Երեխաների համար հակատիպային դեղամիջոցները նշանակվում են մանկաբույժի կողմից: Բայց լինում են արտակարգ իրավիճակներ՝ տենդով, երբ երեխային անհապաղ պետք է դեղորայք տալ։ Հետո ծնողներն իրենց վրա են վերցնում պատասխանատվությունը եւ օգտագործում ջերմության դեմ պայքարող դեղեր։ Ի՞նչ է թույլատրվում տալ նորածիններին. Ինչպե՞ս կարող եք իջեցնել ջերմաստիճանը մեծ երեխաների մոտ: Ո՞ր դեղամիջոցներն են առավել անվտանգ:
Անկյունի եռահատման խնդրի առաջացումը (այսինքն՝ անկյունը երեք հավասար մասերի բաժանելը) որոշվում է կանոնավոր բազմանկյունների կառուցման խնդրի լուծման անհրաժեշտությամբ։ Կողմնացույցով և քանոնով կանոնավոր հնգանկյունի կառուցումը պետք է մեծ տպավորություն թողած լինի պյութագորացիների վրա, քանի որ կանոնավոր հնգաթև աստղը նրանց նույնականացման նշանն էր (այն խորհրդանշում էր առողջությունը): Հայտնի է հետևյալ լեգենդը.
Պյութագորացիներից մեկը մահանում էր օտար երկրում և չէր կարողանում վճարել իրեն խնամող մարդուն: Մահից առաջ նա հրամայեց նրան իր տան վրա պատկերել հնգաթև աստղ. եթե Պյութագորացին երբևէ անցներ, նա անպայման կհարցներ այդ մասին: Եվ իսկապես, մի քանի տարի անց մի Պյութագորաս տեսավ այս նշանը և վարձատրեց տան տիրոջը։
Անկյունի եռահատման խնդրի ծագումը կապված է նաև գործնական գործողությունների հետ, մասնավորապես, շրջանագիծը հավասար մասերի բաժանելու ունակությունը անհրաժեշտ էր ճյուղերով անիվ պատրաստելիս. շրջանագծի անկյունը կամ աղեղը մի քանի հավասար մասերի բաժանելը։ անհրաժեշտ էր նաև ճարտարապետության, զարդանախշերի ստեղծման, շինարարական տեխնիկայի և աստղագիտության մեջ։
Օգտագործելով կողմնացույց և քանոն, դուք կարող եք կառուցել կանոնավոր n-գոններ n = 6-ի և 8-ի համար, բայց ոչ n=7 և 9-ի համար: Կանոնավոր յոթանկյուն կառուցելը հետաքրքիր խնդիր է. այն կարելի է լուծել «ներդիր» մեթոդով։ Կանոնավոր յոթանկյունի կառուցումն առաջարկվել է Արքիմեդի կողմից։ Բայց կանոնավոր վեցանկյուն կառուցելու փորձերը պետք է հանգեցնեին անկյան եռահատման խնդրին, քանի որ կանոնավոր վեցանկյուն կառուցելու համար անհրաժեշտ էր կառուցել 360°/9 = 120/3 անկյուն, այսինքն՝ 120° անկյունը բաժանել: երեք հավասար մասեր.
Ինչո՞ւ հույները կողմնացույցներն ու քանոնները գերադասեցին այլ գործիքներից:
Գիտնականները չեն կարող միանշանակ և բավական համոզիչ պատասխանել այս հարցին։ Արդյո՞ք դա այն պատճառով է, որ կողմնացույցներն ու քանոնները ամենապարզ գործիքներն են: Կարող է այդպես լինել: Այնուամենայնիվ, կարելի է նշել բազմաթիվ այլ գործիքներ, որոնք պարզ են, ինչպես կողմնացույցը և քանոնը, կամ գրեթե նույնքան պարզ: Դրանցից մի քանիսի օգնությամբ լուծվում են նաեւ ձեւակերպված խնդիրներ։
Համապատասխան գրականության մեջ կարելի է գտնել փորձեր՝ բացատրելու հույների այս արտասովոր համակրանքը հատուկ կողմնացույցների և տիրակալների նկատմամբ։ Ցանկացած երկրաչափական պատկեր բաղկացած է երկու տեսակի գծերից՝ ուղիղ կամ կոր։ Իսկ ցանկացած կորը բաղկացած է տարբեր տրամագծերի շրջանակների մասերից։ Ընդ որում, ուղիղ գիծը և շրջանագիծը հարթության վրա մշտական կորության միակ գծերն են։
Ուղիղ անկյունը բաժանելով երեք հավասար մասերի.
Որոշ հատուկ դեպքերում հեշտ է բաժանել անկյունը: Այսպիսով, Պյութագորացիները կարողացան ուղիղ անկյունը բաժանել երեք հավասար մասերի, հիմնվելով այն փաստի վրա, որ հավասարակողմ եռանկյունում յուրաքանչյուր անկյուն հավասար է 60º-ի:
Թող անհրաժեշտ լինի ուղիղ գիծ բաժանել (ՄԱՐԴ.
Մենք AN ճառագայթի վրա դնում ենք կամայական AC հատված, որի վրա կառուցում ենք ACB հավասարակողմ եռանկյուն: Քանի որ (CAB-ը հավասար է 60º-ի, ապա (BAM-ը հավասար է 30º-ի: Եկեք կառուցենք CAB անկյան կիսադիրը AD, մենք ստանում ենք ուղիղ գծի ցանկալի բաժանումը (MAN երեք հավասար անկյունների. (NAD, (DAB, (BAM) .
Անկյունի եռահատման խնդիրը պարզվում է, որ լուծելի է անկյան որոշ այլ որոշակի արժեքների համար (օրինակ, 90° / 2n անկյունների համար, որտեղ n-ը բնական թիվ է): Այն, որ ոչ մի անկյուն չի կարելի բաժանել երեք հավասար մասերի՝ օգտագործելով միայն կողմնացույց և քանոն, ապացուցվել է միայն 19-րդ դարի առաջին կեսին։
Լուծում «ներդիր» մեթոդով
Հույների կողմից դիտարկվող անկյունների եռահատման որոշ մեթոդներ օգտագործում էին այսպես կոչված ներդիրի մեթոդը։ Այն բաղկացած էր տրված O կետով անցնող ուղիղի դիրքը գտնելուց, որի վրա տրված երկու ուղիղները (կամ ուղիղը և շրջանագիծը) կտրում էին a տրված երկարության հատվածը։ Այս շինարարությունը կարելի է կատարել՝ օգտագործելով կողմնացույց և քանոն երկու բաժանումներով, որոնց միջև հեռավորությունը հավասար է a.
