Պատահական գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիք: Պատահական գործընթացի հայեցակարգը մաթեմատիկայի մեջ. Դիսպերսիայի որոշման գրաֆիկա-վերլուծական մեթոդ

Ռուսաստանի Դաշնության կրթության և գիտության նախարարություն

Չերեպովեցյան պետական ​​համալսարան

Ճարտարագիտության և տնտեսագիտության ինստիտուտ

Պատահական գործընթացի հայեցակարգը մաթեմատիկայի մեջ

Կատարում է ուսանող

Խումբ 5 GMU-21

Իվանովա Յուլիա

Չերեպովեց

Ներածություն

Հիմնական մասը

· Պատահական գործընթացի սահմանում և դրա բնութագրերը

· Մարկովյան պատահական գործընթացներ դիսկրետ վիճակներով

Ստացիոնար պատահական գործընթացներ

Ստացիոնար պատահական գործընթացների էրգոդիկ հատկությունը

գրականություն

Ներածություն

Պատահական գործընթացի հայեցակարգը ներդրվել է 20-րդ դարում և կապված է Ա.Ն. Կոլմոգորովը (1903-1987), Ա.Յա. Խինչին (1894-1959), Է.Է. Սլուցկի (1880-1948), Ն. Վիներ (1894-1965):

Այս հայեցակարգն այսօր կենտրոնականներից է ոչ միայն հավանականությունների տեսության, այլ նաև բնագիտության, ճարտարագիտության, տնտեսագիտության, արտադրության կազմակերպման և հաղորդակցության տեսության մեջ։ Պատահական գործընթացների տեսությունը պատկանում է ամենաարագ աճող մաթեմատիկական առարկաների կատեգորիային։ Կասկածից վեր է, որ այս հանգամանքը մեծապես պայմանավորված է պրակտիկայի հետ ունեցած խորը կապերով։ 20-րդ դարը չէր կարող բավարարվել անցյալից ստացված գաղափարական ժառանգությամբ։ Իսկապես, մինչ ֆիզիկոսը, կենսաբանը և ինժեները հետաքրքրված էին գործընթացով, այսինքն. Ուսումնասիրվող երևույթի ժամանակի փոփոխությունը, հավանականության տեսությունը դրանք առաջարկել է որպես մաթեմատիկական ապարատ միայն նշանակում է, որ ուսումնասիրում է անշարժ վիճակները:

Ժամանակի ընթացքում փոփոխություններն ուսումնասիրելու համար 19-րդ դարի վերջի - 20-րդ դարի սկզբի հավանականությունների տեսությունը չուներ մշակված հատուկ սխեմաներ, առավել ևս ընդհանուր տեխնիկա: Եվ դրանք ստեղծելու անհրաժեշտությունը բառացիորեն թակեց մաթեմատիկական գիտության պատուհաններն ու դռները։ Բրոունյան շարժման ուսումնասիրությունը ֆիզիկայում մաթեմատիկան հասցրեց պատահական գործընթացների տեսության ստեղծման շեմին։

Հարկ եմ համարում նշել ուսումնասիրությունների ևս երկու կարևոր խմբեր՝ սկսած տարբեր ժամանակներում և տարբեր պատճառներով։

Նախ, այս աշխատանքը Ա.Ա. Մարկովը (1856-1922) շղթայական կախվածությունների ուսումնասիրության մասին. Երկրորդ՝ Ե.Ե. Սլուցկին (1880-1948) պատահական ֆունկցիաների տեսության մասին։

Այս երկու ուղղություններն էլ շատ էական դեր են խաղացել պատահական գործընթացների ընդհանուր տեսության ձևավորման գործում։

Այդ նպատակով արդեն իսկ կուտակվել էր զգալի սկզբնական նյութ, և տեսություն կառուցելու անհրաժեշտությունը կարծես օդում կախված էր։

Մնում էր խորը վերլուծություն կատարել առկա աշխատանքների, դրանցում արտահայտված մտքերի ու արդյունքների վերաբերյալ և դրա հիման վրա իրականացնել անհրաժեշտ սինթեզ։

Պատահական գործընթացի սահմանումը և դրա բնութագրերը

Սահմանում: Պատահական գործընթացով X(t)-ը գործընթաց է, որի արժեքը, t փաստարկի ցանկացած արժեքի համար, պատահական փոփոխական է:

Այլ կերպ ասած, պատահական գործընթացն այն գործառույթն է, որը թեստավորման արդյունքում կարող է ընդունել նախապես անհայտ այս կամ այն ​​կոնկրետ ձևը։ Ֆիքսված t=t 0-ի համար X(t 0) սովորական պատահական փոփոխական է, այսինքն. Բաժինպատահական գործընթաց t 0 ժամանակում:

Պատահական գործընթացների օրինակներ.

1. շրջանի բնակչությունը ժամանակի ընթացքում.

2. ժամանակի ընթացքում ընկերության վերանորոգման ծառայության կողմից ստացված հարցումների քանակը:

Պատահական գործընթացը կարող է գրվել որպես X(t,ω) երկու փոփոխականների ֆունկցիա, որտեղ ω€Ω, t€T, X(t, ω) € ≡ և ω տարրական իրադարձություն է, Ω տարրական իրադարձությունների տարածությունն է: , T-ը t արգումենտի արժեքների բազմությունն է, ≡-ը պատահական պրոցեսի X(t, ω) հնարավոր արժեքների բազմությունն է։

Իրականացումպատահական պրոցես X(t, ω) ոչ պատահական x(t) ֆունկցիան է, որին վերածվում է պատահական պրոցեսը X(t) փորձարկման արդյունքում (ֆիքսված ω-ի համար), այսինքն. X(t) պատահական գործընթացով ընդունված հատուկ ձևը, դրա հետագիծ.

Այսպիսով, պատահական գործընթաց X(t, ω) համատեղում է պատահական փոփոխականի և ֆունկցիայի հատկանիշները:Եթե ​​ֆիքսենք t փաստարկի արժեքը, պատահական պրոցեսը վերածվում է սովորական պատահական փոփոխականի, եթե ֆիքսում ենք ω, ապա յուրաքանչյուր թեստի արդյունքում այն ​​վերածվում է սովորական ոչ պատահական ֆունկցիայի։ Հետագա քննարկման ժամանակ մենք բաց կթողնենք ω արգումենտը, բայց այն կենթադրվի լռելյայն:

Նկար 1-ը ցույց է տալիս պատահական գործընթացի մի քանի իրականացում: Թող այս գործընթացի խաչմերուկը տրված t-ի համար լինի շարունակական պատահական փոփոխական: Այնուհետև X(t) պատահական պրոցեսը տրված t-ի համար որոշվում է ամբողջությամբ φ(x‚ t) հավանականությամբ: Ակնհայտ է, որ φ(x, t) խտությունը X(t) պատահական գործընթացի սպառիչ նկարագրությունը չէ, քանի որ այն չի արտահայտում տարբեր ժամանակներում նրա հատվածների միջև կախվածությունը։

Պատահական պրոցեսը X(t)-ը բոլոր բաժինների հավաքածու է t-ի բոլոր հնարավոր արժեքների համար, հետևաբար, այն նկարագրելու համար անհրաժեշտ է դիտարկել բազմաչափ պատահական փոփոխական (X(t 1), X(t 2), . .., X(t n)), որը բաղկացած է այս գործընթացի բոլոր համակցություններից: Սկզբունքորեն, կան անսահման թվով նման համակցություններ, բայց պատահական գործընթաց նկարագրելու համար կարելի է հաղթահարել համեմատաբար փոքր թվով համակցություններ:

Ասում են՝ պատահական պրոցեսն ունի պատվերn, եթե այն ամբողջությամբ որոշվում է միացվող բաշխման խտությամբ φ(x 1, x 2, …, x n; t 1, t 2, …, t n) գործընթացի կամայական հատվածների n, այսինքն. n-չափ պատահական փոփոխականի խտությունը (X(t 1), X(t 2), ..., X(t n)), որտեղ X(t i) X(t) պատահական գործընթացի համակցությունն է t i ժամանակին: , i=1, 2, …, n.

Պատահական փոփոխականի նման, պատահական գործընթացը կարող է նկարագրվել թվային բնութագրերով: Եթե ​​պատահական փոփոխականի համար այս բնութագրերը հաստատուն թվեր են, ապա պատահական գործընթացի համար՝ ոչ պատահական գործառույթներ.

Մաթեմատիկական ակնկալիքպատահական պրոցես X(t) ոչ պատահական ֆունկցիա է a x (t), որը t փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար հավասար է X(t) պատահական գործընթացի համապատասխան հատվածի մաթեմատիկական ակնկալիքին, այսինքն. a x (t) = M .

Տարբերությունպատահական պրոցես X(t)-ը ոչ պատահական ֆունկցիա է D x (t), t փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար, որը հավասար է X(t) պատահական գործընթացի համապատասխան համակցության դիսպերսմանը, այսինքն. D x (t) = D.

Ստանդարտ շեղումՊատահական պրոցեսի σ x (t) X(t) նրա շեղման քառակուսի արմատի թվաբանական արժեքն է, այսինքն. σ x (t)= D x (t).

