Quali funzioni sono pari e quali dispari. Funzioni pari e dispari. Funzioni periodiche

Funzioneè uno dei concetti matematici più importanti. Funzione: dipendenza variabile A da variabile X, se ciascun valore X corrisponde a un singolo valore A. Variabile X chiamata variabile o argomento indipendente. Variabile A chiamata variabile dipendente. Tutti i valori della variabile indipendente (variable X) costituiscono il dominio di definizione della funzione. Tutti i valori che assume la variabile dipendente (variable sì), formano l'intervallo di valori della funzione.

Grafico della funzione chiamare l'insieme di tutti i punti del piano delle coordinate, le cui ascisse sono uguali ai valori dell'argomento e le ordinate sono uguali ai valori corrispondenti della funzione, cioè i valori di variabile sono tracciate lungo l'asse delle ascisse X, e i valori della variabile sono tracciati lungo l'asse delle ordinate sì. Per rappresentare graficamente una funzione è necessario conoscerne le proprietà. Le principali proprietà della funzione saranno discusse di seguito!

Per costruire un grafico di una funzione, ti consigliamo di utilizzare il nostro programma - Rappresentazione grafica di funzioni online. Se hai domande mentre studi il materiale in questa pagina, puoi sempre farle sul nostro forum. Inoltre sul forum ti aiuteranno a risolvere problemi di matematica, chimica, geometria, teoria della probabilità e tante altre materie!

Proprietà fondamentali delle funzioni.

1) Dominio delle funzioni e intervallo delle funzioni.

Il dominio di una funzione è l'insieme di tutti i valori degli argomenti validi X(variabile X), per il quale la funzione y = f(x) determinato.
L'intervallo di una funzione è l'insieme di tutti i valori reali sì, che la funzione accetta.

Nella matematica elementare le funzioni vengono studiate solo sull'insieme dei numeri reali.

2) Zeri di funzione.

Valori X, al quale y=0, chiamato zeri di funzione. Queste sono le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse Ox.

3) Intervalli di segno costante di una funzione.

Gli intervalli di segno costante di una funzione sono tali intervalli di valori X, su cui i valori della funzione sì vengono chiamati solo positivi o solo negativi intervalli di segno costante della funzione.

4) Monotonicità della funzione.

Una funzione crescente (in un certo intervallo) è una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento di questo intervallo corrisponde a un valore maggiore della funzione.

Una funzione decrescente (in un certo intervallo) è una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento di questo intervallo corrisponde a un valore minore della funzione.

5) Funzione pari (dispari)..

Una funzione pari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X f(-x) = f(x). Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'ordinata.

Una funzione dispari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio della definizione l'uguaglianza è vera f(-x) = -f(x). Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.

Funzione pari
1) Il dominio di definizione è simmetrico rispetto al punto (0; 0), cioè se il punto UN appartiene al dominio della definizione, quindi il punto -UN appartiene anch'esso al dominio della definizione.
2) Per qualsiasi valore X f(-x)=f(x)
3) Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse Oy.

Funzione strana ha le seguenti proprietà:
1) Il dominio di definizione è simmetrico rispetto al punto (0; 0).
2) per qualsiasi valore X, appartenente al dominio di definizione, l'uguaglianza f(-x)=-f(x)
3) Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine (0; 0).

Non tutte le funzioni sono pari o dispari. Funzioni vista generale non sono né pari né dispari.

6) Funzioni limitate e illimitate.

Una funzione si dice limitata se esiste un numero positivo M tale che |f(x)| ≤ M per tutti i valori di x. Se tale numero non esiste, la funzione è illimitata.

7) Periodicità della funzione.

Una funzione f(x) è periodica se esiste un numero T diverso da zero tale che per ogni x del dominio di definizione della funzione vale: f(x+T) = f(x). Questo numero più piccolo è chiamato periodo della funzione. Tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche. (Formule trigonometriche).

Funzione F si dice periodico se esiste un numero tale che per any X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(x)=f(x-T)=f(x+T). Tè il periodo della funzione.

Ogni funzione periodica ha un numero infinito di periodi. In pratica, viene solitamente considerato il periodo positivo più piccolo.

I valori di una funzione periodica si ripetono dopo un intervallo pari al periodo. Viene utilizzato durante la costruzione di grafici.

Anche, se per tutti gli \(x\) del suo dominio di definizione è vero quanto segue: \(f(-x)=f(x)\) .

