Dividere un cerchio in parti uguali, costruire poligoni regolari

Dividere un cerchio in 4 e 8 parti uguali

Estremità di diametri mutuamente perpendicolariACEBD(Fig. 1) dividere il cerchio centrato nel puntoDIin 4 parti uguali. Collegando le estremità di questi diametri, puoi ottenere un quadratoUNSoleD.

Se l'angoloSOAtra diametri reciprocamente perpendicolariAEECONG(Fig. 2) dividere a metà e disegnare diametri reciprocamente perpendicolariD.H.Ebf, allora le loro estremità divideranno il cerchio centrato nel puntoDIin 8 parti uguali. Collegando le estremità di questi diametri, puoi ottenere un ottagono regolareABCDEFGH.

Riso. 1 fig. 2

Divisione di un cerchio in 3, 6 e 12 parti

Per dividere un cerchio in 6 parti uguali, usa l'uguaglianza dei lati di un esagono regolare al raggio del cerchio circoscritto. Dato un cerchio centrato in un puntoDI(Fig. 3) e raggioR, quindi dalle estremità di uno dei suoi diametri (puntiUNED), come dai centri, disegna archi di cerchio con un raggioR. I punti di intersezione di questi archi con un dato cerchio lo divideranno in 6 parti uguali. Collegando costantemente i punti trovati, ottieni l'esagono correttoA B C D E F.

Se il cerchio è al centro con un puntoDI(Fig. 4) deve essere diviso in 3 parti uguali, quindi con un raggio uguale al raggio di questo cerchio, si dovrebbe disegnare un arco da una sola estremità del diametro, ad esempio un puntoD. puntiINECONintersezione di questo arco con un dato cerchio, nonché un puntoUNdividere quest'ultimo in 3 parti uguali. Unendo i puntiUN, INECON, puoi ottenere un triangolo equilateroABC.

Riso. 3 fig. 4

Per dividere il cerchio in 12 parti, la divisione del cerchio in 6 parti viene ripetuta due volte (Fig. 5), utilizzando come centri le estremità dei diametri reciprocamente perpendicolari: puntiUNEG, DEJ. I punti di intersezione degli archi disegnati con un dato cerchio lo divideranno in 12 parti. Collegando i punti costruiti, puoi ottenere il dodecagono corretto.

Riso. 5

Divisione di un cerchio in 5 parti

DI(Fig. 6) in 5 parti, procedere come segue. Uno dei raggi del cerchio, per esempioOM, diviso a metà con il metodo precedentemente descritto. Dalla metà del segmentoOMpuntoNraggioR1 , uguale al segmentoUNN, disegna un arco di cerchio e segna un puntoRintersezione di questo arco con il diametro a cui appartiene il raggioOM. SegmentoARuguale al lato di un pentagono regolare inscritto in un cerchio. Quindi dalla fineUNdiametro perpendicolare aOM, raggioR2 , uguale al segmentoAR, disegna un arco di cerchio. puntiINEEle intersezioni di questo arco con un dato cerchio permettono di segnare due vertici del pentagono.

Altri due topCONED) sono i punti di intersezione di archi di cerchio di raggioR2 centrato in puntiINEEcon un dato cerchio centrato in puntiDI. Vertici di un pentagono regolareABCDEdividere il cerchio dato in 5 parti uguali.

Riso. 6

Divisione di un cerchio in 7 parti

Per dividere un cerchio centrato in un puntoDI(Fig. 6) in 7 parti, è necessario disegnare un arco ausiliario dal punto 1 con un raggioR, uguale al raggio del cerchio dato, che interseca il cerchio nel puntoM. Da un puntoNAbbasso la perpendicolare alla linea centrale orizzontale. Da un puntoUNcon raggio uguale al raggioMN, fai 7 serif attorno al cerchio e ottieni sette punti desiderati, collegando i quali ottieni un ettagono regolareABCDEFG.

Riso. 7

Dividere un cerchio in un numero arbitrario di parti uguali

Se nessuna delle opzioni considerate in precedenza soddisfa la condizione del compito, viene utilizzata una tecnica che consente di dividere il cerchio in un numero arbitrario di parti uguali e costruire rispettivamente i poligoni regolari inscritti in esso con un numero arbitrario di lati.

