Effectuer des opérations sur des matrices. Actions avec des matrices. Comment rechercher et définir des matrices dans Excel

1ère année, mathématiques supérieures, études matrices et les actions de base sur eux. Nous systématisons ici les opérations de base qui peuvent être effectuées avec des matrices. Par où commencer à se familiariser avec les matrices ? Bien sûr, à partir des choses les plus simples : définitions, concepts de base et opérations simples. Nous vous assurons que les matrices seront comprises par tous ceux qui y consacreront au moins un peu de temps !

Définition de la matrice

Matrice est une table rectangulaire d'éléments. Eh bien, en termes simples – un tableau de nombres.

En règle générale, les matrices sont désignées par des lettres latines majuscules. Par exemple, la matrice UN , matrice B et ainsi de suite. Les matrices peuvent être de différentes tailles : rectangulaires, carrées, et il existe également des matrices de lignes et de colonnes appelées vecteurs. La taille de la matrice est déterminée par le nombre de lignes et de colonnes. Par exemple, écrivons une matrice rectangulaire de taille m sur n , Où m – nombre de lignes, et n - le nombre de colonnes.

Articles pour lesquels je = j (a11, a22, .. ) forment la diagonale principale de la matrice et sont appelés diagonales.

Que peut-on faire avec les matrices ? Ajouter/Soustraire, multiplier par un nombre, se multiplient entre eux, transposer. Parlons maintenant de toutes ces opérations de base sur les matrices dans l'ordre.

Opérations d'addition et de soustraction matricielles

Prévenons-nous immédiatement : vous ne pouvez ajouter que des matrices de même taille. Le résultat sera une matrice de même taille. Ajouter (ou soustraire) des matrices est simple - il vous suffit d'additionner leurs éléments correspondants . Donnons un exemple. Effectuons l'addition de deux matrices A et B de taille deux par deux.

La soustraction s'effectue par analogie, uniquement avec le signe opposé.

N'importe quelle matrice peut être multipliée par un nombre arbitraire. Pour faire ça, vous devez multiplier chacun de ses éléments par ce nombre. Par exemple, multiplions la matrice A du premier exemple par le nombre 5 :

Opération de multiplication matricielle

Toutes les matrices ne peuvent pas être multipliées ensemble. Par exemple, nous avons deux matrices - A et B. Elles ne peuvent être multipliées l'une par l'autre que si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B. Dans ce cas chaque élément de la matrice résultante, situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne, sera égal à la somme des produits des éléments correspondants dans la i-ème ligne du premier facteur et la j-ème colonne de la deuxième. Pour comprendre cet algorithme, écrivons comment deux matrices carrées sont multipliées :

Et un exemple avec des chiffres réels. Multiplions les matrices :

Opération de transposition matricielle

La transposition matricielle est une opération où les lignes et colonnes correspondantes sont permutées. Par exemple, transposons la matrice A du premier exemple :

Déterminant matriciel

Le déterminant, ou déterminant, est l'un des concepts de base de l'algèbre linéaire. Il était une fois des équations linéaires, puis un déterminant. En fin de compte, c’est à vous de gérer tout cela, alors, dernier coup de pouce !

Le déterminant est une caractéristique numérique d’une matrice carrée, nécessaire pour résoudre de nombreux problèmes.
Pour calculer le déterminant de la matrice carrée la plus simple, vous devez calculer la différence entre les produits des éléments des diagonales principale et secondaire.

Le déterminant d'une matrice du premier ordre, c'est-à-dire constituée d'un élément, est égal à cet élément.

Et si la matrice était de trois par trois ? C'est plus difficile, mais vous pouvez y parvenir.

Pour une telle matrice, la valeur du déterminant est égale à la somme des produits des éléments de la diagonale principale et des produits des éléments situés sur les triangles à face parallèle à la diagonale principale, d'où le produit de les éléments de la diagonale secondaire et le produit des éléments situés sur les triangles avec la face de la diagonale secondaire parallèle sont soustraits.

