어린이를 위한 해열제는 소아과 의사가 처방합니다. 그러나 아이에게 즉시 약을 투여해야 하는 열이 나는 응급 상황이 있습니다. 그러면 부모가 책임을 지고 해열제를 사용하게 됩니다. 유아에게 무엇을 줄 수 있습니까? 나이가 많은 어린이의 체온을 어떻게 낮출 수 있습니까? 어떤 약이 가장 안전한가요?
많은 계산 문제에서는 올바르게 선택된 몇 가지 예를 사용하여 관심 있는 모든 상황을 연구할 수 있는 방식으로 큰 세트가 선택되고 나누어집니다.
정의 1: A 1 Æ 및 (A i ),i= A= 를 충족하는 하위 집합 모음이라고 가정합니다. 그런 다음 이러한 하위 집합의 컬렉션을 호출합니다. 코팅 A를 설정합니다.
예를 들어, (A, B)는 AÈB를 포함합니다. (A, AÈB, B, C) - AÈBÈC를 덮습니다.
논평: 일반적인 경우 적용 범위는 무한할 수 있습니다. 그러나 특정 특성을 연구하는 관점에서 볼 때 이러한 상황은 열의를 일으키지 않습니다.
정의 2: 분할하여 비어 있지 않은 집합 A를 i1 j이면 A i ÇA j =Æ로 덮는다고 합니다.
예를 들어 (A, A')는 파티션입니다. 유.
(AÇB, AÇB', A'ÇB, A'ÇB') – 파티션 유,
(A\B, AÇB, B\A) – 파티션 AÈB.
숫자 또는 집합 집합에 대한 등식 관계처럼 동작하는 관계를 사용하여 비어 있지 않은 집합의 분할을 구성할 수 있습니다.
정의 3:세트의 이진 관계를 호출합니다. 등가 관계, 반사적이고 대칭적이며 추이적인 경우.
예:
1. 모든 삼각형의 집합에서: ((x, y)| x와 y의 면적은 같습니다)
2. 모든 프로그램 세트에서: ((a, b)| a, b는 특정 기계에서 동일한 기능을 계산합니다.)
정의 4: R을 집합 A와 xОA에 대한 동치 관계로 설정합니다. x에 의해 생성된 동등 클래스집합 (y| xR y)=[x] R이 호출됩니다.
정의 5:동등 클래스의 모든 요소를 호출합니다. 대표이 수업. 전체 대표 시스템각 클래스에서 한 명씩 대표자가 호출됩니다.
실시예 3:
N는 자연수이고 s는 고정된 요소입니다. ~에 지관계는 다음과 같이 정의됩니다: r s = ((x, y)| x-y=ns, nО 지). 태도 비교 모듈로 s (표기법: xºy(mod s)).
모듈로 s의 비교 관계가 집합에 대한 동치 관계인지 확인하기 쉽습니다. 지.
예를 들어 s=10이라고 가정합니다. 그 다음에:
= {11,21,-9,10 976 631,.... }
= {66,226,-24,... }
실제로 이 관계에는 10개의 등가 클래스만 있으며 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9는 다음과 같습니다. 완전한 대표 시스템. 이 동등 관계를 기반으로 하는 동등 클래스를 호출합니다. 공제 종류 모듈로 s.
정의 6: 요인 세트동치 관계 R에 관한 집합 A의 집합을 이 관계에 관한 모든 동치 클래스의 집합이라고 하며 A/R로 표시합니다.
나머지 클래스 세트는 모듈로 s로 표시됩니다. Zs.
발생
정리(분할에 관한): R을 비어 있지 않은 집합 A에 대한 동치 관계로 둡니다. 그러면 몫 집합 A/R은 집합 A의 분할입니다.
증거:
"xОA(xО[x] R). 우리는 집합 A의 각 요소가 정확히 하나의 클래스에 속한다는 것을 증명해야 합니다. 즉, 클래스에 적어도 하나의 공통 요소가 있으면 두 요소가 일치한다는 것을 증명할 것입니다. cО[ a] 및 cО [b]라고 하면 x R a, a R c, c R b Þ x R b (이동성 R)이므로 [a] М [b]와 유사합니다. ] М [a].
Q.E.D.
그 반대도 성립합니다. S를 집합 A의 분할로 두고 R s를 A에 대한 이진 관계로 설정하면 다음과 같이 됩니다. R=((x,y)ïx와 y는 분할의 동일한 요소에 속함) 그러면 R을 다음과 같이 호출합니다. 파티션 S에 의해 결정되는 관계.
정리 (뒤집다): S의 분할로 정의된 A의 관계 R은 A의 등가 관계이고 A/R s = S입니다. (독립적으로)
수업 과정:
1. A를 유한 집합으로 둡니다. 어떤 동치 관계가 가장 큰 수와 가장 작은 수의 동치 클래스를 제공합니까?
2. 만약 (A 1 , A 2 , ..., An )이 A와 A 유한의 분할이면 .
