Segni sufficienti di massimo e minimo di una funzione. Valori di funzione e punti di massimo e minimo. Metodi per lo studio delle funzioni

Il punto estremo di una funzione è il punto nel dominio di definizione della funzione in cui il valore della funzione assume un valore minimo o massimo. I valori della funzione in questi punti sono chiamati estremi (minimo e massimo) della funzione.

Definizione. Punto X1 dominio della funzione F(X) è chiamato punto massimo della funzione , se il valore della funzione in questo punto è maggiore dei valori della funzione nei punti sufficientemente vicini ad esso, situati a destra e a sinistra di esso (cioè vale la disuguaglianza F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 massimo.

Definizione. Punto X2 dominio della funzione F(X) è chiamato punto minimo della funzione, se il valore della funzione in questo punto è inferiore ai valori della funzione in punti sufficientemente vicini ad esso, situati a destra e a sinistra di esso (cioè vale la disuguaglianza F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). In questo caso diciamo che la funzione ha nel punto X2 minimo.

Diciamo punto X1 - punto massimo della funzione F(X). Poi nell'intervallo fino a X1 la funzione aumenta, quindi la derivata della funzione è maggiore di zero ( F "(X) > 0 ), e nell'intervallo successivo X1 la funzione diminuisce, quindi, derivata di una funzione meno di zero ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Supponiamo anche che il punto X2 - punto minimo della funzione F(X). Poi nell'intervallo fino a X2 la funzione è decrescente e la derivata della funzione è inferiore a zero ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 la funzione è crescente e la derivata della funzione è maggiore di zero ( F "(X) > 0 ). Anche in questo caso al punto X2 la derivata della funzione è zero o non esiste.

Il teorema di Fermat (un segno necessario dell'esistenza di un estremo di una funzione). Se il punto X0 - punto estremo della funzione F(X) allora a questo punto la derivata della funzione è uguale a zero ( F "(X) = 0 ) o non esiste.

Definizione. Si chiamano i punti in cui la derivata di una funzione è zero o non esiste punti critici .

Esempio 1. Consideriamo la funzione.

Al punto X= 0 la derivata della funzione è zero, quindi il punto X= 0 è il punto critico. Tuttavia, come si può vedere nel grafico della funzione, essa aumenta in tutto il dominio di definizione, quindi il punto X= 0 non è il punto estremo di questa funzione.

Pertanto, le condizioni secondo cui la derivata di una funzione in un punto è uguale a zero o non esiste sono condizioni necessarie per un estremo, ma non sufficienti, poiché si possono fornire altri esempi di funzioni per le quali queste condizioni sono soddisfatte, ma la funzione non ha un estremo nel punto corrispondente. Ecco perché devono esserci prove sufficienti, consentendo di giudicare se esiste un estremo in un particolare punto critico e che tipo di estremo è: massimo o minimo.

Teorema (il primo segno sufficiente dell'esistenza di un estremo di una funzione). Punto critico X0 F(X) se, passando per questo punto, la derivata della funzione cambia segno, e se il segno cambia da “più” a “meno”, allora è un punto di massimo, e se da “meno” a “più”, allora è un punto minimo.

Se vicino al punto X0 , a sinistra e a destra di esso, la derivata mantiene il suo segno, ciò significa che la funzione diminuisce o aumenta solo in un certo intorno del punto X0 . In questo caso, al punto X0 non esiste un estremo.

COSÌ, per determinare i punti estremi della funzione, è necessario effettuare le seguenti operazioni :

1. Trova la derivata della funzione.
2. Uguagliare la derivata a zero e determinare i punti critici.
3. Mentalmente o su carta, segna i punti critici sulla linea numerica e determina i segni della derivata della funzione negli intervalli risultanti. Se il segno della derivata cambia da “più” a “meno”, allora il punto critico è il punto massimo, e se da “meno” a “più”, allora il punto minimo.
4. Calcolare il valore della funzione nei punti estremi.