Օգտագործելով «ներդիրներ»՝ շատ հեշտ է անկյունը բաժանել երեք հավասար մասերի։ Վերցնենք B գագաթով անկյան կողմի կամայական A կետը և նրանից մյուս կողմ գցենք ուղղահայաց AC:
Եկեք մի ճառագայթ գծենք A կետի միջով, որը ուղղորդված է BC ճառագայթի հետ: Այժմ AC և l ճառագայթների միջև տեղադրենք 2AB երկարությամբ DE հատված, որպեսզի դրա շարունակությունն անցնի B կետով: Այնուհետև (EBC = (ABC/3. Իսկապես, թող G լինի DE հատվածի միջնակետը: A կետը գտնվում է a-ի վրա: DE տրամագծով շրջան, հետևաբար AG = GE = DE/2 = AB: BAG և AGE եռանկյունները հավասարաչափ են, հետևաբար (ABG = (AGB = 2 (AEG = 2 (EBC.
Պապուս Ալեքսանդրացին ցույց տվեց, որ տրված l1 և l2 ուղղահայաց գծերի միջև հատված «տեղադրելու» խնդիրը հանգում է շրջանագծի և հիպերբոլայի հատման կետի կառուցմանը: Դիտարկենք ABCD ուղղանկյուն, որի BC և CD կողմերի երկարացումները տրված են ուղիղներ, իսկ A գագաթը տրված կետ է, որի միջով մենք պետք է E և F կետերում l1 և l2 գծերը հատող ուղիղ գծենք, որպեսզի EF հատվածը ունենա տրված երկարությունը.
Լրացնենք DEF եռանկյունը դեպի DEFG զուգահեռագիծը: Ցանկալի գիծը կառուցելու համար բավական է կառուցել G կետը, այնուհետև A կետով գծել ուղիղ DG-ին զուգահեռ գիծ: G կետը D կետից հեռացվում է DG = EF տրված հեռավորությամբ, ուստի G կետը գտնվում է շրջանագծի վրա, որը կարելի է կառուցել:
Մյուս կողմից, ABF և EDA եռանկյունների նմանությունից ստանում ենք AB՝ ED = BF: AD, այսինքն՝ ED*BF=AB*AD: Հետևաբար, FG*BF=AB*AD = SABCD, այսինքն՝ G կետը գտնվում է հիպերբոլայի վրա (եթե դուք Ox և Oy առանցքներն ուղղում եք BF և BA ճառագայթների երկայնքով, ապա այս հիպերբոլան տրվում է xy = SABCD հավասարմամբ):
Լուծում քառակուսի օգտագործմամբ
«Քերականական» խնդիրները ներառում են անկյունը ցանկացած հարաբերակցությամբ բաժանելու խնդիրը: Նման խնդրի լուծման առաջին կորը հորինել է Հիպիաս Էլիսացին։ Հետագայում (սկսած Դինոստրատուսից) այս կորը օգտագործվել է նաև շրջանագծի քառակուսի լուծման համար։ Լայբնիցն այս կորը անվանել է քառակուսի:
Այն ստացվում է հետևյալ կերպ. Թող B′C հատվածի ծայրերը հավասարաչափ շարժվեն ABCD քառակուսու կողքերով՝ համապատասխանաբար BA և CD, իսկ AN հատվածը հավասարաչափ պտտվի A կետի շուրջ: B′C հատվածը սկզբնական պահին համընկնում է BC հատվածը, իսկ AN հատվածը համընկնում է AB հատվածի հետ; երկու հատվածները միաժամանակ հասնում են իրենց վերջնական դիրքին AD: Կվադրատրիքսը կոր է, որը նկարագրվում է B′C′ և AN հատվածների հատման կետով:
Ֆ սուր անկյունը որոշ առումով բաժանելու համար անհրաժեշտ է վերը նշված գծագրում գծել DAL = φ անկյունը, որտեղ L-ն ընկած է քառակուսի վրա: Եկեք ուղղահայաց LH-ը գցենք AD հատվածի վրա: Եկեք այս ուղղահայացը բաժանենք պահանջվող հարաբերակցության մեջ P կետի վրա: Գծե՛ք AD-ին զուգահեռ հատված P-ով, մինչև այն հատվի Q կետի քառակուսի հետ; AQ ճառագայթը բաժանում է LAD անկյունը պահանջվող հարաբերակցությամբ, քանի որ, ըստ քառակուսի սահմանման, (LAQ: (QAD = (LP: (LH.
Գործնական աշխատանք անկյունային եռասեկտորների կառուցման վերաբերյալ
«ներդիր» մեթոդով
Օգտագործելով քառակուսի
Լուծում՝ օգտագործելով Մորլիի թեորեմը
Քանի որ ցանկացած անկյուն չի կարող բաժանվել երեք հավասար մասերի, մենք կարող ենք անկյան եռահատման խնդիրը լուծել հակառակ հերթականությամբ՝ օգտագործելով Մորլիի թեորեմը։
Թեորեմ. Թող BC կողմին ամենամոտ B և C անկյունների եռասեկտորները հատվեն A1 կետում; B1 և C1 կետերը որոշվում են նույն կերպ: Այնուհետև A1B1C1 եռանկյունը հավասարակողմ է, իսկ C1C հատվածը ուղղահայաց է կանոնավոր եռանկյան հիմքին:
Լուծենք հետևյալ խնդիրը՝ բոլոր անկյուններից գծված եռանկյունի կառուցենք։
Շինարարական պլան.
1) Կառուցենք երկու կամայական անկյուն (BAC1 և (ABC1), որոնց մի կողմը ընդհանուր է:
Կառուցված անկյունները պետք է բավարարեն անհավասարությունը.
2) Համաչափության առանցքը թող լինի AC1 ճառագայթը: Եկեք արտացոլենք (BAC1 հարաբերական AC1 առանցքի: Նմանապես, մենք այն կարտացոլենք BC1 առանցքի նկատմամբ (ABC1.
3) Համաչափության առանցքը թող լինի AC2 ճառագայթը: Եկեք արտացոլենք (C1AC2 հարաբերական AC2 առանցքի: Նմանապես, մենք արտացոլում ենք BC2 առանցքի նկատմամբ (C1ВC2.
4) C1 և C2 եռասեկտորների հատման կետերը միացնել C1C2 հատվածին.