주문관계.
평등의 개념(예를 들어 숫자)에서 등가의 수학적 개념이 발생합니다. 그리고 불평등의 개념으로부터 질서 관계라고 불리는 또 다른 유형의 관계가 발생합니다.
정의 1: 부분 주문집합 A에서 반사적, 반대칭적, 추이적 이항 관계가 있습니다.
부분 순서는 R과 £의 관계를 일반화한 것입니다. 우리는 다음 개념을 도입할 수 있습니다. 엄격한 질서 , 관계에 해당< на R. Отношение строгого порядка - только транзитивно(оно еще и антирефлексивно).
£가 주어지면 다음을 정의할 수 있습니다.<: a
순서 관계가 주어진 집합은 다음과 같이 표시됩니다.
(X, £) (또는 (X,<), если порядок строгий).
정의 2:순서관계가 주어진 집합을 집합이라고 한다. 부분적으로 주문했습니다.
예: A는 집합이다. ( 피 (일체 포함), 관계를 확인하는 것은 쉽습니다. Í 에 대한 순서 관계이다 피 (ㅏ).
정의 3: A에 대한 순서 R의 관계가 호출됩니다. 완벽한 (선의 ) 순서대로, " x, yÎA (xR y Ú yR x)인 경우 집합 (A, R)을 선형 순서라고 합니다.
예:
1. 비율 £ 대 아르 자형완전한 주문 관계입니다. 따라서 ( 아르 자형,£) - 선형으로 주문됩니다.
2. 그리고 여기 ( 피 (일체 포함)은 선형적으로 정렬되지 않습니다.
3. 세트의 x£y Û y x N완전한 순서가 아닙니다
정의 4:하자 (A, £) 부분적으로 주문한 세트입니다. AOA 요소는 다음과 같습니다. 가장 작은/가장 큰/ A if " xОA (a£ x) /x £ a /. 요소 bОА는 다음과 같이 호출됩니다. 최소/최대/ if " xÎA (x£ a Þ x=a) /a £ x Þ a=x /.
일:선형 순서 집합의 경우 가장 큰(최소) 요소와 최대(최소) 요소의 개념이 일치함을 증명하십시오. 일치하지 않는 부분적으로 정렬된 집합의 예를 들어보세요.
관계의 구성
집합 A, B, C와 A와 B 사이의 관계 S(즉, SÌA'B)와 B와 C 사이의 R(RÌB'C)이 주어집니다. A와 C 사이의 새로운 관계를 다음과 같이 정의해 보겠습니다.
정의 1:(x, z)О S 및 (z, y)О R이 되도록 zÎB가 존재하는 모든 쌍 (x, y)의 집합을 호출합니다. 관계의 구성 S와 R. 지정 : R o S . 따라서 R o S Ì A `` C 입니다.
R oS = ((x, y)| $zÎB((x,z)ÎSÙ(z,y)ÎR)) 또는 x R o Sy Û $zÎB(xSzÙzRy).
실시예 1 : A=(1, 2, 3), B=(1, 2, 3, 4, 5, 6), C=(3, 6, 9, 12), s =((1,2), (2 ,4), (3,6)), r=((1,3), (2,6), (3,9), (4,12)). 그러면 r o s=((1.6), (2.12))입니다.
그림의 상황을 설명해 보겠습니다.
실시예 2 : s와 r을 관계로 두자 N그렇게
S = ((x,x+1)ïxО N) 및 r = ((x 2 ,x)ïxО N). 그러면 D r = (x 2 ïxО N)=(1,4,9,16,25,...) 및 D s = N.
D r o s =(xïxО NÙ x+1=y 2 )=(3,8,15,24,...).
관계가 집합에 정의된 경우 자체적으로 결합될 수 있습니다.
sos = s 2 = ((x,x+2)½xО N) 및 ror = r 2 = ((x 4 ,x)½xО N}.
이 표기법을 사용하여 관계의 n제곱을 정의할 수 있습니다.
, 여기서 nО N, n>1.
예를 들어, 예제 2의 관계는 다음과 같습니다.
, 
나는 곱셈으로 비유를 보완하고 싶습니다. 이를 위해 다음과 같은 자연 정의를 도입합니다.
정의 2:이진 관계가 호출됩니다. 동일한, 부분 집합과 동일한 경우, 즉 R=S if"x,y((x,y)ÎRÛ(x,y)ÎS)입니다.
관계가 동일한 집합에 정의되어야 한다는 것은 분명합니다.
정리 (관계 구성의 속성):임의의 이진 관계 R, S, T에 대해 다음과 같은 등식이 유지됩니다.
1. (RoS)oT = Ro(SoT)
2. (RoS) -1 = S -1 또는 R -1
증거:
1) 모든 x와 y에 대해 다음이 있습니다.
x(RoS)oTy º $z(xTzÙ(zRoSy)) º $z$t(xTzÙ(zStÙtRy)) º $z$t((xTzÙzSt)ÙtRy) º $t(($z(xTzÙzSt))ÙtRy) º $t((xSoTt)ÙtRy) º xRo(SoT)y.