Heureusement, en pratique, il est rarement nécessaire de calculer des déterminants de matrices de grandes tailles.

Ici, nous avons examiné les opérations de base sur les matrices. Bien sûr, dans la vraie vie, vous ne rencontrerez peut-être jamais la moindre trace d'un système d'équations matricielles, ou, au contraire, vous pourrez rencontrer des cas beaucoup plus complexes où vous devrez vraiment vous creuser la tête. C'est pour de tels cas que des services professionnels aux étudiants existent. Demandez de l'aide, obtenez une solution détaillée et de haute qualité, profitez de la réussite scolaire et du temps libre.

Dans cet article nous comprendrons comment s'effectue l'opération d'addition sur des matrices du même ordre, l'opération de multiplication d'une matrice par un nombre et l'opération de multiplication de matrices d'un ordre approprié, nous fixerons axiomatiquement les propriétés des opérations, et discuter également de la priorité des opérations sur les matrices. Parallèlement à la théorie, nous donnerons des solutions détaillées à des exemples dans lesquels des opérations sur des matrices sont effectuées.

Notons immédiatement que tout ce qui suit s'applique aux matrices dont les éléments sont des nombres réels (ou complexes).

Navigation dans les pages.

L'opération d'addition de deux matrices.

Définition de l'opération d'addition de deux matrices.

L'opération d'addition est définie UNIQUEMENT POUR LES MATRICES DU MÊME ORDRE. Autrement dit, il est impossible de trouver la somme de matrices de dimensions différentes et en général il est impossible de parler d’addition de matrices de dimensions différentes. Vous ne pouvez pas non plus parler de la somme d’une matrice et d’un nombre ou de la somme d’une matrice et d’un autre élément.

Définition.

Somme de deux matrices et est une matrice dont les éléments sont égaux à la somme des éléments correspondants des matrices A et B, c'est-à-dire .

Ainsi, le résultat de l’opération d’addition de deux matrices est une matrice du même ordre.

Propriétés de l'opération d'addition matricielle.

Quelles propriétés possède l’opération d’addition matricielle ? Il est assez simple de répondre à cette question, en partant de la définition de la somme de deux matrices d'un ordre donné et en rappelant les propriétés de l'opération d'addition de nombres réels (ou complexes).

1. Les matrices A, B et C du même ordre sont caractérisées par la propriété d'associativité d'addition A+(B+C)=(A+B)+C.
2. Pour les matrices d’un ordre donné, il existe un élément neutre par rapport à l’addition, qui est la matrice nulle. Autrement dit, la propriété A+O=A est vraie.
3. Pour une matrice A non nulle d'un ordre donné, il existe une matrice (–A), leur somme est la matrice nulle : A+(-A)=O.
4. Pour les matrices A et B d'un ordre donné, la propriété commutative de l'addition A+B=B+A est vraie.

Par conséquent, un ensemble de matrices d'un ordre donné génère un groupe Abel additif (un groupe abélien par rapport à l'opération algébrique d'addition).

Ajout matriciel - solutions aux exemples.

Regardons quelques exemples d'addition de matrice.

Exemple.

Trouver la somme des matrices et .

Solution.

Les ordres des matrices A et B coïncident et sont égaux à 4 par 2, nous pouvons donc effectuer l'opération d'addition matricielle et par conséquent nous devrions obtenir une matrice d'ordre 4 par 2. D'après la définition de l'opération d'addition de deux matrices, on effectue l'addition élément par élément :

Exemple.

Trouver la somme de deux matrices Et dont les éléments sont des nombres complexes.

Solution.

Puisque les ordres des matrices sont égaux, nous pouvons effectuer une addition.

Exemple.

Effectuer l'addition de trois matrices .

Solution.

Tout d’abord, ajoutez la matrice A avec B, puis ajoutez C à la matrice résultante :

Nous avons une matrice nulle.

