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Les formules de multiplication abrégées (FMF) sont utilisées pour exponentier et multiplier des nombres et des expressions. Souvent, ces formules vous permettent d'effectuer des calculs de manière plus compacte et plus rapide.
Dans cet article, nous énumérerons les formules de base de la multiplication abrégée, les regrouperons dans un tableau, examinerons des exemples d'utilisation de ces formules et nous attarderons également sur les principes de preuve des formules de multiplication abrégée.
Pour la première fois, le thème FSU est abordé dans le cadre du cours d'algèbre pour la 7e année. Vous trouverez ci-dessous 7 formules de base.
Formules de multiplication abrégées
- formule du carré de la somme : a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- formule de différence au carré : a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
- formule du cube somme : a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- formule du cube de différence : a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- formule de différence carrée : a 2 - b 2 = a - b a + b
- formule pour la somme des cubes : a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
- formule pour la différence des cubes : a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
Les lettres a, b, c dans ces expressions peuvent être n'importe quels nombres, variables ou expressions. Pour plus de facilité d’utilisation, mieux vaut apprendre par cœur les sept formules de base. Mettons-les dans un tableau et présentons-les ci-dessous en les encerclant d'un cadre.
Les quatre premières formules permettent de calculer respectivement le carré ou le cube de la somme ou de la différence de deux expressions.
La cinquième formule calcule la différence entre les carrés des expressions en multipliant leur somme et leur différence.
Les sixième et septième formules multiplient respectivement la somme et la différence des expressions par le carré incomplet de la différence et le carré incomplet de la somme.
La formule de multiplication abrégée est parfois également appelée identités de multiplication abrégées. Cela n’est pas surprenant puisque toute égalité est une identité.
Lors de la résolution d'exemples pratiques, des formules de multiplication abrégées avec les côtés gauche et droit inversés sont souvent utilisées. Ceci est particulièrement pratique lors de la factorisation d’un polynôme.
Formules de multiplication abrégées supplémentaires
Ne nous limitons pas au cours d'algèbre de 7e année et ajoutons quelques formules supplémentaires à notre tableau FSU.
Examinons d’abord la formule binomiale de Newton.
une + b n = C n 0 · une n + C n 1 · une n - 1 · b + C n 2 · une n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n
Ici C n k sont les coefficients binomiaux qui apparaissent dans la ligne numéro n du triangle de Pascal. Les coefficients binomiaux sont calculés à l'aide de la formule :
C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Comme nous pouvons le voir, la FSF pour le carré et le cube de la différence et de la somme est un cas particulier de la formule binomiale de Newton pour n=2 et n=3, respectivement.
Mais que se passe-t-il s’il y a plus de deux termes dans la somme qui doivent être élevés à une puissance ? La formule du carré de la somme de trois, quatre termes ou plus sera utile.
une 1 + une 2 + . . + un n 2 = un 1 2 + un 2 2 + . . + une n 2 + 2 une 1 une 2 + 2 une 1 une 3 + . . + 2 une 1 une n + 2 une 2 une 3 + 2 une 2 une 4 + . . + 2 une 2 une n + 2 une n - 1 une n
Une autre formule qui peut être utile est la formule de la différence entre les nièmes puissances de deux termes.
une n - b n = une - b une n - 1 + une n - 2 b + une n - 3 b 2 + . . + une 2 b n - 2 + b n - 1
Cette formule est généralement divisée en deux formules - respectivement pour les puissances paires et impaires.
Même pour les indicateurs de 2 millions :
une 2 m - b 2 m = une 2 - b 2 une 2 m - 2 + une 2 m - 4 b 2 + une 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Pour les exposants impairs 2m+1 :
une 2 m + 1 - b 2 m + 1 = une 2 - b 2 une 2 m + une 2 m - 1 b + une 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m
Les formules de différence de carrés et de différence de cubes, comme vous l'avez deviné, sont des cas particuliers de cette formule pour n = 2 et n = 3, respectivement. Pour la différence de cubes, b est également remplacé par - b.