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse \(y\):

Esempio: la funzione \(f(x)=x^2+\cos x\) è pari, perché \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Viene richiamata la funzione \(f(x)\). strano, se per tutti gli \(x\) del suo dominio di definizione è vero quanto segue: \(f(-x)=-f(x)\) .

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine:

Esempio: la funzione \(f(x)=x^3+x\) è strana perché \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Le funzioni che non sono né pari né dispari sono chiamate funzioni di forma generale. Tale funzione può sempre essere rappresentata in modo univoco come la somma di una funzione pari e di una funzione dispari.

Ad esempio, la funzione \(f(x)=x^2-x\) è la somma della funzione pari \(f_1=x^2\) e della funzione dispari \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Alcune proprietà:

1) Il prodotto e il quoziente di due funzioni della stessa parità è una funzione pari.

2) Il prodotto e il quoziente di due funzioni di parità diverse è una funzione dispari.

3) Somma e differenza di funzioni pari - funzione pari.

4) Somma e differenza di funzioni dispari - funzione dispari.

5) Se \(f(x)\) è una funzione pari, allora l'equazione \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ha radice unica se e solo quando \( x =0\) .

6) Se \(f(x)\) è una funzione pari o dispari, e l'equazione \(f(x)=0\) ha radice \(x=b\), allora questa equazione avrà necessariamente una seconda radice \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) La funzione \(f(x)\) si dice periodica su \(X\) se per qualche numero \(T\ne 0\) vale: \(f(x)=f( x+T) \) , dove \(x, x+T\in X\) . Il più piccolo \(T\) per il quale questa uguaglianza è soddisfatta è chiamato periodo principale (principale) della funzione.

Una funzione periodica ha un numero qualsiasi nella forma \(nT\) , dove anche \(n\in \mathbb(Z)\) sarà un punto.

Esempio: qualsiasi funzione trigonometrica è periodica;
per le funzioni \(f(x)=\sin x\) e \(f(x)=\cos x\) il periodo principale è uguale a \(2\pi\), per le funzioni \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) e \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) il periodo principale è uguale a \(\pi\) .

Per costruire un grafico di una funzione periodica, puoi tracciare il suo grafico su qualsiasi segmento di lunghezza \(T\) (periodo principale); quindi il grafico dell'intera funzione si completa spostando la parte costruita di un numero intero di periodi a destra e a sinistra:

\(\blacktriangleright\) Il dominio \(D(f)\) della funzione \(f(x)\) è un insieme costituito da tutti i valori dell'argomento \(x\) per i quali la funzione ha senso (è definito).

Esempio: la funzione \(f(x)=\sqrt x+1\) ha un dominio di definizione: \(x\in

Compito 1 #6364

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

A quali valori del parametro \(a\) si forma l'equazione

ha un'unica soluzione?

Nota che poiché \(x^2\) e \(\cos x\) sono funzioni pari, se l'equazione ha una radice \(x_0\) , avrà anche una radice \(-x_0\) .
Sia infatti \(x_0\) una radice, cioè l'uguaglianza \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Giusto. Sostituiamo \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Pertanto, se \(x_0\ne 0\) , l'equazione avrà già almeno due radici. Pertanto, \(x_0=0\) . Poi:

Abbiamo ricevuto due valori per il parametro \(a\) . Nota che abbiamo utilizzato il fatto che \(x=0\) è esattamente la radice dell'equazione originale. Ma non abbiamo mai sfruttato il fatto che sia l'unico. Pertanto, è necessario sostituire i valori risultanti del parametro \(a\) nell'equazione originale e verificare per quale specifico \(a\) la radice \(x=0\) sarà davvero unica.

1) Se \(a=0\) , l'equazione assumerà la forma \(2x^2=0\) . Ovviamente, questa equazione ha una sola radice \(x=0\) . Pertanto, il valore \(a=0\) è adatto a noi.

2) Se \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , l'equazione assumerà la forma \ Riscriviamo l'equazione nella forma \ Perché \(-1\leqinclinazione \cos x\leqinclinazione 1\), Quello \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Di conseguenza, i valori della parte destra dell'equazione (*) appartengono al segmento \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Poiché \(x^2\geqslant 0\) , il lato sinistro dell'equazione (*) è maggiore o uguale a \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Pertanto, l'uguaglianza (*) può essere vera solo quando entrambi i lati dell'equazione sono uguali a \(\mathrm(tg)^2\,1\) . E questo significa questo \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Pertanto, il valore \(a=-\mathrm(tg)\,1\) è adatto a noi.

Risposta:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Compito 2 #3923

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\), per ciascuno dei quali il grafico della funzione \

simmetrico rispetto all'origine.

Se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'origine, allora tale funzione è dispari, cioè \(f(-x)=-f(x)\) vale per qualsiasi \(x\) del dominio di definizione della funzione. Pertanto, è necessario trovare i valori dei parametri per i quali \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(allineato)\]

L'ultima equazione deve essere soddisfatta per tutti gli \(x\) del dominio di \(f(x)\), pertanto, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Risposta:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Compito 3 #3069

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ognuno dei quali l'equazione \ ha 4 soluzioni, dove \(f\) è una funzione periodica pari con periodo \(T=\dfrac(16)3\) definito sull'intera linea numerica e \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Compito degli abbonati)

Poiché \(f(x)\) è una funzione pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, quindi, quando \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Quindi, quando \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), e questo è un segmento di lunghezza \(\dfrac(16)3\) , funzione \(f(x)=ax^2\) .

1) Sia \(a>0\) . Quindi il grafico della funzione \(f(x)\) sarà simile a questo:


Allora, affinché l'equazione abbia 4 soluzioni, è necessario che il grafico \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) passi per il punto \(A\) :


Quindi, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(allineato)\end(raccolto)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( raccolti)\destra.\] Poiché \(a>0\) , allora \(a=\dfrac(18)(23)\) è adatto.

2) Sia \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


È necessario che il grafico \(g(x)\) passi per il punto \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(raccolto)\begin(allineato) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(allineato) \end(raccolto)\right.\] Da<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Il caso in cui \(a=0\) non è adatto, poiché allora \(f(x)=0\) per tutti \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) e il l'equazione avrà solo 1 radice.

Risposta:

\(a\in \sinistra\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\destra\)\)

Compito 4 #3072

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori di \(a\) , per ciascuno dei quali l'equazione \

ha almeno una radice.

(Compito degli abbonati)

Riscriviamo l'equazione nella forma \ e consideriamo due funzioni: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) e \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
La funzione \(g(x)\) è pari e ha un punto di minimo \(x=0\) (e \(g(0)=49\) ).
La funzione \(f(x)\) per \(x>0\) è decrescente e per \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Infatti, quando \(x>0\) il secondo modulo si aprirà positivamente (\(|x|=x\) ), quindi, indipendentemente da come si aprirà il primo modulo, \(f(x)\) sarà uguale a \( kx+A\) , dove \(A\) è l'espressione di \(a\) e \(k\) è uguale a \(-9\) o \(-3\) . Quando \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Troviamo il valore di \(f\) nel punto massimo: \

Affinché l'equazione abbia almeno una soluzione è necessario che i grafici delle funzioni \(f\) e \(g\) abbiano almeno un punto di intersezione. Pertanto, è necessario: \ \\]

Risposta:

\(a\in \(-7\)\tazza\)

Compito 5 #3912

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ciascuno dei quali l'equazione \

ha sei diverse soluzioni.

Eseguiamo la sostituzione \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Quindi l'equazione assumerà la forma \ Scriveremo gradualmente le condizioni in cui l'equazione originale avrà sei soluzioni.
Si noti che l'equazione quadratica \((*)\) può avere un massimo di due soluzioni. Qualsiasi equazione cubica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) non può avere più di tre soluzioni. Pertanto, se l'equazione \((*)\) ha due soluzioni diverse (positiva!, poiché \(t\) deve essere maggiore di zero) \(t_1\) e \(t_2\) , allora, facendo il contrario sostituzione, otteniamo: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(allineato)\end(raccolto)\right.\] Poiché qualsiasi numero positivo può essere rappresentato in una certa misura come \(\sqrt2\), ad esempio, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), allora la prima equazione dell'insieme verrà riscritta nella forma \ Come abbiamo già detto, qualsiasi equazione cubica non ha più di tre soluzioni, quindi ciascuna equazione dell'insieme non avrà più di tre soluzioni. Ciò significa che l'intero set non avrà più di sei soluzioni.
Ciò significa che affinché l'equazione originale abbia sei soluzioni, l'equazione quadratica \((*)\) deve avere due soluzioni diverse e ciascuna equazione cubica risultante (dall'insieme) deve avere tre soluzioni diverse (e non una singola soluzione di un'equazione dovrebbe coincidere con qualsiasi altra equazione - per decisione della seconda!)
Ovviamente, se l'equazione quadratica \((*)\) ha una soluzione, non otterremo sei soluzioni dell'equazione originale.

Pertanto, il piano di soluzione diventa chiaro. Scriviamo punto per punto le condizioni che devono essere soddisfatte.

1) Affinché l'equazione \((*)\) abbia due soluzioni diverse, il suo discriminante deve essere positivo: \

2) È inoltre necessario che entrambe le radici siano positive (poiché \(t>0\) ). Se il prodotto di due radici è positivo e la loro somma è positiva, allora le radici stesse saranno positive. Pertanto, è necessario: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Quindi ci siamo già forniti di due diverse radici positive \(t_1\) e \(t_2\) .

3) Diamo un'occhiata a questa equazione \ Per cosa \(t\) avrà tre soluzioni diverse?
Considera la funzione \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Può essere fattorizzato: \ Pertanto, i suoi zeri sono: \(x=-1;2\) .
Se troviamo la derivata \(f"(x)=3x^2-6x\) , otteniamo due punti estremi \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Pertanto il grafico si presenta così:


Vediamo che qualsiasi linea orizzontale \(y=k\) , dove \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) avesse tre soluzioni diverse, è necessario che \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Pertanto, è necessario: \[\begin(casi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Notiamo subito anche che se i numeri \(t_1\) e \(t_2\) sono diversi, allora i numeri \(\log_(\sqrt2)t_1\) e \(\log_(\sqrt2)t_2\) saranno diverso, il che significa le equazioni \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) E \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) avrà radici diverse.
Il sistema \((**)\) può essere riscritto come segue: \[\begin(casi) 1

Pertanto, abbiamo determinato che entrambe le radici dell'equazione \((*)\) devono trovarsi nell'intervallo \((1;4)\) . Come scrivere questa condizione?
Non scriveremo esplicitamente le radici.
Considera la funzione \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Il suo grafico è una parabola con rami ascendenti, che ha due punti di intersezione con l'asse x (abbiamo annotato questa condizione nel paragrafo 1)). Come dovrebbe apparire il suo grafico in modo che i punti di intersezione con l'asse x siano nell'intervallo \((1;4)\)? COSÌ:


Innanzitutto i valori \(g(1)\) e \(g(4)\) della funzione nei punti \(1\) e \(4\) devono essere positivi e, in secondo luogo, il vertice della anche la parabola \(t_0\ ) deve essere nell'intervallo \((1;4)\) . Possiamo quindi scrivere il sistema: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) ha sempre almeno una radice \(x=0\) . Ciò significa che per soddisfare le condizioni del problema è necessario che l'equazione \

aveva quattro radici diverse, diverse da zero, che rappresentavano, insieme a \(x=0\), una progressione aritmetica.

Nota che la funzione \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) è pari, il che significa che se \(x_0\) è la radice dell'equazione \( (*)\ ) , allora anche \(-x_0\) sarà la sua radice. Allora è necessario che le radici di questa equazione siano numeri ordinati in ordine crescente: \(-2d, -d, d, 2d\) (quindi \(d>0\)). È allora che questi cinque numeri formeranno una progressione aritmetica (con la differenza \(d\)).

Affinché queste radici siano i numeri \(-2d, -d, d, 2d\) , è necessario che i numeri \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) siano le radici di l'equazione \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Quindi, secondo il teorema di Vieta:

Riscriviamo l'equazione nella forma \ e consideriamo due funzioni: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) e \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
La funzione \(g(x)\) ha un punto massimo \(x=0\) (e \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivata zero: \(x=0\) . Quando \(x<0\) имеем: \(g">0\) , per \(x>0\) : \(g"<0\) .
La funzione \(f(x)\) per \(x>0\) è crescente e per \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Infatti, quando \(x>0\) il primo modulo si aprirà positivamente (\(|x|=x\)), quindi, indipendentemente da come si aprirà il secondo modulo, \(f(x)\) sarà uguale a \( kx+A\) , dove \(A\) è l'espressione di \(a\) e \(k\) è uguale a \(13-10=3\) o \(13+10 =23\) . Quando \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Troviamo il valore di \(f\) nel punto minimo: \

Affinché l'equazione abbia almeno una soluzione è necessario che i grafici delle funzioni \(f\) e \(g\) abbiano almeno un punto di intersezione. Pertanto, è necessario: \ Risolvendo questo insieme di sistemi, otteniamo la risposta: \\]

Risposta:

\(a\in \(-2\)\tazza\)

Studio delle funzioni.

1) D(y) – Dominio di definizione: l'insieme di tutti quei valori della variabile x. per cui hanno senso le espressioni algebriche f(x) e g(x).

Se una funzione è data da una formula, allora il dominio di definizione è costituito da tutti i valori della variabile indipendente per i quali la formula ha senso.

2) Proprietà della funzione: pari/dispari, periodicità:

Strano E Anche vengono chiamate funzioni i cui grafici sono simmetrici rispetto al cambiamento di segno dell'argomento.

Funzione strana- una funzione che cambia il valore al contrario quando cambia il segno della variabile indipendente (simmetrica rispetto al centro delle coordinate).

Funzione pari- una funzione che non cambia il suo valore quando cambia il segno della variabile indipendente (simmetrica rispetto all'ordinata).

Né funzione pari né dispari (funzione generale)- una funzione che non ha simmetria. Questa categoria comprende funzioni che non rientrano nelle 2 categorie precedenti.

Vengono richiamate le funzioni che non appartengono a nessuna delle categorie sopra indicate né pari né dispari(o funzioni generali).

Funzioni strane

Potenza dispari dove è un numero intero arbitrario.

Anche funzioni

Anche il potere dove è un numero intero arbitrario.

Funzione periodica- una funzione che ripete i suoi valori a un intervallo regolare di argomenti, ovvero non cambia il suo valore quando aggiunge un numero fisso diverso da zero all'argomento ( periodo funzioni) sull'intero dominio di definizione.

3) Gli zeri (radici) di una funzione sono i punti in cui diventa zero.

Trovare il punto di intersezione del grafico con l'asse Ehi. Per fare questo è necessario calcolare il valore F(0). Trova anche i punti di intersezione del grafico con l'asse Bue, perché trovare le radici dell'equazione F(X) = 0 (o assicurati che non ci siano radici).

Vengono chiamati i punti in cui il grafico interseca l'asse zeri di funzione. Per trovare gli zeri di una funzione è necessario risolvere l'equazione, cioè trovare quei significati di "x", in cui la funzione diventa zero.

4) Intervalli di costanza dei segni, segni in essi.

Intervalli in cui la funzione f(x) mantiene il segno.

L'intervallo di costanza del segno è l'intervallo in ogni punto del quale la funzione è positiva o negativa.

SOPRA l'asse x.

SOTTO l'asse.

5) Continuità (punti di discontinuità, natura della discontinuità, asintoti).

Funzione continua- una funzione senza “salti”, cioè una in cui piccoli cambiamenti nell'argomento portano a piccoli cambiamenti nel valore della funzione.

Punti di interruzione rimovibili

Se il limite della funzione esiste, ma la funzione non è definita a questo punto, oppure il limite non coincide con il valore della funzione a questo punto:

,

quindi il punto viene chiamato punto di interruzione rimovibile funzioni (nell'analisi complessa, un punto singolare rimovibile).

Se “correggiamo” la funzione nel punto di discontinuità rimovibile e mettiamo , allora otteniamo una funzione continua in un dato punto. Viene chiamata tale operazione su una funzione estendere la funzione a continua O ridefinizione della funzione per continuità, che giustifica il nome del punto come punto rimovibile rottura.

Punti di discontinuità di prima e seconda specie

Se una funzione ha una discontinuità in un dato punto (cioè il limite della funzione in un dato punto è assente o non coincide con il valore della funzione in un dato punto), allora per le funzioni numeriche ci sono due possibili opzioni legati all’esistenza di funzioni numeriche limiti unilaterali:

se entrambi i limiti unilaterali esistono e sono finiti, allora viene chiamato tale punto punto di discontinuità del primo tipo. I punti di discontinuità rimovibili sono punti di discontinuità del primo tipo;

se almeno uno dei limiti unilaterali non esiste o non è un valore finito, viene chiamato tale punto punto di discontinuità del secondo tipo.

Asintoto - Dritto, che ha la proprietà che la distanza da un punto sulla curva a questo Dritto tende a zero man mano che il punto si allontana lungo il ramo verso l'infinito.

Verticale

Asintoto verticale - linea limite .

Di norma, quando si determina l'asintoto verticale, non cercano un limite, ma due unilaterali (sinistro e destro). Questo viene fatto per determinare come si comporta la funzione quando si avvicina all'asintoto verticale da diverse direzioni. Per esempio:

Orizzontale

Asintoto orizzontale - Dritto specie, soggetta all'esistenza limite

.

Inclinato

Asintoto obliquo - Dritto specie, soggetta all'esistenza limiti

Nota: una funzione non può avere più di due asintoti obliqui (orizzontali).

Nota: se almeno uno dei due limiti sopra menzionati non esiste (o è uguale a ), allora l'asintoto obliquo in (o ) non esiste.

se al punto 2.), allora , e il limite si trova utilizzando la formula dell'asintoto orizzontale, .

6) Trovare intervalli di monotonia. Trova gli intervalli di monotonicità di una funzione F(X)(cioè intervalli crescenti e decrescenti). Questo viene fatto esaminando il segno della derivata F(X). Per fare ciò, trova la derivata F(X) e risolvere la disuguaglianza F(X)0. Negli intervalli in cui vale questa disuguaglianza, la funzione F(X)aumenta. Dove vale la disuguaglianza inversa F(X)0, funzione F(X) Sta diminuendo.

Trovare un estremo locale. Trovati gli intervalli di monotonicità, possiamo immediatamente determinare i punti estremi locali dove un aumento è sostituito da una diminuzione, si trovano i massimi locali, e dove una diminuzione è sostituita da un aumento, si trovano i minimi locali. Calcola il valore della funzione in questi punti. Se una funzione ha punti critici che non sono punti estremi locali, allora è utile calcolare il valore della funzione anche in questi punti.

Trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione y = f(x) su un segmento(continua)

La dipendenza di una variabile y da una variabile x, in cui ogni valore di x corrisponde a un singolo valore di y è chiamata funzione. Per la designazione utilizzare la notazione y=f(x). Ciascuna funzione ha una serie di proprietà di base, come monotonicità, parità, periodicità e altre.

Dai uno sguardo più da vicino alla proprietà di parità.

Una funzione y=f(x) viene chiamata anche se soddisfa le due condizioni seguenti:

2. Il valore della funzione al punto x, appartenente al dominio di definizione della funzione, deve essere uguale al valore della funzione al punto -x. Cioè, per ogni punto x, deve essere soddisfatta la seguente uguaglianza dal dominio di definizione della funzione: f(x) = f(-x).

Grafico di una funzione pari

Se tracciamo il grafico di una funzione pari, questa sarà simmetrica rispetto all'asse Oy.

Ad esempio, la funzione y=x^2 è pari. Controlliamolo. Il dominio di definizione è l'intero asse numerico, il che significa che è simmetrico rispetto al punto O.

Prendiamo un x=3 arbitrario. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Pertanto f(x) = f(-x). Pertanto, entrambe le condizioni sono soddisfatte, il che significa che la funzione è pari. Di seguito è riportato un grafico della funzione y=x^2.

La figura mostra che il grafico è simmetrico rispetto all'asse Oy.

Grafico di una funzione dispari

Una funzione y=f(x) si dice dispari se soddisfa le seguenti due condizioni:

1. Il dominio di definizione di una data funzione deve essere simmetrico rispetto al punto O. Cioè, se un punto a appartiene al dominio di definizione della funzione, allora anche il punto corrispondente -a deve appartenere al dominio di definizione della funzione data.

2. Per ogni punto x, deve essere soddisfatta la seguente uguaglianza dal dominio di definizione della funzione: f(x) = -f(x).

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto al punto O, l'origine delle coordinate. Ad esempio, la funzione y=x^3 è dispari. Controlliamolo. Il dominio di definizione è l'intero asse numerico, il che significa che è simmetrico rispetto al punto O.

Prendiamo un x=2 arbitrario. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Pertanto f(x) = -f(x). Pertanto, entrambe le condizioni sono soddisfatte, il che significa che la funzione è dispari. Di seguito è riportato un grafico della funzione y=x^3.

La figura mostra chiaramente che la funzione dispari y=x^3 è simmetrica rispetto all'origine.