일부 비합리적인 표현을 통합합니다. 비합리적 함수의 적분. 적분을 그 자체로 축소함으로써

이 온라인 계산기는 , , 형식의 무리분수 적분을 계산하는 데 사용됩니다.

허락하다 – 합리적 기능 이 함수와 그 적분은 x=t r을 대체하여 합리화됩니다. 여기서 r은 숫자 r 1, r 2,…, rn의 최소 공배수입니다. 그런 다음 dx=rt r -1이고 적분 아래에는 t의 유리 함수가 있습니다. 마찬가지로, 피적분 함수의 경우 의 합리적인 함수이다 , 피적분 함수는 치환에 의해 합리화됩니다. 여기서 t는 숫자 r 1 , r 2 ,…, rn 의 최소 공배수입니다. 그런 다음 원래 식에 대입하면 t의 유리 함수를 얻습니다.

예. 계산하다. 2와 3의 최소공배수는 6이다. 따라서 x = t 6으로 대체합니다. 그러면 dx = 6t 5 dt이고

비합리적인 함수의 통합

예 1. 무리함수의 정적분을 계산합니다.

해결책. R(x α1, x α2,..., x αk)dx 형식의 적분(여기서 R은 x αi의 유리 함수임, α i =pi /q i - 유리 분수(i = 1,2,...)) , k) 는 치환 x = t q를 사용하여 유리 함수의 적분으로 감소됩니다. 여기서 q는 분수 a 1, a 2,..., a k의 분모의 최소 공배수(LCM)입니다. 우리의 경우, a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6이므로 분모의 최소 공배수는 q = LCM(2,3,6) = 6입니다. 변수 x = t 6을 바꾸면 다음이 됩니다. 예제에 설명된 대로 계산되는 분수 유리 함수의 적분:

정의 1

특정 세그먼트에 정의된 주어진 함수 $y=f(x)$의 모든 역도함수 집합을 주어진 함수 $y=f(x)$의 부정 적분이라고 합니다. 부정적분은 $\int f(x)dx $ 기호로 표시됩니다.

논평

정의 2는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

모든 무리함수가 기본 함수를 통해 적분으로 표현될 수 있는 것은 아닙니다. 그러나 이러한 적분의 대부분은 기본 함수의 관점에서 표현될 수 있는 유리 함수의 적분에 대한 대체를 사용하여 축소될 수 있습니다.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

나

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ 형식의 적분을 찾을 때 다음 대체를 수행해야 합니다.

이 대체를 사용하면 변수 $x$의 각 분수 거듭제곱은 변수 $t$의 정수 거듭제곱으로 표현됩니다. 결과적으로 피적분함수는 변수 $t$의 유리함수로 변환됩니다.

실시예 1

통합 수행:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

해결책:

$k=4$는 분수 $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $의 공통 분모입니다.

\ \[\begin(배열)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(배열)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac 형식의 적분을 찾을 때 (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ 다음 대체를 수행해야 합니다:

여기서 $k$는 분수 $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $의 공통 분모입니다.

이 대체의 결과로 피적분 함수는 변수 $t$의 유리 함수로 변환됩니다.

실시예 2

통합 수행:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

해결책:

다음과 같이 대체해 보겠습니다.

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

역대입을 한 후 최종 결과를 얻습니다.

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ 형식의 적분을 찾을 때 소위 오일러 치환이 수행됩니다(가능한 세 가지 치환 중 하나는 다음과 같습니다). 사용된).

오일러의 첫 번째 교체

$a>의 경우

$\sqrt(a) $ 앞에 "+" 기호를 사용하면 다음과 같이 됩니다.

실시예 3

통합 수행:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

해결책:

다음과 같이 대체해 보겠습니다($a=1>0$의 경우).

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

역대입을 한 후 최종 결과를 얻습니다.

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

오일러의 두 번째 대체

$c>0$의 경우 다음 대체를 수행해야 합니다.

$\sqrt(c) $ 앞에 "+" 기호를 사용하면 다음과 같습니다.

실시예 4

통합 수행:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

해결책:

다음과 같이 대체해 보겠습니다.

