0 est inclus dans les entiers. Nombres. Nombres entiers. Propriétés des entiers. Entiers positifs. Entiers négatifs

Dans cet article, nous allons définir l'ensemble des entiers, considérer quels entiers sont dits positifs et lesquels sont négatifs. Nous montrerons également comment les nombres entiers sont utilisés pour décrire les changements dans certaines quantités. Commençons par la définition et les exemples d'entiers.

Nombres entiers. Définition, exemples

Tout d’abord, rappelons-nous les nombres naturels ℕ. Le nom lui-même suggère qu’il s’agit de nombres qui sont naturellement utilisés pour compter depuis des temps immémoriaux. Afin de couvrir le concept d’entiers, nous devons élargir la définition des nombres naturels.

Définition 1. Entiers

Les nombres entiers sont les nombres naturels, leurs opposés et le nombre zéro.

L'ensemble des entiers est désigné par la lettre ℤ.

L'ensemble des nombres naturels ℕ est un sous-ensemble des entiers ℤ. Tout nombre naturel est un nombre entier, mais tout nombre entier n’est pas un nombre naturel.

De la définition, il s'ensuit que l'un des nombres 1, 2, 3 est un nombre entier. . , le chiffre 0, ainsi que les chiffres - 1, - 2, - 3, . .

Conformément à cela, nous donnerons des exemples. Les nombres 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 sont des nombres entiers.

Laissez la ligne de coordonnées être tracée horizontalement et dirigée vers la droite. Jetons-y un coup d'œil pour visualiser l'emplacement des entiers sur une ligne.

L'origine sur la ligne de coordonnées correspond au chiffre 0 et les points situés de part et d'autre de zéro correspondent à des entiers positifs et négatifs. Chaque point correspond à un seul entier.

Vous pouvez accéder à n'importe quel point d'une droite dont la coordonnée est un nombre entier en mettant de côté un certain nombre de segments unitaires à partir de l'origine.

Entiers positifs et négatifs

Parmi tous les entiers, il est logique de distinguer les entiers positifs et négatifs. Donnons leurs définitions.

Définition 2 : Entiers positifs

Les entiers positifs sont des entiers avec un signe plus.

Par exemple, le nombre 7 est un entier avec un signe plus, c'est-à-dire un entier positif. Sur la ligne de coordonnées, ce nombre se trouve à droite du point de référence, qui est considéré comme le nombre 0. Autres exemples d'entiers positifs : 12, 502, 42, 33, 100500.

Définition 3 : Entiers négatifs

Les entiers négatifs sont des entiers avec un signe moins.

Exemples d'entiers négatifs : - 528, - 2568, - 1.

Le nombre 0 sépare les entiers positifs et négatifs et n’est lui-même ni positif ni négatif.

Tout nombre opposé à un entier positif est, par définition, un entier négatif. L'inverse est également vrai. L’inverse de tout entier négatif est un entier positif.

Il est possible de donner d'autres formulations des définitions des entiers négatifs et positifs en utilisant leur comparaison avec zéro.

Définition 4. Entiers positifs

Les entiers positifs sont des entiers supérieurs à zéro.

Définition 5 : Entiers négatifs

Les entiers négatifs sont des entiers inférieurs à zéro.

En conséquence, les nombres positifs se trouvent à droite de l'origine sur la ligne de coordonnées et les nombres entiers négatifs se trouvent à gauche de zéro.

Nous avons dit plus tôt que les nombres naturels sont un sous-ensemble des nombres entiers. Précisons ce point. L'ensemble des nombres naturels est constitué d'entiers positifs. À son tour, l’ensemble des entiers négatifs est l’ensemble des nombres opposés aux nombres naturels.

Important!

Tout nombre naturel peut être appelé nombre entier, mais aucun nombre entier ne peut être appelé nombre naturel. Lorsque nous répondons à la question de savoir si les nombres négatifs sont des nombres naturels, nous devons hardiment dire : non, ils ne le sont pas.

Entiers non positifs et non négatifs

Donnons quelques définitions.

Définition 6. Entiers non négatifs

Les entiers non négatifs sont les entiers positifs et le nombre zéro.

Définition 7. Entiers non positifs

Les entiers non positifs sont les entiers négatifs et le nombre zéro.

Comme vous pouvez le constater, le nombre zéro n’est ni positif ni négatif.

Exemples d'entiers non négatifs : 52, 128, 0.

