Cône comme figure géométrique. Corps géométriques. Cône Quelle est la longueur de la génératrice du cône

Qui émanent d'un point (le sommet du cône) et qui traversent une surface plane.

Il arrive qu'un cône soit une partie d'un corps qui a un volume limité et qui est obtenu en combinant chaque segment qui relie le sommet et les points d'une surface plane. Ce dernier, dans ce cas, est base du cône, et on dit que le cône repose sur cette base.

Lorsque la base d’un cône est un polygone, c’est déjà pyramide .

Cône circulaire- il s'agit d'un corps constitué d'un cercle (la base du cône), d'un point qui ne se trouve pas dans le plan de ce cercle (le sommet du cône et tous les segments qui relient le sommet du cône aux points du base). Les segments qui relient le sommet du cône et les points du cercle de base sont appelés formant un cône. La surface du cône est constituée d'une base et d'une surface latérale.

La surface latérale est correcte n-une pyramide de carbone inscrite dans un cône :

S n =½P n l n,

Où Pn- le périmètre de la base de la pyramide, et l n- apothème.

Par le même principe : pour la surface latérale d'un tronc de cône à rayons de base R1, R2 et former je on obtient la formule suivante :

S=(R1 +R2)l.

Cônes circulaires droits et obliques de base et de hauteur égales. Ces corps ont le même volume :

Propriétés d'un cône.

• Lorsque l'aire de la base a une limite, cela signifie que le volume du cône a également une limite et est égal au tiers du produit de la hauteur et de l'aire de la base.

Où S- surface de base, H- hauteur.

Ainsi, chaque cône qui repose sur cette base et dont le sommet est situé sur un plan parallèle à la base a un volume égal, puisque leurs hauteurs sont les mêmes.

• Le centre de gravité de chaque cône de volume ayant une limite est situé au quart de la hauteur de la base.
• L'angle solide au sommet d'un cône circulaire droit peut être exprimé par la formule suivante :

Où α - angle d'ouverture du cône.

• La surface latérale d'un tel cône, formule :

et la surface totale (c'est-à-dire la somme des surfaces de la surface latérale et de la base), la formule :

S = πR(l+R),

Où R.— rayon de la base, je— longueur de la génératrice.

• Volume d'un cône circulaire, formule :

• Pour un cône tronqué (pas seulement droit ou circulaire), volume, formule :

Où S1 Et S2- zone des bases supérieures et inférieures,

h Et H- les distances du plan de la base supérieure et inférieure jusqu'au sommet.

• L'intersection d'un plan avec un cône circulaire droit est l'une des sections coniques.

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec une figure telle qu'un cône. Étudions les éléments d'un cône et les types de ses sections. Et nous découvrirons avec quelle figure le cône a de nombreuses propriétés communes.

Fig. 1. Objets en forme de cône

Dans le monde, un grand nombre de choses ont la forme d’un cône. Souvent, nous ne les remarquons même pas. Cônes routiers avertissant des travaux routiers, toits de châteaux et de maisons, cornets de glace, tous ces objets ont la forme d'un cône (voir fig. 1).

Riz. 2. Triangle rectangle

Considérons un triangle rectangle arbitraire avec des jambes et (voir Fig. 2).

Riz. 3. Cône circulaire droit

En faisant tourner un triangle donné autour d'une des jambes (sans perte de généralité, que ce soit une jambe), l'hypoténuse décrira la surface, et la jambe décrira le cercle. Ainsi, on obtiendra un corps appelé cône circulaire droit (voir Fig. 3).

Riz. 4. Types de cônes

Puisque nous parlons d'un cône circulaire droit, apparemment il y en a à la fois un indirect et un non circulaire ? Si la base d'un cône est un cercle, mais que le sommet n'est pas projeté au centre de ce cercle, alors un tel cône est dit incliné. Si la base n'est pas un cercle, mais une figure arbitraire, alors un tel corps est aussi parfois appelé cône, mais, bien sûr, pas circulaire (voir Fig. 4).

Ainsi, nous revenons à l'analogie qui nous est déjà familière en travaillant avec des cylindres. En fait, un cône est quelque chose comme une pyramide, c'est juste que la pyramide a un polygone à la base, et le cône (que nous considérerons) a un cercle (voir Fig. 5).

Le segment de l'axe de rotation (dans notre cas il s'agit de la jambe) enfermé à l'intérieur du cône est appelé axe du cône (voir Fig. 6).

Riz. 5. Cône et pyramide

Riz. 6. - axe du cône

Riz. 7. Base du cône

Le cercle formé par la rotation de la deuxième jambe () est appelé la base du cône (voir Fig. 7).

Et la longueur de cette jambe est le rayon de la base du cône (ou, plus simplement, le rayon du cône) (voir Fig. 8).

