• apotema- l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare, che si traccia dalla sua sommità (inoltre, l'apotema è la lunghezza della perpendicolare, che si abbassa dal centro di un poligono regolare a 1 dei suoi lati);
• facce laterali (ASB, BSC, CSD, DSA) - triangoli che convergono in alto;
• nervature laterali ( COME , Che cavolo , CS , D.S. ) - lati comuni delle facce laterali;
• sommità della piramide (contro S) - un punto che collega i bordi laterali e che non giace nel piano della base;
• altezza ( COSÌ ) - un segmento della perpendicolare, che passa attraverso la sommità della piramide fino al piano della sua base (le estremità di tale segmento saranno la sommità della piramide e la base della perpendicolare);
• sezione diagonale di una piramide- sezione della piramide, che passa per il vertice e la diagonale della base;
• base (ABCD) è un poligono a cui non appartiene il vertice della piramide.

proprietà piramidali.

1. Quando tutti i bordi laterali hanno la stessa dimensione, allora:

• vicino alla base della piramide è facile descrivere un cerchio, mentre la sommità della piramide verrà proiettata nel centro di questo cerchio;
• le nervature laterali formano angoli uguali con il piano di base;
• inoltre è vero anche il contrario, cioè quando i bordi laterali formano angoli uguali con il piano di base, o quando si può descrivere un cerchio vicino alla base della piramide e la sommità della piramide sarà proiettata nel centro di questo cerchio, allora tutti i bordi laterali della piramide avranno Le stesse dimensioni.

2. Quando le facce laterali hanno un angolo di inclinazione rispetto al piano della base dello stesso valore, allora:

• vicino alla base della piramide è facile descrivere un cerchio, mentre la sommità della piramide verrà proiettata nel centro di questo cerchio;
• le altezze delle facce laterali sono di uguale lunghezza;
• l'area della superficie laterale è ½ il prodotto del perimetro della base e dell'altezza della faccia laterale.

3. Una sfera può essere descritta vicino alla piramide se la base della piramide è un poligono attorno al quale si può descrivere un cerchio (condizione necessaria e sufficiente). Il centro della sfera sarà il punto di intersezione dei piani che passano per i punti medi degli spigoli della piramide ad essi perpendicolari. Da questo teorema concludiamo che una sfera può essere descritta sia attorno a qualsiasi triangolo che attorno a qualsiasi piramide regolare.

4. Una sfera può essere inscritta in una piramide se le bisettrici degli angoli diedri interni della piramide si intersecano nel 1° punto (condizione necessaria e sufficiente). Questo punto diventerà il centro della sfera.

La piramide più semplice.

In base al numero di angoli della base della piramide, sono divisi in triangolari, quadrangolari e così via.

La piramide lo farà triangolare, quadrangolare, e così via, quando la base della piramide è un triangolo, un quadrilatero e così via. Una piramide triangolare è un tetraedro: un tetraedro. Quadrangolare: pentaedro e così via.

introduzione

Quando abbiamo iniziato a studiare le figure stereometriche, abbiamo toccato l'argomento "Piramide". Questo tema ci è piaciuto perché la piramide viene utilizzata molto spesso in architettura. E poiché la nostra futura professione di architetto, ispirandosi a questa figura, pensiamo che potrà spingerci verso grandi progetti.

La forza delle strutture architettoniche, la loro qualità più importante. Associando la forza, in primo luogo, ai materiali da cui sono creati e, in secondo luogo, alle caratteristiche delle soluzioni progettuali, si scopre che la forza di una struttura è direttamente correlata alla forma geometrica che ne è fondamentale.

Si tratta, in altre parole, della figura geometrica che può essere considerata come modello della corrispondente forma architettonica. Si scopre che la forma geometrica determina anche la forza della struttura architettonica.

Le piramidi egiziane sono state a lungo considerate la struttura architettonica più durevole. Come sapete, hanno la forma di piramidi quadrangolari regolari.

