, chiuso, composto o senza dimensioni. Dipende da come trovi il minimo Senso. Diciamo che il segmento [A, B] è uno spazio chiuso. Sostituiscili nella funzione e calcola i valori. Fai lo stesso con il punto fermo. Scegli il totale più piccolo.

8. Con intervalli aperti e sconfinati, la situazione è un po' più difficile. Qui dobbiamo cercare limiti unilaterali, che non sempre danno un risultato univoco. Diciamo, per un intervallo con un limite chiuso e uno perforato [A, B), si dovrebbe trovare una funzione in x = A e un limite unilaterale lim y in x? B-0.

Argomento x, allora si dice periodico se esiste un numero T tale che per ogni x F(x + T) = F(x). Questo numero T è chiamato il periodo della funzione.

Potrebbero esserci diversi periodi. Ad esempio, la funzione F = const assume lo stesso valore per qualsiasi valore dell'argomento, e quindi qualsiasi numero può essere considerato il suo periodo.

Di solito è interessato al più piccolo periodo diverso da zero della funzione. Per brevità, è semplicemente chiamato un periodo.

Un classico esempio di funzioni periodiche è trigonometrico: seno, coseno e tangente. Il loro periodo è lo stesso e pari a 2π, cioè sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) e così via. Tuttavia, ovviamente, le funzioni trigonometriche non sono le uniche periodiche.

Per quanto riguarda le funzioni semplici e di base, l'unico modo per stabilire la loro periodicità o non periodicità è attraverso i calcoli. Ma per funzioni complesse esistono già alcune semplici regole.

Se F(x) è di periodo T e per essa è definita una derivata, allora anche questa derivata f(x) = F′(x) è una funzione periodica di periodo T. Dopotutto, il valore della derivata al il punto x è uguale alla tangente della tangente del grafico della sua antiderivata in questo punto all'asse x, e poiché l'antiderivata si ripete periodicamente, anche la derivata deve essere ripetuta. Ad esempio, la derivata della funzione sin(x) è cos(x) ed è periodica. Prendendo la derivata di cos(x) si ottiene -sin(x). La periodicità rimane invariata.

Tuttavia, non è sempre vero il contrario. Pertanto, la funzione f(x) = const è periodica, ma la sua primitiva F(x) = const*x + C non lo è.

Se F(x) è una funzione periodica con periodo T, allora G(x) = a*F(kx + b), dove a, b e k sono costanti e k non è uguale a zero - anch'essa una funzione periodica, e il suo periodo è pari a T/k. Ad esempio sin(2x) è una funzione periodica e il suo periodo è π. Visivamente, questo può essere rappresentato come segue: moltiplicando x per un certo numero, sembri comprimere il grafico della funzione orizzontalmente esattamente tante volte

Se F1(x) e F2(x) sono funzioni periodiche e i loro periodi sono rispettivamente uguali a T1 e T2, allora anche la somma di queste funzioni può essere periodica. Tuttavia, il suo periodo non sarà una semplice somma dei periodi T1 e T2. Se il risultato della divisione T1/T2 è un numero razionale, allora la somma delle funzioni è periodica e il suo periodo è uguale al minimo comune multiplo (MCM) dei periodi T1 e T2. Ad esempio, se il periodo della prima funzione è 12 e il periodo della seconda è 15, allora il periodo della loro somma sarà MCM (12, 15) = 60.

Visivamente, questo può essere rappresentato come segue: le funzioni hanno diverse "larghezze di passo", ma se il rapporto tra le loro larghezze è razionale, allora prima o poi (o meglio, proprio attraverso l'LCM di passi), torneranno uguali , e la loro somma darà inizio a un nuovo periodo.

Tuttavia, se il rapporto dei periodi è irrazionale, la funzione totale non sarà affatto periodica. Ad esempio, sia F1(x) = x mod 2 (il resto di x diviso 2) e F2(x) = sin(x). T1 qui sarà uguale a 2 e T2 è uguale a 2π. Il rapporto dei periodi è uguale a π - un numero irrazionale. Pertanto, la funzione sin(x) + x mod 2 non è periodica.

soddisfa il sistema di disuguaglianze:

b) Consideriamo l'insieme dei numeri sull'asse dei numeri che soddisfano il sistema di disequazioni:

Trova la somma delle lunghezze dei segmenti che compongono questo insieme.