Opération consistant à multiplier une matrice par un nombre.

Définition de l'opération de multiplication d'une matrice par un nombre.

L'opération de multiplication d'une matrice par un nombre est définie POUR LES MATRICES DE TOUT ORDRE.

Définition.

Produit d'une matrice et d'un nombre réel (ou complexe) est une matrice dont les éléments sont obtenus en multipliant les éléments correspondants de la matrice d'origine par le nombre, c'est-à-dire .

Ainsi, le résultat de la multiplication d’une matrice par un nombre est une matrice du même ordre.

Propriétés de l'opération de multiplication d'une matrice par un nombre.

Des propriétés de l'opération de multiplication d'une matrice par un nombre, il s'ensuit que la multiplication d'une matrice nulle par le nombre zéro donnera une matrice nulle, et le produit d'un nombre arbitraire et d'une matrice nulle est une matrice nulle.

Multiplier une matrice par un nombre - exemples et leur solution.

Regardons l'opération de multiplication d'une matrice par un nombre à l'aide d'exemples.

Exemple.

Trouver le produit du nombre 2 et de la matrice .

Solution.

Pour multiplier une matrice par un nombre, vous devez multiplier chacun de ses éléments par ce nombre :

Exemple.

Effectuez une multiplication matricielle par nombre.

Solution.

On multiplie chaque élément d'une matrice donnée par un nombre donné :

L'opération de multiplication de deux matrices.

Définition de l'opération de multiplication de deux matrices.

L'opération de multiplication de deux matrices A et B n'est définie que pour le cas où le NOMBRE DE COLONNES DE LA MATRICE A EST ÉGAL AU NOMBRE DE LIGNES DE LA MATRICE B.

Définition.

Produit de la matrice A d'ordre et de la matrice B d'ordre- il s'agit d'une matrice C d'ordre dont chaque élément est égal à la somme des produits des éléments de la i-ème ligne de la matrice A par les éléments correspondants de la j-ème colonne de la matrice B, soit

Ainsi, le résultat de l'opération de multiplication d'une matrice d'ordre par une matrice d'ordre est la matrice d'ordre.

Multiplication matrice-matrice - solutions aux exemples.

Examinons la multiplication matricielle à l'aide d'exemples, puis passons à la liste des propriétés de l'opération de multiplication matricielle.

Exemple.

Trouver tous les éléments de la matrice C, obtenue en multipliant les matrices Et .

Solution.

L'ordre de la matrice A est p=3 par n=2, l'ordre de la matrice B est n=2 par q=4, donc l'ordre du produit de ces matrices sera p=3 par q=4. Utilisons la formule

On prend successivement les valeurs de i de 1 à 3 (puisque p=3) pour chaque j de 1 à 4 (puisque q=4), et n=2 dans notre cas, alors

Tous les éléments de la matrice C sont calculés de cette manière, et la matrice obtenue en multipliant deux matrices données a la forme .

Exemple.

Effectuer une multiplication matricielle et .

Solution.

Les ordres des matrices originales permettent d'effectuer l'opération de multiplication. En conséquence, nous devrions obtenir une matrice d’ordre 2 par 3.

Exemple.

Étant donné les matrices et . Trouvez le produit des matrices A et B, ainsi que des matrices B et A.

Solution.

Puisque l'ordre de la matrice A est de 3 sur 1 et que la matrice B est de 1 sur 3, alors A⋅B aura l'ordre de 3 sur 3 et le produit des matrices B et A aura l'ordre de 1 sur 1.

Comme vous pouvez le voir, . C'est l'une des propriétés de l'opération de multiplication matricielle.

Propriétés de l'opération de multiplication matricielle.

Si les matrices A, B et C sont d’ordres appropriés, alors les éléments suivants sont vrais : propriétés de l'opération de multiplication matricielle.

Il est à noter que, avec des ordres convenables, le produit de la matrice nulle O et de la matrice A donne la matrice nulle. Le produit de A et O donne également une matrice nulle si les commandes permettent la multiplication matricielle.