2) x(RoS) -1 y º yRoSx º $z(ySzÙzRx) º $z(xR -1 zÙzS -1 y) º xS -1 oR -1 y.
Q.E.D.
논평: R이 집합 A의 관계라면 I A oR=RoI A =R임이 분명합니다. 즉, I A는 숫자를 곱할 때 1처럼 행동합니다. 그러나 완전한 비유는 불가능합니다. 예를 들어 RoS는 정의할 수 있지만 SoR은 정의할 수 없기 때문에 일반적인 경우 교환성은 존재하지 않습니다. R -1 oR=RoR -1 = I A가 항상 의미가 있는 것은 아닙니다.
관계 종료
폐쇄의 개념은 근본적인 수학적 개념이며 대부분의 수학 분야에서 사용됩니다. 일반적인 예를 통해 이 개념을 설명하겠습니다. 객체 x 0과 프로세스 P를 취합니다. 이 프로세스는 순차적으로 적용될 때 특정 집합을 생성하고 따라서 시퀀스 x 1 , x 2 , ..., x n , 을 정의합니다. .. 그래서 x 1 ÎP(x 0), x 2 ÎP(x 1),..., x n ÎP(x n -1),... 
정의 1:프로세스 P를 사용하여 얻을 수 있고 x 0으로 시작하는 모든 시퀀스의 모든 요소를 포함하는 집합을 호출합니다. 프로세스 종료 x 0에 상대적인 P .
결과는 일부에 대해 Pn(x0)을 찾는 것이 분명합니다. N.이것 N우리는 사전에 알 수 없으며 프로세스 자체에 따라 다릅니다. 게다가 요소를 취하면 와이이 종료부터 프로세스를 적용하겠습니다. 아르 자형,그러면 우리는 새로운 것을 얻지 못할 것입니다. 즉, 세트는 이런 방식으로 확장될 수 없습니다. 세트는 닫혀 있습니다!
예 : ABCD로 표시된 정사각형 S를 선택하고 이 정사각형을 시계 방향으로 90° 회전시키는 과정 r을 생각해 보세요.
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어떤 집합에 관계 A를 정의해보자. 그 다음에:
정의 2: 전이적 폐쇄 주어진 집합의 관계 A를 관계 A +라고 합니다.
따라서 특정 집합의 비전이적 관계 A로부터 추이적 A + 를 구성할 수 있습니다.
예:
1. r - 비율 켜기 N: r=((x, y)| y=x+1), 그러면 r + =((x, y)| x 2. 켜짐 큐: s=((x, y)| x 3. 켜짐 큐: t=((x, y)| x×y=1), 그러면 r + =((x, x)| x10) 4. L을 런던 지하철 역의 집합이라고 하자. L=(a, b, c) 연속 스테이션. N=((x, y)| y는 x)를 따릅니다. 이는 (a, b), (b, c) ÎN을 의미합니다. 또한 (a, a), (b, b), (c, c), (a, c) О N 2 . 이는 N + =L'L을 의미합니다. 일반적으로 말해서, 전이적 폐쇄는 반사적이지 않습니다(예제 2). A를 X에 대한 관계로 설정합니다. A 0 =I X 로 설정합니다. 정의 3: 반사 폐쇄 A*관계 A를 관계라고 합니다. 예:
1. r*=((x, y)| x£y) 모든 동등 클래스의 집합은 로 표시됩니다. 더 복잡한 예이지만 절대적으로 중요합니다. 의사가 귀하에게 약을 처방할 때 그는 실제로 처방전에 동등한 약품의 종류를 표시합니다. 그는 정제 또는 앰풀 패키지의 완전히 구체적인 사본을 표시할 수 없습니다. 저것들. 모든 종류의 의약품은 등가관계에 따라 분류됩니다. 이것이 아니었다면 현대의학은 존재할 수 없었을 것이다. 따라서 모든 종류의 샐러드 및 칵테일 레시피, GOST 및 분류자도 중요한 동등 관계를 결정합니다. 등가 관계는 우리 삶 전체를 채우고 있으며 수학자에게는 추상적인 오락이 아닙니다. 동등 관계에 해당하는 동등 클래스 집합은 기호로 표시되며 다음과 같이 불립니다. 요인 집합비교적 . 게다가 전사 매핑은 ~라고 불리는 자연스러운 디스플레이(또는 표준 투영)를 요인 세트로 설정합니다. 을 세트로 하고 매핑으로 설정하고 규칙에 의해 정의된 이항 관계를 설정합니다. 에 대한 동치 관계입니다. 이 경우 매핑은 규칙에 의해 정의된 매핑을 유도합니다. 아니면 뭐가 똑같나요? 이 경우에는 채권 차압 통고전사 매핑과 분사 매핑에 대한 매핑입니다. 매핑 인수분해는 인문학 및 수치를 사용할 수 없는 기술 분야에서 널리 사용됩니다. 