0-ը ներառված է ամբողջ թվերի մեջ: Թվեր. Ամբողջ թվեր. Ամբողջ թվերի հատկությունները. Դրական ամբողջ թվեր. Բացասական ամբողջ թվեր

Այս հոդվածում մենք կսահմանենք ամբողջ թվերի բազմությունը, հաշվի առնենք, թե որ ամբողջ թվերն են կոչվում դրական, որոնք՝ բացասական։ Մենք նաև ցույց կտանք, թե ինչպես են ամբողջ թվերն օգտագործվում որոշակի քանակությունների փոփոխությունները նկարագրելու համար: Սկսենք ամբողջ թվերի սահմանումից և օրինակներից։

Ամբողջ թվեր. Սահմանում, օրինակներ

Նախ հիշենք ℕ բնական թվերի մասին։ Անունն ինքնին հուշում է, որ դրանք թվեր են, որոնք բնականաբար օգտագործվել են հաշվելու համար անհիշելի ժամանակներից: Ամբողջ թվերի հասկացությունը լուսաբանելու համար մենք պետք է ընդլայնենք բնական թվերի սահմանումը:

Սահմանում 1. Ամբողջ թվեր

Ամբողջ թվերն են բնական թվերը, դրանց հակադիրները և զրո թիվը։

Ամբողջ թվերի բազմությունը նշվում է ℤ տառով։

ℕ բնական թվերի բազմությունը ℤ ամբողջ թվերի ենթաբազմությունն է։ Յուրաքանչյուր բնական թիվ ամբողջ թիվ է, բայց ամեն մի ամբողջ թիվ չէ:

Սահմանումից հետևում է, որ 1, 2, 3 թվերից որևէ մեկը ամբողջ թիվ է։ . , 0 թիվը, ինչպես նաև թվերը՝ 1, - 2, - 3, . .

Սրան համապատասխան օրինակներ կտանք։ 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 թվերն ամբողջ թվեր են։

Թող կոորդինատային գիծը գծվի հորիզոնական և ուղղվի դեպի աջ: Եկեք նայենք դրան, որպեսզի պատկերացնենք ամբողջ թվերի գտնվելու վայրը տողի վրա:

Կոորդինատային գծի սկզբնաղբյուրը համապատասխանում է 0 թվին, իսկ զրոյի երկու կողմերում գտնվող կետերը՝ դրական և բացասական ամբողջ թվերի։ Յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է մեկ ամբողջ թվի:

Դուք կարող եք հասնել գծի ցանկացած կետի, որի կոորդինատը ամբողջ թիվ է` սկզբից մի կողմ դնելով որոշակի թվով միավորի հատվածներ:

Դրական և բացասական ամբողջ թվեր

Բոլոր ամբողջ թվերից տրամաբանական է տարբերակել դրական և բացասական ամբողջ թվերը։ Տանք նրանց սահմանումները։

Սահմանում 2. Դրական ամբողջ թվեր

Դրական ամբողջ թվերը գումարած նշանով ամբողջ թվերն են:

Օրինակ՝ 7 թիվը գումարած նշանով ամբողջ թիվ է, այսինքն՝ դրական ամբողջ թիվ։ Կոորդինատային գծի վրա այս թիվը գտնվում է հղման կետի աջ կողմում, որն ընդունվում է որպես 0 թիվը: Դրական ամբողջ թվերի այլ օրինակներ՝ 12, 502, 42, 33, 100500:

Սահմանում 3. Բացասական ամբողջ թվեր

Բացասական ամբողջ թվերը մինուս նշանով ամբողջ թվերն են:

Բացասական ամբողջ թվերի օրինակներ՝ - 528, - 2568, - 1։

0 թիվը բաժանում է դրական և բացասական ամբողջ թվերը և ինքնին ոչ դրական է, ոչ բացասական:

Ցանկացած թիվ, որը հակառակ է դրական ամբողջ թվին, ըստ սահմանման, բացասական ամբողջ թիվ է: Ճիշտ է նաև հակառակը. Ցանկացած բացասական ամբողջ թվի հակադարձը դրական ամբողջ թիվ է:

Կարելի է տալ բացասական և դրական ամբողջ թվերի սահմանումների այլ ձևակերպումներ՝ օգտագործելով դրանց համեմատությունը զրոյի հետ։

Սահմանում 4. Դրական ամբողջ թվեր

Դրական ամբողջ թվերն այն ամբողջ թվերն են, որոնք զրոյից մեծ են:

Սահմանում 5. Բացասական ամբողջ թվեր

Բացասական ամբողջ թվերը այն ամբողջ թվերն են, որոնք փոքր են զրոյից:

Ըստ այդմ, դրական թվերն ընկած են կոորդինատային գծի սկզբնակետից աջ, իսկ բացասական ամբողջ թվերը՝ զրոյից ձախ:

Ավելի վաղ ասացինք, որ բնական թվերը ամբողջ թվերի ենթաբազմություն են։ Եկեք պարզաբանենք այս կետը. Բնական թվերի բազմությունը կազմված է դրական ամբողջ թվերից։ Իր հերթին, բացասական ամբողջ թվերի բազմությունը բնականին հակադիր թվերի բազմությունն է։

Կարևոր.

Ցանկացած բնական թիվ կարելի է անվանել ամբողջ, բայց ցանկացած ամբողջ թիվ չի կարելի անվանել բնական թիվ։ Պատասխանելով այն հարցին, թե արդյոք բացասական թվերը բնական թվեր են, պետք է համարձակորեն ասել՝ ոչ, դրանք չեն։

Ոչ դրական և ոչ բացասական ամբողջ թվեր

Եկեք մի քանի սահմանումներ տանք.