Riz. 8. - rayon du cône

Riz. 9. - sommet du cône

Le sommet d'un angle aigu d'un triangle en rotation situé sur l'axe de rotation est appelé sommet d'un cône (voir Fig. 9).

Riz. 10. - hauteur du cône

La hauteur d'un cône est un segment tiré du haut du cône perpendiculairement à sa base (voir Fig. 10).

Ici, vous vous posez peut-être une question : en quoi alors le segment de l'axe de rotation diffère-t-il de la hauteur du cône ? En fait, ils ne coïncident que dans le cas d'un cône droit ; si vous regardez un cône incliné, vous remarquerez qu'il s'agit de deux segments complètement différents (voir Fig. 11).

Riz. 11. Hauteur dans un cône incliné

Revenons au cône droit.

Riz. 12. Générateurs du cône

Les segments reliant le sommet du cône aux points du cercle de sa base sont appelés générateurs du cône. D'ailleurs, toutes les génératrices d'un cône droit sont égales entre elles (voir Fig. 12).

Riz. 13. Objets naturels en forme de cône

Traduit du grec, konos signifie « pomme de pin ». Dans la nature, il existe suffisamment d'objets en forme de cône : épicéa, montagne, fourmilière, etc. (voir Fig. 13).

Mais nous sommes habitués au fait que le cône soit droit. Il a des génératrices égales et sa hauteur coïncide avec l'axe. Nous appelons un tel cône un cône droit. Dans un cours de géométrie scolaire, les cônes droits sont généralement considérés et, par défaut, tout cône est considéré comme circulaire droit. Mais nous avons déjà dit qu'il existe non seulement des cônes droits, mais aussi des cônes inclinés.

Riz. 14. Coupe perpendiculaire

Revenons aux cônes droits. "Coupons" le cône avec un plan perpendiculaire à l'axe (voir Fig. 14).

Quel chiffre sera sur la coupe ? Bien sûr, c'est un cercle ! Rappelons que le plan est perpendiculaire à l'axe, et donc parallèle à la base, qui est un cercle.

Riz. 15. Section inclinée

Maintenant, inclinons progressivement le plan de coupe. Ensuite, notre cercle commencera à se transformer progressivement en un ovale de plus en plus allongé. Mais seulement jusqu'à ce que le plan de coupe entre en collision avec le cercle de base (voir Fig. 15).

Riz. 16. Types de sections en utilisant l'exemple d'une carotte

Ceux qui aiment explorer le monde de manière expérimentale peuvent le vérifier à l'aide d'une carotte et d'un couteau (essayez de couper des tranches d'une carotte sous différents angles) (voir Fig. 16).

Riz. 17. Section axiale du cône

La section d'un cône par un plan passant par son axe est appelée section axiale du cône (voir Fig. 17).

Riz. 18. Triangle isocèle - figure en coupe

Nous obtenons ici une figure en coupe complètement différente : un triangle. Ce triangle est isocèle (voir Fig. 18).

Dans cette leçon, nous avons découvert la surface cylindrique, les types de cylindres, les éléments d'un cylindre et la similitude d'un cylindre avec un prisme.

La génératrice du cône mesure 12 cm et est inclinée par rapport au plan de la base d'un angle de 30 degrés. Trouvez l'aire de la section transversale axiale du cône.

Solution

Considérons la section axiale requise. Il s’agit d’un triangle isocèle dont les côtés mesurent 12 degrés et l’angle de base est de 30 degrés. Ensuite, vous pouvez procéder de différentes manières. Ou vous pouvez dessiner la hauteur, la trouver (la moitié de l'hypoténuse, 6), puis la base (en utilisant le théorème de Pythagore), puis l'aire.

Riz. 19. Illustration du problème

Ou trouvez immédiatement l'angle au sommet - 120 degrés - et calculez l'aire comme le demi-produit des côtés et le sinus de l'angle entre eux (la réponse sera la même).

1. Géométrie. Manuel pour les classes 10-11. Atanasyan L.S. et autres. - M. : Éducation, 2009. - 255 p.
2. Géométrie 11e année, A.V. Pogorelov, M. : Éducation, 2002
3. Cahier d'exercices de géométrie 11e année, V.F. Butuzov, Yu.A. Glazkov

1. Yaklass.ru ().
2. Uztest.ru ().
3. Bitclass.ru ().

Devoirs

Définition. Haut du cône est le point (K) d'où proviennent les rayons.

Définition. Base conique est le plan formé par l'intersection d'une surface plane et de tous les rayons émanant du sommet du cône. Un cône peut avoir des bases telles qu'un cercle, une ellipse, une hyperbole et une parabole.

Définition. Génératrice du cône(L) est tout segment qui relie le sommet du cône à la limite de la base du cône. La génératrice est un segment du rayon émergeant du sommet du cône.