Comment lire les formules de multiplication abrégées ?
Nous donnerons les formulations appropriées pour chaque formule, mais nous comprendrons d'abord le principe de lecture des formules. Le moyen le plus pratique de procéder consiste à utiliser un exemple. Prenons la toute première formule du carré de la somme de deux nombres.
une + b 2 = une 2 + 2 une b + b 2 .
On dit : le carré de la somme de deux expressions a et b est égal à la somme du carré de la première expression, soit le double du produit des expressions et du carré de la deuxième expression.
Toutes les autres formules se lisent de la même manière. Pour le carré de la différence a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 on écrit :
le carré de la différence entre deux expressions a et b est égal à la somme des carrés de ces expressions moins le double du produit de la première et de la deuxième expressions.
Lisons la formule a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Le cube de la somme de deux expressions a et b est égal à la somme des cubes de ces expressions, triple le produit du carré de la première expression par la seconde, et triple le produit du carré de la deuxième expression par le première expression.
Passons à la lecture de la formule de la différence des cubes a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Le cube de la différence entre deux expressions a et b est égal au cube de la première expression moins le triple produit du carré de la première expression et de la seconde, plus le triple produit du carré de la deuxième expression et de la première expression , moins le cube de la deuxième expression.
La cinquième formule a 2 - b 2 = a - b a + b (différence des carrés) se lit comme ceci : la différence des carrés de deux expressions est égale au produit de la différence et de la somme des deux expressions.
Pour plus de commodité, des expressions telles que a 2 + a b + b 2 et a 2 - a b + b 2 sont appelées respectivement le carré incomplet de la somme et le carré incomplet de la différence.
En tenant compte de cela, les formules de somme et de différence des cubes peuvent se lire comme suit :
La somme des cubes de deux expressions est égale au produit de la somme de ces expressions par le carré partiel de leur différence.
La différence entre les cubes de deux expressions est égale au produit de la différence entre ces expressions par le carré partiel de leur somme.
Preuve du FSU
Prouver FSU est assez simple. En fonction des propriétés de multiplication, nous multiplierons les parties des formules entre parenthèses.
Par exemple, considérons la formule de la différence au carré.
une - b 2 = une 2 - 2 une b + b 2 .
Pour élever une expression à la puissance seconde, il faut multiplier cette expression par elle-même.
une - b 2 = une - b une - b .
Développons les parenthèses :
une - b une - b = une 2 - une b - b une + b 2 = une 2 - 2 une b + b 2 .
La formule est éprouvée. Les FSU restantes sont prouvées de la même manière.
Exemples d'application FSU
Le but de l'utilisation de formules de multiplication abrégées est de multiplier et d'élever les expressions à des puissances de manière rapide et concise. Cependant, ce n'est pas là tout le champ d'application du FSU. Ils sont largement utilisés pour réduire des expressions, réduire des fractions et factoriser des polynômes. Donnons des exemples.
Exemple 1. FSU
Simplifions l'expression 9 y - (1 + 3 y) 2.
Appliquons la formule de la somme des carrés et obtenons :
9 ans - (1 + 3 ans) 2 = 9 ans - (1 + 6 ans + 9 ans 2) = 9 ans - 1 - 6 ans - 9 ans 2 = 3 ans - 1 - 9 ans 2
Exemple 2. FSU
Réduisons la fraction 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.
Notons que l'expression au numérateur est la différence des cubes, et au dénominateur est la différence des carrés.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .
On réduit et on obtient :
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Les FSU aident également à calculer les valeurs des expressions. L'essentiel est de pouvoir remarquer où appliquer la formule. Montrons cela avec un exemple.
Mettons au carré le nombre 79. Au lieu de calculs fastidieux, écrivons :
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Il semblerait qu'un calcul complexe puisse être effectué rapidement en utilisant simplement des formules de multiplication abrégées et une table de multiplication.