5) Մորլիի թեորեմն ասում է, որ երբ եռանկյան եռանկյունիները հատվում են, ստացվում է կանոնավոր եռանկյուն, իսկ C1C2 հատվածը ուղղահայաց է կանոնավոր եռանկյան հիմքին և անցնում է այս եռանկյան գագաթով։ Կանոնավոր եռանկյունի կառուցելու համար, իմանալով դրա բարձրությունը, անհրաժեշտ է. ա) C1 կետից բխող ճառագայթներ կառուցել C1C2 հատվածի նկատմամբ 30º անկյան տակ. բ) B1 և A1 տառերով նշել կառուցված ճառագայթների եռասեկտորների հատման կետերը. գ) միացնել A1, B1, C1 կետերը: Ստանում ենք A1B1C1 հավասարակողմ եռանկյուն:
6) C կետից գծենք B1 և A1 կանոնավոր եռանկյան գագաթներով անցնող ճառագայթներ:
Նկարում թողնենք եռանկյան եռասեկտորների հատվածները։
Մենք կառուցել ենք ABC եռանկյուն, որի բոլոր անկյուններից գծված են եռասեկտորները:
Անկյունի եռահատման անլուծելիությունը կողմնացույցի և քանոնի միջոցով
Կողմնացույցի և քանոնի միջոցով ցանկացած անկյուն երեք հավասար մասերի բաժանելու անհնարինությունն ապացուցելու համար բավական է ապացուցել, որ այս կերպ հնարավոր չէ որոշակի կոնկրետ անկյուն բաժանել։ Մենք կապացուցենք, որ կողմնացույցի և քանոնի միջոցով հնարավոր չէ 30° անկյունը եռահատել։ Ներկայացնենք Oxy կոորդինատային համակարգը՝ որպես կոորդինատների սկզբնակետ ընտրելով այս անկյան AOB գագաթը և ուղղելով Ox առանցքը OA կողմի երկայնքով: Կարելի է ենթադրել, որ A և B կետերը O կետից հեռացված են 1 հեռավորությամբ: Այնուհետև անկյան եռահատման խնդիրում պահանջվում է կոորդինատներով կետից կառուցել կետ (cosφ, sinφ) (cos 3φ, մեղք 3φ). Այն դեպքում, երբ φ=10°, ելակետն ունի կոորդինատներ։ Նրա երկու կոորդինատներն էլ արտահայտված են քառակուսի ռադիկալներով։ Ուստի բավական է ապացուցել, որ sin 10° թիվը արտահայտված չէ քառակուսի ռադիկալներով։
Քանի որ sin3φ = sin(φ + 2φ) =
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
Sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =
cos2α = cos2α - sin2α
sin2α = 2sinα cosα
Sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =
sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α
Sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =
Sinφ(1 - 2sin2φ) + 2sinφ(1 - sin2φ) =
Sinφ(1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =
Sinφ(3 - 4sin2φ) =
3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ, ապա x = sin 10° թիվը բավարարում է խորանարդ հավասարումը.
3x - 4x3 = ½ (φ =10°, 3φ =30°, sin3φ = ½)
8x3 - 6x + 1 = 0
(2x)3 -3*2x + 1 = 0
Բավական է ապացուցել, որ այս հավասարումը ռացիոնալ արմատներ չունի։ Ենթադրենք, որ 2x=p/q, որտեղ p-ն և q-ն ամբողջ թվեր են, որոնք չունեն ընդհանուր գործակիցներ: Այնուհետև p3 – 3pq2 + q3 = 0, այսինքն q3=p(3q2-p2): Հետևաբար, q թիվը բաժանվում է p-ի, ինչը նշանակում է p=±1։ Հետևաբար ±13q2 + q3 =0, այսինքն q2(q±3)= ±1: 1 թիվը բաժանվում է q-ի, ուստի q=±1: Արդյունքում մենք ստանում ենք, որ x = ±1/2: Հեշտ է ստուգել, որ ±1/2 արժեքները հավասարման արմատները չեն: Հակասություն է ստացվել, հետևաբար հավասարումը չունի ռացիոնալ արմատներ, ինչը նշանակում է, որ sin10° թիվը չի կարող արտահայտվել քառակուսի ռադիկալներով։
Դիմում
Անկյունների եռահատումն անհրաժեշտ է կանոնավոր բազմանկյուններ կառուցելիս: Մենք կդիտարկենք կառուցման գործընթացը՝ օգտագործելով շրջանագծի մեջ ներգծված կանոնավոր ոչանկյունի օրինակը:
ABC ուղղանկյուն եռանկյունու կառուցում: Մենք կառուցում ենք BC1 և BC2 եռասեկտորները: Ստացված անկյունները 30º էին: Ստացված անկյուններից մեկը բաժանում ենք երկու 15º բիսեկտորի։ Ճիշտ անկյան վրա մենք «ավելացնում ենք» 15º յուրաքանչյուր կողմում: Կրկին մենք կառուցում ենք ստացված DBE անկյան եռասեկտորները: Սա կրկնում ենք ևս երկու անգամ՝ B կետում եռանկյունը պտտելով այնպես, որ DB-ն համընկնի նախորդ BE դիրքի հետ։ Միացրեք ստացված կետերը:
Մեզ հաջողվեց կառուցել կանոնավոր իննանկյուն՝ օգտագործելով եռասեկտորների կառուցումը:
Տրիսեկտոր
Անկյունի եռահատման խնդիրը ընդհանուր դեպքում չի կարող լուծվել կողմնացույցի և քանոնի միջոցով, բայց դա չի նշանակում, որ այս խնդիրը չի կարող լուծվել այլ օժանդակ միջոցներով։
Այս նպատակին հասնելու համար ստեղծվել են բազմաթիվ մեխանիկական սարքեր, որոնք կոչվում են եռասեկտորներ։ Ամենապարզ եռասեկտորը կարելի է հեշտությամբ պատրաստել հաստ թղթից, ստվարաթղթից կամ բարակ թիթեղից: Այն կծառայի որպես նկարչական օժանդակ գործիք։
Տրիսեկտորը և դրա կիրառման սխեման.
Կիսաշրջանին կից AB շերտը երկարությամբ հավասար է կիսաշրջանի շառավղին։ BD շերտի եզրը ուղիղ անկյուն է կազմում AC ուղիղ գծի հետ; այն դիպչում է B կետի կիսաշրջանին; Այս շերտի երկարությունը կամայական է: Նույն պատկերը ցույց է տալիս եռասեկտորի օգտագործումը: Թող, օրինակ, ուզում եք KSM անկյունը բաժանել երեք հավասար մասերի
Եռասեկտորը դրված է այնպես, որ S անկյան գագաթը գտնվում է BD գծի վրա, անկյան մի կողմն անցնում է A կետով, իսկ մյուս կողմը դիպչում է կիսաշրջանին։ Այնուհետև գծվում են SB և SO ուղիղ գծեր, և ավարտվում է այս անկյան բաժանումը երեք հավասար մասերի։ Սա ապացուցելու համար եկեք միացնենք O կիսաշրջանի ուղիղ կենտրոնը N շոշափող կետի հետ՝ օգտագործելով հատվածը: Հեշտ է ստուգել, որ ASB եռանկյունը հավասար է SBO եռանկյունին, իսկ SBO եռանկյունը հավասար է OSN եռանկյունին: Այս երեք եռանկյունների հավասարությունից հետևում է, որ ASB, BS0 և 0SN անկյունները հավասար են միմյանց, ինչն էլ պետք է ապացուցել։
Անկյունի եռահատման այս մեթոդը զուտ երկրաչափական չէ. այն ավելի շուտ կարելի է անվանել մեխանիկական։
Տրիսեկտոր ժամացույց
(օգտագործման հրահանգներ)
Սարքավորումներ՝ կողմնացույց, քանոն, սլաքներով ժամացույց, մատիտ, թափանցիկ թուղթ։
Առաջընթաց:
Տեղափոխեք այս անկյան պատկերը թափանցիկ թղթի վրա և այն պահին, երբ ժամացույցի երկու սլաքները հավասարեցված են, գծագիրը տեղադրեք ժամացույցի վրա այնպես, որ անկյան վերին մասը համընկնի սլաքների պտտման կենտրոնի հետ, և անկյան մի կողմն անցնի երկայնքով: ձեռքերը։
Այն պահին, երբ ժամացույցի րոպեի սլաքը համընկնում է այս անկյան երկրորդ կողմի ուղղության հետ, անկյան վերևից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ գծեք ճառագայթ: Ձևավորվում է անկյուն, որը հավասար է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտվող անկյունին: Այժմ, օգտագործելով կողմնացույց և քանոն, կրկնապատկեք այս անկյունը և կրկին կրկնապատկեք կրկնապատկված անկյունը: Այս կերպ ստացված անկյունը կլինի սրանից ⅓:
Իրոք, ամեն անգամ, երբ րոպեի սլաքը նկարագրում է որոշակի անկյուն, ժամի սլաքը այս ընթացքում շարժվում է դեպի 12 անգամ փոքր անկյուն, և այդ անկյունը 4 անգամ մեծացնելուց հետո ստացվում է անկյունը (a/12) * 4 = ⅓ a: .
