Gli antipiretici per i bambini sono prescritti da un pediatra. Ma ci sono situazioni di emergenza con la febbre in cui il bambino ha bisogno di ricevere immediatamente medicine. Quindi i genitori si assumono la responsabilità e usano farmaci antipiretici. Cosa è consentito dare ai neonati? Come abbassare la temperatura nei bambini più grandi? Quali farmaci sono i più sicuri?

Vibrazioni libere vengono effettuate sotto l'influenza delle forze interne del sistema dopo che il sistema è stato rimosso dalla sua posizione di equilibrio.

Affinché si verifichino vibrazioni libere secondo la legge armonica, è necessario che la forza che tende a riportare il corpo nella posizione di equilibrio sia proporzionale allo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio e diretta nella direzione opposta allo spostamento:

Vengono chiamate forze di qualsiasi altra natura fisica che soddisfano questa condizione quasi elastico .

Quindi, un carico di una certa massa M, attaccato alla molla di irrigidimento K, la cui seconda estremità è fissata in modo fisso (Fig. 2.2.1), costituiscono un sistema in grado di eseguire oscillazioni armoniche libere in assenza di attrito. Si chiama carico su una molla oscillatore armonico lineare .

La frequenza circolare ω 0 delle oscillazioni libere di un carico su una molla si ricava dalla seconda legge di Newton:

quindi

La frequenza ω 0 viene chiamata frequenza naturale sistema oscillatorio.

Periodo T vibrazioni armoniche del carico sulla molla è uguale a

Quando il sistema di carico a molla è posizionato orizzontalmente, la forza di gravità applicata al carico viene compensata dalla forza di reazione del supporto. Se il carico è sospeso su una molla, la forza di gravità è diretta lungo la linea di movimento del carico. Nella posizione di equilibrio, la molla viene allungata di una certa quantità X 0 uguale

e si verificano oscillazioni attorno a questa nuova posizione di equilibrio. Le espressioni sopra riportate per la frequenza naturale ω 0 e il periodo di oscillazione T valgono anche in questo caso.

Una descrizione rigorosa del comportamento del sistema oscillatorio può essere data se si tiene conto della relazione matematica tra l'accelerazione del corpo UN e coordinare X: l'accelerazione è la derivata seconda della coordinata del corpo X col tempo T :

Pertanto, la seconda legge di Newton per un carico su una molla può essere scritta come

(*)

Tutti i sistemi fisici (non solo meccanici) descritti dall'equazione (*) sono in grado di eseguire oscillazioni armoniche libere, poiché la soluzione a questa equazione sono funzioni armoniche della forma

X = X mcos(ω T + φ 0).

Viene chiamata l'equazione (*) equazione delle vibrazioni libere . Va notato che le proprietà fisiche del sistema oscillatorio determinare solo la frequenza naturale delle oscillazioni ω0 o punto T . Tali parametri del processo oscillatorio come l'ampiezza X m e la fase iniziale φ 0 sono determinati dal modo in cui il sistema è stato portato fuori dall'equilibrio nell'istante iniziale.

Se, ad esempio, il carico fosse spostato dalla posizione di equilibrio di una distanza Δ l e poi in un determinato momento T= 0 rilasciato senza velocità iniziale, quindi X m = Δ l, φ0 = 0.

Se al carico, che era nella posizione di equilibrio, veniva data una velocità iniziale con l'aiuto di una forte spinta, allora

Quindi, l'ampiezza X Vengono determinate m oscillazioni libere e la sua fase iniziale φ 0 condizioni iniziali .

Esistono molti tipi di sistemi oscillatori meccanici che utilizzano forze di deformazione elastica. Nella fig. La Figura 2.2.2 mostra l'analogo angolare di un oscillatore armonico lineare che esegue oscillazioni torsionali. Un disco posizionato orizzontalmente è appeso a un filo elastico attaccato al suo centro di massa. Quando il disco viene ruotato di un angolo θ, si verifica un momento di forza M controllo della deformazione elastica torsionale:

Questa relazione esprime la legge di Hooke per la deformazione torsionale. Il valore di χ è simile alla rigidezza della molla K. La seconda legge di Newton per il moto rotatorio di un disco si scrive come

Dove IO = IOCè il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse passante per il centro di massa, ε è l'accelerazione angolare.

Per analogia con un carico su una molla, si ottiene:

Il pendolo a torsione è ampiamente utilizzato negli orologi meccanici. Si chiama bilanciatore. Nel bilanciatore, il momento delle forze elastiche viene creato utilizzando una molla a spirale.

Vibrazioni libere vengono effettuate sotto l'influenza delle forze interne del sistema dopo che il sistema è stato rimosso dalla sua posizione di equilibrio.

In modo da Le vibrazioni libere si verificano secondo la legge armonica, è necessario che la forza che tende a riportare il corpo nella posizione di equilibrio sia proporzionale allo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio e sia diretta nella direzione opposta allo spostamento (vedi §2.1 ):

Vengono chiamate forze di qualsiasi altra natura fisica che soddisfano questa condizione quasi elastico .

La frequenza circolare ω 0 delle oscillazioni libere di un carico su una molla si ricava dalla seconda legge di Newton:

Pertanto, la seconda legge di Newton per un carico su una molla può essere scritta come

Viene chiamata l'equazione (*) equazione delle vibrazioni libere . Va notato che le proprietà fisiche del sistema oscillatorio determinare solo la frequenza naturale delle oscillazioni ω 0 o il periodo T . Parametri del processo di oscillazione come l'ampiezza X m e la fase iniziale φ 0 sono determinati dal modo in cui il sistema è stato portato fuori dall'equilibrio nell'istante iniziale.