매핑 인수분해를 사용하면 수식을 사용할 수 없는 경우 수식 없이 작업을 수행할 수 있습니다. 누구나 이해할 수 있고 복잡한 수학적 기호를 이해할 필요가 없는 예를 들어 보겠습니다. 학교 일정은 인수분해의 전형적인 예입니다. 이 경우, 모든 학교 학생의 집합, 모든 학업 과목의 집합은 수업 시간을 지정하여 요일별로 배포됩니다. 동등한 수업은 수업(학생 그룹)입니다. 디스플레이 – 학생 일기에 수업 일정이 표시됩니다. 전시 - 학교 로비에 수업 시간표가 게시되어 있습니다. 여기에는 클래스 목록도 표시됩니다. 이 예는 인수분해의 실질적인 이점을 매우 명확하게 보여줍니다. 수업 일정을 학교의 모든 학생을 개별적으로 반영하는 테이블로 상상하는 것은 불가능합니다. 인수분해를 통해 학생들에게 필요한 정보를 공식을 적용할 수 없는 상황에서 사용하기 편리한 간결한 형태로 표시할 수 있었습니다. 그러나 인수분해의 이점은 이에 국한되지 않습니다. 활동 참가자들 사이에 분업이 허용되는 인수분해: 교장은 일정을 작성하고 학생들은 이를 일기에 적습니다. 마찬가지로, 처방의 인수분해는 진단을 내리고 처방을 작성하는 의사와 처방된 약의 동등성을 보장하는 약사 사이의 업무 분업을 허용했습니다. 인수분해의 신격화는 부품의 표준화를 통해 최대의 분업을 구현하는 컨베이어 벨트입니다. 그러나 인수분해의 이점은 이것에만 국한되지 않습니다. 인수분해를 통해 현대 기술의 모듈성을 보장할 수 있게 되었고, 이는 전례 없는 기능 유연성을 제공합니다. 기존 SIM 카드를 그대로 두고 완전히 새로운 휴대폰을 구입하거나 기존 컴퓨터에 새 비디오 메모리를 삽입할 수 있습니다. 이 모든 것은 인수분해에 기반한 유연성, 모듈성입니다. 위키미디어 재단. 2010. 등가 관계- - 통신 주제, 기본 개념 EN 등가 관계... 기술 번역가 가이드 동등 유형 관계- 서로 다른 객체에 동일한 기호(속성)가 존재한다는 사실을 표현하는 논리 및 수학의 개념인 등가 관계. 이러한 공통 특성과 관련하여 이러한 서로 다른 객체는 구별할 수 없습니다(동일함, 동일함,... ... 관용의 태도- 이 용어에는 다른 의미가 있습니다. 공차를 참조하세요. 집합에 대한 관용 관계(또는 간단히 관용)는 반사성과 대칭성의 속성을 충족하는 이진 관계이지만 반드시 그런 것은 아닙니다... ... Wikipedia 비율 (수학)- 이 용어에는 다른 의미도 있습니다. 태도를 참조하세요. 관계는 다양한 개체의 속성과 해당 관계를 공식적으로 정의하는 수학적 구조입니다. 관계는 일반적으로 연결되는 개체 수에 따라 분류됩니다... Wikipedia 태도- 논리에서는 속성과 달리 별도의 개체가 아닌 쌍, 3 등을 특징으로 하는 것입니다. 항목. 전통적인 논리는 O를 고려하지 않았습니다. 현대 논리에서 O.는 두 개 이상의 변수로 구성된 명제 함수입니다. 바이너리... 철학백과사전 선호 관계- 소비자 이론에서 이는 다양한 상품 세트(소비자 세트)를 비교(바람직하게 정렬)하는 소비자의 능력에 대한 공식적인 설명입니다. 선호 관계를 설명하기 위해 바람직성을 측정할 필요는 없습니다... ... Wikipedia 태도(철학적)- 태도(Attitude)는 특정 시스템의 요소 배열의 성격과 상호의존성을 표현하는 철학적 범주입니다. 어떤 것에 대한 사람의 감정적이고 의지적인 태도, 즉 그의 입장의 표현; 다양한 대상에 대한 정신적 비교... ... 위대한 소련 백과사전 태도- RELATIONSHIP은 순서가 있는 n개의 ok 개인(여기서 n은 1)의 집합입니다. 둘, 셋 등. 숫자 n은 "지역성"또는 "arity", O라고 불리며 따라서 n 지역 (n arno) O를 말합니다. 따라서 예를 들어 이중 O.를 ... ... 인식론 및 과학철학 백과사전 태도- I 태도는 특정 시스템의 요소 배열 특성과 상호 의존성을 표현하는 철학적 범주입니다. 어떤 것에 대한 사람의 감정적이고 의지적인 태도, 즉 그의 입장의 표현; 서로 다른 정신적 비교...... 위대한 소련 백과사전 동등 클래스- 집합 X의 동치 관계()는 다음 조건이 충족되는 이진 관계입니다. 