Esempio 2. Trova gli estremi della funzione .

Soluzione. Troviamo la derivata della funzione:

Uguagliamo la derivata a zero per trovare i punti critici:

.

Poiché per qualsiasi valore di “x” il denominatore non è uguale a zero, equiparamo il numeratore a zero:

Ho un punto critico X= 3. Determiniamo il segno della derivata negli intervalli delimitati da questo punto:

nell'intervallo da meno infinito a 3 - un segno meno, cioè la funzione diminuisce,

nell'intervallo da 3 a più infinito c'è un segno più, cioè la funzione aumenta.

Cioè, punto X= 3 è il punto minimo.

Troviamo il valore della funzione nel punto minimo:

Pertanto, si trova il punto estremo della funzione: (3; 0), ed è il punto minimo.

Teorema (il secondo segno sufficiente dell'esistenza di un estremo di una funzione). Punto critico X0 è il punto estremo della funzione F(X) se la derivata seconda della funzione a questo punto non è uguale a zero ( F ""(X) ≠ 0 ), e se la derivata seconda è maggiore di zero ( F ""(X) > 0 ), quindi il punto massimo e se la derivata seconda è inferiore a zero ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Nota 1. Se al punto X0 Se si annullano sia la derivata prima che la seconda, allora a questo punto è impossibile giudicare la presenza di un estremo in base al secondo criterio sufficiente. In questo caso è necessario utilizzare il primo criterio sufficiente per l'estremo di una funzione.

Osservazione 2. Il secondo criterio sufficiente per l'estremo di una funzione non è applicabile anche quando la derivata prima non esiste in un punto stazionario (quindi non esiste nemmeno la derivata seconda). In questo caso è necessario utilizzare anche il primo segno sufficiente di un estremo di una funzione.

Località degli estremi della funzione

Dalle definizioni di cui sopra ne consegue che l'estremo di una funzione è di natura locale: è il valore più grande e più piccolo della funzione rispetto ai valori vicini.

Supponiamo che tu stia esaminando i tuoi guadagni per un periodo di un anno. Se a maggio hai guadagnato 45.000 rubli, ad aprile 42.000 rubli e a giugno 39.000 rubli, i guadagni di maggio sono il massimo della funzione di guadagno rispetto ai valori vicini. Ma in ottobre hai guadagnato 71.000 rubli, a settembre 75.000 rubli e a novembre 74.000 rubli, quindi i guadagni di ottobre sono il minimo della funzione di guadagno rispetto ai valori vicini. E si vede facilmente che il massimo tra i valori di aprile-maggio-giugno è inferiore al minimo di settembre-ottobre-novembre.

In generale, in un intervallo una funzione può avere diversi estremi e può risultare che un minimo della funzione sia maggiore di qualsiasi massimo. Quindi, per la funzione mostrata nella figura sopra, .

Cioè non si deve pensare che il massimo e il minimo di una funzione siano, rispettivamente, il suo valore più grande e quello più piccolo sull'intero segmento considerato. Nel punto massimo, la funzione ha il valore massimo solo rispetto a quei valori che in tutti i punti ha sufficientemente vicino al punto massimo, e nel punto minimo ha il valore più piccolo solo rispetto a quei valori ​​​​che ha in tutti i punti sufficientemente vicino al punto di minimo.

Pertanto, possiamo chiarire il concetto di punti estremi di una funzione sopra esposto e chiamare punti minimi punti minimi locali e punti massimi punti massimi locali.

Cerchiamo insieme gli estremi della funzione

Esempio 3.

Soluzione: la funzione è definita e continua su tutta la linea numerica. Il suo derivato esiste anche sull'intera linea numerica. Pertanto, in questo caso, i punti critici sono solo quelli in cui, ad es. , da dove e . Punti critici e dividono l'intero dominio di definizione della funzione in tre intervalli di monotonicità: . Selezioniamo un punto di controllo in ciascuno di essi e troviamo a questo punto il segno della derivata.