Սահմանում 6. Ոչ բացասական ամբողջ թվեր

Ոչ բացասական ամբողջ թվերը դրական ամբողջ թվերն են և զրո թիվը:

Սահմանում 7. Ոչ դրական ամբողջ թվեր

Ոչ դրական ամբողջ թվերը բացասական ամբողջ թվերն են և զրո թիվը:

Ինչպես տեսնում եք, զրո թիվը ոչ դրական է, ոչ էլ բացասական։

Ոչ բացասական ամբողջ թվերի օրինակներ՝ 52, 128, 0։

Ոչ դրական ամբողջ թվերի օրինակներ՝ - 52, - 128, 0։

Ոչ բացասական թիվը զրոյից մեծ կամ հավասար թիվ է: Համապատասխանաբար, ոչ դրական ամբողջ թիվը զրոյից փոքր կամ հավասար թիվ է։

Հակիրճության համար օգտագործվում են «ոչ դրական թիվ» և «ոչ բացասական թիվ» տերմինները։ Օրինակ, փոխանակ ասելու, որ a թիվը մի ամբողջ թիվ է, որը մեծ է կամ հավասար է զրոյի, կարող եք ասել՝ a-ն ոչ բացասական ամբողջ թիվ է:

Օգտագործելով ամբողջ թվեր՝ քանակների փոփոխությունները նկարագրելու համար

Ինչի համար են օգտագործվում ամբողջ թվերը: Առաջին հերթին, նրանց օգնությամբ հարմար է նկարագրել և որոշել ցանկացած օբյեկտի քանակի փոփոխություն: Օրինակ բերենք.

Թույլ տվեք որոշակի քանակությամբ ծնկաձև լիսեռներ պահել պահեստում: Եթե ​​պահեստ բերվի ևս 500 լիսեռ, ապա դրանց թիվը կավելանա։ 500 թիվը ճշգրիտ արտահայտում է մասերի քանակի փոփոխությունը (աճը): Եթե ​​այնուհետև պահեստից վերցվի 200 դետալ, ապա այս թիվը կբնութագրի նաև ծնկաձև լիսեռների քանակի փոփոխությունը: Այս անգամ՝ ներքև։

Եթե ​​պահեստից ոչինչ չի վերցվում և ոչինչ չի առաքվում, ապա 0 թիվը ցույց կտա, որ մասերի քանակը մնում է անփոփոխ։

Ամբողջ թվերի օգտագործման ակնհայտ հարմարությունը, ի տարբերություն բնական թվերի, այն է, որ դրանց նշանը հստակ ցույց է տալիս արժեքի փոփոխության ուղղությունը (ավելացում կամ նվազում):

Ջերմաստիճանի 30 աստիճանով նվազումը կարող է բնութագրվել բացասական ամբողջ թվով՝ 30, իսկ 2 աստիճանով բարձրացումը՝ դրական ամբողջ թվով 2։

Բերենք մեկ այլ օրինակ՝ օգտագործելով ամբողջ թվերը։ Այս անգամ պատկերացնենք, որ մեկին պետք է 5 մետաղադրամ տանք։ Հետո, կարելի է ասել, որ ունենք՝ 5 մետաղադրամ։ Թիվ 5-ը նկարագրում է պարտքի չափը, իսկ մինուս նշանը ցույց է տալիս, որ մենք պետք է հանձնենք մետաղադրամները:

Եթե ​​մեկ անձին պարտք ենք 2 մետաղադրամ, իսկ մյուսին՝ 3, ապա ընդհանուր պարտքը (5 մետաղադրամ) կարելի է հաշվել՝ օգտագործելով բացասական թվեր գումարելու կանոնը.

2 + (- 3) = - 5

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս հոդվածի տեղեկատվությունը տալիս է ընդհանուր պատկերացում ամբողջ թվեր. Նախ տրված է ամբողջ թվերի սահմանումը և բերվում են օրինակներ։ Հաջորդիվ դիտարկում ենք թվային տողի վրա գտնվող ամբողջ թվերը, որտեղից պարզ է դառնում, թե որ թվերն են կոչվում դրական ամբողջ թվեր, որոնք՝ բացասական: Սրանից հետո ցույց է տրվում, թե ինչպես են նկարագրվում քանակների փոփոխությունները՝ օգտագործելով ամբողջ թվերը, իսկ բացասական ամբողջ թվերը դիտարկվում են պարտքի իմաստով։

Էջի նավարկություն.

Ամբողջ թվեր - Սահմանում և օրինակներ

Սահմանում.

Ամբողջ թվեր– դրանք բնական թվեր են, զրո թիվը, ինչպես նաև բնական թվերին հակառակ թվեր։

Ամբողջ թվերի սահմանման մեջ նշվում է, որ 1, 2, 3, … թվերից որևէ մեկը, 0 թիվը, ինչպես նաև −1, −2, −3, … թվերից որևէ մեկը ամբողջ թիվ է։ Այժմ մենք հեշտությամբ կարող ենք բերել ամբողջ թվերի օրինակներ. Օրինակ՝ 38 թիվը ամբողջ թիվ է, 70,040 թիվը նույնպես ամբողջ թիվ է, զրոն ամբողջ թիվ է (հիշենք, որ զրոն բնական թիվ ՉԻ, զրոն ամբողջ թիվ է), −999, −1, −8,934,832 թվերը նույնպես։ ամբողջ թվերի օրինակներ.

Հարմար է բոլոր ամբողջ թվերը ներկայացնել որպես ամբողջ թվերի հաջորդականություն, որն ունի հետևյալ ձևը՝ 0, ±1, ±2, ±3, ... Ամբողջ թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել այսպես. …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Ամբողջ թվերի սահմանումից բխում է, որ բնական թվերի բազմությունը ամբողջ թվերի բազմության ենթաբազմություն է։ Հետևաբար, յուրաքանչյուր բնական թիվ ամբողջ թիվ է, բայց ամեն մի ամբողջ թիվ չէ:

Ամբողջ թվեր կոորդինատային գծի վրա

Սահմանում.

Դրական ամբողջ թվերամբողջ թվեր են զրոյից մեծ։

Սահմանում.

