각도를 3등분으로 나누는 것이 불가능합니다. 각도의 구성 및 분할 각도를 3개 부분으로 나누기

각도의 삼등분 문제(즉, 각도를 세 개의 동일한 부분으로 나누는 것)의 출현은 정다각형 구성 문제를 해결해야 할 필요성에 의해 결정됩니다. 나침반과 자를 갖춘 정오각형의 건설은 피타고라스학파에게 큰 인상을 주었을 것입니다. 정오각형 별이 그들의 식별 표시(건강을 상징함)였기 때문입니다. 다음과 같은 전설이 알려져 있습니다.

한 피타고라스 학파는 외국 땅에서 죽어가고 있었고 그를 돌보는 사람에게 돈을 지불할 수 없었습니다. 죽기 전에 그는 집에 다섯개 별을 묘사하라고 명령했습니다. 피타고라스 사람이 지나가면 분명히 그것에 대해 물어볼 것입니다. 그리고 실제로 몇 년 후 어떤 피타고라스 학파가 이 표시를 보고 집 주인에게 상을 주었습니다.

각도의 삼등분 문제의 기원은 실제 활동과도 관련이 있습니다. 특히 바퀴살이 있는 바퀴를 만들 때 원의 각도나 원호를 여러 개의 동일한 부분으로 나눌 수 있는 능력이 필요했습니다. 건축, 장식품 제작, 건축 기술 및 천문학에도 필요했습니다.

나침반과 자를 사용하면 n = 6과 8에 대해 정n각형을 구성할 수 있지만 n = 7과 9에 대해서는 구성할 수 없습니다. 정칠각형을 만드는 것은 흥미로운 문제입니다. "삽입" 방법을 사용하여 해결할 수 있습니다. 아르키메데스는 정칠각형의 건설을 제안했습니다. 그러나 정육각형을 만들려는 시도는 각도 삼분할 문제를 야기했어야 했습니다. 왜냐하면 정육각형을 만들려면 360°/9 = 120/3의 각도, 즉 120°의 각도를 다음으로 나누어야 하기 때문입니다. 세 개의 동일한 부분.

그리스인들은 왜 다른 도구보다 나침반과 자를 선호했습니까?

과학자들은 이 질문에 명확하고 설득력 있게 대답할 수 없습니다. 컴퍼스와 자가 가장 간단한 도구이기 때문일까요? 그럴 수도 있습니다. 그러나 나침반이나 자처럼 간단하거나 거의 간단한 다른 도구도 많이 언급할 수 있습니다. 그들 중 일부의 도움으로 공식화된 문제도 해결됩니다.

관련 문헌에서 특히 나침반과 통치자에 대한 그리스인의 특이한 동정심을 설명하려는 시도를 찾을 수 있습니다. 모든 기하학적 도형은 직선 또는 곡선의 두 가지 유형의 선으로 구성됩니다. 그리고 모든 곡선은 직경이 다른 원의 일부로 구성됩니다. 더욱이 직선과 원은 평면에서 일정한 곡률을 갖는 유일한 선입니다.

직각을 세 개의 동일한 부분으로 나누는 것입니다.

특별한 경우에는 각도를 나누는 것이 쉽습니다. 따라서 피타고라스학파는 정삼각형에서 각 각도가 60°와 같다는 사실에 기초하여 직각을 세 개의 동일한 부분으로 나눌 수 있었습니다.

직선을 분할해야 합니다(MAN.

우리는 광선 AN에 임의의 세그먼트 AC를 배치하고 그 위에 정삼각형 ACB를 구성합니다. (CAB는 60°와 같으므로 (BAM은 30°와 같습니다. 각도 CAB의 이등분선 AD를 구성해 보겠습니다. 직선의 원하는 분할을 얻습니다. (MAN을 3개의 동일한 각도로: (NAD, (DAB, (BAM) .

각도의 삼등분 문제는 각도의 다른 특정 값(예: 90° / 2n 각도, 여기서 n은 자연수)에 대해 해결 가능한 것으로 나타났습니다. 나침반과 자만으로는 어떤 각도도 3등분으로 나눌 수 없다는 사실이 19세기 전반에야 입증되었습니다.

"삽입" 방법을 사용한 솔루션

그리스인들이 고려한 각도 삼등분법의 일부 방법은 소위 삽입 방법을 사용했습니다. 그것은 주어진 두 개의 선(또는 선과 원)이 주어진 길이 a의 세그먼트를 자르는 주어진 점 O를 통과하는 선의 위치를 ​​찾는 것으로 구성되었습니다. 이 구성은 두 개의 분할이 있는 나침반과 눈금자를 사용하여 수행할 수 있으며 그 사이의 거리는 a와 같습니다.

"인서트"를 사용하면 모서리를 3개의 동일한 부분으로 나누는 것이 매우 쉽습니다. 꼭지점 B가 있는 각도의 측면에 있는 임의의 점 A를 선택하고 이 점에서 다른 측면으로 수직 AC를 떨어뜨려 보겠습니다.

광선 BC와 방향이 같은 점 A를 통과하는 광선을 그려 보겠습니다. 이제 광선 AC와 l 사이에 길이 2AB의 선분 DE를 삽입하여 그 연속이 점 B를 통과하도록 합시다. 그런 다음 (EBC = (ABC/3. 실제로 G를 선분 DE의 중간점으로 둡니다. 점 A는 위에 있습니다. 직경이 DE인 원, 따라서 AG = GE = DE/2 = AB. 삼각형 BAG와 AGE는 이등변이므로 (ABG = (AGB = 2(AEG = 2(EBC.