Exemples d'entiers non positifs : - 52, - 128, 0.

Un nombre non négatif est un nombre supérieur ou égal à zéro. Par conséquent, un entier non positif est un nombre inférieur ou égal à zéro.

Les termes « nombre non positif » et « nombre non négatif » sont utilisés par souci de concision. Par exemple, au lieu de dire que le nombre a est un entier supérieur ou égal à zéro, vous pouvez dire : a est un entier non négatif.

Utiliser des nombres entiers pour décrire les changements de quantités

A quoi servent les entiers ? Tout d'abord, avec leur aide, il est pratique de décrire et de déterminer les changements dans la quantité de tout objet. Donnons un exemple.

Laissez un certain nombre de vilebrequins être stockés dans un entrepôt. Si 500 vilebrequins supplémentaires sont amenés à l'entrepôt, leur nombre augmentera. Le nombre 500 exprime précisément la variation (augmentation) du nombre de pièces. Si 200 pièces sont ensuite retirées de l'entrepôt, ce nombre caractérisera également l'évolution du nombre de vilebrequins. Cette fois, vers le bas.

Si rien n'est sorti de l'entrepôt et que rien n'est livré, alors le chiffre 0 indiquera que le nombre de pièces reste inchangé.

La commodité évidente de l'utilisation de nombres entiers, par opposition aux nombres naturels, est que leur signe indique clairement la direction du changement de valeur (augmentation ou diminution).

Une diminution de la température de 30 degrés peut être caractérisée par un entier négatif - 30, et une augmentation de 2 degrés - par un entier positif 2.

Donnons un autre exemple utilisant des entiers. Cette fois, imaginons que nous devions donner 5 pièces à quelqu'un. Alors, on peut dire que nous avons - 5 pièces. Le chiffre 5 décrit le montant de la dette et le signe moins indique que nous devons donner les pièces.

Si nous devons 2 pièces à une personne et 3 à une autre, alors la dette totale (5 pièces) peut être calculée en utilisant la règle d'addition des nombres négatifs :

2 + (- 3) = - 5

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Les informations contenues dans cet article fournissent une compréhension générale de entiers. Tout d’abord, une définition des nombres entiers est donnée et des exemples sont donnés. Ensuite, nous considérons les nombres entiers sur la droite numérique, d'où il devient clair quels nombres sont appelés entiers positifs et lesquels sont appelés entiers négatifs. Ensuite, il est montré comment les changements de quantités sont décrits à l'aide d'entiers, et les entiers négatifs sont considérés comme une dette.

Navigation dans les pages.

Entiers - Définition et exemples

Définition.

Nombres entiers– ce sont les nombres naturels, le nombre zéro, ainsi que les nombres opposés aux nombres naturels.

La définition des nombres entiers indique que l'un des nombres 1, 2, 3,…, le nombre 0, ainsi que l'un des nombres −1, −2, −3,… est un nombre entier. Maintenant, nous pouvons facilement apporter exemples d'entiers. Par exemple, le nombre 38 est un nombre entier, le nombre 70 040 est également un nombre entier, zéro est un nombre entier (rappelez-vous que zéro n'est PAS un nombre naturel, zéro est un nombre entier), les nombres −999, −1, −8 934 832 sont également exemples de nombres entiers.

Il est pratique de représenter tous les entiers comme une séquence d'entiers, qui a la forme suivante : 0, ±1, ±2, ±3, ... Une séquence d'entiers peut s'écrire comme ceci : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

De la définition des nombres entiers, il s'ensuit que l'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres entiers. Par conséquent, tout nombre naturel est un nombre entier, mais tout nombre entier n’est pas un nombre naturel.

Entiers sur une ligne de coordonnées

Définition.

Entiers positifs sont des entiers supérieurs à zéro.

Définition.

Entiers négatifs sont des entiers inférieurs à zéro.

Les entiers positifs et négatifs peuvent également être déterminés par leur position sur la ligne de coordonnées. Sur une ligne de coordonnées horizontales, les points dont les coordonnées sont des entiers positifs se trouvent à droite de l'origine. À leur tour, les points avec des coordonnées entières négatives sont situés à gauche du point O.

Il est clair que l’ensemble de tous les entiers positifs est l’ensemble des nombres naturels. À son tour, l’ensemble de tous les entiers négatifs est l’ensemble de tous les nombres opposés aux nombres naturels.