Բացասական ամբողջ թվերամբողջ թվեր են, որոնք զրոյից փոքր են:

Դրական և բացասական ամբողջ թվերը կարող են որոշվել նաև կոորդինատային գծի վրա նրանց դիրքով: Հորիզոնական կոորդինատային գծի վրա կետերը, որոնց կոորդինատները դրական ամբողջ թվեր են, գտնվում են սկզբնակետից աջ: Իր հերթին բացասական ամբողջ կոորդինատներով կետերը գտնվում են O կետից ձախ:

Պարզ է, որ բոլոր դրական ամբողջ թվերի բազմությունը բնական թվերի բազմությունն է։ Իր հերթին, բոլոր բացասական ամբողջ թվերի բազմությունը բնական թվերին հակադիր բոլոր թվերի բազմությունն է։

Առանձին-առանձին, եկեք ձեր ուշադրությունը հրավիրենք այն փաստի վրա, որ մենք կարող ենք ապահով կերպով ցանկացած բնական թիվ անվանել ամբողջ թիվ, բայց ոչ մի ամբողջ թիվ չենք կարող անվանել բնական թիվ: Մենք կարող ենք միայն ցանկացած դրական ամբողջ թիվ անվանել բնական թիվ, քանի որ բացասական ամբողջ թվերը և զրոն բնական թվեր չեն:

Ոչ դրական և ոչ բացասական ամբողջ թվեր

Տանք ոչ դրական և ոչ բացասական ամբողջ թվերի սահմանումները:

Սահմանում.

Բոլոր դրական ամբողջ թվերը՝ զրո թվի հետ միասին, կոչվում են ոչ բացասական ամբողջ թվեր.

Սահմանում.

Ոչ դրական ամբողջ թվեր- սրանք բոլորը բացասական ամբողջ թվեր են 0 թվի հետ միասին:

Այլ կերպ ասած, ոչ բացասական ամբողջ թիվն այն ամբողջ թիվն է, որը մեծ է զրոյից կամ հավասար է զրոյի, իսկ ոչ դրական ամբողջ թիվն այն ամբողջ թիվն է, որը փոքր է զրոյից կամ հավասար է զրոյի:

Ոչ դրական ամբողջ թվերի օրինակներ են −511, −10,030, 0, −2 թվերը, իսկ որպես ոչ բացասական ամբողջ թվերի օրինակ՝ տալիս ենք 45, 506, 0, 900,321 թվերը։

Ամենից հաճախ հակիրճության համար օգտագործվում են «ոչ դրական ամբողջ թվեր» և «ոչ բացասական ամբողջ թվեր» տերմինները: Օրինակ, «a թիվը ամբողջ թիվ է, իսկ a-ն մեծ է զրոյից կամ հավասար է զրոյի» արտահայտության փոխարեն կարող եք ասել «a-ն ոչ բացասական ամբողջ թիվ է»:

Ամբողջ թվերի միջոցով քանակների փոփոխության նկարագրում

Ժամանակն է խոսել այն մասին, թե ինչու են առաջին հերթին անհրաժեշտ ամբողջ թվերը:

Ամբողջ թվերի հիմնական նպատակն այն է, որ նրանց օգնությամբ հարմար է նկարագրել ցանկացած օբյեկտի քանակի փոփոխությունները: Սա հասկանանք օրինակներով։

Պահեստում թող լինի որոշակի քանակությամբ մասեր: Եթե, օրինակ, պահեստ բերվի ևս 400 դետալ, ապա պահեստում դետալների քանակը կավելանա, իսկ 400 թիվը արտահայտում է քանակի այս փոփոխությունը դրական ուղղությամբ (աճող)։ Եթե, օրինակ, պահեստից վերցվի 100 դետալ, ապա պահեստում դետալների թիվը կնվազի, իսկ 100 թիվը բացասական ուղղությամբ (ներքև) արտահայտի քանակի փոփոխություն։ Պահեստամասերը չեն բերվի պահեստ, իսկ մասերը պահեստից չեն հանվի, այնուհետև կարելի է խոսել մասերի մշտական ​​քանակի մասին (այսինքն՝ կարելի է խոսել քանակի զրոյական փոփոխության մասին)։

Բերված օրինակներում մասերի քանակի փոփոխությունը կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով համապատասխանաբար 400, −100 և 0 ամբողջ թվերը։ Դրական 400 ամբողջ թիվը ցույց է տալիս քանակի փոփոխություն դրական ուղղությամբ (ավելացում): Բացասական −100 ամբողջ թիվն արտահայտում է քանակի փոփոխություն բացասական ուղղությամբ (նվազում): 0 ամբողջ թիվը ցույց է տալիս, որ քանակը մնում է անփոփոխ:

Ամբողջ թվերի օգտագործման հարմարավետությունը բնական թվերի օգտագործման համեմատությամբ կայանում է նրանում, որ պետք չէ հստակ նշել, թե քանակն աճում է, թե նվազում. ամբողջ թիվը քանակականացնում է փոփոխությունը, իսկ ամբողջ թվի նշանը ցույց է տալիս փոփոխության ուղղությունը:

Ամբողջ թվերը կարող են նաև արտահայտել ոչ միայն քանակի փոփոխություն, այլև որոշ քանակի փոփոխություն։ Եկեք հասկանանք սա՝ օգտագործելով ջերմաստիճանի փոփոխությունների օրինակը։

Ջերմաստիճանի բարձրացումը, ասենք, 4 աստիճանով արտահայտվում է որպես դրական ամբողջ թիվ 4: Ջերմաստիճանի նվազումը, օրինակ, 12 աստիճանով կարելի է բնութագրել −12 բացասական ամբողջ թվով։ Իսկ ջերմաստիճանի անփոփոխությունը նրա փոփոխությունն է՝ որոշված ​​0 ամբողջ թվով։

Առանձին-առանձին անհրաժեշտ է ասել բացասական ամբողջ թվերի մեկնաբանման մասին՝ որպես պարտքի չափ։ Օրինակ, եթե մենք ունենք 3 խնձոր, ապա դրական ամբողջ թիվը 3-ը ներկայացնում է մեր ունեցած խնձորների քանակը: Մյուս կողմից, եթե մենք պետք է ինչ-որ մեկին 5 խնձոր տանք, բայց դրանք պահեստում չունենք, ապա այս իրավիճակը կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով −5 բացասական ամբողջ թիվը: Այս դեպքում մենք «սեփական» ենք −5 խնձորի, մինուս նշանը ցույց է տալիս պարտքը, իսկ 5 թիվը՝ քանակական պարտքը:

Բացասական ամբողջ թիվը որպես պարտք հասկանալը թույլ է տալիս, օրինակ, հիմնավորել բացասական ամբողջ թվերի ավելացման կանոնը։ Օրինակ բերենք. Եթե ​​ինչ-որ մեկը մեկին պարտք է 2 խնձոր, մյուսին՝ 1 խնձոր, ապա ընդհանուր պարտքը կազմում է 2+1=3 խնձոր, ուրեմն −2+(−1)=−3։

Մատենագիտություն.