Formule. Longueur du générateur(L) d'un cône circulaire droit passant par le rayon R et la hauteur H (via le théorème de Pythagore) :

Définition. Guide le cône est une courbe qui décrit le contour de la base du cône.

Définition. Surface latérale le cône est la totalité de tous les constituants du cône. C'est-à-dire la surface formée par le mouvement de la génératrice le long du guide conique.

Définition. Surface Le cône est constitué de la surface latérale et de la base du cône.

Définition. Hauteur le cône (H) est un segment qui s'étend du haut du cône et est perpendiculaire à sa base.

Définition. Axe le cône (a) est une ligne droite passant par le sommet du cône et le centre de la base du cône.

Définition. Cône (C) Le cône est le rapport entre le diamètre de la base du cône et sa hauteur. Dans le cas d'un tronc de cône, il s'agit du rapport de la différence des diamètres des sections transversales D et d du tronc de cône à la distance qui les sépare : où R est le rayon de la base, et H est la hauteur de le cône.

Un cône (plus précisément un cône circulaire) est un corps constitué d'un cercle - la base du cône, un point ne se trouvant pas dans le plan de ce cercle - le sommet du cône et tous les segments reliant le sommet du cône avec les points de la base (Fig. 1) Les segments de droite reliant le haut du cône aux points du cercle de base sont appelés générateurs du cône. Tous les générateurs du cône sont égaux les uns aux autres. La surface du cône est constituée d'une base et d'une surface latérale.
Riz. 1
Un cône est dit droit si la droite reliant le sommet du cône au centre de la base est perpendiculaire au plan de la base. Visuellement, un cône circulaire droit peut être imaginé comme un corps obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de sa jambe comme axe (Fig. 2).
Riz. 2
La hauteur d'un cône est la perpendiculaire descendante de son sommet jusqu'au plan de la base. Pour un cône droit, la base de la hauteur coïncide avec le centre de la base. L'axe d'un cône circulaire droit est la droite contenant sa hauteur.
La section d'un cône par un plan passant par son sommet est un triangle isocèle dont les côtés forment le cône (Fig. 3). En particulier, la section axiale d'un cône est un triangle isocèle. Il s'agit d'une section qui passe par l'axe du cône (Fig. 4).
Riz. 3 Fig. 4

Surface du cône
La surface latérale du cône, comme la surface latérale du cylindre, peut être tournée sur un plan en la coupant le long de l'une des génératrices (Fig. 2, a, b). Le développement de la surface latérale du cône est un secteur circulaire (Fig. 2.6), dont le rayon est égal à la génératrice du cône, et la longueur de l'arc du secteur est la circonférence de la base du cône.
L'aire de la surface latérale du cône est considérée comme l'aire de son développement. Exprimons l'aire S de la surface latérale du cône en fonction de sa génératrice l et du rayon de la base r.
L'aire du secteur circulaire - le développement de la surface latérale du cône (Fig. 2) - est égale à (Pl2a)/360, où a est la mesure en degré de l'arc ABA", donc
Côté côté = (Pl2a)/360. (*)
Exprimons a en fonction de l et r. Puisque la longueur de l'arc ABA" est égale à 2Pr (la circonférence de la base du cône), alors 2Pr = Pla/180, d'où a=360r/l. En substituant cette expression dans la formule (*), on obtient :
Côté côté = Prl. (**)
Ainsi, l'aire de la surface latérale du cône est égale au produit de la moitié de la circonférence de la base et de la génératrice.
La surface totale d'un cône est la somme des aires de la surface latérale et de la base. Pour calculer l'aire Scon de la surface totale du cône, on obtient la formule : Scon = Pr (l + r). (***)

Frustum
Prenons un cône arbitraire et traçons un plan coupant perpendiculaire à son axe. Ce plan coupe le cône en cercle et divise le cône en deux parties. L’une des parties est un cône et l’autre est appelée un cône tronqué. La base du cône originel et le cercle obtenu en coupant ce cône avec un plan sont appelés bases du tronc de cône, et le segment reliant leurs centres est appelé hauteur du tronc de cône.

La partie de la surface conique qui délimite le tronc de cône est appelée sa surface latérale, et les segments des génératrices de la surface conique enfermés entre les bases sont appelés les génératrices du tronc de cône. Tous les générateurs d'un cône tronqué sont égaux les uns aux autres (prouvez-le vous-même).
L'aire de la surface latérale d'un cône tronqué est égale au produit de la moitié de la somme des longueurs des cercles des bases et de la génératrice : Sside = П (r + r1) l.

Informations complémentaires sur le cône
1. En géologie, il existe la notion d’« éventail ». Il s'agit d'un relief formé par l'accumulation de roches clastiques (cailloux, graviers, sable) charriées par les rivières de montagne vers une plaine de contrefort ou dans une vallée plus plate et plus large.
2. En biologie, il existe le concept de « cône de croissance ». Il s'agit de la pointe de la pousse et de la racine des plantes, constituées de cellules de tissu éducatif.
3. Les « cônes » sont une famille de mollusques marins de la sous-classe des prosobranches. La coquille est conique (2–16 cm), de couleur vive. Il existe plus de 500 types de cônes. Ils vivent dans les régions tropicales et subtropicales, sont des prédateurs et possèdent une glande venimeuse. La morsure des cônes est très douloureuse. Les décès sont connus. Les coquillages sont utilisés comme décorations et souvenirs.
4. Selon les statistiques, 6 personnes pour 1 million d'habitants meurent chaque année à cause de la foudre sur Terre (plus souvent dans les pays du sud). Cela n’arriverait pas s’il y avait des paratonnerres partout, puisqu’un cône de sécurité se forme. Plus le paratonnerre est haut, plus le volume d'un tel cône est grand. Certaines personnes essaient de se cacher des décharges sous un arbre, mais un arbre n'est pas un conducteur, des charges s'y accumulent et un arbre peut être une source de tension.
5. En physique, on rencontre la notion d'« angle solide ». Il s'agit d'un angle en forme de cône découpé en boule. L'unité d'angle solide est 1 stéradian. 1 stéradian est un angle solide dont le rayon au carré est égal à l'aire de la partie de la sphère qu'il découpe. Si nous plaçons une source lumineuse de 1 candela (1 bougie) dans ce coin, nous obtiendrons un flux lumineux de 1 lumen. La lumière d’une caméra ou d’un projecteur se propage sous la forme d’un cône.

En génie mécanique, outre les pièces cylindriques, les pièces à surfaces coniques en forme de cônes externes ou en forme de trous coniques sont largement utilisées. Par exemple, le centre d'un tour comporte deux cônes extérieurs dont l'un sert à l'installer et à le fixer dans le trou conique de la broche ; une perceuse, une fraise, un alésoir, etc. ont également un cône extérieur pour l'installation et la fixation. Le manchon adaptateur pour la fixation de forets à tige conique a un cône extérieur et un trou conique.

1. Le concept de cône et ses éléments

Éléments d'un cône. Si vous faites pivoter le triangle rectangle ABC autour de la jambe AB (Fig. 202, a), alors un corps ABG se forme, appelé cône plein. La ligne AB est appelée l'axe ou hauteur du cône, ligne AB - génératrice du cône. Le point A est le sommet du cône.

Lorsque la jambe BV tourne autour de l'axe AB, une surface circulaire se forme, appelée base du cône.

L'angle VAG entre les côtés latéraux AB et AG est appelé angle du cône et est noté 2α. La moitié de cet angle formé par le côté latéral AG et l'axe AB est appelé angle du cône et est noté α. Les angles sont exprimés en degrés, minutes et secondes.

Si l'on coupe sa partie supérieure d'un cône complet avec un plan parallèle à sa base (Fig. 202, b), on obtient un corps appelé cône tronqué. Il comporte deux bases, supérieure et inférieure. La distance OO 1 le long de l'axe entre les bases est appelée hauteur du cône tronqué. Étant donné qu'en construction mécanique, nous avons principalement affaire à des parties de cônes, c'est-à-dire des cônes tronqués, on les appelle généralement simplement cônes ; A partir de maintenant, nous appellerons cônes toutes les surfaces coniques.

La connexion entre les éléments du cône. Le dessin indique généralement trois dimensions principales du cône : le plus grand diamètre D, le plus petit diamètre d et la hauteur du cône l (Fig. 203).

Parfois, le dessin indique un seul des diamètres du cône, par exemple le plus grand D, la hauteur du cône l et ce qu'on appelle la conicité. La conicité est le rapport entre la différence entre les diamètres d'un cône et sa longueur. Désignons la conicité par la lettre K, alors

Si le cône a des dimensions : D = 80 mm, d = 70 mm et l = 100 mm, alors selon la formule (10) :

Cela signifie que sur une longueur de 10 mm, le diamètre du cône diminue de 1 mm ou que pour chaque millimètre de longueur du cône, la différence entre ses diamètres change de

Parfois sur le dessin, au lieu de l'angle du cône, il est indiqué pente du cône. La pente du cône montre dans quelle mesure la génératrice du cône s'écarte de son axe.
La pente du cône est déterminée par la formule

où tan α est la pente du cône ;


l est la hauteur du cône en mm.

À l'aide de la formule (11), vous pouvez utiliser des tables trigonométriques pour déterminer l'angle a du cône.

Exemple 6.Étant donné D = 80 mm ; d = 70 mm ; l= 100 mm. En utilisant la formule (11), on a Dans le tableau des tangentes on trouve la valeur la plus proche de tan α = 0,05, soit tan α = 0,049, ce qui correspond à l'angle d'inclinaison du cône α = 2°50". Par conséquent, l'angle du cône 2α = 2 ·2°50" = 5°40".

La pente et la conicité du cône sont généralement exprimées sous forme de fraction simple, par exemple : 1:10 ; 1:50, ou une fraction décimale, par exemple 0,1 ; 0,05 ; 0,02, etc.

2. Méthodes de réalisation de surfaces coniques sur tour

Sur un tour, les surfaces coniques sont traitées de l'une des manières suivantes :
a) tourner la partie supérieure de l'étrier ;
b) déplacement transversal du corps de la poupée mobile ;
c) à l'aide d'une règle conique ;
d) à l'aide d'un cutter large.

3. Usinage de surfaces coniques en tournant la partie supérieure de l'étrier

Lors de la réalisation de surfaces coniques externes et internes courtes avec un grand angle d'inclinaison sur un tour, vous devez faire pivoter la partie supérieure du support par rapport à l'axe de la machine selon un angle α de la pente du cône (voir Fig. 204). Avec ce mode de fonctionnement, l'avance ne peut se faire qu'à la main, en tournant la poignée de la vis mère de la partie supérieure du support, et seuls les tours les plus modernes disposent d'une avance mécanique de la partie supérieure du support.

Pour régler la partie supérieure de l'étrier 1 à l'angle souhaité, vous pouvez utiliser les divisions marquées sur la bride 2 de la partie tournante de l'étrier (Fig. 204). Si l'angle d'inclinaison α du cône est spécifié selon le dessin, alors la partie supérieure de l'étrier tourne avec sa partie rotative du nombre requis de divisions indiquant les degrés. Le nombre de divisions est compté par rapport au repère marqué au bas du pied à coulisse.

Si l'angle α n'est pas donné sur le dessin, mais que les diamètres plus grands et plus petits du cône et la longueur de sa partie conique sont indiqués, alors la valeur de l'angle de rotation de l'étrier est déterminée par la formule (11)

Exemple 7. Les diamètres de cône donnés sont D = 80 mm, d = 66 mm, longueur du cône l = 112 mm. Nous avons: En utilisant le tableau des tangentes on trouve approximativement : a = 3°35". Il faut donc tourner la partie supérieure du pied à coulisse de 3°35".

La méthode de tournage de surfaces coniques en tournant la partie supérieure de l'étrier présente les inconvénients suivants : elle permet généralement d'utiliser uniquement une avance manuelle, ce qui affecte la productivité du travail et la propreté de la surface usinée ; permet de meuler des surfaces coniques relativement courtes limitées par la longueur de course de la partie supérieure de l'étrier.

4. Usinage de surfaces coniques par la méthode de déplacement transversal du boîtier de la poupée mobile

Pour obtenir une surface conique sur un tour, lors de la rotation de la pièce, il est nécessaire de déplacer la pointe de la fraise non pas parallèlement, mais selon un certain angle par rapport à l'axe des centres. Cet angle doit être égal à l'angle d'inclinaison α du cône. Le moyen le plus simple d'obtenir l'angle entre l'axe central et la direction d'alimentation consiste à décaler la ligne médiane en déplaçant le centre arrière dans la direction transversale. En déplaçant le centre arrière vers la fraise (vers elle-même) suite au meulage, on obtient un cône dont la plus grande base est dirigée vers la poupée ; lorsque le centre arrière est déplacé dans la direction opposée, c'est-à-dire loin de la fraise (loin de vous), la plus grande base du cône sera du côté de la contre-pointe (Fig. 205).

Le déplacement du corps de la poupée mobile est déterminé par la formule

où S est le déplacement du corps de la poupée mobile par rapport à l'axe de la broche de la poupée mobile en mm ;
D est le diamètre de la grande base du cône en mm ;
d est le diamètre de la petite base du cône en mm ;
L est la longueur de la pièce entière ou l'entraxe en mm ;
l est la longueur de la partie conique de la pièce en mm.

Exemple 8. Déterminer le décalage du centre de la contre-pointe pour faire tourner un tronc de cône si D = 100 mm, d = 80 mm, L = 300 mm et l = 200 mm. En utilisant la formule (12) on trouve :

Le boîtier de la poupée mobile est déplacé à l'aide des divisions 1 (Fig. 206) marquées à l'extrémité de la plaque de base et du repère 2 à l'extrémité du boîtier de la poupée mobile.

S'il n'y a pas de divisions à l'extrémité de la plaque, déplacez le corps de la poupée mobile à l'aide d'une règle de mesure, comme indiqué sur la Fig. 207.

L'avantage de l'usinage de surfaces coniques en déplaçant le corps de la poupée mobile est que cette méthode peut être utilisée pour faire tourner de longs cônes et meuler avec une avance mécanique.