Considera una tale costruzione usando l'esempio di dividere un cerchio centrato in un puntoDI(Fig. 8a) in 7 parti uguali. Innanzitutto, devi disegnare due diametri reciprocamente perpendicolari, uno dei quali, ad esempio, passante per un puntoUN, dovrebbe essere diviso in 7 parti uguali, limitate dai punti 1 ... 7. Da un puntoUN, come dal centro, raggioRuguale al diametro di un dato cerchio, è necessario tracciare un arco, la cui intersezione con la continuazione del secondo diametro determinerà i puntiR1 ER2 . Quindi attraverso i puntiR1 ER2 (Fig. 8b), e anche punti ottenuti dividendo il diametroA7(punti 2.4 e 6), tracciare linee rette. puntiIN, CON, DEE, F, Gintersezione di queste linee con un dato cerchio e un puntoUNdividere il cerchio con il centroDIin 7 parti uguali. Collegando in modo coerente i punti costruiti, puoi disegnare un ettagono regolare inscritto in un cerchio.

Riso. 8

Divisione di un cerchio in tre parti uguali. Installa un quadrato con angoli di 30 e 60 ° con una grande gamba parallela a una delle linee centrali. Lungo l'ipotenusa da un punto 1 (prima divisione) disegna un accordo (Fig. 2.11, UN), ottenendo la seconda divisione - punto 2. Girando il quadrato e disegnando il secondo accordo, ottieni la terza divisione - punto 3 (figura 2.11, B). Collegando i punti 2 e 3; 3 E 1 le linee rette formano un triangolo equilatero.

Riso. 2.11.

a, b - c usando un quadrato; v- usando un cerchio

Lo stesso problema può essere risolto utilizzando una bussola. Posizionando la gamba di supporto del compasso all'estremità inferiore o superiore del diametro (Fig. 2.11, v) descrivono un arco il cui raggio è uguale al raggio del cerchio. Ottieni la prima e la seconda divisione. La terza divisione è all'estremità opposta del diametro.

Dividere un cerchio in sei parti uguali

L'apertura della bussola è impostata uguale al raggio R cerchi. Dalle estremità di uno dei diametri del cerchio (dai punti 1, 4 ) descrivono archi (Fig. 2.12, a, b). punti 1, 2, 3, 4, 5, 6 dividere il cerchio in sei parti uguali. Collegandoli con linee rette, ottengono un esagono regolare (Fig. 2.12, B).

Riso. 2.12.

Lo stesso compito può essere eseguito utilizzando un righello e un quadrato con angoli di 30 e 60 ° (Fig. 2.13). L'ipotenusa del quadrato deve passare per il centro del cerchio.

Riso. 2.13.

Dividere un cerchio in otto parti uguali

punti 1, 3, 5, 7 giacciono all'intersezione delle linee centrali con il cerchio (Fig. 2.14). Altri quattro punti si trovano usando un quadrato con angoli di 45 °. Quando si ricevono punti 2, 4, 6, 8 l'ipotenusa di un quadrato passa per il centro del cerchio.

Riso. 2.14.

Dividere un cerchio in qualsiasi numero di parti uguali

Per dividere un cerchio in un numero qualsiasi di parti uguali, utilizzare i coefficienti indicati nella tabella. 2.1.

Lunghezza l corda, che è posta su un dato cerchio, è determinata dalla formula l = sa, Dove l- lunghezza degli accordi; Dè il diametro del cerchio dato; K- coefficiente determinato dalla tabella. 1.2.

Tabella 2.1

Coefficienti per la divisione dei cerchi

Per dividere un cerchio di un dato diametro di 90 mm, ad esempio, in 14 parti, procedere come segue.

Nella prima colonna della Tav. 2.1 trova il numero di divisioni P, quelli. 14. Dalla seconda colonna scrivi il coefficiente K, corrispondente al numero di divisioni P. In questo caso, è pari a 0,22252. Il diametro di un dato cerchio viene moltiplicato per un fattore e si ottiene la lunghezza della corda l=dk= 90 0,22252 = 0,22 mm. La lunghezza risultante dell'accordo viene messa da parte con un compasso di misurazione 14 volte su un dato cerchio.

Trovare il centro dell'arco e determinare la dimensione del raggio

Viene dato un arco di circonferenza di cui non si conoscono il centro e il raggio.

Per determinarli, devi disegnare due accordi non paralleli (Fig. 2.15, UN) e impostare perpendicolari ai punti medi delle corde (Fig. 2.15, B). Centro DI arco è all'intersezione di queste perpendicolari.

Riso. 2.15.

Abbinamenti

Quando si eseguono disegni tecnici, nonché quando si contrassegnano i pezzi in produzione, è spesso necessario collegare senza problemi linee rette con archi di cerchio o un arco di cerchio con archi di altri cerchi, ad es. eseguire l'accoppiamento.

accoppiamento chiamata transizione graduale di una linea retta in un arco di cerchio o di un arco in un altro.