Séparément, attirons votre attention sur le fait que nous pouvons appeler en toute sécurité n'importe quel nombre naturel un nombre entier, mais nous ne pouvons pas appeler n'importe quel nombre entier un nombre naturel. Nous ne pouvons appeler n’importe quel entier positif qu’un nombre naturel, puisque les entiers négatifs et zéro ne sont pas des nombres naturels.

Entiers non positifs et non négatifs

Donnons des définitions des entiers non positifs et des entiers non négatifs.

Définition.

Tous les entiers positifs, ainsi que le nombre zéro, sont appelés entiers non négatifs.

Définition.

Entiers non positifs– ce sont tous des entiers négatifs avec le nombre 0.

En d’autres termes, un entier non négatif est un entier supérieur à zéro ou égal à zéro, et un entier non positif est un entier inférieur à zéro ou égal à zéro.

Des exemples d'entiers non positifs sont les nombres −511, −10 030, 0, −2, et comme exemples d'entiers non négatifs nous donnons les nombres 45, 506, 0, 900 321.

Le plus souvent, les termes « entiers non positifs » et « entiers non négatifs » sont utilisés par souci de concision. Par exemple, au lieu de l'expression « le nombre a est un nombre entier et a est supérieur à zéro ou égal à zéro », vous pouvez dire « a est un entier non négatif ».

Décrire les changements de quantités à l'aide de nombres entiers

Il est temps de parler de la raison pour laquelle les nombres entiers sont nécessaires en premier lieu.

L'objectif principal des nombres entiers est qu'avec leur aide, il est pratique de décrire les changements dans la quantité de tout objet. Comprenons cela avec des exemples.

Qu'il y ait un certain nombre de pièces dans l'entrepôt. Si, par exemple, 400 pièces supplémentaires sont amenées à l'entrepôt, alors le nombre de pièces dans l'entrepôt augmentera et le nombre 400 exprime ce changement de quantité dans un sens positif (croissant). Si, par exemple, 100 pièces sont retirées de l'entrepôt, le nombre de pièces dans l'entrepôt diminuera et le nombre 100 exprimera un changement de quantité dans le sens négatif (vers le bas). Les pièces ne seront pas amenées à l'entrepôt et les pièces ne seront pas retirées de l'entrepôt, nous pouvons alors parler de quantité constante de pièces (c'est-à-dire que nous pouvons parler de changement nul dans la quantité).

Dans les exemples donnés, l'évolution du nombre de pièces peut être décrite à l'aide des nombres entiers 400, −100 et 0, respectivement. Un entier positif 400 indique un changement de quantité dans un sens positif (augmentation). Un entier négatif −100 exprime un changement de quantité dans un sens négatif (diminution). L'entier 0 indique que la quantité reste inchangée.

L'avantage d'utiliser des nombres entiers par rapport à l'utilisation de nombres naturels est que vous n'avez pas besoin d'indiquer explicitement si la quantité augmente ou diminue - l'entier quantifie le changement et le signe de l'entier indique la direction du changement.

Les nombres entiers peuvent également exprimer non seulement un changement de quantité, mais également un changement d'une certaine quantité. Comprenons cela en utilisant l'exemple des changements de température.

Une augmentation de température de, disons, 4 degrés est exprimée par un entier positif 4. Une diminution de la température, par exemple de 12 degrés, peut être décrite par un entier négatif −12. Et l'invariance de la température est son changement, déterminé par l'entier 0.

Séparément, il faut parler de l'interprétation des nombres entiers négatifs comme montant de la dette. Par exemple, si nous avons 3 pommes, alors l’entier positif 3 représente le nombre de pommes que nous possédons. En revanche, si nous devons donner 5 pommes à quelqu’un, mais que nous ne les avons pas en stock, alors cette situation peut être décrite par un entier négatif −5. Dans ce cas, nous « possédons » -5 pommes, le signe moins indique une dette et le chiffre 5 quantifie la dette.

Comprendre un entier négatif comme une dette permet, par exemple, de justifier la règle d'addition d'entiers négatifs. Donnons un exemple. Si quelqu’un doit 2 pommes à une personne et 1 pomme à une autre, alors la dette totale est de 2+1=3 pommes, donc −2+(−1)=−3.

Bibliographie.

• Vilenkin N.Ya. et d'autres. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général.

Ce sont les nombres qui sont utilisés pour compter : 1, 2, 3... etc.

