Ոլորտը և դրա հատկությունները. Ոլորտ, գնդակ, հատված և հատված: Ոլորտի բանաձևերը և հատկությունները. Գնդի կտրվածք, ակորդ, սեկանտային հարթություն և դրանց հատկությունները

Մեզանից շատերը սիրում են ֆուտբոլ խաղալ, կամ գոնե գրեթե բոլորս լսել ենք այս հայտնի սպորտային խաղի մասին։ Բոլորը գիտեն, որ ֆուտբոլը խաղում են գնդակով։

Եթե ​​անցորդին հարցնես, թե ինչ երկրաչափական ձև ունի գնդակը, ապա ոմանք կասեն, որ այն գնդաձև է, իսկ ոմանք կասեն, որ այն գնդաձև է: Այսպիսով, ո՞րն է ճիշտ: Իսկ ո՞րն է գնդակի տարբերությունը:

Կարևոր.

Գնդակտարածական մարմին է։ Գնդակի ներսը լցված է ինչ-որ բանով: Այսպիսով, կարելի է գտնել ոլորտի ծավալը։

Կյանքում գնդակի օրինակներ՝ ձմերուկ և պողպատե գնդակ:

Գնդակը և գունդը, ինչպես շրջանագիծը և շրջանագիծը, ունեն կենտրոն, շառավիղ և տրամագիծ:

Կարևոր.

Ոլորտ- գնդակի մակերեսը. Դուք կարող եք գտնել ոլորտի մակերեսը:

Կյանքի ոլորտների օրինակներ՝ վոլեյբոլ և սեղանի թենիսի գնդակ:

Ինչպես գտնել ոլորտի մակերեսը

Հիշիր.

Գնդի մակերեսի բանաձևը. S=4 π R 2

Գնդի մակերեսը գտնելու համար պետք է հիշել, թե ինչ է թվի ուժը: Իմանալով աստիճանի սահմանումը, մենք կարող ենք գրել ոլորտի մակերեսի բանաձևը հետևյալ կերպ.
S=4 π R 2 = 4π R · R;

Համախմբենք ձեռք բերած գիտելիքները և Եկեք լուծենք ոլորտի տարածքի խնդիրը.

Զուբարևա 6-րդ դասարան. Թիվ 692 (ա)

Առաջադրանք.

• Հաշվե՛ք ոլորտի մակերեսը, եթե նրա շառավիղը 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R 3 = 1
• R = 1 մ

Կարևոր.

Սիրելի ծնողներ!

Շառավիղը վերջապես հաշվարկելիս կարիք չկա երեխային ստիպել հաշվել խորանարդի արմատը։ 6-րդ դասարանի աշակերտները դեռ չեն ընդունել և չգիտեն արմատների սահմանումը մաթեմատիկայից։

6-րդ դասարանում նման խնդիր լուծելիս օգտագործեք բիրտ ուժի մեթոդը։

Հարցրեք աշակերտին, թե որ թիվն ինքն իրենով 3 անգամ բազմապատկելու դեպքում կտա մեկը:

Գունդը և գնդակը շրջանագծի և շրջանագծի անալոգն են եռաչափ տարածության մեջ: Արժե խոսել այս թվերից յուրաքանչյուրի մասին՝ ընդգծելով նմանություններն ու տարբերությունները, ինչպես նաև այս գործիչներին բնորոշ բանաձևերը։

Երկրաչափական կոնստրուկցիաների մեծ մասը կատարվում է հարթության մեջ, սակայն ավագ դպրոցում սկսում են ուսումնասիրել եռաչափ պատկերներ։ Երկչափ տարածությունն ունի միայն երկու հատկանիշ՝ երկարություն և լայնություն: 3D տարածքներում ավելացվում է բարձրություն: 6-րդ դասարանի մաթեմատիկայից ուսումնասիրվում են անհատական ​​3D պատկերներ։

Հարթության վրա գործիչը բնութագրվում է տարածքով և պարագծով: Եռաչափ օբյեկտներում դրանց ավելացվում է ծավալ։

Բրինձ. 1. Եռաչափ տարածություն.