È questa forma geometrica che offre la massima stabilità grazie all'ampia superficie di base. D'altra parte, la forma della piramide fa sì che la massa diminuisca all'aumentare dell'altezza dal suolo. Sono queste due proprietà che rendono la piramide stabile e quindi forte nelle condizioni di gravità.

Obiettivo del progetto: imparare qualcosa di nuovo sulle piramidi, approfondire la conoscenza e trovare applicazioni pratiche.

Per raggiungere questo obiettivo, è stato necessario risolvere i seguenti compiti:

Scopri informazioni storiche sulla piramide

Considera la piramide come una figura geometrica

Trova applicazione nella vita e nell'architettura

Trova somiglianze e differenze tra le piramidi situate in diverse parti del mondo

Parte teorica

Informazioni storiche

L'inizio della geometria della piramide fu posto nell'antico Egitto e in Babilonia, ma fu sviluppato attivamente nell'antica Grecia. Il primo a stabilire a quanto corrisponde il volume della piramide fu Democrito, e lo dimostrò Eudosso di Cnido. L'antico matematico greco Euclide sistematizzò la conoscenza della piramide nel XII volume dei suoi "Inizi" e fece emergere anche la prima definizione di piramide: una figura corporea delimitata da piani che convergono da un piano in un punto.

Le tombe dei faraoni egiziani. Le più grandi di queste: le piramidi di Cheope, Chefren e Mikerin a El Giza nei tempi antichi erano considerate una delle sette meraviglie del mondo. L'erezione della piramide, in cui già Greci e Romani vedevano un monumento all'orgoglio senza precedenti dei re e alla crudeltà, che condannò l'intero popolo egiziano a una costruzione insensata, era l'atto di culto più importante e avrebbe dovuto esprimere, a quanto pare, l'identità mistica del paese e del suo sovrano. La popolazione del paese lavorava alla costruzione della tomba nella parte dell'anno libera dai lavori agricoli. Numerosi testi testimoniano l'attenzione e la cura che gli stessi re (seppur di epoca successiva) prestarono alla costruzione della loro tomba e dei suoi costruttori. È anche noto degli speciali onori di culto che si sono rivelati essere la piramide stessa.

Concetti basilari

Piramide Si chiama un poliedro, la cui base è un poligono e le restanti facce sono triangoli con un vertice comune.

Apotema- l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare, ricavata dal suo vertice;

Facce laterali- triangoli convergenti in alto;

Costole laterali- lati comuni delle facce laterali;

sommità della piramide- un punto che collega i bordi laterali e non giace nel piano della base;

Altezza- un segmento di una perpendicolare tracciata attraverso la sommità della piramide fino al piano della sua base (le estremità di questo segmento sono la sommità della piramide e la base della perpendicolare);

Sezione diagonale di una piramide- sezione della piramide passante per il vertice e la diagonale della base;

Base- un poligono che non appartiene al vertice della piramide.

Le principali proprietà della piramide corretta

I bordi laterali, le facce laterali e gli apotemi sono rispettivamente uguali.

Gli angoli diedri alla base sono uguali.

Gli angoli diedri ai bordi laterali sono uguali.

Ogni punto di altezza è equidistante da tutti i vertici di base.

Ogni punto di altezza è equidistante da tutte le facce laterali.

Formule piramidali fondamentali

L'area della superficie laterale e completa della piramide.

L'area della superficie laterale della piramide (intera e tronca) è la somma delle aree di tutte le sue facce laterali, la superficie totale è la somma delle aree di tutte le sue facce.

Teorema: L'area della superficie laterale di una piramide regolare è pari alla metà del prodotto del perimetro della base e dell'apotema della piramide.

P- perimetro della base;

H- apotema.

L'area delle superfici laterali e piene di una piramide tronca.

p1, P 2 - perimetri di base;

H- apotema.

R- superficie totale di una piramide regolare tronca;

Lato S- area della superficie laterale di una piramide regolare tronca;

S1+S2- superficie della base

Volume piramidale

Modulo La scala del volume viene utilizzata per piramidi di qualsiasi tipo.