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ 반대를 만들었습니다. 대체하면 최종 결과를 얻습니다.

\[\begin(배열)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( 정렬)\]

오일러의 세 번째 교체

아래에 비합리적인독립 변수 %%x%% 또는 %%n \in \mathbb(N)%% 차수의 다항식 %%P_n(x)%%가 기호 아래에 포함되는 표현식을 이해합니다. 근본적인(라틴어에서 어근- 루트), 즉 분수 거듭제곱으로 올렸습니다. 변수를 대체하면 %%x%%에 대해 무리수인 일부 클래스의 피적분 함수가 새 변수에 대해 유리식으로 축소될 수 있습니다.

하나의 변수에 대한 유리함수의 개념은 여러 인수로 확장될 수 있습니다. 함수의 값을 계산할 때 각 인수 %%u, v, \dotsc, w%%에 대해 산술 연산과 정수 거듭제곱만 제공되면 이러한 인수의 유리수 함수에 대해 말합니다. %%R(u, v, \ dotsc, w)%%로 표시됩니다. 이러한 함수의 인수는 %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% 형식의 근수를 포함하여 독립 변수 %%x%%의 함수일 수 있습니다. 예를 들어 유리함수 $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ with %%u = x, v = \sqrt(x)%% and %% w = \sqrt(x^2 + 1)%%는 $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$(%%x%% 및 근수 %%\sqrt(x)%% 및 %%\sqrt(x) ^2 + 1 )%%, %%f(x)%% 함수는 하나의 독립 변수 %%x%%의 비합리(대수) 함수가 됩니다.

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% 형식의 적분을 생각해 봅시다. 이러한 적분은 변수 %%t = \sqrt[n](x)%%, %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%를 대체하여 합리화됩니다.

실시예 1

%%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%를 찾으세요.

원하는 인수의 피적분 함수는 %%2%% 및 %%3%% 차수의 근호 함수로 작성됩니다. %%2%%와 %%3%%의 최소 공배수는 %%6%%이므로 이 적분은 %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) 유형의 적분입니다. x %%이며 %%\sqrt(x) = t%%를 대체하여 합리화할 수 있습니다. 그러면 %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%입니다. 따라서 $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% 및 $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(배열) $$

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% 형식의 적분은 분수 선형 무리수의 특별한 경우입니다. 즉, %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%% 형식의 적분, 여기서 %% ad - bc \neq 0%%, 이는 변수 %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%를 대체하여 합리화할 수 있으며, 그런 다음 %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. 그러면 $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t가 됩니다. $$

실시예 2

%%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%를 찾으세요.

%%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, 그러면 %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(배열)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ 따라서 $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\오른쪽) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

%%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% 형식의 적분을 생각해 봅시다. 가장 간단한 경우, 완전한 제곱을 분리한 후 변수가 변경되면 이러한 적분은 표 형식으로 축소됩니다.

실시예 3

적분 %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%를 구합니다.

%%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%를 고려하면 %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%를 취합니다. 그러면 $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(배열) $$

더 복잡한 경우에는 %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% 형식의 적분을 찾는 데 사용됩니다.