Se, ad esempio, il carico fosse spostato dalla posizione di equilibrio di una distanza Δ l e poi in un determinato momento T= 0 rilasciato senza velocità iniziale, quindi X m = Δ l, φ0 = 0.

Se al carico, che era nella posizione di equilibrio, veniva data una velocità iniziale ± υ 0 con l'aiuto di una forte spinta, allora,

Quindi, l'ampiezza X Vengono determinate m oscillazioni libere e la sua fase iniziale φ 0 condizioni iniziali .

Esistono molti tipi di sistemi oscillatori meccanici che utilizzano forze di deformazione elastica. Nella fig. La Figura 2.2.2 mostra l'analogo angolare di un oscillatore armonico lineare. Un disco posizionato orizzontalmente è appeso a un filo elastico attaccato al suo centro di massa. Quando il disco viene ruotato di un angolo θ, si verifica un momento di forza M controllo della deformazione elastica torsionale:

Dove IO = IO C è il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse passante per il centro di massa, ε è l'accelerazione angolare.

Per analogia con un carico su una molla, si ottiene:

Vibrazioni libere. Pendolo matematico

Pendolo matematico chiamato piccolo corpo sospeso ad un sottile filo inestensibile, la cui massa è trascurabile rispetto alla massa del corpo. Nella posizione di equilibrio, quando il pendolo pende a piombo, la forza di gravità è bilanciata dalla forza di tensione del filo. Quando il pendolo si discosta dalla posizione di equilibrio di un certo angolo φ, appare una componente tangenziale della gravità F τ = - mg sin φ (Fig. 2.3.1). Il segno meno in questa formula significa che la componente tangenziale è diretta nella direzione opposta alla deflessione del pendolo.

Se indichiamo con X spostamento lineare del pendolo dalla posizione di equilibrio lungo un arco di cerchio di raggio l, allora il suo spostamento angolare sarà pari a φ = X / l. La seconda legge di Newton, scritta per le proiezioni dei vettori accelerazione e forza sulla direzione della tangente, dà:

Questa relazione mostra che un pendolo matematico è un complesso non lineare sistema, poiché la forza che tende a riportare il pendolo nella posizione di equilibrio non è proporzionale allo spostamento X, UN

Solo nel caso piccole fluttuazioni, quando circa può essere sostituito da un pendolo matematico è un oscillatore armonico, cioè un sistema in grado di eseguire oscillazioni armoniche. In pratica questa approssimazione vale per angoli dell'ordine di 15-20°; in questo caso il valore differisce non più del 2%. Le oscillazioni di un pendolo a grandi ampiezze non sono armoniche.

Per piccole oscillazioni di un pendolo matematico, la seconda legge di Newton è scritta nella forma

Questa formula esprime frequenza naturale di piccole oscillazioni di un pendolo matematico .

Quindi,

Qualsiasi corpo montato su un asse di rotazione orizzontale è capace di oscillazioni libere in un campo gravitazionale e, quindi, è anche un pendolo. Di solito viene chiamato un tale pendolo fisico (Fig. 2.3.2). Differisce da quello matematico solo nella distribuzione delle masse. In una posizione di equilibrio stabile, il centro di massa C il pendolo fisico si trova sotto l'asse di rotazione O sulla verticale passante per l'asse. Quando il pendolo viene deviato di un angolo φ, si crea un momento di gravità che tende a riportare il pendolo nella posizione di equilibrio:

e la seconda legge di Newton per un pendolo fisico assume la forma (vedi §1.23)

Qui ω 0 - frequenza naturale delle piccole oscillazioni di un pendolo fisico .

Quindi,

Pertanto, l’equazione che esprime la seconda legge di Newton per un pendolo fisico può essere scritta nella forma

Infine, per la frequenza circolare ω 0 delle oscillazioni libere di un pendolo fisico, si ottiene la seguente espressione:

Conversioni di energia durante vibrazioni meccaniche libere

Durante le vibrazioni meccaniche libere, l'energia cinetica e quella potenziale cambiano periodicamente. Alla massima deviazione di un corpo dalla sua posizione di equilibrio, la sua velocità, e quindi la sua energia cinetica, svaniscono. In questa posizione l'energia potenziale del corpo oscillante raggiunge il suo valore massimo. Per un carico su una molla, l'energia potenziale è l'energia di deformazione elastica della molla. Per un pendolo matematico, questa è l'energia nel campo gravitazionale della Terra.

Quando un corpo nel suo movimento passa per la posizione di equilibrio, la sua velocità è massima. Il corpo supera la posizione di equilibrio secondo la legge di inerzia. In questo momento ha la massima energia cinetica e la minima energia potenziale. Un aumento dell'energia cinetica si verifica a causa di una diminuzione dell'energia potenziale. Con ulteriore movimento, l'energia potenziale inizia ad aumentare a causa della diminuzione dell'energia cinetica, ecc.

Pertanto, durante le oscillazioni armoniche, avviene una trasformazione periodica dell'energia cinetica in energia potenziale e viceversa.

Se non c'è attrito nel sistema oscillatorio, l'energia meccanica totale durante le oscillazioni libere rimane invariata.

Per carico a molla(vedi §2.2):

In condizioni reali, qualsiasi sistema oscillatorio è sotto l'influenza delle forze di attrito (resistenza). In questo caso, parte dell'energia meccanica viene convertita in energia interna del movimento termico di atomi e molecole e le vibrazioni diventano sbiadimento (Fig. 2.4.2).

La velocità con cui le vibrazioni decadono dipende dall'entità delle forze di attrito. Intervallo di tempo τ durante il quale l'ampiezza delle oscillazioni diminuisce e≈ 2,7 volte, chiamato tempo di decadimento .

