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러시아 연방 교육과학부
체레포베츠 주립대학교
공학경제연구소
수학에서 무작위 과정의 개념
학생이 수행함
그룹 5 GMU-21
이바노바 율리아
체레포베츠
소개
주요 부분
· 랜덤과정의 정의와 그 특징
· 이산 상태를 갖는 마르코프 무작위 프로세스
· 고정 랜덤 프로세스
고정 랜덤 프로세스의 에르고딕 특성
문학
소개
랜덤 프로세스의 개념은 20세기에 도입되었으며 A.N. 콜모고로프(1903-1987), A.Ya. 힌친(1894-1959), E.E. 슬러츠키(1880-1948), N. 위너(1894-1965).
오늘날 이 개념은 확률론뿐만 아니라 자연과학, 공학, 경제학, 생산조직, 커뮤니케이션 이론에서도 핵심적인 개념 중 하나입니다. 무작위 과정 이론은 가장 빠르게 성장하는 수학 분야의 범주에 속합니다. 이러한 상황이 실천과의 깊은 연관성에 의해 크게 결정된다는 것은 의심의 여지가 없습니다. 20세기는 과거로부터 물려받은 이념적 유산에 만족할 수 없었다. 실제로 물리학자, 생물학자, 엔지니어는 이 과정에 관심이 있었지만, 연구되는 현상의 시간 변화, 수학적 장치로 제공되는 확률 이론은 정지 상태를 연구한다는 의미일 뿐입니다.
시간에 따른 변화를 연구하기 위해 19세기 후반~20세기 초반의 확률 이론은 구체적인 계획을 개발하지 않았으며 일반적인 기술은 말할 것도 없습니다. 그리고 그것들을 창조해야 할 필요성은 문자 그대로 수학 과학의 창문과 문을 두드렸습니다. 물리학에서 브라운 운동에 대한 연구는 수학을 무작위 과정 이론을 창조하는 문턱까지 끌어올렸습니다.
나는 서로 다른 시기에 서로 다른 이유로 시작된 두 가지 더 중요한 연구 그룹을 언급할 필요가 있다고 생각합니다.
첫째, A.A. 체인 의존성 연구에 관한 Markov(1856-1922). 둘째, E.E. Slutsky(1880-1948)의 무작위 함수 이론.
이 두 방향 모두 무작위 과정의 일반 이론을 형성하는 데 매우 중요한 역할을 했습니다.
이를 위해 이미 상당한 초기 자료가 축적되어 있었고, 이론을 구축할 필요성도 대두된 것 같았습니다.
기존 작업, 그 안에 표현된 아이디어 및 결과에 대한 심층 분석을 수행하고 이를 기반으로 필요한 종합을 수행하는 것이 남아 있었습니다.
랜덤 프로세스의 정의 및 특성
정의: 무작위 과정을 통해 X(t)는 인수 t의 모든 값에 대해 해당 값이 확률 변수인 프로세스입니다.
즉, 무작위 프로세스는 테스트 결과 사전에 알려지지 않은 특정 형태를 취할 수 있는 기능입니다. 고정된 t=t 0 X(t 0)의 경우 일반 확률 변수입니다. 즉, 부분시간 t 0에서의 무작위 프로세스.
무작위 과정의 예:
1. 시간 경과에 따른 지역 인구;
2. 시간 경과에 따른 회사의 수리 서비스 요청 건수.
랜덤 프로세스는 두 변수 X(t, Ω)의 함수로 작성될 수 있습니다. 여기서 Ω€Ω, t€T, X(t, Ω) € ל 및 Ω는 기본 이벤트이고 Ω은 기본 이벤트의 공간입니다. , T는 인수 값 t의 집합이고, SiO는 랜덤 프로세스 X(t, Ω)의 가능한 값 집합입니다.
구현랜덤 프로세스 X(t, Ω)는 랜덤 프로세스 X(t)가 (고정 Ω에 대해) 테스트 결과로 바뀌는 비랜덤 함수 x(t)입니다. 즉, 랜덤 프로세스 X(t)가 취하는 특정 형식, 궤도.
따라서, 무작위 과정 X(티, Ω) 확률변수와 함수의 특징을 결합한 것입니다.인수 t의 값을 고정하면 랜덤 프로세스가 일반 랜덤 변수로 변하고, Ω를 고정하면 각 테스트의 결과로 일반 비랜덤 함수로 변합니다. 다음 논의에서는 인수 Ω를 생략하지만 기본적으로 가정됩니다.
그림 1은 랜덤 프로세스의 여러 구현을 보여줍니다. 주어진 t에 대한 이 과정의 단면을 연속 확률 변수로 둡니다. 그러면 주어진 t에 대한 무작위 과정 X(t)는 전적으로 확률 ψ(x‚ t)에 의해 결정됩니다. 밀도 ψ(x, t)는 서로 다른 시간에 해당 섹션 간의 종속성을 표현하지 않기 때문에 무작위 프로세스 X(t)에 대한 철저한 설명이 아니라는 것이 분명합니다.
랜덤 프로세스 X(t)는 t의 가능한 모든 값에 대한 모든 섹션의 모음이므로 이를 설명하려면 다차원 랜덤 변수(X(t 1), X(t 2),… .., X(t n)), 이 프로세스의 모든 조합으로 구성됩니다. 원칙적으로 이러한 조합의 수는 무한하지만, 무작위 프로세스를 설명하려면 상대적으로 적은 수의 조합으로도 가능합니다.
그들은 무작위 프로세스가 있다고 말합니다. 주문하다N, 프로세스의 임의 섹션의 결합 분포 밀도 Φ(x 1, x 2, …, x n; t 1, t 2, …, t n) n에 의해 완전히 결정되는 경우, 즉 n차원 확률 변수(X(t 1), X(t 2), ..., X(t n))의 밀도. 여기서 X(t i)는 시간 t i에서의 확률 과정 X(t)의 조합입니다. , i=1, 2, …, n.
확률 변수와 마찬가지로 확률 과정도 수치적 특성으로 설명할 수 있습니다. 랜덤 변수의 경우 이러한 특성이 상수인 경우 랜덤 프로세스의 경우 - 무작위가 아닌 기능.
수학적 기대랜덤 프로세스 X(t)는 변수 t의 임의의 값에 대해 랜덤 프로세스 X(t)의 해당 섹션에 대한 수학적 기대값과 동일한 비랜덤 함수 a x(t)입니다. 즉, ax(t)=M .
변화랜덤 프로세스 X(t)는 랜덤 프로세스 X(t)의 해당 조합의 분산과 동일한 변수 t의 값에 대해 비랜덤 함수 D x (t)입니다. 즉 D x (t)= D.
표준 편차랜덤 프로세스 X(t)의 σ x (t)는 분산의 제곱근의 산술 값입니다. 즉, σ x (t)= D x (t).
무작위 과정의 수학적 기대는 다음과 같은 특징을 갖습니다. 평균가능한 모든 구현의 궤적 및 분산 또는 표준 편차 - 확산평균 궤적을 기준으로 한 구현입니다.
위에서 소개한 랜덤과정의 특성은 일차원적인 분포법칙에 의해서만 결정되기 때문에 불충분한 것으로 나타났다. 랜덤 프로세스 X 1 (t)가 t의 변화에 따른 구현 값의 느린 변화를 특징으로 한다면, 랜덤 프로세스 X 2 (t)의 경우 이 변화는 훨씬 빠르게 발생합니다. 즉, 랜덤 프로세스 X 1 (t)는 두 조합 X 1 (t 1)과 X 1 (t 2) 사이에 밀접한 확률적 의존성을 갖는 반면, 랜덤 프로세스 X 2 (t)의 경우 이러한 의존성은 X 2 (t 1) 및 X 2 (t 2) 조합은 실제로 존재하지 않습니다. 조합 간의 표시된 의존성은 상관 함수로 특징지어집니다.