§ 7. Le formule più semplici

Nel § 3 abbiamo stabilito la seguente formula per gli angoli acuti α:

			sin2α + cos2α = 1.
				La stessa formula			Quando,
				quando α è qualsiasi			de-
				le, sia M un punto della trigonometria
				cerchio calico corrispondente a
				numero α (figura 7.1). Poi		M ha co-
				ordinate x = cos α, y
				Tuttavia, ogni punto (x; y) giace su
				cerchi di raggio unitario con centro
				trom all'origine, soddisfacente
				risolve l'equazione x2 + y2		1, da dove
				cos2 α + sin2 α = 1, come richiesto.

Quindi, la formula cos2 α + sin2 α = 1 segue dall'equazione del cerchio. Può sembrare che in questo modo abbiamo dato una nuova dimostrazione di questa formula per gli angoli acuti (rispetto a quella indicata nel § 3, dove abbiamo usato il teorema di Pitagora). La differenza, tuttavia, è puramente esterna: quando si deriva l'equazione del cerchio x2 + y2 = 1, viene utilizzato lo stesso teorema di Pitagora.

Per gli angoli acuti, ad esempio, abbiamo ottenuto anche altre formule

simbolo, il lato destro è sempre non negativo, mentre il lato sinistro potrebbe essere negativo. Affinché la formula sia vera per tutti gli α, deve essere al quadrato. Otteniamo l'uguaglianza: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). Dimostriamo che questa formula è vera per ogni α:1

1/(1 + tg2			sin2α			cos2α	Cos2a.
			cos2α			sin2α + cos2α

Problema 7.1. Ricava tutte le formule seguenti dalle definizioni e dalla formula sin2 α + cos2 α = 1 (ne abbiamo già dimostrate alcune):

sin2α + cos2α = 1;

tg2α =

tg2α

sin2α =

tg α ctg α = 1;

cos2α

1 + tg2α

ctg2α

Ctg2

cos2α =

1 + ctg2α

peccato2

Queste formule permettono, conoscendo il valore di una delle funzioni trigonometriche di un dato numero, di trovare quasi tutto il resto

no. Sappiamo, per esempio, che sin x = 1/2. Allora cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, quindi cos x è 3/2 o − 3/2. Per scoprire a quale di questi due numeri cos x è uguale, sono necessarie ulteriori informazioni.

Problema 7.2. Dimostrare con esempi che entrambi i casi precedenti sono possibili.

Problema 7.3. a) Sia tgx = −1. Trova sinx. Quante risposte ha questo problema?

b) Sia noto, oltre alle condizioni del punto a), che sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Per cui tg α è definito, cioè cos α 6= 0.

Problema 7.4. Sia sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Trova tx.

Problema 7.5. Sia tg x = 3, cos x > sin x. Trova cos x, sin x.

Problema 7.6. Sia tgx = 3/5. Trova sin x + 2 cos x . cos x − 3 sin x

Problema 7.7. Dimostrare le identità:

tgα − sinα

c) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α =

Problema 7.8. Semplifica le espressioni:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

c) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Periodi delle funzioni trigonometriche

I numeri x, x+2π, x−2π corrispondono allo stesso punto sul cerchio trigonometrico (se fai passare un cerchio in più lungo il cerchio trigonometrico, finirai dove eri). Ciò implica le seguenti identità, già discusse al § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

In relazione a queste identità, abbiamo già usato il termine "periodo". Diamo ora le definizioni esatte.

Definizione. Il numero T 6= 0 è detto periodo della funzione f se le uguaglianze f(x − T) = f(x + T) = f(x) sono vere per ogni x (si assume che x + T e x − T sono inclusi nel dominio della funzione , se include x). Una funzione si dice periodica se ha un punto (almeno uno).

Le funzioni periodiche sorgono naturalmente nella descrizione dei processi oscillatori. Uno di questi processi è già stato discusso nel § 5. Ecco altri esempi:

1) Sia ϕ = ϕ(t) l'angolo di deviazione del pendolo oscillante dell'orologio dalla verticale al momento t. Allora ϕ è una funzione periodica di t.