• Վիլենկին Ն.Յա. և այլն։Մաթեմատիկա։ 6-րդ դասարան՝ դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար.

Սրանք այն թվերն են, որոնք օգտագործվում են հաշվելիս՝ 1, 2, 3... և այլն։

Զրոն բնական չէ։

Բնական թվերը սովորաբար նշվում են խորհրդանիշով Ն.

Ամբողջ թվեր. Դրական և բացասական թվեր

Կանչվում են երկու թվեր, որոնք միմյանցից տարբերվում են միայն նշանով հակառակը, օրինակ՝ +1 և -1, +5 և -5: «+» նշանը սովորաբար չի գրվում, բայց ենթադրվում է, որ թվի դիմաց կա «+»: Նման թվերը կոչվում են դրական. Կանչվում են թվերը, որոնց նախորդում է «-» նշանը բացասական.

Բնական թվերը, դրանց հակադիրները և զրոն կոչվում են ամբողջ թվեր։ Ամբողջ թվերի բազմությունը նշվում է սիմվոլով Զ.

Ռացիոնալ թվեր

Սրանք վերջավոր կոտորակներ են և անվերջ պարբերական կոտորակներ։ Օրինակ,

Նշվում է ռացիոնալ թվերի բազմությունը Ք. Բոլոր ամբողջ թվերը ռացիոնալ են:

Իռացիոնալ թվեր

Անսահման ոչ պարբերական կոտորակը կոչվում է իռացիոնալ թիվ։ Օրինակ:

Նշվում է իռացիոնալ թվերի բազմությունը Ջ.

Իրական թվեր

Բոլոր ռացիոնալ և բոլոր իռացիոնալ թվերի բազմությունը կոչվում է իրական (իրական) հավաքածութվեր։

Իրական թվերը ներկայացված են խորհրդանիշով Ռ.

Կլորացնելով թվերը

Հաշվի առեք թիվը 8,759123... . Մոտակա ամբողջ թվին կլորացնելը նշանակում է թվի միայն այն մասը, որը գտնվում է տասնորդական կետից առաջ: Տասներորդին կլորացնելը նշանակում է ամբողջ մասը և մեկ թվանշանը տասնորդական կետից հետո գրել. կլոր դեպի մոտակա հարյուրերորդական - երկու նիշ տասնորդական կետից հետո. մինչև հազարերորդական - եռանիշ և այլն:

1) Ես անմիջապես բաժանում եմ, քանի որ երկու թվերն էլ 100%-ով բաժանվում են.

2) Ես կբաժանեմ մնացած մեծ թվերի վրա (և), քանի որ դրանք հավասարապես բաժանվում են (միևնույն ժամանակ, ես չեմ ընդլայնվի, դա արդեն ընդհանուր բաժանարար է).

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Ես մենակ կթողնեմ և կսկսեմ նայել թվերին և. Երկու թվերն էլ ճշգրիտ բաժանվում են (ավարտվում են զույգ թվերով (այս դեպքում մենք պատկերացնում ենք, թե ինչպես, կամ կարող եք բաժանել)):

4) Մենք աշխատում ենք թվերով և. Նրանք ընդհանուր բաժանարարներ ունե՞ն: Դա այնքան էլ հեշտ չէ, ինչպես նախորդ քայլերում, այնպես որ մենք դրանք պարզապես կբաժանենք պարզ գործոնների.

5) Ինչպես տեսնում ենք, մենք ճիշտ էինք. և չունենք ընդհանուր բաժանարարներ, և այժմ մենք պետք է բազմապատկենք:
GCD

Առաջադրանք թիվ 2. Գտե՛ք 345 և 324 թվերի gcd-ն

Ես չեմ կարող արագ գտնել այստեղ գոնե մեկ ընդհանուր բաժանարար, այնպես որ ես այն բաժանում եմ պարզ գործոնների (որքան հնարավոր է փոքր).

Ճիշտ է, gcd, բայց ես ի սկզբանե չեմ ստուգել բաժանելիության թեստը, և գուցե ստիպված չլինեի անել այդքան շատ գործողություններ:

Բայց դու ստուգեցիր, չէ՞:

Ինչպես տեսնում եք, ամենևին էլ դժվար չէ:

Նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ (LCM) - խնայում է ժամանակը, օգնում է լուծել խնդիրները ոչ ստանդարտ ձևով

Ենթադրենք, դուք ունեք երկու թիվ՝ և. Ո՞րն է ամենափոքր թիվը, որի վրա կարելի է բաժանել առանց հետքի(այսինքն ամբողջությամբ)? Դժվա՞ր է պատկերացնել։ Ահա ձեզ համար տեսողական հուշում.

Հիշու՞մ եք, թե ինչ է նշանակում նամակը: Ճիշտ է, պարզապես ամբողջ թվեր.Այսպիսով, ո՞րն է ամենափոքր թիվը, որը տեղավորվում է x-ի տեղում: :

Այս դեպքում.

Այս պարզ օրինակից բխում են մի քանի կանոններ.

ԱՕԿ-ներ արագ գտնելու կանոններ

Կանոն 1. Եթե երկու բնական թվերից մեկը բաժանվում է մեկ այլ թվի, ապա երկու թվերից մեծը նրանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

Գտեք հետևյալ թվերը.