알렉산드리아의 파푸스(Pappus of Alexandria)는 주어진 수직선 l1과 l2 사이에 선분을 “삽입”하는 문제가 원과 쌍곡선의 교차점을 구성하는 문제로 이어진다는 것을 보여주었습니다. BC와 CD의 연장선에 선이 주어지고 정점 A는 점 E와 F에서 선 l1과 l2와 교차하는 선을 그려야 하는 주어진 점인 직사각형 ABCD를 고려하여 선분 EF가 다음을 가지도록 합니다. 주어진 길이.

삼각형 DEF를 평행사변형 DEFG로 완성해 봅시다. 원하는 선을 구성하려면 점 G를 구성한 다음 점 A를 통해 직선 DG와 평행한 선을 그리는 것으로 충분합니다. 점 G는 주어진 거리 DG = EF만큼 점 D에서 제거되므로 점 G는 작도할 수 있는 원 위에 있습니다.

반면, 삼각형 ABF와 EDA의 유사성으로부터 AB: ED = BF: AD, 즉 ED*BF=AB*AD를 얻습니다. 결과적으로 FG*BF=AB*AD = SABCD, 즉 점 G는 쌍곡선 위에 있습니다(Ox와 Oy 축을 광선 BF와 BA를 따라 향하게 하면 이 쌍곡선은 방정식 xy = SABCD로 제공됩니다).

쿼드릭스를 이용한 해법

"문법" 문제에는 각도를 임의의 비율로 나누는 문제가 포함됩니다. 이러한 문제를 해결하기 위한 첫 번째 곡선은 엘리스의 히피아스(Hippias of Elis)에 의해 발명되었습니다. 나중에(Dinostratus부터 시작하여) 이 곡선은 원의 구적법을 해결하는 데에도 사용되었습니다. 라이프니츠는 이 곡선을 사각형(quadratrix)이라고 불렀습니다.

다음과 같이 얻어집니다. 세그먼트 B'C'의 끝이 정사각형 ABCD에서 각각 BA와 CD를 따라 균일하게 이동하고 세그먼트 AN이 점 A를 중심으로 균일하게 회전한다고 가정합니다. 초기 순간의 세그먼트 B'C'는 다음과 일치합니다. 세그먼트 BC와 세그먼트 AN은 세그먼트 AB와 일치합니다. 두 세그먼트가 동시에 최종 위치 AD에 도달합니다. 사각형은 B'C' 선분과 AN 선분의 교차점으로 표현되는 곡선입니다.

어떤 측면에서 예각 ψ을 나누기 위해서는 위 그림에서 각도 DAL = ψ를 플롯하는 것이 필요합니다. 여기서 L은 사각형 위에 있습니다. 수직 LH를 세그먼트 AD에 떨어뜨려 보겠습니다. 이 수직선을 필요한 비율로 점 P로 나누겠습니다. 점 Q에서 사변형과 교차할 때까지 P를 통해 AD와 평행한 선분을 그립니다. ray AQ는 각도 LAD를 필요한 비율로 나눕니다. 왜냐하면 사각형의 정의에 따라 (LAQ: (QAD = (LP: (LH.

각도 삼등분선 구성에 관한 실제 작업

"삽입" 방법으로

쿼드릭스 사용하기

몰리의 정리를 이용한 해

어떤 각도도 세 개의 동일한 부분으로 나눌 수 없기 때문에 몰리의 정리를 사용하여 각도 삼등분 문제를 역순으로 풀 수 있습니다.

정리. 변 BC에 가장 가까운 각도 B와 C의 삼등분선이 점 A1에서 교차한다고 가정합니다. 점 B1과 C1도 비슷하게 결정됩니다. 그런 다음 삼각형 A1B1C1은 정삼각형이고 세그먼트 C1C는 정삼각형의 밑변에 수직입니다.

다음 문제를 해결해 봅시다. 모든 각도에서 그려진 삼등분선으로 삼각형을 만들어 보세요.

건설 계획.

1) 한쪽이 공통인 두 개의 임의의 각도(BAC1과 (ABC1))를 구성해 보겠습니다.

구성된 각도는 부등식을 충족해야 합니다.

2) 광선 AC1을 대칭축으로 둡니다. AC1 축에 대해 (BAC1을 반영하겠습니다. 마찬가지로 BC1 축에 대해 반영하겠습니다. (ABC1.

3) 광선 AC2를 대칭축으로 둡니다. AC2 축을 기준으로 (C1AC2를 반영합니다. 마찬가지로 BC2 축을 기준으로 (C1ВC2.

4) 삼등분선 C1과 C2의 교차점을 세그먼트 C1C2와 연결합니다.

5) 몰리의 정리는 삼각형의 삼등분선이 교차하면 정삼각형이 되고, 선분 C1C2는 정삼각형의 밑면에 수직이며 이 삼각형의 꼭지점을 통과한다고 말합니다. 높이를 알고 정삼각형을 만들려면 다음이 필요합니다. a) 세그먼트 C1C2에 대해 30도 각도로 C1 지점에서 나오는 광선을 구성합니다. b) 구성된 광선과 삼등분선의 교차점을 문자 B1 및 A1로 표시합니다. c) 지점 A1, B1, C1을 연결합니다. 우리는 정삼각형 A1B1C1을 얻습니다.

6) 정삼각형 B1과 A1의 꼭지점을 통과하는 점 C에서 광선을 그려 보겠습니다.

삼각형의 삼등분선 부분을 그림에 남겨 두겠습니다.

우리는 모든 각도에서 그려진 삼등분선으로 삼각형 ABC를 만들었습니다.