Hè l'altezza della piramide.

Angoli della piramide

Gli angoli formati dalla faccia laterale e dalla base della piramide si chiamano angoli diedri alla base della piramide.

Un angolo diedro è formato da due perpendicolari.

Per determinare questo angolo, spesso è necessario utilizzare il teorema delle tre perpendicolari.

Si chiamano angoli gli angoli formati da uno spigolo laterale e dalla sua proiezione sul piano della base angoli tra il bordo laterale e il piano della base.

Si chiama l'angolo formato da due facce laterali angolo diedro al bordo laterale della piramide.

Si chiama l'angolo formato dai due spigoli laterali di una faccia della piramide angolo in cima alla piramide.

Sezioni della piramide

La superficie di una piramide è la superficie di un poliedro. Ciascuna delle sue facce è un piano, quindi la sezione della piramide data dal piano secante è una linea spezzata costituita da rette separate.

Sezione diagonale

Si chiama sezione di una piramide mediante un piano passante per due spigoli laterali che non giacciono sulla stessa faccia sezione diagonale piramidi.

Sezioni parallele

Teorema:

Se la piramide è attraversata da un piano parallelo alla base, allora i bordi laterali e le altezze della piramide sono divisi da questo piano in parti proporzionali;

La sezione di questo piano è un poligono simile alla base;

Le aree della sezione e della base sono correlate tra loro come i quadrati delle loro distanze dal vertice.

Tipi di piramide

Piramide corretta- una piramide, la cui base è un poligono regolare, e la sommità della piramide è proiettata al centro della base.

Nella piramide corretta:

1. le nervature laterali sono uguali

2. le facce laterali sono uguali

3. gli apotemi sono uguali

4. gli angoli diedri alla base sono uguali

5. Gli angoli diedri ai bordi laterali sono uguali

6. ogni punto di altezza è equidistante da tutti i vertici di base

7. ogni punto di altezza è equidistante da tutte le facce laterali

Piramide tronca- la parte della piramide racchiusa tra la sua base e un piano di taglio parallelo alla base.

Si chiamano la base e la sezione corrispondente di una piramide tronca basi di una piramide tronca.

Si chiama perpendicolare tracciata da un punto qualsiasi di una base al piano di un'altra l'altezza della piramide tronca.

Compiti

N. 1. In una piramide quadrangolare regolare, il punto O è il centro della base, SO=8 cm, BD=30 cm. Trova il bordo laterale SA.

Risoluzione dei problemi

N. 1. In una piramide regolare tutte le facce e gli spigoli sono uguali.

Consideriamo OSB: rettangolo rettangolare OSB, perché.

SB2 \u003d SO2 + OB2

SB2=64+225=289

Piramide in architettura

Piramide - una struttura monumentale sotto forma di una normale piramide geometrica regolare, in cui i lati convergono in un punto. Secondo lo scopo funzionale, le piramidi nell'antichità erano un luogo di sepoltura o di culto. La base di una piramide può essere triangolare, quadrangolare o poligonale con un numero arbitrario di vertici, ma la versione più comune è la base quadrangolare.

Si conosce un numero considerevole di piramidi, costruite da diverse culture del mondo antico, principalmente come templi o monumenti. Le piramidi più grandi sono le piramidi egiziane.

In tutta la Terra puoi vedere strutture architettoniche sotto forma di piramidi. Gli edifici piramidali ricordano i tempi antichi e sembrano molto belli.

Le piramidi egiziane sono i più grandi monumenti architettonici dell'Antico Egitto, tra cui una delle "Sette Meraviglie del Mondo" è la piramide di Cheope. Dai piedi alla cima raggiunge i 137,3 m, e prima di perdere la cima la sua altezza era di 146,7 m.

L'edificio della stazione radio nella capitale della Slovacchia, che ricorda una piramide rovesciata, è stato costruito nel 1983. Oltre agli uffici e ai locali di servizio, all'interno del volume si trova una sala da concerto abbastanza spaziosa, che ospita uno dei più grandi organi della Slovacchia .