Բացի այդ, կան 3D ֆիգուրների մի շարք հատուկ հատկություններ: Նրանք կարող են հատվել ուղիղ գծով և հարթությամբ, և կարող են լինել հատվածային հարթություններ, որոնք այլ պատկերների ձև են ստանում:

Խնդիրներ կազմելու համար 3D ֆիգուրների օգտագործումը զգալիորեն բարդացնում է դրանք, բայց միևնույն ժամանակ դարձնում դրանք շատ ավելի հետաքրքիր: Տանք գնդակի և գնդիկի սահմանումները, որից հետո կփորձենք ընդգծել այս թվերի միջև եղած տարբերությունները։

Գնդակ

Գնդակը և գունդը հարթության մեջ գտնվող շրջանագծի և շրջանագծի անալոգն են: Գնդակը պատկեր է, որը ստացվում է մեկ կետի շուրջ կիսաշրջանը պտտելով:

Գնդակը ունի մակերես՝ $S=4pir^2$

Շառավիղը մի հատված է, որը կապում է գնդակի կենտրոնը և նրա մակերեսի ցանկացած կետ:

Գնդիկի ծավալի բանաձև $V=(4pir^3\over3)$

Ծավալը ցույց է տալիս, թե ինչքան տեղ է զբաղեցնում գործիչը: Հասկանալու համար, թե ինչ է ծավալը, պետք է պատկերացնել սնամեջ գործիչ: Այնուհետև ծավալը ջրի քանակն է, որը կարելի է լցնել այս գործչի մեջ

Գնդակը, ինչպես ցանկացած այլ եռաչափ պատկեր, կարող է կտրվել ինքնաթիռով: Գնդիկի կտրող հարթությունը շրջանագիծ է, որի կենտրոնը կարելի է գտնել՝ գնդակի կենտրոնից դեպի շրջան ուղղահայաց գցելով։

Բրինձ. 2. Գնդակի հատված.

Գնդակը այն պատկերն է, որը ներկայացնում է մի շարք կետեր, որոնք գտնվում են ոլորտի կենտրոնից հավասար հեռավորության վրա: Ոլորտ:

• Ունի ծավալի և մակերեսի նույն բանաձևերը, ինչ գունդը:
• Գնդի կտրող հարթությունը շրջանագիծ է
• Հատված շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է այնպես, ինչպես գնդակի դեպքում

Բրինձ. 3. Ոլորտ.

Որն է տարբերությունը

Հետո հարց է առաջանում՝ բացի սահմանումից, ո՞րն է տարբերությունը գնդակի և գնդիկի միջև։ Փաստն այն է, որ գնդակի և գնդի տարբերությունները շատ ավելի մշուշոտ են, քան շրջանագծի և շրջանագծի տարբերությունները: Գունդն ունի նաև ծավալ և մակերես։

Թերևս, բացի սահմանումից, տարբերությունն այն է, որ խնդիրները երբեք չեն գտնում ոլորտի ծավալը։ Որպես կանոն, նրանք փնտրում են գնդակի ծավալը։ Սա չի նշանակում, որ ոլորտը ծավալ չունի։ Սա եռաչափ գործիչ է, ուստի այն ունի ծավալ:

Անալոգիան պարզապես գծված է շրջանագծի հետ, որը չունի տարածք: Սա կանոն չէ, այլ ավանդույթ, որը պետք է հիշել. երկրաչափության մեջ գնդիկի ծավալի ձևակերպումը ողջունելի չէ։

Մեկ այլ տարբերություն, որը կարելի է քիչ թե շատ նշանակալից համարել, ոլորտի հատվածային հարթությունն է՝ շրջան, որը չունի ներքին տարածություն, բայց ունի երկարություն։ Գնդի կտրող հարթություն՝ շրջան, որն ունի մակերես և առանց շրջագիծ: Ուստի պետք է զգույշ լինել խնդրի ձևակերպման հարցում, որպեսզի նման մանրուքների պատճառով սխալներ չլինեն։

Ի՞նչ ենք մենք սովորել:

Մենք իմացանք, թե ինչ է գունդը և գնդակը։ Մենք խոսեցինք նրանց նմանությունների և տարբերությունների մասին։ Մեզ հայտնի դարձավ, որ այս թվերը գրեթե տարբերություն չունեն։ Որոշեցինք, որ չարժե այնպիսի ձեւակերպում տալ, ինչպիսին է ոլորտի ծավալը։

Թեստ թեմայի շուրջ

Հոդվածների վարկանիշ

Միջին գնահատականը: 4.7. Ստացված ընդհանուր գնահատականները՝ 105:

Սահմանում.

Ոլորտ (գնդակի մակերեսը) եռաչափ տարածության բոլոր կետերի հավաքածուն է, որոնք գտնվում են մի կետից նույն հեռավորության վրա, որը կոչվում է ոլորտի կենտրոն(ՄԱՍԻՆ).

Գնդը կարելի է բնութագրել որպես եռաչափ պատկեր, որը ձևավորվում է իր տրամագծի շուրջ շրջանագիծը 180°-ով կամ կիսաշրջանը տրամագծի շուրջ 360°-ով պտտելով։

Սահմանում.

Գնդակեռաչափ տարածության բոլոր կետերի հավաքածուն է, որոնցից հեռավորությունը չի գերազանցում որոշակի հեռավորությունը մինչև մի կետ, որը կոչվում է. գնդակի կենտրոն(O) (գնդով սահմանափակված եռաչափ տարածության բոլոր կետերի բազմությունը):

Գնդակը կարելի է բնութագրել որպես եռաչափ պատկեր, որը ձևավորվում է իր տրամագծի շուրջ շրջանագիծը 180°-ով պտտելով կամ նրա տրամագծի շուրջ կիսաշրջանը 360°-ով:

Սահմանում. Գնդի շառավիղը (գնդակը)(R) գնդակի (գնդակի) կենտրոնից հեռավորությունն է Օգնդի ցանկացած կետի վրա (գնդակի մակերեսը):

Սահմանում. Գնդի (գնդիկի) տրամագիծը(D) մի հատված է, որը կապում է ոլորտի երկու կետերը (գնդիկի մակերեսը) և անցնում նրա կենտրոնով։

Բանաձև. Գնդի ծավալը:

V=	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Բանաձև. Գնդի մակերեսըշառավղով կամ տրամագծով.

S = 4π R 2 = π D 2

Ոլորտի հավասարում

1. R շառավղով և կենտրոնով գնդի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնակետում:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. R շառավղով և կենտրոնով մի կետի հավասարումը կոորդինատներով (x 0, y 0, z 0) Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Սահմանում. Տրամագծորեն հակառակ կետերըգնդակի (գնդիկի) մակերեսի ցանկացած երկու կետ են, որոնք միացված են տրամագծով:

Գնդի և գնդակի հիմնական հատկությունները

1. Ոլորտի բոլոր կետերը հավասարապես հեռու են կենտրոնից։

2. Գնդի ցանկացած հատված հարթության վրա շրջանագիծ է:

3. Ինքնաթիռով գնդակի ցանկացած հատված շրջանագիծ է:

4. Ոլորտն ամենամեծ ծավալն ունի նույն մակերեսով բոլոր տարածական պատկերների մեջ։

5. Ցանկացած երկու տրամագծորեն հակառակ կետերի միջով դուք կարող եք շատ մեծ շրջանակներ նկարել գնդիկի համար կամ շրջաններ՝ գնդակի համար:

6. Ցանկացած երկու կետի միջով, բացառությամբ տրամագծորեն հակառակ կետերի, կարող եք գծել միայն մեկ մեծ շրջան՝ գնդիկի համար, կամ մեծ շրջան՝ գնդակի համար։

7. Մեկ գնդակի ցանկացած երկու մեծ շրջան հատվում են գնդակի կենտրոնով անցնող ուղիղ գծի երկայնքով, իսկ շրջանագծերը հատվում են երկու տրամագծորեն հակառակ կետերում:

8. Եթե ցանկացած երկու գնդակի կենտրոնների միջև հեռավորությունը փոքր է նրանց շառավիղների գումարից և մեծ է նրանց շառավիղների տարբերության մոդուլից, ապա այդպիսի գնդիկները. հատել, և հատման հարթությունում ձևավորվում է շրջան։

Գնդի կտրվածք, ակորդ, սեկանտային հարթություն և դրանց հատկությունները

Սահմանում. Ոլորտի կտրվածքուղիղ գիծ է, որը հատում է գունդը երկու կետով։ հատման կետերը կոչվում են ծակող կետերմակերեսները կամ մակերեսի մուտքի և ելքի կետերը:

Սահմանում. Գնդի ակորդ (գնդակ)- սա մի հատված է, որը միացնում է երկու կետերը մի գնդիկի վրա (գնդիկի մակերես):

Սահմանում. Կտրող ինքնաթիռայն հարթությունն է, որը հատում է գունդը։

Սահմանում. Տրամագծային հարթություն- սա հատվածային հարթություն է, որն անցնում է գնդիկի կամ գնդակի կենտրոնով, համապատասխանաբար ձևավորվում է հատվածը մեծ շրջանԵվ մեծ շրջան. Մեծ շրջանագիծը և մեծ շրջանն ունեն կենտրոն, որը համընկնում է ոլորտի (գնդակի) կենտրոնի հետ:

Գնդի (գնդիկի) կենտրոնով անցնող ցանկացած ակորդ տրամագիծ է։

Ակորդը հատվածային տողի հատված է։

Գնդի կենտրոնից մինչև սեկանտը d հեռավորությունը միշտ փոքր է ոլորտի շառավղից.

դ< R

Կտրող հարթության և ոլորտի կենտրոնի միջև m հեռավորությունը միշտ փոքր է R շառավղից.

մ< R

Գնդի վրա կտրող հարթության հատվածի գտնվելու վայրը միշտ կլինի փոքր շրջան, իսկ գնդակի վրա հատվածը կլինի փոքր շրջան. Փոքր շրջանն ու փոքր շրջանն ունեն իրենց սեփական կենտրոնները, որոնք չեն համընկնում ոլորտի (գնդակի) կենտրոնի հետ։ Նման շրջանագծի r շառավիղը կարելի է գտնել բանաձևով.

r = √R 2 - մ 2,

Այնտեղ, որտեղ R-ը գնդիկի (գնդակի) շառավիղն է, m-ը գնդակի կենտրոնից մինչև կտրող հարթություն ընկած հեռավորությունն է:

Սահմանում. Կիսագունդ (կիսագունդ)- սա գնդիկի (գնդիկի) կեսն է, որը ձևավորվում է տրամագծային հարթությամբ կտրելիս:

Շոշափող, շոշափող հարթություն գնդին և դրանց հատկությունները

Սահմանում. Գնդային շոշափողուղիղ գիծ է, որը դիպչում է ոլորտին միայն մեկ կետում:

Սահմանում. Գնդի վրա շոշափող հարթությունհարթություն է, որը դիպչում է ոլորտին միայն մեկ կետում:

Շոշափող գիծը (հարթությունը) միշտ ուղղահայաց է շփման կետին գծված ոլորտի շառավղին.

Գնդի կենտրոնից մինչև շոշափող գիծը (հարթությունը) հեռավորությունը հավասար է ոլորտի շառավղին։

Սահմանում. Գնդակի հատված- սա գնդակի այն հատվածն է, որը կտրող հարթությամբ կտրված է գնդակից: Հատվածի հիմքըկոչվում է շրջան, որը ձևավորվել է հատվածի տեղում: Հատվածի բարձրությունը h-ը հատվածի հիմքի կեսից մինչև հատվածի մակերեսը գծված ուղղահայաց երկարությունն է:

Բանաձև. Գնդային հատվածի արտաքին մակերեսը h բարձրությամբ R ոլորտի շառավղով:

S = 2πRh