Որոշ իռացիոնալ արտահայտությունների ինտեգրում. Իռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալներ. Ինտեգրալն ինքն իրեն նվազեցնելով

Երեխաների համար հակատիպային դեղամիջոցները նշանակվում են մանկաբույժի կողմից: Բայց լինում են արտակարգ իրավիճակներ՝ տենդով, երբ երեխային անհապաղ պետք է դեղորայք տալ։ Հետո ծնողներն իրենց վրա են վերցնում պատասխանատվությունը եւ օգտագործում ջերմության դեմ պայքարող դեղեր։ Ի՞նչ է թույլատրվում տալ նորածիններին. Ինչպե՞ս կարող եք իջեցնել ջերմաստիճանը մեծ երեխաների մոտ: Ո՞ր դեղամիջոցներն են առավել անվտանգ:

Այս առցանց հաշվիչը օգտագործվում է , , ձևի իռացիոնալ կոտորակների ինտեգրալները հաշվարկելու համար:

Թող - ռացիոնալ գործառույթ Այս ֆունկցիան և հետևաբար նրա ինտեգրալը ռացիոնալացվում է՝ փոխարինելով x=t r, որտեղ r-ը r 1, r 2,…, r n թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։ Այնուհետև dx=rt r -1 և ինտեգրալի տակ կա t-ի ռացիոնալ ֆունկցիա։ Նմանապես, եթե ինտեգրանդը -ի ռացիոնալ ֆունկցիան է , ապա ինտեգրանդ ֆունկցիան ռացիոնալացվում է փոխարինմամբ, որտեղ t-ը r 1, r 2,…, r n թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։ Այնուհետև փոխարինելով սկզբնական արտահայտության մեջ՝ մենք ստանում ենք t-ի ռացիոնալ ֆունկցիա:

Օրինակ. Հաշվիր։ 2-ի և 3-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 6-ն է: Հետևաբար, մենք փոխարինում ենք x = t 6: Ապա dx = 6t 5 dt եւ

Իռացիոնալ գործառույթների ինտեգրում

Օրինակ թիվ 1. Հաշվիր իռացիոնալ ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալը.

Լուծում. R(x α1, x α2,..., x αk)dx ձևի ինտեգրալ, որտեղ R-ը x αi, α i =p i /q i - ռացիոնալ կոտորակների ռացիոնալ ֆունկցիան է (i = 1,2,... , k) , վերածվում է ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալի՝ օգտագործելով x = t q փոխարինումը, որտեղ q a 1, a 2,..., a k կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): Մեր դեպքում a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, ուստի դրանց հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը q = LCM(2,3,6) = 6 է: x = t 6 փոփոխականը փոխարինելը հանգեցնում է. կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալը, որը հաշվարկվում է ինչպես նկարագրված է օրինակում.

Սահմանում 1

Տրված $y=f(x)$ ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը, որը սահմանված է որոշակի հատվածի վրա, կոչվում է տրված $y=f(x)$ ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալ։ Անորոշ ինտեգրալը նշվում է $\int f(x)dx $ նշանով։

Մեկնաբանություն

Սահմանում 2-ը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Ամեն իռացիոնալ ֆունկցիա չէ, որ կարող է արտահայտվել որպես ինտեգրալ տարրական ֆունկցիաների միջոցով։ Այնուամենայնիվ, այս ինտեգրալների մեծ մասը կարող է կրճատվել՝ օգտագործելով ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների փոխարինումները, որոնք կարող են արտահայտվել տարրական ֆունկցիաների տեսքով։

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

Ի

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ ձևի ինտեգրալ գտնելիս անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ փոխարինումը.

Այս փոխարինմամբ $x$ փոփոխականի յուրաքանչյուր կոտորակային հզորություն արտահայտվում է $t$ փոփոխականի ամբողջ հզորության միջոցով։ Արդյունքում ինտեգրանդ ֆունկցիան փոխակերպվում է $t$ փոփոխականի ռացիոնալ ֆունկցիայի։

Օրինակ 1

Կատարել ինտեգրում.

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Լուծում:

$k=4$ $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $ կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է։

\ \[\սկիզբ(զանգված)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2)) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\վերջ (զանգված)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac) ձևի ինտեգրալ գտնելիս (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ փոխարինումը.

որտեղ $k$-ը $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $ կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է:

Այս փոխարինման արդյունքում ինտեգրանդ ֆունկցիան փոխակերպվում է $t$ փոփոխականի ռացիոնալ ֆունկցիայի։

Օրինակ 2

Կատարել ինտեգրում.

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Լուծում:

Կատարենք հետևյալ փոխարինումը.

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \ձախ (1) +\frac(4)(t^(2) -4) \աջ)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \ձախ |\frac(t-2)(t+2) \աջ|+C\]

Հակադարձ փոխարինումը կատարելուց հետո մենք ստանում ենք վերջնական արդյունքը.

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \ձախ|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \աջ|+C.\]

III

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ ձևի ինտեգրալը գտնելիս կատարվում է այսպես կոչված Էյլերի փոխարինում (երեք հնարավոր փոխարինումներից մեկը. օգտագործված):

Էյլերի առաջին փոխարինումը

$a> գործի համար

Վերցնելով «+» նշանը $\sqrt(a) $-ի դիմաց՝ ստանում ենք

Օրինակ 3

Կատարել ինտեգրում.

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) .\]

Լուծում:

Կատարենք հետևյալ փոխարինումը ($a=1>0$ դեպք).