이 섹션에서는 유리함수를 적분하는 방법에 대해 설명합니다. 7.1. 유리 함수에 대한 간략한 정보 가장 간단한 유리 함수는 10차 다항식입니다. 즉, 실수 상수이고 a0 Ф 0인 형식의 함수입니다. 계수 a0 = 1인 다항식 Qn(x)를 감소라고 합니다. 실수 b는 Q(b) = 0인 경우 다항식 Qn(z)의 근이라고 합니다. 실수 계수를 갖는 각 다항식 Qn(x)는 p, q 형식의 실수 인수로 고유하게 분해되는 것으로 알려져 있습니다. 는 실수 계수이고, 2차 인수에는 실수 근이 없으므로 실수 선형 인수로 분해될 수 없습니다. 동일한 인수(있는 경우)를 결합하고 단순화를 위해 다항식 Qn(x)가 감소한다고 가정함으로써 자연수 형식으로 인수분해를 작성할 수 있습니다. 다항식 Qn(x)의 차수는 n과 같으므로 모든 지수 a, /3,..., A의 합은 모든 지수 Ω,..., q의 이중 합에 추가됩니다. n으로: 다항식의 근 a는 a = 1인 경우 단순 또는 단일이라고 하고, a > 1인 경우 다중이라고 합니다. 숫자 a를 루트 a의 다중도라고 합니다. 다항식의 다른 근에도 동일하게 적용됩니다. 유리함수 f(x) 또는 유리분수는 두 다항식의 비이며, 다항식 Pm(x)와 Qn(x)는 공통인수를 갖지 않는 것으로 가정합니다. 분자의 다항식 차수가 분모의 다항식 차수보다 작은 경우 유리 분수를 진분수라고 합니다. 즉, m n이면 유리분수를 가분수라고 하며, 이 경우 다항식의 나눗셈 법칙에 따라 분자를 분모로 나누면 는 다항식이 있는 형태로 표현될 수 있으며, ^는 진수이다. 합리적인 분수. 예 1. 유리 분수는 가분수입니다. "모서리"로 나누면 다음이 됩니다. 여기. 그리고 그것은 적절한 분수입니다. 정의. 가장 단순한(또는 기본) 분수는 다음 네 가지 유형의 유리 분수입니다. 실수는 어디에 있고 k는 2보다 크거나 같은 자연수이며 제곱 삼항식 x2 + px + q에는 실수 근이 없으므로 -2 _2는 판별식입니다. 대수학에서 다음 정리가 증명됩니다. 정리 3. 분모가 Qn(x) 형식을 갖는 실수 계수를 갖는 고유 유리 분수는 규칙에 따라 고유한 방식으로 단순 분수의 합으로 분해됩니다. 유리 함수의 통합 유리 함수에 대한 간략한 정보 단순 분수의 통합 일반적인 경우 비합리 함수의 적분 첫 번째 오일러 치환 두 번째 오일러 치환 세 번째 오일러 치환 이 확장에는 몇 가지 실수 상수가 있으며 그 중 일부는 0일 수 있습니다. 이러한 상수를 찾기 위해 등식의 우변(I)을 공통 분모로 가져온 다음, 좌변과 우변의 분자에서 동일한 x 거듭제곱의 계수를 동일시합니다. 이는 필요한 상수를 찾는 선형 방정식 시스템을 제공합니다. . 미지의 상수를 찾는 이 방법을 미정 계수 방법이라고 합니다. 때로는 알 수 없는 상수를 찾는 또 다른 방법을 사용하는 것이 더 편리합니다. 이는 분자를 동일시한 후 x에 대해 항등식을 얻습니다. 여기서 인수 x에는 다음과 같은 값이 제공됩니다. ​근의 결과로 상수를 찾기 위한 방정식이 생성됩니다. 분모 Q(x)에 실수 단순근만 있는 경우 특히 편리합니다. 예 2. 유리 분수를 더 간단한 분수로 분해합니다. 이 분수는 진분수입니다. 우리는 분모를 곱셈으로 분해합니다. 분모의 근은 실수이고 다르기 때문에 공식 (1)에 기초하여 분수를 가장 단순한 것으로 분해하면 다음과 같은 형식이 됩니다. 공통 분모를 왼쪽과 오른쪽에 있는 분자를 동일시하면 항등식을 얻거나 두 가지 방법으로 미지의 계수 A. 2?, C를 찾습니다. 