Zéro n’est pas naturel.

Les nombres naturels sont généralement désignés par le symbole N.

Nombres entiers. Nombres positifs et négatifs

Deux nombres qui ne diffèrent l'un de l'autre que par leur signe sont appelés opposé, par exemple, +1 et -1, +5 et -5. Le signe "+" n'est généralement pas écrit, mais on suppose qu'il y a un "+" devant le chiffre. Ces numéros sont appelés positif. Les nombres précédés du signe "-" sont appelés négatif.

Les nombres naturels, leurs opposés et zéro sont appelés entiers. L'ensemble des entiers est désigné par le symbole Z.

Nombres rationnels

Ce sont des fractions finies et des fractions périodiques infinies. Par exemple,

L'ensemble des nombres rationnels est noté Q. Tous les entiers sont rationnels.

Nombres irrationnels

Une fraction infinie non périodique est appelée un nombre irrationnel. Par exemple:

L'ensemble des nombres irrationnels est noté J..

Nombres réels

L’ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels est appelé ensemble de réel (réel) Nombres.

Les nombres réels sont représentés par le symbole R..

Chiffres arrondis

Considérez le nombre 8,759123... . Arrondir au nombre entier le plus proche signifie écrire uniquement la partie du nombre qui se trouve avant la virgule décimale. Arrondir aux dixièmes signifie écrire la partie entière et un chiffre après la virgule décimale ; arrondir au centième le plus proche - deux chiffres après la virgule décimale ; jusqu'aux millièmes - trois chiffres, etc.

1) Je divise par immédiatement, puisque les deux nombres sont divisibles à 100 % par :

2) Je diviserai par les grands nombres restants (et), puisqu'ils sont également divisibles par (en même temps, je ne développerai pas - c'est déjà un diviseur commun) :

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Je vais partir seul et commencer à regarder les chiffres et. Les deux nombres sont exactement divisibles par (terminez par des chiffres pairs (dans ce cas, nous imaginons comment, ou vous pouvez diviser par)) :

4) Nous travaillons avec des nombres et. Ont-ils des diviseurs communs ? Ce n’est pas aussi simple que dans les étapes précédentes, nous allons donc simplement les décomposer en facteurs simples :

5) Comme nous le voyons, nous avions raison : et nous n'avons pas de diviseurs communs, et maintenant nous devons multiplier.
PGCD

Tâche n°2. Trouvez le pgcd des nombres 345 et 324

Je ne parviens pas à trouver rapidement au moins un diviseur commun ici, je le décompose donc simplement en facteurs premiers (aussi petits que possible) :

Exactement, pgcd, mais au départ je n'ai pas vérifié le test de divisibilité par, et peut-être que je n'aurais pas eu à faire autant d'actions.

Mais tu as vérifié, non ?

Comme vous pouvez le constater, ce n'est pas difficile du tout.

Plus petit commun multiple (LCM) - permet de gagner du temps, aide à résoudre les problèmes de manière non standard

Disons que vous avez deux nombres - et. Quel est le plus petit nombre pouvant être divisé par sans laisser de trace(c'est-à-dire complètement) ? Difficile à imaginer? Voici un indice visuel pour vous :

Vous souvenez-vous de ce que représente la lettre ? C'est vrai, juste nombres entiers. Alors, quel est le plus petit nombre pouvant remplacer x ? :

Dans ce cas.

Plusieurs règles ressortent de cet exemple simple.

Règles pour trouver rapidement des CNO

Règle 1 : Si l'un des deux nombres naturels est divisible par un autre nombre, alors le plus grand des deux nombres est leur plus petit commun multiple.

Trouvez les numéros suivants :

• CNP (7 ; 21)
• CNP (6 ; 12)
• CNP (5 ; 15)
• CNP (3;33)

Bien sûr, vous avez accompli cette tâche sans difficulté et vous avez obtenu les réponses - , et.

Veuillez noter que dans la règle, nous parlons de DEUX nombres ; s'il y a plus de nombres, alors la règle ne fonctionne pas.

Par exemple, LCM (7;14;21) n'est pas égal à 21, puisqu'il n'est pas divisible par.

Règle 2. Si deux (ou plus de deux) nombres sont premiers entre eux, alors le plus petit commun multiple est égal à leur produit.