La frequenza delle oscillazioni libere dipende dalla velocità con cui le oscillazioni decadono. All’aumentare delle forze di attrito, la frequenza naturale diminuisce. Tuttavia, il cambiamento nella frequenza naturale diventa evidente solo con forze di attrito sufficientemente grandi, quando le vibrazioni naturali decadono rapidamente.

Una caratteristica importante di un sistema oscillatorio che esegue oscillazioni libere e smorzate è fattore di qualità Q. Questo parametro è definito come un numero N oscillazioni totali eseguite dal sistema durante il tempo di smorzamento τ, moltiplicate per π:

Pertanto, il fattore qualità caratterizza la relativa perdita di energia nel sistema oscillatorio dovuta alla presenza di attrito in un intervallo di tempo pari ad un periodo di oscillazione.

Vibrazioni forzate. Risonanza. Autooscillazioni

Vengono chiamate oscillazioni che si verificano sotto l'influenza di una forza periodica esterna costretto.

Una forza esterna svolge un lavoro positivo e fornisce un flusso di energia al sistema oscillatorio. Non consente l'estinzione delle vibrazioni, nonostante l'azione delle forze di attrito.

Una forza esterna periodica può cambiare nel tempo secondo varie leggi. Di particolare interesse è il caso in cui una forza esterna, variando secondo una legge armonica con frequenza ω, agisce su un sistema oscillatorio capace di compiere le proprie oscillazioni ad una certa frequenza ω 0.

Se le oscillazioni libere si verificano ad una frequenza ω 0, determinata dai parametri del sistema, allora le oscillazioni forzate costanti si verificano sempre a frequenza ω forza esterna.

Dopo che la forza esterna inizia ad agire sul sistema oscillatorio, occorre un po' di tempo Δ T per stabilire oscillazioni forzate. Il tempo di stabilizzazione è, in ordine di grandezza, pari al tempo di smorzamento τ delle oscillazioni libere nel sistema oscillatorio.

Nel momento iniziale, entrambi i processi sono eccitati nel sistema oscillatorio: oscillazioni forzate alla frequenza ω e oscillazioni libere alla frequenza naturale ω 0. Ma le vibrazioni libere vengono smorzate a causa dell'inevitabile presenza di forze di attrito. Pertanto, dopo un certo tempo, nel sistema oscillatorio rimangono solo oscillazioni stazionarie alla frequenza ω della forza motrice esterna.

Consideriamo, ad esempio, le oscillazioni forzate di un corpo su una molla (Fig. 2.5.1). All'estremità libera della molla viene applicata una forza esterna. Costringe l'estremità libera (a sinistra nella Fig. 2.5.1) della molla a muoversi secondo la legge

Se l'estremità sinistra della molla viene spostata di una certa distanza sì, e quello giusto - in lontananza X dalla loro posizione originaria, quando la molla era indeformata, quindi l'allungamento della molla Δ l equivale:

In questa equazione, la forza che agisce su un corpo è rappresentata da due termini. Il primo termine a destra è la forza elastica che tende a riportare il corpo nella posizione di equilibrio ( X= 0). Il secondo termine è l'effetto periodico esterno sul corpo. Questo termine si chiama forza coercitiva.

L'equazione che esprime la seconda legge di Newton per un corpo su una molla in presenza di un'influenza periodica esterna può essere data una forma matematica rigorosa se teniamo conto della relazione tra l'accelerazione del corpo e le sue coordinate: Allora verrà scritto nel modulo

L'equazione (**) non tiene conto dell'azione delle forze di attrito. A differenza di equazioni delle vibrazioni libere(*) (vedi §2.2) Equazione delle oscillazioni forzate(**) contiene due frequenze: la frequenza ω 0 delle oscillazioni libere e la frequenza ω della forza motrice.

Le oscillazioni forzate stazionarie di un carico su una molla si verificano alla frequenza dell'influenza esterna secondo la legge

X(T) = X mcos(ω T + θ).

Ampiezza delle oscillazioni forzate X m e la fase iniziale θ dipendono dal rapporto tra le frequenze ω 0 e ω e dall'ampiezza sì m forza esterna.

A frequenze molto basse, quando ω<< ω 0 , движение тела массой M, fissato all'estremità destra della molla, ripete il movimento dell'estremità sinistra della molla. In cui X(T) = sì(T), e la molla rimane praticamente indeformata. Una forza esterna applicata all'estremità sinistra della molla non compie alcun lavoro, poiché il modulo di questa forza in ω<< ω 0 стремится к нулю.

Se la frequenza ω della forza esterna si avvicina alla frequenza naturale ω 0, si verifica un forte aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate. Questo fenomeno si chiama risonanza . Dipendenza dall'ampiezza X vengono chiamate m oscillazioni forzate dalla frequenza ω della forza motrice caratteristica risonante O curva di risonanza(Fig. 2.5.2).

Alla risonanza, l'ampiezza X m oscillazioni del carico possono essere molte volte maggiori dell'ampiezza sì m vibrazioni dell'estremità libera (sinistra) della molla causate da influenze esterne. In assenza di attrito, l'ampiezza delle oscillazioni forzate durante la risonanza dovrebbe aumentare senza limiti. In condizioni reali, l'ampiezza delle oscillazioni forzate stazionarie è determinata dalla condizione: il lavoro di una forza esterna durante il periodo di oscillazione deve essere uguale alla perdita di energia meccanica nello stesso tempo dovuta all'attrito. Minore è l'attrito (ovvero maggiore è il fattore di qualità Q sistema oscillatorio), maggiore è l'ampiezza delle oscillazioni forzate alla risonanza.

Nei sistemi oscillatori con fattore di qualità non molto elevato (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Il fenomeno della risonanza può causare la distruzione di ponti, edifici e altre strutture se le frequenze naturali delle loro oscillazioni coincidono con la frequenza di una forza che agisce periodicamente, derivante, ad esempio, dalla rotazione di un motore sbilanciato.