• ՀԱՕԿ (7;21)
• ՀԱՕԿ (6;12)
• ԱՕԿ (5;15)
• ԱՕԿ (3;33)

Իհարկե, դուք առանց դժվարության հաղթահարեցիք այս խնդիրը և ստացաք պատասխանները՝ , և։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ կանոնում խոսքը ԵՐԿՈՒ թվի մասին է, եթե թվերն ավելի շատ են, ապա կանոնը չի գործում։

Օրինակ, LCM (7;14;21) հավասար չէ 21-ի, քանի որ այն չի բաժանվում:

Կանոն 2. Եթե երկու (կամ երկուսից ավելի) թվեր համապարփակ են, ապա ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է նրանց արտադրյալին:

Գտեք ՀԱՕԿհետևյալ թվերը.

• ԱՕԿ (1;3;7)
• ՀԱՕԿ (3;7;11)
• ՀԱՕԿ (2;3;7)
• ԱՕԿ (3;5;2)

Դուք հաշվել եք? Ահա պատասխանները - , ; .

Ինչպես հասկանում եք, միշտ չէ, որ հնարավոր է այս նույն x-ն այդքան հեշտությամբ վերցնել, ուստի մի փոքր ավելի բարդ թվերի համար կա հետևյալ ալգորիթմը.

Պարապե՞նք։

Եկեք գտնենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը - LCM (345; 234)

Եկեք բաժանենք յուրաքանչյուր թիվը.

Ինչու ես անմիջապես գրեցի:

Հիշեք բաժանելիության նշանները՝ բաժանվում է (վերջին թվանշանը զույգ է) և թվանշանների գումարը բաժանվում է վրա։

Ըստ այդմ, մենք կարող ենք անմիջապես բաժանել՝ գրելով որպես.

Այժմ մենք գրում ենք տողի վրա ամենաերկար տարրալուծումը `երկրորդը.

Դրան ավելացնենք առաջին ընդլայնման թվերը, որոնք մեր գրածի մեջ չեն.

Նշում. մենք գրել ենք ամեն ինչ, բացառությամբ այն պատճառով, որ մենք արդեն ունենք:

Այժմ մենք պետք է բազմապատկենք այս բոլոր թվերը:

Ինքներդ գտեք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM):

Ի՞նչ պատասխաններ ստացաք։

Ահա թե ինչ եմ ստացել.

Որքա՞ն ժամանակ եք ծախսել գտնելու համար ՀԱՕԿ? Իմ ժամանակը 2 րոպե է, ես իսկապես գիտեմ մեկ հնարք, որը առաջարկում եմ բացել հենց հիմա։

Եթե ​​շատ ուշադիր եք, ապա հավանաբար նկատել եք, որ մենք արդեն փնտրել ենք տվյալ համարները GCDև դուք կարող եք վերցնել այս թվերի ֆակտորիզացիան այդ օրինակից՝ դրանով իսկ պարզեցնելով ձեր խնդիրը, բայց դա դեռ ամենը չէ:

Նայեք նկարին, միգուցե ձեզ մոտ այլ մտքեր ծագեն.

Լավ? Ես ձեզ հուշում եմ՝ փորձեք բազմապատկել ՀԱՕԿԵվ GCDմիմյանց միջև և գրի առնել բոլոր այն գործոնները, որոնք կհայտնվեն բազմապատկելիս: Դուք հասցրե՞լ եք: Դուք պետք է ավարտեք այսպիսի շղթա.

Ավելի ուշադիր նայեք դրան. համեմատեք բազմապատկիչները ինչպես և ինչպես են դրված:

Ի՞նչ եզրակացություն կարող եք անել սրանից։ Ճիշտ! Եթե ​​արժեքները բազմապատկենք ՀԱՕԿԵվ GCDմիմյանց միջև, ապա մենք ստանում ենք այս թվերի արտադրյալը:

Ըստ այդմ՝ ունենալով թվեր և նշանակություն GCD(կամ ՀԱՕԿ), մենք կարող ենք գտնել ՀԱՕԿ(կամ GCD) այս սխեմայի համաձայն.

1. Գտե՛ք թվերի արտադրյալը.

2. Ստացված արտադրանքը բաժանեք մերին GCD (6240; 6800) = 80:

Այսքանը:

Գրենք կանոնը ընդհանուր ձևով.

Փորձիր գտնել GCD, եթե հայտնի է, որ.

Դուք հասցրե՞լ եք: .

Բացասական թվերը «կեղծ թվեր» են և դրանց ճանաչումը մարդկության կողմից:

Ինչպես արդեն հասկացաք, դրանք բնականին հակառակ թվեր են, այսինքն.

Թվում է, թե ինչն է այդքան առանձնահատուկ նրանց մեջ:

Բայց փաստն այն է, որ բացասական թվերը «գրավեցին» իրենց արժանի տեղը մաթեմատիկայի մեջ մինչև 19-րդ դարը (մինչ այդ պահը հսկայական վեճեր էին գնում դրանց գոյության մասին, թե ոչ):

Բացասական թիվը ինքնին առաջացել է բնական թվերի հետ այնպիսի գործողության շնորհիվ, ինչպիսին է «հանումը»:

Իսկապես, հանեք դրանից և ստացեք բացասական թիվ։ Այդ պատճառով բացասական թվերի բազմությունը հաճախ կոչվում է «բնական թվերի բազմության ընդլայնում»:

Բացասական թվերը երկար ժամանակ չէին ճանաչում մարդկանց կողմից։

Այսպիսով, Հին Եգիպտոսը, Բաբելոնը և Հին Հունաստանը` իրենց ժամանակի լույսերը, բացասական թվեր չէին ճանաչում, իսկ հավասարման մեջ բացասական արմատների դեպքում (օրինակ, մերի նման), արմատները մերժվեցին որպես անհնարին:

Բացասական թվերը սկզբում ձեռք բերեցին իրենց գոյության իրավունքը Չինաստանում, իսկ հետո 7-րդ դարում՝ Հնդկաստանում։

Ի՞նչ եք կարծում, ո՞րն է այս ճանաչման պատճառը։

Ճիշտ է, բացասական թվերը սկսեցին նշանակել պարտքեր (հակառակ դեպքում՝ պակաս):