Inconvénients de cette méthode : impossibilité de percer des trous coniques ; perte de temps pour réarranger la contre-pointe ; la capacité de traiter uniquement des cônes peu profonds ; désalignement des centres dans les trous centraux, ce qui conduit à une usure rapide et inégale des centres et des trous centraux et provoque des défauts lors de la pose secondaire de la pièce dans les mêmes trous centraux.

Une usure inégale des trous centraux peut être évitée si un centre à bille spécial est utilisé au lieu de l'habituel (Fig. 208). Ces centres sont principalement utilisés lors du traitement de cônes de précision.

5. Usinage de surfaces coniques à l'aide d'une règle conique

Pour traiter des surfaces coniques avec un angle d'inclinaison allant jusqu'à 10-12°, les tours modernes disposent généralement d'un dispositif spécial appelé règle conique. Le schéma de traitement d'un cône à l'aide d'une règle conique est illustré à la Fig. 209.

Une plaque 11 est fixée au banc de la machine, sur laquelle une règle conique 9 est montée. La règle peut tourner autour de la broche 8 selon l'angle requis a par rapport à l'axe de la pièce à usiner. Pour fixer la règle dans la position souhaitée, deux boulons 4 et 10 sont utilisés. Un curseur 7 coulisse librement le long de la règle, se reliant à la partie transversale inférieure 12 de l'étrier à l'aide d'une tige 5 et d'une pince 6. Pour que cette partie de l'étrier peut coulisser librement le long des guides, il se déconnecte du chariot 3 en dévissant la vis cruciforme ou en déconnectant son écrou de l'étrier.

Si vous donnez au chariot une avance longitudinale, alors le curseur 7, capturé par la tige 5, commencera à se déplacer le long de la règle 9. Étant donné que le curseur est fixé à la glissière transversale de l'étrier, ils, avec le couteau, se déplacer parallèlement à la règle 9. Grâce à cela, la fraise traitera une surface conique avec un angle d'inclinaison , égal à l'angle α de rotation de la règle conique.

Après chaque passage, la fraise est réglée à la profondeur de coupe à l'aide du manche 1 de la partie supérieure 2 de l'étrier. Cette partie de l'étrier doit être tournée de 90° par rapport à la position normale, c'est-à-dire comme indiqué sur la Fig. 209.

Si les diamètres des bases du cône D et d et sa longueur l sont donnés, alors l'angle de rotation de la règle peut être trouvé à l'aide de la formule (11).

Après avoir calculé la valeur de tan α, il est facile de déterminer la valeur de l'angle α à l'aide du tableau des tangentes.
L'utilisation d'une règle conique présente de nombreux avantages :
1) la configuration de la règle est pratique et rapide ;
2) lors du passage aux cônes de traitement, il n'est pas nécessaire de perturber la configuration normale de la machine, c'est-à-dire qu'il n'est pas nécessaire de déplacer le corps de la poupée mobile ; les centres de la machine restent dans la position normale, c'est-à-dire sur le même axe, ce qui fait que les trous centraux de la pièce et les centres de la machine ne fonctionnent pas ;
3) à l'aide d'une règle conique, vous pouvez non seulement meuler les surfaces coniques extérieures, mais également percer des trous coniques ;
4) il est possible de travailler avec une machine automotrice longitudinale, ce qui augmente la productivité du travail et améliore la qualité du traitement.

L'inconvénient d'une règle conique est la nécessité de déconnecter le coulisseau de l'étrier de la vis à alimentation croisée. Cet inconvénient est éliminé dans la conception de certains tours, dans lesquels la vis n'est pas reliée rigidement à son volant et aux roues dentées de la machine automotrice transversale.

6. Usinage de surfaces coniques avec une fraise large

L'usinage de surfaces coniques (externes et internes) avec une courte longueur de cône peut être réalisé avec une fraise large avec un angle plan correspondant à l'angle d'inclinaison α du cône (Fig. 210). L'avance de la fraise peut être longitudinale ou transversale.

Cependant, l'utilisation d'une fraise large sur des machines conventionnelles n'est possible qu'avec une longueur de cône ne dépassant pas environ 20 mm. Les fraises plus larges ne peuvent être utilisées sur des machines et des pièces particulièrement rigides que si cela ne provoque pas de vibrations de la fraise et de la pièce à usiner.

7. Alésage et alésage de trous coniques

L'usinage de trous coniques est l'un des travaux de tournage les plus difficiles ; c'est beaucoup plus difficile que de traiter des cônes externes.

L'usinage des trous coniques sur tours est dans la plupart des cas réalisé par alésage à la fraise avec tournage de la partie supérieure du support et, moins souvent, à l'aide d'une règle conique. Tous les calculs associés à la rotation de la partie supérieure du pied à coulisse ou de la règle conique sont effectués de la même manière que lors de la rotation des surfaces coniques extérieures.

Si le trou doit être dans un matériau solide, un trou cylindrique est d'abord percé, qui est ensuite percé dans un cône avec une fraise ou usiné avec des fraises et des alésoirs coniques.

Pour accélérer l'alésage ou l'alésage, vous devez d'abord percer un trou avec un foret de diamètre d, qui est inférieur de 1 à 2 mm au diamètre de la petite base du cône (Fig. 211, a). Après cela, le trou est percé avec un (Fig. 211, b) ou deux (Fig. 211, c) forets pour obtenir des marches.

Après avoir fini de percer le cône, celui-ci est alésé à l'aide d'un alésoir conique du cône approprié. Pour les cônes avec une petite conicité, il est plus rentable de traiter les trous coniques immédiatement après le perçage avec un jeu d'alésoirs spéciaux, comme le montre la Fig. 212.

8. Modes de coupe lors du traitement des trous avec des alésoirs coniques

Les alésoirs coniques travaillent dans des conditions plus difficiles que les alésoirs cylindriques : tandis que les alésoirs cylindriques enlèvent une légère surépaisseur aux petites arêtes de coupe, les alésoirs coniques coupent toute la longueur de leurs alésages de coupe situés sur la génératrice du cône. Par conséquent, lorsque vous travaillez avec des alésoirs coniques, les avances et les vitesses de coupe sont moins utilisées que lorsque vous travaillez avec des alésoirs cylindriques.

Lors du traitement des trous avec des alésoirs coniques, l'avance se fait manuellement en tournant le volant de la contre-pointe. Il est nécessaire de s'assurer que le fourreau de la poupée mobile se déplace uniformément.

L'avance lors de l'alésage de l'acier est de 0,1 à 0,2 mm/tour, lors de l'alésage de la fonte de 0,2 à 0,4 mm/tour.

La vitesse de coupe lors de l'alésage de trous coniques avec des alésoirs en acier rapide est de 6 à 10 m/min.

Le refroidissement doit être utilisé pour faciliter le fonctionnement des alésoirs coniques et pour obtenir une surface propre et lisse. Lors du traitement de l'acier et de la fonte, une émulsion ou du sulfofrésol est utilisée.

9. Mesurer des surfaces coniques

Les surfaces des cônes sont vérifiées avec des gabarits et des jauges ; la mesure et le contrôle simultané des angles du cône s'effectuent à l'aide de rapporteurs. En figue. 213 montre une méthode pour vérifier un cône à l'aide d'un gabarit.

Les coins extérieurs et intérieurs de diverses pièces peuvent être mesurés avec un goniomètre universel (Fig. 214). Il est constitué d'un socle 1, sur lequel l'échelle principale est marquée sur un arc 130. Une règle 5 est fixée rigidement au socle 1. Le secteur 4 se déplace le long de l'arc du socle, portant un vernier 3. Une équerre 2 peut être fixée au secteur 4 au moyen d'un support 7, dans lequel, à son tour, un la règle amovible 5 est fixe. Le carré 2 et la règle amovible 5 ont la possibilité de se déplacer le long du bord du secteur 4.

Grâce à diverses combinaisons dans l'installation des parties de mesure du rapporteur, il est possible de mesurer des angles de 0 à 320°. La valeur lue sur le vernier est de 2". La lecture obtenue lors de la mesure des angles se fait à l'aide de l'échelle et du vernier (Fig. 215) comme suit : le coup zéro du vernier indique le nombre de degrés, et le coup du vernier, coïncidant avec le trait de l'échelle de base indique le nombre de minutes. Sur la Fig. 215, le 11ème coup du vernier coïncide avec le trait de l'échelle de base, ce qui signifie 2 "X 11 = 22". est 76°22".

En figue. 216 montre des combinaisons de pièces de mesure d'un rapporteur universel, permettant la mesure de différents angles de 0 à 320°.

Pour des tests plus précis des cônes en production de masse, des jauges spéciales sont utilisées. En figue. 217, et montre une jauge à douille conique pour vérifier les cônes extérieurs, et sur la Fig. 217, tampon b-conique pour vérifier les trous coniques.

Sur les jauges, des rebords 1 et 2 sont réalisés aux extrémités ou des repères 3 sont appliqués, qui servent à déterminer la précision des surfaces vérifiées.

Sur le. riz. 218 fournit un exemple de vérification d'un trou conique avec un tampon tampon.

Pour vérifier le trou, une jauge (voir Fig. 218), qui a un rebord 1 à une certaine distance de l'extrémité 2 et deux marques 3, est insérée avec une légère pression dans le trou et vérifiée pour voir si la jauge oscille vers l'intérieur. Le trou. Aucune oscillation indique que l'angle du cône est correct. Une fois que vous êtes sûr que l’angle du cône est correct, vérifiez sa taille. Pour ce faire, observez à quel point la jauge entrera dans la pièce à tester. Si l'extrémité du cône de la pièce coïncide avec l'extrémité gauche du rebord 1 ou avec l'un des repères 3 ou se situe entre les repères, alors les dimensions du cône sont correctes. Mais il peut arriver que la jauge pénètre si profondément dans la pièce que les deux repères 3 entrent dans le trou ou que les deux extrémités du rebord 1 en sortent. Cela indique que le diamètre du trou est plus grand que celui spécifié. Si, au contraire, les deux risques sont à l'extérieur du trou ou qu'aucune des extrémités du rebord n'en sort, alors le diamètre du trou est inférieur à celui requis.

Pour vérifier avec précision la conicité, utilisez la méthode suivante. Sur la surface de la pièce ou du calibre à mesurer, tracez deux ou trois traits à la craie ou au crayon le long de la génératrice du cône, puis insérez ou posez le calibre sur la pièce et tournez-le d'une partie du tour. Si les lignes sont effacées de manière inégale, cela signifie que le cône de la pièce n'est pas traité avec précision et doit être corrigé. L'effacement des lignes aux extrémités de la jauge indique une conicité incorrecte ; l'effacement des lignes dans la partie médiane du calibre montre que le cône présente une légère concavité, qui est généralement causée par l'emplacement imprécis de la pointe de la fraise le long de la hauteur des centres. Au lieu de lignes à la craie, vous pouvez appliquer une fine couche de peinture spéciale (bleue) sur toute la surface conique de la pièce ou de la jauge. Cette méthode donne une plus grande précision de mesure.

10. Défauts dans le traitement des surfaces coniques et mesures pour les éviter

Lors du traitement de surfaces coniques, en plus des types de défauts mentionnés pour les surfaces cylindriques, les types de défauts suivants sont également possibles :
1) cône incorrect ;
2) écarts dans les dimensions du cône ;
3) écarts dans les diamètres des bases avec la conicité correcte ;
4) non rectitude de la génératrice de la surface conique.

1. Un cône incorrect est principalement dû à un désalignement imprécis du boîtier de la poupée mobile, à une rotation imprécise de la partie supérieure de l'étrier, à une installation incorrecte de la règle conique, à un affûtage incorrect ou à une installation incorrecte de la fraise large. Par conséquent, en positionnant avec précision le boîtier de la poupée mobile, la partie supérieure de l'étrier ou la règle conique avant de commencer le traitement, les défauts peuvent être évités. Ce type de défaut ne peut être corrigé que si l'erreur sur toute la longueur du cône est dirigée vers le corps de la pièce, c'est-à-dire que tous les diamètres du manchon sont plus petits et ceux de la tige conique sont plus grands que nécessaire.

2. Une mauvaise taille du cône au bon angle, c'est-à-dire une mauvaise taille des diamètres sur toute la longueur du cône, se produit si pas assez ou trop de matière est retirée. Les défauts ne peuvent être évités qu'en réglant soigneusement la profondeur de coupe le long du cadran lors des passes de finition. Nous corrigerons le défaut si le matériel filmé n'est pas suffisant.

3. Il se peut qu'avec le cône correct et les dimensions exactes d'une extrémité du cône, le diamètre de la deuxième extrémité soit incorrect. La seule raison est le non-respect de la longueur requise de toute la section conique de la pièce. Nous corrigerons le défaut si la pièce est trop longue. Pour éviter ce type de défaut, il est nécessaire de vérifier soigneusement sa longueur avant de traiter le cône.

4. La non-rectitude de la génératrice du cône en cours de traitement est obtenue lorsque la fraise est installée au-dessus (Fig. 219, b) ou en dessous (Fig. 219, c) du centre (sur ces figures, pour plus de clarté, les distorsions de la génératrice du cône sont représentés sous une forme très exagérée). Ainsi, ce type de défaut est le résultat du travail inattentif du tourneur.

Questions de contrôle 1. De quelles manières les surfaces coniques peuvent-elles être traitées sur les tours ?
2. Dans quels cas est-il recommandé de faire pivoter la partie supérieure de l'étrier ?
3. Comment est calculé l'angle de rotation de la partie supérieure du support pour faire tourner un cône ?
4. Comment vérifier que le haut de l’étrier est correctement tourné ?
5. Comment vérifier le déplacement du boîtier de la poupée mobile ? Comment calculer le déplacement ?
6. Quels sont les principaux éléments d’une règle conique ? Comment mettre en place une règle conique pour cette pièce ?
7. Réglez les angles suivants sur le rapporteur universel : 50°25" ; 45°50" ; 75°35".
8. Quels outils sont utilisés pour mesurer les surfaces coniques ?
9. Pourquoi y a-t-il des rebords ou des risques sur les jauges coniques et comment les utiliser ?
10. Énumérez les types de défauts lors du traitement des surfaces coniques. Comment les éviter ?