Колебания груза на пружине. Колебание груза на пружине

Определение

Частота колебаний ($\nu$) является одним из параметров, которые характеризуют колебания Это величина обратная периоду колебаний ($T$):

\[\nu =\frac{1}{T}\left(1\right).\]

Таким образом, частотой колебаний называют физическую величину, равную числу повторений колебаний за единицу времени.

\[\nu =\frac{N}{\Delta t}\left(2\right),\]

где $N$ - число полных колебательных движений; $\Delta t$ - время, за которые произошли данные колебания.

Циклическая частота колебаний (${\omega }_0$) связана с частотой $\nu $ формулой:

\[\nu =\frac{{\omega }_0}{2\pi }\left(3\right).\]

Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) является герц или обратная секунда:

\[\left[\nu \right]=с^{-1}=Гц.\]

Пружинный маятник

Определение

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать горизонтальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. При этом часто считают, что силы трения можно не учитывать.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, который совершает свободные колебания - это пример гармонического осциллятора. Пусть он выполняет колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза запишем как:

\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(4\right),\]

где ${\omega }^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решение уравнения (4) это функция синуса или косинуса вида:

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний пружинного маятника, $A$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.

Частота колебаний пружинного маятника

Из формулы (3) и ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, следует, что частота колебаний пружинного маятника равна:

\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(6\right).\]

Формула (6) справедлива в случае, если:

• пружина в маятнике считается невесомой;
• груз, прикрепленный к пружине, является абсолютно твердым телом;
• крутильные колебания отсутствуют.

Выражение (6) показывает, что частота колебаний пружинного маятника увеличивается с уменьшением массы груза и увеличением коэффициента упругости пружины. Частота колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. Если колебания не являются малыми, сила упругости пружины не подчиняется закону Гука, то появляется зависимость частоты колебаний от амплитуды.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Период колебаний пружинного маятника составляет $T=5\cdot {10}^{-3}с$. Чему равна частота колебаний в этом случае? Какова циклическая частота колебаний этого груза?

Решение. Частота колебаний - это величина обратная периоду колебаний, следовательно, для решения задачи достаточно воспользоваться формулой:

\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.1\right).\]

Вычислим искомую частоту:

\[\nu =\frac{1}{5\cdot {10}^{-3}}=200\ \left(Гц\right).\]

Циклическая частота связана с частотой $\nu $ как:

\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]

Вычислим циклическую частоту:

\[{\omega }_0=2\pi \cdot 200\approx 1256\ \left(\frac{рад}{с}\right).\]

Ответ. $1)\ \nu =200$ Гц. 2) ${\omega }_0=1256\ \frac{рад}{с}$

Пример 2

Задание. Массу груза, висящего на упругой пружине (рис.2), увеличивают на величину $\Delta m$, при этом частота уменьшается в $n$ раз. Какова масса первого груза?

\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.1\right).\]

Для первого груза частота будет равна:

\[{\nu }_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.2\right).\]

Для второго груза:

\[{\nu }_2=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m+\Delta m}}\ \left(2.2\right).\]

По условию задачи ${\nu }_2=\frac{{\nu }_1}{n}$, найдем отношение $\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}:\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}=\sqrt{\frac{k}{m}\cdot \frac{m+\Delta m}{k}}=\sqrt{1+\frac{\Delta m}{m}}=n\ \left(2.3\right).$

Получим из уравнения (2.3) искомую массу груза. Для этого обе части выражения (2.3) возведем в квадрат и выразим $m$:

Ответ. $m=\frac{\Delta m}{n^2-1}$

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

Таким образом, груз некоторой массы m , прикрепленный к пружине жесткости k , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .

Круговая частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

следовательно

Частота ω 0 называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

При горизонтальном расположении системы пружина-груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x 0 , равную

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω 0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x : ускорение является второй производной координаты тела x по времени t :

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

(*)

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 или период T . Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x m = Δl , φ 0 = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость , то

Таким образом, амплитуда x m свободных колебаний и его начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M упр упругой деформации кручения:

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k . Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде

где I = I C - момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε - угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими ) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными .

Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике. Крылья насекомых и птиц в полете, высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни, звук - это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны - периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет - тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой, землетрясения - колебания почвы, биение пульса - периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего.

Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Признаком колебательного движения является его периодичность .

Механические колебания – это движения, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые промежутки времени .

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине (пружинный маятник) или шарик на нити (математический маятник).

При механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются.

При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль . В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения . Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия , его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией . Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии.

При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот .

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при механических колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине :

В положении максимального отклонения полная энергия мятника равна потенциальной энергии деформированной пружины:

При прохождении положения равновесия полная энергия равна кинетической энергии груза:

Для малых колебаний математического маятника :

В положении максимального отклонения полная энергия мятника равна потенциальной энергии поднятого на высоту h тела:

При прохождении положения равновесия полная энергия равна кинетической энергии тела:

Здесь h m – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения Земли, x m и υ m = ω 0 x m – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости.

Гармонические колебания и их характеристики. Уравнение гармонического колебания.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением

x = x m cos (ωt + φ 0).

Здесь x – смещение тела от положения равновесия,
x m – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия,
ω – циклическая или круговая частота колебаний,
t – время.

Характеристики колебательного движения.

Смещение х – отклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Единица измерения – 1 метр.

Амплитуда колебаний А – максимальноеотклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Единица измерения – 1 метр.

Период колебаний T – минимальный интервал времени, за который происходит одно полное колебание, называется. Единица измерения – 1 секунда.

T=t/N

где t - время колебаний, N - количество колебаний, совершенных за это время.

По графику гармоническихколебаний можно определить период и амплитуду колебаний:

Частота колебаний ν – физическая величина, равная числу колебаний за единицу времени.

ν=N/t

Частота – величина, обратная периоду колебаний:

Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с.Единица частоты – герц (Гц).

Циклическая частота ω – число колебаний за 2π секунды.

Частота колебаний ν связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Фаза гармонического процесса – величина, стоящая под знаком синуса или косинуса в уравнении гармонических колебаний φ = ωt + φ 0 . При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой .

График гармонических колебаний представляет собой синусоиду или косинусоиду.

Во всех трех случаях для синих кривых φ 0 = 0:

только большей амплитудой (x" m > x m);

красная кривая отличается от синей только значением периода (T" = T / 2);

красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы (рад).

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость движения тела определяется выражением

В математике процедура нахождения предела отношения Δх/Δt при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как x" (t ).Скорость равна производной функции х(t ) по времени t.

Для гармонического закона движения x = x m cos (ωt + φ 0) вычисление производной приводит к следующему результату:

υ х =x" (t )= ωx m sin (ωt + φ 0)

Аналогичным образом определяется ускорение a x тела при гармонических колебаниях. Ускорение a равно производной функции υ(t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:

а х =υ х "(t) =x"" (t )= -ω 2 x m cos (ωt + φ 0)=-ω 2 x

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

На рисунке приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания.

Пружинный маятник.

Пружинным маятником называют груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно .

Собственная частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится по формуле:

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

Значит, период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза и от жесткости пружины.

Физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 и период T . Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Математический маятник.

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела.

В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити N. При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = –mg sin φ. Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Математический маятник.φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия,

x = lφ – смещение маятника по дуге

Собственная частота малых колебаний математического маятника выражается формулой:

Период колебаний математического маятника:

Значит, период колебаний математического маятника зависит отдлины нити и от ускорения свободного падения той местности, где установлен маятник.

Свободные и вынужденные колебания.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными .

Свободные колебания – это колебания, которые возникают в системе под действием внутренних сил, после того, как система была выведена из положения устойчивого равновесия.

Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению .

В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими .

Затухающими называют колебания, амплитуда которых уменьшается со временем .

Чтобы колебания не затухали, необходимо сообщать системе дополнительную энегрию, т.е. воздействовать на колебательную систему периодической силой (например, для раскачивания качели).

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными .

Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .

Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты собственных колебаний с частотой внешней вынуждающей силы называется резонансом .

Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой .

Резонансные кривые при различных уровнях затухания:

1 – колебательная система без трения; при резонансе амплитуда x m вынужденных колебаний неограниченно возрастает;

2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различным трением.

В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение, тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Цель работы . Ознакомиться с основными характеристиками незатухающих и затухающих свободных механических колебаний.

Задача . Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника.

Приборы и принадлежности . Штатив со шкалой, пружина, набор грузов различной массы, сосуд с водой, секундомер.

1. Свободные колебания пружинного маятника. Общие сведения

Колебаниями называются процессы, в которых периодически изменяется одна или несколько физических величин, описывающих эти процессы. Колебания могут быть описаны различными периодическими функциями времени. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания – такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, смещение груза на пружине) изменяется со временем по закону косинуса или синуса. Колебания, возникающие после действия на систему внешней кратковременной силы, называются свободными.

Если груз вывести из положения равновесия, отклонив на величину x , то сила упругости возрастает: F упр = – kx 2= – k (x 1 + x ). Дойдя до положения равновесия, груз будет обладать отличной от нуля скоростью и пройдет положение равновесия по инерции. По мере дальнейшего движения будет увеличиваться отклонение от положения равновесия, что приведет к возрастанию силы упругости, и процесс повторится в обратном направлении. Таким образом, колебательное движение системы обусловлено двумя причинами: 1) стремлением тела вернуться в положении равновесия и 2) инерцией, не позволяющей телу мгновенно остановиться в положении равновесия. В отсутствии сил трения колебания продолжались бы сколь угодно долго. Наличие силы трения приводит к тому, что часть энергии колебаний переходит во внутреннюю энергию и колебания постепенно затухают. Такие колебания называются затухающими.