Ենթադրվում էր, որ բացասական թվերը ժամանակավոր արժեք են, որոնք արդյունքում կփոխվեն դրականի (այսինքն՝ գումարը դեռ կվերադարձվի փոխատուին): Այնուամենայնիվ, հնդիկ մաթեմատիկոս Բրահմագուպտան բացասական թվերն արդեն համարում էր դրականի հետ հավասար հիմունքներով։

Եվրոպայում բացասական թվերի օգտակարությունը, ինչպես նաև այն փաստը, որ դրանք կարող են նշանակել պարտքեր, բացահայտվել է շատ ավելի ուշ, գուցե մեկ հազարամյակ:

Առաջին հիշատակումը նկատվել է 1202 թվականին Լեոնարդ Պիզայի «Աբակուսի գրքում» (միանգամից կասեմ, որ գրքի հեղինակը կապ չունի Պիզայի աշտարակի հետ, բայց Ֆիբոնաչիի թվերը նրա աշխատանքն են։ (Պիզայի Լեոնարդոյի մականունը Ֆիբոնաչի է)):

Այսպիսով, 17-րդ դարում Պասկալը հավատում էր, որ.

Ի՞նչ եք կարծում, ինչո՞վ էր նա դա հիմնավորում։

Ճիշտ է, «ոչինչ չի կարող պակաս լինել, քան ՈՉԻՆՉ»:

Այդ ժամանակների արձագանքը մնում է այն փաստը, որ բացասական թիվը և հանման գործողությունը նշվում են նույն նշանով՝ մինուս «-»: Եվ ճշմարտությունը. Արդյո՞ք « » թիվը դրակա՞ն է, որից հանվում է, թե՞ բացասական, որին գումարվում է... Ինչ-որ բան «առաջինը` հավը, թե՞ ձուն» շարքից: Սա այնքան յուրօրինակ մաթեմատիկական փիլիսոփայություն է։

Բացասական թվերն ապահովեցին իրենց գոյության իրավունքը վերլուծական երկրաչափության գալուստով, այլ կերպ ասած, երբ մաթեմատիկոսները ներկայացրին այնպիսի հասկացություն, ինչպիսին թվային առանցքն է։

Հենց այս պահից եկավ հավասարությունը։ Այնուամենայնիվ, հարցերը դեռ ավելի շատ էին, քան պատասխանները, օրինակ.

համամասնությունը

Այս համամասնությունը կոչվում է «Առնոյի պարադոքս»: Մտածեք, ի՞նչ կա դրանում կասկածելի։

Եկեք միասին վիճենք «»-ն ավելին է, քան «»-ը, չէ՞: Այսպիսով, ըստ տրամաբանության, համամասնության ձախ կողմը պետք է մեծ լինի աջից, բայց դրանք հավասար են... Սա է պարադոքսը.

Արդյունքում, մաթեմատիկոսները համաձայնեցին այն կետին, որ Կարլ Գաուսը (այո, այո, սա նույնն է, ով հաշվարկել է գումարը (կամ) թվերը) դրան վերջ դրեց 1831 թ.

Նա ասաց, որ բացասական թվերն ունեն նույն իրավունքը, ինչ դրական թվերը, և այն, որ դրանք չեն տարածվում բոլոր բաների վրա, ոչինչ չի նշանակում, քանի որ կոտորակները նույնպես շատ բաների վրա չեն տարածվում (չի պատահում, որ փորողը փոս փորի. դուք չեք կարող կինոյի տոմս գնել և այլն):

Մաթեմատիկոսները հանդարտվեցին միայն 19-րդ դարում, երբ բացասական թվերի տեսությունը ստեղծվեց Ուիլյամ Համիլթոնի և Հերման Գրասմանի կողմից։

Նրանք այնքան հակասական են, այս բացասական թվերը:

«Դատարկության» առաջացումը կամ զրոյի կենսագրությունը։

Մաթեմատիկայի մեջ դա հատուկ թիվ է։

Առաջին հայացքից սա ոչինչ է՝ ավելացնել կամ հանել, ոչինչ չի փոխվի, բայց դուք պարզապես պետք է այն ավելացնեք աջ կողմում « »-ին, և ստացված թիվը մի քանի անգամ ավելի մեծ կլինի, քան սկզբնականը:

Զրո-ով բազմապատկելով՝ մենք ամեն ինչ վերածում ենք ոչնչի, բայց բաժանելով «ոչնչի», այսինքն՝ չենք կարող։ Մի խոսքով, կախարդական համարը)

Զրոյի պատմությունը երկար է և բարդ։

2-րդ հազարամյակի չինացիների գրվածքներում հայտնաբերվել է զրոյի հետք: և նույնիսկ ավելի վաղ մայաների շրջանում: Զրոյական նշանի առաջին օգտագործումը, ինչպես դա այսօր է, նկատվել է հույն աստղագետների շրջանում:

Կան բազմաթիվ վարկածներ, թե ինչու է ընտրվել այս «ոչինչ» անվանումը։

Որոշ պատմաբաններ հակված են կարծելու, որ սա օմիկրոն է, այսինքն. Հունարեն ոչինչ բառի առաջին տառը ouden է: Մեկ այլ վարկածի համաձայն՝ «օբոլ» բառը (գրեթե արժեք չունեցող մետաղադրամ) կյանք է տվել զրոյի խորհրդանիշին։

Զրոն (կամ զրո) որպես մաթեմատիկական նշան առաջին անգամ հայտնվում է հնդկացիների մոտ(նկատի ունեցեք, որ բացասական թվերը սկսեցին «զարգանալ» այնտեղ):

Զրոյի գրանցման առաջին հավաստի վկայությունը թվագրվում է 876 թվականին, և դրանցում «»-ը թվի բաղադրիչն է։

Զրոն նույնպես ուշ եկավ Եվրոպա՝ միայն 1600 թվականին, և ինչպես բացասական թվերը, հանդիպեց դիմադրության (ինչ կարող ես անել, նրանք այդպիսին են, եվրոպացիներ)։

«Զրոյին հաճախ ատել են, երկար ժամանակ վախեցրել կամ նույնիսկ արգելել»:- գրում է ամերիկացի մաթեմատիկոս Չարլզ Սեյֆը։

Այսպես, թուրք սուլթան Աբդուլ Համիդ II-ը 19-րդ դարի վերջին. հրամայեց իր գրաքննիչներին ջնջել ջրի H2O բանաձևը քիմիայի բոլոր դասագրքերից՝ «O» տառը զրոյի համարելով և չցանկանալով, որ իր սկզբնատառերը վարկաբեկվեն արհամարհված զրոյին մոտ լինելու պատճառով»։

Համացանցում կարելի է գտնել հետևյալ արտահայտությունը. «Զրոն Տիեզերքի ամենահզոր ուժն է, նա կարող է ամեն ինչ անել: Զրոն կարգուկանոն է ստեղծում մաթեմատիկայի մեջ, և այն նաև քաոս է մտցնում դրա մեջ»: Միանգամայն ճիշտ կետ :)

Բաժնի ամփոփում և հիմնական բանաձևեր

Ամբողջ թվերի բազմությունը բաղկացած է 3 մասից.