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^) (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t)) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Հակադարձ փոխարինումը կատարելուց հետո մենք ստանում ենք վերջնական արդյունքը.

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Էյլերի երկրորդ փոխարինումը

$c>0$ դեպքի համար անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ փոխարինումը.

Վերցնելով «+» նշանը $\sqrt(c) $-ի դիմաց՝ ստանում ենք

Օրինակ 4

Կատարել ինտեգրում.

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Լուծում:

Կատարենք հետևյալ փոխարինումը.

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Հակադարձը կատարելով փոխարինում, մենք ստանում ենք վերջնական արդյունքը.

\[\սկիզբ(զանգված)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \ձախ|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1) (x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \աջ|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \ձախ|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\աջ|+C) \վերջ ( զանգված)\]

Էյլերի երրորդ փոխարինումը

Տակ իռացիոնալհասկանալ արտահայտությունը, որտեղ անկախ փոփոխականը %%x%% կամ բազմանդամը %%P_n(x)%% աստիճանի %%n \in \mathbb(N)%% ներառված է նշանի տակ արմատական(լատիներենից ռադիքս- արմատ), այսինքն. բարձրացված կոտորակային հզորության: Փոխարինելով փոփոխականը, ինտեգրանդների որոշ դասեր, որոնք իռացիոնալ են %%x%%-ի նկատմամբ, կարող են վերածվել ռացիոնալ արտահայտությունների նոր փոփոխականի նկատմամբ։

Մեկ փոփոխականի ռացիոնալ ֆունկցիայի հայեցակարգը կարող է տարածվել մի քանի փաստարկների վրա: Եթե յուրաքանչյուր արգումենտի համար %%u, v, \dotsc, w%% ֆունկցիայի արժեքը հաշվարկելիս տրամադրվում են միայն թվաբանական գործողություններ և բարձրացում մինչև ամբողջ թիվ, ապա մենք խոսում ենք այս արգումենտների ռացիոնալ ֆունկցիայի մասին, որը սովորաբար. նշվում է %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Նման ֆունկցիայի արգումենտներն իրենք կարող են լինել %%x%% անկախ փոփոխականի ֆունկցիաներ, ներառյալ %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% ձևի ռադիկալները։ Օրինակ՝ $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ ռացիոնալ ֆունկցիան %%u = x, v = \sqrt(x)%% և %%: w = \sqrt(x^2 + 1)%%-ը $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x +) ռացիոնալ ֆունկցիա է: \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ %%x%%-ից և արմատականներ %%\sqrt(x)%% և %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, մինչդեռ %%f(x)%% ֆունկցիան կլինի մեկ անկախ փոփոխականի %%x%% իռացիոնալ (հանրահաշվական) ֆունկցիա։

Դիտարկենք %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ձևի ինտեգրալները։ Նման ինտեգրալները ռացիոնալացվում են՝ փոխարինելով %%t = \sqrt[n](x)%% փոփոխականը, ապա %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%:

Օրինակ 1

Գտեք %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Ցանկալի փաստարկի ինտեգրանդը գրված է որպես %%2%% և %%3% աստիճանի ռադիկալների ֆունկցիա։ Քանի որ %%2%% և %%3%%–ի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը %%6% է, այս ինտեգրալը %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) տիպի ինտեգրալն է։ x %% և կարող է ռացիոնալացվել՝ փոխարինելով %%\sqrt(x) = t%%: Ապա %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Հետևաբար, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Վերցնենք %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% և $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \ձախ(\sqrt(x) + 1\աջ)^3 - 9 \ձախ(\sqrt(x) + 1\աջ)^2 + \\ &+~ 18 \ձախ( \sqrt(x) + 1\աջ) - 6 \ln\ձախ|\sqrt(x) + 1\աջ| + C \վերջ (զանգված) $$

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ձևի ինտեգրալները կոտորակային գծային իռացիոնալությունների հատուկ դեպք են, այսինքն. %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%% ձևի ինտեգրալներ, որտեղ %% ad - bc \neq 0%%, որը կարելի է ռացիոնալացնել՝ փոխարինելով %%t փոփոխականը = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, ապա %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Հետո $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Օրինակ 2

Գտեք %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Վերցնենք %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, ապա %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \սկիզբ(զանգված)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\աջ)^2), \\ 1 + x = \ frac (2) (1 + t^2), \\ \frac (1) (x + 1) = \frac (1 + t^2) (2): \end(array) $$ Հետևաբար, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2)) (2) \ ձախ (-\frac(4t \mathrm(d)t) (\ ձախ (1 + t^2 \ աջ) ^2 )\աջ) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \վերջ (զանգված) $$

Դիտարկենք %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ձևի ինտեգրալները։ Ամենապարզ դեպքերում նման ինտեգրալները վերածվում են աղյուսակայինի, եթե ամբողջական քառակուսին մեկուսացնելուց հետո կատարվի փոփոխականների փոփոխություն։

Օրինակ 3

Գտեք %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))% ինտեգրալը։

Հաշվի առնելով, որ %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, մենք վերցնում ենք %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, ապա $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\աջ| + C = \\ &= \ln\ձախ|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\աջ| + C. \վերջ (զանգված) $$

Ավելի բարդ դեպքերում %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) ձևի ինտեգրալներ գտնելու համար օգտագործվում են \mathrm(d)x%%:

Այս բաժնում կքննարկվի ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրման մեթոդը: 7.1. Համառոտ տեղեկատվություն ռացիոնալ ֆունկցիաների մասին Ամենապարզ ռացիոնալ ֆունկցիան տասներորդ աստիճանի բազմանդամն է, այսինքն. այն ձևի ֆունկցիան, որտեղ կան իրական հաստատուններ, և a0 Ф 0: Qn(x) բազմանդամը, որի a0 = 1 գործակիցը կոչվում է կրճատված: Իրական b թիվը կոչվում է Qn(z) բազմանդամի արմատ, եթե Q„(b) = 0: Հայտնի է, որ իրական գործակիցներով յուրաքանչյուր Qn(x) բազմանդամը եզակիորեն բաժանվում է իրական գործակիցների, որտեղ p, q: իրական գործակիցներ են, իսկ քառակուսի գործոնները չունեն իրական արմատներ և, հետևաբար, չեն կարող քայքայվել իրական գծային գործոնների: Համատեղելով միանման գործակիցները (եթե այդպիսիք կան) և պարզության համար ենթադրելով, որ Qn(x) բազմանդամը կրճատված է, մենք կարող ենք դրա գործոնացումը գրել այն ձևով, որտեղ կան բնական թվեր։ Քանի որ Qn(x) բազմանդամի աստիճանը հավասար է n-ի, ապա a, /3,..., A բոլոր ցուցանիշների գումարը, որը գումարվում է ω,..., q բոլոր ցուցանիշների կրկնակի գումարին, հավասար է։ մինչև n. Բազմանդամի a արմատը կոչվում է պարզ կամ միայնակ, եթե a = 1, և բազմապատիկ, եթե a > 1; a թիվը կոչվում է a արմատի բազմապատիկություն: Նույնը վերաբերում է բազմանդամի այլ արմատներին։ Ռացիոնալ f(x) ֆունկցիան կամ ռացիոնալ կոտորակը երկու բազմանդամների հարաբերությունն է, և ենթադրվում է, որ Pm(x) և Qn(x) բազմանդամները չունեն ընդհանուր գործակիցներ։ Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է պատշաճ, եթե բազմանդամի աստիճանը համարիչում փոքր է հայտարարի բազմանդամի աստիճանից, այսինքն. Եթե m n, ապա ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է անպատշաճ կոտորակ, և այս դեպքում, բազմանդամների բաժանման կանոնի համաձայն համարիչը բաժանելով հայտարարի վրա, այն կարող է ներկայացվել այն ձևով, որտեղ կան մի քանի բազմանդամներ, իսկ ^^-ը պատշաճ է։ ռացիոնալ կոտորակ. Օրինակ 1. Ռացիոնալ կոտորակը ոչ պատշաճ կոտորակ է: Բաժանելով «անկյունով»՝ ունենք հետևաբար. Այստեղ. և դա պատշաճ կոտորակ է: Սահմանում. Ամենապարզ (կամ տարրական) կոտորակները հետևյալ չորս տիպի ռացիոնալ կոտորակներն են. որտեղ իրական թվեր են, k-ը 2-ից մեծ կամ հավասար է բնական թիվ, իսկ x2 + px + q քառակուսի եռանկյունը չունի իրական արմատներ, ուստի -2 _2-ը նրա դիսկրիմինանտն է Հանրահաշվում ապացուցված է հետևյալ թեորեմը. Թեորեմ 3. Իրական գործակիցներով պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ, որի հայտարարի Qn(x) ձևը յուրովի տարրալուծվում է պարզ կոտորակների գումարի ըստ կանոնի Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում Համառոտ տեղեկատվություն ռացիոնալ ֆունկցիաների մասին Պարզ կոտորակների ինտեգրում. Ընդհանուր դեպք Իռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում Առաջին Էյլերի փոխարինում Երկրորդ Էյլերի փոխարինում Երրորդ Էյլերի փոխարինում Այս ընդլայնման մեջ կան մի քանի իրական հաստատուններ, որոնցից մի քանիսը կարող են հավասար լինել զրոյի: Այս հաստատունները գտնելու համար հավասարության (I) աջ կողմը բերվում է ընդհանուր հայտարարի, այնուհետև հավասարվում են ձախ և աջ կողմերի համարիչների x-ի նույն հզորությունների գործակիցները։ Սա տալիս է գծային հավասարումների համակարգ, որտեղից հայտնաբերվում են պահանջվող հաստատունները: . Անհայտ հաստատուններ գտնելու այս մեթոդը կոչվում է չորոշված գործակիցների մեթոդ։ Երբեմն ավելի հարմար է օգտագործել անհայտ հաստատուններ գտնելու մեկ այլ մեթոդ, որը բաղկացած է նրանից, որ համարիչները հավասարեցնելուց հետո x-ի նկատմամբ ինքնություն է ստացվում, որում x-ի արգումենտին տրվում են որոշ արժեքներ, օրինակ՝ արժեքներ: արմատներից, որի արդյունքում ստացվում են հաստատունները գտնելու հավասարումներ: Հատկապես հարմար է, եթե Q„(x) հայտարարն ունի միայն իրական պարզ արմատներ։ Օրինակ 2. Ռացիոնալ կոտորակը տարրալուծիր ավելի պարզ կոտորակների։Այս կոտորակը պատշաճ է։ Հայտարարը բաժանում ենք բազմապատիկների. Քանի որ հայտարարի արմատները իրական են և