Per l'intervallo, il punto di controllo può essere: trova. Prendendo un punto nell'intervallo, otteniamo, e prendendo un punto nell'intervallo, abbiamo. Quindi, negli intervalli e , e nell'intervallo . Secondo il primo criterio sufficiente per un estremo, non c'è alcun estremo nel punto (poiché la derivata mantiene il segno nell'intervallo), e nel punto la funzione ha un minimo (poiché la derivata cambia segno da meno a più quando passa attraverso questo punto). Troviamo i valori corrispondenti della funzione: , a . Nell'intervallo la funzione diminuisce, poiché in questo intervallo , e nell'intervallo aumenta, poiché in questo intervallo .

Per chiarire la costruzione del grafico troviamo i punti di intersezione dello stesso con gli assi coordinati. Quando otteniamo un'equazione le cui radici sono e , cioè, si trovano due punti (0; 0) e (4; 0) del grafico della funzione. Utilizzando tutte le informazioni ricevute, costruiamo un grafico (vedi l'inizio dell'esempio).

Per l'autocontrollo durante i calcoli, è possibile utilizzare calcolatore di derivati ​​online .

Esempio 4. Trova gli estremi della funzione e costruisci il suo grafico.

Il dominio di definizione di una funzione è l'intera linea numerica, tranne il punto, cioè .

Per abbreviare lo studio, puoi sfruttare il fatto che questa funzione è pari, poiché . Pertanto il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse Ehi e lo studio può essere eseguito solo per l'intervallo.

Trovare la derivata e punti critici della funzione:

1) ;

2) ,

ma la funzione in questo punto subisce una discontinuità, quindi non può essere un punto estremo.

Pertanto, la funzione data ha due punti critici: e . Tenendo conto della parità della funzione, controlleremo solo il punto utilizzando il secondo criterio sufficiente per un estremo. Per fare questo troviamo la derivata seconda e determinarne il segno in: otteniamo . Poiché e , è il punto di minimo della funzione, e .

Per avere un quadro più completo del grafico di una funzione, scopriamo il suo comportamento ai confini del dominio di definizione:

(qui il simbolo indica il desiderio X a zero da destra, e X rimane positivo; allo stesso modo significa aspirazione X a zero da sinistra, e X rimane negativo). Quindi, se , allora . Successivamente, troviamo

,

quelli. se poi .

Il grafico di una funzione non ha punti di intersezione con gli assi. L'immagine è all'inizio dell'esempio.

Per l'autocontrollo durante i calcoli, è possibile utilizzare calcolatore di derivati ​​online .

Continuiamo a cercare insieme gli estremi della funzione

Esempio 8. Trova gli estremi della funzione.

Soluzione. Troviamo il dominio di definizione della funzione. Poiché la disuguaglianza deve essere soddisfatta, otteniamo da .

Troviamo la derivata prima della funzione.

Consideriamo la funzione y = f(x), considerata sull'intervallo (a, b).

Se è possibile indicare un b-intorno di un punto x1 appartenente all’intervallo (a, b) tale che per ogni x (x1, b), vale la disuguaglianza f(x1) > f(x), allora y1 = viene chiamato f1(x1). massimo della funzione y = f(x) vedere fig.

Indichiamo il massimo della funzione y = f(x) con max f(x). Se è possibile indicare un b-intorno di un punto x2 appartenente all'intervallo (a, b) tale che per ogni x appartenga a O (x2, 6), x non è uguale a x2, vale la disuguaglianza f(x2)< f(x) , allora y2= f(x2) è detto minimo della funzione y-f(x) (vedi figura).

Per un esempio di ricerca del massimo, vedere il video seguente

Funzioni minime

Indichiamo il minimo della funzione y = f(x) con min f(x). In altre parole, massimo o minimo di una funzione y = f(x) chiamato il suo valore che è maggiore (minore) di tutti gli altri valori accettati in punti sufficientemente vicini a quello dato e diversi da esso.