정의: 상관 함수랜덤 프로세스 X(t)를 비랜덤 함수라고 합니다.
K x (t 1 , t 2) = M[(X(t 1) – a x (t 1))(X(t 2) – a x (t 2))] (1.)
두 변수 t 1 및 t 2. 각 변수 쌍 t 1 및 t 2에 대해 랜덤 프로세스의 해당 조합 X(t 1) 및 X(t 2)의 공분산과 같습니다.
분명히, 랜덤 프로세스 X(t 1)의 경우 상관 함수 K x 1 (t 1, t 2)는 차이 t 2 - t 1이 K x 2 (t 1, t 2)보다 훨씬 느리게 증가함에 따라 감소합니다. 랜덤 프로세스 X(t 2).
상관 함수 K x (t 1 , t 2)는 두 조합 간의 선형 관계의 근접성 정도뿐만 아니라 수학적 기대 a x (t)에 대한 이러한 조합의 확산도 특징으로 합니다. 따라서 랜덤 프로세스의 정규화된 상관 함수도 고려됩니다.
정규화된 상관 함수랜덤 프로세스 X(t)를 함수라고 합니다:
P x (t 1, t 2) = K x (t 1, t 2) / σ x (t 1)σ x (t 2) (2)
예 1
랜덤 프로세스는 공식 X(t) = X cosΩt로 정의됩니다. 여기서 X는 랜덤 변수입니다. M(X) = a, D(X) = σ 2인 경우 이 과정의 주요 특성을 찾아보세요.
해결책:
수학적 기대와 분산의 속성을 기반으로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
a x (t) = M(X cosΩt) = cosΩt * M(X) = a cosΩt,
D x (t) = D(X cosΩt) = cos 2 Ωt * D(X) = σ 2 cos 2 Ωt.
공식 (1)을 사용하여 상관 함수를 찾습니다.
K x (t 1 , t 2) = M[(X cosΩt 1 – a cosΩt 1) (X cos Ωt 2 – a cosΩt 2)] =
CosΩt 1 cosΩt 2 * M[(X – a)(X - a)] = cosΩt 1 cosΩt 2 * D(X) = σ 2 cosΩt 1 cosΩt 2 .
우리는 공식 (2.)를 사용하여 정규화된 상관 함수를 찾습니다.
P x (t 1, t 2) = σ 2 cosΩt 1 cosΩt 2 / (σ cosΩt 1)(σ cosΩt 2) ‚ 1.
무작위 프로세스는 발생하는 시스템의 상태가 원활하게 또는 갑자기 변경되는지 여부, 이러한 상태 집합이 유한(가산) 또는 무한인지 등에 따라 분류될 수 있습니다. 랜덤 프로세스 중에서 특별한 위치는 Markov 랜덤 프로세스에 속합니다.
정리. 무작위 과정 X(t)는 모든 (t, t^)€ T*T에 대해 R(t, t^)가 존재하는 경우에만 Hilbert입니다.
힐베르트 무작위 과정 이론을 상관 이론이라고 합니다.
집합 T는 이산적이고 연속적일 수 있습니다. 첫 번째 경우, 랜덤 프로세스 X t는 이산 시간 프로세스, 두 번째 프로세스는 연속 시간 프로세스라고 합니다.
따라서 X t 의 조합은 이산적이고 연속적인 확률 변수가 될 수 있습니다.
랜덤 프로세스를 X(t)라고 합니다. 선택적으로실현 x(t) = x(t, Ω)가 각각 연속적이고 미분 가능하며 적분 가능하다면 점 Ω€Ω에서 불규칙하고 미분 가능하며 적분 가능합니다.
랜덤 프로세스 X(t)를 연속이라고 합니다. 거의, 아마도만약에
P(A)=1, A = (Ω € Ω : lim x(t n) = x(t))
안에 평균 제곱,만약에
한계 M[(X(t n) – X(t)) 2 ] = 0
확률에 따라, 만약에
Aδ ≥ 0: 한계 P[| X(티n) – X(티)| > δ] = 0
평균 제곱 수렴은 다음과 같이 표시됩니다.
X(t) = 한계 X(tn)
표본 연속성은 거의 확실히 연속성을 따르고, 연속성은 거의 확실하며, 평균 제곱에서는 확률에 따른 연속성을 따른다는 것이 밝혀졌습니다.
정리. X(t)가 평균 제곱에서 연속인 힐베르트 확률 과정인 경우 m x (t)는 연속 함수이고 관계는 다음과 같습니다.
임 M = M = M .
정리. 힐베르트 확률 과정 X(t)는 점 (t, t)에서 공분산 함수 R(t, t^)가 연속인 경우에만 평균 제곱 연속입니다.
힐베르트 확률 과정 X(t)는 다음과 같은 확률 함수 X(t) = dX(t)/dt가 존재하는 경우 평균 제곱 미분 가능이라고 합니다.
X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+Δt) – X(t) / Δt
(t € T, t +Δt € T),
저것들. 언제
한계 M [((X(t + Δt) – X(t) / (Δt)) – X(t)) 2 ] = 0
우리는 랜덤 함수 X(t)를 호출할 것입니다. 평균 제곱 도함수각각 지점 t 또는 T에서 랜덤 프로세스 X(t)를 수행합니다.
정리. 힐베르트 확률 과정 X(t)는 다음이 존재하는 경우에만 점 t의 평균 제곱에서 미분 가능합니다.
점 (t, t^)에서 δ 2 R(t, t^) / δtδt^. 여기서:
R x (t, t^) = M = δ 2 R(t, t^) / δtδt^.
힐베르트 확률 과정이 T에서 미분 가능하다면, 그 평균 제곱 도함수도 힐베르트 확률 과정입니다. 프로세스의 샘플 궤적이 확률 1로 T에서 미분 가능한 경우 확률 1로 해당 도함수는 T의 평균 제곱 도함수와 일치합니다.
정리. X(t)가 힐베르트 확률 과정이라면,
M = (d / dt) M = dm x (t) / dt.
(0, t)를 유한한 간격, 0이라고 하자
X(t)는 힐베르트 무작위 과정입니다.
Y n = ∑ X(ti)(ti – t i-1) (n = 1,2, …).
그런 다음 무작위 변수
최대(ti – t i -1)→0
라고 불리는 평균 제곱에 적분(0, t)에 대한 X(t) 과정은 다음과 같이 표시됩니다.
Y(t) = ∫ X(τ)dτ.
정리 . 힐베르트 과정 X(t)의 공분산 함수 R(t, t^)가 T×T에서 연속이고 적분이 존재하는 경우에만 평균 제곱 적분 Y(t)가 존재합니다.
R y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^) dτdτ^
함수 X(t)의 평균 제곱 적분이 존재하면
M = ∫Mdτ,
R Y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^)dτdτ^
K y (t, t^) = ∫ ∫ K(τ, τ^)dτdτ^
여기서 R y (t, t^) = M, K y (t, t^) = M은 랜덤 프로세스 Y(t)의 공분산 및 상관 함수입니다.
정리. X(t)를 공분산 함수 R(t, t^)를 갖는 힐베르트 확률 과정으로 두고, Φ(t)를 실수 함수로 두고 적분이 존재한다고 가정합니다.
∫ ∫ Φ(t)Φ(t^)R(t, t^)dtdt^
그런 다음 평균 제곱 적분이 있습니다.
∫ Φ(t)X(t)dt.
무작위 프로세스:
X i (t) = V i ψ i (t) (i = 1n)
여기서 Φ i (t)에는 실수 함수가 제공됩니다.
Vi - 특성이 있는 확률변수
그들은 초등학생이라고 불립니다.
정식 확장랜덤 프로세스 X(t)는 다음 형식으로 표현됩니다.
여기서 Vi는 계수이고 Φ i (t)는 프로세스 X(t)의 정규 확장의 좌표 함수입니다.
관계에서:
M(V I = 0), D(V I) = D I, M(V i V j) = 0 (i ≠ j)
X(t) = m x (t) + ∑ V i ψ i (t) (t € T)
K(t, t^) = ∑ D i ∅ i (t)∅ i (t^)
이 공식은 정식 확장랜덤 프로세스의 상관 함수.
방정식의 경우
X(t) = m x (t) + ∑ V i ψ i (t) (t € T)
다음 공식이 적용됩니다.
X(t) = m x (t) + ∑ V i ψ(t)
∫ x(τ)dt = ∫ m x (τ)dτ + ∑ V i ∫ Φ i (t)dt.
따라서 프로세스 X(t)가 정규 확장으로 표현되면 해당 도함수와 적분도 정규 확장으로 표현될 수 있습니다.
이산 상태를 갖는 마르코프 무작위 프로세스
가능한 상태 S 1, S 2, S 3, ...을 갖는 특정 시스템 S에서 발생하는 무작위 프로세스를 호출합니다. 마르코프스키, 또는 결과가 없는 무작위 프로세스, 어떤 순간 t 0 동안 미래 프로세스의 가능한 특성(t>t 0)이 주어진 순간 t 0의 상태에만 의존하고 시스템이 이 상태에 도달한 시기와 방법에는 의존하지 않는 경우; 저것들. 과거의 행동에 의존하지 마십시오(t 시점).
Markov 프로세스의 예: 시스템 S는 택시 미터입니다. t 순간의 시스템 상태는 현재까지 자동차가 이동한 킬로미터(10분의 1킬로미터) 수로 특징지어집니다. 순간 t 0 카운터가 S 0을 표시한다고 가정합니다. / 현재 t>t 0 카운터가 이 또는 해당 킬로미터 수(보다 정확하게는 해당 루블 수)를 표시할 확률 S 1은 S 0에 따라 다르지만 어느 순간에 의존하지 않고 미터 판독 값이 t 0 순간까지 변경되었습니다.
많은 프로세스가 대략적으로 Markovian으로 간주될 수 있습니다. 예를 들어, 체스를 두는 과정; 시스템 S는 체스 말 그룹입니다. 시스템 상태는 시간 t 0 에 보드에 남아 있는 적 조각의 수로 특징지어집니다. t > t 0 순간에 물질적 이점이 상대방 중 한 쪽 편이 될 확률은 주로 t 0 순간의 시스템 상태에 따라 달라지며, 보드가 있는 조각이 언제, 어떤 순서로 시간 t 0 .
어떤 경우에는 고려 중인 프로세스의 선사시대를 무시하고 마르코프 모델을 사용하여 이를 연구할 수 있습니다.
이산 상태와 이산 시간(또는 마르코프 체인)을 사용하는 마르코프 무작위 프로세스 ) 가능한 상태 S 1, S 2, S 3, ...을 미리 나열할 수 있고 상태에서 상태로의 전환이 즉시(점프) 발생하지만 특정 시간 t 0에서만 발생하는 마르코프 프로세스라고 합니다. t 1, t 2, ..., 호출됨 단계프로세스.
pij를 나타내자 – 전환 확률상태 I에서 상태 j까지의 무작위 프로세스(시스템 S)입니다. 이러한 확률이 프로세스 단계의 수에 의존하지 않는 경우 이러한 마르코프 체인을 동종이라고 합니다.
시스템의 상태 수를 유한하고 m과 동일하게 둡니다. 그러면 특성화될 수 있다 전이 행렬모든 전환 확률을 포함하는 P 1 :
11시 12시 ... 1분
21시 22시 ... 2분
P m1 p m2 … p mm
당연히 각 행 ∑ p ij = 1, I = 1, 2, …, m입니다.
pij(n)을 n 단계의 결과로 시스템이 상태 I에서 상태 j로 이동할 확률로 표시하겠습니다. 이 경우 I = 1에 대해 행렬 P 1을 형성하는 전이 확률이 있습니다. 즉, p ij (1) = p ij
전이 확률 pij를 아는 것이 필요합니다. pij(n), 즉 시스템이 상태 I에서 상태 j로 n 단계로 전이할 확률입니다. 이를 위해 우리는 중간(I와 j 사이) 상태 r을 고려할 것입니다. 우리는 k 단계의 초기 상태 I에서 시스템이 확률 p ir (k)로 중간 상태 r로 이동하고 그 후 중간 상태 r에서 나머지 n-k 단계에서 다음과 같이 최종 상태 j로 이동할 것이라고 가정합니다. 확률 p rj (n-k). 그러면 전체 확률 공식에 따라
Pi ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k) – 마르코프 평등.
모든 전환 확률 p ij = p ij (1)을 알고 있는지 확인합시다. 한 단계에서 상태에서 상태로의 전환에 대한 행렬 P 1을 사용하면 확률 p ij (2)를 찾을 수 있습니다. 즉 두 단계로 상태에서 상태로 전환하는 행렬 P 2. 그리고 행렬 P 2를 알고 있으면 상태에서 상태로 3단계 등으로 전환되는 행렬 P 3을 찾습니다.
실제로, 공식 Pi ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k)에 n = 2를 넣으면, 즉 k=1(단계 사이의 중간 상태), 우리는 다음을 얻습니다.
P ij (2) = ∑ p ir (1)p rj (2-1) = ∑ p ir p rj
결과적인 동등성은 P 2 = P 1 P 1 = P 2 1을 의미합니다.
n = 3, k = 2라고 가정하면 유사하게 P 3 = P 1 P 2 = P 1 P 1 2 = P 1 3 을 얻습니다. 일반적인 경우 P n = P 1 n
예
특정 지역의 전체 가족은 세 그룹으로 나눌 수 있습니다.
1. 자동차가 없고 구매할 의사도 없는 가족
2. 자동차가 없지만 구입하려는 가족
3. 자동차가 있는 가족.
실시된 통계 조사에 따르면 1년 간격의 전환 행렬은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
(행렬 P 1에서 요소 p 31 = 1은 자동차를 가지고 있는 가족이 자동차를 가질 확률을 의미하며, 예를 들어 요소 p 23 = 0.3은 자동차를 가지고 있지 않은 가족이 자동차를 가질 확률을 의미합니다. 차를 구입하기로 결정했지만 내년에 그의 의도를 이행할 것입니다.)
다음과 같은 확률을 구하세요.
1. 차가 없었고 차를 살 계획도 없었던 가족은 2년 후에도 같은 상황에 처하게 될 것입니다.
2. 자동차가 없었지만 자동차를 구입할 예정인 가족은 2년 안에 자동차를 갖게 됩니다.
해결책: 2년 후의 전이 행렬 P 2 를 찾아보겠습니다.
0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21
0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51
0 0 1 0 0 1 0 0 1
즉, 예시 1)과 2)에서 구한 확률은 각각 동일합니다.
p11 =0.64, p23 =0.51
다음으로 우리는 고려할 것입니다 이산 상태와 연속 시간을 갖는 마르코프 무작위 프로세스, 위에서 설명한 마르코프 체인과 달리 시스템이 상태에서 전환될 수 있는 순간은 미리 고정되어 있지 않고 무작위입니다.
이산 상태의 무작위 프로세스를 분석할 때 소위 기하학적 체계를 사용하는 것이 편리합니다. 행사 일정. 일반적으로 시스템 상태는 직사각형(원)으로 표시되며 상태 간 가능한 전환은 상태를 연결하는 화살표(방향이 지정된 호)로 표시됩니다.
예. 다음 무작위 프로세스의 상태 그래프를 구성하십시오. 장치 S는 두 개의 노드로 구성되며, 각 노드는 임의의 순간에 실패할 수 있으며, 그 후 노드 수리가 즉시 시작되어 이전에 알려지지 않은 임의 시간 동안 계속됩니다.