Trouver CNP les numéros suivants :

• CNP (1;3;7)
• CNP (3;7;11)
• CNP (2;3;7)
• CNP (3;5;2)

As-tu compté ? Voici les réponses - , ; .

Comme vous l’avez compris, il n’est pas toujours possible de récupérer ce même x aussi facilement, donc pour des nombres un peu plus complexes, il existe l’algorithme suivant :

Devons-nous pratiquer ?

Trouvons le multiple le plus petit commun - LCM (345 ; 234)

Décomposons chaque numéro :

Pourquoi ai-je écrit tout de suite ?

Rappelez-vous les signes de divisibilité par : divisible par (le dernier chiffre est pair) et la somme des chiffres est divisible par.

En conséquence, nous pouvons immédiatement diviser par, en l'écrivant ainsi.

Maintenant, nous écrivons la décomposition la plus longue sur une ligne - la seconde :

Ajoutons-y les chiffres de la première extension, qui ne figurent pas dans ce que nous avons écrit :

Remarque : nous avons tout écrit, sauf parce que nous l'avons déjà.

Maintenant, nous devons multiplier tous ces nombres !

Trouvez vous-même le plus petit commun multiple (LCM)

Quelles réponses avez-vous obtenues ?

Voici ce que j'ai obtenu :

Combien de temps as-tu passé à trouver CNP? Mon temps est de 2 minutes, je sais vraiment un truc, que je vous propose d'ouvrir dès maintenant !

Si vous êtes très attentif, vous avez probablement remarqué que nous avons déjà recherché les numéros indiqués. PGCD et vous pourriez prendre la factorisation de ces nombres à partir de cet exemple, simplifiant ainsi votre tâche, mais ce n'est pas tout.

Regardez la photo, peut-être que d'autres pensées vous viendront :

Bien? Je vais vous donner un indice : essayez de multiplier CNP Et PGCD entre eux et notez tous les facteurs qui apparaîtront lors de la multiplication. Avez-vous réussi ? Vous devriez vous retrouver avec une chaîne comme celle-ci :

Regardez-le de plus près : comparez les multiplicateurs avec comment et sont disposés.

Quelle conclusion pouvez-vous en tirer ? Droite! Si on multiplie les valeurs CNP Et PGCD entre eux, on obtient alors le produit de ces nombres.

En conséquence, avoir des chiffres et un sens PGCD(ou CNP), nous pouvons trouver CNP(ou PGCD) selon ce schéma :

1. Trouvez le produit des nombres :

2. Divisez le produit obtenu par le nôtre PGCD (6240; 6800) = 80:

C'est tout.

Écrivons la règle sous forme générale :

Essayer de trouver PGCD, si l'on sait que :

Avez-vous réussi ? .

Les nombres négatifs sont des « faux nombres » et leur reconnaissance par l’humanité.

Comme vous l'avez déjà compris, ce sont des nombres opposés aux nombres naturels, c'est-à-dire :

Il semblerait, qu'ont-ils de si spécial ?

Mais le fait est que les nombres négatifs ont « gagné » la place qui leur revient dans les mathématiques jusqu'au 19e siècle (jusqu'à ce moment-là, il y avait énormément de controverses quant à leur existence ou non).

Le nombre négatif lui-même est né d'une opération avec des nombres naturels telle que la « soustraction ».

En effet, soustrayez-en et vous obtenez un nombre négatif. C'est pourquoi l'ensemble des nombres négatifs est souvent appelé "une expansion de l'ensemble des nombres naturels."

Les chiffres négatifs n’ont pas été reconnus pendant longtemps.

Ainsi, l'Égypte ancienne, Babylone et la Grèce antique, les lumières de leur temps, ne reconnaissaient pas les nombres négatifs, et dans le cas de racines négatives dans l'équation (par exemple, comme la nôtre), les racines étaient rejetées comme impossibles.

Les nombres négatifs ont d’abord acquis leur droit d’exister en Chine, puis au VIIe siècle en Inde.

Selon vous, quelle est la raison de cette reconnaissance ?

C'est vrai, les nombres négatifs ont commencé à désigner dettes (sinon - pénurie).

On pensait que les nombres négatifs constituaient une valeur temporaire qui, par conséquent, deviendrait positive (c'est-à-dire que l'argent serait toujours restitué au prêteur). Cependant, le mathématicien indien Brahmagupta considérait déjà les nombres négatifs sur un pied d'égalité avec les nombres positifs.