Un autre point important est le choix du carré du binôme. L'expression 4 x 2 + 4 x - 3 peut être convertie en 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . De telles transformations sont largement utilisées en intégration.
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Les formules ou règles de multiplication abrégées sont utilisées en arithmétique, plus précisément en algèbre, pour accélérer le processus d'évaluation des grandes expressions algébriques. Les formules elles-mêmes sont dérivées de règles existant en algèbre pour multiplier plusieurs polynômes.
L'utilisation de ces formules permet de résoudre assez rapidement divers problèmes mathématiques et contribue également à simplifier les expressions. Les règles de transformations algébriques permettent d'effectuer quelques manipulations avec des expressions, à la suite desquelles on peut obtenir du côté gauche de l'égalité l'expression du côté droit, ou transformer le côté droit de l'égalité (pour obtenir l'expression du côté gauche après le signe égal).
Il est pratique de connaître de mémoire les formules utilisées pour la multiplication abrégée, car elles sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes et des équations. Vous trouverez ci-dessous les principales formules incluses dans cette liste ainsi que leurs noms.
Carré de la somme
Pour calculer le carré de la somme, vous devez trouver la somme constituée du carré du premier terme, du double du produit du premier terme et du second et du carré du second. Sous forme d'expression, cette règle s'écrit ainsi : (a + c)² = a² + 2ac + c².
Différence au carré
Pour calculer le carré de la différence, vous devez calculer la somme constituée du carré du premier nombre, du double du produit du premier nombre et du deuxième (pris avec le signe opposé) et du carré du deuxième nombre. Sous forme d'expression, cette règle ressemble à ceci : (a - c)² = a² - 2ac + c².
Différence de carrés
La formule de la différence de deux nombres au carré est égale au produit de la somme de ces nombres et de leur différence. Sous forme d'expression, cette règle ressemble à ceci : a² - с² = (a + с)·(a - с).
Cube de somme
Pour calculer le cube de la somme de deux termes, il faut calculer la somme constituée du cube du premier terme, tripler le produit du carré du premier terme et du second, tripler le produit du premier terme et du second au carré, et le cube du deuxième terme. Sous forme d'expression, cette règle ressemble à ceci : (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Somme des cubes
Selon la formule, il est égal au produit de la somme de ces termes et de leur carré incomplet de la différence. Sous forme d'expression, cette règle ressemble à ceci : a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Exemple. Il faut calculer le volume d'une figure formée en additionnant deux cubes. Seules les dimensions de leurs flancs sont connues.
Si les valeurs latérales sont petites, alors les calculs sont simples.
Si les longueurs des côtés sont exprimées en nombres encombrants, alors dans ce cas, il est plus facile d'utiliser la formule « Somme des cubes », ce qui simplifiera grandement les calculs.
Cube de différence
L'expression de la différence cubique ressemble à ceci : comme somme de la puissance troisième du premier terme, triplez le produit négatif du carré du premier terme par le second, triplez le produit du premier terme par le carré du second et le cube négatif du deuxième terme. Sous forme d'expression mathématique, le cube de la différence ressemble à ceci : (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Différence de cubes
La formule de la différence des cubes diffère de la somme des cubes par un seul signe. Ainsi, la différence des cubes est une formule égale au produit de la différence de ces nombres et de leur carré incomplet de la somme. Sous la forme, la différence des cubes ressemble à ceci : a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Exemple. Il faut calculer le volume de la figure qui restera après avoir soustrait la figure volumétrique jaune, qui est aussi un cube, du volume du cube bleu. Seule la taille des côtés du petit et du grand cube est connue.
Si les valeurs latérales sont petites, les calculs sont assez simples. Et si les longueurs des côtés sont exprimées en nombres significatifs, alors il vaut la peine d'appliquer la formule intitulée « Différence de cubes » (ou « Cube de différence »), qui simplifiera grandement les calculs.
Formules de multiplication abrégées.
Étudier les formules de multiplication abrégées : le carré de la somme et le carré de la différence de deux expressions ; différence de carrés de deux expressions ; cube de la somme et cube de la différence de deux expressions ; sommes et différences de cubes de deux expressions.
Application de formules de multiplication abrégées lors de la résolution d'exemples.
Pour simplifier les expressions, factoriser les polynômes et réduire les polynômes à la forme standard, des formules de multiplication abrégées sont utilisées. Les formules de multiplication abrégées doivent être connues par cœur.
Soit a, b R. Alors :
1. Le carré de la somme de deux expressions est égal à le carré de la première expression plus deux fois le produit de la première expression et le second plus le carré de la deuxième expression.
(une + b) 2 = une 2 + 2ab + b 2
2. Le carré de la différence de deux expressions est égal à le carré de la première expression moins deux fois le produit de la première expression et du second plus le carré de la deuxième expression.
(une - b) 2 = une 2 - 2ab + b 2
3. Différence de carrés deux expressions est égale au produit de la différence de ces expressions et de leur somme.
une 2 - b 2 = (une -b) (une+b)
4. Cube de somme deux expressions est égal au cube de la première expression plus le triple du produit du carré de la première expression et de la seconde plus le triple du produit de la première expression et du carré de la seconde plus le cube de la deuxième expression.
(une + b) 3 = une 3 + 3une 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Cube de différence deux expressions est égal au cube de la première expression moins le triple du produit du carré de la première expression et de la seconde plus le triple du produit de la première expression et du carré de la seconde moins le cube de la deuxième expression.
(une - b) 3 = une 3 - 3une 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Somme des cubes deux expressions est égal au produit de la somme des première et deuxième expressions et du carré incomplet de la différence de ces expressions.
une 3 + b 3 = (une + b) (une 2 - ab + b 2)
7. Différence de cubes deux expressions est égal au produit de la différence des première et deuxième expressions par le carré incomplet de la somme de ces expressions.
une 3 - b 3 = (une - b) (une 2 + ab + b 2)
Application de formules de multiplication abrégées lors de la résolution d'exemples.
Exemple 1.
Calculer
a) En utilisant la formule du carré de la somme de deux expressions, on a
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) En utilisant la formule du carré de la différence de deux expressions, on obtient
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 – 2 100 2 + 2 2 = 10 000 – 400 + 4 = 9 604
Exemple 2.
Calculer
En utilisant la formule de la différence des carrés de deux expressions, on obtient
Exemple 3.
Simplifier une expression
(x - y) 2 + (x + y) 2
Utilisons les formules du carré de la somme et du carré de la différence de deux expressions
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Formules de multiplication abrégées dans un seul tableau :
(une + b) 2 = une 2 + 2ab + b 2
(une - b) 2 = une 2 - 2ab + b 2
une 2 - b 2 = (une - b) (une+b)
(une + b) 3 = une 3 + 3une 2 b + 3ab 2 + b 3
(une - b) 3 = une 3 - 3une 2 b + 3ab 2 - b 3
une 3 + b 3 = (une + b) (une 2 - ab + b 2)
une 3 - b 3 = (une - b) (une 2 + ab + b 2)
Différence de carrés
Dérivons la formule de la différence des carrés $a^2-b^2$.
Pour ce faire, retenez la règle suivante :
Si nous ajoutons un monôme à l’expression et soustrayons le même monôme, nous obtenons l’identité correcte.
Ajoutons à notre expression et soustrayons-en le monôme $ab$ :
Au total, nous obtenons :
Autrement dit, la différence entre les carrés de deux monômes est égale au produit de leur différence et de leur somme.
Exemple 1
Présenter sous forme de produit $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\gauche(2x-y\droite)(2x+y)\]
Somme des cubes
Dérivons la formule de la somme des cubes $a^3+b^3$.
Sortons les facteurs communs entre parenthèses :
Retirons $\left(a+b\right)$ des parenthèses :
Au total, nous obtenons :
Autrement dit, la somme des cubes de deux monômes est égale au produit de leur somme par le carré partiel de leur différence.
Exemple 2
Présenter sous forme de produit $(8x)^3+y^3$
Cette expression peut être réécrite comme suit :
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
En utilisant la formule de la différence des carrés, on obtient :
\[((2x))^3+y^3=\gauche(2x+y\droite)(4x^2-2xy+y^2)\]
Différence de cubes
Dérivons la formule de la différence des cubes $a^3-b^3$.
Pour ce faire, nous utiliserons la même règle que ci-dessus.
Ajoutons à notre expression et soustrayons-en les monômes $a^2b\ et\ (ab)^2$ :
Sortons les facteurs communs entre parenthèses :
Retirons $\left(a-b\right)$ des parenthèses :
Au total, nous obtenons :
C'est-à-dire que la différence des cubes de deux monômes est égale au produit de leur différence par le carré incomplet de leur somme.
Exemple 3
Présenter sous forme de produit $(8x)^3-y^3$
Cette expression peut être réécrite comme suit :
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
En utilisant la formule de la différence des carrés, on obtient :
\[((2x))^3-y^3=\gauche(2x-y\droite)(4x^2+2xy+y^2)\]
Exemple de problèmes utilisant des formules pour la différence des carrés et la somme et la différence des cubes
Exemple 4
Factoriser.
une) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Solution:
une) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
En appliquant la formule de la différence des carrés, on obtient :
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]
Écrivons cette expression sous la forme :
Appliquons la formule des cubes :
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Écrivons cette expression sous la forme :
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
Appliquons la formule des cubes :
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]
Dans les leçons précédentes, nous avons examiné deux manières de factoriser un polynôme : la mise entre parenthèses du facteur commun et la méthode de regroupement.
Dans cette leçon, nous verrons une autre façon de factoriser un polynôme utiliser des formules de multiplication abrégées.
Nous vous recommandons d'écrire chaque formule au moins 12 fois. Pour une meilleure mémorisation, notez toutes les formules de multiplication abrégées sur un petit aide-mémoire.
Rappelons à quoi ressemble la formule de différence de cubes.
une 3 − b 3 = (une − b)(une 2 + un ab + b 2)La formule de différence de cubes n’est pas très facile à retenir, nous vous recommandons donc d’utiliser une méthode spéciale pour la mémoriser.
Il est important de comprendre que toute formule de multiplication abrégée fonctionne également dans verso.
(une − b)(une 2 + un + b 2) = une 3 − b 3Regardons un exemple. Il faut prendre en compte la différence des cubes.
Veuillez noter que « 27a 3 » est « (3a) 3 », ce qui signifie que pour la formule de différence des cubes, au lieu de « a », nous utilisons « 3a ».
Nous utilisons la formule de la différence des cubes. A la place de « a 3 » nous avons « 27a 3 », et à la place de « b 3 », comme dans la formule, il y a « b 3 ».
Appliquer la différence des cubes dans le sens opposé
Regardons un autre exemple. Vous devez convertir le produit de polynômes en différence de cubes à l'aide de la formule de multiplication abrégée.
Veuillez noter que le produit des polynômes « (x − 1)(x 2 + x + 1) » ressemble au côté droit de la formule de différence des cubes « », seulement au lieu de « a » il y a « x », et à la place de "b" il y a "1".
Pour « (x − 1)(x 2 + x + 1) », nous utilisons la formule de la différence des cubes dans le sens opposé.
Regardons un exemple plus compliqué. Il est nécessaire de simplifier le produit de polynômes.
Si l’on compare « (y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » avec le côté droit de la formule de différence des cubes
« une 3 − b 3 = (une − b)(une 2 + un ab + b 2)», alors vous pouvez comprendre qu'à la place de « a » de la première parenthèse il y a « y 2 », et à la place de « b » il y a « 1 ».