Le vibrazioni forzate lo sono non smorzato fluttuazioni. Le inevitabili perdite di energia dovute all'attrito sono compensate dalla fornitura di energia da una fonte esterna di forza che agisce periodicamente. Esistono sistemi in cui si verificano oscillazioni non smorzate non a causa di influenze esterne periodiche, ma come risultato della capacità di tali sistemi di regolare la fornitura di energia da una fonte costante. Tali sistemi sono chiamati auto-oscillante, e il processo di oscillazioni non smorzate in tali sistemi lo è auto-oscillazioni . In un sistema auto-oscillante si possono distinguere tre elementi caratteristici: un sistema oscillatorio, una fonte di energia e un dispositivo di feedback tra il sistema oscillatorio e la fonte. Qualsiasi sistema meccanico in grado di eseguire proprie oscillazioni smorzate (ad esempio il pendolo di un orologio da parete) può essere utilizzato come sistema oscillatorio.

La fonte di energia può essere l'energia di deformazione di una molla o l'energia potenziale di un carico in un campo gravitazionale. Un dispositivo di feedback è un meccanismo mediante il quale un sistema auto-oscillante regola il flusso di energia da una fonte. Nella fig. 2.5.3 mostra un diagramma dell'interazione di vari elementi di un sistema auto-oscillante.

Un esempio di sistema meccanico auto-oscillante è un meccanismo di orologio con ancora progresso (Fig. 2.5.4). La ruota mobile con denti obliqui è fissata rigidamente a un tamburo dentato, attraverso il quale viene lanciata una catena con un peso. All'estremità superiore del pendolo è fissato ancora(ancora) con due piastre di materiale solido, piegate ad arco di cerchio con il centro sull'asse del pendolo. Negli orologi manuali, il peso è sostituito da una molla e il pendolo da un bilanciatore, un volantino collegato a una molla a spirale. Il bilanciatore esegue vibrazioni torsionali attorno al proprio asse. Il sistema oscillatorio in un orologio è un pendolo o bilanciatore.

La fonte di energia è un peso sollevato o una molla avvolta. Il dispositivo utilizzato per fornire feedback è un'ancora, che consente alla ruota in movimento di girare un dente in un semiciclo. Il feedback è fornito dall'interazione dell'ancora con la ruota in movimento. Ad ogni oscillazione del pendolo, un dente della ruota spinge la forcella dell'ancora nella direzione del movimento del pendolo, trasferendo ad essa una certa porzione di energia, che compensa le perdite di energia dovute all'attrito. Pertanto, l'energia potenziale del peso (o della molla attorcigliata) viene gradualmente, in porzioni separate, trasferita al pendolo.

I sistemi meccanici auto-oscillanti sono molto diffusi nella vita intorno a noi e nella tecnologia. Le autooscillazioni si verificano nei motori a vapore, nei motori a combustione interna, nei campanelli elettrici, nelle corde degli strumenti musicali ad arco, nelle colonne d'aria nelle canne degli strumenti a fiato, nelle corde vocali quando si parla o si canta, ecc.

Figura 2.5.4. Meccanismo dell'orologio con pendolo.

Soggetto. Oscillazioni di un carico su una molla. Matematico
pendolo

Scopo della lezione: familiarizzare gli studenti con le leggi delle vibrazioni
pendoli a molla e matematici
Tipo di lezione: apprendimento di nuovo materiale
Piano di lezione
Verifica delle conoscenze 5 min.1. Cosa sono le vibrazioni armoniche?
2. Equazione delle vibrazioni armoniche.
3. Cos'è la fase di oscillazione?
4. Grafici delle vibrazioni armoniche
Dimostrazioni
5 minuti1. Oscillazioni libere di un pendolo a molla.
Imparare cose nuove
Materiale
25
min.
2. Dipendenza del periodo di oscillazione del carico
molla dalle proprietà elastiche della molla e della massa
carico
3. Vibrazioni libere della matematica
pendolo.
4. Dipendenza dal periodo di oscillazione
pendolo matematico dalla sua lunghezza
1. Il processo di oscillazione di un pendolo a molla.
2. Periodo di oscillazione di un pendolo a molla.

4. Pendolo matematico.
5. Periodo di oscillazione matematica
pendolo

Consolidamento
studiato
Materiale
10
min.
1. Ci alleniamo per risolvere i problemi.
2. Domande di prova

IMPARARE NUOVO MATERIALE
1. Il processo di oscillazione di un pendolo a molla
Per descrivere le vibrazioni (foglie e orecchie d'aria; aria dentro
canne d'organo e canne musicali
utensili); per il calcolo delle vibrazioni (carrozzerie di veicoli,
montato su molle; fondazioni di edifici e macchine),
Introduciamo un modello di sistemi oscillatori reali: la molla
pendolo.

Consideriamo le oscillazioni di un carrello di massa m a cui è agganciato
parete verticale con una molla di rigidezza k.

Assumeremo che:
1) la forza di attrito che agisce sul carrello è molto piccola,
quindi puoi ignorarlo. In questo caso, fluttuazioni
il pendolo a molla non sarà smorzato;
2) deformazione della molla durante le oscillazioni del corpo
sono insignificanti, quindi possono essere considerati elastici e
applicare la legge di Hooke:

Consideriamo più in dettaglio le oscillazioni di un pendolo a molla.
Quando il carrello si allontana dalla sua posizione di equilibrio di
distanza A a destra, la molla è tesa e
il carrello è soggetto ad una forza elastica massima Fnp = kA.
Quindi il carrello inizia a muoversi a sinistra con accelerazione, che
cambia: diminuisce l'allungamento della molla e la forza elastica
(e l'accelerazione) diminuiscono. Dopo un quarto d'ora
il carrello ritornerà nella sua posizione di equilibrio. In questo momento la forza
l'elasticità e l'accelerazione sono pari a zero e la velocità raggiunge
valore massimo.
Per inerzia, il carro continuerà a muoversi e si creerà una forza
l'elasticità aumenta. Inizierà a rallentare
blocco e ad una distanza A dalla posizione di equilibrio su cui si trova il carrello
il momento si fermerà. Dal momento in cui sono iniziate le vibrazioni
mezzo periodo.
Per la prossima metà del periodo, il movimento del carrello sarà esatto
così, solo nella direzione opposta.
È necessario attirare l'attenzione degli studenti sul fatto che, secondo
Legge di Hooke, la forza elastica è diretta contro l'allungamento
molle: la forza elastica "spingeva" il carrello in posizione
bilancia.
Di conseguenza, oscillazioni libere di un pendolo a molla
per i seguenti motivi:
1) l'azione di una forza elastica sul corpo, sempre diretta verso l'interno
lato della posizione di equilibrio;
2) l'inerzia del corpo oscillante, a causa della quale non lo fa
si ferma nella posizione di equilibrio e continua
muoversi nella stessa direzione.
2. Periodo di oscillazione di un pendolo a molla
Il primo segno caratteristico delle oscillazioni di un pendolo a molla
può essere installato aumentando gradualmente la massa sospesa
alle molle di peso. Appendere pesi diversi dalla molla
massa, notiamo che con l'aumentare della massa si arriva a un periodo difficile
aumentano le vibrazioni del carico. Ad esempio, a causa di
aumento del peso pesante 4 volte il periodo di oscillazione
raddoppia:

Il secondo segno caratteristico può essere stabilito cambiando
molle. Dopo aver effettuato una serie di misurazioni, è facile scoprirlo
il carico oscilla più velocemente su una molla rigida e più lentamente -
su soft, ovvero:
La terza caratteristica del pendolo a molla è questa
che il periodo delle sue oscillazioni non dipende dall'accelerazione della libera
cascate. Questo è facile da verificare utilizzando il metodo
“gravità crescente” a causa di un forte magnete,
che è posto sotto un carico che oscilla.
Così,
il periodo di oscillazione di un pendolo a molla non dipende da

Conoscendo il periodo di oscillazione, è facile calcolare la frequenza e
frequenza di oscillazione ciclica:
3. Equazione delle vibrazioni armoniche
Consideriamo le vibrazioni del carro dal punto di vista della dinamica. SU
tre forze agiscono sul passeggino durante il movimento: la forza di reazione
supporta
, gravità me forza di elasticità ecc. Scriviamo
equazione della seconda legge di Newton in forma vettoriale:
Proiettiamo questa equazione sull'orizzontale e
Asse verticale:
Secondo la legge di Hooke:

Quindi abbiamo:
Questa equazione è chiamata equazione delle vibrazioni libere
pendolo a molla.
Indichiamo: ω2 = k/m. Quindi l'equazione del moto del carico sarà
hanno la forma: ax = -ω2x. Si chiamano equazioni di questo tipo
equazioni differenziali.
La soluzione a questo
l'equazione è la funzione x = Acosωt.
4. Pendolo matematico
Per calcolare il periodo di oscillazione di un peso appeso ad un filo,
è necessario “idealizzare” un po’ il problema. in primo luogo,
supporremo che le dimensioni del carico siano molto inferiori alla lunghezza del filo,
e il filo è inestensibile e senza peso. In secondo luogo, considereremo
L'angolo di deflessione del pendolo è piuttosto piccolo (non più di 10-15°).

punto.
Consideriamo le oscillazioni di un pendolo matematico. Per questo
prendi una palla piccola, ma piuttosto pesante e
Appendiamolo a un filo lungo e non estensibile.
Considerando le oscillazioni di un pendolo matematico, noi
arriviamo alla conclusione che le ragioni che determinano
vibrazioni libere, come nel caso di una molla
pendolo (vedi Fig. a-e):

1) l'azione delle forze sulla palla, la cui risultante è sempre
diretto verso la posizione di equilibrio;
2) l'inerzia della palla oscillante, a causa della quale
non si ferma nella posizione di equilibrio.
5. Periodo di oscillazione di un pendolo matematico
Dimostriamolo
vibrazioni armoniche.
Scriviamo l'equazione della seconda legge di Newton in proiezione sull'asse
BUE (vedi figura):

Cosa fa un pendolo matematico?

Tx + mgx = massimo.
Poiché Tx = 0, allora mgx = -mgsin e otteniamo l'equazione:
-mgsin = massimo, oppure -gsin = ax.
Il valore del peccato può essere calcolato dal triangolo OAS-it
pari al rapporto tra OA della gamba e OS dell’ipotenusa. Se gli angoli
piccolo, OS ≈ l, dove l è la lunghezza della filettatura, e OA ≈ x, dove x è la deviazione
palla dalla sua posizione di equilibrio. Quindi peccato = x/l.
Infine otteniamo:

Denotando ω2 = g/l, abbiamo equazioni per oscillazioni libere
pendolo matematico:
Frequenza ciclica di oscillazione di un pendolo matematico:
Usando la relazione T = 2 /ω, troviamo la formula
per il periodo di oscillazione di un pendolo matematico:

pendolo.
È noto che in diverse parti del globo l'accelerazione
caduta libera varie. Dipende non solo dalla forma
Terra, ma anche dalla presenza nelle sue profondità di metalli pesanti o
sostanze leggere (gas, petrolio). E quindi il periodo
Il pendolo oscillerà diversamente in punti diversi. Questo
l'immobile viene utilizzato, in particolare, durante la ricerca di depositi
minerale.

Domanda per gli studenti durante la presentazione di nuovo materiale
1. Come cambierà il periodo di oscillazione di un pendolo a molla?
a causa di cambiamenti nella massa del carico? rigidità della molla?
2. Come cambierà il periodo di oscillazione di un pendolo a molla se
mettere un magnete sotto?

aumentare l'ampiezza delle oscillazioni.
4. In quali condizioni oscilla un pendolo matematico?
può essere considerato armonico?

5. Perché la pallina oscilla su una lunga corda?
si ferma al momento del passaggio della posizione
bilancia?
6. Come cambierà il periodo di oscillazione di un pendolo matematico,
cosa succede se la massa del carico aumenta? diminuire?

COSTRUZIONE DEL MATERIALE APPRESO
1). Ci alleniamo per risolvere i problemi
1. Un carico sospeso su una molla, essendo in equilibrio,
allunga la molla di 10 cm, questi dati sono sufficienti?
calcolare il periodo di oscillazione di un carico su una molla?
2. Quando un carico veniva sospeso alla molla, si allungava di 20 cm.
Il peso è stato tirato giù e rilasciato. Qual è il periodo T delle oscillazioni?
cosa è successo?
3. Una sfera d'acciaio sospesa a una molla fa
vibrazioni verticali. Come cambierà il periodo di oscillazione?
Cosa succede se appendi una palla di rame dello stesso raggio a una molla?
4. Calcola la rigidezza della molla se sospesa ad essa
una massa di 700 g subisce 18 oscillazioni in 21 s.
5. Qual è il rapporto tra le lunghezze di due pendoli matematici,
se uno di essi effettua 31 oscillazioni e il secondo esattamente
un tale periodo di tempo - 20 oscillazioni?
2). Domande di controllo
1. Nomina le ragioni delle oscillazioni di un pendolo a molla.
2. Per calcolare è possibile utilizzare un pendolo a molla
accelerazione della caduta libera?
3. Come cambierà il periodo di oscillazione di un pendolo a molla se
aumentare la massa del carico di 4 volte e contemporaneamente aumentare di 4
volte la rigidità della molla?
4. Nomina le principali proprietà di un pendolo matematico. Dove
sono usati?
5. Cosa hanno in comune i pendoli a molla e quelli matematici?

Cosa abbiamo imparato in classe?
Un pendolo a molla è un sistema oscillatorio
che è un corpo attaccato ad una molla.
Il periodo di oscillazione di un pendolo a molla non dipende da
accelerazione della caduta libera e tanto meno, tanto meno
massa di carico e molla più rigida:
Frequenza e frequenza ciclica delle oscillazioni della molla
pendolo:
Equazione delle oscillazioni libere di un pendolo a molla:
Un pendolo matematico è un idealizzato
sistema oscillatorio senza attrito costituito da assenza di peso e
filo inestensibile su cui è sospeso il materiale
punto.
Il periodo di oscillazioni libere di un pendolo matematico non lo è
dipende dalla sua massa ed è determinato solo dalla lunghezza del filo e
accelerazione di gravità nel luogo in cui si trova
pendolo:
Equazione delle oscillazioni libere di un pendolo matematico:

Compiti a casa

Definizione

Frequenza di oscillazione($\nu$) è uno dei parametri che caratterizzano le oscillazioni ed è il reciproco del periodo di oscillazione ($T$):

\[\nu =\frac(1)(T)\sinistra(1\destra).\]

Pertanto, la frequenza di oscillazione è una quantità fisica pari al numero di ripetizioni di oscillazioni per unità di tempo.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\sinistra(2\destra),\]

dove $N$ è il numero di movimenti oscillatori completi; $\Delta t$ è il tempo durante il quale si sono verificate queste oscillazioni.

La frequenza di oscillazione ciclica ($(\omega )_0$) è correlata alla frequenza $\nu $ dalla formula:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\sinistra(3\destra).\]

L'unità di frequenza nel Sistema Internazionale di Unità (SI) è l'hertz o secondo reciproco:

\[\left[\nu \right]=с^(-1)=Hz.\]

Pendolo a molla

Definizione

Pendolo a molla chiamato sistema costituito da una molla elastica alla quale è attaccato un carico.

Supponiamo che la massa del carico sia $m$ e che il coefficiente di elasticità della molla sia $k$. La massa della molla in un tale pendolo di solito non viene presa in considerazione. Se consideriamo i movimenti orizzontali del carico (Fig. 1), allora si muove sotto l'influenza della forza elastica se il sistema viene tolto dall'equilibrio e lasciato a se stesso. In questo caso, si ritiene spesso che le forze di attrito possano essere ignorate.

Equazioni delle oscillazioni di un pendolo a molla

Un pendolo a molla che oscilla liberamente è un esempio di oscillatore armonico. Lasciamolo oscillare lungo l'asse X. Se le oscillazioni sono piccole, la legge di Hooke è soddisfatta, allora scriviamo l'equazione del moto del carico come:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\sinistra(4\destra),\]

dove $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ è la frequenza ciclica delle oscillazioni del pendolo a molla. La soluzione dell'equazione (4) è una funzione seno o coseno della forma:

dove $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ è la frequenza ciclica delle oscillazioni del pendolo a molla, $A$ è l'ampiezza delle oscillazioni; $((\omega )_0t+\varphi)$ - fase di oscillazione; $\varphi $ e $(\varphi )_1$ sono le fasi iniziali delle oscillazioni.

Frequenza di oscillazione di un pendolo a molla

Dalla formula (3) e $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, ne consegue che la frequenza di oscillazione del pendolo a molla è pari a:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]

La formula (6) è valida se:

la molla del pendolo è considerata senza peso;
il carico agganciato alla molla è un corpo assolutamente rigido;
non ci sono vibrazioni torsionali.

L'espressione (6) mostra che la frequenza di oscillazione del pendolo a molla aumenta al diminuire della massa del carico e all'aumentare del coefficiente di elasticità della molla. La frequenza di oscillazione di un pendolo a molla non dipende dall'ampiezza. Se le oscillazioni non sono piccole, la forza elastica della molla non obbedisce alla legge di Hooke, quindi appare una dipendenza della frequenza di oscillazione dall'ampiezza.

Esempi di problemi con soluzioni

Esempio 1

Esercizio. Il periodo di oscillazione di un pendolo a molla è $T=5\cdot (10)^(-3)s$. Qual è la frequenza di oscillazione in questo caso? Qual è la frequenza ciclica di vibrazione di questa massa?

Soluzione. La frequenza di oscillazione è il reciproco del periodo di oscillazione, quindi per risolvere il problema è sufficiente utilizzare la formula:

\[\nu =\frac(1)(T)\sinistra(1.1\destra).\]

Calcoliamo la frequenza richiesta:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \sinistra(Hz\destra).\]

La frequenza ciclica è correlata alla frequenza $\nu $ come:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \sinistra(1.2\destra).\]

Calcoliamo la frequenza ciclica:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\circa 1256\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

Risposta.$1)\ \nu =200$Hz. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$

Esempio 2

Esercizio. La massa del carico appeso ad una molla elastica (Fig. 2) aumenta di $\Delta m$, mentre la frequenza diminuisce di $n$ volte. Qual è la massa del primo carico?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\right).\]

Per il primo carico la frequenza sarà pari a:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]

Per il secondo carico:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\right).\]

Secondo le condizioni del problema $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$, troviamo la relazione $\frac((\nu )_1)((\nu )_2): \frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\Delta m)( m))=n\ \sinistra(2.3\destra).$

Otteniamo dall'equazione (2.3) la massa richiesta del carico. Per fare ciò, eleviamo al quadrato entrambi i lati dell'espressione (2.3) ed esprimiamo $m$:

Risposta.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

SONO DENTRO. ,
Collegio industriale ed economico interregionale dello Stato dell'Estremo Oriente, Khabarovsk

Vibrazioni del corpo su una molla

Obiettivi formativi: formazione di un'idea del processo di conoscenza scientifica, organizzazione e sistematizzazione della conoscenza sull'argomento; sviluppare un'idea della dipendenza del periodo di oscillazione dal peso corporeo e dalla rigidità della molla; sviluppo di capacità sperimentali, capacità di ricerca.

Attrezzatura: registratore, computer, programma o (sezione “Vibrazioni e onde meccaniche”, “Vibrazioni del corpo su una molla”), § 31 del libro di testo.

Durante le lezioni

1. Inizio della lezione

Insegnante (inizia la lezione con una poesia di B. Pasternak: “In tutto voglio arrivare all'essenza stessa<...>//Fai la scoperta”). Cosa significa per voi le parole “Ho fatto una scoperta”? ( Ascolta le risposte.) Ho capito bene: se una persona, attraverso il suo duro lavoro e la sua perseveranza, raggiunge la verità in qualcosa, allora significa che ha fatto una scoperta? Oggi faremo anche piccole, ma indipendenti scoperte. Quindi, l'argomento della nostra lezione è "Vibrazioni del corpo su una molla".

2. Ripetizione e generalizzazione

Insegnante. Per prima cosa ammiriamo insieme la nostra profonda conoscenza sul tema delle Vibrazioni Meccaniche. Annotare i lati sinistri mancanti delle formule nelle carte ( uno studente svolge un compito alla lavagna):

(La classe controlla gli appunti, ognuno si assegna dei punti sul foglio di autocontrollo in base al numero di formule scritte correttamente e al numero di formule trovate con errori.)

Ora tiriamo fuori qualcosa di prezioso dalle cache della memoria. Ecco una tabella con le quantità fisiche, le loro unità e i numeri. Farò una domanda e tu cancellerai la casella con la risposta corretta:

Intervallo di tempo durante il quale si verifica un'oscillazione completa Deviazione massima della quantità oscillante dalla posizione di equilibrio Numero di oscillazioni per unità di tempo Unità di periodo di oscillazione Unità di frequenza di oscillazione Unità di ampiezza di oscillazione Durante il tempo in cui il pendolo ha completato N= 20 oscillazioni se il periodo di oscillazione è 0,5 s? Qual è la frequenza di queste oscillazioni? Il corpo oscilla lungo un asse X. Le sue coordinate cambiano nel tempo secondo la legge X= 0,2cos0,63 T(SI). Qual è l'ampiezza delle vibrazioni del corpo? Qual è la frequenza ciclica di queste oscillazioni? Una grande molla molto morbida si contrae in 2 s dal suo allungamento massimo al suo stato originale. Qual è il periodo di oscillazione della molla? Se la lunghezza della molla varia di 0,5 m, qual è la distanza percorsa dall'estremità libera della molla durante il periodo di oscillazione?

(Le risposte corrette “disegnano” il numero “5” sulla carta. I ragazzi mettono un segno sul foglio dell'autocontrollo: 1 punto per la risposta corretta.)

La base di qualsiasi branca della fisica è l'osservazione o l'esperimento. Oggi vi invito a condurre una ricerca sulle vibrazioni meccaniche. Dividetevi in quattro gruppi a piacere. Ogni gruppo prende una carta con un compito e la completa, quindi racconta cosa ha fatto e cosa ha ricevuto.

Compito n. 1. Costruisci un pendolo dei secondi (periodo di oscillazione 1 s). Dispositivi e materiali: filo, peso, righello, cronometro.