Il Louvre, che "è silenzioso e maestoso come una piramide" ha subito molti cambiamenti nel corso dei secoli prima di diventare il più grande museo del mondo. Nacque come fortezza, eretta da Filippo Augusto nel 1190, che presto si trasformò in residenza reale. Nel 1793 il palazzo divenne un museo. Le collezioni si arricchiscono attraverso lasciti o acquisti.

Definizione

Piramideè un poliedro composto da un poligono \(A_1A_2...A_n\) e \(n\) triangoli con vertice comune \(P\) (non giacente nel piano del poligono) e lati opposti coincidenti con i lati di il poligono.
Denominazione: \(PA_1A_2...A_n\) .
Esempio: piramide pentagonale \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triangoli \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) ecc. chiamato facce laterali piramidi, segmenti \(PA_1, PA_2\), ecc. - nervature laterali, poligono \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, punto \(P\) – vertice.

Altezza Le piramidi sono una perpendicolare lasciata cadere dalla sommità della piramide al piano della base.

Si chiama piramide la cui base ha un triangolo tetraedro.

La piramide si chiama corretto, se la sua base è un poligono regolare e è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

\((a)\) i bordi laterali della piramide sono uguali;

\((b)\) l'altezza della piramide passa per il centro del cerchio circoscritto vicino alla base;

\((c)\) le nervature laterali sono inclinate rispetto al piano di base con lo stesso angolo.

\((d)\) le facce laterali sono inclinate rispetto al piano di base con lo stesso angolo.

tetraedro regolareè una piramide triangolare, le cui facce sono tutte triangoli equilateri uguali.

Teorema

Le condizioni \((a), (b), (c), (d)\) sono equivalenti.

Prova

Disegna l'altezza della piramide \(PH\) . Sia \(\alpha\) il piano della base della piramide.

1) Proviamo che \((a)\) implica \((b)\) . Sia \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Perché \(PH\perp \alpha\) , allora \(PH\) è perpendicolare a qualsiasi linea giacente su questo piano, quindi i triangoli sono rettangoli. Quindi questi triangoli sono uguali nel cateto comune \(PH\) e nell'ipotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Quindi \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Ciò significa che i punti \(A_1, A_2, ..., A_n\) sono alla stessa distanza dal punto \(H\) , quindi giacciono sulla stessa circonferenza di raggio \(A_1H\) . Questo cerchio, per definizione, è circoscritto al poligono \(A_1A_2...A_n\) .

2) Proviamo che \((b)\) implica \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rettangolare e uguale in due gambe. Quindi anche i loro angoli sono uguali, quindi, \(\angolo PA_1H=\angolo PA_2H=...=\angolo PA_nH\).

3) Proviamo che \((c)\) implica \((a)\) .

Simile al primo punto, i triangoli \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rettangolare e lungo la gamba e l'angolo acuto. Ciò significa che anche le loro ipotenuse sono uguali, cioè \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Proviamo che \((b)\) implica \((d)\) .

Perché in un poligono regolare i centri della circonferenza circoscritta e inscritta coincidono (in genere questo punto si chiama centro del poligono regolare), quindi \(H\) è il centro della circonferenza inscritta. Disegniamo le perpendicolari dal punto \(H\) ai lati della base: \(HK_1, HK_2\), ecc. Questi sono i raggi del cerchio inscritto (per definizione). Quindi, secondo il TTP, (\(PH\) è una perpendicolare al piano, \(HK_1, HK_2\), ecc. sono proiezioni perpendicolari ai lati) obliquo \(PK_1, PK_2\), ecc. perpendicolare ai lati \(A_1A_2, A_2A_3\), ecc. rispettivamente. Quindi, per definizione \(\angolo PK_1H, \angolo PK_2H\) uguali agli angoli tra le facce laterali e la base. Perché i triangoli \(PK_1H, PK_2H, ...\) sono uguali (come rettangoli su due cateti), quindi gli angoli \(\angolo PK_1H, \angolo PK_2H, ...\) sono uguali.