• բնական թվեր (դրանց ավելի մանրամասն կանդրադառնանք ստորև);
• բնական թվերին հակառակ թվեր;
• զրո - " "

Նշվում է ամբողջ թվերի բազմությունը տառ Զ.

1. Բնական թվեր

Բնական թվերը թվեր են, որոնք մենք օգտագործում ենք առարկաները հաշվելու համար:

Նշվում է բնական թվերի բազմությունը նամակ N.

Ամբողջ թվերով գործողություններում ձեզ անհրաժեշտ կլինի GCD և LCM գտնելու ունակություն:

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար (GCD)

GCD գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1. Թվերը տարրալուծեք պարզ գործակիցների (այն թվերը, որոնք հնարավոր չէ բաժանել որևէ այլ բանով, բացի իրենցից կամ, օրինակ, և այլն):
2. Գրե՛ք այն գործոնները, որոնք երկու թվերի մաս են կազմում:
3. Բազմապատկեք դրանք:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM)

NOC-ը գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

1. Թվերը բաժանեք պարզ գործոնների (դուք արդեն լավ գիտեք, թե ինչպես դա անել):
2. Գրե՛ք թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոնները (ավելի լավ է վերցնել ամենաերկար շղթան):
3. Դրանց գումարեք մնացած թվերի ընդլայնումներից բացակայող գործոնները:
4. Գտեք ստացված գործոնների արտադրյալը:

2. Բացասական թվեր

Սրանք բնական թվերին հակառակ թվեր են, այսինքն.

Հիմա ես ուզում եմ լսել քեզ...

Հուսով եմ, որ դուք գնահատեցիք այս հատվածի գերօգտակար «հնարքները» և հասկացաք, թե ինչպես դրանք կօգնեն ձեզ քննության ժամանակ:

Եվ ավելի կարևոր՝ կյանքում: Ես դրա մասին չեմ խոսում, բայց հավատացեք, որ սա ճիշտ է: Արագ և առանց սխալների հաշվելու ունակությունը փրկում է ձեզ կյանքի բազմաթիվ իրավիճակներում:

Հիմա ձեր հերթն է:

Գրեք, հաշվարկներում կօգտագործե՞ք խմբավորման մեթոդներ, բաժանելիության թեստեր, GCD և LCM:

Գուցե դուք նախկինում օգտագործել եք դրանք: Որտեղ և ինչպես:

Երևի հարցեր ունեք։ Կամ առաջարկություններ.

Մեկնաբանություններում գրեք, թե ինչպես եք հավանում հոդվածը։

Եվ հաջողություն ձեր քննություններին:

Բացասական թվերն առաջին անգամ օգտագործվել են Հին Չինաստանում և Հնդկաստանում, Եվրոպայում դրանք մաթեմատիկական կիրառության մեջ են մտցվել Նիկոլաս Չուկետի (1484) և Մայքլ Շտիֆելի (1544) կողմից։

Հանրահաշվական հատկություններ

$\backslash mathbb(Z)$փակված չէ երկու ամբողջ թվերի (օրինակ՝ 1/2) բաժանման տակ։ Հետևյալ աղյուսակը ցույց է տալիս ցանկացած ամբողջ թվի գումարման և բազմապատկման մի քանի հիմնական հատկություններ ա, բԵվ գ.