재귀성: X의 모든 a에 대해, 대칭성: if, then, 전이성: if... Wikipedia 주석: 등가 관계, 부분 순서 관계, 동형 부분 집합 등 많은 새로운 개념이 설명됩니다. 이 주제에 대한 여러 정리는 자세한 설명, 그래프 및 예를 통해 입증되었습니다. 부분 주문의 많은 예가 제공됩니다. 다른 것으로부터 순서가 지정된 세트를 구성할 수 있는 여러 구성이 설명됩니다. 강의는 독립적인 해결을 위한 과제가 많은 것이 특징입니다. 그걸 떠올려보자 이진 관계집합을 부분집합(subset)이라고 합니다. 대신에 세트의 이진 관계를 호출합니다. 등가 관계, 다음 속성이 충족되는 경우: 다음의 명백하지만 자주 사용되는 진술은 사실입니다. 정리 11. (a) 집합이 분리된 부분 집합의 합집합으로 분할된 경우 "동일한 부분 집합에 있다"는 관계는 동치 관계입니다. (ㄴ) 뭐든지 등가 관계일부 파티션에서 설명된 방식으로 얻습니다. 증거. 첫 번째 진술은 매우 분명합니다. 우리는 동등성 정의의 모든 요점이 사용되는 곳을 볼 수 있도록 두 번째 증명을 제공할 것입니다. 그럼 동치관계를 만들어보자. 각 요소에 대해 고려하십시오. 동등한 클래스- 모든 것이 참인 집합. 두 개의 서로 다른 집합에 대해 그러한 집합은 교차하지 않거나 일치하지 않는다는 것을 증명해 보겠습니다. 즉, 공통 요소를 갖도록 교차시키십시오. 그런 다음 및 , 어디서 (대칭) 및 (이동성)뿐만 아니라 (대칭). 따라서 그 중 하나에 대해 (이행성)이 따르며 그 반대도 마찬가지입니다. 재귀성으로 인해 각 요소는 자신이 정의한 클래스에 속합니다. 즉, 실제로 전체 세트는 분리된 클래스로 나뉩니다. 78. 대칭성 및 전이성 요구 사항이 다음 중 하나로 대체될 수 있음을 보여줍니다. (반성성 요구 사항은 유지하면서) 79. 집합에는 얼마나 많은 등가관계가 존재하는가? 80. 집합에는 두 개의 동치 관계가 주어지며, 각각 과 로 표시되며, 동치 클래스를 갖습니다. 그들의 교차점은 등가 관계가 될까요? 그는 몇 개의 수업을 들을 수 있나요? 당신은 무엇에 대해 말할 수 있습니까? 관계의 통일? 81. (램지의 정리) 모든 집합 - 무한 집합의 원소 부분 집합은 클래스(, - 자연수)로 나뉩니다. 있음을 증명하라 무한 세트, 모든 원소 하위 집합은 동일한 클래스에 속합니다. (이것은 명백하다: 만약 무한 세트유한한 수의 클래스로 나누어지면 클래스 중 하나는 무한합니다. 언제와 그 진술은 다음과 같이 공식화될 수 있습니다. 무한한 사람들 집합 중에서 무한히 많은 쌍의 아는 사람 또는 무한히 많은 쌍의 낯선 사람을 선택할 수 있습니다. 이 진술의 최종 버전(6명 중 3명의 아는 사람이 있거나 3명의 낯선 사람이 있음)은 학생들에게 잘 알려진 문제입니다.) 등가 클래스 세트는 다음과 같습니다. 요인 - 많은등가 관계로 설정됩니다. (관계가 의 추가 구조와 일치하면 요인 그룹, 요인 링 등을 얻습니다.) 우리는 등가 관계를 두 번 이상 접하게 될 것입니다. 그러나 지금은 우리의 주요 주제는 순서 관계입니다. 세트의 이진 관계를 호출합니다. 부분 순서 관계, 다음 속성이 충족되는 경우: (전통에 따라 순서 관계의 기호로 (문자 대신) 기호를 사용합니다.) 부분 순서 관계가 부여된 집합을 집합이라고 합니다. 부분적으로 주문됨. 그들은 두 가지 요소를 말한다 부분적으로 주문됨세트 유사한, 만약 또는 . 부분 순서의 정의에서는 집합의 두 요소가 비교 가능해야 한다는 것을 요구하지 않습니다. 이 요구 사항을 추가하면 다음과 같은 정의를 얻을 수 있습니다. 선형 순서 (선형적으로 정렬된 집합). 다음은 부분 주문의 몇 가지 예입니다. 분수 집합 X = ( )에 대한 등식 관계를 생각해 봅시다. 이 관계: 반사적으로, 모든 분수는 그 자체와 동일하기 때문입니다. 대칭적으로, 분수가 분수와 같다는 사실로부터 분수는 분수와 같습니다. 전이적, 분수는 분수와 같고 분수는 분수와 같기 때문에 분수는 분수와 같습니다. 분수의 등식 관계를 등가 관계라고 합니다. 정의. 집합 X의 관계 R이 반사성, 대칭성, 이행성의 속성을 동시에 갖는 경우 동치 관계라고 합니다.