Պատահական գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիքը բնութագրում է միջինդրա բոլոր հնարավոր իրականացումների հետագիծը և դրա ցրվածությունը կամ ստանդարտ շեղումը. տարածվելիրականացումներ՝ համեմատած միջին հետագծի հետ:

Վերևում ներկայացված պատահական գործընթացի բնութագրիչները անբավարար են, քանի որ դրանք որոշվում են միայն միաչափ բաշխման օրենքով: Եթե ​​X 1 (t) պատահական գործընթացը բնութագրվում է իրականացման արժեքների դանդաղ փոփոխությամբ t-ի փոփոխությամբ, ապա պատահական X 2 (t) գործընթացի համար այս փոփոխությունը տեղի է ունենում շատ ավելի արագ: Այլ կերպ ասած, պատահական պրոցեսը X 1 (t) բնութագրվում է մոտ հավանականական կախվածությամբ իր երկու համակցությունների X 1 (t 1) և X 1 (t 2) միջև, մինչդեռ պատահական գործընթացի համար X 2 (t) այս կախվածությունը. X 2 (t 1) և X 2 (t 2) համակցությունները գործնականում բացակայում են: Համակցությունների միջև նշված կախվածությունը բնութագրվում է հարաբերակցության ֆունկցիայով:

Սահմանում: Հարաբերակցության ֆունկցիապատահական պրոցեսը X(t) կոչվում է ոչ պատահական ֆունկցիա

K x (t 1, t 2) = M[(X(t 1) – a x (t 1)) (X(t 2) – a x (t 2))] (1.)

երկու t 1 և t 2 փոփոխականներ, որոնք t 1 և t 2 փոփոխականների յուրաքանչյուր զույգի համար հավասար է պատահական գործընթացի X(t 1) և X(t 2) համապատասխան համակցությունների կովարիանսին։

Ակնհայտ է, որ X(t 1) պատահական գործընթացի համար հարաբերակցության ֆունկցիան K x 1 (t 1, t 2) նվազում է, քանի որ t 2 - t 1 տարբերությունը շատ ավելի դանդաղ է մեծանում, քան K x 2 (t 1, t 2) պատահական գործընթաց X (t 2):

K x (t 1, t 2) հարաբերակցության ֆունկցիան բնութագրում է ոչ միայն երկու համակցությունների միջև գծային հարաբերությունների սերտության աստիճանը, այլև այդ համակցությունների տարածվածությունը մաթեմատիկական a x (t) ակնկալիքի նկատմամբ: Հետևաբար, դիտարկվում է նաև պատահական գործընթացի նորմալացված հարաբերակցության ֆունկցիան:

Նորմալացված հարաբերակցության ֆունկցիապատահական պրոցեսը X(t) կոչվում է ֆունկցիա.

P x (t 1, t 2) = K x (t 1, t 2) / σ x (t 1) σ x (t 2) (2)

Օրինակ #1

Պատահական գործընթացը սահմանվում է X(t) = X cosωt բանաձևով, որտեղ X-ը պատահական փոփոխական է: Գտեք այս գործընթացի հիմնական բնութագրերը, եթե M(X) = a, D(X) = σ 2:

ԼՈՒԾՈՒՄ:

Մաթեմատիկական ակնկալիքի և դիսպերսիայի հատկությունների հիման վրա մենք ունենք.

a x (t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,

D x (t) = D(X cosωt) = cos 2 ωt * D(X) = σ 2 cos 2 ωt.

Մենք գտնում ենք հարաբերակցության ֆունկցիան՝ օգտագործելով բանաձևը (1.)

K x (t 1, t 2) = M[(X cosωt 1 – a cosωt 1) (X cos ωt 2 – a cosωt 2)] =

Cosωt 1 cosωt 2 * M[(X – a)(X - a)] = cosωt 1 cosωt 2 * D(X) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2:

Մենք գտնում ենք նորմալացված հարաբերակցության ֆունկցիան՝ օգտագործելով բանաձևը (2.):

P x (t 1, t 2) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 / (σ cosωt 1) (σ cosωt 2) ≡ 1.

Պատահական պրոցեսները կարելի է դասակարգել՝ կախված նրանից, թե համակարգի վիճակները, որոնցում դրանք տեղի են ունենում, սահուն կամ կտրուկ փոխվում են, արդյոք այդ վիճակների բազմությունը վերջավոր է (հաշվելի), թե անվերջ և այլն։ Պատահական գործընթացների մեջ առանձնահատուկ տեղ է զբաղեցնում Մարկովյան պատահական գործընթացը։

Թեորեմ. Պատահական X(t) պրոցեսը Հիլբերտն է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե կա R(t, t^) բոլորի համար (t, t^)€ T*T:

Հիլբերտի պատահական գործընթացների տեսությունը կոչվում է հարաբերակցության տեսություն։

Նշենք, որ T բազմությունը կարող է լինել դիսկրետ և շարունակական: Առաջին դեպքում X t պատահական պրոցեսը կոչվում է դիսկրետ ժամանակով պրոցես, երկրորդում՝ շարունակական ժամանակով։

Համապատասխանաբար, X t-ի համակցությունները կարող են լինել դիսկրետ և շարունակական պատահական փոփոխականներ:

Պատահական գործընթացը կոչվում է X(t) ընտրովիանկանոն, տարբերվող և ինտեգրելի ω€Ω կետում, եթե դրա իրականացումը x(t) = x(t, ω) համապատասխանաբար շարունակական է, տարբերակելի և ինտեգրելի:

Պատահական X(t) գործընթացը կոչվում է շարունակական. գրեթե, հավանաբարԵթե

P(A)=1, A = (ω € Ω : lim x(t n) = x(t))

IN միջին քառակուսի,Եթե

Lim M[(X(t n) – X(t)) 2 ] = 0

Ըստ հավանականության, Եթե

Aδ ≥ 0: lim P[| X(t n) – X(t)| > δ] = 0

Միջին քառակուսի կոնվերգենցիան նույնպես նշվում է.

X(t) = lim X(t n)

Ստացվում է, որ նմուշի շարունակականությունից հետևում է շարունակականությանը գրեթե անկասկած, շարունակականությունից գրեթե հաստատ, իսկ միջին քառակուսու մեջ հետևում է շարունակականությանը ըստ հավանականության:

Թեորեմ. Եթե ​​X(t)-ը Հիլբերտի պատահական պրոցես է, շարունակական միջին քառակուսու մեջ, ապա m x (t)-ը շարունակական ֆունկցիա է և կապը պահպանվում է.

Lim M = M = M.

Թեորեմ. Հիլբերտի պատահական պրոցեսը X(t) միջին քառակուսի շարունակական է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ նրա կովարիանսային ֆունկցիան R(t, t^) կետում (t, t) շարունակական է:

Հիլբերտի պատահական պրոցեսը X(t) կոչվում է միջին քառակուսի դիֆերենցիալ, եթե կա X(t) = dX(t)/dt պատահական ֆունկցիա.

X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+∆t) – X(t) / ∆t

(t € T, t +∆t € T),

դրանք. Երբ

Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t)) 2 ] = 0

Պատահական ֆունկցիան կանվանենք X(t) միջին քառակուսի ածանցյալպատահական պրոցես X(t) t կետում կամ T-ում, համապատասխանաբար:

Թեորեմ. Հիլբերտի պատահական պրոցեսը X(t) տարբերվում է t կետի միջին քառակուսու վրա, եթե և միայն եթե կա

δ 2 R(t, t^) / δtδt^ կետում (t, t^): Որտեղ:

R x (t, t^) = M = δ 2 R(t, t^) / δtδt^.

Եթե ​​Հիլբերտի պատահական պրոցեսը տարբերելի է T-ի վրա, ապա դրա միջին քառակուսի ածանցյալը նույնպես Հիլբերտի պատահական գործընթաց է. եթե պրոցեսի նմուշային հետագծերը տարբերվում են T-ի վրա 1-ին հավանականությամբ, ապա 1-ին հավանականության դեպքում դրանց ածանցյալները համընկնում են T-ի միջին քառակուսի ածանցյալների հետ:

Թեորեմ. Եթե ​​X(t)-ը Հիլբերտի պատահական գործընթաց է, ապա

M = (d / dt) M = dm x (t) / dt:

Թող (0, t) լինի վերջավոր միջակայք, 0

X(t)-ը Հիլբերտի պատահական գործընթաց է:

Y n = ∑ X(t i)(t i – t i-1) (n = 1,2, …):

Այնուհետև պատահական փոփոխականը

max (t i – t i -1)→0

Կանչել ինտեգրալ միջին քառակուսու մեջ X(t) պրոցեսը (0, t) վրա և նշվում է հետևյալով.

Y(t) = ∫ X(τ)dτ.

Թեորեմ . Y(t) միջին քառակուսի ինտեգրալը գոյություն ունի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե Հիլբերտի X(t) գործընթացի R(t, t^) կովարիանս ֆունկցիան շարունակական է T×T-ում, և ինտեգրալը գոյություն ունի:

R y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^) dτdτ^

Եթե ​​X(t) ֆունկցիայի միջին քառակուսի ինտեգրալը գոյություն ունի, ապա

M = ∫ Mdτ,

R Y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^)dτdτ^

K y (t, t^) = ∫ ∫ K(τ, τ^)dτdτ^.

Այստեղ R y (t, t^) = M, K y (t, t^) = M են Y(t) պատահական գործընթացի կովարիանսային և հարաբերակցության ֆունկցիաները:

Թեորեմ. Թող X(t)-ը լինի Հիլբերտի պատահական պրոցես R(t, t^) կովարիանս ֆունկցիայով, φ(t) իրական ֆունկցիա, և թող գոյություն ունենա ինտեգրալ:

∫ ∫ φ(t)φ(t^)R(t, t^)dtdt^

Այնուհետև կա միջին քառակուսի ինտեգրալ

∫ φ(t)X(t)dt.

Պատահական գործընթացներ.