나침반과 자를 사용한 각도의 삼등분 문제 해결 불가능

나침반과 자를 사용하여 각도를 3등분으로 나눌 수 없다는 것을 증명하려면 특정 각도를 이런 식으로 나누는 것이 불가능하다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다. 우리는 나침반과 자를 사용하여 30° 각도를 삼등분하는 것이 불가능하다는 것을 증명할 것입니다. 이 각도 AOB의 꼭지점을 좌표의 원점으로 선택하고 측면 OA를 따라 Ox 축을 지시하는 좌표계 Oxy를 소개하겠습니다. 점 A와 B가 점 O에서 1만큼 제거되었다고 가정할 수 있습니다. 그런 다음 각도의 삼등분 문제에서는 좌표(cos 3ψ, 죄 3ψ). Φ=10°인 경우, 시작점은 좌표를 갖습니다. 두 좌표 모두 제곱근으로 표현됩니다. 그러므로 sin 10°라는 수는 제곱근으로 표현되지 않는다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다.

sin3ψ = sin(ψ + 2ψ) =

죄(α + β) = 죄α cosβ + cosα 죄β

죄 Φ cos2 Φ + cos Φ 죄 2 Φ =

cos2α = cos2α - sin2α

sin2α = 2sinα cosα

SinΦ(cos2Φ - sin2Φ) + cosΦ(2sinΦ cosΦ) =

죄2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - 죄2α

죄 Φ(1 - 죄2Φ - 죄2Φ) + 2sinΦ cos2Φ =

죄Φ(1 - 2sin2Φ) + 2sinΦ(1 - 죄2Φ) =

죄 ψ(1 - 2sin2 ψ + 2 - 2sin 2 ψ) =

죄Φ(3 - 4sin2Φ) =

3sinψ - 4sin3ψ sin3ψ = 3sinψ - 4sin3ψ, 숫자 x = sin 10°는 삼차 방정식을 충족합니다.

3x - 4x3 = ½(Ø =10°, 3Ø =30°, sin3Ø = ½)

8x3 - 6x + 1 = 0

(2x)3 -3*2x + 1 = 0

이 방정식에 합리적인 근이 없다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다. 2x=p/q라고 가정합니다. 여기서 p와 q는 공통 인수가 없는 정수입니다. 그러면 p3 – 3pq2 + q3 = 0, 즉 q3=p(3q2-p2)입니다. 따라서 숫자 q는 p로 나눌 수 있으며 이는 p=±1을 의미합니다. 따라서 ±13q2 + q3 =0, 즉 q2(q±3)= ±1입니다. 숫자 1은 q로 나눌 수 있으므로 q=±1입니다. 결과적으로 x = ±1/2을 얻습니다. ±1/2 값이 방정식의 근이 아니라는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다. 모순이 얻어졌으므로 방정식에 유리수 근이 없습니다. 즉, sin10°라는 숫자를 제곱근으로 표현할 수 없습니다.

애플리케이션

정다각형을 구성할 때 각도 삼등분은 필요합니다. 원 안에 내접된 정구각형의 예를 들어 제작 과정을 살펴보겠습니다.

직각삼각형 ABC 만들기. 삼등분할 BC1과 BC2를 구성합니다. 결과 각도는 30°였습니다. 결과 각도 중 하나를 두 개의 15° 이등분선으로 나눕니다. 직각에 각 측면에 15°를 "추가"합니다. 다시 우리는 결과 각도 DBE의 삼등분선을 구성합니다. 이를 두 번 더 반복하여 B 지점에서 삼각형을 회전시켜 DB가 이전 위치 BE와 일치하도록 합니다. 결과 점을 연결하십시오.

우리는 삼등분선의 구성을 사용하여 정9각형을 구성했습니다.

삼등분할

일반적인 경우 각도의 삼등분 문제는 나침반과 자를 사용하여 해결할 수 없지만 이것이 다른 보조 수단으로 이 문제를 해결할 수 없다는 의미는 아닙니다.

이 목표를 달성하기 위해 트라이섹터(trisector)라고 불리는 많은 기계 장치가 발명되었습니다. 가장 간단한 삼등분선은 두꺼운 종이, 판지 또는 얇은 주석으로 쉽게 만들 수 있습니다. 보조 그리기 도구 역할을 합니다.

Trisector 및 적용 계획.

반원에 인접한 스트립 AB의 길이는 반원의 반지름과 같습니다. 스트립 BD의 가장자리는 직선 AC와 직각을 이룹니다. B 지점에서 반원과 접촉합니다. 이 스트립의 길이는 임의적입니다. 동일한 그림은 삼등분선의 사용을 보여줍니다. 예를 들어 각도 KSM을 세 개의 동일한 부분으로 나누고 싶다고 가정해 보겠습니다.

삼등분선은 각도 S의 꼭지점이 선 BD에 있고 각도의 한 쪽은 점 A를 통과하고 다른 쪽은 반원에 닿도록 배치됩니다. 그런 다음 직선 SB와 SO를 그리고 이 각도를 세 부분으로 나누는 것이 완료됩니다. 이를 증명하기 위해 반원 O의 직선 중심을 접선 N과 선분으로 연결해 보겠습니다. 삼각형 ASB는 삼각형 SBO와 같고, 삼각형 SBO는 삼각형 OSN과 같습니다. 이 세 삼각형의 동일성으로부터 각도 ASB, BS0 및 0SN이 서로 동일하다는 것이 증명되어야 합니다.

각도를 삼등분하는 이 방법은 순전히 기하학적인 것이 아닙니다. 오히려 기계적이라고 부를 수 있습니다.