Եզրակացություն
Այնպես որ, մաթեմատիկայի պատմության մեջ առանձնահատուկ դեր են խաղացել անլուծելի շինարարական խնդիրները։ Ի վերջո, ապացուցվեց, որ այս խնդիրները հնարավոր չէ լուծել միայն կողմնացույցի և քանոնի միջոցով։ Բայց առաջադրանքի՝ «ապացուցել անլուծելիությունը» ձևակերպումը համարձակ առաջընթաց էր։
Միաժամանակ առաջարկվել են բազմաթիվ լուծումներ՝ օգտագործելով ոչ ավանդական գործիքներ։ Այս ամենը հանգեցրեց երկրաչափության և հանրահաշվի բոլորովին նոր գաղափարների առաջացմանն ու զարգացմանը։
Ավարտելով և վերլուծելով իմ հետազոտական աշխատանքը՝ ես արեցի հետևյալ եզրակացությունները.
✓ Նման խնդիրների առաջացումը որոշվել է դրանց գործնական նշանակությամբ (մասնավորապես՝ կանոնավոր բազմանկյունների կառուցմամբ);
✓ նման խնդիրներն առաջացնում են նոր մեթոդների և տեսությունների մշակում («ներդիր» մեթոդ, քառակուսի տեսք, Մորլիի թեորեմ).
✓ անլուծելի խնդիրները ավելի մեծ ուշադրություն են գրավում գիտության վրա. լուծում գտնելը կամ անհնարինությունն ապացուցելը մեծ պատիվ է:
Եվ ես նաև սովորեցի.
✓ մաթեմատիկոսների մասին, ովքեր ուսումնասիրել են այս խնդիրը.
✓ նոր հասկացություններ, տերմիններ (տրիսեկցիա, եռասեկտոր, քառակուսի) և թեորեմներ (Մորլի) և սովորել.
✓ արդյունավետորեն գտնել և ընտրել անհրաժեշտ նյութը.
✓ համակարգել ձեռք բերված գիտելիքները.
✓ ճիշտ ձևակերպել հետազոտական աշխատանքը:
Անկյունների կառուցումն ու բաժանումն իրականացվում է անկյունաչափի միջոցով, սակայն շատ անկյուններ կարելի է կառուցել և նույնիսկ բաժանել՝ օգտագործելով քառակուսիներ և կողմնացույցներ: Օգտագործելով քանոն և քառակուսիներ 30°, 60°, 90° և 45°, 45°, 90° անկյուններով, կարող եք կառուցել ցանկացած անկյուն, որը 15°-ի բազմապատիկ է:
Խաչաձողի մասին թեմայում դրանցից մեկը ցույց է տալիս, թե քառակուսիների ինչ համակցություններ են օգտագործվում տարբեր անկյուններ կառուցելիս: Զգուշորեն հաշվի առեք քառակուսիների դիրքը տարբեր անկյուններ կառուցելիս և օգտագործեք այս գիտելիքները գծանկարներ կատարելիս: Ուսումնական պրակտիկայում, գծանկարներ կատարելիս, անկյունաչափի օգտագործումը հասցվում է նվազագույնի։
Սուր անկյունը երկու հավասար մասերի բաժանելը
Սուր անկյունը հավասար մասերի բաժանելը կատարվում է կողմնացույցի և քանոնի միջոցով: Դիտարկենք անկյան կիսանդրի գտնելը A կետում BAC անկյունը գագաթի հետ բաժանելու օրինակով: A կետի միջով կամայական R շառավղով մենք աղեղ ենք կառուցում այնքան ժամանակ, մինչև անկյան կողմերը հատվեն 1 և 2 կետերում: Նույն շառավղով 1-ին կետով մենք կառուցում ենք մեկ այլ աղեղ, նույն բանն իրականացվում է 2-րդ կետով:
Երկու աղեղները, իրար հատելով, տալիս են K կետը, որը մենք միացնում ենք A կետին: AK ուղիղը BAC անկյունը բաժանում է երկու հավասար մասերի և հանդիսանում է նրա կիսորդը:
Հեռացված գագաթով անկյունը բաժանել երկու հավասար մասերի
Ենթադրենք գիտենք նման անկյան կողմերի AB և CD մասերը։ Մենք կառուցում ենք երկու զուգահեռ գծեր, որոնք հեռացվում են անկյան կողմերից L հեռավորությանը հավասար հեռավորությամբ: Հեռավորությունը պետք է ընտրվի այնպես, որ ընտրված գծերը հատվեն թղթի թերթիկի վրա, օրինակ M կետում: Հաջորդը, բոլոր կոնստրուկցիաները. կատարվել են, որոնք կատարվել են սուր անկյունը երկու հավասար մասերի բաժանելիս։
Ստացված ուղիղ MN-ը տրված անկյունը բաժանում է երկու հավասար մասերի և հանդիսանում է նրա կիսորդը։
Ուղիղ անկյունը բաժանելով երեք հավասար մասերի
Ուղղանկյուն անկյունը (օրինակ՝ BCD անկյունը) երեք հավասար մասերի բաժանելու համար անկյան գագաթից (կետ C) գծեք R կամայական շառավղով աղեղ, մինչև այն հատվի անկյան կողմերի հետ 1 և 2 կետերում: 1-ին և 2-րդ կետերը, քանի որ կենտրոններից, R շառավղով, M և N կետերում գծեք 1-2-րդ աղեղը հատող աղեղներ, մենք ստանում ենք անկյուններ 1CM = MCN = NC2 = 30°:
Անկյունը երեք հավասար մասերի բաժանելը կողմնացույցի և քանոնի միջոցով (անկյան եռաչափ):
Անոտացիա:
Առաջարկվում է կողմնացույցի և քանոնի միջոցով անկյունը հավասար մասերի բաժանելու խնդիրների լուծման ընդհանուր մոտեցում: Որպես օրինակ՝ ցույց է տրված անկյան բաժանումը երեք հավասար մասերի (անկյան եռաչափ)։
Հիմնաբառեր:
անկյուն; անկյունի բաժանում; անկյան եռահատում.