X i (t) = V i φ i (t) (i = 1n)

Որտեղ φ i (t) տրված են իրական ֆունկցիաներ

Vi - բնութագրերով պատահական փոփոխականներ

Դրանք կոչվում են տարրական։

Կանոնական ընդլայնումպատահական պրոցեսը X(t) կոչվում է դրա ներկայացում ձևով

Որտեղ V i գործակիցներն են, իսկ φ i (t)՝ X(t) գործընթացի կանոնական ընդլայնման կոորդինատային ֆունկցիաները։

Հարաբերություններից.

M(V I = 0), D(V I) = D I, M(V i V j) = 0 (i ≠ j)

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)

K(t, t^) = ∑ D i φ i (t)φ i (t^)

Այս բանաձեւը կոչվում է կանոնական ընդլայնումՊատահական գործընթացի հարաբերակցության ֆունկցիա:

Հավասարման դեպքում

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)

Կիրառվում են հետևյալ բանաձևերը.

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ m x (τ)dτ + ∑ V i ∫ φ i (t)dt.

Այսպիսով, եթե X(t) պրոցեսը ներկայացված է իր կանոնական ընդլայնմամբ, ապա դրա ածանցյալը և ինտեգրալը կարող են ներկայացվել նաև որպես կանոնական ընդարձակումներ։

Մարկովի պատահական գործընթացները դիսկրետ վիճակներով

S 1, S 2, S 3, ... հնարավոր վիճակներով որոշակի S համակարգում տեղի ունեցող պատահական գործընթացը կոչվում է. Մարկովսկին, կամ պատահական գործընթաց՝ առանց հետևանքների, եթե ցանկացած պահի t 0 գործընթացի հավանական բնութագրերը ապագայում (t>t 0-ում) կախված են միայն նրա վիճակից տվյալ պահին t 0 և կախված չեն նրանից, թե երբ և ինչպես է համակարգը հասել այս վիճակին. դրանք. Կախված չլինեք անցյալում նրա վարքագծից (t

Մարկովյան գործընթացի օրինակ. S համակարգը տաքսիմետր է: Համակարգի վիճակը t պահին բնութագրվում է մեքենան մինչև այս պահը անցած կիլոմետրերի (տասանորդական կիլոմետրերի) քանակով։ Թող t 0 պահին հաշվիչը ցույց տա S 0 / Հավանականությունը, որ t>t 0 պահին հաշվիչը ցույց կտա այս կամ այն ​​կիլոմետրերի քանակը (ավելի ճիշտ՝ ռուբլու համապատասխան թիվը) S 1 կախված է S 0-ից, բայց. կախված չէ նրանից, թե ժամանակի որ պահերին են փոխվել հաշվիչի ցուցումները մինչև t 0 պահը:

Շատ գործընթացներ կարելի է մոտավորապես մարկովյան համարել։ Օրինակ՝ շախմատ խաղալու գործընթացը; համակարգը S-ը շախմատի ֆիգուրների խումբ է: Համակարգի վիճակը բնութագրվում է t 0 պահին տախտակի վրա մնացած թշնամու կտորների քանակով: Հավանականությունը, որ t>t 0 պահին նյութական առավելությունը կլինի հակառակորդներից մեկի կողմը, հիմնականում կախված է համակարգի վիճակից t 0 պահին, և ոչ թե երբ և ինչ հաջորդականությամբ խաղատախտակներով խաղաքարերը մինչև ժամանակ t 0.

Որոշ դեպքերում դիտարկվող գործընթացների նախապատմությունը պարզապես կարելի է անտեսել, և դրանք ուսումնասիրելու համար օգտագործել Մարկովի մոդելները։

Մարկովի պատահական գործընթաց՝ դիսկրետ վիճակներով և դիսկրետ ժամանակով (կամ Մարկովյան շղթա ) կոչվում է Մարկովյան պրոցես, որում նրա հնարավոր S 1, S 2, S 3, ... վիճակները կարող են նախապես թվարկվել, և վիճակից վիճակ անցումը տեղի է ունենում ակնթարթորեն (ցատկ), բայց միայն որոշակի ժամանակներում t 0, t 1, t 2, ..., կոչված քայլերըգործընթաց։

Նշենք p ij – անցման հավանականությունըպատահական գործընթաց (S համակարգ) I վիճակից j վիճակ: Եթե ​​այդ հավանականությունները կախված չեն գործընթացի քայլի քանակից, ապա նման Մարկովյան շղթան կոչվում է միատարր։

Թող համակարգի վիճակների թիվը լինի վերջավոր և հավասար մ-ի: Այնուհետեւ այն կարելի է բնութագրել անցումային մատրիցա P 1, որը պարունակում է անցումային բոլոր հավանականությունները.

p 11 p 12 … p 1m

p 21 p 22 … p 2m

P m1 p m2 … p մմ

Բնականաբար, յուրաքանչյուր տողի համար ∑ p ij = 1, I = 1, 2, …, m:

P ij (n) նշենք որպես հավանականություն, որ n քայլի արդյունքում համակարգը I վիճակից կտեղափոխվի j վիճակ։ Այս դեպքում, I = 1-ի համար մենք ունենք անցումային հավանականություններ, որոնք կազմում են P 1 մատրիցը, այսինքն. p ij (1) = p ij

Անհրաժեշտ է, իմանալով p ij-ի անցման հավանականությունները, գտնել p ij (n) – համակարգի I վիճակից j վիճակի անցման հավանականությունները n քայլով: Այդ նպատակով մենք կդիտարկենք միջանկյալ (I-ի և j-ի միջև) վիճակը r, այսինքն. Կենթադրենք, որ I սկզբնական վիճակից k քայլով համակարգը կտեղափոխվի r միջանկյալ վիճակ՝ p ir (k) հավանականությամբ, որից հետո միջանկյալ վիճակից r մնացած n-k քայլերում կանցնի j վերջնական վիճակի։ հավանականություն p rj (n-k). Այնուհետև, ըստ ընդհանուր հավանականության բանաձևի

P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k) – Մարկովյան հավասարություն։

Եկեք համոզվենք, որ, իմանալով անցումային բոլոր հավանականությունները p ij = p ij (1), այսինքն. Պետությունից վիճակ անցման մատրիցա P 1 մեկ քայլով, կարող եք գտնել p ij (2) հավանականությունը, այսինքն. Պետությունից վիճակ երկու քայլով անցման մատրիցա P 2: Եվ իմանալով P 2 մատրիցը, գտե՛ք վիճակից վիճակ անցման P 3 մատրիցը երեք քայլով և այլն։

Իրոք, P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k) բանաձևում դնելով n = 2, այսինքն. k=1 (միջանկյալ վիճակ քայլերի միջև), ստանում ենք

P ij (2) = ∑ p ir (1) p rj (2-1) = ∑ p ir p rj

Ստացված հավասարությունը նշանակում է, որ P 2 = P 1 P 1 = P 2 1

Ենթադրելով n = 3, k = 2, մենք նմանապես ստանում ենք P 3 = P 1 P 2 = P 1 P 1 2 = P 1 3, իսկ ընդհանուր դեպքում P n = P 1 n.

Օրինակ

Որոշակի տարածաշրջանում ընտանիքների ամբողջությունը կարելի է բաժանել երեք խմբի.

1. մեքենա չունեցող և գնելու մտադրություն ունեցող ընտանիքներ.

2. մեքենա չունեցող, բայց գնելու մտադրություն ունեցող ընտանիքներ.

3. մեքենայով ընտանիքներ.

Իրականացված վիճակագրական հետազոտությունը ցույց է տվել, որ անցումային մատրիցը մեկ տարվա ընդմիջումով ունի հետևյալ ձևը.

(P 1 մատրիցայում p 31 = 1 տարրը նշանակում է հավանականություն, որ մեքենա ունեցող ընտանիքը նույնպես կունենա այն, և, օրինակ, p 23 = 0,3 տարրը հավանականությունն է, որ ընտանիքը, որը չունի ավտոմեքենա: մեքենա, բայց որոշել է գնել, հաջորդ տարի կիրականացնի իր մտադրությունը և այլն)

Գտեք հավանականությունը, որ.

1. այն ընտանիքը, որը մեքենա չուներ և չէր պատրաստվում գնել, երկու տարի հետո նույն վիճակում կհայտնվի.

2. այն ընտանիքը, որը մեքենա չի ունեցել, բայց մտադիր է գնել, երկու տարի հետո մեքենա կունենա։

ԼՈՒԾՈՒՄ:Եկեք գտնենք անցումային մատրիցը P 2 երկու տարի անց.

0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21

0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51

0 0 1 0 0 1 0 0 1

Այսինքն, 1) և 2) օրինակում փնտրվող հավանականությունները համապատասխանաբար հավասար են

p 11 = 0,64, p 23 = 0,51

Հաջորդը մենք կքննարկենք Մարկովի պատահական գործընթաց՝ դիսկրետ վիճակներով և շարունակական ժամանակով, որում, ի տարբերություն վերը քննարկված Մարկովյան շղթայի, համակարգի հնարավոր անցումների պահերը վիճակից նախապես ֆիքսված չեն, այլ պատահական են։

Դիսկրետ վիճակներով պատահական գործընթացները վերլուծելիս հարմար է օգտագործել երկրաչափական սխեմա՝ այսպես կոչված. միջոցառումների ժամանակացույցը. Սովորաբար համակարգի վիճակները պատկերվում են ուղղանկյուններով (շրջաններով), իսկ վիճակից վիճակ հնարավոր անցումները պատկերվում են վիճակները միացնող սլաքներով (կողմնորոշված ​​աղեղներով):

Օրինակ. Կառուցեք հետևյալ պատահական գործընթացի վիճակի գրաֆիկը. S սարքը բաղկացած է երկու հանգույցից, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է խափանվել ժամանակի պատահական պահին, որից հետո անմիջապես սկսվում է հանգույցի վերանորոգումը` շարունակելով նախկինում անհայտ պատահական ժամանակ:

ԼՈՒԾՈՒՄ.Համակարգի հնարավոր վիճակները. S 0 – երկու հանգույցներն էլ գործում են; S 1 – առաջին բլոկը վերանորոգվում է, երկրորդը շահագործվում է. S 2 – երկրորդ բլոկը վերանորոգվում է, առաջինը շահագործվում է. S 3 – երկու ագրեգատները վերանորոգված են։

Սլաքը, ուղղությունը, օրինակ՝ S 0-ից S 1, նշանակում է համակարգի անցում առաջին հանգույցի խափանման պահին, S 1-ից S 0՝ անցում այս հանգույցի վերանորոգման ավարտի պահին։ .

Գրաֆիկի վրա S 0-ից S 3 և S 1-ից S 2 սլաքներ չկան: Սա բացատրվում է նրանով, որ ենթադրվում է, որ հանգույցների խափանումները միմյանցից անկախ են, և, օրինակ, երկու հանգույցների միաժամանակյա ձախողման հավանականությունը (S 0-ից S 3 անցում) կամ երկու հանգույցների վերանորոգման միաժամանակյա ավարտը ( անցումը S 3-ից S 0) կարող է անտեսվել:

Ստացիոնար պատահական գործընթացներ

ստացիոնար՝ նեղ իմաստով, Եթե

F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) = F(x 1, …, x n; t 1 +∆, …, t n +∆)

կամայականության համար

n≥1, x 1, …, x n, t 1, …, t n; ∆; t 1 € T, t i + ∆ € T.

Այստեղ F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) X(t) պատահական գործընթացի n-չափային բաշխման ֆունկցիան է:

Պատահական պրոցեսը X(t) կոչվում է ստացիոնար լայն իմաստով, Եթե

Ակնհայտ է, որ ստացիոնարությունը նեղ իմաստով ենթադրում է կայունություն՝ լայն իմաստով։

Բանաձևերից.

m(t) = m(t + ∆), K(t, t^) = K(t + ∆, t^ + ∆)

(t € T, t^ € T, t + ∆€ T), t^ + ∆€ T)

Դրանից բխում է, որ լայն իմաստով անշարժ գործընթացի համար մենք կարող ենք գրել

m (t) = m x (0) = const;

D (t) = K (t, t) = K (0,0) = const;

K(t, t^) = K(t – t^, 0) = K (0, t^ - t)

Այսպիսով, լայն իմաստով անշարժ գործընթացի համար մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը կախված չեն ժամանակից, և K(t, t^)-ը ձևի ֆունկցիա է.

Կարելի է տեսնել, որ k(τ)-ը զույգ ֆունկցիա է, և

Այստեղ D-ն անշարժ գործընթացի ցրումն է

Х(t), α i (I = 1, n) – կամայական թվեր:

Համակարգի առաջին հավասարությունը

K(0) = B = σ 2; |k(թ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

բխում է K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t հավասարումից։ Առաջին հավասարությունը

K(0) = B = σ 2; |k(թ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0-ը անշարժ պատահական X(t) պրոցեսի X(t), X(t^) հատվածների Շվարցի անհավասարության պարզ հետեւանքն է: Վերջին անհավասարությունը.

K(0) = B = σ 2; |k(թ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

Ստացվում է հետևյալ կերպ.

∑ ∑ α i α j k(t i - t j) = ∑ ∑ K(t i , t j)α i α j = ∑ ∑ M[(α i X i)(α j X j)] = M[(∑ α i X i) 2] ≥0

Հաշվի առնելով պատահական գործընթացի dX(t)/dt ածանցյալի հարաբերակցության ֆունկցիայի բանաձևը, անշարժ պատահական X(t) ֆունկցիայի համար մենք ստանում ենք.

K 1 (t, t^) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t^)/dt^)] = δ 2 K(t, t^) / δtδt^ = δ 2 k(t ^ - տ) / δtδt^

Քանի որ

δk(t^ ​​- t) / δt = (δk(τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δk(τ) / δτ,

δ 2 k(t^ - t) / δtδt^ = - (δ 2 k(τ) / δτ 2) * (δτ / δt^) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2)

ապա K 1 (t, t^) = k 1 (τ) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2), τ = t^ – t.

Այստեղ K 1 (t, t^) և k 1 (τ) X(t) անշարժ պատահական գործընթացի առաջին ածանցյալի հարաբերական ֆունկցիան են։

Անշարժ պատահական գործընթացի n-րդ ածանցյալի համար հարաբերակցության ֆունկցիայի բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

K n (τ) = (-1) n * (δ 2 n *k(τ) / δτ 2 n)

Թեորեմ. Հարաբերակցության k(τ) ֆունկցիայով անշարժ պատահական պրոցես X(t) միջին քառակուսի շարունակական է t € T կետում, եթե և միայն եթե

Lim k(τ) = k(0)

Դա ապացուցելու համար եկեք գրենք հավասարությունների ակնհայտ շղթա.

M [|X(t+τ)-X(T)| 2 ] = M[|X(t)| 2 ] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M =

2D-2k(τ) = 2:

Հետևաբար ակնհայտ է, որ X(t) գործընթացի միջին քառակուսիում շարունակականության պայմանը t € T կետում

Lim M[|X(t+τ) – X(t)| 2 ] = 0

Առաջանում է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե Lim k(τ) = k(0)

Թեորեմ. Եթե ​​X(t) անշարժ պատահական պրոցեսի k(τ) փոխկապակցման ֆունկցիան միջին քառակուսիում շարունակական է τ=0 կետում, ապա այն շարունակական է միջին քառակուսու մեջ τ € R 1 ցանկացած կետում:

Սա ապացուցելու համար գրենք ակնհայտ հավասարությունները.

k(τ+∆τ)-k(τ) = M – M =

M(X(t))

Այնուհետև կիրառելով Շվարցի անհավասարությունը գանգուր փակագծում գտնվող գործոնների վրա և հաշվի առնելով հարաբերությունները.

K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t.

K(0) = B = σ 2; |k(թ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

0 ≤ 2 ≤ MM[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)| 2] =

Անցնելով Δτ→0 սահմանին և հաշվի առնելով k(τ)-ի շարունակականության թեորեմի պայմանը τ=0 կետում, ինչպես նաև համակարգի առաջին հավասարությունը.

K(0) = B = σ 2, մենք գտնում ենք

Lim k(τ+∆τ) = k(τ)

Քանի որ այստեղ τ-ն կամայական թիվ է, ապա թեորեմը պետք է համարել ապացուցված։

Ստացիոնար պատահական գործընթացների էրգոդիկ հատկությունը

Թող X(t)-ը լինի անշարժ պատահական գործընթաց որոշակի ժամանակահատվածում` բնութագրերով

τ = t^ – t, (t, t^) € T×T.

Ստացիոնար պատահական գործընթացի էրգոդիկ հատկությունն այն է, որ հիմնվելով գործընթացի բավական երկար իրականացման վրա՝ կարելի է դատել դրա մաթեմատիկական ակնկալիքների, ցրման և հարաբերակցության գործառույթը:

Մենք կանվանենք ավելի խիստ անշարժ պատահական գործընթաց X(t) էրգոդիկ մաթեմատիկական ակնկալիքով,Եթե

Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0

Թեորեմ

Ստացիոնար պատահական գործընթաց X(t) բնութագրերով.

M = 0, K(t, t^) = M = k(τ),

τ = t^ – t, (t, t^) € T×T

էրգոդիկ է մաթեմատիկական ակնկալիքով, եթե և միայն եթե

Lim (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ = 0:

Դա ապացուցելու համար, ակնհայտորեն, բավական է ստուգել, ​​որ հավասարությունը ճիշտ է

Եկեք գրենք ակնհայտ հարաբերությունները

C = M (|(1 / T)) ∫X(t)dt| 2 ) = (1 / T 2) ∫ ∫ k(t^ - t)dt^dt = (1/T) ∫ dt ∫ k(t^ - t)dt^.

Այստեղ ենթադրելով τ = t^ – t, dτ = dt^ և հաշվի առնելով պայմանները (t^ = T) → (τ = T - t),

(t^ = 0)→(τ = -t), ստանում ենք

С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ =

= -(1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ.

Այս հավասարության աջ կողմի առաջին և երկրորդ անդամները համապատասխանաբար դնելով τ = -τ^, dτ = -dτ^, τ = T-τ^, dτ = -dτ^, գտնում ենք.

С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ

Կիրառելով Դիրիխլեի բանաձևը կրկնակի ինտեգրալների համար՝ գրում ենք

С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ) dτ + (1/T 2) ∫ τk (T – τ)dτ

Աջ կողմի երկրորդ անդամում կարող ենք դնել τ^ = T-τ, dτ = -dτ^, որից հետո կունենանք.

Սրանից և հաստատունների սահմանումից պարզ է դառնում, որ հավասարությունը

M((1 / T) ∫X(t)dt| 2) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Արդար.

Թեորեմ

Եթե ​​անշարժ պատահական X(t) պրոցեսի k(τ) ֆունկցիան բավարարում է պայմանը.

Lim (1/T) ∫ |k(τ)| dt = 0

Այնուհետև X(t)-ը մաթեմատիկական ակնկալիքով էրգոդիկ է:

Իսկապես, հաշվի առնելով հարաբերակցությունը

M((1 / T) ∫X(t)dt| 2) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Դուք կարող եք գրել

0 ≤ (2/T) ∫ (1 – τ/t) k(τ)dτ ≤ (2/T) ∫ (1- τ/t) |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k (τ)|dτ

Այստեղից պարզ է դառնում, որ եթե պայմանը բավարարված է, ապա

Lim (2/T) ∫ (1 – τ/T) k(τ)dτ = 0

Հիմա, հաշվի առնելով հավասարությունը

C = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ – (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ = 2/T ∫ (1- (τ/T) ) k(τ)dτ

Եվ պայմանը Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0

Էրգոդիկությունը անշարժ պատահական X(t) գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիքով մենք գտնում ենք, որ պահանջվողն ապացուցված է:

Թեորեմ.

Եթե ​​անշարժ պատահական պրոցեսի k(τ) հարաբերական ֆունկցիան

X(t)-ը ինտեգրելի է և նվազում է առանց սահմանի, քանի որ τ → ∞, այսինքն. պայմանը բավարարված է

Կամայական ε > 0-ի համար, ապա X(t)-ը մաթեմատիկական ակնկալիքով անշարժ պատահական գործընթաց է:

Իսկապես, հաշվի առնելով արտահայտությունը

T≥T 0-ի համար մենք ունենք

(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)| dτ ε(1 – T 1 /T).

Թ → ∞ ձևով անցնելով սահմանին՝ գտնում ենք

0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.

Քանի որ այստեղ ε > 0-ը կամայական, կամայականորեն փոքր արժեք է, ուրեմն մաթեմատիկական ակնկալիքի առումով էրգոդիկության պայմանը բավարարված է։ Քանի որ սա բխում է պայմանից

k(τ) անսահմանափակ նվազման վրա, ապա թեորեմը պետք է համարել ապացուցված։

Ապացուցված թեորեմները հաստատում են անշարժ պատահական գործընթացների էրգոդականության կառուցողական չափանիշներ:

X(t) = m + X(t), m=const.

Այնուհետև M = m, և եթե X(t) էրգոդիկ ստացիոնար պատահական գործընթաց է, ապա էրգոդիկության պայմանը Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0 պարզ փոխակերպումներից հետո կարող է ներկայացվել որպես.

Lim M([(1/T) ∫ X(t)dt – m] 2) = 0

Հետևում է, որ եթե X(t)-ը մաթեմատիկական ակնկալիքով անշարժ պատահական գործընթաց է, ապա X(t) = m + X(t) գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիքը կարող է մոտավորապես հաշվարկվել բանաձևի միջոցով.

M = (1/T) ∫ x(t)dt

Այստեղ T-ն բավականին երկար ժամանակաշրջան է.

x(t) – X(t) գործընթացի իրականացում ժամանակային միջակայքում:

Մենք կարող ենք դիտարկել անշարժ պատահական պրոցեսի էրգոդիկությունը X(t) հարաբերակցության ֆունկցիայի նկատմամբ:

Ստացիոնար պատահական պրոցեսը X(t) կոչվում է էրգոդիկ հարաբերակցության ֆունկցիայի մեջ, Եթե

Lim M ([ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)] 2 ]) = 0

Հետևում է, որ անշարժ պատահական X(t) գործընթացի համար, որը էրգոդիկ է հարաբերակցության ֆունկցիայի մեջ, մենք կարող ենք սահմանել.

k (τ) = (1/T) ∫ x(t)x(t + τ)dt

բավականաչափ մեծ Թ.

Ստացվում է, որ պայմանը

k(τ)-ի սահմանը բավարար է, որպեսզի անշարժ նորմալ բաշխված պրոցեսը X(t) հարաբերակցության ֆունկցիայում էրգոդիկ լինի:

Նշենք, որ պատահական գործընթացը կոչվում է սովորաբար բաշխված, եթե նրա վերջավոր բաշխման ֆունկցիաներից որևէ մեկը նորմալ է։

Ստացիոնար նորմալ բաշխված պատահական գործընթացի էրգոդիկության անհրաժեշտ և բավարար պայման է հարաբերությունը.

τ 0: lim (1/T) ∫ (1 – τ/T)dτ = 0

գրականություն

1. Ն.Շ. Կրեմեր «Հավանականության տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» / UNITY / Մոսկվա 2007 թ.

2. Յու.Վ. Կոժևնիկով «Հավանականության տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» / Մեքենաշինություն / Մոսկվա 2002 թ.

3. Բ.Վ. Գնեդենկո «Հավանականության տեսության դասընթաց» / Ֆիզիկական և մաթեմատիկական գրականության գլխավոր խմբագրություն / Մոսկվա 1988 թ.

Պատահական գործընթացը դիտարկելով որպես արդեն երեք կամ չորս պատահական փոփոխականների համակարգ, դժվարություններ են առաջանում պատահական գործընթացի բաշխման օրենքների վերլուծական արտահայտման մեջ։ Հետևաբար, մի շարք դեպքերում դրանք սահմանափակվում են պատահական գործընթացի բնութագրերով, որոնք նման են պատահական փոփոխականների թվային բնութագրերին։

Պատահական գործընթացի բնութագրիչները, ի տարբերություն պատահական փոփոխականների թվային բնութագրերի, ոչ պատահական ֆունկցիաներ են։ Դրանցից պատահական գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիքի և ցրման, ինչպես նաև պատահական գործընթացի հարաբերակցության ֆունկցիաները լայնորեն կիրառվում են պատահական գործընթացի գնահատման համար։

Պատահական գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիք X(t)ոչ պատահական ֆունկցիա է, որը t փաստարկի յուրաքանչյուր արժեքի համար հավասար է պատահական գործընթացի համապատասխան հատվածի մաթեմատիկական ակնկալիքին.

.

Պատահական գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանումից հետևում է, որ եթե միաչափ հավանականության խտությունը հայտնի է, ապա.

. (6.3)

Պատահական գործընթաց X(t)միշտ կարող է ներկայացվել որպես տարրական պատահական ֆունկցիաների գումար

, որտեղ տարրական պատահական ֆունկցիա է:

. (6.4)

Եթե ​​տրված են պատահական գործընթացի բազմաթիվ իրականացումներ X(t), ապա մաթեմատիկական ակնկալիքի գրաֆիկական ներկայացման համար կատարվում են մի շարք հատվածներ և դրանցից յուրաքանչյուրում գտնում են համապատասխան մաթեմատիկական ակնկալիքը (միջին արժեքը), այնուհետև այդ կետերի միջով գծվում է կոր (նկ. 6.3):

Նկար 6.3 – Մաթեմատիկական ակնկալիքի ֆունկցիայի գրաֆիկ

Որքան շատ հատվածներ արվեն, այնքան ավելի ճշգրիտ կկառուցվի կորը:

Ակնկալվող արժեքը Պատահական գործընթացում կա ինչ-որ ոչ պատահական ֆունկցիա, որի շուրջ խմբավորվում են պատահական գործընթացի իրականացումները:

Եթե ​​պատահական գործընթացի իրականացումը հոսանքի կամ լարման է, ապա մաթեմատիկական ակնկալիքը մեկնաբանվում է որպես հոսանքի կամ լարման միջին արժեք:

Պատահական գործընթացի շեղում X(t)ոչ պատահական ֆունկցիա է, որը t փաստարկի յուրաքանչյուր արժեքի համար հավասար է պատահական գործընթացի համապատասխան հատվածի ցրվածությանը..

.

Պատահական գործընթացի շեղումների սահմանումից հետևում է, որ եթե միաչափ հավանականության խտությունը հայտնի է, ապա.

կամ (6.5)

Եթե ​​պատահական գործընթաց ներկայացված է ձևով , Դա

Պատահական գործընթացի ցրումը բնութագրում է մաթեմատիկական ակնկալիքի ֆունկցիայի համեմատ իրականացումների տարածումը կամ ցրումը:

Եթե ​​պատահական գործընթացի իրականացումները հոսանք կամ լարման են, ապա շեղումը մեկնաբանվում է որպես ամբողջ գործընթացի հզորության և տվյալ հատվածում հոսանքի կամ լարման միջին բաղադրիչի հզորության միջև տարբերություն, այսինքն.

. (6.7)

Որոշ դեպքերում պատահական գործընթացի շեղումների փոխարեն օգտագործվում է պատահական գործընթացի ստանդարտ շեղումը.

.

Պատահական գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիքը և ցրվածությունը հնարավորություն են տալիս բացահայտել միջին ֆունկցիայի տեսակը, որի շուրջ խմբավորվում են պատահական գործընթացի իրագործումները և գնահատել դրանց տարածումը այս ֆունկցիայի նկատմամբ: Այնուամենայնիվ, պատահական գործընթացի ներքին կառուցվածքը, այսինքն. գործընթացի տարբեր հատվածների միմյանց միջև կախվածության (կապվածության) բնույթն ու աստիճանը մնում է անհայտ (նկ. 6.4):

Նկար 6.4 – Պատահական գործընթացների իրականացում X(t)Եվ Y(t)

Պատահական գործընթացի խաչմերուկների միջև կապը բնութագրելու համար ներկայացվում է երկրորդ կարգի խառը պահի ֆունկցիայի հայեցակարգը. հարաբերակցության ֆունկցիա.

Հարաբերակցության ֆունկցիապատահական գործընթաց X(t)կոչվում է ոչ պատահական ֆունկցիա, որը յուրաքանչյուր զույգ արժեքի համար հավասար է պատահական գործընթացի համապատասխան հատվածների հարաբերակցության պահին.

Որտեղ , .

Պատահական գործընթացի բաժինների միջև կապը (տես Նկար 6.4): X(t)ավելի մեծ, քան պատահական գործընթացի խաչմերուկների միջև Y(t), այսինքն.

.

Սահմանումից հետևում է, որ եթե տրված է հավանականության երկչափ խտություն պատահական գործընթաց X(t), Դա

Հարաբերակցության ֆունկցիան պահերին երկու պատահական փոփոխականների հարաբերակցության պահերի մի շարք է, և երկու պահերն էլ դիտարկվում են փաստարկի բոլոր ընթացիկ հնարավոր արժեքների ցանկացած համակցության մեջ: տպատահական գործընթաց. Այսպիսով, հարաբերակցության գործառույթը բնութագրում է վիճակագրական կապը ակնթարթային արժեքների միջև ժամանակի տարբեր կետերում:

Հարաբերակցության ֆունկցիայի հատկությունները.

1) Եթե, ապա. Հետևաբար, պատահական գործընթացի շեղումը հարաբերակցության ֆունկցիայի հատուկ դեպք է:

Պատահական (ստոխաստիկ) պրոցեսներն են արտաքին աղմուկը, տատանման աղմուկը դիսկրիմինատորի և այլ RAS սարքերի ելքում, ներքին խանգարումներ RAS-ում. PG հաճախականության անկայունություն, կարգավորելի ժամանակի հետաձգման սարքերի անկայունություն և այլն:

Պատահական ազդեցության տակ RAS-ի ուսումնասիրությունը, սկզբունքորեն, կարող է իրականացվել սովորական մեթոդների կիրառմամբ՝ որոշելով RAS-ի որակի պարամետրերը խանգարման առավել անբարենպաստ (առավելագույն) արժեքներով ( վատագույն դեպքում ).

Այնուամենայնիվ, քանի որ պատահական փոփոխականի առավելագույն արժեքը քիչ հավանական է և հազվադեպ է դիտարկվելու, դիտավորյալ խիստ պահանջներ կկիրառվեն RAS-ին: Ավելի ռացիոնալ լուծումներ կարելի է ձեռք բերել դիտարկելով ամենայն հավանականությամբ արժեքը պատահական փոփոխական.

Կարելի է դիտարկել տատանման բաղադրիչների բաշխման օրենքը գծային RAS-ում նորմալ (Գաուսյան): Բաշխման նորմալ օրենքը բնորոշ է ներքին խանգարումներին: Երբ պատահական գործընթացն անցնում է գծային համակարգով, նորմալ բաշխման օրենքը մնում է անփոփոխ . Եթե ​​RAS-ի մուտքագրում կամ որևէ այլ կետում (օրինակ, խտրականի ելքում) առկա է նորմալից տարբերվող և լայն սպեկտր ունեցող բաշխման օրենքի խախտում. Ս(ω), այս խանգարումն արդյունավետ է նորմալացնում է նեղաշերտ RAS ֆիլտրի տարրեր:

Նորմալ բաշխման օրենքով պատահական գործընթացն ամբողջությամբ որոշված ​​է մաթեմատիկական ակնկալիք մ(տ) Եվ հարաբերակցության ֆունկցիա Ռ(τ).

Ակնկալվող արժեքըպատահական գործընթացի (ակնկալիք): x(տ) ներկայացնում է որոշ կանոնավոր ֆունկցիան մ x(տ), որի շուրջ խմբավորված են տվյալ գործընթացի բոլոր իրականացումները (– հավանականության խտությունը)։ Այն նաև կոչվում է միջին արժեքը հավաքածուի նկատմամբ (անսամբլ):

մ x(տ) = Մ{x(տ)} = . (6.1)

Պատահական գործընթաց ( տ) առանց կանոնավոր բաղադրիչի մ x(տ) կոչվում է կենտրոնացած .

Հաշվի առնել պատահական գործընթացի ցրվածության աստիճանը նրա միջին արժեքի նկատմամբ մ x(տ) ներկայացնել հայեցակարգը շեղումներ :

D x(տ) = Մ{( (տ)) 2 } = . (6.2)

Պատահական գործընթացի քառակուսու միջին արժեքը կապված է դրա ակնկալիքի հետ մ x(տ) և դիսպերսիա D x(տ) բանաձև՝ .

Գործնականում հարմար է պատահական գործընթացը գնահատել՝ օգտագործելով վիճակագրական բնութագրերը x քառ.(տ) և ս x(տ), ունենալով նույն հարթությունը, ինչ ինքնին գործընթացը:

RMS արժեքը x քառ.(տ) պատահական գործընթաց.

Ստանդարտ շեղում x քառակուսի (տ) պատահական գործընթաց.

. (6.4)

Ակնկալիքները և ցրվածությունը բավարար պատկերացում չեն տալիս պատահական գործընթացի անհատական ​​իրականացման բնույթի մասին: Որպեսզի հաշվի առնվի գործընթացի փոփոխականության աստիճանը կամ դրա արժեքների միջև հարաբերությունները ժամանակի տարբեր կետերում, հարաբերակցության հայեցակարգը ( ավտոկոռելացիա ) գործառույթներ.

Հարաբերակցության ֆունկցիակենտրոնացված գործընթաց ( տ) հավասար է

որտեղ է երկչափ հավանականության խտությունը:

Հարաբերակցության ֆունկցիան է նույնիսկ : Ռ(τ ) = Ռ(–τ ).

Եթե ​​պրոցեսի բաշխման և հավանականության խտության ֆունկցիաները կախված չեն բոլոր ժամանակային արգումենտների ժամանակային տեղաշարժից միևնույն չափով, նման պատահական գործընթաց կոչվում է. ստացիոնար .

Եթե ​​անշարժ գործընթացն ունի նույն արժեքները հավաքածուի միջինը Եվ ժամանակի միջին , նման պատահական գործընթացը կոչվում է էրգոդիկ .

Իմանալով Ռ(τ) մենք կարող ենք որոշել անշարժ գործընթացի ցրվածությունը.

Սպեկտրային խտություն Սլ y(ω) ելքային գործընթաց y(տ) գծային համակարգում և սպեկտրային խտության մեջ ՍՄուտքային ազդեցության l (ω) կապված են հարաբերությամբ.

. (6.7)

Հարաբերակցության ֆունկցիա Ռ(τ) անշարժ պատահական պրոցեսի և դրա սպեկտրային խտությունը Ս(ω) կապված են Ֆուրիեի փոխակերպմամբ, ուստի վերլուծությունը հաճախ կատարվում է հաճախականության տիրույթում: Կատարելով Ֆուրիեի փոխակերպումը (6.7) մենք ստանում ենք ելքային գործընթացի հարաբերակցության ֆունկցիայի արտահայտություն Ռայ(τ):

Սպեկտրային խտություններ Սլ y(ω) և Ս l (ω) են երկկողմանի .

Դուք կարող եք մուտք գործել միակողմանի սպեկտրային խտություն Ն(զ), որը սահմանված է միայն դրական հաճախականություններ ().

Հաշվի առնելով հավասարությունը Ռ(τ) և Էյլերի բանաձևերը (6.8) կարելի է պարզեցնել.

. (6.9)

RAS-ի աշխատանքի որակը համեմատաբար է պատահական ազդանշանները և միջամտությունը բնութագրվում է ընդհանուր արմատի միջին քառակուսի սխալ (SKO):

Դիտարկենք ընդհանրացված PAC, որի դիագրամը ներկայացված է Նկ. 2.11. Մենք դիտարկում ենք ազդեցությունը λ( տ) դետերմինիստական, և խանգարումը ξ( տ) տարբերակիչի ելքում` պատահական գործընթաց: Օգտագործելով (2.28)–(2.31) բանաձևերը, մենք որոշում ենք PF-ն ազդեցության և խանգարման տակ գտնվող սխալի համար:

Ընդհանուր առմամբ, ազդեցության և խանգարման գործընթացների միջև կարող է գոյություն ունենալ հարաբերակցությունը (միացում): Այս դեպքում, բացառությամբ ավտոկոռելացիա (6.8) ձևի գործառույթները յուրաքանչյուր գործընթացի համար պետք է հաշվի առնվեն խաչաձև հարաբերակցություն Գործընթացների գործառույթները միմյանց նկատմամբ: Սպեկտրային խտությունների միջոցով հաղորդակցման տվյալները սխալմամբ գրվում են հետևյալ կերպ.

(6.11) արտահայտությունը (6.8) բանաձևով փոխարինելուց հետո մենք ստանում ենք համապատասխան դիսպերսիոն բաղադրիչներ.

Եթե ​​գործընթացների միջև փոխկապակցվածություն չկա, ապա Ս l x (ω) = Ս x l (ω) = 0, և նաև Դ l x = Դ x l = 0, իսկ բանաձեւը (6.12) պարզեցված է

Սխալի ակնկալիք X(տ) նման է կայուն վիճակում սահմանմանը. .

Եթե ​​սպեկտրային խտությունը S x(ω) նկարագրվում է կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայով ω-ի նկատմամբ, այնուհետև հաշվարկելու համար D xայն ներկայացված է որպես.

որտեղ է պարունակող բազմանդամը նույնիսկ աստիճաններ եսω մինչև 2 n-2 ներառյալ; a-ն աստիճանի բազմանդամ է n, որի արմատները գտնվում են ω բարդ փոփոխականի վերին կիսահարթության մեջ։

Ինտեգրալները (6.14) կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևը (6.15).

, (6.15)

որտեղ Դ n– ձևի առաջատար Hurwitz որոշիչը (4.7), որը կազմված է գործակիցներից ա ժ, Ա Քն- Դ տիպի որոշիչ n, որում առաջին շարքում գործակիցները ա ժփոխարինվել է բ ժ.

Ինտեգրալի համար (6.15) կան արժեքների աղյուսակներ n ≤ 7.

Արժեքները ժամը n≤ 4-ը որոշվում են բանաձևերով.

, , ,

Օրինակ 6.1.Եկեք որոշենք PLL համակարգի ստանդարտ շեղումը օրինակ 4.2-ից:

Թող ազդանշանը λ( տ) = 1 + 0,1տև խանգարումը ξ( տ) ամպլիտուդով սպիտակ աղմուկ է N 0= 1 մՎ ():

Այս PAC-ի համար սխալի գործակիցներն արդեն հայտնաբերվել են Օրինակ 5.1-ում:

.

PF-ի համար՝ փոփոխականները փոխելուց հետո (2.30) բանաձևից առաջացած խախտման պատճառով Ռ ® եսω մենք ստանում ենք ( Կ 1 = Ս դ , կ 0 = կ 1 Ս դ , կ 1 = կ զ կ եւ):

(6.17) բանաձևը (6.13) փոխարինելուց հետո ( Դ l = 0) մենք ստանում ենք.

Համեմատելով (6.18) (6.14) արտահայտության հետ՝ գտնում ենք բազմանդամների կարգը և գործակիցները (6.14). n = 3, բ 2 = 0, բ 1= – (T 2) 2, բ 0 = 1; ա 3 = Տ զ Տ դ, ա 2 = Տ զ+ Տ դ , ա 1 = 1 + կ 0 Տ 2, ա 0 = կ 0 .

Թվային արժեքները փոխարինելուց հետո ստացվում է.

մ x= 5×10 –4 (1/վ), D x= 1,06×10 –3 (1/վրկ 2) (ժամ կ 0 = 200, Ս դ = 10, կ 1 = 20) կամ

մ x= 5×10 –4 (1/վ), D x= 0,66 (1/վ 2) (հետ կ 0 = 200, Ս դ = 0,4 , կ 1 = 500).

(6.3), (6.4)-ից հետևում է, որ x քառ.≈ s x= 0,032 (1/վ) ժամը Ս դ= 10 և ժամը Ս դ = 0,4 x քառ.≈ s x= 0,81 (1/վ):

Օրինակ 6.2.Եկեք որոշենք RAS-ի RMS շեղումը օրինակ 4.5-ից նույն ազդանշանների համար. λ( տ) = 1 + 0,1տև ξ( տ) = N 0= 1 մՎ. λ'( տ) = λ 1 , λ″( տ) = 0

Մենք գտնում ենք տվյալ RAS-ի սխալի գործակիցները՝ օգտագործելով բանաձևը (5.19).

v = 0, դ 1 = 0, դ 0 = Ս դ, բ 3 = T 1 T 2 T 3, բ 2 = T 1 T 2+T 2 T 3+T 1 T 3, բ 1 = T 1 + T 2 + T 3, բ 0 = 1.

(5.19)–(5.22) բանաձևերից ստանում ենք

PF-ի համար p ® փոփոխականները փոխարինելուց հետո (2.30) բանաձևից առաջացած խախտման սխալները եսω (6.20)-ում մենք ստանում ենք.

(6.20) բանաձևը (6.13) (D l = 0) փոխարինելուց հետո մենք ստանում ենք.

Համեմատելով (6.21) (6.14) արտահայտության հետ՝ գտնում ենք բազմանդամների գործակիցները (6.14). n = 3, բ 2 = բ 1 = 0, բ 0 = 1; ա 3 = T 1 T 2 T 3, ա 2 = T 1 T 2 + T 2 T 3 + T 1 T 3, ա 1 = T 1 + T 2 + T 3, ա 0 = Ս դ + 1.

Բանաձևով (6.16) փոխարինելուց և փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք.

Թվային արժեքները փոխարինելուց հետո ստացվում է.

մ x= (9.2 + 0.9 տ)10 –2, D x= 4,2×10 –4.

6.2. Դիսպերսիայի որոշման գրաֆիկա-վերլուծական մեթոդ.

Կապի համակարգերում միջամտությունը նկարագրվում է պատահական գործընթացների տեսության մեթոդներով։

Ֆունկցիան կոչվում է պատահական, եթե փորձի արդյունքում այն ​​ստանում է այս կամ այն ​​ձևը, և ​​նախապես հայտնի չէ, թե որն է։ Պատահական գործընթացը ժամանակի պատահական ֆունկցիա է: Հատուկ ձևը, որը պատահական գործընթացը ստանում է փորձի արդյունքում, կոչվում է պատահական գործընթացի իրականացում:

Նկ. Նկար 1.19-ը ցույց է տալիս պատահական գործընթացի մի քանի (երեք) իրականացումներից, , . Նման հավաքածուն կոչվում է իրականացումների անսամբլ։ Առաջին փորձի ժամանակի պահի ֆիքսված արժեքով մենք ստանում ենք կոնկրետ արժեք, երկրորդում՝ , երրորդում՝ ։

Պատահական գործընթացն իր բնույթով երկակի է: Մի կողմից, յուրաքանչյուր կոնկրետ փորձի մեջ այն ներկայացված է իր կատարմամբ՝ ժամանակի ոչ պատահական ֆունկցիայով։ Մյուս կողմից, պատահական գործընթացը նկարագրվում է մի շարք պատահական փոփոխականներով:

Իսկապես, եկեք դիտարկենք պատահական գործընթաց ժամանակի որոշակի կետում, այնուհետև յուրաքանչյուր փորձի ժամանակ այն վերցնում է մեկ արժեք, և նախապես հայտնի չէ, թե որն է: Այսպիսով, ժամանակի ֆիքսված կետում դիտարկված պատահական գործընթացը պատահական փոփոխական է: Եթե ​​ժամանակի երկու ակնթարթ և գրանցված է, ապա յուրաքանչյուր փորձի ժամանակ մենք կստանանք երկու արժեք և . Այս դեպքում, այս արժեքների համատեղ դիտարկումը հանգեցնում է երկու պատահական փոփոխականների համակարգի: Ժամանակի N կետերում պատահական գործընթացները վերլուծելիս մենք հասնում ենք N պատահական փոփոխականների բազմության կամ համակարգի. .

Պատահական գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիք, ցրման և հարաբերակցության ֆունկցիա: Քանի որ ժամանակի ֆիքսված կետում դիտարկված պատահական գործընթացը պատահական փոփոխական է, մենք կարող ենք խոսել պատահական գործընթացի մաթեմատիկական ակնկալիքի և դիսպերսիայի մասին.

, .

Ինչպես պատահական փոփոխականի դեպքում, դիսպերսիան բնութագրում է պատահական գործընթացի արժեքների տարածումը միջին արժեքի նկատմամբ: Որքան մեծ է, այնքան մեծ է գործընթացի շատ մեծ դրական և բացասական արժեքների հավանականությունը: Առավել հարմար բնութագիր է ստանդարտ շեղումը (MSD), որն ունի նույն չափը, ինչ ինքնին պատահական գործընթացը:

Եթե ​​պատահական պրոցեսը նկարագրում է, օրինակ, որևէ օբյեկտի հեռավորության փոփոխություն, ապա մաթեմատիկական ակնկալիքը միջին միջակայքն է մետրերով; ցրվածությունը չափվում է քառակուսի մետրով, իսկ Sco-ն չափվում է մետրերով և բնութագրում է միջակայքի հնարավոր արժեքների տարածումը միջինի համեմատ:

Միջինը և շեղումը շատ կարևոր բնութագրիչներ են, որոնք թույլ են տալիս մեզ դատել պատահական գործընթացի վարքագիծը ժամանակի որոշակի կետում: Այնուամենայնիվ, եթե անհրաժեշտ է գնահատել գործընթացի փոփոխության «տեմպերը», ապա ժամանակի մեկ կետում դիտարկումները բավարար չեն: Այդ նպատակով օգտագործվում են երկու պատահական փոփոխականներ՝ միասին դիտարկված: Ինչպես պատահական փոփոխականների դեպքում, ներկայացվում է և-ի միջև կապի կամ կախվածության հատկանիշ: Պատահական գործընթացի համար այս հատկանիշը կախված է ժամանակի երկու պահից և կոչվում է հարաբերակցության ֆունկցիա.

Ստացիոնար պատահական գործընթացներ. Ժամանակի ընթացքում կառավարման համակարգերում շատ գործընթացներ տեղի են ունենում միատեսակ: Նրանց հիմնական բնութագրերը չեն փոխվում: Նման գործընթացները կոչվում են ստացիոնար: Ճշգրիտ սահմանումը կարելի է տալ հետևյալ կերպ. Պատահական պրոցեսը կոչվում է անշարժ, եթե դրա հավանականական բնութագրիչներից որևէ մեկը կախված չէ ժամանակի սկզբնավորման տեղաշարժից: Ստացիոնար պատահական գործընթացի համար մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը հաստատուն են.

Ստացիոնար գործընթացի հարաբերակցության ֆունկցիան կախված չէ t ծագումից, այսինքն. կախված է միայն ժամանակի տարբերությունից.

Ստացիոնար պատահական գործընթացի հարաբերակցության ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.

1) ; 2) ; 3) .

Հաճախ կապի համակարգերում պրոցեսների փոխկապակցման գործառույթներն ունենում են Նկ. 1.20.

Բրինձ. 1.20. Գործընթացների հարաբերակցության գործառույթները

Ժամանակային միջակայքը, որի ընթացքում փոխկապակցման գործառույթը, այսինքն. Պատահական գործընթացի արժեքների միջև կապի մեծությունը նվազում է M անգամ, որը կոչվում է պատահական գործընթացի միջակայք կամ հարաբերակցության ժամանակ: Սովորաբար կամ. Կարելի է ասել, որ պատահական գործընթացի արժեքները, որոնք ժամանակի ընթացքում տարբերվում են հարաբերակցության միջակայքով, թույլ են միմյանց հետ կապված:

Այսպիսով, հարաբերակցության ֆունկցիայի իմացությունը թույլ է տալիս դատել պատահական գործընթացի փոփոխության արագությունը:

Մեկ այլ կարևոր հատկանիշ պատահական գործընթացի էներգետիկ սպեկտրն է: Այն սահմանվում է որպես հարաբերակցության ֆունկցիայի Ֆուրիեի փոխակերպում.