En Europe, l’utilité des nombres négatifs, ainsi que le fait qu’ils peuvent désigner des dettes, ont été découverts bien plus tard, peut-être un millénaire.

La première mention a été remarquée en 1202 dans le « Livre du Boulier » de Léonard de Pise (je dirai tout de suite que l'auteur du livre n'a rien à voir avec la Tour Penchée de Pise, mais les nombres de Fibonacci sont son œuvre (le surnom de Léonard de Pise est Fibonacci)).

Ainsi, au XVIIe siècle, Pascal croyait cela.

Comment pensez-vous qu’il a justifié cela ?

C’est vrai, « rien ne peut être inférieur à RIEN ».

Un écho de cette époque reste le fait qu'un nombre négatif et l'opération de soustraction sont désignés par le même symbole - le moins « - ». Et la vérité : . Le nombre « » est-il positif, auquel on soustrait, ou négatif, auquel on additionne ?... Quelque chose de la série « Qu'est-ce qui vient en premier : la poule ou l'œuf ? » C’est une philosophie mathématique tellement particulière.

Les nombres négatifs ont acquis leur droit à l'existence avec l'avènement de la géométrie analytique, c'est-à-dire lorsque les mathématiciens ont introduit un concept tel que l'axe des nombres.

C'est à partir de ce moment qu'est venue l'égalité. Cependant, il y avait encore plus de questions que de réponses, par exemple :

proportion

Cette proportion est appelée « le paradoxe d’Arnaud ». Pensez-y, qu'y a-t-il de douteux là-dedans ?

Disons ensemble que "" est plus que "", n'est-ce pas ? Ainsi, selon la logique, le côté gauche de la proportion devrait être plus grand que le côté droit, mais ils sont égaux... C'est le paradoxe.

Du coup, les mathématiciens s'accordèrent sur le fait que Karl Gauss (oui, oui, c'est le même qui calculait la somme (ou) les nombres) y mit un terme en 1831.

Il a dit que les nombres négatifs ont les mêmes droits que les nombres positifs, et le fait qu'ils ne s'appliquent pas à tout ne veut rien dire, puisque les fractions ne s'appliquent pas non plus à beaucoup de choses (il n'arrive pas qu'un creuseur creuse un trou, vous ne pouvez pas acheter de billet de cinéma, etc.).

Les mathématiciens ne se sont calmés qu'au XIXe siècle, lorsque la théorie des nombres négatifs a été créée par William Hamilton et Hermann Grassmann.

Ces chiffres négatifs sont tellement controversés.

L’émergence du « vide », ou la biographie du zéro.

En mathématiques, c'est un nombre spécial.

À première vue, ce n'est rien : ajouter ou soustraire - rien ne changera, mais il suffit de l'ajouter à droite de " ", et le nombre obtenu sera plusieurs fois plus grand que celui d'origine.

En multipliant par zéro, nous transformons tout en rien, mais en divisant par « rien », c'est-à-dire que nous ne pouvons pas. En un mot, le nombre magique)

L’histoire du zéro est longue et compliquée.

Une trace de zéro a été trouvée dans les écrits des Chinois au IIe millénaire après JC. et même plus tôt chez les Mayas. La première utilisation du symbole zéro, tel qu’il est aujourd’hui, a été observée parmi les astronomes grecs.

Il existe de nombreuses versions expliquant pourquoi cette désignation « rien » a été choisie.

Certains historiens sont enclins à croire qu'il s'agit d'un omicron, c'est-à-dire La première lettre du mot grec signifiant rien est ouden. Selon une autre version, le mot « obole » (une pièce de monnaie presque sans valeur) aurait donné vie au symbole du zéro.

Zéro (ou zéro) en tant que symbole mathématique apparaît pour la première fois chez les Indiens(notez que les nombres négatifs ont commencé à « se développer » là-bas).

La première preuve fiable de l'enregistrement du zéro remonte à 876, et dans celles-ci « » est une composante du nombre.

Le zéro est également arrivé en Europe tardivement - seulement en 1600, et tout comme les nombres négatifs, il a rencontré une résistance (que pouvez-vous faire, c'est comme ça qu'ils sont, les Européens).

"Zéro a souvent été détesté, craint depuis longtemps, voire interdit."- écrit le mathématicien américain Charles Safe.