해결책.가능한 시스템 상태: S 0 – 두 노드가 모두 작동 중입니다. S 1 – 첫 번째 장치는 수리 중이고 두 번째 장치는 작동 중입니다. S 2 – 두 번째 장치가 수리 중이고 첫 번째 장치가 작동 중입니다. S 3 – 두 장치 모두 수리 중입니다.
예를 들어 S 0에서 S 1로의 화살표 방향은 첫 번째 노드가 실패할 때 시스템이 S 1에서 S 0으로 전환되는 것을 의미합니다. 즉, 이 노드의 수리가 완료되는 순간의 전환입니다. .
그래프에는 S 0에서 S 3, S 1에서 S 2까지의 화살표가 없습니다. 이는 노드의 오류가 서로 독립적인 것으로 가정된다는 사실, 예를 들어 두 노드의 동시 오류(S0에서 S3으로 전환) 또는 두 노드의 수리가 동시에 완료될 확률(S0에서 S3으로 전환)로 설명됩니다. S 3에서 S 0으로의 전환)은 무시될 수 있습니다.
고정 랜덤 프로세스
좁은 의미로는 고정적이다, 만약에
F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) = F(x 1, …, x n; t 1 +Δ, …, t n +Δ)
임의의 경우
n≥1, x 1, …, x n, t 1, …, t n; Δ; t 1 € T, t i + Δ € T.
여기서 F(x 1, …, x n; t 1, …, t n)는 랜덤 프로세스 X(t)의 n차원 분포 함수입니다.
랜덤 프로세스 X(t)가 호출됩니다. 넓은 의미에서 고정적이다, 만약에
좁은 의미의 정상성은 넓은 의미의 정상성을 의미함은 자명하다.
공식에서:
m(t) = m(t + Δ), K(t, t^) = K(t + Δ, t^ + Δ)
(t € T, t^ € T, t + Δ€ T), t^ + Δ€ T)
넓은 의미에서 고정된 프로세스에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
m(t) = m x(0) = const;
D(t) = K(t, t) = K(0,0) = const;
K(t, t^) = K(t – t^, 0) = K (0, t^ - t)
따라서 넓은 의미에서 고정된 프로세스의 경우 수학적 기대값과 분산은 시간에 의존하지 않으며 K(t, t^)는 다음 형식의 함수입니다.
k(τ)는 짝함수임을 알 수 있으며,
여기서 D는 고정 공정의 분산입니다.
Х(t), α i (I = 1, n) – 임의의 숫자.
시스템의 첫 번째 평등
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(ti - t j) ≥ 0
방정식 K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t에서 따릅니다. 첫 번째 평등
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(ti - t j) ≥ 0은 고정 확률 과정 X(t)의 섹션 X(t), X(t^)에 대한 슈워츠 부등식의 단순한 결과입니다. 마지막 부등식:
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(ti - t j) ≥ 0
다음과 같이 얻습니다.
∑ ∑ α i α j k(t i - t j) = ∑ ∑ K(t i , t j)α i α j = ∑ ∑ M[(α i X i)(α j X j)] = M[(∑ α i X i) 2 ] ≥0
랜덤 프로세스의 도함수 dX(t)/dt의 상관 함수 공식을 고려하면 고정 랜덤 함수 X(t)에 대해 다음을 얻습니다.
K 1 (t, t^) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t^)/dt^)] = δ 2 K(t, t^) / δtδt^ = δ 2 k(t ^ - 티) / δtδt^
왜냐하면
δk(t^ - t) / δt = (δk(τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δk(τ) / δτ,
δ 2 k(t^ - t) / δtδt^ = - (δ 2 k(τ) / δτ 2) * (δτ / δt^) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2)
그러면 K 1 (t, t^) = k 1 (τ) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2), τ = t^ – t.
여기서 K 1 (t, t^) 및 k 1 (τ)는 고정 랜덤 프로세스 X(t)의 1차 도함수에 대한 상관 함수입니다.
정상 확률 과정의 n차 도함수에 대해 상관 함수의 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
Kn(τ) = (-1)n * (δ 2n *k(τ) / δτ 2n)
정리. 상관 함수 k(τ)를 갖는 고정 확률 과정 X(t)는 다음과 같은 경우에만 점 t € T에서 연속적인 평균 제곱입니다.
임 k(τ) = k(0)
이를 증명하기 위해 명백한 평등 체인을 작성해 보겠습니다.
M [|X(t+τ)-X(T)| 2 ] = M[|X(t)| 2 ] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M =
2D-2k(τ) = 2.
따라서 점 t € T에서 과정 X(t)의 평균 제곱의 연속성에 대한 조건은 다음과 같습니다.
한계 M[|X(t+τ) – X(t)| 2 ] = 0
Lim k(τ) = k(0)인 경우에만 발생합니다.
정리. 고정 확률 과정 X(t)의 상관 함수 k(τ)가 τ=0 지점의 평균 제곱에서 연속인 경우 임의의 지점 τ € R 1 에서 평균 제곱에서 연속입니다.
이를 증명하기 위해 명백한 평등을 적어 보겠습니다.
k(τ+Δτ)-k(τ) = M – M =
남(엑스(티))
그런 다음, 버팀대 요소에 슈바르츠 부등식을 적용하고 관계를 고려합니다.
K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t.
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(ti - t j) ≥ 0
0 ≤ 2 ≤ MM[|X(t+τ+Δτ)-X(t+τ)| 2 ] =
Δτ→0의 극한을 통과하고 τ=0 지점에서 k(τ)의 연속성에 대한 정리 조건과 시스템의 첫 번째 동일성을 고려합니다.
K(0) = B = σ 2 , 우리는
한계 k(τ+Δτ) = k(τ)
여기서 τ는 임의의 숫자이므로 정리가 입증된 것으로 간주되어야 합니다.
고정 랜덤 프로세스의 에르고딕 특성
X(t)를 특정 기간에 걸쳐 특성이 있는 고정 무작위 프로세스로 설정합니다.
τ = t^ – t, (t, t^) € T×T.
고정 랜덤 프로세스의 에르고딕 특성은 프로세스의 충분히 긴 구현을 기반으로 수학적 기대치, 분산 및 상관 함수를 판단할 수 있다는 것입니다.
우리는 좀 더 엄격하게 정상 확률 과정 X(t)를 호출하겠습니다. 수학적 기대의 에르고딕,만약에
한계 M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0
정리
다음과 같은 특성을 갖는 정상 확률 과정 X(t):
M = 0, K(t, t^) = M = k(τ),
τ = t^ – t, (t, t^) € T×T
다음과 같은 경우에만 수학적 기대가 에르고딕합니다.
Lim (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ = 0.
그것을 증명하려면, 당연히 평등이 참이라는 것을 검증하는 것으로 충분합니다.
뻔한 관계를 적어보자
C = M (|(1 / T)) ∫X(t)dt| 2 ) = (1 / T 2) ∫ ∫ k(t^ - t)dt^dt = (1/T) ∫ dt ∫ k(t^ - t)dt^.
여기서 τ = t^ – t, dτ = dt^라고 가정하고 (t^ = T) → (τ = T - t) 조건을 고려하면,
(t^ = 0)→(τ = -t), 우리는
С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ =
= -(1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ
이 등식의 우변의 첫 번째 항과 두 번째 항을 각각 τ = -τ^, dτ = -dτ^, τ = T-τ^, dτ = -dτ^로 대입하면 다음을 알 수 있습니다.
С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ
이중 적분에 Dirichlet 공식을 적용하면 다음과 같습니다.
С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ) dτ + (1/T 2) ∫ τk (T – τ)dτ
오른쪽의 두 번째 항에 τ^ = T-τ, dτ = -dτ^를 넣을 수 있으며 그 후에는
이것과 상수의 정의로부터 평등이 분명합니다.