5) Proviamo che \((d)\) implica \((b)\) .

Analogamente al quarto punto, i triangoli \(PK_1H, PK_2H, ...\) sono uguali (come rettangoli lungo la gamba e angolo acuto), il che significa che i segmenti \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sono uguali. Quindi, per definizione, \(H\) è il centro di un cerchio inscritto nella base. Ma da allora per i poligoni regolari i centri della circonferenza inscritta e circoscritta coincidono, quindi \(H\) è il centro della circonferenza circoscritta. Chtd.

Conseguenza

Le facce laterali di una piramide regolare sono triangoli isosceli uguali.

Definizione

Si chiama l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare, disegnata a partire dal suo vertice apotema.
Gli apotemi di tutte le facce laterali di una piramide regolare sono uguali tra loro e sono anche mediane e bisettrici.

Note importanti

1. L'altezza di una piramide triangolare regolare cade fino al punto di intersezione delle altezze (o bisettrici o mediane) della base (la base è un triangolo regolare).

2. L'altezza di una piramide quadrangolare regolare cade fino al punto di intersezione delle diagonali della base (la base è un quadrato).

3. L'altezza di una piramide esagonale regolare cade fino al punto di intersezione delle diagonali della base (la base è un esagono regolare).

4. L'altezza della piramide è perpendicolare a qualsiasi linea retta giacente alla base.

Definizione

La piramide si chiama rettangolare se uno dei suoi bordi laterali è perpendicolare al piano della base.

Note importanti

1. Per una piramide rettangolare, il bordo perpendicolare alla base è l'altezza della piramide. Cioè, \(SR\) è l'altezza.

2. Perché \(SR\) perpendicolare quindi ad una retta qualunque partendo dalla base \(\triangolo SRM, \triangolo SRP\) sono triangoli rettangoli.

3. Triangoli \(\triangolo SRN, \triangolo SRK\) sono anch'essi rettangolari.
Cioè, qualsiasi triangolo formato da questo bordo e dalla diagonale che esce dal vertice di questo bordo, che si trova alla base, sarà rettangolo.

\[(\Large(\text(Volume e superficie della piramide)))\]

Teorema

Il volume di una piramide è pari ad un terzo del prodotto dell'area della base per l'altezza della piramide: \

Conseguenze

Sia \(a\) il lato della base, \(h\) l'altezza della piramide.

1. Il volume di una piramide triangolare regolare è \(V_(\text(triangolo rettangolo pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Il volume di una piramide quadrangolare regolare è \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Il volume di una piramide esagonale regolare è \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Il volume di un tetraedro regolare è \(V_(\text(tetra destro.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

L'area della superficie laterale di una piramide regolare è pari alla metà del prodotto del perimetro della base e dell'apotema.

\[(\Grande(\text(Piramide tronca)))\]

Definizione

Considera una piramide arbitraria \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Disegniamo un piano parallelo alla base della piramide che passa per un certo punto che giace sul bordo laterale della piramide. Questo piano dividerà la piramide in due poliedri, uno dei quali è una piramide (\(PB_1B_2...B_n\) ), e l'altro è chiamato piramide tronca(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

La piramide tronca ha due basi: i poligoni \(A_1A_2...A_n\) e \(B_1B_2...B_n\) , che sono simili tra loro.

L'altezza di una piramide tronca è una perpendicolare tracciata da un punto della base superiore al piano della base inferiore.

Note importanti

1. Tutte le facce laterali di una piramide tronca sono trapezi.

2. Il segmento che collega i centri delle basi di una piramide regolare tronca (cioè una piramide ottenuta da una sezione di piramide regolare) è un'altezza.

Piramide. Piramide tronca

Piramide si chiama poliedro, la cui faccia è un poligono ( base ), e tutte le altre facce sono triangoli con un vertice comune ( facce laterali ) (figura 15). La piramide si chiama corretto , se la sua base è un poligono regolare e la sommità della piramide è proiettata nel centro della base (Fig. 16). Viene chiamata una piramide triangolare in cui tutti gli spigoli sono uguali tetraedro .

