Com'è il nok e il cenno del capo dei numeri. Algoritmo di Euclide: trovare il massimo comune divisore. Azioni se è necessario determinare il MCD se sono specificati più di due valori

Si chiama il numero naturale più grande per il quale i numeri a e b sono divisibili senza resto massimo comun divisore questi numeri. Indichiamo MCD(a, b).

Considera di trovare il MCD usando l'esempio di due numeri naturali 18 e 60:

324 , 111 E 432

Scomponiamo i numeri in fattori primi:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Elimina dal primo numero, i cui fattori non sono nel secondo e nel terzo numero, otteniamo:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Come risultato di GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Trovare MCD con l'algoritmo di Euclide

Il secondo modo per trovare il massimo comune divisore usando Algoritmo di Euclide. L'algoritmo di Euclide è il modo più efficiente per trovare GCD, usandolo devi trovare costantemente il resto della divisione dei numeri e applicare formula ricorrente.

Formula ricorrente per MCD, mcd(a, b)=mcd(b, a mod b), dove a mod b è il resto della divisione a per b.

Algoritmo di Euclide

Esempio Trova il massimo comune divisore di numeri 7920 E 594

Troviamo MCD( 7920 , 594 ) utilizzando l'algoritmo di Euclide, calcoleremo il resto della divisione utilizzando una calcolatrice.

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Di conseguenza, otteniamo MCD( 7920 , 594 ) = 198

Minimo comune multiplo

Per trovare un denominatore comune durante l'aggiunta e la sottrazione di frazioni con denominatori diversi, è necessario conoscere ed essere in grado di calcolare minimo comune multiplo(NOC).

Un multiplo del numero "a" è un numero che è esso stesso divisibile per il numero "a" senza resto.

Numeri multipli di 8 (ovvero, questi numeri saranno divisi per 8 senza resto): questi sono i numeri 16, 24, 32 ...

Multipli di 9: 18, 27, 36, 45…

Ci sono infiniti multipli di un dato numero a, in contrasto con i divisori dello stesso numero. Divisori: un numero finito.

Un multiplo comune di due numeri naturali è un numero uniformemente divisibile per entrambi questi numeri..

Minimo comune multiplo(MCM) di due o più numeri naturali è il più piccolo numero naturale che è esso stesso divisibile per ciascuno di questi numeri.

Come trovare il NOC

LCM può essere trovato e scritto in due modi.

Il primo modo per trovare l'LCM

Questo metodo viene solitamente utilizzato per piccoli numeri.

1. Scriviamo i multipli per ciascuno dei numeri in una riga finché non c'è un multiplo uguale per entrambi i numeri.
2. Un multiplo del numero "a" è indicato da una lettera maiuscola "K".

Esempio. Trova LCM 6 e 8.

Il secondo modo per trovare l'LCM

Questo metodo è utile per trovare l'LCM per tre o più numeri.

Il numero di fattori identici nelle espansioni dei numeri può essere diverso.

Puoi anche formalizzare la ricerca del minimo comune multiplo (LCM) come segue. Troviamo il MCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Come possiamo vedere dall'espansione dei numeri, tutti i fattori di 12 sono inclusi nell'espansione di 24 (il più grande dei numeri), quindi aggiungiamo solo un 2 dall'espansione del numero 16 al MCM.

MCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Risposta: MCM (12, 16, 24) = 48

Casi speciali di ricerca di NOC

Ad esempio, MCM(60, 15) = 60
Poiché i numeri coprimi non hanno divisori primi comuni, il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto di questi numeri.

Sul nostro sito, puoi anche utilizzare un calcolatore speciale per trovare il minimo comune multiplo online per controllare i tuoi calcoli.

Se un numero naturale è divisibile solo per 1 e per se stesso, allora si dice primo.

Qualsiasi numero naturale è sempre divisibile per 1 e per se stesso.

Il numero 2 è il più piccolo numero primo. Questo è l'unico numero primo pari, gli altri numeri primi sono dispari.

Ci sono molti numeri primi e il primo tra questi è il numero 2. Tuttavia, non esiste un ultimo numero primo. Nella sezione "Per studio" puoi scaricare una tabella dei numeri primi fino a 997.

Ma molti numeri naturali sono equamente divisibili per altri numeri naturali.

• il numero 12 è divisibile per 1, per 2, per 3, per 4, per 6, per 12;
• 36 è divisibile per 1, per 2, per 3, per 4, per 6, per 12, per 18, per 36.

I numeri per i quali il numero è divisibile uniformemente (per 12 questi sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12) sono chiamati divisori del numero.

Il divisore di un numero naturale a è tale numero naturale che divide il numero dato "a" senza resto.

Un numero naturale che ha più di due divisori è detto numero composto.

Nota che i numeri 12 e 36 hanno divisori comuni. Questi sono i numeri: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Il più grande divisore di questi numeri è 12.

Il divisore comune di due numeri dati "a" e "b" è il numero per il quale entrambi i numeri dati "a" e "b" sono divisi senza resto.

Massimo comun divisore(MCD) di due numeri dati "a" e "b" è il numero più grande per il quale entrambi i numeri "a" e "b" sono divisibili senza resto.

In breve, il massimo comune divisore dei numeri "a" e "b" si scrive come segue:

Esempio: MCD (12; 36) = 12 .

I divisori dei numeri nel record della soluzione sono indicati da una lettera maiuscola "D".

I numeri 7 e 9 hanno un solo divisore comune: il numero 1. Tali numeri sono chiamati numeri coprimi.

Numeri coprimi sono numeri naturali che hanno un solo divisore comune: il numero 1. Il loro MCD è 1.

Come trovare il massimo comune divisore

Per trovare il MCD di due o più numeri naturali occorre:

• scomporre i divisori dei numeri in fattori primi;

I calcoli vengono opportunamente scritti utilizzando una barra verticale. A sinistra della riga, scrivi prima il dividendo, a destra il divisore. Più avanti nella colonna di sinistra annotiamo i valori di private.