Parmi les matrices carrées, il y a ce qu'on appelle matrices de permutations, l'opération de multiplication pour eux est commutative, c'est-à-dire . Un exemple de matrices de permutation est une paire de la matrice identité et de toute autre matrice du même ordre, puisque .

Priorité des opérations sur les matrices.

Les opérations de multiplication d'une matrice par un nombre et de multiplication d'une matrice par une matrice ont une priorité égale. En même temps, ces opérations ont une priorité plus élevée que l'opération d'addition de deux matrices. Ainsi, la matrice est multipliée par un nombre et la matrice est d'abord multipliée, et ensuite seulement l'addition matricielle est effectuée. Cependant, l'ordre d'exécution des opérations sur les matrices peut être spécifié explicitement à l'aide de parenthèses.

Ainsi, la priorité des opérations sur les matrices est similaire à la priorité attribuée aux opérations d'addition et de multiplication de nombres réels.

Exemple.

Matrices données . Effectuer les actions spécifiées avec les matrices données .

Solution.

On commence par multiplier la matrice A par la matrice B :

Multiplions maintenant la matrice identité du second ordre E par deux :

On additionne les deux matrices résultantes :

Il reste à effectuer l'opération de multiplication de la matrice résultante par la matrice A :

Il est à noter que l'opération de soustraction de matrices de même ordre A et B n'existe pas en tant que telle. La différence entre deux matrices est essentiellement la somme de la matrice A et de la matrice B, préalablement multipliée par moins un : .

L'opération d'élévation d'une matrice carrée à une puissance naturelle n'est pas non plus indépendante, puisqu'il s'agit d'une multiplication séquentielle de matrices.

Résumer.

Trois opérations sont définies sur l'ensemble des matrices : addition de matrices de même ordre, multiplication d'une matrice par un nombre et multiplication de matrices d'ordres appropriés. L'opération d'addition sur un ensemble de matrices d'un ordre donné génère un groupe d'Abel.

Ajout de matrice :

Soustraction et addition de matrices se réduit aux opérations correspondantes sur leurs éléments. Opération d'addition de matrice saisi uniquement pour matrices la même taille, c'est-à-dire pour matrices, dans lequel le nombre de lignes et de colonnes est respectivement égal. Somme des matrices A et B sont appelés matrice C, dont les éléments sont égaux à la somme des éléments correspondants. C = A + B c ij = a ij + b ij Défini de la même manière différence de matrice.

Multiplier une matrice par un nombre :

Opération de multiplication (division) matricielle de n'importe quelle taille par un nombre arbitraire se réduit à multiplier (diviser) chaque élément matrices pour ce numéro. Produit matriciel Et le nombre k s'appelle matrice B, tel que

b ij = k × une ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrice- A = (-1) × A est appelé le contraire matrice UN.

Propriétés de l'ajout de matrices et de la multiplication d'une matrice par un nombre :

Opérations d'addition de matrice Et multiplication matricielle par nombre ont les propriétés suivantes : 1. A + B = B + A ; 2. A + (B + C) = (A + B) + C ; 3. A + 0 = A ; 4. A - A = 0 ; 5. 1 × A = A ; 6. α × (A + B) = αA + αB ; 7. (α + β) × A = αA + βA ; 8. α × (βA) = (αβ) × A ; , où A, B et C sont des matrices, α et β sont des nombres.

Multiplication matricielle (Produit matriciel) :

Opération de multiplication de deux matrices n'est renseigné que dans le cas où le nombre de colonnes de la première matriceségal au nombre de lignes de la seconde matrices. Produit matriciel Et m×n sur matrice En n×p, appelé matrice Avec m×p tel que avec ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , c'est-à-dire que l'on trouve la somme des produits des éléments de la i-ième rangée matrices Et aux éléments correspondants de la jème colonne matrices B. Si matrices A et B sont des carrés de même taille, alors les produits AB et BA existent toujours. Il est facile de montrer que A × E = E × A = A, où A est carré matrice, E - unité matrice la même taille.