. 등가 관계의 예로는 기하학적 도형의 동등 관계, 선의 평행 관계(단, 일치하는 선이 평행한 것으로 간주되는 경우)가 있습니다. 수학에서 이러한 유형의 관계가 선택되는 이유는 무엇입니까? 집합 X = ( )에 정의된 분수의 동등 관계를 고려해 보겠습니다. (그림 7). 세트가 세 개의 하위 세트로 나누어져 있음을 알 수 있습니다. 조금도 집합 X에 동치 관계가 주어지면 이 집합을 쌍별 서로소 부분 집합(동등 클래스)으로 분할합니다.
따라서 우리는 분수 집합에 대한 동등 관계를 확립했습니다. X = ( )는 이 세트를 등가 클래스로 분할하는 것에 해당하며, 각 클래스는 서로 동일한 분수로 구성됩니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 집합 X에 정의된 관계가 이 집합을 클래스로 분할하는 경우 이는 동치 관계입니다.
예를 들어 X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 집합에서 "3으로 나눌 때 나머지가 같은" 관계를 생각해 보세요. 이는 집합 X를 클래스로 분할합니다. 하나는 3으로 나눈 나머지가 0인 모든 숫자(숫자 3, 6, 9)를 포함하고, 두 번째 클래스는 3으로 나눈 나머지 1이 남는 숫자를 포함합니다( 이것은 숫자 1, 4, 7, 10입니다. 세 번째는 모든 숫자입니다. 3으로 나누면 나머지는 2입니다 (숫자 2, 5, 8). 실제로 결과 부분 집합은 교차하지 않으며 그 합집합은 집합 X와 일치합니다. 결과적으로 집합 X에 정의된 "3으로 나눌 때 나머지가 동일하다"는 관계는 동치 관계입니다. 등가 관계와 집합을 클래스로 분할하는 관계에 대한 설명에는 증거가 필요합니다. 우리는 그것을 내려 놓을 것입니다. 동치 관계에 이름이 있으면 해당 이름이 클래스에 부여된다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어, 세그먼트 집합에 동등 관계가 지정되면(동등 관계인 경우) 세그먼트 집합은 동일한 세그먼트 클래스로 나뉩니다(그림 4 참조). 유사성 관계는 삼각형 집합을 유사한 삼각형 클래스로 분할하는 것에 해당합니다. 따라서 특정 집합에 대해 등가 관계를 가지면 이 집합을 클래스로 나눌 수 있습니다. 그러나 반대의 경우도 있습니다. 먼저 세트를 클래스로 나눈 다음 두 요소가 해당 파티션의 동일한 클래스에 속하는 경우에만 동일하다는 점을 고려하여 등가 관계를 정의합니다. 등가 관계를 사용하여 집합을 클래스로 분할하는 원리는 수학의 중요한 원리입니다. 왜? 첫째로, 동등 - 이는 동등함, 상호 교환 가능함을 의미합니다. 따라서 동일한 동등 클래스의 요소는 상호 교환 가능합니다. 따라서 동일한 등가 클래스에 속하는 분수는 분수와 구별할 수 없습니다. 예를 들어 평등 관계의 관점에서 분수는 다른 분수로 대체될 수 있으며, 이러한 대체는 계산 결과를 변경하지 않습니다. 둘째, 동등 클래스에는 일부 관계의 관점에서 구별할 수 없는 요소가 있기 때문에 동등 클래스는 해당 대표자 중 하나에 의해 결정된다고 믿습니다. 이 클래스의 임의 요소입니다. 따라서 동일한 분수의 모든 클래스는 이 클래스에 속하는 분수를 지정하여 지정할 수 있습니다. 하나의 대표로 동등 클래스를 결정하면 집합의 모든 요소 대신 동등 클래스의 개별 대표 집합을 연구할 수 있습니다. 예를 들어, 다각형 집합에 정의된 "동일한 수의 꼭짓점을 갖는" 등가 관계는 이 집합을 삼각형, 사각형, 오각형 등의 클래스로 분할합니다. 특정 클래스에 내재된 속성은 해당 클래스의 대표자 중 하나에서 고려됩니다. 제삼, 등가 관계를 사용하여 집합을 클래스로 분할하는 것은 새로운 개념을 도입하는 데 사용됩니다. 예를 들어, "선 묶음"이라는 개념은 평행선에 공통되는 개념으로 정의할 수 있습니다. 일반적으로 사람이 사용하는 모든 개념은 특정 클래스의 동등성을 나타냅니다. "테이블", "집", "책" - 이러한 모든 개념은 동일한 목적을 가진 많은 특정 개체에 대한 일반화된 아이디어입니다. 또 다른 중요한 관계 유형은 순서 관계입니다. 이는 다음과 같이 정의됩니다. 정의. 집합 X의 관계 R이 반대칭성과 이행성의 특성을 동시에 갖는 경우 순서 관계라고 합니다.