첫 번째 방법 x, t.v의 동일한 거듭제곱에 대한 계수를 동일시합니다. (자유 항)과 항등식의 왼쪽과 오른쪽을 사용하여 미지의 계수 A, B, C를 찾기 위한 선형 방정식 시스템을 얻습니다. 이 시스템은 고유한 해 C를 갖습니다. 두 번째 방법입니다. 분모의 근은 i 0에서 찢어지기 때문에 2 = 2A를 얻습니다. 여기서 A * 1입니다. g i 1, 우리는 -1 * -B를 얻습니다. 여기서 5 * 1이 됩니다. x i 2, 우리는 2 = 2C를 얻습니다. 여기서 C» 1이고 필요한 확장의 형식은 3입니다. 가장 단순한 분수가 아닌 Rehlozhnt 유리 분수 4 반대 방향의 다항식을 인수로 분해합니다. 분모에는 두 개의 서로 다른 실근이 있습니다: x\ = 0 다중도 3의 다중도. 따라서 이 분수의 분해는 가장 간단하지 않습니다. 우변을 공통 분모로 줄이면 첫 번째 방법을 찾습니다. 마지막 항등식의 왼쪽과 오른쪽에 있는 x의 동일한 거듭제곱에 대한 계수를 동일시합니다. 우리는 선형 방정식 시스템을 얻습니다. 이 시스템은 고유한 솔루션을 가지며 필요한 확장은 두 번째 방법이 됩니다. 결과 항등식에서 x = 0을 넣으면 1 a A2 또는 A2 = 1을 얻습니다. field* gay x = -1, -3 i B) 또는 Bj i -3을 얻습니다. 발견된 계수 A\ 및 B) 값을 대입하면 항등식은 x = 0, x = -I의 형식을 취합니다. 우리는 = 0, B2 = 0 그리고. 이는 B\ = 0을 의미합니다. 따라서 우리는 다시 예 4를 얻습니다. 유리 분수 4를 더 간단한 분수로 확장합니다. 분수의 분모에는 실수 근이 없습니다. 왜냐하면 함수 x2 + 1은 x의 실수 값에 대해 사라지지 않기 때문입니다. 따라서 단순 분수로 분해하면 다음과 같은 형식을 취해야 합니다. 여기에서 or를 얻습니다. 마지막 평등의 왼쪽과 오른쪽에 있는 x의 시낙스 거듭제곱의 계수를 동일시하면 우리가 찾을 수 있는 위치를 얻을 수 있으므로 어떤 경우에는 간단한 분수로 분해하는 것이 더 빠르고 쉽게 수행될 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 부정계수법을 사용하지 않고 다른 방법으로 예를 들어, 예제 3에서 분수의 분해를 얻으려면 분자 3x2에서 더하고 빼고 아래와 같이 나눌 수 있습니다. 7.2. 단순 분수의 적분, 위에서 언급했듯이, 모든 부적절한 유리 분수는 일부 다항식과 진 유리 분수의 합으로 표현될 수 있으며(§7), 이 표현은 독특합니다. 다항식을 적분하는 것은 어렵지 않으므로 적절한 유리 분수를 적분하는 문제를 고려하십시오. 모든 적절한 유리 분수는 단순 분수의 합으로 표현될 수 있으므로 그 적분은 단순 분수의 적분으로 축소됩니다. 이제 통합 문제를 고려해 보겠습니다. III. 세 번째 유형의 가장 단순한 분수의 적분을 찾기 위해 우리는 제곱 삼항식에서 이항의 완전한 제곱을 분리합니다. 두 번째 항은 a2와 같으므로 여기서 대체를 수행합니다. 그런 다음 적분의 선형 속성을 고려하여 다음을 찾습니다. 예 5. 적분 4 찾기 적분 함수는 제곱 삼항식 x1 + Ax + 6에 실수 근이 없기 때문에 세 번째 유형의 가장 간단한 분수입니다(판별 함수). 는 음수이고 분자는 1차 다항식을 포함합니다. 따라서 다음과 같이 진행합니다: 1) 분모에서 완전제곱식을 선택합니다. 2) * 하나의 적분으로 대체(여기서는 3)합니다. 네 번째 유형의 가장 간단한 부분을 위와 같이 넣습니다. 그런 다음 A로 표시된 오른쪽의 적분을 얻고 이를 다음과 같이 변환합니다. 오른쪽의 적분은 어디에서 가정하여 부분으로 통합됩니다. 유리 함수의 통합 유리 함수에 대한 간략한 정보 단순 분수의 통합 일반적인 경우 무리수의 통합 함수 오일러의 첫 번째 치환 두 번째 오일러 치환 세 번째 치환 오일러 우리는 k = 2, 3에 대한 적분 Jk를 찾을 수 있는 소위 반복 공식을 얻었습니다. .. . 실제로, 적분 J\는 표 형식입니다. 반복 공식에 넣으면 A = 3을 알 수 있고 Jj 등을 쉽게 찾을 수 있습니다. 최종 결과에서 t와 a 대신에 x와 계수 p와 q로 표현한 것을 대체하여 x와 주어진 숫자 M, LG, p, q로 표현한 초기 적분을 얻습니다. 예제 8. 새로운 적분 “적분 함수는 제곱 삼항식의 판별식이 음수이기 때문에 네 번째 유형의 가장 간단한 분수입니다. 즉, 이는 분모에 실수근이 없고 분자가 1차 다항식임을 의미합니다. 1) 분모에서 완전한 정사각형을 선택합니다. 2) 대체합니다. 적분은 다음과 같은 형식을 취합니다. 반복 공식 * = 2, a3 = 1을 입력하면 원하는 적분은 같습니다. 변수 x로 돌아가서 마침내 7.3을 얻습니다. 일반 사례 단락 결과에서. 이 섹션의 1과 2는 바로 중요한 정리를 따릅니다. 정리! 4. 유리 함수의 부정 적분은 항상 존재하며 (분수 Q "(x) Φ 0의 분모가 있는 간격에서) 유한한 수의 기본 함수를 통해 표현됩니다. 즉, 대수적 합입니다. 그 중 곱셈, 유리 분수, 자연 로그 및 아크탄젠트만 가능합니다. 따라서 분수-유리 함수의 부정 적분을 찾으려면 다음과 같은 방식으로 진행해야 합니다. 1) 유리 분수가 부적절한 경우 분자를 분모로 나누어 전체 부분이 격리됩니다. 즉, 이 함수 다항식과 고유 유리 분수의 합으로 표시됩니다. 2) 결과 고유 분수의 분모는 선형 및 이차 인수의 곱으로 분해됩니다. 3) 이 고유 분수는 단순 분수의 합으로 분해됩니다. 4) 적분의 선형성과 2단계의 공식을 사용하여 각 항의 적분을 별도로 구합니다. 예제 7. 적분 M 찾기 분모는 3차 다항식이므로 적분 함수는 가분수입니다. 우리는 그것의 전체 부분을 강조합니다. 그러므로 우리는 가질 것입니다. 고유 분수의 분모는 phi 서로 다른 실근을 갖습니다. 따라서 이를 단순 분수로 분해하면 다음과 같은 형식을 갖습니다. 인수 x 값을 분모의 근과 동일하게 지정하면 이 항등식에서 다음을 알 수 있습니다. 따라서 필요한 적분은 예 8과 같습니다. 적분 4를 찾습니다. 적분은 분모가 다음과 같은 고유 분수입니다. 두 개의 서로 다른 실근: x - O 다중도 1 및 x = 1 다중도 3, 따라서 단순 분수로 피적분 함수를 확장하면 이 등식의 우변을 공통 분모로 가져오고 등식의 양쪽을 축소하는 형식을 갖습니다. 이 분모에 의해 우리는 또는를 얻습니다. 우리는 이 항등식의 왼쪽과 오른쪽에 있는 x의 동일한 거듭제곱에 대한 계수를 동일시합니다. 여기에서 우리는 찾습니다. 발견된 계수 값을 확장에 대입하면 다음을 찾을 수 있습니다. 예 9. 적분 찾기 4 분수의 분모에는 실제 근이 없습니다. 따라서 피적분 함수를 단순 분수로 확장하는 형식은 다음과 같습니다. 따라서 이 항등식의 왼쪽과 오른쪽에 있는 x의 동일한 거듭제곱에 대한 계수를 동일하게 하면 우리는 여기서 찾을 수 있으므로 비고를 갖게 됩니다. 