2) La tensione ("differenza di potenziale", come direbbe un fisico) tra due prese in una presa CA, es-

se considerarla in funzione del tempo è una funzione periodica1.

3) Ascoltiamo il suono musicale. Quindi la pressione dell'aria in un dato punto è una funzione periodica del tempo.

Se una funzione ha un periodo T , allora i periodi di questa funzione saranno anche i numeri −T , 2T , −2T . . . - in una parola, tutti i numeri nT , dove n è un numero intero diverso da zero. Verifichiamo infatti, ad esempio, che f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Definizione. Il più piccolo periodo positivo della funzione f è - in accordo con il significato letterale delle parole - un numero positivo T tale che T è il periodo di f e nessun numero positivo minore di T è il periodo di f.

Non è necessario che una funzione periodica abbia il periodo positivo più piccolo (ad esempio, una funzione che è costante ha un periodo di qualsiasi numero in generale e, pertanto, non ha il periodo positivo più piccolo). Si possono anche fornire esempi di funzioni periodiche non costanti che non hanno il periodo positivo più piccolo. Tuttavia, nei casi più interessanti, le funzioni periodiche hanno il periodo positivo più piccolo.

1 Quando dicono "la tensione nella rete è di 220 volt", intendono il suo "valore efficace", di cui parleremo al § 21. La tensione stessa cambia continuamente.

Riso. 8.1. Il periodo di tangente e cotangente.

In particolare, il più piccolo periodo positivo sia di seno che di coseno è 2π. Proviamo questo, per esempio, per la funzione y = sin x. Supponiamo, contrariamente a quanto diciamo, che il seno abbia un periodo T tale che 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Il più piccolo periodo positivo della funzione che descrive le oscillazioni (come nei nostri esempi 1-3) è chiamato semplicemente il periodo di queste oscillazioni.

Poiché il numero 2π è il periodo di seno e coseno, sarà anche il periodo di tangente e cotangente. Tuttavia, per queste funzioni, 2π non è il periodo più piccolo: il periodo positivo più piccolo della tangente e della cotangente è π. Infatti, i punti corrispondenti ai numeri x e x + π sul cerchio trigonometrico sono diametralmente opposti: dal punto x al punto x + 2π si deve percorrere la distanza π, che è esattamente pari alla metà del cerchio. Ora, se usiamo la definizione di tangente e cotangente usando gli assi delle tangenti e delle cotangenti, le uguaglianze tg (x + π) = tg x e ​​ctg (x + π) = ctg x diventano ovvie (Fig. 8.1). È facile verificare (proporremo di farlo nei problemi) che π è effettivamente il più piccolo periodo positivo della tangente e della cotangente.

Una nota sulla terminologia. Spesso le parole "periodo di una funzione" sono usate nel senso di "il più piccolo periodo positivo". Quindi, se durante l'esame ti viene chiesto: "100π è il periodo della funzione seno?", Prenditi il ​​\u200b\u200btuo tempo con la risposta, ma chiarisci se intendi il periodo positivo più piccolo o solo uno dei periodi.

Le funzioni trigonometriche sono un tipico esempio di funzioni periodiche: qualsiasi funzione periodica "non molto cattiva" può essere espressa in un certo senso in termini di funzioni trigonometriche.

Problema 8.1. Trova i periodi positivi più piccoli delle funzioni:

				c) y = cosπx;

d) y = cosx + cos(1.01x).

Problema 8.2. La dipendenza della tensione nella rete AC dal tempo è data dalla formula U = U0 sin ωt (qui t è il tempo, U è la tensione, U0 e ω sono costanti). La frequenza della corrente alternata è di 50 Hertz (ciò significa che la tensione compie 50 oscillazioni al secondo).

a) Trovare ω, supponendo che t sia misurato in secondi;

b) Trovare il periodo (più piccolo positivo) U in funzione di t.

Problema 8.3. a) Dimostrare che il minimo periodo positivo del coseno è 2π;

b) Dimostrare che il più piccolo periodo positivo della tangente è π.

Problema 8.4. Sia il periodo minimo positivo della funzione f uguale a T . Dimostrare che tutti gli altri periodi sono della forma nT per alcuni interi n.

Problema 8.5. Dimostrare che le seguenti funzioni non sono periodiche.