순서 관계의 예에는 다음이 포함됩니다. 자연수 집합에 대한 "보다 작은" 관계; 관계 세그먼트 집합은 반대칭적이고 추이적이므로 "더 짧습니다". 순서 관계에 연결성 특성도 있으면 선형 순서 관계라고 합니다. 예를 들어, 자연수 집합의 "미만" 관계는 선형 순서 관계입니다. 왜냐하면 이 관계는 반대칭성, 이행성 및 연결성의 특성을 갖기 때문입니다. 정의. 순서 관계가 있는 집합 X를 순서라고 합니다.
따라서 자연수 집합 N은 "보다 작음" 관계를 지정하여 정렬할 수 있습니다. 집합 X에 정의된 순서 관계가 연결성의 속성을 갖는 경우 집합 X를 선형적으로 정렬한다고 합니다. 예를 들어, 자연수 집합은 "보다 작음" 관계와 "다수" 관계를 모두 사용하여 정렬될 수 있습니다. 둘 다 순서 관계입니다. 그러나 "다수" 관계와 달리 "작음" 관계는 연결성의 속성도 갖습니다. 이는 "보다 작음" 관계가 자연수 집합을 선형적으로 정렬한다는 것을 의미합니다. 모든 관계가 등가관계와 질서관계로 나누어진다고 생각해서는 안 된다. 등가관계도 아니고 순서관계도 아닌 관계가 엄청나게 많습니다. 강의 22. 집합의 등가관계와 순서관계 1. 동등 관계. 등가 관계와 집합을 클래스로 분할하는 것 사이의 연결입니다. 2. 주문 관계. 엄격한 순서 관계와 비엄격한 순서 관계, 선형 순서 관계. 세트 주문. 3. 주요 결론 분수의 집합을 살펴보자 엑스= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) 동등 관계. 이 관계: 반사적으로, 모든 분수는 그 자체와 동일하기 때문입니다. 대칭적으로, 분수가 중/N분수와 같다 피/큐, 분수는 다음과 같습니다 피/큐분수와 같다 중/N; 전이적이기 때문에 분수는 중/N분수와 같다 피/큐그리고 분수 피/큐분수와 같다 아르 자형/에스, 분수는 다음과 같습니다 중/N분수와 같다 아르 자형/에스. 분수의 평등 관계는 다음과 같습니다. 등가 관계. 정의. 집합 X의 관계 R이 반사성, 대칭성, 이행성의 속성을 동시에 갖는 경우 동치 관계라고 합니다.
등가 관계의 예로는 기하학적 도형의 동등 관계, 선의 평행 관계(단, 일치하는 선이 평행한 것으로 간주되는 경우)가 있습니다. 수학에서 이러한 유형의 관계가 선택되는 이유는 무엇입니까? 집합에 정의된 분수의 동등 관계를 고려하세요. 엑스= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (그림 106). 집합이 (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4)의 세 부분 집합으로 나누어져 있음을 알 수 있습니다. 이 하위 집합은 교차하지 않으며 해당 합집합은 집합과 일치합니다. 엑스,저것들. 우리는 세트의 파티션을 가지고 있습니다 엑스수업에. 이것은 우연이 아닙니다. 조금도, 집합 X에 동치 관계가 주어지면 이 집합을 쌍별 서로소 부분 집합(동등 클래스)으로 분할합니다. 따라서 우리는 분수 집합(1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6)에 대한 동등 관계가 이 집합을 동등 클래스로 분할하는 것에 해당한다는 것을 확인했습니다. , 각각은 서로 동일한 분수로 구성됩니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 집합 X에 정의된 관계가 이 집합을 클래스로 분할하는 경우 이는 동치 관계입니다. 예를 들어 세트장을 생각해 보세요. 엑스 =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) “3으로 나누면 나머지가 같다”는 관계. 세트의 파티션을 생성합니다. 엑스클래스로 분류: 하나는 3으로 나눌 때 나머지가 0이 남는 모든 숫자(숫자 3, 6, 9)를 포함하고, 두 번째 - 3으로 나눌 때 나머지가 1이 남는 숫자(숫자 1, 4)를 포함합니다. , 7 , 10), 세 번째에서는 모든 숫자를 3으로 나누면 나머지는 2입니다(숫자 2, 5, 8). 실제로 결과 부분 집합은 교차하지 않으며 해당 합집합은 집합과 일치합니다. 엑스.결과적으로, 집합에 정의된 "3으로 나누면 나머지가 같다"라는 관계가 정의됩니다. 엑스,동치관계이다. 등가 관계와 집합을 클래스로 분할하는 관계에 대한 설명에는 증거가 필요합니다. 우리는 그것을 내려 놓을 것입니다. 