Ներածություն.
Անկյունի եռահատումը տրված անկյունը երեք հավասար մասերի բաժանելու խնդիրն է՝ կառուցելով կողմնացույց և քանոն։ Այլ կերպ ասած, անհրաժեշտ է կառուցել անկյունային եռասեկտորներ՝ անկյունը երեք հավասար մասերի բաժանող ճառագայթներ։ Շրջանակը քառակուսելու և խորանարդը կրկնապատկելու խնդիրներին զուգընթաց այն դասական անլուծելի շինարարական խնդիրներից է, որը հայտնի է դեռևս Հին Հունաստանի ժամանակներից։
Նպատակը Այս հոդվածը վկայում է անլուծելիության մասին վերոնշյալ հայտարարության մոլորության մասին՝ գոնե անկյան եռահատման խնդրի առնչությամբ։
Առաջարկվող լուծումը չի պահանջում բարդ կառուցվածքներ,գրեթե ունիվերսալ և թույլ է տալիս անկյունները բաժանել ցանկացած թվով հավասար մասերի , որն իր հերթին թույլ է տալիս կառուցել ցանկացած կանոնավոր բազմանկյուն:
Ներածական մաս.
Եկեք ուղիղ գիծ գծենքա և դրա վրա կառուցիր ∆CDE: Եկեք այն անվանենք «հիմնական» (նկ. 1):
Ընտրեք առցանցա կամայական F կետ և գծեք ևս մեկ ուղիղ գիծբ Եռանկյան F կետի և D գագաթի միջով: Առցանցբ Վերցնենք երկու կամայական G և H կետեր և դրանք միացնենք C և E կետերի հետ, ինչպես ցույց է տրված նկար 1-ում։ Նկարի վերլուծությունը թույլ է տալիս մեզ գրել անկյունների միջև հետևյալ ակնհայտ հարաբերությունները.
1. α 1 -α 3 =y 1 ; α 3 -α 5 =y 3 ; α 1 -α 5 =y 1 +y 3 ;
2. α 2 -α 4 =y 2 ; α 4 -α 6 =y 4 ; α 2 -α 6 =y 2 +y 4 ;
3. թ 1 /տ 2 =y 3 /տ 4 ;
Բացատրություն 1. 3-րդ կետ. Թողեք - ∟C,∟D,∟E անկյունները լինեն բազային եռանկյան ΔCDE համապատասխան գագաթների անկյունները: Այնուհետև կարող ենք գրել.
∟C+∟D+∟E=180 0 – անկյունների գումար ΔCDE;
∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+y 1 =180 0 – ΔCGE անկյունների գումարը;
Թող y 1 /տ 2 =n կամ y 1 =n*y 2 , Հետո,
∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+n*y 2 =180 0
Անկյունների գումարը ∆CHE:
∟C+(y 2 +y 4 )+∟D-(y 2 +y 4 +y 1 +y 3 )+∟E+n*(y 2 +y 4 )=180 0 , որտեղ
y 1 +y 3 =n*(y 2 +y 4 ) կամ y 1 +y 3 =n*y 2 +n*y 4 , և քանի որ y 1 =n*y 2 , Դա
y 3 =n*y 4 եւ, հետեւաբար y 1 /տ 2 =y 3 /տ 4 =n.
Հաջորդը, վերցրեք երկու կամայական կետ գծի վրաա
– N և M և նրանց միջով երկու գիծ քաշեքգ
Եվդ
ինչպես ցույց է տրված Նկ.2-ում: Ակնհայտ է, ներառյալ ավելի վաղ ասվածից, որ c և d ուղիղների վրա համապատասխան անկյունների փոփոխությունների հարաբերակցությունը հաստատուն արժեք է, այսինքն. 1
-β
3
)/(β
3
-β
5
)= (β
2
-β
4
)/(β
4
-β
6
)=յ 1
/տ 3
= y 2
/տ 4
;
Անկյունը երեք հավասար մասերի բաժանելը.
A կետում կենտրոն ունեցող շրջանագծի վրա, գծեք E անկյունը 1 Ա.Է. 2 =β (տես նկ. 3.1): Շրջանակի հակառակ կողմում սիմետրիկ տեղադրեք երեք անկյուն՝ CAC 1 , Ք 1 A.C. 2 , Ք 2 A.C. 3 յուրաքանչյուրը հավասար է β-ի: Բաժանման անկյուն E 1 Ա.Է. 2 , կետերում Կ 1 , Կ 3 , երեք հավասար անկյուններում - ∟E 1 Ա.Կ. 1 , ∟Կ 1 Ա.Կ. 3 , ∟Կ 3 Ա.Է. 2 հավասար է β/3-ի: Եկեք ուղիղ գծեր գծենք շրջանագծի կետերի միջով, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 3.1. C, E կետերը միացրեք ուղիղ գծերով 1 և Ք 2 ,Է. (տես նկ. 3.2)
K կետի միջով - ուղիղների հատում, իսկ K կետը 1 Եկեք ուղիղ գիծ գծենք. Եկեք այս ուղիղի վրա ընտրենք կամայական K կետ 2 և դրա միջով երկու ուղիղ գծեր քաշիր C և C կետերից 2 .
Դժվար չէ նկատել, որ Նկ. 3.2, եթե հանեք շրջանագծի գիծը, գրեթե նույնական է Նկ. 2. (Հստակության համար ավելացվել է CC գծիկ 2 ) Սա նշանակում է, որ վերը նշված բոլոր հարաբերությունները կիրառելի են այստեղ, այն է, որ անկյունների համար, որոնք պետք է բաժանվեն երեք հավասար մասերի, y կապը վավեր է։ 1 /տ 2 =y 3 /տ 4 =1/2 (տե՛ս ներածական մասի բացատրությունը 1): Նկար 3.2-ից պարզ է դառնում, թե ինչպես կարելի է անկյունը բաժանել երեք հավասար մասերի:
Դիտարկենք, որպես օրինակ, β=50 անկյունը բաժանել երեք հավասար մասերի 0 .
Տարբերակ 1.
A կենտրոնով շրջանագծի վրա մենք կողմնացույցներով սիմետրիկորեն գծում ենք միմյանց նկատմամբ և CB տրամագծով (տես նկ. 4.1) աղեղներ C: 1 Գ 2 =Բ 1 Բ 2 =Բ 2 Բ 3 =Բ 1 Բ 4 հավասար β=50 0 - շրջանագծի կենտրոնի համեմատ: Կիսաղեղ Գ 1 Գ 2 – ՍԴ 1 կիսել կիսով չափ (կետ D): Բ կետերով ուղիղ գծեր գծե՛ք 1 և՛ D, և՛ B կետ 3 և C. Միացնել B կետերը 1 և C, B 3 և Ք 1 . Նախկինում գծված գծերի հատման կետերը՝ F և E, միացնում ենք միմյանց հետ։ Ստացված անկյունը α=C 1 AG, որտեղ G-ը FE ուղղի շրջանագծի հետ հատման կետն է, հավասար է β/3-ի:
Տարբերակ 2.