Propriétés de la multiplication matricielle :

Multiplication matricielle pas commutatif, c'est-à-dire AB ≠ BA même si les deux produits sont définis. Cependant, si pour quelque raison matrices la relation AB=BA est satisfaite, alors tel matrices sont appelés commutatifs. L'exemple le plus typique est un seul matrice, qui fait la navette avec n'importe quel autre matrice la même taille. Seuls les carrés peuvent être permutables matrices du même ordre. A × E = E × A = A

Multiplication matricielle a les propriétés suivantes : 1. A × (B × C) = (A × B) × C ; 2. A × (B + C) = AB + AC ; 3. (A + B) × C = AC + BC ; 4. α × (AB) = (αA) × B ; 5. UNE × 0 = 0 ; 0 × A = 0 ; 6. (AB) T = B T A T ; 7. (ABC) T = C T V T A T ; 8. (A + B) T = AT + BT ;

2. Déterminants des 2e et 3e ordres. Propriétés des déterminants.

Déterminant matriciel deuxième commande, ou déterminant le deuxième ordre est un nombre calculé par la formule :

Déterminant matriciel troisième ordre, ou déterminant le troisième ordre est un nombre calculé par la formule :

Ce nombre représente une somme algébrique composée de six termes. Chaque terme contient exactement un élément de chaque ligne et de chaque colonne matrices. Chaque terme est constitué du produit de trois facteurs.

Signes avec lesquels les membres déterminant de la matrice inclus dans la formule trouver le déterminant de la matrice le troisième ordre peut être déterminé à l'aide du schéma donné, appelé règle des triangles ou règle de Sarrus. Les trois premiers termes sont pris avec un signe plus et déterminés à partir de la figure de gauche, et les trois termes suivants sont pris avec un signe moins et déterminés à partir de la figure de droite.

Déterminer le nombre de termes à trouver déterminant de la matrice, dans une somme algébrique, vous pouvez calculer la factorielle : 2 ! = 1 × 2 = 2 3 ! = 1 × 2 × 3 = 6

Propriétés des déterminants matriciels

Propriétés des déterminants matriciels :

Propriété n°1 :

Déterminant matriciel ne changera pas si ses lignes sont remplacées par des colonnes, chaque ligne par une colonne avec le même numéro, et vice versa (Transposition). |UNE| = |UNE| T

Conséquence:

Colonnes et lignes déterminant de la matrice sont égaux, par conséquent, les propriétés inhérentes aux lignes sont également remplies pour les colonnes.

Propriété n°2 :

Lors de la réorganisation de 2 lignes ou colonnes déterminant matriciel changera le signe pour le signe opposé, en conservant la valeur absolue, c'est-à-dire :

Propriété n°3 :

Déterminant matriciel avoir deux lignes identiques est égal à zéro.

Propriété n°4 :

Facteur commun des éléments de toute série déterminant de la matrice peut être considéré comme un signe déterminant.

Corollaires des propriétés n°3 et n°4 :

Si tous les éléments d'une certaine série (ligne ou colonne) sont proportionnels aux éléments correspondants d'une série parallèle, alors déterminant matricielégal à zéro.

Propriété n°5 :

déterminant de la matrice sont égaux à zéro, alors déterminant matricielégal à zéro.

Propriété n°6 :

Si tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne déterminant présenté comme une somme de 2 termes, alors déterminant matrices peut être représenté comme la somme de 2 déterminants selon la formule :

Propriété n°7 :

Si vers une ligne (ou une colonne) déterminant ajoutez les éléments correspondants d'une autre ligne (ou colonne), multipliés par le même nombre, puis déterminant matriciel ne changera pas sa valeur.

Exemple d'utilisation de propriétés pour le calcul déterminant de la matrice: