Большая энциклопедия нефти и газа. Главные плоскости и точки

Осуществим сложную оптическую систему, расположив несколько линз одну за другой так, чтобы их главные оптические оси совпадали (рис. 224). Эта общая главная ось всей системы проходит через центры всех поверхностей, ограничивающих отдельные линзы. Направим на систему пучок параллельных лучей, соблюдая, как и в § 88, условие, чтобы диаметр этого пучка был достаточно мал. Мы обнаружим, что по выходе из системы пучок собирается в одной точке , которую, так же как и в случае тонкой линзы, назовем задним фокусом системы. Направив параллельный пучок на систему с противоположной стороны, найдем передний фокус системы . Однако при ответе на вопрос, каково фокусное расстояние рассматриваемой системы, мы встречаем затруднение, ибо неизвестно, до какого места системы надо отсчитывать это расстояние от точек и . Точки, аналогичной оптическому центру тонкой линзы, в оптической системе, вообще говоря, нет, и нет оснований отдать предпочтение какой-нибудь из многих поверхностей, составляющих систему; в частности, расстояния от и до соответствующих наружных поверхностей системы не являются одинаковыми.

Рис. 224. Фокусы оптической системы

Эти затруднения разрешаются следующим образом.

В случае тонкой линзы все построения можно сделать, не рассматривая хода лучей в линзе и ограничившись изображением линзы в виде главной плоскости (см. §97).

Исследование свойств сложных оптических систем показывает, что и в этом случае мы можем не рассматривать действительного хода лучей в системе. Однако для замены сложной оптической системы приходится использовать не одну главную плоскость, а совокупность двух главных плоскостей, перпендикулярных к оптической оси системы и пересекающих ее в двух так называемых главных точках ( и ). Отметив на оси положение главных фокусов, мы будем иметь полную характеристику оптической системы (рис. 225). При этом изображение очертаний наружных поверхностей, ограничивающих систему (в виде жирных дуг рис. 225), является излишним. Две главные плоскости системы заменяют единую главную плоскость тонкой линзы: переход от системы к тонкой линзе означает сближение двух главных плоскостей до слияния, так что главные точки и сближаются и совпадают с оптическим центром линзы.

Таким образом, главные плоскости системы представляют собою как бы расчленение главной плоскости тонкой линзы. Это обстоятельство находится в соответствии с их основным свойством: луч, входящий в систему, пересекает первую главную плоскость на той же высоте , на какой выходящий из системы луч пересекает вторую главную плоскость (см. рис. 225).

Мы не будем приводить доказательства того, что такая пара плоскостей действительно существует во всякой оптической системе, хотя доказательство это и не представляет особых трудностей; ограничимся лишь указанием метода использования этих характеристик системы для построения изображения. Главные плоскости и главные точки могут лежать и внутри и вне системы, совершенно несимметрично относительно поверхностей, ограничивающих систему, например даже по одну сторону от нее.

Рис. 225. Главные плоскости оптической системы

С помощью главных плоскостей решается и вопрос о фокусных расстояниях системы. Фокусными расстояниями оптической системы называются расстояния от главных точек до соответствующих им фокусов. Таким образом, если мы обозначим и -передний фокус и переднюю главную точку, и - задний фокус и заднюю главную точку, то есть заднее фокусное расстояние системы, - ее переднее фокусное расстояние.

Если по обе стороны системы находится одна и та же среда (например, воздух), так что в ней расположены передний и задний фокусы, то

как и для тонкой линзы.

Центрированная система задана, если заданы радиусы кривизны преломляющих поверхностей, расстояния между ними и коэффициенты преломления всех веществ, разграничиваемых поверх­ностями. Главные плоскости каждой преломляющей поверхности, по сказанному в предыдущем параграфе, совпадают с касательной

Рис. 255. Положение главных плоскостей и главных фокусов центрированной системы.

плоскостью, проведенной через вершину этой поверхности. Глав­ные фокусные расстояния отдельных преломляющих поверхностей могут быть вычислены по формулам (7) и (8) § 316. По этим дан­ным можно найти положение главных плоскостей и главных фоку­сов всей системы.

Пусть две центрированные системы I и II (рис. 255) заданы каждая своими главными плоскостями и своими главными фокусными расстояниями fu f[ и /2, fr Расположение этих двух систем друг относительно друга определим расстоянием А между вторым глав­ным фокусом F[ системы I и первым главным фокусом Fq системы II. Последовательно рассматривая прохождение луча через обе системы, можно найти главные фокусные расстояния / и fx образуемой ими системы и положение ее главных плоскостей (см. мелкий шрифт). Для главных фокусных расстояний получаем

Положение первой главной плоскости Н всей системы опреде­лится отрезком Хну отсчитанным от первой главной плоскости системы I (рис. 255):

Также положение второй главной плоскости всей системы опреде­лится отрезком

х№ =/;А+/г/8, (3)

отсчитанным от второй главной плоскости системы II.

Поскольку главные плоскости и главные фокусы отдель­ных преломляющих поверхностей известны, можно путем последо­вательного применения формул (1), (2) и (3) найти главные пло­скости и главные фокусы любой сложной центрированной системы. Рассмотрим ряд частных случаев.

1. Толстая линза. Пусть толстая линза ограничена двумя сферическими поверхностями АВ и NB" (рис. 256) с радиусами кри-

Рис. 256. Нахождение главных фокусов и главных поверхно­стей толстой линзы.

визны гх и гъ отстоящими друг от друга на расстоянии d. Коэффи­циент преломления вещества, заключенного между поверхностями АВ и АГВ\ обозначим через п. Пусть линза находится в воздухе, для которого коэффициент преломления будем считать равным еди­нице. Главные плоскости первой и второй преломляющих поверхно­стей совпадают с плоскостями, касательными к преломляющим по­верхностям в точках О и О" (отмечены на рис. 256 пунктиром).

Сравним между собою первое и второе главные фокусные рас­стояния линзы. Воспользовавшись формулой (9) § 316, получим для первой и второй сферической поверхности:

К _ п f\_ _ _ L

откуда следует

На основании этого равенства и формулы (1) заключаем, что первое и второе главные фокусные расстояния линзы (окруженной

однородной средой) равны по величине и отличаются знаком: 1

В соответствии с определением оптической силы преломляющей поверхности [формула (10) § 316] под оптической силой линзы (или центрированной системы линз), находящейся в однородном веществе

с показателем преломления л0, подразумевается величина:

В нашем случае п0 - п1=п"2-\ и

Найдем оптическую силу Ф линзы. По формуле (1): .Из рис. 256 имеем

откуда для оптической силы линзы находим

ф_±_ * _ rf-/;+/i

Подставляя это значение в выражение для Ф, получим

но уг = Фх и jr = Ф$» где Ф! и Ф2 - оптические силы первой и

второй преломляющих поверхностей линзы. Воспользовавшись этими соотношениями, окончательно получим для оптической силы толстой линзы Ф:

Ф = Ф1 + Ф2- ~ Ф,Ф2. (5)

1 Равенство / =-/", где / и /"-главные фокусные расстояния, имеет место не только для линзы, но и для любой центрированной системы линз, помещенной в однородную среду. В этом легко убедиться, использовав фор­мулы (6) и (6а) и учтя, что для линзы любого номера k имеет место равен­ство = - /V

Для определения положения первой главной плоскости толстой линзы воспользуемся формулой (2). Подставляя в нее вместо А его значение по (4), получим

что перепишем в виде

Величина /1/2/Д, по (1), равна первому главному фокусному рас­стоянию линзы, откуда получим

где Ф - оптическая сила линзы, и j- -

Замечая, что / Ф.

Получим для Хц следующее окончательное выражение:

Величина Хн представляет собою расстояние, отсчитанное от вер­шины линзы О до ее первой главной плоскости.

Рис. 257. Положение главных плоскостей двояковыпуклой толстой линзы.

Аналогично найдем положение второй главной плоскости линзы. Из (3) имеем:

Г d ипи у _f}