A կենտրոնով շրջանագծի վրա մենք կողմնացույցներով սիմետրիկորեն գծում ենք միմյանց և CB տրամագծով (տես նկ. 4.2) աղեղներ C: 1 Գ 2 =Բ 1 Բ 2 =Բ 2 Բ 3 =Բ 1 Բ 4 =β=50 0 - շրջանագծի կենտրոնի համեմատ: Միացման կետերը Բ 1 և C, B 3 և Ք 1 . Մի կողմ դրեք y անկյունները 2 = 2 տ 1 (տես Նկար 4.2) B տողերից 1 C և B 3 Գ 1 և գծիր այս անկյուններին համապատասխան ուղիղ գծեր։ Նախկինում գծված գծերի հատման կետերը՝ F և E, միացնում ենք միմյանց հետ։ Ստացված անկյունը α=C 1 AG≈16.67 0 , որտեղ G-ը FE ուղղի շրջանագծի հետ հատման կետն է՝ հավասար β/3:
Անկյունը երեք հավասար մասերի բաժանելու ամբողջական կառուցում (β=50 անկյան օրինակով 0 ) ցույց է տրված Նկ.5-ում
Անկյունի բաժանումը հավասար անկյունների կենտ թվի (>3):
Որպես օրինակ դիտարկենք β=35 անկյունը բաժանելը 0 հինգ հավասար անկյուններում:
Մեթոդ թիվ 1.
A կենտրոնով շրջանագծի վրա մենք կողմնացույցով գծում ենք C անկյունները սիմետրիկորեն միմյանց և CB տրամագծով: 2 A.C. 1 =Բ 1 ԱԲ 2 =Բ 2 ԱԲ 3 =Բ 3 ԱԲ 4 =Բ 4 ԱԲ 5 =Բ 5 ԱԲ 6 =β=35 0 .(տես նկ.6)
Բաժանել անկյուն C 2 AC հավասար է կես անկյան C 2 A.C. 1 E կետում կիսով չափ: Միացրեք կետերը
E, C 2 ,Բ 1 ,Բ 2 ,Բ 3 միմյանց, ինչպես ցույց է տրված Նկար 6-ում: Այնուհետև, անկյունը բաժանելու համար մենք օգտագործում ենք տարբերակ 2-ը նախկինում տրված օրինակից, քանի որ 1-ին տարբերակն անկյունները ավելի քան 3 հավասար անկյունների կենտ թվի բաժանելու համար ակնհայտորեն կիրառելի չէ: Բ տողերից 3 Ե և Բ 1 Գ 2 Բ կետերում 3 և Բ 1 համապատասխանաբար մի կողմ ենք դնում y անկյունները 1 և y 2 1:4 հարաբերակցությամբ։ Բ կետերից 3 և Բ 1 գծե՛ք այս անկյուններին համապատասխան ուղիղ գծեր, մինչև դրանք հատվեն N կետում։ Անկյուն C 2 AK=α=7 0 կլինի այն, ինչ փնտրում եք:
Մեթոդ թիվ 2.
Այս մեթոդը (տե՛ս Նկար 7) նման է առաջինին, միայն այն տարբերությամբ, որ կառուցման համար օգտագործվում է C2AC1 անկյան ¼-ը` BC շրջանագծի կենտրոնական գծին հարող EAC անկյունը: Այս մեթոդի առավելությունն այն է, որ հեշտացնում է անկյունը բաժանել մեծ թվով անկյունների՝ 7, 9, 11 և այլն։
Կանոնավոր յոթանկյունի կառուցում։
Ենթադրենք, որ n-ը բաժանումների թիվն է (հատվածների թիվը, որոնց բաժանվում է անկյունը):
Հետո եթեn-1=2 կ (1), որտեղկ – ցանկացած ամբողջ թիվ, ապա անկյունը բաժանվում է մեկ փուլի, ինչպես ցույց է տրվել ավելի վաղ: Եթեn-1≠2 կ (2) – այնուհետև անկյունը բաժանվում է երկու փուլի՝ նախ՝ ըստn-1 , իսկ հետո շարունակեքn . Բոլոր դեպքերում նկատվում է հետևյալ հարաբերակցությունը.y 1 /տ 2 = 1 / n-1 (3).
Եկեք դա բացատրենք՝ օգտագործելով կանոնավոր յոթանկյուն կառուցելու օրինակը:
Յոթանկյուն կառուցելու համար անհրաժեշտ է գտնել 60 անկյան 1/7-րդ մասը. 0 , բազմապատկեք այն վեցով և ստացված անկյունը գծեք շրջանագծի շուրջ յոթ անգամ (սա հնարավոր տարբերակներից մեկն է)։ Քանի որ 7-1=6 ուրեմն, համաձայն (2) բանաձևի, անկյունը 60 է 0 Մենք այն կբաժանենք երկու փուլով. Առաջին փուլում մենք բաժանում ենք վեցի, իսկ հետո երկրորդ փուլում՝ յոթի։ Այդ նպատակով մենք անկյունը բաժանում ենք 30 0 10-ի երեք հավասար հատվածներում 0 (տե՛ս նկ. 8), օգտագործելով, որպես ամենապարզ տարբերակ, հոդվածի սկզբում նկարագրված տարբերակը: Ստացված անկյունը ECL=10 0 մի կողմ դրեք շրջանագծի կենտրոնական գծից (տես նկ. 9): Մենք ենթադրում ենք, որ ECL անկյունը պատկանում է 60 անկյունին, որը սիմետրիկորեն դրված է միջին գծի համեմատ 0 .
Հաջորդը գտնել 60 անկյան 1/7-րդ մասը 0 Մենք օգտագործում ենք նախկինում նկարագրված թիվ 2 մեթոդը: Այդ նպատակով մի կողմ կդնենք D անկյունը 1 CD 2 =60 0 սիմետրիկ է միջին գծին և D անկյունին 2 CD 3 =60 0 դրան կից. Դ կետերում 1 և Դ 3 կառուցենք y անկյունները 1 և y 2 դեպի տողեր Դ 1 Ե և Դ 3 L, համապատասխանաբար, դիտարկելով համամասնությունները (3) բանաձևի համաձայն, այսինքն ՝ 1-ից 6-ը:
Եկեք ուղիղ գծեր գծենք y անկյուններով 1 և y 2 . Միացնենք համապատասխան ուղիղների G և F հատման կետերը։ Անկյուն LCH=60 0 /7. Եկեք այս անկյունը մի կողմ դնենք վեց անգամ L կետից մինչև B կետը: Եկեք մի կողմ դնենք ստացված BCL անկյունը ևս վեց անգամ, և արդյունքում մենք կստանանք LBKFMNA յոթանկյունը:
Եզրակացություն.