삼등분할 시계

(사용 지침)

장비: 나침반, 자, 시계 바늘, 연필, 투명 종이.

진전:

이 각도의 도형을 투명한 종이에 옮기고 양쪽 시계침이 정렬되는 순간 각도의 상단이 바늘의 회전 중심과 일치하고 각도의 한쪽이 따르도록 다이얼에 그림을 놓습니다. 손.

시계의 분침이 이 각도의 두 번째 변의 방향과 일치하도록 움직이는 순간, 각도의 상단에서 시계 방향으로 광선을 그립니다. 시계 방향 바늘의 회전 각도와 동일한 각도가 형성됩니다. 이제 나침반과 자를 사용하여 이 각도를 두 배로 늘리고 다시 두 배로 늘린 각도를 두 배로 늘립니다. 이런 식으로 얻은 각도는 이것의 1/3이 됩니다.

실제로 분침이 특정 각도를 나타낼 때마다 이 시간 동안 시침은 12배 더 작은 각도로 이동하고, 이 각도를 4배 증가시키면 각도(a/12) * 4 = 1/3a가 됩니다.

결론

따라서 해결 불가능한 구성 문제는 수학 역사에서 특별한 역할을 해왔습니다. 결국, 이러한 문제는 나침반과 자만으로는 해결될 수 없다는 것이 입증되었습니다. 그러나 "해결 불가능성을 증명하는 것"이라는 과제의 공식화는 대담한 진전이었습니다.

동시에 비전통적인 도구를 사용하여 많은 솔루션이 제안되었습니다. 이 모든 것이 기하학과 대수학에서 완전히 새로운 아이디어의 출현과 발전으로 이어졌습니다.

나는 연구 작업을 완료하고 분석한 결과 다음과 같은 결론을 내렸습니다.

✓ 이러한 문제의 출현은 실제적인 중요성(특히 정다각형의 구성)에 따라 결정되었습니다.

✓ 이러한 문제는 새로운 방법과 이론(“삽입” 방법, 쿼드릭스의 출현, 몰리의 정리)의 개발을 야기합니다.

✓ 해결할 수 없는 문제는 과학에 더 많은 관심을 불러일으킵니다. 해결책을 찾거나 불가능함을 증명하는 것은 큰 영광입니다.

그리고 나는 또한 다음과 같은 사실을 배웠습니다.

✓ 이 문제를 연구한 수학자에 대해;

✓ 새로운 개념, 용어(삼등분, 삼등분, 사차) 및 정리(Morley) 및 학습 내용:

✓ 필요한 자료를 효과적으로 찾고 선택합니다.

✓ 습득한 지식을 체계화합니다.

✓ 연구 작업의 형식을 올바르게 지정하세요.

각도의 구성과 분할은 각도기를 사용하여 수행되지만 정사각형과 컴퍼스를 사용하여 많은 각도를 구성하고 분할할 수도 있습니다. 자와 30°, 60°, 90° 및 45°, 45°, 90° 각도의 정사각형을 사용하면 15°의 배수인 모든 각도를 구성할 수 있습니다.

크로스바에 관한 주제에서 그 중 하나는 다양한 각도를 구성할 때 어떤 사각형 조합이 사용되는지 보여줍니다. 다양한 각도를 구성할 때 사각형의 위치를 ​​주의 깊게 고려하고 도면을 만들 때 이 지식을 활용하십시오. 교육 실습에서는 그림을 그릴 때 각도기 사용을 최소화합니다.

예각을 두 개의 동일한 부분으로 나누기

예각을 같은 부분으로 나누는 작업은 나침반과 자를 사용하여 수행됩니다. 각도 BAC를 점 A의 꼭지점으로 나누는 예를 사용하여 각도 이등분선을 찾는 방법을 살펴보겠습니다. 점 A를 통해 임의의 반경 R을 사용하여 각도의 변이 점 1과 2에서 교차할 때까지 호를 만듭니다. 동일한 반경을 가진 점 1을 만들고, 또 다른 호를 만들고, 점 2를 통해 동일한 작업을 수행합니다.

서로 교차하는 두 개의 호는 점 K를 제공하고 이를 점 A에 연결합니다. 직선 AK는 각도 BAC를 두 개의 동일한 부분으로 나누고 이등분선입니다.

꼭지점을 제거한 각도를 두 개의 동일한 부분으로 나누기

우리가 그러한 각도의 변의 부분 AB와 CD를 알고 있다고 가정합니다. 우리는 각도의 측면에서 거리 L과 ​​동일한 거리만큼 제거된 두 개의 평행선을 구성합니다. 거리는 선택한 선이 종이 시트(예: 점 M)에서 교차하도록 선택해야 합니다. 다음으로 모든 구성은 다음과 같습니다. 예각을 두 개의 동일한 부분으로 나눌 때 수행되는 작업입니다.

결과 직선 MN은 주어진 각도를 두 개의 동일한 부분으로 나누고 이등분선입니다.

직각을 세 개의 동일한 부분으로 나누기

직각(예: 각도 BCD)을 세 개의 동일한 부분으로 나누려면 각도의 꼭지점(점 C)에서 점 1과 2에서 각도의 측면과 교차할 때까지 임의 반경 R의 호를 그립니다. 중심에서 반경 R을 사용하여 점 1과 2를 점 M과 N에서 호 1-2와 교차하는 호를 그리면 각도 1CM = MCN = NC2 = 30°를 얻습니다.

나침반과 자를 사용하여 각도를 3개의 동일한 부분으로 나눕니다(각의 삼등분).

주석:

나침반과 자를 사용하여 각도를 동일한 부분으로 나누는 문제를 해결하는 일반적인 접근 방식이 제안됩니다. 예를 들어, 각도를 세 개의 동일한 부분으로 나누는 것이 표시됩니다(각도의 삼등분).

키워드:

모서리; 각도 나누기; 각도의 삼등분.

소개.

각의 삼등분법은 나침반과 자를 구성하여 주어진 각을 3개의 동일한 부분으로 나누는 문제입니다. 즉, 각도를 3개의 동일한 부분으로 나누는 광선인 각도 삼등분선을 구성하는 것이 필요합니다. 원을 제곱하고 세제곱을 2배로 하는 문제와 함께 고대 그리스 시대부터 알려진 고전적인 불용성 건축 문제 중 하나입니다.

목적 이 기사는 적어도 각도의 삼등분 문제와 관련하여 해결 불가능성에 대한 위 진술의 오류에 대한 증거입니다.

제안된 솔루션은 복잡한 구성이 필요하지 않으며,거의 보편적이며 모서리를 동일한 수의 부분으로 나눌 수 있습니다 , 이를 통해 정다각형을 구성할 수 있습니다.

소개 부분.

직선을 그리자ㅏ 그리고 거기에 ΔCDE를 구성합니다. 이를 "기본"이라고 부르겠습니다(그림 1).

온라인에서 선택ㅏ 임의의 점 F를 선택하고 또 다른 직선을 그립니다.비 삼각형의 점 F와 꼭지점 D를 통과합니다. 온라인비 임의의 두 점 G와 H를 취해 그림 1과 같이 점 C와 E에 연결해 보겠습니다. 그림을 분석하면 각도 사이의 다음과 같은 명확한 관계를 기록할 수 있습니다.

1. α 1 -α 3 =y 1 ; α 3 -α 5 =y 3 ; α 1 -α 5 =y 1 +y 3 ;

2. α 2 -α 4 =y 2 ; α 4 -α 6 =y 4 ; α 2 -α 6 =y 2 +y 4 ;

3.y 1 /와이 2 =y 3 /와이 4 ;

설명1. 점 3: 각도 - ∟C,∟D,∟E를 기본 삼각형 ΔCDE의 해당 꼭지점에서의 각도로 둡니다. 그런 다음 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

∟C+∟D+∟E=180 0 – 각도의 합 ΔCDE;

∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+y 1 =180 0 – 각도의 합 ΔCGE;

하자 1 /와이 2 =n 또는 y 1 =n*y 2 , 그 다음에,

∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+n*y 2 =180 0

각도의 합 ΔCHE:

∟C+(y 2 +y 4 )+∟D-(y 2 +y 4 +y 1 +y 3 )+∟E+n*(y 2 +y 4 )=180 0 , 어디

와이 1 +y 3 =n*(y 2 +y 4 ) 또는 y 1 +y 3 =n*y 2 +n*y 4 , 그리고 y 이후로 1 =n*y 2 ,저것

와이 3 =n*y 4 따라서 와이 1 /와이 2 =y 3 /와이 4 =n.

다음으로, 선에서 임의의 두 점을 선택합니다.ㅏ – N과 M을 통해 두 개의 선을 그립니다.씨 그리고디 그림 2와 같이. 이전에 말한 내용을 포함하여 선 c와 d에서 해당 각도의 변화 비율은 상수 값이라는 것이 분명합니다. 즉: (β 1 -β 3 )/(β 3 -β 5 )= (β 2 -β 4 )/(β 4 -β 6 )=y 1 /와이 3 =y 2 /와이 4 ;

각도를 세 개의 동일한 부분으로 나누는 것입니다.

점 A를 중심으로 하는 원에서 플롯 각도 E 1 A.E. 2 =β(그림 3.1 참조). 원의 반대쪽에 세 개의 각도를 대칭으로 배치합니다 - CAC 1 , 씨 1 A.C. 2 , 씨 2 A.C. 3 각각은 β와 같습니다. 분할 각도 E 1 A.E. 2 , 점 K에서 1 ,케이 3 , 세 개의 동일한 각도로 - ∟E 1 A.K. 1 , ∟K 1 A.K. 3 , ∟K 3 A.E. 2 β/3과 같습니다. 그림과 같이 원 위의 점들을 지나는 직선을 그려 봅시다. 3.1. 점 C, E를 직선으로 연결 1 그리고 C 2 ,이자형. (그림 3.2 참조)

점 K를 통과 – 선과 점 K의 교차점 1 직선을 그려 봅시다. 이 선에서 임의의 점 K를 선택합시다 2 점 C와 C에서 이를 통과하는 두 개의 직선을 그립니다. 2 .

그림 1을 알아차리는 것은 어렵지 않습니다. 3.2의 원선을 제거하면 그림 3.2와 거의 동일하다. 2. (명확성을 위해 CC 점선을 추가했습니다. 2 ). 이는 위에서 언급한 모든 관계가 여기에 적용 가능하다는 것을 의미합니다. 즉, 세 개의 동일한 부분으로 나누어야 하는 각도의 경우 관계 y가 유효합니다. 1 /와이 2 =y 3 /와이 4 =1/2 (소개 부분의 설명 1 참조). 그림 3.2를 보면 각도를 세 개의 동일한 부분으로 나누는 방법이 명확해집니다.

예를 들어, 각도 β=50을 3등분으로 나누는 것을 생각해 보세요. 0 .

옵션 1.

중심 A가 있는 원에서 나침반을 사용하여 서로 대칭으로 그리고 직경 CB(그림 4.1 참조) 호 C를 그립니다. 1 씨 2 =B 1 비 2 =B 2 비 3 =B 1 비 4 β=50과 같음 0 - 원의 중심을 기준으로 합니다. 반호 C 1 씨 2 – 참조 1 반으로 나눕니다(점 D). 점 B를 통과하는 직선을 그립니다. 1 D 지점과 B 지점 모두 3 C. 포인트 B 연결 1 그리고 C, B 3 그리고 C 1 . 이전에 그린 선의 교차점 F와 E를 서로 연결합니다. 결과 각도 α=C 1 G는 FE와 원의 교차점인 AG는 β/3과 같습니다.

옵션 2.

중심 A가 있는 원에서 나침반을 사용하여 서로 대칭으로 그리고 직경 CB(그림 4.2 참조) 호 C를 그립니다. 1 씨 2 =B 1 비 2 =B 2 비 3 =B 1 비 4 =β=50 0 - 원의 중심을 기준으로 합니다. 연결점 B 1 그리고 C, B 3 그리고 C 1 . 각도를 따로 설정 y 2 =2년 1 (그림 4.2 참조) 라인 B에서 1 C와 B 3 씨 1 그리고 이 각도에 해당하는 직선을 그립니다. 이전에 그린 선의 교차점 F와 E를 서로 연결합니다. 결과 각도 α=C 1 AG ≒16.67 0 , 여기서 G는 선 FE와 원의 교차점으로, β/3과 같습니다.

각도를 3개의 동일한 부분으로 나누는 완전한 구성(각 β=50의 예 사용) 0 ) 그림 5에 표시됨

각도를 동일한 각도의 홀수(>3)로 나눕니다.

예를 들어, 각도 β=35로 나누는 것을 고려해보세요. 0 다섯 개의 동일한 각도로.

방법 번호 1.

중심 A가 있는 원에서 서로 대칭으로 나침반을 사용하여 각도 C를 그리고 직경 CB를 그립니다. 2 A.C. 1 =B 1 AB 2 =B 2 AB 3 =B 3 AB 4 =B 4 AB 5 =B 5 AB 6 =β=35 0 .(그림 6 참조)

분할 각도 C 2 AC는 반각 C와 같습니다. 2 A.C. 1 점 E에서 반으로. 점들을 연결하세요

E,C 2 ,비 1 ,비 2 ,비 3 다음으로 각도를 나누기 위해 이전 예제의 옵션 2를 사용합니다. 각도를 3보다 큰 홀수로 나누는 옵션 1은 분명히 적용할 수 없기 때문입니다. B라인에서 3 E와 B 1 씨 2 B 지점에서 3 그리고 B 1 따라서 우리는 각도 y를 따로 설정합니다. 1 그리고 y 2 1:4 비율로. B 지점에서 3 그리고 B 1 N점에서 교차할 때까지 이 각도에 해당하는 직선을 그립니다. 각도 C 2 AK=α=7 0 당신이 찾고있는 것이 될 것입니다.

방법 2번.

이 방법(그림 7 참조)은 각도 C2AC1의 1/4(원 BC의 중심선에 인접한 각도 EAC)이 구성에 사용된다는 유일한 차이점을 제외하고 첫 번째 방법과 유사합니다. 이 방법의 장점은 각도를 7, 9, 11 등의 많은 각도로 더 쉽게 나눌 수 있다는 것입니다.

정칠각형의 건설.

n을 파티션 수(각도가 분할되는 섹터 수)라고 가정합니다.

그렇다면 만약n-1=2 케이 (1), 여기서케이 – 임의의 정수이면 각도는 이전에 표시된 것처럼 한 단계로 나뉩니다. 만약에n-1≠2 케이 (2) – 그런 다음 각도는 두 단계로 나누어집니다.n-1 , 그리고 나서N . 모든 경우에 다음 비율이 관찰됩니다.와이 1 /와이 2 = 1/n-1 (3).

정칠각형을 구성하는 예를 사용하여 이를 설명하겠습니다.

칠각형을 만들려면 60도의 1/7부분을 구해야 합니다. 0 , 6을 곱하고 결과 각도를 원 주위에 7번 플롯합니다(이것은 가능한 옵션 중 하나입니다). 7-1=6이므로 식(2)에 따르면 각도는 60°이다. 0 우리는 그것을 두 단계로 나눌 것입니다. 첫 번째 단계에서는 6으로 나누고, 두 번째 단계에서는 7로 나눕니다. 이를 위해 각도를 30으로 나눕니다. 0 10개씩 3개의 동일한 섹터로 0 (그림 8 참조), 기사 시작 부분에 설명된 옵션 1을 가장 간단한 방법으로 사용합니다. 결과 각도 ECL=10 0 원의 중심선에서 따로 설정합니다(그림 9 참조). 각도 ECL은 정중선을 기준으로 대칭적으로 배치된 각도 60에 속한다고 가정합니다. 0 .

다음은 60도의 1/7부분을 구하는 것입니다 0 우리는 앞에서 설명한 방법 2번을 사용합니다. 이를 위해 각도 D를 따로 설정하겠습니다. 1 CD 2 =60 0 정중선과 각도 D에 대칭 2 CD 3 =60 0 그 옆에. D 지점에서 1 그리고 디 3 각도 y를 구성해 봅시다 1 그리고 y 2 D라인으로 1 E와 D 3 L 따라서 공식 (3)에 따른 비율, 즉 1 ~ 6을 관찰합니다.

y 각도로 직선을 그리자 1 그리고 y 2 . 해당 선의 교차점 G와 F를 연결해 봅시다. 각도 LCH=60 0 /7. 이 각도를 L 지점에서 B 지점까지 6번 따로 설정해 보겠습니다. 결과 각도 BCL을 6번 더 따로 설정해 놓고 결과적으로 칠각형 LBKFMNA를 얻습니다.

결론.

본 문서에서 제안된 각도를 동일한 부분으로 나누는 방법에는 제한이 있습니다. 각도가 60보다 큰 경우에는 직접 사용할 수 없습니다. 0 , 그러나 이는 문제의 근본적인 해결 가능성 측면에서 그다지 중요하지 않습니다.

서지:

1. Metelsky N.V. 수학. 대학 및 기술학교 지원자를 위한 중등학교 과정입니다. 에드. 셋째, 고정관념. Mn. “최고. 학교", 1975, 688p. 병에서.

응용으로서, 우리는 이제 이미 다뤘던 하나의 대중적인 수학적 문제, 즉 임의의 각도를 동일한 부분으로 나누는 문제, 특히 각도의 삼등분 문제에 대한 해법을 다룰 수 있습니다. 임무는 모든 각도를 3등분으로 나누는 나침반과 자를 사용하여 정확한 구조를 찾는 것입니다. 다양한 특수 각도 값의 경우 이러한 구성을 쉽게 찾을 수 있습니다. 나는 표시된 의미에서 각도의 삼등분 불가능을 증명하는 일련의 사고 방식을 여러분에게 소개하고 싶습니다. 동시에 나침반과 자를 사용하여 정칠각형을 만드는 것이 불가능하다는 증거를 기억해 주시기 바랍니다. 그 증명에서처럼, 우리는 문제를 환원 불가능한 삼차 방정식으로 축소한 다음 제곱근만으로는 풀 수 없음을 보여줄 것입니다. 그러나 지금은 방정식에 매개변수(각도)가 포함되지만 이전에는 계수가 정수였습니다. 이에 따라 이제 수치적 환원 불가능성 대신 기능적 환원 불가능성이 있어야 합니다.

문제에 대한 기록을 제공하는 방정식을 얻으려면 실수의 양의 반축에 각도가 구성되어 있다고 상상해 보십시오(그림 41). 그러면 두 번째 변은 해당 지점에서 반경 1의 원과 교차합니다.

우리의 임무는 각도의 크기와 무관한 구성을 찾는 것으로 요약됩니다. 이는 나침반과 자를 사용한 유한한 수의 작업으로 구성되며, 매번 이 원과 각도의 측면의 교차점을 제공합니다. , 요점

이 z 값은 방정식을 만족합니다.

그리고 우리의 기하학적 문제에 대한 분석적 등가물은 유리 함수의 유한 수의 제곱근으로 이 방정식을 푸는 것입니다. 왜냐하면 이것들은 우리가 구성을 시작해야 하는 점 w의 좌표이기 때문입니다.

우선, 함수 이론의 관점에서 방정식 (3)이 환원 불가능하다는 것을 확인할 필요가 있습니다. 사실, 이 방정식은 이전 일반 논의에서 염두에 두었던 방정식 유형과 완전히 맞지 않습니다. 합리적으로 입력되는 복소수 매개변수 대신 여기에는 실수 매개변수의 두 가지 함수(코사인 및 사인)가 있습니다. 에 대해 다항식으로 분해되는 경우 다항식을 환원 가능하다고 부르십시오. 그 계수는 또한 유리 함수입니다. 우리는 이러한 의미에서 이해된 환원성에 대한 기준을 제공할 수 있습니다. 이는 이전 것과 매우 유사합니다. 즉, 등식(3)에서 모든 실수 값을 통과하면 동시에 평면 w에서 반경 1의 원을 통과합니다. 이는 입체 투영으로 인해 구 w의 적도에 해당합니다. 방정식의 리만 곡면에서 이 원 위에 놓여 있고 세 시트 모두를 동시에 통과하는 선은 (3)을 사용하여 구의 반경 1인 원에 일대일로 매핑되므로 어느 정도 호출할 수 있습니다. 그것은 “1차원 리만 이미지”이다. 비슷한 방식으로 형식의 모든 방정식에 대해 그러한 리만 이미지를 구성하는 것이 가능하다는 것이 분명합니다. 이렇게 하려면 방정식의 근만큼 반지름이 1이고 호 길이가 있는 원의 복사본을 가져와서 근의 연결에 따라 고정해야 합니다.

다음으로, 우리는 이전 것과 매우 유사하게 방정식이 1차원 리만 이미지가 별도의 부분으로 분할된 경우에만 환원 가능하다고 결론을 내립니다. 그러나 이 경우에는 그렇지 않으므로 방정식의 환원 불가능성( 3) 입증되었습니다.

일련의 제곱근으로 풀 수 있는 유리수 계수를 갖는 모든 삼차 방정식이 환원 가능하다는 이전의 증명은 함수적 의미에서 환원 불가능한 방정식 (3)의 현재 경우에 그대로 적용될 수 있습니다. “유리함수”라고 말할 때마다 “유리수”라는 단어 대신에 해야 할 일은 유한한 수의 연산(나침반과 자를 사용하여)을 통해 수행이 불가능하다는 것이 완전히 입증되었습니다. ) 이런 식으로 임의의 각도를 세 부분으로 나누면 각도를 삼등분하는 사람들의 모든 노력은 영원히 무익할 운명입니다!

이제 조금 더 복잡한 예를 살펴보겠습니다.

각도를 반으로 나누기 (그림 26, a). 위에서 안에 각도 알파벳 임의 반경 아르 자형 1 점에서 각도의 측면과 교차할 때까지 호를 그립니다. 중 그리고 N . 그럼 포인트부터 중 그리고 N 반지름이 있는 호 그리기 > 아르 자형 1 그 지점에서 교차할 때까지 디 . 똑바로 BD 주어진 각도를 반으로 나눕니다.

각도를 4, 8 등의 동일한 부분으로 나누는 것은 각도의 각 부분을 순차적으로 반으로 나누어 수행됩니다(그림 26, b).

그림 26

예를 들어 도면 내에서 교차하지 않는 변으로 각도가 지정된 경우 AB 그리고 CD 그림 26의 c에서는 각도를 반으로 나누는 작업이 이렇게 수행됩니다. 임의적이지만 동일한 거리에서 엘 각도의 측면에서 직선이 그려집니다. 쿠알라룸푸르 || AB 그리고 미네소타 || CD 그리고 그 지점에서 교차할 때까지 계속하세요. 에 대한 . 결과 각도 엘 에 직선을 이등분하다 의 . 똑바로 의 또한 주어진 각도를 이등분합니다.

직각을 세 개의 동일한 부분으로 나누기 (그림 27). 직각의 꼭지점에서 - 점 안에 임의의 반경의 호를 그립니다. 아르 자형 각도의 양쪽 지점에서 교차할 때까지 ㅏ 그리고 씨 . 동일한 반경 아르 자형 포인트에서 ㅏ 그리고 와 함께 호와 교차할 때까지 호를 그립니다. A.C. 포인트에서 중 그리고 N . 각의 꼭지점을 지나는 선 안에 그리고 점 중 그리고 N , 직각을 세 개의 동일한 부분으로 나눕니다.

그림 27

2.4 원을 같은 부분으로 나누고 정다각형 만들기

2.4.1 원을 같은 부분으로 나누고 규칙적인 내접다각형 만들기

원을 반으로 나누려면 무엇이든 그려도 충분합니다. 지름. 서로 수직인 두 개의 직경은 원을 4개의 동일한 부분으로 나눕니다(그림 28, a). 각 네 번째 부분을 반으로 나누면 여덟 번째 부분이 생기고, 추가로 나누면 16분의 1, 32초 부분 등이 됩니다(그림 28, b). 바로 연결하면 분할점을 사용하면 정규 내접 사각형의 측면을 얻을 수 있습니다. (ㅏ 4 ), 팔각형( ㅏ 8 ) 그리고 t . d.(그림 28, c)

그림 28

원을 3, 6, 12 등의 동일한 부분으로 나누고, 그리고 해당 정다면체의 구성 다음과 같이 수행되었습니다. 서로 수직인 두 개의 지름이 원 안에 그려집니다. 1–2 그리고 3–4 (그림 29a). 포인트에서 1 그리고 2 원의 반지름이 있는 호를 중심에서 설명하는 방법 아르 자형 점에서 교차하기 전에 에이, 비, 씨 그리고 디 . 포인트들 ㅏ ,비 ,1,기음, 디 그리고 2 원을 6개의 동일한 부분으로 나눕니다. 하나를 통과한 동일한 점은 원을 세 개의 동일한 부분으로 나눕니다(그림 29, b). 원을 12개의 동일한 부분으로 나누려면 점에서 원의 반경을 사용하여 두 개의 호를 더 묘사하십시오. 3 그리고 4 (그림 29, c).

그림 29

또한 눈금자와 30° 및 60° 정사각형을 사용하여 정삼각형, 육각형 등을 구성할 수도 있습니다. 그림 30은 내접삼각형의 유사한 구성을 보여줍니다.

그림 30

원을 7개의 동일한 부분으로 나누기 내접 칠각형(그림 31)의 구성은 내접 칠각형의 변과 대략 동일한 내접 삼각형 변의 절반을 사용하여 수행됩니다.

그림 31

원을 5개 또는 10개로 나누다 동등한 부분 서로 수직인 두 개의 직경을 그립니다(그림 32, a). 반지름 O.A. 반으로 나누어 포인트를 받은 후 안에 , 반경을 사용하여 호를 설명합니다. 아르 자형 = 기원전 그 지점에서 교차할 때까지 디 수평 직경. 점 사이의 거리 씨 그리고 디 정오각형의 변 길이와 같습니다( ㅏ 5 ) 및 세그먼트 외경 정십각형의 한 변의 길이와 같습니다( ㅏ 10 ). 원을 5등분과 10등분으로 나누는 것과 내접된 정오각형과 십각형의 구성이 그림 32, b에 나와 있습니다. 원을 다섯 부분으로 나누는 용도의 예는 다섯개 별입니다(그림 32, c).

그림 32

그림 33은 다음과 같습니다. 원을 같은 부분으로 대략적으로 나누는 일반적인 방법 . 원을 9개의 동일한 부분으로 나누고 싶다고 가정해 보겠습니다. 서로 수직인 두 개의 직경과 수직 직경이 원 안에 그려집니다. AB 보조 직선을 사용하여 9개의 동일한 부분으로 나눕니다(그림 33, a). 시점에서 비 반지름이 있는 호를 묘사하다 아르 자형 =AB , 수평 직경의 연속과의 교차점에서 점이 얻어집니다 와 함께 그리고 디 . 포인트에서 씨 그리고 디 짝수 또는 홀수 직경 분할점을 통해 AB 광선을 실시하십시오. 광선과 원의 교차점은 원을 9개의 동일한 부분으로 나눕니다(그림 33, b).

그림 33

구성할 때 원을 동일한 부분으로 나누는 이 방법은 모든 작업을 수행하는 데 특히 높은 정확도가 필요하다는 점을 고려할 필요가 있습니다.