տարբեր, ապա, ելնելով (1) բանաձևից, կոտորակի տարրալուծումը ամենապարզին կունենա հետևյալ ձևը. ընդհանուր հայտարարը և հավասարեցնելով նրա ձախ և աջ կողմերի համարիչները, մենք ստանում ենք նույնականությունը կամ Գտնում ենք անհայտ A. 2?, C գործակիցները երկու եղանակով: Առաջին ճանապարհը x-ի նույն հզորությունների գործակիցների հավասարումը, t.v. (ազատ տերմինով), և նույնականության ձախ և աջ կողմերով, մենք ստանում ենք A, B, C անհայտ գործակիցները գտնելու համար հավասարումների գծային համակարգ: Այս համակարգն ունի եզակի լուծում C Երկրորդ մեթոդը: Քանի որ հայտարարի արմատները պատռված են i 0-ում, մենք ստանում ենք 2 = 2A, որտեղից A * 1; g i 1, մենք ստանում ենք -1 * -B, որից 5 * 1; x i 2, մենք ստանում ենք 2 = 2C: որտեղից C» 1, իսկ պահանջվող ընդլայնումն ունի 3 ձև. Ռեհլոժնտ ոչ ամենապարզ կոտորակները ռացիոնալ կոտորակը 4 Հակառակ ուղղությամբ գտնվող բազմանդամը քայքայում ենք գործոնների. Հայտարարն ունի երկու տարբեր իրական արմատներ. x\ = 0 բազմապատկության բազմապատկություն 3: Հետևաբար, այս կոտորակի տարրալուծումը ամենապարզը չէ. աջ կողմը կրճատելով ընդհանուր հայտարարի, մենք գտնում ենք կամ Առաջին մեթոդը: Վերջին նույնականության ձախ և աջ կողմերում x-ի նույն հզորությունների գործակիցները հավասարեցնելը: մենք ստանում ենք հավասարումների գծային համակարգ, որն ունի եզակի լուծում և պահանջվող ընդլայնումը կլինի Երկրորդ մեթոդը։ Ստացված ինքնության մեջ, դնելով x = 0, մենք ստանում ենք 1 a A2, կամ A2 = 1; դաշտ* գեյ x = -1, մենք ստանում ենք -3 i B), կամ Bj i -3: A\ և B գործակիցների հայտնաբերված արժեքները փոխարինելիս և ինքնությունը կունենա ձև կամ դնելով x = 0, այնուհետև x = -I: մենք գտնում ենք, որ = 0, B2 = 0 և. սա նշանակում է B = 0: Այսպիսով, մենք նորից ստանում ենք օրինակ 4. 4-ի ռացիոնալ կոտորակը մեծացրեք ավելի պարզ կոտորակների: Կոտորակի հայտարարը իրական արմատներ չունի, քանի որ x2 + 1 ֆունկցիան չի վերանում x-ի իրական արժեքների համար: Ուստի պարզ կոտորակների տարրալուծումը պետք է ունենա այստեղից ստացված կամ. Հավասարեցնելով x-ի սինաքսի հզորությունների գործակիցները վերջին հավասարության ձախ և աջ կողմերում, կունենանք որտեղ կգտնենք և, հետևաբար, պետք է նշել, որ որոշ դեպքերում պարզ կոտորակների տարրալուծումները կարելի է ավելի արագ և հեշտ ստանալ՝ գործելով. այլ կերպ՝ առանց անորոշ գործակիցների մեթոդի կիրառման Օրինակ, օրինակ 3-ում կոտորակի տարրալուծումը ստանալու համար կարելի է 3x2 համարիչում գումարել և հանել և բաժանել, ինչպես ցույց է տրված ստորև: 7.2. Պարզ կոտորակների ինտեգրում, Ինչպես նշվեց վերևում, ցանկացած ոչ պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես որոշ բազմանդամի և պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի գումար (§7), և այս ներկայացումը եզակի է: Բազմանդամի ինտեգրումը դժվար չէ, ուստի հաշվի առեք ճիշտ ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրման հարցը: Քանի որ ցանկացած պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես պարզ կոտորակների գումար, դրա ինտեգրումը կրճատվում է պարզ կոտորակների ինտեգրման: Այժմ դիտարկենք դրանց ինտեգրման հարցը։ III. Երրորդ տիպի ամենապարզ կոտորակի ինտեգրալը գտնելու համար քառակուսի եռանդամից մեկուսացնում ենք երկանդամի ամբողջական քառակուսին. Քանի որ երկրորդ անդամը հավասար է a2-ի, որտեղ և հետո կատարում ենք փոխարինումը։ Այնուհետև, հաշվի առնելով ինտեգրալի գծային հատկությունները, գտնում ենք. Օրինակ 5. Գտնել ինտեգրալը 4 Ինտեգրանդ ֆունկցիան երրորդ տիպի ամենապարզ կոտորակն է, քանի որ x1 + Ax + 6 քառակուսի եռանկյունը չունի իրական արմատներ (դրա տարբերակիչ Բացասական է՝ , իսկ համարիչը պարունակում է առաջին աստիճանի բազմանդամ, հետևաբար մենք գործում ենք հետևյալ կերպ. չորրորդ տիպի ամենապարզ կոտորակը, մենք դնում ենք, ինչպես վերևում, . Այնուհետև մենք ստանում ենք աջ կողմի ինտեգրալը, որը նշվում է A-ով և փոխակերպում այն հետևյալ կերպ. Աջ կողմի ինտեգրալը ինտեգրվում է մասերով՝ ենթադրելով որտեղից կամ ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում Համառոտ տեղեկատվություն ռացիոնալ ֆունկցիաների մասին Պարզ կոտորակների ինտեգրում Ընդհանուր դեպք Իռացիոնալի ինտեգրում ֆունկցիաներ Էյլերի առաջին փոխարինումը Երկրորդ Էյլերի փոխարինում Երրորդ փոխարինում Էյլեր Մենք ստացել ենք այսպես կոչված կրկնվող բանաձևը, որը թույլ է տալիս գտնել Jk ինտեգրալը ցանկացած k = 2, 3, համար: . Իրոք, J\ ինտեգրալը աղյուսակային է. Կրկնության բանաձևը դնելով, մենք գտնում ենք Իմանալը և դնելով A = 3, մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել Jj և այլն: Վերջնական արդյունքում, t-ի և a-ի փոխարեն ամենուր փոխարինելով դրանց արտահայտությունները x-ով և p և q գործակիցներով, սկզբնական ինտեգրալի համար ստանում ենք նրա արտահայտությունը x-ով և տրված M, LG, p, q թվերը: Օրինակ 8. Նոր ինտեգրալ «Ինտեգրանդ ֆունկցիան չորրորդ տիպի ամենապարզ կոտորակն է, քանի որ քառակուսի եռանդամի դիսկրիմինանտը բացասական է, այսինքն. Սա նշանակում է, որ հայտարարը չունի իրական արմատներ, իսկ համարիչը 1-ին աստիճանի բազմանդամ է։ 1) Անվանի մեջ ընտրում ենք լրիվ քառակուսի 2) Կատարում ենք փոխարինում. Ինտեգրալը կունենա ձև. Կրկնվող բանաձևը դնելով * = 2, a3 = 1. կունենանք, և, հետևաբար, պահանջվող ինտեգրալը հավասար է. Վերադառնալով x փոփոխականին՝ վերջապես ստանում ենք 7.3. Ընդհանուր դեպք Պարբերությունների արդյունքներից. Այս բաժնի 1-ին և 2-րդ կետերը անմիջապես հետևում են կարևոր թեորեմին. Թեորեմա! 4. Ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալը միշտ գոյություն ունի (այն ընդմիջումներով, որոնցում Q„(x) ֆ 0 կոտորակի հայտարարը) և արտահայտվում է վերջավոր թվով տարրական ֆունկցիաների միջոցով, այն է, որ այն հանրահաշվական գումար է, տերմինները. որոնցից կարելի է բազմապատկել միայն ռացիոնալ կոտորակները, բնական լոգարիթմները և արկտանգենսները: Այսպիսով, կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալը գտնելու համար պետք է վարվել հետևյալ կերպ. ներկայացված է որպես բազմանդամի և պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի գումար. 2) այնուհետև ստացված ճիշտ կոտորակի հայտարարը տարրալուծվում է գծային և քառակուսի գործակիցների արտադրյալի. 3) այս ճիշտ կոտորակը տարրալուծվում է պարզ կոտորակների գումարի. 4) օգտագործելով ինտեգրալի գծայինությունը և 2-րդ քայլի բանաձևերը, յուրաքանչյուր անդամի ինտեգրալները գտնվում են առանձին: Օրինակ 7. Գտե՛ք M ինտեգրալը Քանի որ հայտարարը երրորդ կարգի բազմանդամ է, ինտեգրանդի ֆունկցիան անպատշաճ կոտորակ է: Դրանում ընդգծում ենք ամբողջ մասը՝ հետևաբար կունենանք։ Ճիշտ կոտորակի հայտարարն ունի ph-ի տարբեր իրական արմատներ, և, հետևաբար, դրա տարրալուծումը պարզ կոտորակների ունի այն ձևը, որը մենք գտնում ենք: Տալով x արգումենտին հավասար արժեքներ հայտարարի արմատներին, այս նույնությունից հայտնաբերում ենք, որ. Հետևաբար, պահանջվող ինտեգրալը հավասար կլինի օրինակ 8-ին: Գտե՛ք ինտեգրալը 4 Ինտեգրանդը պատշաճ կոտորակ է, որի հայտարարն ունի. երկու տարբեր իրական արմատներ՝ x - O 1-ի բազմապատիկություն և x = 1 բազմակի 3-ի, հետևաբար, ինտեգրանդի ընդլայնումը պարզ կոտորակների մեջ ունի այս հավասարության աջ կողմը ընդհանուր հայտարարի բերելու և հավասարության երկու կողմերը նվազեցնելու ձևը. այս հայտարարով մենք ստանում ենք կամ. Մենք հավասարեցնում ենք x-ի նույն հզորությունների գործակիցները այս նույնության ձախ և աջ կողմերում. Այստեղից մենք գտնում ենք. Գործակիցների գտնված արժեքները փոխարինելով ընդլայնման մեջ՝ կունենանք:Ինտեգրելով՝ գտնում ենք՝ Օրինակ 9. Գտե՛ք ինտեգրալը 4 Կոտորակի հայտարարը իրական արմատներ չունի: Հետևաբար, ինտեգրանդի ընդլայնումը պարզ կոտորակների մեջ ունի Հենց ձև կամ հավասարեցնելով x-ի նույն հզորությունների գործակիցները այս նույնության ձախ և աջ կողմերում, մենք կունենանք որտեղից կգտնենք և, հետևաբար, Ռեմարկ: Տվյալ օրինակում ինտեգրանդ ֆունկցիան ավելի պարզ ձևով կարելի է ներկայացնել որպես պարզ կոտորակների գումար, այն է՝ կոտորակի համարիչում ընտրում ենք հայտարարի մեջ գտնվող երկուականը, այնուհետև կատարում ենք անդամ առ անդամ բաժանում։ §8. Իռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում Այն ձևի ֆունկցիան, որտեղ Pm և £?