주어진 예에서 피적분 함수는 더 간단한 방법으로 단순 분수의 합으로 표현될 수 있습니다. 즉, 분수의 분자에서 분모에 있는 이진수를 선택한 다음 용어별 나눗셈을 수행합니다. : §8. 비합리 함수의 적분 변수 uub2,...에서 Pm과 £?가 각각 차수 유형의 다항식인 형식의 함수를 ubu2j의 유리 함수라고 합니다... 예를 들어 2차 다항식 두 변수 u\ 및 u2는 다음과 같은 형식을 갖습니다. - 일부 실수 상수, 예 1, 함수는 변수 r과 y의 유리 함수입니다. 왜냐하면 이는 3차 다항식과 다음의 다항식의 비율을 나타내기 때문입니다. 5도이지만 주목 함수는 아닙니다. 변수가 변수 x의 함수인 경우: 함수 ]는 예제 함수의 유리 함수라고 합니다. 함수는 r과 rvdikvlv Pryaivr 3의 유리 함수입니다. 형식의 함수는 x와 근호 y/r1 + 1의 유리 함수가 아니지만, 예에서 볼 수 있듯이 무리수의 적분 함수입니다. 함수가 항상 기본 함수를 통해 표현되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 애플리케이션에서 자주 접하는 적분은 기본 함수의 관점에서 표현되지 않습니다. 이러한 적분을 각각 제1종 및 제2종 타원 적분이라고 합니다. 일부 대체의 도움으로 비합리적 기능의 통합이 합리적인 기능의 통합으로 축소될 수 있는 경우를 고려해 보겠습니다. 1. R(x, y)가 인수 x와 y의 유리 함수인 적분을 찾아야 합니다. m £ 2 - 자연수; a, 6, c, d는 ad - bc ^O 조건을 충족하는 실수 상수입니다(ad - be = 0의 경우 계수 a와 b는 계수 c와 d에 비례하므로 관계는 x에 종속되지 않습니다). ; 이는 이 경우 피적분 함수가 변수 x의 유리수 함수가 됨을 의미합니다. 이 함수의 적분은 앞에서 논의했습니다. 이 적분에서 변수를 변경해 보겠습니다. 따라서 새로운 변수를 통해 변수 x를 표현합니다. x = - t의 유리 함수입니다. 다음으로 우리는 단순화 후에 다음을 찾습니다. 따라서 A1(t)가 *의 유리 함수인 경우, 유리 함수의 유리 함수뿐만 아니라 유리 함수의 곱도 유리 함수이기 때문입니다. 우리는 합리적 기능을 통합하는 방법을 알고 있습니다. 그러면 필요한 적분은 At와 같습니다. IvYti 적분 4 적분* 함수는 유리수 함수입니다. 그러므로 우리는 t = Then 유리함수 적분 유리함수에 대한 간략한 정보 단순 분수의 적분 일반적인 경우 무리함수 적분 오일러의 첫 번째 대입 오일러의 두 번째 대입 오일러의 세 번째 대입 따라서 우리는 Primar 5를 얻습니다. 적분을 구합니다. 분수의 공통 분모 x의 지수는 12와 같으므로 함수의 피적분 함수는 1 _ 1_ 형식으로 표현될 수 있으며 이는 다음과 같은 유리 함수임을 보여줍니다. 이를 고려하여 넣어보겠습니다. 결과적으로, 2. 하위 함수가 근수 \/ax2 + bx + c를 y로 대체하여 두 인수 x에 대해 유리수인 함수 R(x) y)를 얻는 형식의 정수를 고려합니다. 그리고 y. 이 적분은 오일러 치환을 사용하여 다른 변수의 유리 함수의 적분으로 축소됩니다. 8.1. 오일러의 첫 번째 대체 계수를 a > 0으로 설정합니다. 또는 따라서 x를 u의 유리수 함수로 찾습니다. 즉, 표시된 대체는 *로 합리적으로 표현됩니다. 그러므로 우리는 발언을 할 것입니다. 