Այս հոդվածում առաջարկված անկյունը հավասար մասերի բաժանելու մեթոդն ունի սահմանափակում. այն չի կարող ուղղակիորեն օգտագործվել 60 > անկյունների համար։ 0 , ինչը, սակայն, այնքան էլ էական չէ խնդրի հիմնարար լուծելիության տեսանկյունից։
Մատենագիտություն:
1. Մետելսկի Ն.Վ.Մաթեմատիկա. Միջնակարգ դպրոցի դասընթաց բուհերի և տեխնիկումների դիմորդների համար. Էդ. 3-րդ, կարծրատիպ. Մն., «Ամենաբարձր. Դպրոց», 1975, 688 էջ. illus-ից։
Որպես հավելված՝ մենք այժմ կարող ենք լուծել մեկ հայտնի մաթեմատիկական խնդրի լուծումը, որն արդեն շոշափվել է, այն է՝ ցանկացած անկյուն հավասար մասերի բաժանելու խնդիրը, մասնավորապես՝ անկյան եռահատման խնդրի համար։ Խնդիրն այն է, որ կողմնացույցի և քանոնի միջոցով գտնել ճշգրիտ կառուցվածք, որը ցանկացած անկյուն կբաժանի երեք հավասար մասերի: Մի շարք հատուկ անկյունային արժեքների համար կարելի է հեշտությամբ գտնել նման շինություններ: Ես ուզում եմ ձեզ ներկայացնել մտքի գնացքը նշված իմաստով անկյան եռահատման անհնարինության ապացույցի մեջ. Միաժամանակ խնդրում եմ հիշել կողմնացույցի և քանոնի միջոցով կանոնավոր յոթանկյուն կառուցելու անհնարինության ապացույցը։ Ինչպես և այդ ապացույցում, մենք խնդիրը կնվազեցնենք անկրճատելի խորանարդ հավասարման և հետո ցույց կտանք, որ այն չի կարող լուծվել միայն քառակուսի արմատներով: Բայց միայն հիմա հավասարումը կներառի պարամետր՝ անկյունը, մինչդեռ նախկինում գործակիցները ամբողջ թվեր էին. Համապատասխանաբար, այժմ թվային անկրճատելիության փոխարեն պետք է լինի ֆունկցիոնալ անկրճատելիություն։
Մեր խնդրի մասին արձանագրող հավասարում ստանալու համար պատկերացրեք, որ իրական թվերի դրական կիսաառանցքի վրա անկյուն է կառուցված (նկ. 41); ապա նրա երկրորդ կողմը կետում կհատի 1 շառավղով շրջան
Մեր խնդիրը հանգում է նրան, որ գտնենք անկյան չափից անկախ կառուցվածք, որը բաղկացած է կողմնացույցով և քանոնով սահմանափակ թվով գործողություններից, որոնք ամեն անգամ կտան այս շրջանագծի հատման կետը անկյան կողմի հետ, այսինքն. , մի կետ
Այս z արժեքը բավարարում է հավասարումը
և մեր երկրաչափական խնդրի վերլուծական համարժեքն է լուծել այս հավասարումը ռացիոնալ ֆունկցիաների վերջավոր թվով քառակուսի արմատներով, քանի որ դրանք w կետի կոորդինատներն են, որից մենք պետք է սկսենք մեր կառուցումը:
Առաջին հերթին մենք պետք է համոզվենք, որ (3) հավասարումը ֆունկցիայի տեսության տեսանկյունից անկրճատելի է։ Ճիշտ է, այս հավասարումը այնքան էլ չի համապատասխանում հավասարումների տիպին, որը մենք նկատի ունեինք նախորդ ընդհանուր քննարկումներում. w կոմպլեքս պարամետրի ռացիոնալ մուտքագրման փոխարեն այստեղ կա ռացիոնալ երկու ֆունկցիա՝ իրական պարամետրի կոսինուս և սինուս: Բազմանդամն այստեղ անվանել կրճատելի, պայմանով, որ այն քայքայվի բազմանդամների ի-ի նկատմամբ, որոնց գործակիցները նույնպես ռացիոնալ ֆունկցիաներ են: Մենք կարող ենք այս իմաստով հասկացված կրճատելիության չափանիշ տալ, որը բավականին նման է նախորդին: Մասնավորապես, եթե (3) հավասարության մեջ մեկը անցնում է բոլոր իրական արժեքներով, ապա միևնույն ժամանակ անցնում է w հարթության 1 շառավղով շրջանով, որը ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիայի շնորհիվ համապատասխանում է w ոլորտի հասարակածին։ Այս շրջանագծի վերևում գտնվող գիծը, որը գտնվում է Ռիմանի հավասարման մակերևույթի վրա և միաժամանակ անցնում է բոլոր երեք թերթերով, օգտագործելով (3), մեկ առ մեկ քարտեզագրված է ոլորտի 1 շառավղով շրջանագծի վրա և, հետևաբար, որոշ չափով կարելի է անվանել. նրա «միաչափ Ռիմանի պատկերը»։ Հասկանալի է, որ նման կերպ հնարավոր է կառուցել նման Ռիմանյան պատկեր ձևի ցանկացած հավասարման համար. Դա անելու համար հարկավոր է վերցնել 1 շառավղով և աղեղի երկարությամբ շրջանակների այնքան կրկնօրինակներ, որքան կան հավասարման արմատներ, և ամրացնենք դրանք ըստ արմատների միացման:
Հաջորդը, մենք եզրակացնում ենք, ինչպես նախորդը, որ հավասարումը կարող է կրճատվել միայն այն դեպքում, եթե նրա միաչափ Ռիմանյան պատկերը բաժանվի առանձին մասերի, բայց այս դեպքում դա այդպես չէ, և հետևաբար մեր հավասարման անկրճատելիությունը ( 3) ապացուցված է.
Նախորդ ապացույցը, որ ռացիոնալ թվային գործակիցներով յուրաքանչյուր խորանարդ հավասարում, որը լուծելի է մի շարք քառակուսի արմատներով, կրճատելի է, կարելի է բառացիորեն փոխանցել (3) հավասարման ներկա դեպքը, որն անկրճատելի է ֆունկցիոնալ իմաստով. այն ամենը, ինչ դուք պետք է անեք, «ռացիոնալ թվեր» բառերի փոխարեն ամեն անգամ, երբ ասում եք «Սրանից հետո ռացիոնալ գործառույթներ», մեր հայտարարությունը լիովին ապացուցված է, որ անհնար է կատարել վերջավոր թվով գործողությունների միջոցով (կողմնացույցով և քանոնով) կամայական անկյան երեք մասի բաժանվելով այս ձևով, անկյան եռահատումով զբաղվող մարդկանց բոլոր ջանքերը դատապարտված են հավերժական անիմաստության:
Այժմ եկեք անցնենք մի փոքր ավելի բարդ օրինակի քննարկմանը:
Անկյունը կիսով չափ բաժանելը (Նկար 26, ա): Վերևից IN անկյուն ABC կամայական շառավիղ Ռ 1 գծեք աղեղ, մինչև այն հատվի անկյան կողմերի հետ կետերում Մ Եվ Ն . Հետո կետերից Մ Եվ Ն նկարել շառավղով կամարներ > Ռ 1 մինչև դրանք հատվեն կետում Դ . Ուղիղ ԲԴ տրված անկյունը կբաժանի կիսով չափ։
Անկյունը 4, 8 և այլն հավասար մասերի բաժանելն իրականացվում է անկյան յուրաքանչյուր հատվածը հաջորդաբար կիսով չափ բաժանելով (Նկար 26, բ)։
Նկար 26
Այն դեպքում, երբ անկյունը նշված է գծագրի ներսում չհատվող կողմերի կողմից, օրինակ ԱԲ Եվ CD Նկար 26, գ-ում անկյունը կիսով չափ բաժանելը կատարվում է այսպես. Կամայական, բայց հավասար հեռավորության վրա լ Անկյունի կողմերից ուղիղ գծեր են գծվում ԿԼ || ԱԲ Եվ MN || CD և շարունակեք դրանք մինչև հատվեն կետում ՄԱՍԻՆ . Արդյունքում անկյուն Լ ՎՐԱ կիսել ուղիղ գիծ ՕՐ . Ուղիղ ՕՐ կկտրի նաև տրված անկյունը.
Ուղիղ անկյունը բաժանելով երեք հավասար մասերի (Նկար 27): Ուղիղ անկյան գագաթից՝ կետ IN նկարել կամայական շառավիղով աղեղ Ռ մինչև այն կետերով հատի անկյան երկու կողմերը Ա Եվ Գ . Նույն շառավիղը Ռ կետերից Ա Եվ ՀԵՏ նկարել կամարներ, մինչև դրանք հատվեն աղեղի հետ A.C. կետերում Մ Եվ Ն . Անկյունի գագաթով գծված գծեր IN և կետեր Մ Եվ Ն , ճիշտ անկյունը բաժանեք երեք հավասար մասերի։
Նկար 27
2.4 Շրջանակը հավասար մասերի բաժանել, կանոնավոր բազմանկյուններ կառուցել
2.4.1 Շրջանակը հավասար մասերի բաժանելը և կանոնավոր ներգծված բազմանկյունների կառուցումը
Շրջանակը կիսով չափ բաժանելու համար բավական է նկարել ցանկացած տրամագիծը. Երկու փոխադարձ ուղղահայաց տրամագծերը շրջանակը կբաժանեն չորս հավասար մասերի (Նկար 28, ա): Յուրաքանչյուր չորրորդ մասը բաժանելով կիսով չափ՝ ստանում եք ութերորդ մասեր, իսկ հետագա բաժանմամբ՝ տասնվեցերորդ, երեսուն երկրորդ մասեր և այլն (Նկար 28, բ)։ Եթե ուղիղ միացնեք բաժանման կետերը, ապա կարող եք ստանալ կանոնավոր գծագրված քառակուսու կողմերը (Ա 4 ), ութանկյուն ( Ա 8 ) և տ . դ. (Նկար 28, գ):
Նկար 28
Շրջանակը բաժանելով 3, 6, 12 և այլն հավասար մասերի, և համապատասխան կանոնավոր ներգծված բազմանկյունների կառուցում իրականացվում է հետևյալ կերպ. Շրջանակով գծված են երկու փոխադարձ ուղղահայաց տրամագծեր 1–2 Եվ 3–4 (Նկար 29 ա): Միավորներից 1 Եվ 2 ինչպես են կենտրոններից նկարագրվում շրջանագծի շառավղով աղեղները Ռ այն կետերով հատելուց առաջ A, B, C Եվ Դ . Միավորներ Ա ,Բ ,1, C, Դ Եվ 2 շրջանագիծը բաժանեք վեց հավասար մասերի: Այս նույն կետերը, վերցված մեկի միջով, շրջանակը կբաժանեն երեք հավասար մասերի (Նկար 29, բ): Շրջանակը 12 հավասար մասերի բաժանելու համար նշեք կետերից շրջանագծի շառավղով ևս երկու աղեղ 3 Եվ 4 (Նկար 29, գ):
Նկար 29
Դուք կարող եք նաև կառուցել կանոնավոր ներգծված եռանկյուններ, վեցանկյուններ և այլն՝ օգտագործելով քանոն և 30 և 60° քառակուսի: Նկար 30-ը ցույց է տալիս ներգծված եռանկյունու համանման կառուցվածք:
Նկար 30
Շրջանակը յոթ հավասար մասերի բաժանելը իսկ կանոնավոր ներգծված յոթանկյունի կառուցումը (Նկար 31) կատարվում է օգտագործելով ներգծված եռանկյան կողմի կեսը՝ մոտավորապես հավասար ներգծված յոթանկյան կողմին։
Նկար 31
Շրջանակը հինգ կամ տասը բաժանելու համար հավասար մասեր նկարեք երկու փոխադարձ ուղղահայաց տրամագծեր (Նկար 32, ա): Շառավիղ Օ.Ա. կիսել կիսով չափ և միավոր ստանալով IN , նկարագրիր նրանից շառավղով մի աղեղ Ռ = Ք.ա. մինչև այն հատվի կետում Դ հորիզոնական տրամագծով։ Կետերի միջև հեռավորությունը Գ Եվ Դ հավասար է կանոնավոր ներգծված հնգանկյունի կողային երկարությանը ( Ա 5 ), և հատվածը Օ.Դ. հավասար է կանոնավոր գծագրված տասնանկյան կողմի երկարությանը ( Ա 10 ) Շրջանակի բաժանումը հինգ և տասը հավասար մասերի, ինչպես նաև ներգծված կանոնավոր հնգանկյունների և տասնանկյունների կառուցումը ներկայացված են Նկար 32-ում, բ. Շրջանակը հինգ մասի բաժանելու օգտագործման օրինակ է հնգաթև աստղը (Նկար 32, գ):
Նկար 32
Նկար 33-ը ցույց է տալիս Շրջանակը հավասար մասերի մոտավոր բաժանելու ընդհանուր մեթոդ . Ենթադրենք, դուք ցանկանում եք շրջանագիծը բաժանել ինը հավասար մասերի: Շրջանակով գծված են երկու փոխադարձ ուղղահայաց տրամագիծ և ուղղահայաց տրամագիծ ԱԲ բաժանված է ինը հավասար մասերի, օգտագործելով օժանդակ ուղիղ գիծ (Նկար 33, ա): Կետից Բ նկարագրել շառավղով աղեղը Ռ =ԱԲ , իսկ հորիզոնական տրամագծի շարունակության հետ դրա հատման կետում ստացվում են կետեր ՀԵՏ Եվ Դ . Միավորներից Գ Եվ Դ զույգ կամ կենտ տրամագծով բաժանման կետերի միջոցով ԱԲ ճառագայթներ անցկացնել. Շրջանի հետ ճառագայթների հատման կետերը այն կբաժանեն ինը հավասար մասերի (Նկար 33, բ):
Նկար 33
Կառուցելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել, որ շրջանագիծը հավասար մասերի բաժանելու այս մեթոդը պահանջում է հատկապես բարձր ճշգրտություն բոլոր գործողությունները կատարելիս։