|list5=Կարդինալ համարներ – Դուք անպայման պետք է այն տեղափոխեք մահճակալ, այստեղ հնարավոր չի լինի...
Հիվանդն այնքան շրջապատված էր բժիշկներով, արքայադուստրերով և ծառաներով, որ Պիեռը այլևս չտեսավ այդ կարմիր-դեղին գլուխը մոխրագույն մանով, որը, չնայած նրան, որ նա տեսավ այլ դեմքեր, ամբողջ ծառայության ընթացքում մի պահ չլքեց իր տեսողությունը: Աթոռը շրջապատող մարդկանց զգույշ շարժումից Պիերը կռահեց, որ մահամերձ մարդուն բարձրացնում և տանում են։
«Բռնիր ձեռքիցս, ինձ այսպես կթողնես», - լսեց նա ծառաներից մեկի վախեցած շշուկը, - ներքևից... կա ևս մեկը, - ասացին ձայները և ծանր շնչառությունն ու քայլքը: մարդկանց ոտքերն ավելի հապճեպ դարձան, կարծես նրանց կրած ծանրությունը նրանց ուժերից վեր էր:
Փոխադրողները, որոնց մեջ էր Աննա Միխայլովնան, հավասարվեցին երիտասարդին, և մի պահ մարդկանց գլխի հետևից և թիկունքից նա տեսավ բարձր, գեր, բաց կուրծքը, հիվանդի հաստ ուսերը՝ վեր բարձրացրած։ դեպի վեր՝ նրան թևերի տակ պահած մարդկանց կողմից, և ալեհեր, գանգուր, առյուծի գլուխ։ Այս գլուխը, անսովոր լայն ճակատով և այտոսկրերով, գեղեցիկ զգայական բերանով և վեհափառ սառը հայացքով, չէր այլանդակվել մահվան մոտիկությունից։ Նա նույնն էր, ինչ Պիեռը ճանաչում էր նրան երեք ամիս առաջ, երբ կոմսը թույլ տվեց նրան գնալ Պետերբուրգ: Բայց այս գլուխն անօգնական օրորվում էր կրիչների անհարթ քայլերից, իսկ սառը, անտարբեր հայացքը չգիտեր, թե ուր կանգ առնել։
Անցավ բարձր մահճակալի շուրջ մի քանի րոպե իրարանցում. հիվանդին տեղափոխող մարդիկ ցրվեցին։ Աննա Միխայլովնան դիպավ Պիեռի ձեռքին և ասաց. «Վենեզ»: [Գնա:] Պիեռը նրա հետ քայլեց դեպի այն մահճակալը, որի վրա հիվանդ տղամարդը պառկած էր տոնական դիրքով, որը, ըստ երևույթին, կապված էր հենց նոր կատարած հաղորդության հետ: Նա պառկեց՝ գլուխը բարձերին բարձր պահելով։ Նրա ձեռքերը սիմետրիկ դրված էին կանաչ մետաքսե վերմակի վրա՝ ափերը ցած։ Երբ Պիեռը մոտեցավ, կոմսը նայեց ուղիղ նրան, բայց նա նայեց մի հայացքով, որի իմաստն ու իմաստը մարդը չի կարող հասկանալ: Կամ այս հայացքը բացարձակապես ոչինչ չէր ասում, բացի նրանից, որ քանի դեռ աչքեր ունես, պետք է ինչ-որ տեղ նայես, կամ չափազանց շատ բան էր ասում։ Պիեռը կանգ առավ՝ չիմանալով ինչ անել, և հարցական հայացքով նայեց իր առաջնորդ Աննա Միխայլովնային։ Աննա Միխայլովնան աչքերով հապճեպ շարժում արեց նրան՝ ցույց տալով հիվանդի ձեռքը և շրթունքներով համբուրելով նրան։ Պիեռը, ջանասիրաբար ծոծրելով վիզը, որպեսզի չբռնվի վերմակի մեջ, հետևեց նրա խորհրդին և համբուրեց մեծ ոսկորներով և մսոտ ձեռքը: Կոմսի դեմքի ոչ մի ձեռք, ոչ մի մկան չդողաց։ Պիեռը կրկին հարցական նայեց Աննա Միխայլովնային՝ այժմ հարցնելով, թե ինչ պետք է անի: Աննա Միխայլովնան աչքերով ցույց տվեց նրան մահճակալի կողքին կանգնած աթոռը։ Պիեռը հնազանդորեն սկսեց նստել աթոռին, նրա աչքերը շարունակում էին հարցնել, թե արդյոք նա արել է այն, ինչ անհրաժեշտ էր: Աննա Միխայլովնան հավանության նշան արեց գլուխը։ Պիեռը կրկին ստանձնեց եգիպտական ​​արձանի սիմետրիկ միամիտ դիրքը, ըստ երևույթին ափսոսալով, որ իր անշնորհք և գեր մարմինը զբաղեցնում էր այդքան մեծ տարածք և օգտագործելով իր ողջ մտավոր ուժը հնարավորինս փոքր երևալու համար: Նա նայեց հաշվիչին։ Կոմսը նայեց այն վայրին, որտեղ Պիեռը կանգնած էր: Աննա Միխայլովնան իր դիրքում ցույց տվեց հոր և որդու հանդիպման այս վերջին րոպեի հուզիչ կարևորության գիտակցումը։ Սա տեւեց երկու րոպե, որը Պիեռին մեկ ժամ թվաց։ Հանկարծ մի սարսուռ հայտնվեց կոմսի դեմքի խոշոր մկանների և կնճիռների մեջ: Դողն ուժեղացավ, գեղեցիկ բերանը ծռվեց (միայն այն ժամանակ Պիեռը հասկացավ, թե որքան մոտ է իր հայրը մահվանը), և ծռված բերանից լսվեց անորոշ խռպոտ ձայն: Աննա Միխայլովնան ուշադիր նայեց հիվանդի աչքերին և, փորձելով գուշակել, թե ինչ է իրեն պետք, մատնացույց արեց նախ Պիեռին, ապա խմիչքը, ապա հարցական շշուկով, որը կոչվում էր արքայազն Վասիլի, ապա մատնացույց արեց վերմակը: Հիվանդի աչքերն ու դեմքը ցույց էին տալիս անհամբերություն։ Նա ջանք գործադրեց նայելու ծառային, որը անխնա կանգնած էր մահճակալի գլխին։
«Նրանք ուզում են շրջվել մյուս կողմից», - շշնջաց ծառան և կանգնեց, որպեսզի կոմսի ծանր մարմինը շրջի դեպի պատը:
Պիեռը ոտքի կանգնեց՝ օգնելու ծառային։
Մինչ հաշվարկը շրջվում էր, նրա մի ձեռքն անօգնական ետ ընկավ, և նա ապարդյուն ջանք գործադրեց այն քարշ տալու համար։ Արդյո՞ք կոմսը նկատեց այն սարսափի տեսքը, որով Պիեռը նայեց այս անշունչ ձեռքին, կամ ինչ այլ միտք փայլատակեց նրա մահամերձ գլխում այդ պահին, բայց նա նայեց անհնազանդ ձեռքին, Պիեռի դեմքի սարսափի արտահայտությանը, նորից՝ ձեռքին, իսկ դեմքին հայտնվեց թույլ, տառապող ժպիտը, որը չէր համապատասխանում նրա դիմագծերին՝ արտահայտելով մի տեսակ ծաղր սեփական անզորության հանդեպ։ Հանկարծ, տեսնելով այս ժպիտը, Պիերը կրծքավանդակում սարսուռ զգաց, քթի մեջ մի պտղունց, և արցունքները մշուշեցին նրա տեսողությունը: Հիվանդը կողքով շրջվել է պատին: Նա հառաչեց։
«Il est assoupi, [Նա նիրհեց», - ասաց Աննա Միխայլովնան՝ նկատելով, որ արքայադուստրը գալիս է իրեն փոխարինելու։ - Ալոնս. [Եկեք գնանք:]
Պիեռը հեռացավ։