첫 번째 오일러 치환은 예 6의 형태로 취할 수도 있습니다. 적분을 구해 보겠습니다. 따라서 dx 오일러 치환을 통해 Y 8.2를 보여줍니다. 오일러의 두 번째 치환 삼항식 ax2 + bx + c가 서로 다른 실수근 R]과 x2를 갖도록 합니다(계수는 임의의 부호를 가질 수 있음). x,dxn y/ax2 + be + c가 t의 관점에서 합리적으로 표현되므로 원래 적분은 유리 함수의 적분으로 감소됩니다. 즉, 여기서 문제는 다음과 같습니다. 오일러의 첫 번째 치환을 사용하여 이것이 t의 유리함수임을 보여주세요. 예제 7. 적분 dx M 함수 찾기 ] - x1은 서로 다른 실수 근을 가집니다. 따라서 우리는 두 번째 오일러 치환을 적용합니다. 여기에서 발견된 표현식을 주어진?v*gyvl; 우리는 8.3을 얻습니다. 세 번째 오일러 하위스타콤 계수 c > 0이라고 둡니다. 퍼팅을 통해 변수를 변경합니다. 적분을 유리 함수의 적분으로 줄이려면 첫 번째와 두 번째 오일러 치환이면 충분합니다. 실제로 판별식 b2 -4ac > 0이면 이차 삼항식 ax + bx + c의 근은 실수이고 이 경우 두 번째 오일러 치환이 적용 가능합니다. 만약, 삼항식 ax2 + bx + c의 부호가 계수 a의 부호와 일치하고, 삼항식은 양수여야 하므로 a > 0입니다. 이 경우 오일러의 첫 번째 대체가 적용 가능합니다. 위에 표시된 유형의 적분을 찾으려면 오일러 대체를 사용하는 것이 항상 권장되는 것은 아닙니다. 왜냐하면 목표에 더 빨리 도달하는 다른 적분 방법을 찾을 수 있기 때문입니다. 이러한 적분 중 일부를 살펴보겠습니다. 1. 형식의 적분을 찾으려면 세 번째 삼항식의 제곱에서 완전제곱근을 분리합니다. 여기서 대입을 수행하고 계수 a와 P의 부호가 서로 다르거나 둘 다 양수인 위치를 구합니다. a > 0인 경우, 적분은 로그로 감소하고, 그렇다면 아크사인으로 감소합니다. 에. 그럼 일체형 4탁깍을 찾아보세요. 가정하면 Prmmar 9를 얻습니다. 찾기. x -라고 가정하면 2가 됩니다. 형식의 적분은 다음과 같이 1단계의 적분 y로 감소됩니다. 도함수 ()" = 2라는 점을 고려하여 분자에서 이를 강조 표시합니다. 4 분자에서 근호 표현의 도함수를 식별합니다. (x이므로 예제 9, 3의 결과를 고려하여 갖게 됩니다. P(x)가 다항식 n차인 형태의 적분은 다음과 같이 구성된 무한 계수 방법으로 찾을 수 있습니다. 예 10. Qn-i가 있는 경우 마이티 적분 (s)는 무한 계수를 갖는 (n - 1) 차수의 다항식입니다. 계수를 찾기 위해 | (1)의 양쪽을 미분합니다. 그런 다음 등식의 우변을 다음과 같은 공통 분모로 줄입니다. 왼쪽 변의 분모, 즉 y/ax2 + bx + c를 사용하여 (2)의 양쪽 변에 n차의 다항식을 포함하는 항등식을 얻습니다. x의 동일한 차수에 대한 계수를 동일시합니다. (3)의 왼쪽과 오른쪽에서 n + 1 방정식을 얻습니다. 여기서 필요한 계수 j4*(fc = 0,1,2,..., n )를 오른쪽에 대입합니다. (1)의 적분 + c를 찾아 이 적분에 대한 답을 얻습니다. 예제 11. 적분 찾기 두 등식을 미분하면 다음과 같습니다. 우변을 공통 분모로 가져오고 이를 통해 양변을 줄이면 항등식 또는를 얻습니다. x의 동일한 거듭제곱으로 계수를 동일시하면 =를 찾는 방정식 시스템에 도달합니다. 그런 다음 평등의 우변에서 적분을 찾습니다(4). 결과적으로 필요한 적분은 다음과 같습니다.