Per costruire gli accoppiamenti, è necessario conoscere il valore del raggio degli accoppiamenti, trovare i centri da cui vengono disegnati gli archi, ad es. centri di interfaccia(figura 2.16). Quindi devi trovare i punti in cui una linea passa in un'altra, ad es. punti di connessione. Quando si costruisce un disegno, le linee di accoppiamento devono essere portate esattamente in questi punti. Il punto di coniugazione dell'arco di cerchio e di una linea retta giace su una perpendicolare abbassata dal centro dell'arco alla linea di accoppiamento (Fig. 2.17, UN), o su una linea che collega i centri degli archi di accoppiamento (Fig. 2.17, B). Pertanto, per costruire qualsiasi coniugazione con un arco di un dato raggio, devi trovare centro di interfaccia E punto (punti) coniugazione.

Riso. 2.16.

Riso. 2.17.

La coniugazione di due linee che si intersecano da un arco di un dato raggio. Date le rette che si intersecano ad angoli retti, acuti e ottusi (Fig. 2.18, UN). È necessario costruire coniugazioni di queste linee da un arco di un dato raggio R.

Riso. 2.18.

Per tutti e tre i casi si può applicare la seguente costruzione.

1. Trova un punto DI- il centro del matto, che deve trovarsi a distanza R dai lati dell'angolo, ad es. nel punto di intersezione di linee che passano parallele ai lati dell'angolo a distanza R da loro (Fig. 2.18, B).

Disegnare linee rette parallele ai lati di un angolo, da punti arbitrari presi su linee rette, con una soluzione di compasso uguale a R, creare serif e tracciare tangenti ad essi (Fig. 2.18, B).

• 2. Trova i punti di giunzione (Fig. 2.18, c). Per questo, dal punto DI rilasciare perpendicolari a date linee.
• 3. Dal punto O, come dal centro, descrivere un arco di raggio dato R tra i punti di giunzione (Fig. 2.18, c).

E la costruzione di poligoni regolari inscritti

Dividendo il cerchio in 3, 6 E 12 parti uguali. Costruzione di triangolo, esagono e dodecagono regolari inscritti.

Per costruire un triangolo regolare inscritto è necessario partire da un punto UN l'intersezione della linea centrale con il cerchio messo da parte una dimensione pari al raggio R, da una parte e dall'altra. Otteniamo i vertici 1 e 2( riso. 26, A). Vertice 3 giace sul punto opposto UN estremità del diametro.

1/3 1/6 1/12

a B C)

Riso. 26

Il lato dell'esagono è uguale al raggio del cerchio. La divisione in 6 parti è mostrata in fig. 26, B.

Per dividere il cerchio in 12 parti, è necessario mettere da parte una dimensione pari al raggio sui cerchi in una direzione e nell'altra da quattro centri (Fig. 26, V).

Dividendo il cerchio in 4 E 8

quadrilatero e ottagono inscritti.

Riso. 27

Il cerchio è diviso in 4 parti da due linee centrali reciprocamente perpendicolari. Per dividere in 8 parti, un arco pari a un quarto di cerchio deve essere diviso a metà ( Fig.27.)

Dividendo il cerchio in 5 E 10 parti uguali. Costruire il giusto

pentagono e decagono inscritti.

a) b)

Riso. 28

La metà di qualsiasi diametro (raggio) è divisa a metà ( riso. 28, un), ottieni un punto N. Da un punto N, come dal centro, disegna un arco con un raggio R1, uguale alla distanza dal punto N al punto UN, finché non si interseca con la seconda metà di questo diametro, nel punto R. Segmento AR uguale a una corda che sottende un arco la cui lunghezza è 1/5 della circonferenza. Fare serif su un cerchio con un raggio R2, uguale al segmento AR, dividere il cerchio in cinque parti uguali. Il punto di partenza viene scelto in base alla posizione del pentagono. ( ! È impossibile eseguire serif in una direzione, poiché si verificano errori e l'ultimo lato del pentagono risulta inclinato.)

La divisione di un cerchio in 10 parti uguali viene eseguita in modo simile alla divisione di un cerchio in cinque parti uguali ( riso. 28b), ma prima dividi il cerchio in cinque parti, iniziando la costruzione dal punto A, e poi dal punto B, situato all'estremità opposta del diametro. Può essere utilizzato per disegnare un segmento O- la cui lunghezza è pari alla corda 1/10 della circonferenza.

Dividendo il cerchio in 7 parti uguali.

1/7

a B C)

Riso. 29

Da qualsiasi luogo (es. UN) cerchi, con un raggio di un dato cerchio, disegnano un arco finché non si interseca con un cerchio in punti IN E D (figura 29, a). Unendo i punti IN E D dritto, fatti un taglio sole, uguale alla corda che sottende un arco che è 1/7 della circonferenza. I serif vengono eseguiti nella sequenza indicata su riso. 29 b.

Abbinamenti

Spesso nella progettazione delle parti, una superficie passa in un'altra. Di solito queste transizioni sono rese lisce, il che aumenta la resistenza delle parti e le rende più comode da lavorare. accoppiamento è una transizione graduale da una linea all'altra. La costruzione delle coniugazioni si riduce a tre punti: 1) determinare il centro della coniugazione; 2) trovare punti di giunzione; 3) costruzione di un arco di coniugazione di raggio dato. Per costruire un accoppiamento, il raggio dell'accoppiamento viene spesso specificato. Il centro e il punto di giunzione sono definiti graficamente.

Con l'aiuto di un compasso e di una riga, è possibile dividere un cerchio in più di un numero qualsiasi di parti. I matematici hanno dimostrato che è possibile dividere in 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, ..., 257, ... parti, ma non in 7, 9, 11, 13, 14, ... parti .

Sfortunatamente, non esiste un unico modo per dividere. Diamo un'occhiata a quelli più importanti.

1) Divisione del cerchio in 6, 3, 12, 24, …, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) parti uguali.

Iniziare con dividendo il cerchio in 6 parti. Per fare ciò, con la stessa soluzione del compasso con cui è stato disegnato il cerchio, da qualsiasi punto del cerchio, come dal centro, è necessario disegnare un cerchio. Quindi ripetere la procedura, prendendo come centro il punto di intersezione tra il cerchio iniziale e quello nuovo.

Per dividere un cerchio in 3 parti, devi dividerlo in 6 parti e prendere i punti attraverso uno (Fig. 5a). Per dividere un cerchio in 12 parti, devi dividerlo in 6 parti e dividere ogni arco a metà, quindi il processo di divisione degli archi a metà può essere continuato all'infinito.

La lunghezza della perpendicolare calata dal centro del cerchio al lato dell'esagono è una buona approssimazione della lunghezza del lato dell'ettagono inscritto nel cerchio (mostrato in figura 5a tratteggiato). Lunghezza perpendicolare ≈0.866R, lunghezza lato ettagono ≈0.868R – precisione ≈2%.

2) Divisione del cerchio in 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) parti uguali.

Puoi dividere il cerchio in 2 parti usando un righello tracciando una linea retta attraverso il centro del cerchio. Ma è possibile posticipare il raggio del cerchio da qualsiasi punto del cerchio 3 volte. I punti iniziale e finale tagliano in due il cerchio (è possibile tracciare un diametro attraverso di essi - Fig. 5a). Per dividere il cerchio in 4 parti, è necessario dividere a metà gli archi risultanti. L'esecuzione coerente della divisione degli archi risultanti a metà garantisce la divisione del cerchio in 8, 16, ecc. parti.

3) Divisione del cerchio in 5 parti.

Il metodo costruttivo adottato nel disegno utilizza il rapporto tra i lati di un decagono regolare ( un 10) e un pentagono regolare ( un 5)- a 5 2 = R 2 + a 10 2 . La costruzione viene eseguita come segue. Disegniamo 2 linee perpendicolari attraverso il centro del cerchio O. A e B sono i punti della loro intersezione con il cerchio. Dal punto A, come dal centro, tracciamo un cerchio dello stesso raggio (troviamo il centro del segmento AO - punto C). Dal centro del segmento AO del punto C, tracciamo un altro cerchio di raggio CB. Il segmento BE è uguale al lato del pentagono, OE è uguale al decagono (Fig. 5b).

Puoi dividere il cerchio in 5 e 10 parti nel modo mostrato nella Figura 5c. Il segmento BC è il lato del pentagono, AC è il lato del decagono. Sulle notevoli proprietà del pentagono e del decagono e sul motivo per cui il metodo di costruzione mostrato nella figura 5c è corretto, lo diremo nel prossimo capitolo.

Madrasa Kukeldash (XVI secolo, Tashkent)

La figura 5d mostra la ricezione di una soluzione geometrica approssimata al problema di dividere un cerchio in un numero qualsiasi di parti. Ad esempio, è necessario dividere il cerchio dato in 7 parti uguali. Costruiamo un triangolo equilatero ABC sul diametro del cerchio AB e dividiamo il diametro AB per il punto D rispetto ad AD:AB=2:7 (generalmente 2:n). Per fare ciò, devi tracciare una linea ausiliaria, mettere da parte n + 2 segmenti identici su di essa, collegare il punto estremo con il punto B e tracciare una linea parallela alla linea BF attraverso il secondo punto. Disegna una linea DC all'intersezione con il cerchio. L'arco AE sarà la 7a parte del cerchio (nel caso generale, l'ennesima). Questo metodo per n<11 дает погрешность не более 1%.