.

Ակնհայտ է, որ հակառակ փոխակերպումը նույնպես ճիշտ է.

.

Էներգիայի սպեկտրը ցույց է տալիս պատահական գործընթացի, ինչպիսին է միջամտությունը, էներգիայի բաշխումը հաճախականության առանցքի վրա:

ACS-ը վերլուծելիս շատ կարևոր է որոշել պատահական գործընթացի բնութագրերը գծային համակարգի ելքում՝ պրոցեսի հայտնի բնութագրերով ACS-ի մուտքում: Ենթադրենք, որ գծային համակարգը տրվում է իմպուլսային անցողիկ արձագանքով։ Այնուհետև ելքային ազդանշանը ժամանակի պահին որոշվում է Duhamel ինտեգրալով.

,

որտեղ է գործընթացը համակարգի մուտքագրում: Հարաբերակցության ֆունկցիան գտնելու համար գրում ենք իսկ բազմապատկելուց հետո գտնում ենք մաթեմատիկական ակնկալիքը

– տղաների թիվը 10 նորածինների մեջ.

Միանգամայն պարզ է, որ այս թիվը նախապես հայտնի չէ, և ծնված հաջորդ տասը երեխաներին կարող են ներառել.

Կամ տղաներ - մեկ ու միակթվարկված տարբերակներից։

Եվ մարզավիճակը պահելու համար մի փոքր ֆիզիկական դաստիարակություն.

- հեռահար ցատկ (որոշ միավորներում).

Նույնիսկ սպորտի վարպետը չի կարող դա գուշակել :)

Այնուամենայնիվ, ձեր վարկածները.

2) Շարունակական պատահական փոփոխական – ընդունում է Բոլորըթվային արժեքներ որոշ վերջավոր կամ անսահման միջակայքից:

Նշում DSV և NSV հապավումները տարածված են կրթական գրականության մեջ

Նախ, եկեք վերլուծենք դիսկրետ պատահական փոփոխականը, այնուհետև՝ շարունակական.

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը

- Սա նամակագրությունայս քանակի հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների միջև: Ամենից հաճախ օրենքը գրված է աղյուսակում.

Տերմինը բավականին հաճախ է հայտնվում շարք բաշխում, բայց որոշ իրավիճակներում դա երկիմաստ է հնչում, և այնպես որ ես հավատարիմ կմնամ «օրենքին»։

Իսկ հիմա շատ կարևոր կետ: քանի որ պատահական փոփոխական Պարտադիրկընդունի արժեքներից մեկը, ապա ձևավորվում են համապատասխան իրադարձությունները ամբողջական խումբիսկ դրանց առաջացման հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.

կամ, եթե գրված է խտացված.

Այսպիսով, օրինակ, մահացու վրա գլորված կետերի հավանականության բաշխման օրենքը ունի հետևյալ ձևը.

Առանց մեկնաբանությունների.

Դուք կարող եք տպավորություն ունենալ, որ դիսկրետ պատահական փոփոխականը կարող է ընդունել միայն «լավ» ամբողջ թվեր: Եկեք ցրենք պատրանքը. դրանք կարող են լինել ամեն ինչ.

Օրինակ 1

Որոշ խաղեր ունի շահող բաշխման հետևյալ օրենքը.

...դուք երեւի վաղուց եք երազել նման առաջադրանքների մասին :) Մի գաղտնիք կասեմ՝ ես էլ։ Հատկապես աշխատանքն ավարտելուց հետո դաշտի տեսություն.

Լուծումքանի որ պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել երեք արժեքներից միայն մեկը, ձևավորվում են համապատասխան իրադարձություններ ամբողջական խումբ, ինչը նշանակում է, որ դրանց հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.

Մերկացնելով «կուսակցականին».

– այսպիսով, պայմանական միավորներ շահելու հավանականությունը 0,4 է:

Վերահսկում. դա այն է, ինչում մենք պետք է համոզվեինք:

Պատասխանել:

Հազվադեպ չէ, երբ դուք պետք է ինքներդ կազմեք բաշխման օրենք: Դրա համար նրանք օգտագործում են հավանականության դասական սահմանում, Իրադարձությունների հավանականությունների համար բազմապատկման/գումարման թեորեմներև այլ չիպսեր տերվերա:

Օրինակ 2

Տուփը պարունակում է 50 վիճակախաղի տոմս, որոնցից 12-ը շահում են, և դրանցից 2-ը շահում են 1000-ական ռուբլի, իսկ մնացածը՝ 100-ական ռուբլի։ Կազմեք օրենք պատահական փոփոխականի բաշխման համար՝ շահումների չափը, եթե մեկ տոմսը պատահականորեն դուրս է բերվում տուփից:

ԼուծումԻնչպես նկատեցիք, պատահական փոփոխականի արժեքները սովորաբար տեղադրվում են աճման կարգով. Հետևաբար, մենք սկսում ենք ամենափոքր շահումներից, մասնավորապես ռուբլով:

Ընդհանուր առմամբ կա այդպիսի 50 տոմս՝ 12 = 38, իսկ ըստ դասական սահմանում:
– հավանականությունը, որ պատահականորեն խաղարկված տոմսը կպարտվի:

Այլ դեպքերում ամեն ինչ պարզ է. Ռուբլի շահելու հավանականությունը հետևյալն է.

Ստուգեք. – և սա հատկապես հաճելի պահ է նման առաջադրանքների համար:

ՊատասխանելՇահումների բաշխման ցանկալի օրենքը.

Հետևյալ խնդիրը ձեզ համար է ինքնուրույն լուծել.

Օրինակ 3

Հավանականությունը, որ կրակողը կհարվածի թիրախին, մեծ է. Կազմեք բաշխման օրենք պատահական փոփոխականի համար՝ հարվածների քանակը 2 կրակոցից հետո:

...Ես գիտեի, որ կարոտել ես :) Հիշենք բազմապատկման և գումարման թեորեմներ. Լուծումը և պատասխանը՝ դասի վերջում։

Բաշխման օրենքը ամբողջությամբ նկարագրում է պատահական փոփոխականը, բայց գործնականում կարող է օգտակար լինել (և երբեմն ավելի օգտակար) իմանալ դրա միայն մի մասը: թվային բնութագրեր .

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ակնկալիք

Պարզ ասած, սա է միջին ակնկալվող արժեքըերբ թեստը բազմիցս կրկնվում է: Թող պատահական փոփոխականը ընդունի արժեքներ հավանականություններով համապատասխանաբար. Այնուհետև այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ապրանքների գումարըդրա բոլոր արժեքները համապատասխան հավանականություններին.

կամ փլուզված:

Եկեք հաշվարկենք, օրինակ, պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը.

Հիմա հիշենք մեր հիպոթետիկ խաղը.

Հարց է առաջանում՝ առհասարակ ձեռնտու է այս խաղը խաղալը։ ...ովքեր տպավորություններ ունեն: Այսպիսով, դուք չեք կարող դա «անհեթեթ» ասել: Բայց այս հարցին կարելի է հեշտությամբ պատասխանել՝ հաշվարկելով մաթեմատիկական ակնկալիքը, ըստ էության. կշռված միջինըստ հաղթելու հավանականության.

Այսպիսով, այս խաղի մաթեմատիկական ակնկալիքը կորցնելով.

Մի վստահեք ձեր տպավորություններին, վստահեք թվերին:

Այո, այստեղ դուք կարող եք հաղթել 10 կամ նույնիսկ 20-30 անգամ անընդմեջ, բայց երկարաժամկետ հեռանկարում մեզ անխուսափելի կործանում է սպասում։ Իսկ ես քեզ խորհուրդ չէի տա նման խաղեր խաղալ :) Դե, գուցե միայն հաճույքի համար.

Վերոհիշյալ բոլորից հետևում է, որ մաթեմատիկական ակնկալիքն այլևս պատահական արժեք չէ:

Ստեղծագործական առաջադրանք անկախ հետազոտության համար.

Օրինակ 4

Միստր X-ը եվրոպական ռուլետկա է խաղում հետևյալ համակարգով. նա անընդհատ 100 ռուբլի է խաղադրում «կարմիրի» վրա։ Կազմեք պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը՝ դրա շահումները: Հաշվեք շահումների մաթեմատիկական ակնկալիքը և կլորացրեք այն մոտակա կոպեկով: Որքան միջինԱրդյո՞ք խաղացողը պարտվում է իր գրազի յուրաքանչյուր հարյուրի համար:

Հղում Եվրոպական ռուլետկա պարունակում է 18 կարմիր, 18 սև և 1 կանաչ հատված («զրո»): Եթե ​​հայտնվում է «կարմիր», խաղացողին վճարվում է կրկնակի խաղադրույքը, հակառակ դեպքում այն ​​գնում է կազինոյի եկամուտին

Կան բազմաթիվ այլ ռուլետկա համակարգեր, որոնց համար կարող եք ստեղծել ձեր սեփական հավանականության աղյուսակները: Բայց սա այն դեպքն է, երբ մեզ պետք չեն բաշխման օրենքներ կամ աղյուսակներ, քանի որ հաստատ հաստատվել է, որ խաղացողի մաթեմատիկական ակնկալիքը նույնն է լինելու: Միակ բանը, որ փոխվում է համակարգից համակարգ