M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ
공정한.
정리
정상 확률 과정 X(t)의 상관 함수 k(τ)가 조건을 만족하는 경우
임(1/T) ∫ |k(τ)| dt = 0
그러면 X(t)는 수학적 기대에서 에르고딕합니다.
실제로 비율을 보면
M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ
적어주시면 됩니다
0 ≤ (2/T) ∫ (1 – τ/t) k(τ)dτ ≤ (2/T) ∫ (1- τ/t) |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k (τ)|dτ
이것으로부터 조건이 만족되면 다음이 분명하다.
한계(2/T) ∫ (1 – τ/T) k(τ)dτ = 0
이제 평등을 고려하면
C = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ – (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ = 2/T ∫ (1- (τ/T) ) k(τ)dτ
그리고 조건 Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0
정상 무작위 과정 X(t)의 수학적 기대에 의한 Ergodicity는 요구되는 사항이 입증되었음을 알 수 있습니다.
정리.
고정 랜덤 프로세스의 상관 함수 k(τ)
X(t)는 적분 가능하며 τ → IGHT로 제한 없이 감소합니다. 즉, 조건이 충족됨
임의의 ε > 0인 경우 X(t)는 수학적 기대에서 에르고딕한 정상 무작위 과정입니다.
실제로, 표현을 보면
T≥T 0에 대해 우리는
(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)| dτ ε(1 – T 1 /T).
Т → π로 극한을 지나면 다음을 알 수 있습니다.
0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.
여기서 ε > 0은 임의적이고 임의적으로 작은 값이므로 수학적 기대 측면에서 에르고딕성 조건이 충족됩니다. 이는 조건에 따르기 때문에
k(τ)의 무제한 감소에 대해 정리는 입증된 것으로 간주되어야 합니다.
입증된 정리는 정상 무작위 과정의 에르고딕성에 대한 건설적 기준을 확립합니다.
X(t) = m + X(t), m=상수.
그러면 M = m이고, X(t)가 에르고딕 정상 확률 과정이면 단순 변환 후의 에르고딕성 조건 Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
Lim M([(1/T) ∫ X(t)dt – m] 2 ) = 0
X(t)가 수학적 기대에서 에르고딕인 고정 확률 프로세스인 경우 프로세스 X(t) = m + X(t)의 수학적 기대는 다음 공식을 사용하여 대략적으로 계산될 수 있습니다.
M = (1/T) ∫ x(t)dt
여기서 T는 상당히 긴 시간입니다.
x(t) – 시간 간격에 따라 프로세스 X(t)를 구현합니다.
상관 함수와 관련하여 고정 랜덤 프로세스 X(t)의 에르고딕성을 고려할 수 있습니다.
정상 확률 과정 X(t)가 호출됩니다. 상관 함수의 에르고딕, 만약에
Lim M ([ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)] 2 ]) = 0
상관 함수에서 에르고딕한 고정 랜덤 프로세스 X(t)에 대해 다음을 설정할 수 있습니다.
k (τ) = (1/T) ∫ x(t)x(t + τ)dt
충분히 큰 T에서
조건인 것으로 밝혀졌습니다
k(τ)의 경계는 정상 정규 분포 프로세스 X(t)가 상관 함수에서 에르고딕하기 충분합니다.
랜덤 프로세스가 호출됩니다. 정규 분포, 유한차원 분포 함수 중 하나라도 정규적인 경우.
정상 정규 분포 확률 과정의 에르고딕성에 대한 필요 충분 조건은 다음 관계입니다.
τ 0: lim (1/T) ∫ (1 – τ/T)dτ = 0
문학
1. N.Sh. Kremer “확률 이론과 수학적 통계” / UNITY / 모스크바 2007.
2. Yu.V. Kozhevnikov “확률 이론 및 수학적 통계” / 기계 공학 / 모스크바 2002.
3. BV Gnedenko "확률 이론 과정"/물리 및 수리 문학 주요 편집실/모스크바 1988.
랜덤 프로세스를 이미 3개 또는 4개의 랜덤 변수로 구성된 시스템으로 간주하면 랜덤 프로세스의 분포 법칙을 분석적으로 표현하는 데 어려움이 발생합니다. 따라서 랜덤변수의 수치적 특성과 유사하게 랜덤과정의 특성으로 제한되는 경우가 많다.
랜덤 변수의 수치적 특성과 달리 랜덤 프로세스의 특성은 비랜덤 함수입니다. 그 중 랜덤 프로세스의 수학적 기대 및 분산 함수와 랜덤 프로세스의 상관 함수는 랜덤 프로세스를 평가하는 데 널리 사용됩니다.
랜덤 프로세스 X(t)의 수학적 기대인수 t의 각 값에 대해 랜덤 프로세스의 해당 섹션에 대한 수학적 기대값과 동일한 비랜덤 함수입니다.
.
무작위 과정의 수학적 기대값의 정의로부터 1차원 확률 밀도를 알면 다음과 같은 결과가 나옵니다.
.
(6.3)
무작위 프로세스 엑스(티)항상 기본 랜덤 함수의 합으로 표현될 수 있습니다.
, 여기서 는 기본 랜덤 함수입니다.
. (6.4)
무작위 프로세스의 구현이 여러 개 제공되는 경우 엑스(티), 그런 다음 수학적 기대치를 그래픽으로 표현합니다. 일련의 섹션이 수행되고 각 섹션에서 해당하는 수학적 기대값(평균값)이 발견된 다음 이 지점을 통해 곡선이 그려집니다(그림 6.3).
그림 6.3 – 수학적 기대 함수 그래프
더 많은 단면을 만들수록 곡선이 더 정확하게 구성됩니다.
기대값 무작위 프로세스에는 무작위 프로세스의 구현이 그룹화되는 무작위가 아닌 함수가 있습니다.
랜덤 프로세스의 구현이 전류 또는 전압인 경우 수학적 기대값은 전류 또는 전압의 평균값으로 해석됩니다.
랜덤 프로세스의 분산 X(t)인수 t의 각 값에 대해 랜덤 프로세스의 해당 섹션의 분산과 동일한 비랜덤 함수입니다..
.
무작위 과정의 분산 정의로부터 1차원 확률 밀도가 알려진 경우 다음이 성립됩니다.
또는 (6.5)
랜덤 프로세스를 다음과 같은 형태로 표현하면 , 저것
랜덤 프로세스의 분산은 수학적 기대 함수와 관련된 구현의 확산 또는 분산을 특징으로 합니다.
랜덤 프로세스의 구현이 전류 또는 전압인 경우 분산은 다음과 같습니다. 전체 프로세스의 전력과 주어진 섹션의 평균 전류 또는 전압 구성 요소의 전력 간의 차이로 해석됩니다.
. (6.7)
어떤 경우에는 랜덤 프로세스의 분산 대신 랜덤 프로세스의 표준 편차가 사용됩니다.
.
랜덤 프로세스의 수학적 기대와 분산을 통해 랜덤 프로세스의 실현이 그룹화되는 평균 함수 유형을 식별하고 이 함수에 대한 분포를 추정할 수 있습니다. 그러나 랜덤 프로세스의 내부 구조는 다음과 같습니다. 프로세스의 다양한 섹션 간 종속성(연결)의 성격과 정도는 아직 알려지지 않았습니다(그림 6.4).
그림 6.4 – 랜덤 프로세스의 구현 엑스(티)그리고 Y(티)
랜덤 프로세스의 단면 간 연결을 특성화하기 위해 2차 혼합 모멘트 함수의 개념이 도입되었습니다. 상관 함수.
상관 함수무작위 과정 엑스(티)각 값 쌍에 대해 무작위 프로세스의 해당 섹션의 상관 순간과 동일한 비 무작위 함수라고합니다.
어디 
, .
랜덤 프로세스의 섹션 간 관계(그림 6.4 참조) 엑스(티)랜덤 프로세스의 단면 사이보다 큼 Y(티), 즉.
.
정의에 따르면 2차원 확률 밀도가 주어지면 
무작위 과정 엑스(티), 저것
상관 함수는 순간에 두 확률 변수의 상관 순간의 집합이며, 두 순간 모두 현재 가능한 모든 인수 값의 조합으로 간주됩니다. 티무작위 프로세스. 따라서 상관 함수는 서로 다른 시점의 순시 값 간의 통계적 관계를 특성화합니다.
상관 함수의 속성입니다.
1) 만약 , 그렇다면 . 결과적으로 랜덤 프로세스의 분산은 상관 함수의 특별한 경우입니다.
무작위(확률론적) 프로세스는 외부 잡음, 판별기 및 기타 RAS 장치 출력의 변동 잡음, RAS의 내부 교란(PG 주파수의 불안정성, 조정 가능한 시간 지연 장치의 불안정성 등)입니다.
무작위 영향 하에서 RAS에 대한 연구는 원칙적으로 가장 불리한 (최대) 교란 값에서 RAS의 품질 매개변수를 결정하는 기존 방법을 사용하여 수행될 수 있습니다. 최악의 경우 ).
그러나 확률 변수의 최대값이 발생할 가능성이 낮고 거의 관찰되지 않으므로 RAS에는 의도적으로 엄격한 요구 사항이 적용됩니다. 고려함으로써 보다 합리적인 솔루션을 얻을 수 있습니다. 가장 가능성이 높은 값 무작위 변수.
선형 RAS의 변동 성분 분포 법칙을 고려할 수 있습니다. 정상 (가우스). 정규분포 법칙은 내부 교란의 특징입니다. 랜덤 프로세스가 선형 시스템을 통과할 때, 정규분배법칙은 변하지 않는다 . RAS의 입력이나 다른 지점(예: 판별기의 출력)에 정상과 다른 분포 법칙을 갖고 넓은 스펙트럼을 갖는 교란이 있는 경우 에스(Ω), 이 섭동은 효과적이다 정규화하다 협대역 RAS 필터 요소.
정규 분포 법칙을 따르는 무작위 과정이 완전히 결정됩니다. 수학적 기대 중(티) 그리고 상관 함수 아르 자형(τ).
기대값(기대) 랜덤 프로세스의 엑스(티)는 일부를 나타냅니다. 정기적인 기능 m x(티), 주어진 프로세스의 모든 구현이 그룹화됩니다( – 확률 밀도). 그것은 또한 세트의 평균값 (앙상블).
m x(티) = 중{엑스(티)} = 
. (6.1)
무작위 프로세스( 티) 일반 구성요소 없이 m x(티) 라고 한다 중심
.
평균값을 기준으로 무작위 프로세스의 산란 정도를 고려합니다. m x(티) 개념을 소개합니다 차이 :
Dx(티) = 중{( (티)) 2 } = 
. (6.2)
랜덤 프로세스의 제곱의 평균값은 기대값과 관련이 있습니다. m x(티) 및 분산 Dx(티) 공식에 따라 : .
실제로는 통계적 특성을 이용하여 무작위 과정을 평가하는 것이 편리합니다. x 평방.(티) 그리고 s 엑스(티), 프로세스 자체와 동일한 차원을 갖습니다.
RMS 값 x 평방.(티) 무작위 과정:
표준 편차 x 제곱(t) 랜덤 프로세스:
. (6.4)
기대와 분산은 무작위 프로세스의 개별 구현 특성에 대한 충분한 통찰력을 제공하지 않습니다. 프로세스의 가변성 정도나 서로 다른 시점의 값 간의 관계를 고려하기 위해 상관 관계 개념( 자기상관 ) 기능.
상관 함수중심 프로세스( 티) 동일하다
2차원 확률 밀도는 어디에 있습니까?
상관 함수는 다음과 같습니다. 심지어 : 아르 자형(τ ) = 아르 자형(–τ ).
프로세스의 분포 및 확률 밀도 함수가 모든 시간 인수의 시간 이동에 동일한 양만큼 의존하지 않는 경우 이러한 랜덤 프로세스를 호출합니다. 변화 없는 .
고정 프로세스가 동일한 값을 갖는 경우 세트의 평균 그리고 시간 평균 , 이러한 무작위 프로세스를 호출합니다. 에르고딕 .
앎 아르 자형(τ) 고정 프로세스의 분산을 결정할 수 있습니다.
스펙트럼 밀도 에스엘 와이(Ω) 출력과정 와이(티) 선형 시스템 및 스펙트럼 밀도 에스입력 영향의 l(Ω)은 다음 관계식으로 관련됩니다.
. (6.7)
상관 함수 아르 자형고정 랜덤 프로세스의 (τ) 및 스펙트럼 밀도 에스(Ω)는 푸리에 변환과 관련되어 있으므로 주파수 영역에서 분석이 수행되는 경우가 많습니다. (6.7)에 대해 푸리에 변환을 수행하면 출력 프로세스의 상관 함수에 대한 표현식을 얻습니다. 라이(τ):
스펙트럼 밀도 에스엘 와이( ) 그리고 에스내가(Ω)은 양측 .
당신은 들어갈 수 있습니다 일방적인 스펙트럼 밀도 N(에프)에 대해서만 정의됩니다. 긍정적인 주파수().
주어진 패리티 아르 자형(τ) 및 오일러 공식(6.8)은 다음과 같이 단순화될 수 있습니다.
. (6.9)
RAS 작업의 품질은 상대적으로 무작위의 신호 및 간섭이 특징입니다. 총 제곱근 평균 제곱 오차 (SKO).
그림 1에 다이어그램이 표시된 일반화된 PAC를 고려해 보겠습니다. 2.11. 우리는 영향 λ( 티) 결정론적이며 교란 ξ( 티) 판별기의 출력에서 – 무작위 프로세스. 공식 (2.28)~(2.31)을 사용하여 영향 및 외란에 따른 오류에 대한 PF를 결정합니다.
일반적으로 영향과 방해의 과정 사이에는 상관관계 (연결). 이 경우에는 제외 자기상관 각 프로세스에 대한 형식(6.8)의 기능을 고려해야 합니다. 교차 상관 서로 관련된 프로세스의 기능. 스펙트럼 밀도를 통해 통신 데이터는 다음과 같이 오류로 기록됩니다.
식 (6.11)을 식 (6.8)에 대입하면 해당 분산 성분을 얻습니다.
프로세스 간에 상관관계가 없는 경우 에스 lx(Ω) = 에스 xl(Ω) = 0이고, 또한 디내가 x = 디 x l = 0이고 식(6.12)은 단순화됩니다.
오류 예상 엑스(티)는 정상 상태의 정의와 유사합니다. 
.
스펙트럼 밀도 Sx(Ω)는 Ω에 대한 분수 유리함수로 설명되며, 다음을 계산합니다. Dx이는 다음과 같이 표현됩니다:
다음을 포함하는 다항식은 어디에 있습니까? 심지어 도 나Ω 최대 2개 N–2 포함; a는 차수의 다항식이다 N, 그 근은 복소 변수 Ω의 상부 절반 평면에 있습니다.
적분(6.14)은 공식(6.15)을 사용하여 계산할 수 있습니다.
, (6.15)
여기서 D N– 계수로 구성된 형식 (4.7)의 주요 Hurwitz 행렬식 에이 j, ㅏ Qn– 유형 D의 행렬식 N, 첫 번째 행에서 계수는 에이 j~로 교체되다 비제이.
적분 (6.15)의 경우 값 표가 있습니다. N ≤ 7.