Nota 1. Massima funzionalità, definito dalla disuguaglianza è detto massimo stretto; il massimo non stretto è determinato dalla disuguaglianza f(x1) > = f(x2)

Nota 2. avere un carattere locale (questi sono i valori più grandi e più piccoli della funzione in un intorno sufficientemente piccolo del punto corrispondente); i minimi individuali di una funzione possono essere maggiori dei massimi della stessa funzione

Di conseguenza, viene chiamato il massimo (minimo) della funzione massimo locale(minimo locale) in contrasto con il massimo assoluto (minimo) - il valore più grande (più piccolo) nel dominio di definizione della funzione.

Il massimo e il minimo di una funzione si chiamano estremi . Si trova che gli estremi costruiscono grafici di funzioni

latino extremum significa "estremo" Senso. Il valore dell'argomento x al quale viene raggiunto l'estremo è chiamato punto estremo. La condizione necessaria per un estremo è espressa dal seguente teorema.

Teorema. Nel punto estremo della funzione differenziabile la sua derivata è uguale a zero.

Il teorema ha un significato geometrico semplice: la tangente al grafico della funzione differenziabile nel punto corrispondente è parallela all'asse Ox

La funzione e lo studio delle sue caratteristiche occupa uno dei capitoli chiave della matematica moderna. Il componente principale di qualsiasi funzione sono i grafici che descrivono non solo le sue proprietà, ma anche i parametri della derivata di questa funzione. Comprendiamo questo argomento difficile. Allora qual è il modo migliore per trovare i punti di massimo e di minimo di una funzione?

Funzione: definizione

Qualsiasi variabile che in qualche modo dipende dai valori di un'altra quantità può essere chiamata funzione. Ad esempio, la funzione f(x 2) è quadratica e determina i valori dell'intero insieme x. Diciamo che x = 9, quindi il valore della nostra funzione sarà uguale a 9 2 = 81.

Le funzioni sono di molti tipi diversi: logiche, vettoriali, logaritmiche, trigonometriche, numeriche e altre. Sono stati studiati da menti eccezionali come Lacroix, Lagrange, Leibniz e Bernoulli. Le loro opere costituiscono un pilastro dei modi moderni di studiare le funzioni. Prima di trovare i punti di minimo, è molto importante comprendere il significato stesso della funzione e della sua derivata.

Il derivato e il suo ruolo

Tutte le funzioni dipendono dalle loro variabili, il che significa che possono cambiare il loro valore in qualsiasi momento. Sul grafico, questo verrà rappresentato come una curva che scende o sale lungo l'asse delle ordinate (questo è l'intero insieme di numeri "y" lungo il grafico verticale). Quindi, la determinazione dei punti di massimo e di minimo di una funzione è proprio legata a queste “oscillazioni”. Spieghiamo in cosa consiste questa relazione.

La derivata di qualsiasi funzione viene rappresentata graficamente per studiarne le caratteristiche di base e calcolare quanto velocemente la funzione cambia (cioè cambia il suo valore in base alla variabile "x"). Nel momento in cui la funzione aumenta, aumenterà anche il grafico della sua derivata, ma da un momento all'altro la funzione può iniziare a diminuire, e quindi il grafico della derivata diminuirà. I punti in cui la derivata cambia da segno meno a segno più sono detti punti di minimo. Per sapere come trovare i punti minimi, dovresti capire meglio

Come calcolare la derivata?

La definizione e le funzioni implicano diversi concetti da In generale, la definizione stessa di derivata può essere espressa come segue: questa è la quantità che mostra il tasso di cambiamento della funzione.

Il modo matematico per determinarlo sembra complicato per molti studenti, ma in realtà è tutto molto più semplice. Devi solo seguire il piano standard per trovare la derivata di qualsiasi funzione. Di seguito descriviamo come trovare il punto di minimo di una funzione senza applicare le regole di derivazione e senza memorizzare la tabella delle derivate.

1. Puoi calcolare la derivata di una funzione utilizzando un grafico. Per fare ciò, devi rappresentare la funzione stessa, quindi prendere un punto su di essa (punto A nella figura), tracciare una linea verticalmente fino all'asse delle ascisse (punto x 0) e nel punto A tracciare una tangente all'asse delle ascisse (punto x 0) grafico della funzione. L'asse x e la tangente formano un certo angolo a. Per calcolare il valore della velocità con cui aumenta una funzione, è necessario calcolare la tangente di questo angolo a.
2. Risulta che la tangente dell'angolo tra la tangente e la direzione dell'asse x è la derivata della funzione in una piccola area con il punto A. Questo metodo è considerato un metodo geometrico per determinare la derivata.

Metodi per lo studio delle funzioni

Nel curriculum scolastico di matematica è possibile trovare il punto minimo di una funzione in due modi. Abbiamo già discusso del primo metodo utilizzando un grafico, ma come possiamo determinare il valore numerico della derivata? Per fare ciò, dovrai imparare diverse formule che descrivono le proprietà della derivata e aiutano a convertire variabili come "x" in numeri. Il seguente metodo è universale, quindi può essere applicato a quasi tutti i tipi di funzioni (sia geometriche che logaritmiche).

1. È necessario equiparare la funzione alla funzione derivativa e quindi semplificare l'espressione utilizzando le regole di derivazione.
2. In alcuni casi, data una funzione in cui la variabile “x” è nel divisore, è necessario determinare l’intervallo di valori accettabili, escludendo da esso il punto “0” (per il semplice motivo che in matematica non si dovrebbe mai dividere per zero).
3. Successivamente, dovresti trasformare la forma originale della funzione in una semplice equazione, equiparando l'intera espressione a zero. Ad esempio, se la funzione fosse così: f(x) = 2x 3 +38x, secondo le regole di differenziazione la sua derivata è uguale a f"(x) = 3x 2 +1. Quindi trasformiamo questa espressione in una equazione della seguente forma: 3x 2 +1 = 0 .
4. Dopo aver risolto l'equazione e trovato i punti "x", dovresti tracciarli sull'asse x e determinare se la derivata in queste sezioni tra i punti contrassegnati è positiva o negativa. Dopo la designazione, diventerà chiaro a che punto la funzione inizia a diminuire, cioè cambia segno da meno a opposto. È in questo modo che puoi trovare sia il punto minimo che quello massimo.

Regole di differenziazione

La componente più basilare nello studio di una funzione e della sua derivata è la conoscenza delle regole di differenziazione. Solo con il loro aiuto puoi trasformare espressioni ingombranti e funzioni grandi e complesse. Facciamo conoscenza con loro, ce ne sono parecchi, ma sono tutti molto semplici a causa delle proprietà naturali sia delle funzioni di potenza che di quelle logaritmiche.

1. La derivata di qualsiasi costante è uguale a zero (f(x) = 0). Cioè, la derivata f(x) = x 5 + x - 160 assumerà la seguente forma: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Derivata della somma di due termini: (f+w)" = f"w + fw".
3. Derivata di una funzione logaritmica: (log a d)" = d/ln a*d. Questa formula si applica a tutti i tipi di logaritmi.
4. Derivata della potenza: (x n)"= n*x n-1. Ad esempio, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. La derivata della funzione sinusoidale: (sen a)" = cos a. Se il seno dell'angolo a è 0,5, la sua derivata è √3/2.

Punti estremi

Abbiamo già discusso come trovare i punti minimi, ma esiste anche il concetto di punti massimi di una funzione. Se il minimo indica i punti in cui la funzione cambia da segno meno a più, i punti massimi sono quei punti sull'asse x in cui la derivata della funzione cambia da più a meno.

Puoi trovarlo utilizzando il metodo sopra descritto, ma dovresti tenere presente che indicano quelle aree in cui la funzione inizia a diminuire, cioè la derivata sarà inferiore a zero.

In matematica è consuetudine generalizzare entrambi i concetti, sostituendoli con la frase “punti estremi”. Quando un compito ti chiede di determinare questi punti, significa che devi calcolare la derivata di una determinata funzione e trovare i punti minimo e massimo.

1°. Determinazione dell'estremo di una funzione.

I concetti di massimo, minimo ed estremo di una funzione di due variabili sono simili ai concetti corrispondenti di una funzione di una variabile indipendente.

Lasciamo la funzione z =F (X ; sì) definito in alcune aree D punto N (x0;sì 0) D.

Punto (x0;sì 0) chiamato punto massimo funzioni z= F (X ;sì), se esiste un tale intorno  del punto (x0;e 0), quello per ogni punto (x;y), diverso da (x0;sì 0) da questo quartiere vale la disuguaglianza F (X ;sì)< F (x0;y0). Nella Figura 12: N1- punto massimo, a N2- punto minimo della funzione z =F (X ;sì).

Il punto è determinato in modo simile minimo funzioni: per tutti i punti (x0;e 0), diverso da (x0;e 0), da d -intorno di un punto (x0;sì 0) vale la disuguaglianza: F (x0;y0) >F (x0;y0).

L'estremo di una funzione di tre o più variabili viene determinato in modo simile.

Viene chiamato il valore della funzione nel punto massimo (minimo). massimo (minimo) funzioni.

Viene chiamato il massimo e il minimo di una funzione estremi.

Si noti che, per definizione, il punto estremo della funzione si trova all'interno del dominio di definizione della funzione; massimo e minimo hanno Locale carattere (locale): il valore di una funzione in un punto (x0;sì 0) viene confrontato con i suoi valori in punti sufficientemente vicini a (x0;y0). In zona D una funzione può avere più estremi o nessuno.

2°. Condizioni necessarie per un estremo.

Consideriamo le condizioni per l'esistenza di un estremo di una funzione.

Uguaglianze geometriche F"sì (x0;sì 0)= 0 e F"sì (x0;y0) = 0 significa che si trova al punto estremo della funzione z = F (X ; sì) piano tangente alla superficie che rappresenta la funzione F (X ; sì), parallelo al piano Oh oh poiché l'equazione del piano tangente è z =z0.

Commento. Una funzione può avere un estremo nei punti in cui almeno una delle derivate parziali non esiste. Ad esempio, la funzione ha un massimo nel punto DI(0;0), ma a questo punto non ha derivate parziali.

Il punto in cui si verificano le derivate parziali del primo ordine della funzione z = F (X ;sì) sono uguali a zero, cioè F"X = 0, F" y = 0, chiamato punto stazionario funzioni z.

Si chiamano punti stazionari e punti in cui non esiste almeno una derivata parziale punti critici.

Nei punti critici, la funzione può o meno avere un estremo. L'uguaglianza delle derivate parziali a zero è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza di un estremo. Consideriamo ad esempio la funzione z = eh. Per questo, il punto 0(0; 0) è critico (va a zero). Tuttavia, la funzione estrema in esso è z = xy non ha, perché in un intorno sufficientemente piccolo del punto O(0;0) ci sono punti per i quali z> 0 (punti del 1° e 3° quarto) e z< 0 (punti del II e IV trimestre).

Pertanto, per trovare gli estremi di una funzione in una data area, è necessario sottoporre ogni punto critico della funzione a ulteriori ricerche.

I punti stazionari si trovano risolvendo il sistema di equazioni

(condizioni necessarie per un estremo).

Il sistema (1) equivale a un'equazione df(x, y)=0. In generale, al punto estremo P(a, b) funzioni f(x, y) O df(x, y)=0, O df(a, b) non esiste.

3°. Condizioni sufficienti per un estremo. Permettere P(a;b)- punto stazionario della funzione F(x,y), cioè. . df(a, b) = 0. Poi:

e se d2f (a, b)< 0 a , allora F(un, b) C'è massimo funzioni F (x, y);

b) se d2f (a, b) > 0 a , allora F(un, b)C'è minimo funzioni F (x,y);

c) se d2f (a, b) cambia segno, quindi F (un, b) non è un estremo della funzione F (x, y).

Le condizioni date sono equivalenti alle seguenti: let E . Componiamo discriminante Δ=CA -B².

1) se Δ > 0, allora la funzione ha un estremo nel punto P(a;b) vale a dire, il massimo se UN<0 (O CON<0 ) e un minimo se A>0(O С>0);

2) se Δ< 0, то экстремума в точке P(a;b) NO;

3) se Δ =0, allora si pone la questione della presenza di un estremo della funzione nel punto P(a;b) rimane aperto (sono necessarie ulteriori ricerche).

4°. Il caso di una funzione di più variabili. Per una funzione di tre o più variabili, le condizioni necessarie per l'esistenza di un estremo sono simili alle condizioni (1), e le condizioni sufficienti sono simili alle condizioni a), b), c) 3°.

Esempio. Esaminare la funzione dell'estremo z=x³+3xy²-15x-12y.

Soluzione. Troviamo le derivate parziali e creiamo un sistema di equazioni (1):

Risolvendo il sistema otteniamo quattro punti stazionari:

Troviamo le derivate del 2° ordine

e creare una discriminante Δ=AC - B² per ogni punto stazionario.

1) Per punto: , Δ=AC-B²=36-144<0 . Ciò significa che non vi è alcun estremo in questo punto.

2) Per il punto P2: LA=12, SI=6, DO=12; Δ=144-36>0, A>0. Nel punto P2 la funzione ha un minimo. Questo minimo è uguale al valore della funzione a x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) Per punto: LA= -6, SI=-12, DO= -6; Δ = 36-144<0 . Non esiste un estremo.

4) Per il punto P 4: LA=-12, SI=-6, DO=-12; Δ=144-36>0. Nel punto P4 la funzione ha un massimo pari a Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Estremo condizionale. Nel caso più semplice estremo condizionale funzioni F(x,y) è il massimo o il minimo di questa funzione, ottenuto a condizione che i suoi argomenti siano legati dall'equazione φ(x,y)=0 (equazione di connessione). Trovare l'estremo condizionale di una funzione F(x, y) in presenza di una relazione φ(x,y) = 0, costituiscono i cosiddetti Funzione lagrangiana

F (X,y)=F (X,y )+λφ (X,sì),

dove λ è un fattore costante indefinito e si cerca l'estremo usuale di questa funzione ausiliaria. Le condizioni necessarie per un estremo sono ridotte a un sistema di tre equazioni

con tre incognite x, y, λ, da cui queste incognite possono, in generale, essere determinate.

La questione dell'esistenza e della natura dell'estremo condizionale viene risolta sulla base dello studio del segno del secondo differenziale della funzione di Lagrange

per il sistema di valori in esame x, y, λ, ottenuto da (2) a condizione che dx E sì correlato dall'equazione

.

Cioè, la funzione F(x,y) ha un massimo condizionato se d²F< 0 e un minimo condizionale se d²F>0. In particolare, se il discriminante Δ per la funzione F(x,y)è positivo in un punto stazionario, allora in questo punto esiste un massimo condizionato della funzione F(x, y), Se UN< 0 (o CON< 0) e un minimo condizionale se A > O(O С>0).

Analogamente, l'estremo condizionale di una funzione di tre o più variabili si trova in presenza di una o più equazioni di connessione (il cui numero, però, deve essere inferiore al numero delle variabili). Qui dobbiamo introdurre nella funzione di Lagrange tanti fattori incerti quante sono le equazioni di accoppiamento.

Esempio. Trova l'estremo della funzione z =6-4x-3sì a condizione che le variabili X E A soddisfare l'equazione x²+y²=1.

Soluzione. Dal punto di vista geometrico, il problema consiste nel trovare i valori più grandi e più piccoli dell'applicata z aereo z=6 - 4x - Zu per i punti di intersezione di esso con il cilindro x2+y2=1.

Compilazione della funzione di Lagrange F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Abbiamo . Le condizioni necessarie danno il sistema di equazioni

risolvendo il quale troviamo:

.

,

d²F =2λ (dx²+dy²).

Se e , allora d²F >0, e, quindi, a questo punto la funzione ha un minimo condizionale. Se poi d²F<0, e, quindi, a questo punto la funzione ha un massimo condizionato.

Così,

6°. I valori più grandi e più piccoli di una funzione.

Lasciamo la funzione z =F (X ; sì) definito e continuo in una regione chiusa e limitata . Poi arriva in alcuni punti il tuo più grande M e il meno T valori (i cosiddetti estremo globale). Questi valori sono raggiunti dalla funzione in punti situati all'interno della regione , o in punti che si trovano al confine della regione.

Il massimo è il numero più alto o il limite più alto che può essere raggiunto. Il minimo è, come tutti sappiamo molto bene, l'esatto opposto del massimo, cioè questo è il numero più piccolo e il limite più piccolo. Le parole minimo e massimo, così come i loro derivati, si trovano in espressioni e frasi come:

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Concetti come massimo e minimo possono essere ritrovati anche in termini scientifici particolari. Ad esempio, in matematica esiste il concetto di massimo e minimo di una funzione.

Pertanto, in matematica il valore massimo di una funzione è chiamato massimo. In questo caso il valore massimo della funzione è maggiore di tutti i suoi valori vicini. Il massimo di una funzione è il suo valore quando il valore prima aumenta e poi comincia immediatamente a diminuire, mentre ha un massimo nel punto in cui l'aumento e la diminuzione della funzione passano dall'uno all'altro. Il minimo di una funzione è, quindi, il valore più piccolo della funzione.

La derivata prima di una funzione può essere considerata positiva se aumenta quando aumentiamo la variabile, quindi la funzione può essere considerata positiva. Se la prima variabile diminuisce all'aumentare della derivata, la funzione deve essere considerata negativa.

La derivata è il valore di base utilizzato nei calcoli differenziali (lo studio delle derivate e dei differenziali, che aiutano a studiare le funzioni matematiche), può essere intesa come il tasso di variazione di una funzione in un punto specifico. Maggiore è la velocità, più la funzione cambia; minore è, più lenta (questo però è vero solo se la funzione è positiva). Pertanto, è la velocità di variazione della funzione in un dato punto che ne determina le pendenze e le convessità. Una variabile è una quantità che può cambiare il suo valore. È indicato come x o tempo.

Una variabile può essere considerata un attributo di un sistema (sia fisico che astratto) che può modificarne il valore. In un senso più globale, una variabile può essere chiamata tempo, temperatura e, in generale, l'intera vita (possono cambiare). Una variabile ha molti valori che può assumere. Possiamo supporre che questo insieme sia una variabile.

Per quanto riguarda la funzione stessa, deve passare da un valore positivo a un valore negativo fino a zero. Pertanto, al valore della variabile a cui corrisponde il massimo della funzione, la sua derivata sarà uguale a zero. È questa proprietà della funzione che ci permette di determinare i valori di x ai quali la funzione raggiunge il suo massimo. Tuttavia, se aumentiamo la variabile e, contemporaneamente, la funzione prima aumenta e poi diminuisce, allora la funzione, nel passaggio da un valore negativo a un valore positivo (passando per lo zero), non raggiungerà il massimo, ma, al contrario, il valore minimo. Anche se, logicamente, questo potrebbe essere considerato il valore massimo (si trova nel punto più alto della funzione).

I punti massimo e minimo di una funzione sono anche detti punti estremi.

Pertanto, sia nella vita ordinaria che in matematica, massimo e minimo sono due estremi opposti che significano qualcosa di più grande e qualcosa di più piccolo.