Spieghiamo subito con un esempio. Fattorizziamo i numeri 28 e 64 in fattori primi.

Sottolinea gli stessi fattori primi in entrambi i numeri.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Troviamo il prodotto di fattori primi identici e scriviamo la risposta;
MCD (28; 64) = 2 2 = 4

Risposta: MCD (28; 64) = 4

Puoi organizzare la posizione del GCD in due modi: in una colonna (come è stato fatto sopra) o "in una riga".

Il primo modo per scrivere GCD

Trova MCD 48 e 36.

MCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Il secondo modo di scrivere GCD

Ora scriviamo la soluzione di ricerca GCD in una riga. Trova MCD 10 e 15.

Sul nostro sito informativo, puoi anche trovare il massimo comune divisore online utilizzando il programma di supporto per controllare i tuoi calcoli.

Trovare il minimo comune multiplo, metodi, esempi di trovare il LCM.

Il materiale presentato di seguito è una logica continuazione della teoria dell'articolo sotto il titolo LCM - Minimo comune multiplo, definizione, esempi, relazione tra LCM e MCD. Qui parleremo trovare il minimo comune multiplo (LCM) e prestare particolare attenzione alla risoluzione degli esempi. Mostriamo prima come viene calcolato il MCM di due numeri in termini di MCD di questi numeri. Successivamente, considera di trovare il minimo comune multiplo fattorizzando i numeri in fattori primi. Successivamente, ci concentreremo sulla ricerca dell'LCM di tre o più numeri e presteremo anche attenzione al calcolo dell'LCM dei numeri negativi.

Navigazione della pagina.

Calcolo del minimo comune multiplo (MCM) tramite MCD

Un modo per trovare il minimo comune multiplo si basa sulla relazione tra MCM e MCD. La relazione esistente tra MCM e MCD consente di calcolare il minimo comune multiplo di due numeri interi positivi attraverso il massimo comune divisore noto. La formula corrispondente ha la forma MCM(a, b)=a b: MCD(a, b). Considera esempi di trovare l'LCM secondo la formula sopra.

Trova il minimo comune multiplo dei due numeri 126 e 70 .

In questo esempio a=126 , b=70 . Usiamo il collegamento di MCM con MCD, che è espresso dalla formula LCM(a, b)=a b: MCM(a, b) . Cioè, prima dobbiamo trovare il massimo comune divisore dei numeri 70 e 126, dopodiché possiamo calcolare il MCM di questi numeri secondo la formula scritta.

Trova MCD(126, 70) usando l'algoritmo di Euclide: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , quindi MCD(126, 70)=14 .

Ora troviamo il minimo comune multiplo richiesto: LCM(126, 70)=126 70:MCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Cos'è MCM(68, 34) ?

Poiché 68 è divisibile uniformemente per 34 , allora gcd(68, 34)=34 . Ora calcoliamo il minimo comune multiplo: LCM(68, 34)=68 34:MCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Si noti che l'esempio precedente soddisfa la seguente regola per trovare il MCM per gli interi positivi a e b: se il numero a è divisibile per b , allora il minimo comune multiplo di questi numeri è a .

Trovare l'LCM fattorizzando i numeri in fattori primi

Un altro modo per trovare il minimo comune multiplo si basa sulla fattorizzazione dei numeri in fattori primi. Se facciamo un prodotto di tutti i fattori primi di questi numeri, dopodiché escludiamo da questo prodotto tutti i fattori primi comuni che sono presenti nelle espansioni di questi numeri, allora il prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo di questi numeri.

La regola annunciata per trovare il MCM segue dall'uguaglianza MCM(a, b)=a b: MCD(a, b) . Infatti, il prodotto dei numeri a e b è uguale al prodotto di tutti i fattori coinvolti nelle espansioni dei numeri a e b. A sua volta, MCD(a, b) è uguale al prodotto di tutti i fattori primi che sono contemporaneamente presenti negli sviluppi dei numeri a e b (che è descritto nella sezione sulla ricerca del MCD utilizzando la scomposizione dei numeri in fattori primi ).

Facciamo un esempio. Sappiamo che 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Componi il prodotto di tutti i fattori di queste espansioni: 2 3 3 5 5 5 7 . Ora escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono presenti sia nell'espansione del numero 75 che nell'espansione del numero 210 (tali fattori sono 3 e 5), quindi il prodotto assumerà la forma 2 3 5 5 7 . Il valore di questo prodotto è uguale al minimo comune multiplo di 75 e 210 , ovvero MCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Dopo aver scomposto i numeri 441 e 700 in fattori primi, trova il minimo comune multiplo di questi numeri.

Scomponiamo i numeri 441 e 700 in fattori primi:

Otteniamo 441=3 3 7 7 e 700=2 2 5 5 7 .

Ora facciamo un prodotto di tutti i fattori coinvolti nelle espansioni di questi numeri: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono contemporaneamente presenti in entrambe le espansioni (c'è solo uno di questi fattori - questo è il numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Quindi LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

MCM(441, 700)= 44 100 .

La regola per trovare l'LCM utilizzando la scomposizione dei numeri in fattori primi può essere formulata in modo leggermente diverso. Se sommiamo i fattori mancanti dell'espansione del numero b ai fattori dell'espansione del numero a, allora il valore del prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo dei numeri a e b.

Ad esempio, prendiamo tutti gli stessi numeri 75 e 210, le loro espansioni in fattori primi sono le seguenti: 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Ai fattori 3, 5 e 5 dalla scomposizione del numero 75, aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 7 dalla scomposizione del numero 210, otteniamo il prodotto 2 3 5 5 7 , il cui valore è MCM(75 , 210).

Trova il minimo comune multiplo di 84 e 648.

Otteniamo prima la scomposizione dei numeri 84 e 648 in fattori primi. Sembrano 84=2 2 3 7 e 648=2 2 2 3 3 3 3 . Ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 dalla scomposizione del numero 84 aggiungiamo i fattori mancanti 2 , 3 , 3 e 3 dalla scomposizione del numero 648 , otteniamo il prodotto 2 2 2 3 3 3 3 7 , che è pari a 4 536 . Pertanto, il minimo comune multiplo desiderato dei numeri 84 e 648 è 4.536.

Trovare il MCM di tre o più numeri

Il minimo comune multiplo di tre o più numeri può essere trovato trovando successivamente il MCM di due numeri. Richiama il teorema corrispondente, che fornisce un modo per trovare l'LCM di tre o più numeri.

Dati interi positivi a 1 , a 2 , …, a k, il minimo comune multiplo m k di questi numeri si trova nel calcolo sequenziale m 2 = MCM (a 1 , a 2) , m 3 = MCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Considera l'applicazione di questo teorema sull'esempio di trovare il minimo comune multiplo di quattro numeri.

Trova il MCM dei quattro numeri 140 , 9 , 54 e 250 .

Per prima cosa troviamo m 2 = MCM (a 1 , a 2) = MCM (140, 9) . Per fare questo, usando l'algoritmo euclideo, determiniamo gcd(140, 9) , abbiamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , quindi, gcd( 140, 9)=1 , da cui MCM(140, 9)=140 9: MCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Cioè, m 2 =1 260 .

Ora troviamo m 3 = MCM (m 2 , a 3) = MCM (1 260, 54) . Calcoliamolo tramite gcd(1 260, 54) , anch'esso determinato dall'algoritmo di Euclide: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Quindi MCD(1 260, 54)=18 , da cui MCM(1 260, 54)= 1 260 54: MCD(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Cioè, m 3 \u003d 3 780.

Resta da trovare m 4 = MCM (m 3 , a 4) = MCM (3 780, 250) . Per fare ciò, troviamo MCD(3 780, 250) utilizzando l'algoritmo di Euclide: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Pertanto, MCD(3 780, 250)=10 , quindi LCM(3 780, 250)= 3 780 250: MCD(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Cioè, m 4 \u003d 94 500.

Quindi il minimo comune multiplo dei quattro numeri originali è 94.500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

In molti casi, il minimo comune multiplo di tre o più numeri si trova convenientemente utilizzando fattorizzazioni in fattori primi di determinati numeri. In questo caso, è necessario seguire la seguente regola. Il minimo comune multiplo di più numeri è uguale al prodotto, che si compone come segue: i fattori mancanti dell'espansione del secondo numero si sommano a tutti i fattori dell'espansione del primo numero, i fattori mancanti dell'espansione di il terzo numero viene aggiunto ai fattori ottenuti, e così via.

Considera un esempio di come trovare il minimo comune multiplo usando la scomposizione dei numeri in fattori primi.

Trova il minimo comune multiplo di cinque numeri 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Dapprima si ottengono le scomposizioni di questi numeri in fattori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 è un numero primo, coincide con la sua scomposizione in fattori primi) e 143=11 13 .

Per trovare il MCM di questi numeri, ai divisori del primo numero 84 (sono 2 , 2 , 3 e 7) bisogna sommare i fattori mancanti dell'espansione del secondo numero 6 . L'espansione del numero 6 non contiene fattori mancanti, poiché sia ​​il 2 che il 3 sono già presenti nell'espansione del primo numero 84 . Oltre ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 2 dall'espansione del terzo numero 48 , otteniamo un insieme di fattori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 e 7 . Non è necessario aggiungere fattori a questo insieme nel passaggio successivo, poiché 7 è già contenuto in esso. Infine, ai fattori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 e 7 aggiungiamo i fattori mancanti 11 e 13 dall'espansione del numero 143 . Otteniamo il prodotto 2 2 2 2 3 7 11 13 , che è pari a 48 048 .

Pertanto, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

Trovare il minimo comune multiplo di numeri negativi

A volte ci sono compiti in cui è necessario trovare il minimo comune multiplo di numeri, tra i quali uno, più o tutti i numeri sono negativi. In questi casi, tutti i numeri negativi devono essere sostituiti dai loro numeri opposti, dopodiché si dovrebbe trovare il MCM dei numeri positivi. Questo è il modo per trovare il MCM dei numeri negativi. Ad esempio, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) e LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Possiamo farlo perché l'insieme dei multipli di a è uguale all'insieme dei multipli di −a (a e −a sono numeri opposti). Infatti, sia b un multiplo di a , allora b è divisibile per a , e il concetto di divisibilità asserisce l'esistenza di un intero q tale che b=a q . Ma sarà vera anche l'uguaglianza b=(−a)·(−q) che, in virtù dello stesso concetto di divisibilità, significa che b è divisibile per −a , cioè b è un multiplo di −a . Vale anche l'affermazione inversa: se b è un multiplo di −a , allora anche b è un multiplo di a .

Trova il minimo comune multiplo dei numeri negativi −145 e −45.

Sostituiamo i numeri negativi −145 e −45 con i loro numeri opposti 145 e 45 . Abbiamo LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Dopo aver determinato mcd(145, 45)=5 (ad esempio, utilizzando l'algoritmo di Euclide), calcoliamo LCM(145, 45)=145 45:mcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Pertanto, il minimo comune multiplo degli interi negativi −145 e −45 è 1.305 .

www.cleverstudents.ru

Continuiamo a studiare la divisione. In questa lezione, esamineremo concetti come GCD E NOC.

GCDè il massimo comune divisore.

NOCè il minimo comune multiplo.