가치 N≤ 4는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
, 
, 
,
예제 6.1.예제 4.2에서 PLL 시스템의 표준 편차를 결정해 보겠습니다.
신호 λ( 티) = 1 + 0,1티, 그리고 교란 ξ( 티)는 진폭이 있는 백색 잡음입니다. 아니오 0= 1mV ().
이 PAC의 오류율은 이미 예제 5.1에서 확인되었습니다.
.
PF의 경우 변수 변경 후 식 (2.30)의 외란으로 인한 오류 아르 자형 ® 나Ω 우리는 ( K 1 = Sd , 케이 0 = 케이 1 Sd , 케이 1 = kfk 그리고):
식 (6.17)을 (6.13)에 대입한 후 ( 디 l = 0) 우리는 다음을 얻습니다:
(6.18)을 식 (6.14)와 비교하면 다항식의 차수와 계수(6.14)를 찾을 수 있습니다. N = 3, 비 2 = 0, 비 1= –(티 2) 2 , 비 0 = 1; 3 = T f T d, 2 = Tf+ 티디 , 1 = 1 + 케이 0 티 2, 0 = 케이 0 .
숫자 값을 대입하면 결과는 다음과 같습니다.
m x= 5×10 –4 (1/초), Dx= 1.06×10 –3 (1/s 2) (에서 케이 0 = 200, Sd = 10, 케이 1 = 20) 또는
m x= 5×10 –4 (1/초), Dx= 0.66 (1/초 2) ( 케이 0 = 200, Sd = 0,4 , 케이 1 = 500).
(6.3), (6.4)로부터 다음과 같다. x 평방미터≒ s 엑스= 0.032(1/초) Sd= 10, 그리고 Sd = 0,4 x 평방미터≒ s 엑스= 0.81(1/초).
예제 6.2.동일한 신호에 대해 예제 4.5의 RAS의 RMS 편차를 결정해 보겠습니다. 티) = 1 + 0,1티그리고 ξ( 티) = 아니오 0= 1mV. λ′( 티) = λ 1 , λ″( 티) = 0
공식 (5.19)을 사용하여 주어진 RAS에 대한 오류 계수를 찾습니다.
V = 0, 디 1 = 0, 디 0 = Sd, 비 3 = 티 1 티 2 티 3, 비 2 = 티 1 티 2+티 2 티 3+티 1 티 3, 비 1 = 티 1 + 티 2 + 티 3, 비 0 = 1.
공식 (5.19)–(5.22)로부터 우리는 다음을 얻습니다.
PF의 경우 변수 p ®를 대체한 후 식 (2.30)의 외란으로 인한 오류 나Ω (6.20)에서 우리는 다음을 얻습니다:
식 (6.20)을 (6.13)(D l = 0)에 대입하면 다음을 얻습니다.
(6.21)을 식 (6.14)과 비교하면 다항식의 계수(6.14)를 찾을 수 있습니다. N = 3, 비 2 = 비 1 = 0, 비 0 = 1; 3 = 티 1 티 2 티 3, 2 = T 1 T 2 + T 2 T 3 + T 1 T 3, 1 = 티 1 + 티 2 + 티 3, 0 = Sd + 1.
공식 (6.16)으로 대체하고 변환하면 다음을 얻습니다.
숫자 값을 대입하면 결과는 다음과 같습니다.
m x= (9.2 + 0.9t)10 –2, Dx= 4.2×10 –4.
6.2. 분산을 결정하기 위한 그래픽 분석 방법.
통신 시스템의 간섭은 무작위 프로세스 이론의 방법으로 설명됩니다.
실험의 결과로 어떤 형태를 취하고 어떤 형태인지 미리 알 수 없는 경우 함수를 무작위라고 합니다. 랜덤 프로세스는 시간의 랜덤 함수입니다. 실험 결과 랜덤 프로세스가 취하는 구체적인 형태를 랜덤 프로세스의 구현이라고 합니다.
그림에서. 그림 1.19는 랜덤 프로세스 , , 의 여러(3개) 구현 세트를 보여줍니다. 이러한 집합을 실현의 앙상블이라고 합니다. 첫 번째 실험에서 고정된 시간 순간 값을 사용하여 두 번째 실험에서 특정 값을 얻습니다. - , 세 번째 실험에서 - .
무작위 과정은 본질적으로 이중적입니다. 한편으로, 각 특정 실험에서는 무작위가 아닌 시간 함수인 구현으로 표현됩니다. 반면, 무작위 과정은 일련의 무작위 변수로 설명됩니다.
실제로 고정된 시점에서 무작위 프로세스를 고려해 보겠습니다. 그런 다음 각 실험에서 하나의 값을 취하며 어느 값인지 미리 알 수 없습니다. 따라서 고정된 시점에서 고려되는 무작위 과정은 무작위 변수입니다. 두 순간의 시간이 기록되면 각 실험에서 및 의 두 값을 얻게 됩니다. 이 경우 이러한 값을 공동으로 고려하면 두 개의 확률 변수 시스템이 생성됩니다. N 시점의 무작위 과정을 분석할 때 N개의 무작위 변수 세트 또는 시스템에 도달합니다. 
.
랜덤 프로세스의 수학적 기대, 분산 및 상관 함수 고정된 시점에서 고려되는 랜덤 프로세스는 랜덤 변수이므로 랜덤 프로세스의 수학적 기대 및 분산에 대해 이야기할 수 있습니다.
, .
무작위 변수와 마찬가지로 분산은 평균값을 기준으로 무작위 프로세스 값의 확산을 나타냅니다. 가 클수록 양수 및 음수 프로세스 값이 매우 커질 가능성이 커집니다. 보다 편리한 특성은 표준편차(MSD)로, 이는 무작위 과정 자체와 동일한 차원을 갖습니다.
예를 들어 무작위 과정이 물체까지의 거리 변화를 설명하는 경우 수학적 기대치는 평균 범위(미터)입니다. 분산은 평방 미터 단위로 측정되고 Sco는 미터 단위로 측정되며 평균을 기준으로 가능한 범위 값의 확산을 특성화합니다.
평균과 분산은 고정된 시점에서 무작위 프로세스의 동작을 판단할 수 있는 매우 중요한 특성입니다. 그러나 프로세스의 변화 "속도"를 추정해야 하는 경우 특정 시점의 관찰만으로는 충분하지 않습니다. 이를 위해 두 개의 확률 변수가 함께 사용됩니다. 확률변수와 마찬가지로 과 사이의 연결 또는 의존성의 특성이 도입됩니다. 랜덤 프로세스의 경우 이 특성은 두 시점에 따라 달라지며 상관 함수라고 합니다.
고정 무작위 프로세스. 제어 시스템의 많은 프로세스는 시간이 지남에 따라 균일하게 발생합니다. 그들의 기본 특성은 변하지 않습니다. 이러한 프로세스를 고정 프로세스라고 합니다. 정확한 정의는 다음과 같이 주어질 수 있습니다. 확률적 특성 중 하나라도 시간 원점의 변화에 의존하지 않는 경우 무작위 프로세스를 고정 프로세스라고 합니다. 고정 확률 과정의 경우 수학적 기대값, 분산 및 표준 편차는 일정합니다.
정상 과정의 상관 함수는 원점 t에 의존하지 않습니다. 즉, 시간 차이에만 의존합니다.
정상 확률 과정의 상관 함수에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
1) 
; 2) ; 3) .
종종 통신 시스템 프로세스의 상관 함수는 그림 1과 같은 형태를 갖습니다. 1.20.
쌀. 1.20. 프로세스의 상관 함수
상관 함수가 수행되는 시간 간격, 즉 랜덤 프로세스의 값 사이의 연결 크기는 랜덤 프로세스의 간격 또는 상관 시간이라고 불리는 M배만큼 감소합니다. 보통 또는 . 상관 구간에 따라 시간이 달라지는 랜덤 프로세스의 값은 서로 약한 관련이 있다고 말할 수 있습니다.