“ աստիճանի տիպի բազմանդամներ են, համապատասխանաբար, uub2,... փոփոխականներում կոչվում է ubu2j-ի ռացիոնալ ֆունկցիա... Օրինակ՝ երկրորդ աստիճանի բազմանդամ։ երկու փոփոխականներում u\ և u2 ունի այն ձևը, որտեղ - որոշ իրական հաստատուններ, և Օրինակ 1, Ֆունկցիան r և y փոփոխականների ռացիոնալ ֆունկցիան է, քանի որ այն ներկայացնում է երրորդ աստիճանի բազմանդամի և բազմանդամի հարաբերակցությունը: հինգերորդ աստիճանի, բայց յունի ֆունկցիա չէ: Այն դեպքում, երբ փոփոխականներն իրենց հերթին w փոփոխականի ֆունկցիաներ են, ապա ] ֆունկցիան կոչվում է Օրինակի ֆունկցիաների ռացիոնալ ֆունկցիա։ Ֆունկցիան r-ի և rvdikvlv Pryaivr-ի ռացիոնալ ֆունկցիան է 3. Ձևի ֆունկցիան x-ի և y/r1 + 1 արմատականի ռացիոնալ ֆունկցիա չէ, այլ այն ֆունկցիաների ռացիոնալ ֆունկցիա է:Ինչպես ցույց են տալիս օրինակները, իռացիոնալների ինտեգրալները: Ֆունկցիաները միշտ չէ, որ արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաների միջոցով։ Օրինակ, հավելվածներում հաճախ հանդիպող ինտեգրալները չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով. այս ինտեգրալները կոչվում են համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ տեսակի էլիպսային ինտեգրալներ: Դիտարկենք այն դեպքերը, երբ իռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրումը որոշ փոխարինումների օգնությամբ կարող է կրճատվել ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրման։ 1. Թող անհրաժեշտ լինի գտնել այն ինտեգրալը, որտեղ R(x, y) իր x և y փաստարկների ռացիոնալ ֆունկցիան է. մ £ 2 - բնական թիվ; a, 6, c, d-ն իրական հաստատուններ են, որոնք բավարարում են ad - bc ^ O պայմանը (ad - be = 0-ի համար, a և b գործակիցները համաչափ են c և d գործակիցներին, և, հետևաբար, հարաբերությունը կախված չէ x-ից: Սա նշանակում է, որ այս դեպքում ինտեգրանդ ֆունկցիան կլինի x փոփոխականի ռացիոնալ ֆունկցիա, որի ինտեգրման մասին խոսվել է ավելի վաղ): Եկեք այս ինտեգրալում կատարենք փոփոխականի փոփոխություն՝ դնելով Hence՝ x փոփոխականն արտահայտում ենք նոր փոփոխականի միջոցով, ունենք x = - t-ի ռացիոնալ ֆունկցիա։ Հաջորդը մենք գտնում ենք կամ, պարզեցնելուց հետո, հետևաբար, որտեղ A1 (t) *-ի ռացիոնալ ֆունկցիան է, քանի որ ռացիոնալ ֆունկցիայի ռացիոնալ ֆունադիան, ինչպես նաև ռացիոնալ ֆունկցիաների արտադրյալը, ռացիոնալ ֆունկցիաներ են: Մենք գիտենք, թե ինչպես ինտեգրել ռացիոնալ գործառույթները: Թող ապա պահանջվող ինտեգրալը հավասար լինի At-ին: IvYti ինտեգրալ 4 Ինտեգրանդ* ֆունկցիան ռացիոնալ ֆունկցիա է: Հետևաբար, մենք սահմանում ենք t = Հետո ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում Համառոտ տեղեկատվություն ռացիոնալ ֆունկցիաների մասին Պարզ կոտորակների ինտեգրում Ընդհանուր դեպք Իռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում Էյլերի առաջին փոխարինում Էյլերի երկրորդ փոխարինում Էյլերի երրորդ փոխարինում Այսպիսով, ստանում ենք հիմնական 5: Գտեք ինտեգրալը Կոտորակի ընդհանուր հայտարարը x-ի ցուցիչները հավասար են 12-ի, ուստի ֆունկցիայի ինտեգրանդը կարող է ներկայացվել 1 _ 1_ ձևով, ինչը ցույց է տալիս, որ այն ռացիոնալ ֆունկցիա է. Հաշվի առնելով դա՝ դնենք. Հետևաբար, 2. Դիտարկենք այն ձևի ինտեֆերը, որտեղ ենթաինտեֆալ ֆունկցիան այնպիսին է, որ դրանում \/ax2 + bx + c արմատականը փոխարինելով y-ով, մենք ստանում ենք R(x) y) ֆունկցիա՝ ռացիոնալ x երկու արգումենտների նկատմամբ: և y. Այս ինտեգրալը կրճատվում է մինչև մեկ այլ փոփոխականի ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալ՝ օգտագործելով Էյլերի փոխարինումները։ 8.1. Էյլերի առաջին փոխարինումը Թող գործակիցը a > 0: Եկեք սահմանենք կամ, հետևաբար, գտնենք x որպես u-ի ռացիոնալ ֆունկցիա, ինչը նշանակում է Այսպիսով, նշված փոխարինումը ռացիոնալ կերպով արտահայտվում է *-ով: Ուստի դիտողություն կունենանք. Էյլերի առաջին փոխարինումը կարող է ընդունվել նաև օրինակ 6-ի