Costola laterale la piramide è chiamata il lato della faccia laterale che non appartiene alla base Altezza la piramide è la distanza dalla sua sommità al piano della base. Tutti gli spigoli laterali di una piramide regolare sono uguali tra loro, tutte le facce laterali sono triangoli isosceli uguali. Si chiama altezza della faccia laterale di una piramide regolare tracciata dal vertice apotema . sezione diagonale Una sezione di piramide si chiama piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia.

Superficie laterale piramide è chiamata la somma delle aree di tutte le facce laterali. Tutta la superficie è la somma delle aree di tutte le facce laterali e della base.

Teoremi

1. Se in una piramide tutti gli spigoli laterali sono ugualmente inclinati rispetto al piano della base, allora la sommità della piramide viene proiettata nel centro del cerchio circoscritto vicino alla base.

2. Se in una piramide tutti i bordi laterali hanno la stessa lunghezza, allora la sommità della piramide viene proiettata nel centro del cerchio circoscritto vicino alla base.

3. Se nella piramide tutte le facce sono ugualmente inclinate rispetto al piano della base, allora la sommità della piramide viene proiettata nel centro del cerchio inscritto nella base.

Per calcolare il volume di una piramide arbitraria, la formula è corretta:

Dove V- volume;

S principale- superficie della base;

Hè l'altezza della piramide.

Per una piramide regolare valgono le seguenti formule:

Dove P- il perimetro della base;

h a- apotema;

H- altezza;

S pieno

Lato S

S principale- superficie della base;

Vè il volume di una piramide regolare.

piramide tronca chiamata la parte della piramide racchiusa tra la base e il piano di taglio parallelo alla base della piramide (Fig. 17). Piramide troncata corretta chiamata la parte di piramide regolare, racchiusa tra la base e un piano di taglio parallelo alla base della piramide.

Fondazioni piramide tronca - poligoni simili. Facce laterali - trapezio. Altezza piramide tronca si chiama distanza tra le sue basi. Diagonale Una piramide tronca è un segmento che collega i suoi vertici che non giacciono sulla stessa faccia. sezione diagonale Una sezione di piramide tronca si chiama piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia.

Per una piramide tronca valgono le formule:

(4)

Dove S 1 , S 2 - aree delle basi superiore e inferiore;

S pienoè la superficie totale;

Lato Sè la superficie laterale;

H- altezza;

Vè il volume della piramide tronca.

Per una piramide tronca regolare vale la seguente formula:

Dove P 1 , P 2 - perimetri di base;

h a- l'apotema di una piramide regolare tronca.

Esempio 1 In una piramide triangolare regolare l'angolo diedro alla base è 60º. Trova la tangente dell'angolo di inclinazione del bordo laterale rispetto al piano della base.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 18).

La piramide è regolare, ciò significa che la base è un triangolo equilatero e tutte le facce laterali sono triangoli isosceli uguali. L'angolo diedro alla base è l'angolo di inclinazione della faccia laterale della piramide rispetto al piano della base. L'angolo lineare sarà l'angolo UN tra due perpendicolari: cioè La sommità della piramide è proiettata al centro del triangolo (centro del cerchio circoscritto e cerchio inscritto nel triangolo ABC). L'angolo di inclinazione della nervatura laterale (ad es SB) è l'angolo tra il bordo stesso e la sua proiezione sul piano di base. Per costola SB questo angolo sarà l'angolo SBD. Per trovare la tangente devi conoscere i cateti COSÌ E OB. Lasciamo la lunghezza del segmento B.Dè 3 UN. punto DI segmento B.Dè diviso in parti: e Da troviamo COSÌ: Da troviamo:

Risposta:

Esempio 2 Trova il volume di una piramide quadrangolare tronca regolare se le diagonali delle sue basi sono cm e cm e l'altezza è 4 cm.