동치 관계에 이름이 있으면 해당 이름이 클래스에 부여된다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어, 세그먼트 집합에 동등 관계가 지정되면(그리고 이는 동등 관계임) 세그먼트 집합은 동일한 세그먼트 클래스로 나뉩니다(그림 99 참조). 유사성 관계는 삼각형 집합을 유사한 삼각형 클래스로 분할하는 것에 해당합니다. 따라서 특정 집합에 대해 등가 관계를 가지면 이 집합을 클래스로 나눌 수 있습니다. 그러나 반대의 경우도 있습니다. 먼저 세트를 클래스로 나눈 다음 두 요소가 해당 파티션의 동일한 클래스에 속하는 경우에만 동일하다는 점을 고려하여 동등 관계를 정의합니다. 등가 관계를 사용하여 집합을 클래스로 분할하는 원리는 수학의 중요한 원리입니다. 왜? 첫째로, 동등 - 이는 동등함, 상호 교환 가능함을 의미합니다. 따라서 동일한 동등 클래스의 요소는 상호 교환 가능합니다. 따라서 동일한 등가 클래스(1/2, 2/4, 3/6)에 속하는 분수는 동등 관계의 관점에서 구별할 수 없으며 분수 3/6은 다른 분수(예: 1)로 대체될 수 있습니다. /2. 그리고 이 교체는 계산 결과를 변경하지 않습니다. 둘째, 동등 클래스에는 일부 관계의 관점에서 구별할 수 없는 요소가 있기 때문에 동등 클래스는 해당 대표자 중 하나에 의해 결정된다고 믿습니다. 이 클래스의 임의 요소입니다. 따라서 동일한 분수의 모든 클래스는 이 클래스에 속하는 분수를 지정하여 지정할 수 있습니다. 하나의 대표로 동등 클래스를 결정하면 집합의 모든 요소 대신 동등 클래스의 개별 대표 집합을 연구할 수 있습니다. 예를 들어, 다각형 집합에 정의된 "동일한 수의 꼭짓점을 갖는" 등가 관계는 이 집합을 삼각형, 사각형, 오각형 등의 클래스로 분할합니다. 특정 클래스에 내재된 속성은 해당 클래스의 대표자 중 하나에서 고려됩니다. 제삼, 등가 관계를 사용하여 집합을 클래스로 분할하는 것은 새로운 개념을 도입하는 데 사용됩니다. 예를 들어, "선 묶음"이라는 개념은 평행선에 공통되는 개념으로 정의할 수 있습니다. 일반적으로 사람이 사용하는 모든 개념은 특정 클래스의 동등성을 나타냅니다. "테이블", "집", "책" - 이러한 모든 개념은 동일한 목적을 가진 많은 특정 개체에 대한 일반화된 아이디어입니다. 또 다른 중요한 관계 유형은 다음과 같습니다. 주문 관계. 정의. 집합 X의 관계 R이 반대칭성과 이행성의 특성을 동시에 갖는 경우 순서 관계라고 합니다.
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순서 관계의 예는 다음과 같습니다. 자연수 집합에 대한 "보다 작은" 관계; 세그먼트 세트에서는 비대칭적이고 추이적이므로 관계가 "더 짧습니다". 순서 관계가 연결성 속성도 갖는 경우 이를 관계라고 합니다. 선형 순서. 예를 들어, 자연수 집합의 "보다 작음" 관계는 선형 순서 관계입니다. 왜냐하면 이 관계는 비대칭성, 이행성 및 연결성의 특성을 갖기 때문입니다. 정의. 순서 관계가 있는 집합 X를 순서라고 합니다.
따라서 자연수의 집합 N은 "보다 작음" 관계를 지정하여 정렬될 수 있습니다. 집합에 정의된 순서 관계인 경우 엑스,연결성의 속성을 갖고 있다면 우리는 이렇게 말합니다. 선형적으로 주문합니다한 무리의 엑스. 예를 들어, 자연수 집합은 "보다 작음" 관계와 "다수" 관계를 모두 사용하여 정렬될 수 있습니다. 둘 다 순서 관계입니다. 그러나 "다중" 관계와 달리 "작음" 관계는 연결성의 속성도 갖습니다. 이는 "보다 작음" 관계가 자연수 집합을 선형적으로 정렬한다는 것을 의미합니다. 모든 관계가 등가관계와 질서관계로 나누어진다고 생각해서는 안 된다. 등가관계도 아니고 순서관계도 아닌 관계가 엄청나게 많습니다.
. 그건 
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관련 정의
등가 관계의 예
매핑의 인수분해
문학
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서적
동등성과 순서 관계
자주 씁니다.
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모두 앞에서. 이 순서는 선형적이지 않습니다.
이러한 하위 집합은 교차하지 않으며 해당 집합은 X 집합과 일치합니다. 즉, 집합 X를 클래스로 분할합니다. 이것은 우연이 아닙니다.