L'argomento è piuttosto noioso, ma è necessario capirlo. Senza comprendere questo argomento, non sarai in grado di lavorare efficacemente con le frazioni, che sono un vero ostacolo in matematica.

Massimo comun divisore

Definizione. Massimo comune divisore di numeri UN E B UN E B diviso senza resto.

Per comprendere bene questa definizione, sostituiamo al posto delle variabili UN E B due numeri qualsiasi, ad esempio, invece di una variabile UN sostituire il numero 12, e invece della variabile B numero 9. Ora proviamo a leggere questa definizione:

Massimo comune divisore di numeri 12 E 9 è il numero più grande con cui 12 E 9 diviso senza resto.

È chiaro dalla definizione che stiamo parlando di un divisore comune dei numeri 12 e 9, e questo divisore è il più grande di tutti i divisori esistenti. Questo massimo comune divisore (mcd) deve essere trovato.

Per trovare il massimo comune divisore di due numeri, vengono utilizzati tre metodi. Il primo metodo richiede molto tempo, ma ti consente di comprendere bene l'essenza dell'argomento e di sentirne l'intero significato.

Il secondo e il terzo metodo sono abbastanza semplici e consentono di trovare rapidamente il MCD. Prenderemo in considerazione tutti e tre i metodi. E cosa applicare in pratica: scegli tu.

Il primo modo è trovare tutti i possibili divisori di due numeri e scegliere il più grande di essi. Consideriamo questo metodo nel seguente esempio: trova il massimo comune divisore dei numeri 12 e 9.

Innanzitutto, troviamo tutti i possibili divisori del numero 12. Per fare ciò, dividiamo 12 in tutti i divisori nell'intervallo da 1 a 12. Se il divisore consente di dividere 12 senza resto, lo evidenzieremo in blu e creeremo un opportuna spiegazione tra parentesi.

12: 1 = 12
(12 diviso 1 senza resto, quindi 1 è un divisore di 12)

12: 2 = 6
(12 diviso 2 senza resto, quindi 2 è un divisore di 12)

12: 3 = 4
(12 diviso 3 senza resto, quindi 3 è un divisore di 12)

12: 4 = 3
(12 diviso 4 senza resto, quindi 4 è un divisore di 12)

12:5 = 2 (2 rimasti)
(12 non è diviso per 5 senza resto, quindi 5 non è un divisore di 12)

12: 6 = 2
(12 diviso 6 senza resto, quindi 6 è un divisore di 12)

12: 7 = 1 (5 rimasti)
(12 non è diviso per 7 senza resto, quindi 7 non è un divisore di 12)

12: 8 = 1 (4 rimasti)
(12 non è diviso per 8 senza resto, quindi 8 non è un divisore di 12)

12:9 = 1 (3 rimasti)
(12 non è diviso per 9 senza resto, quindi 9 non è un divisore di 12)

12: 10 = 1 (2 rimasti)
(12 non è diviso per 10 senza resto, quindi 10 non è un divisore di 12)

12:11 = 1 (1 rimasto)
(12 non è diviso per 11 senza resto, quindi 11 non è un divisore di 12)

12: 12 = 1
(12 diviso 12 senza resto, quindi 12 è un divisore di 12)

Ora troviamo i divisori del numero 9. Per fare ciò, controlla tutti i divisori da 1 a 9

9: 1 = 9
(9 diviso 1 senza resto, quindi 1 è un divisore di 9)

9: 2 = 4 (1 rimanente)
(9 non è diviso per 2 senza resto, quindi 2 non è un divisore di 9)

9: 3 = 3
(9 diviso 3 senza resto, quindi 3 è un divisore di 9)

9: 4 = 2 (1 rimanente)
(9 non è diviso per 4 senza resto, quindi 4 non è un divisore di 9)

9:5 = 1 (4 rimasti)
(9 non è diviso per 5 senza resto, quindi 5 non è un divisore di 9)

9: 6 = 1 (3 rimasti)
(9 non ha diviso per 6 senza resto, quindi 6 non è un divisore di 9)

9:7 = 1 (2 rimasti)
(9 non è diviso per 7 senza resto, quindi 7 non è un divisore di 9)

9:8 = 1 (1 rimasto)
(9 non è diviso per 8 senza resto, quindi 8 non è un divisore di 9)

9: 9 = 1
(9 diviso 9 senza resto, quindi 9 è un divisore di 9)

Ora scrivi i divisori di entrambi i numeri. I numeri evidenziati in blu sono i divisori. Scriviamoli:

Dopo aver scritto i divisori, puoi immediatamente determinare qual è il più grande e il più comune.

Per definizione, il massimo comune divisore di 12 e 9 è il numero per il quale 12 e 9 sono equamente divisibili. Il massimo e comune divisore dei numeri 12 e 9 è il numero 3

Sia il numero 12 che il numero 9 sono divisibili per 3 senza resto:

Quindi MCD (12 e 9) = 3

Il secondo modo per trovare GCD

Consideriamo ora il secondo modo per trovare il massimo comune divisore. L'essenza di questo metodo è scomporre entrambi i numeri in fattori primi e moltiplicare quelli comuni.

Esempio 1. Trova MCD dei numeri 24 e 18

Innanzitutto, scomponiamo entrambi i numeri in fattori primi:

Ora moltiplichiamo i loro fattori comuni. Per non confondersi, si possono sottolineare i fattori comuni.

Osserviamo la scomposizione del numero 24. Il suo primo fattore è 2. Cerchiamo lo stesso fattore nella scomposizione del numero 18 e vediamo che c'è anche lì. Sottolineiamo entrambi i due:

Di nuovo guardiamo alla scomposizione del numero 24. Anche il suo secondo fattore è 2. Cerchiamo lo stesso fattore nella scomposizione del numero 18 e vediamo che non c'è per la seconda volta. Quindi non evidenziamo nulla.

I prossimi due nell'espansione del numero 24 mancano anche nell'espansione del numero 18.

Passiamo all'ultimo fattore nella scomposizione del numero 24. Questo è il fattore 3. Cerchiamo lo stesso fattore nella scomposizione del numero 18 e vediamo che c'è anche lì. Sottolineiamo entrambi i tre:

Quindi, i fattori comuni dei numeri 24 e 18 sono i fattori 2 e 3. Per ottenere il MCD, questi fattori devono essere moltiplicati:

Quindi MCD (24 e 18) = 6

Il terzo modo per trovare GCD

Consideriamo ora il terzo modo per trovare il massimo comune divisore. L'essenza di questo metodo sta nel fatto che i numeri da ricercare per il massimo comun divisore vengono scomposti in fattori primi. Quindi, dalla scomposizione del primo numero, vengono eliminati i fattori che non sono inclusi nella scomposizione del secondo numero. I numeri rimanenti nella prima espansione vengono moltiplicati e ottengono MCD.

Ad esempio, troviamo il MCD per i numeri 28 e 16 in questo modo. Prima di tutto scomponiamo questi numeri in fattori primi:

Abbiamo due espansioni: e

Ora, dall'espansione del primo numero, cancelliamo i fattori che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero. L'espansione del secondo numero non include sette. Lo elimineremo dalla prima espansione:

Ora moltiplichiamo i restanti fattori e otteniamo il MCD:

Il numero 4 è il massimo comune divisore dei numeri 28 e 16. Entrambi questi numeri sono divisibili per 4 senza resto:

Esempio 2 Trova MCD dei numeri 100 e 40

Fattorizzare il numero 100

Fattorizzare il numero 40

Abbiamo due espansioni:

Ora, dall'espansione del primo numero, cancelliamo i fattori che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero. L'espansione del secondo numero non include un cinque (c'è solo un cinque). Lo eliminiamo dalla prima scomposizione

Moltiplica i numeri rimanenti:

Abbiamo ottenuto la risposta 20. Quindi il numero 20 è il massimo comune divisore dei numeri 100 e 40. Questi due numeri sono divisibili per 20 senza resto:

MCD (100 e 40) = 20.

Esempio 3 Trova il MCD dei numeri 72 e 128

Fattorizzare il numero 72

Fattorizzare il numero 128

2×2×2×2×2×2×2

Ora, dall'espansione del primo numero, cancelliamo i fattori che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero. L'espansione del secondo numero non include due terzine (non ce ne sono affatto). Li eliminiamo dalla prima scomposizione:

Abbiamo ottenuto la risposta 8. Quindi il numero 8 è il massimo comune divisore dei numeri 72 e 128. Questi due numeri sono divisibili per 8 senza resto:

MCD (72 e 128) = 8

Trovare MCD per più numeri

Il massimo comune divisore può essere trovato per diversi numeri, e non solo per due. Per questo, i numeri da trovare per il massimo comun divisore vengono scomposti in fattori primi, quindi si trova il prodotto dei fattori primi comuni di questi numeri.

Ad esempio, troviamo il MCD per i numeri 18, 24 e 36

Factoring il numero 18

Factoring il numero 24

Factoring il numero 36

Abbiamo tre espansioni:

Ora selezioniamo e sottolineiamo i fattori comuni in questi numeri. Fattori comuni devono essere inclusi in tutti e tre i numeri:

Vediamo che i fattori comuni per i numeri 18, 24 e 36 sono i fattori 2 e 3. Moltiplicando questi fattori, otteniamo il MCD che stiamo cercando:

Abbiamo ottenuto la risposta 6. Quindi il numero 6 è il massimo comune divisore dei numeri 18, 24 e 36. Questi tre numeri sono divisibili per 6 senza resto:

MCD (18, 24 e 36) = 6

Esempio 2 Trova MCD per i numeri 12, 24, 36 e 42

Fattorizziamo ogni numero. Quindi troviamo il prodotto dei fattori comuni di questi numeri.

Factoring il numero 12

Factoring il numero 42

Abbiamo quattro espansioni:

Ora selezioniamo e sottolineiamo i fattori comuni in questi numeri. Fattori comuni devono essere inclusi in tutti e quattro i numeri:

Vediamo che i fattori comuni per i numeri 12, 24, 36 e 42 sono i fattori 2 e 3. Moltiplicando questi fattori, otteniamo il MCD che stiamo cercando:

Abbiamo ottenuto la risposta 6. Quindi il numero 6 è il massimo comune divisore dei numeri 12, 24, 36 e 42. Questi numeri sono divisibili per 6 senza resto:

MCD(12, 24, 36 e 42) = 6

Dalla lezione precedente sappiamo che se un numero viene diviso per un altro senza resto, viene chiamato multiplo di questo numero.

Si scopre che un multiplo può essere comune a più numeri. E ora saremo interessati a un multiplo di due numeri, mentre dovrebbe essere il più piccolo possibile.

Definizione. Minimo comune multiplo (LCM) di numeri UN E B- UN E B UN e numero B.

La definizione contiene due variabili UN E B. Sostituiamo due numeri qualsiasi per queste variabili. Ad esempio, invece di una variabile UN sostituire il numero 9, e invece della variabile B sostituiamo il numero 12. Ora proviamo a leggere la definizione:

Minimo comune multiplo (LCM) di numeri 9 E 12 - è il numero più piccolo che è un multiplo di 9 E 12 . In altre parole, è un numero così piccolo che è divisibile senza resto per il numero 9 e sul numero 12 .

È chiaro dalla definizione che MCM è il numero più piccolo divisibile senza resto per 9 e 12. È necessario trovare questo MCM.

Ci sono due modi per trovare il minimo comune multiplo (LCM). Il primo modo è che puoi annotare i primi multipli di due numeri, quindi scegliere tra questi multipli un numero che sarà comune a entrambi i numeri e piccolo. Applichiamo questo metodo.

Prima di tutto, troviamo i primi multipli del numero 9. Per trovare i multipli del 9, devi moltiplicare a turno questo nove per i numeri da 1 a 9. Le risposte che otterrai saranno multipli del numero 9. Quindi , Iniziamo. I multipli saranno evidenziati in rosso:

Ora troviamo multipli per il numero 12. Per fare ciò, moltiplichiamo 12 per tutti i numeri da 1 a 12 a turno.

MCM è il minimo comune multiplo. Un numero per il quale tutti i numeri dati saranno divisibili senza resto.

Ad esempio, se i numeri dati sono 2, 3, 5, allora LCM=2*3*5=30

E se i numeri dati sono 2,4,8, allora LCM \u003d 8

cos'è NOD?

MCD è il massimo comune divisore. Il numero che può essere utilizzato per dividere ciascuno dei numeri dati senza resto.

È logico che se i numeri dati sono primi, allora il MCD è uguale a uno.

E se vengono dati i numeri 2, 4, 8, allora MCD è 2.

Non lo dipingeremo in una forma generale, ma mostreremo semplicemente la soluzione con un esempio.

Dati due numeri 126 e 44. Trova MCD.

Quindi se ci vengono dati due numeri della forma

Quindi MCD viene calcolato come

dove min è il valore minimo di tutti i valori delle potenze di pn

e NOC come

dove max è il valore massimo di tutti i valori delle potenze del numero pn

Osservando le formule precedenti, si può facilmente dimostrare che il MCD di due o più numeri sarà uguale a uno, quando tra almeno una coppia di valori dati, ci saranno numeri coprimi.

Pertanto, è facile rispondere alla domanda su quale sia il MCD di tali numeri 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 senza calcolare nulla.

i numeri 3 e 7 sono coprimi, e quindi mcd=1

Considera un esempio.

Dati tre numeri 24654, 25473 e 954

Ogni numero è scomposto nei seguenti fattori

Oppure, se scriviamo in una forma alternativa

Cioè, il MCD di questi tre numeri è uguale a tre

Bene, possiamo calcolare l'LCM in modo simile, ed è uguale a

Il nostro bot ti aiuterà a calcolare il MCD e il LCM di qualsiasi numero intero, due, tre o dieci.

Parole chiave della sinossi:Interi. Operazioni aritmetiche sui numeri naturali. Divisibilità dei numeri naturali. Numeri primi e numeri composti. Scomposizione di un numero naturale in fattori primi. Segni di divisibilità per 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Il massimo comune divisore (MCD), così come il minimo comune multiplo (MCM). Divisione con resto.

Interi sono numeri usati per contare gli oggetti - 1, 2, 3, 4 , … Ma il numero 0 non è naturale!

L'insieme dei numeri naturali è N. Registrazione "3 ∈ N" significa che il numero tre appartiene all'insieme dei numeri naturali, e alla notazione "0 ∉ N" significa che il numero zero non appartiene a questo insieme.

Sistema numerico decimale- sistema numerico posizionale basato su 10 .

Operazioni aritmetiche sui numeri naturali

Per i numeri naturali, sono definite le seguenti azioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, esponenziale, estrazione della radice. I primi quattro passi sono aritmetica.

Siano a, b e c numeri naturali, allora

1. AGGIUNTA. Termine + Termine = Somma

Proprietà di addizione
1. Commutativo a + b = b + a.
2. Combinativo a + (b + c) \u003d (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. SOTTRAI. Ridotto - Sottratto = Differenza

proprietà di sottrazione
1. Sottrazione della somma dal numero a - (b + c) \u003d a - b - c.
2. Sottraendo un numero dalla somma (a + b) - c \u003d a + (b - c); (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a \u003d 0.

3. MOLTIPLICAZIONE. Moltiplicatore * Moltiplicatore = Prodotto

Proprietà di moltiplicazione
1. Commutativo a * b \u003d b * a.
2. Combinativo a * (b * c) \u003d (a * b) * c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Distribuzione (a + b) * c \u003d ac + bc; (a - b) * c \u003d ac - bc.

4. DIVISIONE. Dividendo: Divisore = Quoziente

proprietà di divisione
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Non puoi dividere per zero!
3. 0: a=0.

Procedura

1. Prima di tutto, le azioni tra parentesi.
2. Quindi moltiplicazione, divisione.
3. E solo alla fine dell'addizione, sottrazione.

Divisibilità dei numeri naturali. Numeri primi e numeri composti.

Divisore di un numero naturale UNè chiamato il numero naturale per il quale UN diviso senza resto. Numero 1 è un divisore di qualsiasi numero naturale.

Si chiama il numero naturale semplice se solo ha due divisore: uno e il numero stesso. Ad esempio, i numeri 2, 3, 11, 23 sono numeri primi.

Viene chiamato un numero con più di due divisori composito. Ad esempio, i numeri 4, 8, 15, 27 sono numeri composti.

segno di divisibilità lavori più numeri: se almeno uno dei fattori è divisibile per un numero, anche il prodotto è divisibile per questo numero. Lavoro 24 15 77 diviso per 12 , poiché il fattore di questo numero 24 diviso per 12 .

Segno di divisibilità della somma (differenza) numeri: se ogni termine è divisibile per un numero, allora l'intera somma è divisibile per questo numero. Se un: b E c:b, Quello (a+c): b. E se un: b, UN C non divisibile per B, Quello a+c non divisibile per numero B.

Se AC E c:b, Quello un: b. Sulla base del fatto che 72:24 e 24:12, concludiamo che 72:12.

Viene chiamata la rappresentazione di un numero come prodotto di potenze di numeri primi scomporre un numero in fattori primi.

Teorema fondamentale dell'aritmetica: qualsiasi numero naturale (eccetto 1 ) o è semplice, oppure può essere scomposto in fattori primi in un solo modo.

Quando si scompone un numero in fattori primi, vengono utilizzati i segni di divisibilità e viene utilizzata la notazione "colonna", in questo caso il divisore si trova a destra della barra verticale e il quoziente è scritto sotto il dividendo.

Ad esempio, il compito: scomporre un numero in fattori primi 330 . Soluzione:

Segni di divisibilità per 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 e 11.

Ci sono segni di divisibilità in 6, 15, 45 ecc., cioè in numeri il cui prodotto può essere scomposto 2, 3, 5, 9 E 10 .

Massimo comun divisore

Si chiama il numero naturale più grande per il quale ciascuno dei due numeri naturali dati è divisibile massimo comun divisore questi numeri ( GCD). Ad esempio, MCD (10; 25) = 5; e MCD (18; 24) = 6; MCD (7; 21) = 1.

Se il massimo comune divisore di due numeri naturali è 1 , quindi questi numeri vengono chiamati coprimo.

Algoritmo per trovare il massimo comune divisore(MCD)

GCD è spesso usato nei problemi. Ad esempio, 155 quaderni e 62 penne sono stati divisi equamente tra studenti della stessa classe. Quanti studenti ci sono in questa classe?

Soluzione: Trovare il numero di studenti in questa classe si riduce a trovare il massimo comune divisore dei numeri 155 e 62, poiché quaderni e penne sono stati divisi equamente. 155 = 531; 62 = 231. MCD (155; 62) = 31.

Risposta: 31 studenti in classe.

Minimo comune multiplo

Multiplo di un numero naturale UNè un numero naturale divisibile per UN senza traccia. Ad esempio, numero 8 ha multipli: 8, 16, 24, 32 , … Qualsiasi numero naturale ha infiniti multipli.

Minimo comune multiplo(LCM) è il più piccolo numero naturale che è un multiplo di questi numeri.

L'algoritmo per trovare il minimo comune multiplo ( NOC):

LCM è spesso utilizzato anche nei problemi. Ad esempio, due ciclisti sono partiti contemporaneamente sulla pista ciclabile nella stessa direzione. Uno fa un cerchio in 1 minuto e l'altro in 45 s. In quale numero minimo di minuti dall'inizio del movimento si incontreranno alla partenza?

Soluzione: Il numero di minuti dopo i quali si incontrano nuovamente alla partenza deve essere divisibile per 1 minuto, così come su 45 anni. In 1 minuto = 60 s. Cioè, è necessario trovare l'LCM (45; 60).
45 = 3 2 5;
60 = 2 2 3 5.
NOC (45; 60)= 2 2 3 2 5 = 4 9 5 = 180 .
Di conseguenza, risulta che i ciclisti si incontreranno alla partenza dopo 180 s = 3 min.

Risposta: 3 min.

Divisione con resto

Se un numero naturale UN non divisibile per un numero naturale B, allora puoi farlo divisione con resto. In questo caso, viene chiamato il quoziente risultante incompleto. La giusta uguaglianza è:

a = b n + r,

Dove UN- divisibile B- divisore, N- quoziente incompleto, R- resto. Ad esempio, sia il dividendo 243 , divisore - 4 , Poi 243: 4 = 60 (resto 3). Cioè, a \u003d 243, b \u003d 4, n \u003d 60, r \u003d 3, quindi 243 = 60 4 + 3 .

Numeri divisibili per 2 senza lasciare traccia, sono chiamati Anche: un = 2n,N ∈ N.

Il resto dei numeri sono chiamati strano: b = 2n + 1,N ∈ N.

Questa è una sinossi sull'argomento. "Interi. Segni di divisibilità». Per continuare, seleziona i passaggi successivi:

• Vai al prossimo abstract:

Capitolo 1. Numeri naturali

1.6. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

In precedenza, abbiamo chiamato i divisori del numero . Ora proviamo a scomporre i numeri composti in fattori primi.

Definizione

Fattorizzare un numero in fattori primi significa rappresentarlo come un prodotto uguale di numeri primi.

Scomposizione in fattori primi di numeri e sarà simile a questo:
; .
La scomposizione in fattori primi dei numeri , , può essere rappresentata in un'altra forma:

Ora lo scriverò
.

Molto bene! Sei solo un genio.

E continuo a non capire come hai indovinato così velocemente che il numero è divisibile per ?

Ed è semplice. Ho usato il test di divisibilità per . Prestiamo attenzione al fatto che nei brani che hai appena registrato il numero si ripete.

Definizione

Il numero per il quale ciascuno di questi numeri è divisibile è chiamato divisore comune di questi numeri.

Quelli. nel nostro caso il numero è un divisore comune?

Sì, è quello che volevo dire. E se prendi i numeri e , quindi, come puoi vedere, hanno tre divisori comuni: , e (senza contare).

Non capisco?...

Definizione

Il più grande dei divisori comuni di questi numeri è chiamato il loro massimo comune divisore ed è abbreviato in MCD.

Devi ricordare che MCD gioca un ruolo importante in matematica.

Vedo già che in matematica tutti i concetti giocano un ruolo importante. E come li ricordi tutti? Ma come trovare questo NOD?

Non preoccuparti, saranno ricordati nel tempo se li usi regolarmente.
Quindi continuiamo. Trovare GCD diversi numeri, puoi scomporli in fattori primi, scrivere i loro fattori primi comuni e moltiplicarli.

Questo è buono. Ma ci sono numeri che non hanno divisori comuni se non uno! Qui, per esempio, e , e .

Sì, hai notato correttamente.

Definizione

I numeri che non hanno divisori comuni (diversi da uno) sono detti coprimi.

Quindi cosa significa questo: tutti i numeri primi saranno anche coprimi?

E in questo caso hai ragione! Tuttavia, dobbiamo ancora considerare tale concetto come il minimo comune multiplo del LCM.

Definizione

Il numero che è divisibile per ciascuno dei numeri dati è chiamato multiplo comune di quei numeri.

Quindi, per i numeri e il multiplo comune sarà ciascuno dei numeri: , , , , MCM .

Ben fatto. Cosa ne pensi del MCM dei numeri coprimi?

Ora lo capirò. Non hanno divisori comuni oltre all'unità, e quindi il loro prodotto è il loro LCM!

È semplicemente fantastico! Che grande conclusione.
E alla fine della nostra ricerca, voglio dirti come trovare l'LCM se non è ovvio.

In questo caso, questi numeri vengono scomposti in fattori primi. Quindi, dal numero più grande, vengono scritti tutti i fattori e vengono assegnati loro i fattori mancanti dalle espansioni dei numeri rimanenti.

Sì, sono felice, mi è piaciuto.

Ma molti numeri naturali sono equamente divisibili per altri numeri naturali.

Per esempio:

Il numero 12 è divisibile per 1, per 2, per 3, per 4, per 6, per 12;

Il numero 36 è divisibile per 1, per 2, per 3, per 4, per 6, per 12, per 18, per 36.

I numeri per i quali il numero è divisibile (per 12 è 1, 2, 3, 4, 6 e 12) sono chiamati divisori numerici. Divisore di un numero naturale UNè il numero naturale che divide il numero dato UN senza traccia. Si chiama un numero naturale che ha più di due divisori composito. Nota che i numeri 12 e 36 hanno divisori comuni. Questi sono i numeri: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Il più grande divisore di questi numeri è 12.

Comune divisore di due numeri dati UN E Bè il numero per il quale entrambi i numeri dati sono divisibili senza resto UN E B. Comune divisore di più numeri (MCD)è il numero che funge da divisore per ciascuno di essi.

Brevemente il massimo comune divisore di numeri UN E B si scrivono così:

Esempio: MCD (12; 36) = 12.

I divisori dei numeri nel record della soluzione sono indicati da una lettera maiuscola "D".

Esempio:

MCD (7; 9) = 1

I numeri 7 e 9 hanno un solo divisore comune: il numero 1. Tali numeri sono chiamati coprimochi sbatte.

Numeri coprimi sono numeri naturali che hanno un solo divisore comune: il numero 1. Il loro MCD è 1.

Massimo comun divisore (MCD), proprietà.

• Proprietà principale: massimo comune divisore M E Nè divisibile per qualsiasi divisore comune di questi numeri. Esempio: per i numeri 12 e 18 il massimo comune divisore è 6; è divisibile per tutti i divisori comuni di questi numeri: 1, 2, 3, 6.
• Corollario 1: insieme di divisori comuni M E N coincide con l'insieme dei divisori mcd( M, N).
• Corollario 2: insieme di multipli comuni M E N coincide con l'insieme di più LCM ( M, N).

Ciò significa, in particolare, che per ridurre una frazione ad una forma irriducibile, è necessario dividere il suo numeratore e denominatore per il loro MCD.

• Massimo comune divisore di numeri M E N può essere definito come il più piccolo elemento positivo dell'insieme di tutte le loro combinazioni lineari:

e quindi rappresentare come una combinazione lineare di numeri M E N:

Questo rapporto è chiamato Rapporto di Bezout, e i coefficienti tu E v — coefficienti di bezout. I coefficienti di Bézout sono calcolati in modo efficiente dall'algoritmo Euclid esteso. Questa affermazione è generalizzata a insiemi di numeri naturali - il suo significato è che il sottogruppo del gruppo generato dall'insieme è ciclico ed è generato da un elemento: gcd ( UN 1 , UN 2 , … , UN).

Calcolo del massimo comune divisore (mcd).

Modi efficienti per calcolare il MCD di due numeri sono Algoritmo di Euclide E binarioalgoritmo. Inoltre, il valore MCD ( M,N) può essere facilmente calcolato se si conosce l'espansione canonica dei numeri M E N per i fattori primi:

dove sono numeri primi distinti e e sono numeri interi non negativi (possono essere zero se il numero primo corrispondente non è nell'espansione). Allora mcd ( M,N) e LCM ( M,N) sono espresse dalle formule:

Se ci sono più di due numeri: , il loro MCD viene trovato secondo il seguente algoritmo:

- questo è il GCD desiderato.

Inoltre, per trovare massimo comun divisore, puoi scomporre ciascuno dei numeri dati in fattori primi. Quindi scrivi separatamente solo quei fattori che sono inclusi in tutti i numeri dati. Quindi moltiplichiamo i numeri scritti tra loro: il risultato della moltiplicazione è il massimo comune divisore .

Analizziamo passo dopo passo il calcolo del massimo comune divisore:

1. Scomponi i divisori dei numeri in fattori primi:

I calcoli vengono opportunamente scritti utilizzando una barra verticale. A sinistra della riga, scrivi prima il dividendo, a destra il divisore. Più avanti nella colonna di sinistra annotiamo i valori di private. Spieghiamo subito con un esempio. Scomponiamo i numeri 28 e 64 in fattori primi.

2. Sottolineiamo gli stessi fattori primi in entrambi i numeri:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Troviamo il prodotto di fattori primi identici e scriviamo la risposta:

MCD (28; 64) = 2. 2 = 4

Risposta: MCD (28; 64) = 4

Puoi organizzare la posizione del GCD in due modi: in una colonna (come è stato fatto sopra) o "in una riga".

Il primo modo per scrivere GCD:

Trova MCD 48 e 36.

MCD (48; 36) = 2 . 2. 3 = 12

Il secondo modo per scrivere GCD:

Ora scriviamo la soluzione di ricerca GCD in una riga. Trova MCD 10 e 15.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)