Ainsi, le sultan turc Abdul Hamid II à la fin du XIXe siècle. a ordonné à ses censeurs d'effacer la formule de l'eau H2O de tous les manuels de chimie, prenant la lettre « O » pour zéro et ne voulant pas que ses initiales soient discréditées par la proximité du zéro méprisé.

Sur Internet, vous pouvez trouver la phrase : « Zéro est la force la plus puissante de l'Univers, il peut tout faire ! Zéro crée de l’ordre dans les mathématiques et y introduit également le chaos. Point tout à fait exact :)

Résumé de la section et formules de base

L'ensemble des nombres entiers se compose de 3 parties :

• les nombres naturels (nous les examinerons plus en détail ci-dessous) ;
• nombres opposés aux nombres naturels ;
• zéro - " "

L'ensemble des entiers est noté lettre Z.

1. Nombres naturels

Les nombres naturels sont des nombres que nous utilisons pour compter des objets.

L'ensemble des nombres naturels est noté lettre N.

Dans les opérations avec des entiers, vous aurez besoin de pouvoir trouver GCD et LCM.

Plus grand diviseur commun (PGCD)

Pour trouver un GCD, vous devez :

1. Décomposez les nombres en facteurs premiers (ces nombres qui ne peuvent être divisés par autre chose que eux-mêmes ou par, par exemple, etc.).
2. Notez les facteurs qui font partie des deux nombres.
3. Multipliez-les.

Plus petit commun multiple (LCM)

Pour trouver le CNO dont vous avez besoin :

1. Divisez les nombres en facteurs premiers (vous savez déjà très bien comment faire).
2. Notez les facteurs inclus dans le développement de l'un des nombres (il est préférable de prendre la chaîne la plus longue).
3. Ajoutez-y les facteurs manquants des développements des nombres restants.
4. Trouvez le produit des facteurs résultants.

2. Nombres négatifs

Ce sont des nombres opposés aux nombres naturels, c'est-à-dire :

Maintenant, je veux t'entendre...

J'espère que vous avez apprécié les « astuces » super utiles de cette section et compris comment elles vous aideront lors de l'examen.

Et plus important encore, dans la vie. Je n’en parle pas, mais croyez-moi, celui-ci est vrai. La capacité de compter rapidement et sans erreurs vous sauve dans de nombreuses situations de la vie.

Maintenant c'est ton tour!

Écrivez, utiliserez-vous des méthodes de regroupement, des tests de divisibilité, GCD et LCM dans les calculs ?

Peut-être les avez-vous déjà utilisés ? Ou et comment?

Peut-être avez-vous des questions. Ou des suggestions.

Écrivez dans les commentaires comment vous aimez l'article.

Et bonne chance pour tes examens !

Les nombres négatifs ont été utilisés pour la première fois dans la Chine et l'Inde anciennes ; en Europe, ils ont été introduits dans l'usage mathématique par Nicolas Chuquet (1484) et Michael Stiefel (1544).

Propriétés algébriques

$\backslash mathbb(Z)$ n'est pas fermé par division de deux entiers (par exemple, 1/2). Le tableau suivant illustre plusieurs propriétés de base de l'addition et de la multiplication pour tout nombre entier un, b Et c.

|list5=Chiffres cardinaux – Vous devez absolument le déplacer vers le lit, ce ne sera pas possible ici...
Le patient était tellement entouré de médecins, de princesses et de domestiques que Pierre ne voyait plus cette tête rouge-jaune à crinière grise qui, malgré le fait qu'il voyait d'autres visages, ne quitta pas sa vue un instant pendant tout le service. Pierre devina, au mouvement prudent des gens autour de la chaise, que le mourant était soulevé et transporté.
"Tiens ma main, tu vas me laisser tomber comme ça", entendit-il le murmure effrayé d'un des serviteurs, "d'en bas... il y en a un autre", disaient les voix, et la respiration lourde et les pas du serviteur. Les pieds des gens devenaient plus précipités, comme si le poids qu’ils portaient dépassait leurs forces.
Les porteurs, parmi lesquels se trouvait Anna Mikhailovna, se sont approchés du jeune homme et, pendant un instant, derrière le dos et la tête des gens, il a vu une poitrine haute, grasse et ouverte, les grosses épaules du patient, relevées vers le haut par les gens qui le tiennent sous les bras, et une tête de lion aux cheveux gris et bouclés. Cette tête, au front et aux pommettes inhabituellement larges, à la belle bouche sensuelle et au regard majestueux et froid, n'était pas défigurée par la proximité de la mort. Elle était la même que Pierre la connaissait il y a trois mois, lorsque le comte le laissa partir à Pétersbourg. Mais cette tête se balançait impuissante sous les pas inégaux des porteurs, et le regard froid et indifférent ne savait où s'arrêter.
Plusieurs minutes d'agitation autour du lit surélevé s'écoulèrent ; les gens qui portaient le malade se dispersèrent. Anna Mikhaïlovna toucha la main de Pierre et lui dit : « Venezez ». [Aller.] Pierre l'accompagna jusqu'au lit sur lequel le malade était couché dans une pose festive, apparemment en rapport avec le sacrement qui venait d'être célébré. Il était allongé la tête haute sur les oreillers. Ses mains étaient disposées symétriquement sur la couverture de soie verte, paumes vers le bas. Lorsque Pierre s'approcha, le comte le regarda droit dans les yeux, mais il regarda avec un regard dont le sens et le sens ne peuvent être compris par une personne. Soit ce regard ne disait absolument rien sauf que tant qu'on a des yeux, il faut regarder quelque part, soit il en disait trop. Pierre s'arrêta, ne sachant que faire, et regarda d'un air interrogateur sa chef Anna Mikhailovna. Anna Mikhaïlovna lui fit un geste précipité des yeux, lui montrant la main de la patiente et lui envoyant un baiser avec ses lèvres. Pierre, tendant assidûment le cou pour ne pas se coincer dans la couverture, suivit son conseil et baisa la main grosse et charnue. Pas une main, pas un seul muscle du visage du comte ne trembla. Pierre regarda de nouveau Anna Mikhaïlovna d'un air interrogateur, lui demandant maintenant ce qu'il devait faire. Anna Mikhaïlovna lui montra du regard la chaise qui se trouvait à côté du lit. Pierre commença docilement à s'asseoir sur la chaise, ses yeux continuant de se demander s'il avait fait le nécessaire. Anna Mikhaïlovna hocha la tête avec approbation. Pierre reprit la position symétriquement naïve d'une statue égyptienne, regrettant apparemment que son corps lourd et lourd occupe un si grand espace, et utilisant toute sa force mentale pour paraître le plus petit possible. Il regarda le comte. Le Comte regarda l'endroit où se trouvait le visage de Pierre tandis qu'il se tenait debout. Anna Mikhaïlovna, dans sa position, a montré une conscience de l'importance touchante de cette dernière minute de la rencontre entre le père et le fils. Cela dura deux minutes, ce qui parut une heure à Pierre. Soudain, un tremblement apparut dans les gros muscles et les rides du visage du comte. Le frisson s'intensifia, la belle bouche se tordit (c'est alors seulement que Pierre réalisa à quel point son père était proche de la mort), et un son rauque et indistinct se fit entendre de la bouche tordue. Anna Mikhailovna a soigneusement regardé le patient dans les yeux et, essayant de deviner ce dont il avait besoin, a montré d'abord Pierre, puis la boisson, puis dans un murmure interrogateur appelé le prince Vasily, puis a montré la couverture. Les yeux et le visage du patient montraient de l'impatience. Il fit un effort pour regarder la servante qui se tenait implacablement à la tête du lit.
"Ils veulent se retourner de l'autre côté", murmura le domestique en se levant pour retourner le corps lourd du comte face au mur.
Pierre se leva pour aider le domestique.
Tandis qu'on retournait le comte, un de ses bras retomba impuissant en arrière, et il fit un vain effort pour le traîner. Le comte a-t-il remarqué le regard d'horreur avec lequel Pierre regardait cette main sans vie, ou quelle autre pensée traversa sa tête mourante à ce moment-là, mais il regarda la main désobéissante, l'expression d'horreur sur le visage de Pierre, encore une fois le main, et sur le visage apparut un sourire faible et souffrant qui ne convenait pas à ses traits, exprimant une sorte de moquerie de sa propre impuissance. Soudain, à la vue de ce sourire, Pierre sentit un frisson dans la poitrine, un pincement au nez, et des larmes troublèrent sa vision. Le patient était tourné sur le côté, contre le mur. Il soupira.
"Il est assoupi, [Il s'est assoupi", dit Anna Mikhaïlovna en remarquant la princesse qui venait la remplacer. – Allons. [Allons à.]
Pierre est parti.