տեսքով: Եկեք գտնենք ինտեգրալը, հետևաբար, մենք կունենանք dx Էյլերի փոխարինում, ցույց տվեք, որ Y 8.2. Էյլերի երկրորդ փոխարինումը Թող ax2 + bx + c եռանդամն ունենա տարբեր իրական արմատներ R] և x2 (գործակիցը կարող է ունենալ ցանկացած նշան): Այս դեպքում մենք ենթադրում ենք, որ այնուհետև մենք ստանում ենք Քանի որ x,dxn y/ax2 + be + c-ը ռացիոնալ կերպով արտահայտվում են t-ով, ապա սկզբնական ինտեգրալը կրճատվում է ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալին, այսինքն՝ որտեղ Խնդիր: Օգտագործելով Էյլերի առաջին փոխարինումը, ցույց տվեք, որ t-ի ռացիոնալ ֆունկցիան է: Օրինակ 7. Գտե՛ք dx M ինտեգրալ ֆունկցիան ] - x1-ն ունի տարբեր իրական արմատներ: Հետևաբար, մենք կիրառում ենք Էյլերի երկրորդ փոխարինումը, որտեղից մենք գտնում ենք Գտնված արտահայտությունները փոխարինելով Given?v*gyvl; մենք ստանում ենք 8.3: Երրորդ Euler substascom Թող գործակիցը c > 0: Փոփոխականի փոփոխություն ենք կատարում դնելով. Նկատի ունեցեք, որ ինտեգրալը ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալին նվազեցնելու համար բավարար են Էյլերի առաջին և երկրորդ փոխարինումները։ Փաստորեն, եթե տարբերակիչ b2 -4ac > 0, ապա քառակուսի եռանդամի կացին + bx + c արմատները իրական են, և այս դեպքում կիրառելի է Էյլերի երկրորդ փոխարինումը։ Եթե, ապա ax2 + bx + c եռանդամի նշանը համընկնում է a գործակցի նշանի հետ, և քանի որ եռանկյունը պետք է լինի դրական, ապա a > 0։ Այս դեպքում կիրառելի է Էյլերի առաջին փոխարինումը։ Վերևում նշված տիպի ինտեգրալները գտնելու համար միշտ չէ, որ նպատակահարմար է օգտագործել Էյլերի փոխարինումները, քանի որ նրանց համար հնարավոր է գտնել ինտեգրման այլ մեթոդներ, որոնք ավելի արագ են տանում նպատակին: Դիտարկենք այս ինտեգրալներից մի քանիսը: 1. Ձևի ինտեգրալները գտնելու համար կատարյալ քառակուսին առանձնացրեք եռանդամի քառակուսուց, որտեղից հետո կատարեք փոխարինում և ստացեք, որտեղ a և P գործակիցները տարբեր նշաններ ունեն կամ երկուսն էլ դրական են: Համար, և նաև > 0-ի համար, ինտեգրալը կկրճատվի մինչև լոգարիթմ, իսկ եթե այո, ապա դեպի աղեղ: ժամը. Ապա գտե՛ք անտեգրալ 4 Sokak-ը: Ենթադրելով, մենք ստանում ենք Prmmar 9. Գտեք. Ենթադրելով x -, մենք կունենանք 2: Ձևի ինտեգրալը 1-ին քայլից կրճատվում է մինչև y ինտեգրալը հետևյալ կերպ. Հաշվի առնելով, որ ածանցյալը ()" = 2, մենք այն առանձնացնում ենք համարիչում. 4 Մենք նույնացնում ենք արմատական արտահայտության ածանցյալը համարիչում: Քանի որ (x, ապա կունենանք, հաշվի առնելով օրինակ 9-ի արդյունքը, 3. Այն ձևի ինտեգրալները, որտեղ P„(x)-ը բազմանդամ n-րդ աստիճան է, կարելի է գտնել անորոշ գործակիցների մեթոդով, որը բաղկացած է հետևյալից. Ենթադրենք, որ հավասարությունը գործում է Օրինակ 10. Հզոր ինտեգրալ, որտեղ Qn-i. (s)-ը (n - 1) աստիճանի բազմանդամ է անորոշ գործակիցներով. Անհայտների գործակիցները գտնելու համար մենք տարբերում ենք (1-ի երկու կողմերը): Այնուհետև (2) հավասարության աջ կողմը կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, որը հավասար է ձախ կողմի հայտարարը, այսինքն՝ y/ax2 + bx + c, նվազեցնելով (2)-ի երկու կողմերը, որով մենք ստանում ենք նույնականությունը, որի երկու կողմերում էլ կան n աստիճանի բազմանդամներ: Հավասարեցնելով x-ի նույն աստիճանների գործակիցները: (3-ի ձախ և աջ կողմերը), մենք ստանում ենք n + 1 հավասարումներ, որոնցից գտնում ենք պահանջվող գործակիցները j4*(fc = 0,1,2,..., n ) դրանց արժեքները փոխարինելով աջ կողմում: (1)-ից և գտնելով + c ինտեգրալը, մենք ստանում ենք այս ինտեգրալի պատասխանը: Օրինակ 11. Գտեք ինտեգրալը Եկեք դնենք Տարբերելով հավասարության երկու կոստյումները՝ կունենանք աջ կողմը բերելով ընդհանուր հայտարարի և երկու կողմերն էլ փոքրացնելով դրանով, կստանանք նույնականությունը կամ. Հավասարեցնելով գործակիցները x-ի միևնույն հզորությամբ՝ մենք հասնում ենք հավասարումների համակարգին, որտեղից գտնում ենք = Այնուհետև գտնում ենք (4) հավասարության աջ կողմում գտնվող ինտեգրալը. Հետևաբար, պահանջվող ինտեգրալը հավասար կլինի.