Compito n. 2. Determinare il periodo di oscillazione di un pendolo a filo lungo un metro. A cosa sarà uguale se la lunghezza del filo viene ridotta di quattro volte? Dispositivi e materiali: pendolo del metro, cronometro.

Compito n.3. Determina il periodo, la frequenza e la frequenza ciclica delle oscillazioni del pendolo. Scrivi l'equazione di oscillazione di questo pendolo. Dispositivi e materiali: palla, righello, cronometro, filo.

Compito n. 4. Determina in pratica l'accelerazione di gravità per una data area utilizzando un pendolo a filo. Dispositivi e materiali: filo, palla, righello, cronometro.

(L'insegnante valuta il lavoro dei gruppi. I ragazzi mettono dei punti sul foglio di autocontrollo: 1 punto per condurre un esperimento, 1 punto per difendersi.)

3. Imparare nuovo materiale

Insegnante. Passiamo ora all'argomento della nostra lezione, "Oscillazioni del corpo su una molla". Proviamo a stabilire la dipendenza del periodo delle oscillazioni libere dalla massa del carico, dalla rigidità della molla e dall'ampiezza delle oscillazioni. ( I ragazzi si dividono in coppie a piacimento, ricevono le carte, durante un esperimento al computer stabiliscono queste dipendenze e scrivono i risultati e le conclusioni sulle carte. .)

Stabilire la dipendenza del periodo di oscillazioni libere dalla massa e dalla rigidezza della molla

Riempi la tabella

Traccia una conclusione: se aumenti la rigidità della molla, il periodo: diminuisce.

UN, cm	5	7	10
T, Con	1,4	1,4	1,4

Traccia una conclusione: se aumenti l'ampiezza delle oscillazioni, il periodo: non cambia.

Scrivi la formula per il periodo di oscillazioni libere

Utilizzare il § 38 del libro di testo V.A. Kasyanova"Fisica-10":

Trarre una conclusione: il periodo di libera oscillazione di un pendolo a molla non dipende da ampiezza delle oscillazioni ed è completamente determinata dalla rigidità, dalla massa (le caratteristiche proprie del sistema oscillatorio).

Verificare sperimentalmente la dipendenza del periodo delle oscillazioni libere dalla massa e dalla rigidezza.

Vorrei guidarvi nel vostro lavoro con le parole di A. Tolstoj: "La conoscenza è conoscenza solo quando viene acquisita attraverso gli sforzi dei propri pensieri, e non la memoria". Buona fortuna con la tua ricerca!

(I ragazzi stabiliscono le dipendenze, mettono 1 punto per ogni formula sul foglio di autocontrollo.)

4. Consolidamento, formazione, sviluppo delle competenze

Insegnante. Ora risolviamo i problemi con le carte e controlliamo la risposta utilizzando un esperimento al computer. La soluzione al primo problema vale al massimo 1 punto, la seconda – 2 punti.

Compito 1. Determina il periodo di oscillazione di un pendolo a molla se la massa del carico è 0,5 kg e la rigidezza della molla è 10 N/m.

Compito 2. Scrivi l'equazione del moto di un pendolo a molla x(t), Se M= 1 kg, K= 10 N/m, UN= 10 cm Determinare la coordinata al momento T= 4 secondi.

Controlla la risposta secondo il grafico, per fare ciò seleziona i parametri, fai clic Inizio e segui le letture T.

Compito creativo. Trova, formula e risolvi un problema, conduci un esperimento al computer e controlla la tua risposta. Inserisci la valutazione del docente (fino a 2 punti) sulla scheda di autocontrollo.

5. Riflessione. Riassumendo

Insegnante. Riassumiamo. Qual era la cosa principale? Cosa c'era di interessante? Che novità hai imparato oggi? Cosa hai imparato? ( Ascolta le opinioni. I ragazzi contano i punti e si danno i voti: 24–25 punti – “3”, 26–27 punti – “4”, 28–29 punti – “5”.)

DZ.§ 38, compiti 1, 2. Prepara i tuoi compiti per i futuri studenti. Assicurati di firmare le tue opere, la paternità sarà preservata. E voglio concludere la lezione di oggi con le parole di M. Faraday: “L’arte dello sperimentatore è essere in grado di porre domande alla natura e comprenderne le risposte”. E penso che tu ci sia riuscito oggi. La lezione è finita. Grazie per la lezione Vi auguro il successo. Ci vediamo alla prossima lezione.

Letteratura

La fisica in immagini 6.2. NC PHYSIKON, 1993. 1 elettrone. vendita all'ingrosso disco (DVD-ROM); URL [risorsa elettronica]: http://torrents.ru/forum/.
Open Physics 2.6: Parte 1: LLC FISIKON, 1996–2005 [risorsa elettronica] URL: http://physics.ru
Kasyanov V.A. Fisica: libro di testo. per l'istruzione generale istituzioni. 10 gradi M.: Bustard, 2003, pp. 123–133.

Yana Vladimirovna Bocharnikova nel 1990, si è laureata in fisica alla Far Eastern State University, insegnante di fisica, ha lavorato presso l'Istituto di ingegneri dei trasporti ferroviari di Khabarovsk, poi ha insegnato informatica in un istituto di istruzione prescolare per bambini dai 3 ai 7 anni, ha insegnato fisica a scuola e ormai da 9 anni - al college. Vincitore del concorso cittadino “Insegnante dell'anno-99” e del concorso “Insegnante dell'anno-2005” al college, vincitore del concorso regionale “Insegnante dell'anno-2005”. Nel suo lavoro, è guidato dalle parole di S. Soloveichik: “Crescere persone con un profondo senso di autostima, piene di rispetto per se stessi e per gli altri, persone che sono in grado di scegliere, di agire in modo indipendente - non non significa questo contribuire al rafforzamento e alla prosperità del Paese?”