무리함수(근)를 적분하는 기본 방법이 제공됩니다. 여기에는 선형 분수 비합리성의 통합, 미분 이항식, 제곱 삼항식의 제곱근과의 적분이 포함됩니다. 삼각함수 치환과 오일러 치환이 제공됩니다. 기본 함수를 통해 표현된 일부 타원 적분을 고려합니다.

콘텐츠

미분 이항식의 적분

미분 이항식의 적분은 다음 형식을 갖습니다.
,
여기서 m, n, p는 유리수이고, a, b는 실수입니다.
이러한 적분은 세 가지 경우에 유리 함수의 적분으로 축소됩니다.

1) p가 정수인 경우. 대체 x = t N, 여기서 N은 분수 m과 n의 공통 분모입니다.
2) If - 정수. 대체 a x n + b = t M, 여기서 M은 숫자 p의 분모입니다.
3) If - 정수. 대체 a + b x - n = t M, 여기서 M은 숫자 p의 분모입니다.

다른 경우에는 이러한 적분이 기본 함수를 통해 표현되지 않습니다.

때때로 이러한 적분은 다음과 같은 축소 공식을 사용하여 단순화될 수 있습니다.
;
.

제곱 삼항식의 제곱근을 포함하는 적분

이러한 적분은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
,
여기서 R은 유리함수입니다. 이러한 적분마다 이를 해결하는 여러 가지 방법이 있습니다.
1) 변환을 사용하면 적분이 더 간단해집니다.
2) 삼각법 또는 쌍곡선 치환을 적용합니다.
3) 오일러 대체를 적용합니다.

이러한 방법을 더 자세히 살펴보겠습니다.

1) 피적분 함수의 변환

공식을 적용하고 대수적 변환을 수행하여 피적분 함수를 다음 형식으로 줄입니다.
,
여기서 Φ(x), Ω(x)는 유리함수입니다.

유형 I

형태의 적분:
,
여기서 Pn(x)는 n차 다항식입니다.

이러한 적분은 다음 항등식을 사용하여 무한 계수 방법으로 구합니다.

.
이 방정식을 미분하고 왼쪽과 오른쪽을 동일시하면 계수 A i를 찾습니다.

유형 II

형태의 적분:
,
여기서 Pm(x)는 m차 다항식입니다.

대체 t = (x - α) -1이 적분은 이전 유형으로 축소됩니다. m ≥ n이면 분수는 정수 부분을 가져야 합니다.

III 유형

여기서는 대체를 수행합니다.
.
그 후 적분은 다음과 같은 형식을 취합니다.
.
다음으로, 분모의 t 계수가 0이 되도록 상수 α, β를 선택해야 합니다.
B = 0, B1 = 0.
그런 다음 적분은 두 가지 유형의 적분의 합으로 분해됩니다.
,
,
대체에 의해 통합됩니다.
유 2 = A 1 티 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 티 -2 .

2) 삼각법 및 쌍곡선 치환

형태의 적분에 대해, a > 0 ,
세 가지 주요 대체품이 있습니다.
;
;
;

적분의 경우, > 0 ,
다음과 같은 대체 항목이 있습니다.
;
;
;

그리고 마지막으로 적분의 경우, > 0 ,
대체 사항은 다음과 같습니다.
;
;
;

3) 오일러 치환

또한 적분은 세 가지 오일러 치환 중 하나의 유리 함수 적분으로 축소될 수 있습니다.
, > 0인 경우;
, c > 0인 경우;
, 여기서 x 1은 방정식 a x 2 + b x + c = 0의 근입니다. 이 방정식에 실제 뿌리가 있는 경우.

타원 적분

결론적으로 다음 형식의 적분을 고려하십시오.
,
여기서 R은 유리함수, 입니다. 이러한 적분을 타원이라고 합니다. 일반적으로 기본 기능으로는 표현되지 않습니다. 그러나 계수 A, B, C, D, E 사이에 관계가 있는 경우가 있는데, 이러한 적분은 기본 함수를 통해 표현됩니다.

아래는 재귀 다항식과 관련된 예입니다. 이러한 적분의 계산은 대체를 사용하여 수행됩니다.
.

예

적분을 계산합니다.
.

대체를 해보자.

.
여기 x > 0 (유> 0 ) 위쪽 기호 '+'를 사용합니다. x에< 0 (유< 0 ) - 낮추다 '- '.

.

참고자료:
N.M. 건터, R.O. Kuzmin, 고등 수학 문제 모음, “Lan”, 2003.

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