Տրված են իռացիոնալ ֆունկցիաների (արմատների) ինտեգրման հիմնական մեթոդները։ Դրանք ներառում են՝ գծային կոտորակային իռացիոնալության ինտեգրում, դիֆերենցիալ երկանդամ, ինտեգրալներ քառակուսի եռանդամի քառակուսի արմատով։ Տրված են եռանկյունաչափական և Էյլերի փոխարինումներ։ Դիտարկվում են որոշ էլիպսային ինտեգրալներ, որոնք արտահայտված են տարրական ֆունկցիաներով:

Բովանդակություն

Ինտեգրալներ դիֆերենցիալ երկանդամներից

Դիֆերենցիալ երկանդամներից ինտեգրալները ունեն ձև.
,
որտեղ m, n, p ռացիոնալ թվեր են, a, b՝ իրական թվեր։
Նման ինտեգրալները երեք դեպքում վերածվում են ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների.

1) Եթե p-ն ամբողջ թիվ է: Փոխարինում x = t N, որտեղ N-ը m և n կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է:
2) Եթե - ամբողջ թիվ. Փոխարինում a x n + b = t M, որտեղ M-ը p թվի հայտարարն է:
3) Եթե - ամբողջ թիվ. Փոխարինումը a + b x - n = t M, որտեղ M-ը p թվի հայտարարն է:

Այլ դեպքերում նման ինտեգրալները չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաների միջոցով։

Երբեմն նման ինտեգրալները կարելի է պարզեցնել՝ օգտագործելով կրճատման բանաձևերը.
;
.

Քառակուսի եռանդամի քառակուսի արմատ պարունակող ինտեգրալներ

Նման ինտեգրալները ունեն ձև.
,
որտեղ R-ը ռացիոնալ ֆունկցիա է: Յուրաքանչյուր այդպիսի ինտեգրալի համար կան դրա լուծման մի քանի մեթոդներ։
1) Փոխակերպումների օգտագործումը հանգեցնում է ավելի պարզ ինտեգրալների:
2) Կիրառել եռանկյունաչափական կամ հիպերբոլիկ փոխարինումներ:
3) Կիրառել Էյլերի փոխարինումները:

Եկեք նայենք այս մեթոդներին ավելի մանրամասն:

1) Ինտեգրանդ ֆունկցիայի փոխակերպում

Կիրառելով բանաձևը և կատարելով հանրահաշվական փոխակերպումներ՝ մենք կրճատում ենք ինտեգրման ֆունկցիան ձևի.
,
որտեղ φ(x), ω(x) ռացիոնալ ֆունկցիաներ են:

Տիպ I

Ձևի ինտեգրալ.
,
որտեղ P n (x) n աստիճանի բազմանդամ է:

Նման ինտեգրալները հայտնաբերվում են անորոշ գործակիցների մեթոդով, օգտագործելով նույնականությունը.

.
Տարբերելով այս հավասարումը և հավասարեցնելով ձախ և աջ կողմերը՝ գտնում ենք A i գործակիցները։

Տիպ II

Ձևի ինտեգրալ.
,
որտեղ P m (x)-ը m աստիճանի բազմանդամ է:

Փոխարինում t = (x - α) -1այս ինտեգրալը կրճատվում է նախորդ տեսակին: Եթե m ≥ n, ապա կոտորակը պետք է ունենա ամբողջ թիվ։

III տիպ

Այստեղ մենք կատարում ենք փոխարինումը.
.
Որից հետո ինտեգրալը կստանա ձև.
.
Այնուհետև α, β հաստատունները պետք է ընտրվեն այնպես, որ t-ի գործակիցները հայտարարում դառնան զրո.
B = 0, B 1 = 0:
Այնուհետև ինտեգրալը քայքայվում է երկու տեսակի ինտեգրալների գումարի.
,
,
որոնք ինտեգրված են փոխարինումներով.
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2:

2) Եռանկյունաչափական և հիպերբոլիկ փոխարինումներ

Ձևի ինտեգրալների համար ա > 0 ,
մենք ունենք երեք հիմնական փոխարինում.
;
;
;

Ինտեգրալների համար՝ ա > 0 ,
մենք ունենք հետևյալ փոխարինումները.
;
;
;

Եվ վերջապես ինտեգրալների համար ա > 0 ,
փոխարինումները հետևյալն են.
;
;
;

3) Էյլերի փոխարինումներ

Նաև ինտեգրալները կարող են կրճատվել մինչև Էյլերի երեք փոխարինումներից մեկի ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալներ.
, a > 0-ի համար;
, c > 0-ի համար;
, որտեղ x 1-ը a x 2 + b x + c = 0 հավասարման արմատն է: Եթե այս հավասարումը իրական արմատներ ունի.

Էլիպսային ինտեգրալներ

Եզրափակելով, հաշվի առեք ձևի ինտեգրալները.
,
որտեղ R-ը ռացիոնալ ֆունկցիա է, . Նման ինտեգրալները կոչվում են էլիպսային։ Ընդհանրապես տարրական ֆունկցիաներով չեն արտահայտվում։ Սակայն լինում են դեպքեր, երբ A, B, C, D, E գործակիցների միջև կան հարաբերություններ, որոնցում նման ինտեգրալներն արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաների միջոցով։

Ստորև բերված է ռեֆլեքսիվ բազմանդամների հետ կապված օրինակ։ Նման ինտեգրալների հաշվարկը կատարվում է փոխարինումների միջոցով.
.