Soluzione. Per trovare il volume di una piramide tronca, usiamo la formula (4). Per trovare le aree delle basi, devi trovare i lati dei quadrati di base, conoscendone le diagonali. I lati delle basi misurano rispettivamente 2 cm e 8 cm, ovvero le aree delle basi e Sostituendo tutti i dati nella formula, calcoliamo il volume della piramide tronca:

Risposta: 112 cm3.

Esempio 3 Trova l'area della faccia laterale di una piramide tronca triangolare regolare i cui lati delle basi sono 10 cm e 4 cm e l'altezza della piramide è 2 cm.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 19).

La faccia laterale di questa piramide è un trapezio isoscele. Per calcolare l'area di un trapezio è necessario conoscere le basi e l'altezza. Le basi sono date dallo stato, solo l'altezza rimane sconosciuta. Trovalo da dove UN 1 E perpendicolare da un punto UN 1 sul piano della base inferiore, UN 1 D- perpendicolare da UN 1 in poi AC. UN 1 E\u003d 2 cm, poiché questa è l'altezza della piramide. Per trovare DE realizzeremo un disegno aggiuntivo, in cui rappresenteremo una vista dall'alto (Fig. 20). Punto DI- proiezione dei centri delle basi superiore e inferiore. poiché (vedi Fig. 20) e D'altra parte OKè il raggio del cerchio inscritto e OMè il raggio del cerchio inscritto:

MK=DE.

Secondo il teorema di Pitagora di

Zona della faccia laterale:

Risposta:

Esempio 4 Alla base della piramide si trova un trapezio isoscele, le cui basi UN E B (UN> B). Ciascuna faccia laterale forma un angolo uguale al piano della base della piramide J. Trova la superficie totale della piramide.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 21). Superficie totale della piramide SABCDè uguale alla somma delle aree e dell'area del trapezio ABCD.

Usiamo l'affermazione che se tutte le facce della piramide sono ugualmente inclinate rispetto al piano della base, allora il vertice è proiettato nel centro del cerchio inscritto nella base. Punto DI- proiezione del vertice S alla base della piramide. Triangolo ZOLLA ERBOSAè la proiezione ortogonale del triangolo CSD al piano base. Secondo il teorema sull'area della proiezione ortogonale di una figura piana, otteniamo:

Allo stesso modo, significa Pertanto, il problema si è ridotto a trovare l'area del trapezio ABCD. Disegna un trapezio ABCD separatamente (Fig. 22). Punto DIè il centro di una circonferenza inscritta in un trapezio.

Poiché un cerchio può essere inscritto in un trapezio, allora o Per il teorema di Pitagora abbiamo

Piramide- questo è un poliedro, che ha una faccia - la base della piramide - un poligono arbitrario, e il resto - facce laterali - triangoli con un vertice comune, chiamato cima della piramide. Si chiama la perpendicolare che scende dalla sommità della piramide alla sua base altezza della piramide. Una piramide si dice triangolare, quadrangolare, ecc., se la base della piramide è un triangolo, quadrilatero, ecc. Una piramide triangolare è un tetraedro: un tetraedro. Quadrangolare - pentaedro, ecc.

Piramide, Piramide tronca

Piramide corretta

Se la base della piramide è un poligono regolare e l'altezza scende al centro della base, allora la piramide è regolare. In una piramide regolare, tutti gli spigoli laterali sono uguali, tutte le facce laterali sono triangoli isosceli uguali. L'altezza del triangolo della faccia laterale di una piramide regolare si chiama − apotema della piramide destra.

Piramide tronca

Una sezione parallela alla base della piramide divide la piramide in due parti. La parte della piramide tra la sua base e questa sezione è piramide tronca . Questa sezione di una piramide tronca è una delle sue basi. La distanza tra le basi di una piramide tronca si chiama altezza della piramide tronca. Una piramide tronca si dice corretta se la piramide da cui è stata ottenuta era corretta. Tutte le facce laterali di una piramide tronca regolare sono trapezi isosceli uguali. L'altezza della faccia laterale trapezoidale di una piramide regolare tronca è chiamata: apotema di una piramide regolare tronca.