Gli algoritmi per dividere un cerchio in parti uguali possono essere utilizzati, ad esempio, per costruire punti di riferimento per spirali: la spirale di Archimede, dal nome del grande scienziato greco antico Archimede (III secolo a.C.), che per primo studiò questa linea, e la spirale logaritmica .

La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto dato, detto centro, a una data distanza diversa da zero, detta raggio.

In questo articolo imparerai come dividere un cerchio in 3-6, 4-8, 5-10 e n parti.

Come dividere un cerchio in 3 e 6 parti

Per dividere un cerchio in 3, 6 e un loro multiplo, disegniamo un cerchio di un dato raggio e gli assi corrispondenti. La divisione può essere iniziata dal punto di intersezione dell'asse verticale o orizzontale con il cerchio. Il raggio specificato del cerchio viene successivamente posticipato 6 volte. Quindi i punti ottenuti sul cerchio sono successivamente collegati da linee rette e formano un esagono inscritto regolare. Collegando i punti attraverso uno si ottiene un triangolo equilatero e si divide il cerchio in 3 parti uguali.

Dividere un cerchio in 3-6 parti uguali

Come dividere un cerchio in 5 e 10 parti

Per dividere il cerchio in 5 e 10 parti uguali è necessario costruire un pentagono regolare. Per costruirlo, procedi come segue. Disegniamo due assi del cerchio reciprocamente perpendicolari uguali al diametro del cerchio. Dividi a metà la metà destra del diametro orizzontale usando l'arco R1. Dal punto ottenuto "a" al centro di questo segmento di raggio R2, tracciamo un arco di cerchio fino a quando non si interseca con il diametro orizzontale nel punto "b". Con un raggio R3 dal punto "1" traccia un arco di cerchio fino a quando non interseca con un dato cerchio (p. 5) e ottieni il lato di un pentagono regolare, quindi accantona la distanza risultante attorno al cerchio 5 volte fino a quando un si ottiene un pentagono regolare. La distanza "b-0" dà il lato di un pentagono regolare.

Dividere un cerchio in 5-10 parti uguali

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Come dividere un cerchio in n - parti uguali

Altrimenti, è necessario costruire un poligono regolare con n numero di lati. Disegniamo assi orizzontali e verticali reciprocamente perpendicolari del cerchio. Dal punto superiore "1" del cerchio tracciamo una linea retta con un angolo arbitrario rispetto all'asse verticale. Su di esso mettiamo da parte segmenti uguali di lunghezza arbitraria, il cui numero è uguale al numero di parti in cui dividiamo il cerchio dato, ad esempio 9. Colleghiamo la fine dell'ultimo segmento con il punto inferiore del diametro verticale. Traccia linee parallele a quella ricevuta dalle estremità dei segmenti pendenti all'intersezione con il diametro verticale, dividendo così il diametro verticale del cerchio dato in un dato numero di parti. Con un raggio pari al diametro del cerchio, dal punto inferiore dell'asse verticale tracciamo un arco MN fino a quando non interseca con la continuazione dell'asse orizzontale del cerchio. Dai punti M e N tracciamo i raggi attraverso i punti di divisione pari (o dispari) del diametro verticale finché non si intersecano con il cerchio. I segmenti risultanti del cerchio saranno quelli richiesti, poiché i punti 1, 2, ... 9 dividono il cerchio in 9 (N) parti uguali.

Dividere una circonferenza in n parti uguali

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La divisione di un cerchio in un numero arbitrario di parti uguali può essere eseguita utilizzando una tabella di accordi, la cui espressione numerica è determinata moltiplicando il raggio del cerchio dato per un coefficiente corrispondente al numero di divisione presentato nella tabella.

Tabella degli accordi (coefficienti per dividere un cerchio)

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Come trovare il centro di un arco di cerchio

È necessario fare quanto segue: su questo arco, segnare quattro punti arbitrari A, B, C, D e collegarli a coppie con gli accordi AB e CD.

Dividiamo ciascuno degli accordi a metà con l'aiuto di un compasso, ottenendo così una perpendicolare passante per il centro dell'accordo corrispondente. L'intersezione reciproca di queste perpendicolari dà il centro dell'arco dato e il cerchio ad esso corrispondente.

Divisione approssimativa di un arco di cerchio in un numero arbitrario di parti uguali può essere eseguita utilizzando una bussola con il metodo di approssimazione successiva.