따라서 상관 함수에 대한 지식을 통해 무작위 과정의 변화율을 판단할 수 있습니다.
또 다른 중요한 특징은 무작위 과정의 에너지 스펙트럼입니다. 이는 상관 함수의 푸리에 변환으로 정의됩니다.
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분명히 역변환도 마찬가지입니다.
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에너지 스펙트럼은 주파수 축에서 간섭과 같은 무작위 과정의 전력 분포를 보여줍니다.
ACS를 분석할 때 ACS 입력에서 프로세스의 알려진 특성을 사용하여 선형 시스템의 출력에서 무작위 프로세스의 특성을 결정하는 것이 매우 중요합니다. 선형 시스템이 임펄스 과도 응답에 의해 제공된다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 해당 순간의 출력 신호는 Duhamel 적분에 의해 결정됩니다.
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시스템 입력의 프로세스는 어디에 있습니까? 상관 함수를 찾기 위해 다음과 같이 씁니다. 
그리고 곱셈 후에 우리는 수학적 기대값을 찾습니다.
– 신생아 10명 중 남아의 수.
이 숫자는 사전에 알려지지 않았으며 다음에 태어나는 10명의 자녀는 다음과 같습니다.
아니면 얘들아 - 단 하나뿐인나열된 옵션에서.
그리고 몸매를 유지하기 위해 약간의 체육 교육이 필요합니다.
– 멀리뛰기 거리 (일부 단위).
스포츠의 달인이라도 예측할 수는 없습니다 :)
그러나 당신의 가설은 무엇입니까?
2) 연속확률변수 - 수용 모두유한 또는 무한 간격의 수치 값.
메모 : 약어 DSV 및 NSV는 교육 문헌에서 인기가 있습니다.
먼저 이산확률변수를 분석해 보겠습니다. 마디 없는.
이산확률변수의 분포 법칙
- 이것 일치이 수량의 가능한 값과 확률 사이. 대부분의 경우 법은 표에 기록되어 있습니다. 
용어가 꽤 자주 나오네요 열
분포, 그러나 어떤 상황에서는 모호하게 들리므로 "법"을 고수하겠습니다.
그리고 지금 매우 중요한 점: 랜덤 변수 이후 반드시받아들일 것이다 가치 중 하나, 해당 이벤트가 형성됩니다. 전체 그룹발생 확률의 합은 1과 같습니다.
또는 요약해서 쓰면:
예를 들어, 주사위에 굴린 포인트의 확률 분포 법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 
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이산 확률 변수는 "좋은" 정수 값만 취할 수 있다는 인상을 받을 수 있습니다. 환상을 없애자. 무엇이든 될 수 있다:
실시예 1
일부 게임에는 다음과 같은 승리 분배 법칙이 있습니다. 
...당신은 아마도 오랫동안 그런 일을 꿈꿔왔을 것입니다. :) 비밀을 알려드리겠습니다. 저도 마찬가지입니다. 특히 작업을 마친 후에는 장 이론.
해결책: 확률 변수는 세 가지 값 중 하나만 취할 수 있으므로 해당 이벤트는 다음과 같습니다. 전체 그룹, 이는 확률의 합이 1과 같음을 의미합니다. 
"당파"를 폭로하다: 
– 따라서 기존 유닛을 획득할 확률은 0.4입니다.
통제: 그것이 우리가 확인해야 했던 것입니다.
답변:
유통법을 직접 작성해야 하는 경우는 드문 일이 아닙니다. 이를 위해 그들은 사용합니다 확률의 고전적 정의, 사건 확률에 대한 곱셈/덧셈 정리그리고 다른 칩 테르베라:
실시예 2
상자에는 50장의 복권이 들어 있으며 그 중 12장이 당첨되고 그 중 2장은 각각 1000루블을 받고 나머지는 각각 100루블을 얻습니다. 무작위 변수의 분포에 대한 법칙, 즉 상자에서 하나의 티켓을 무작위로 뽑을 경우 상금의 크기를 작성합니다.
해결책: 아시다시피, 확률 변수의 값은 일반적으로 다음 위치에 배치됩니다. 오름차순으로. 따라서 우리는 가장 작은 상금, 즉 루블부터 시작합니다.
총 50장의 티켓이 있습니다(12 = 38). 고전적 정의:
– 무작위로 추첨된 티켓이 패자가 될 확률.
다른 경우에는 모든 것이 간단합니다. 루블을 획득할 확률은 다음과 같습니다.
확인: – 이것은 그러한 작업에서 특히 즐거운 순간입니다!
답변: 원하는 상금 분배 법칙: 
다음 작업은 스스로 해결해야 합니다.
실시예 3
사수가 목표물에 맞을 확률은 입니다. 무작위 변수(2발 발사 후 안타 횟수)에 대한 분포 법칙을 작성합니다.
...당신이 그 사람을 그리워한다는 걸 알았습니다 :) 기억하자 곱셈과 덧셈 정리. 정답과 정답은 강의 마지막에 있습니다.
분포법칙은 확률변수를 완벽하게 설명하지만 실제로는 그 중 일부만 아는 것이 유용할 수 있습니다(때로는 더 유용할 수도 있음). 수치적 특성 .
이산확률변수의 기대
쉽게 말하면 이렇습니다 평균 기대값테스트가 여러 번 반복될 때. 확률변수가 확률로 값을 취하도록 하라 
각기. 그러면 이 확률 변수의 수학적 기대값은 다음과 같습니다. 제품의 합계모든 값을 해당 확률로:
또는 축소됨: 
예를 들어, 무작위 변수의 수학적 기대치(주사위에서 굴린 포인트 수)를 계산해 보겠습니다.
이제 가상의 게임을 기억해 봅시다. 
질문이 생깁니다. 이 게임을 플레이하는 것이 전혀 수익성이 있습니까? ...누가 인상을 받았나요? 그러니 "직접"이라고 말할 수는 없습니다! 하지만 이 질문은 수학적 기대값을 계산하면 쉽게 답할 수 있습니다. 가중 평균당첨 확률:
따라서 이 게임의 수학적 기대값은 다음과 같습니다. 지는.
당신의 인상을 믿지 말고 숫자를 믿으십시오!
예, 여기서는 10번, 심지어 20-30번 연속으로 승리할 수 있지만 장기적으로는 피할 수 없는 파멸이 우리를 기다리고 있습니다. 그리고 나는 당신에게 그런 게임을하라고 조언하지 않을 것입니다 :) 글쎄요, 아마도 재미로.
위의 모든 것에서 수학적 기대값은 더 이상 RANDOM 값이 아닙니다.
독립적인 연구를 위한 창의적 과제:
실시예 4
X씨는 다음 시스템을 사용하여 유럽식 룰렛을 플레이합니다. 그는 지속적으로 "빨간색"에 100루블을 베팅합니다. 무작위 변수의 분포 법칙, 즉 상금을 작성합니다. 승리에 대한 수학적 기대치를 계산하고 가장 가까운 코펙 단위로 반올림합니다. 얼마나 평균플레이어는 자신이 베팅한 100마다 잃습니까?
참조 : 유럽식 룰렛에는 빨간색 18개, 검정색 18개, 녹색 1개("제로") 섹터가 있습니다. "빨간색"이 나타나면 플레이어는 베팅 금액의 두 배를 받고, 그렇지 않으면 카지노 수입으로 갑니다.
자신만의 확률 테이블을 만들 수 있는 다른 룰렛 시스템도 많이 있습니다. 그러나 이것은 플레이어의 수학적 기대치가 정확히 동일할 것이라는 것이 확실하게 확립되었기 때문에 분배 법칙이나 표가 필요하지 않은 경우입니다. 시스템마다 바뀌는 유일한 것은