Незатухающие свободные колебания

Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – незатухающие свободные колебания. Согласно второму закону Ньютона c учетом знаков проекций на ось X

Из условия равновесия смещение, вызываемое силой тяжести: . Подставляя в уравнение (1), получим: Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальное уравнение

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)

Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний . Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А 0 называется амплитудой колебаний . Величина , стоящая в аргументе косинуса, называется фазой колебания . Постоянная φ0 представляет собой значение фазы в начальный момент времени (t = 0) и называется начальной фазой колебаний . Величина

есть круговая или циклическая частота собственных колебаний , связанная с периодом колебаний Т соотношением https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">. (5)

Затухающие колебания

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника при наличии силы трения (затухающие колебания). В простейшем и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае сила трения пропорциональна скорости υ движения:

F тр = – rυ , (6)

где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус показывает, что сила трения и скорость имеют противоположные направления. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Х при наличии упругой силы и силы трения

ma = – kx – rυ . (7)

Данное дифференциальное уравнение с учетом υ = dx / dt можно записать

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – коэффициент затухания ; – циклическая частота свободных незатухающих колебаний данной колебательной системы, т. е. при отсутствии потерь энергии (β = 0). Уравнение (8) называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний .

Чтобы получить зависимость смещения x от времени t , необходимо решить дифференциальное уравнение (8)..gif" width="172" height="27">, (9)

где А 0 и φ0 – начальная амплитуда и начальная фаза колебаний;
– циклическая частота затухающих колебаний при ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src=">. (10)

На графике функции (9), рис. 2, пунктирными линиями показано изменение амплитуды (10) затухающих колебаний.

Рис. 2. Зависимость смещения х груза от времени t при наличии силы трения

Для количественной характеристики степени затухания колебаний вводят величину, равную отношению амплитуд, отличающихся на период, и называемую декрементом затухания :

. (11)

Часто используют натуральный логарифм этой величины. Такой параметр называется логарифмическим декрементом затухания :

Амплитуда уменьшается в n раз, то из уравнения (10) следует, что

Отсюда для логарифмического декремента получаем выражение

Если за время t " амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,71 – основание натурального логарифма), то система успеет совершить число колебаний

Рис. 3. Схема установки

Установка состоит из штатива 1 с измерительной шкалой 2 . К штативу на пружине 3 подвешиваются грузы 4 различной массы. При изучении затухающих колебаний в задании 2 для усиления затухания используется кольцо 5 , которое помещается в прозрачный сосуд 6 с водой.

В задании 1 (выполняется без сосуда с водой и кольца) в первом приближении затуханием колебаний можно пренебречь и считать гармоническими. Как следует из формулы (5) для гармонических колебаний зависимость T 2 = f (m ) – линейная, из которой можно определить коэффициент жесткости пружины k по формуле

где – угловой коэффициент наклона прямой T 2 от m .

Задание 1. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза.

1. Определить период колебаний пружинного маятника при различных значениях массы груза m . Для этого с помощью секундомера для каждого значения m трижды измерить время t полных n колебаний (n ≥10) и по среднему значению времени https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28">. Результаты занести в табл. 1.

2. По результатам измерений построить график зависимости квадрата периода T 2 от массы m . Из углового коэффициента графика определить жесткость пружины k по формуле (16).

Таблица 1

Результаты измерений для определения периода собственных колебаний

3. Дополнительное задание. Оценить случайную , полную и относительную εt ошибки измерения времени для значения массы m = 400 г.

Задание 2. Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника.

1. На пружину подвесить груз массой m = 400 г с кольцом и поместить в сосуд с водой, так чтобы кольцо полностью находилось в воде. Определить период затухающих колебаний для данного значения m по методу, изложенному в п. 1 задания 1. Измерения повторить три раза и результаты занести в левую часть табл. 2.

2. Вывести маятник из положения равновесия и, отметив по линейке его начальную амплитуду, измерить время t " , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза. Измерения произвести три раза. Результаты занести в правую часть табл. 2.

Таблица 2

Результаты измерений

для определения логарифмического декремента затухания

4. Контрольные вопросы и задания

1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение их основных характеристик.

2. Какие колебания называются затухающими? Дайте определение их основных характеристик.

3. Поясните физический смысл логарифмического декремента затухания и коэффициента затухания.

4. Вывести зависимости от времени скорости и ускорения груза на пружине, совершающего гармонические колебания. Привести графики и проанализировать.

5. Вывести зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной энергии для груза, колеблющегося на пружине. Привести графики и проанализировать.

6. Получить дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

7. Построить графики гармонических колебаний с начальными фазами π/2 и π/3.

8. В каких пределах может изменяться логарифмический декремент затухания?

9. Привести дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника и его решение.

10. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?

11. Какое движение называется апериодическим? При каких условиях оно наблюдается?

12. Что называется собственной частотой колебаний? Как она зависит от массы колеблющегося тела для пружинного маятника?

13. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?

14. Подвешенный к пружине медный шарик совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый того же радиуса?

15. При каком значении логарифмического декремента затухания колебания затухают быстрее: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Привести графики этих затухающих колебаний.

Библиографический список

1. Трофимова Т. И . Курс физики / . – 11-е изд. – М. : Академия, 2006. – 560 с.

2. Савельев И. В . Курс общей физики: в 3 т. / . – СПб. : Лань, 2008. – Т. 1. – 432 с.

3. Ахматов А. С . Лабораторный практикум по физике / .
– М. : Высш. шк., 1980. – 359 с.

При механических колебаниях тела на пружине, координата тела будет периодически изменяться. При этом будем меняться проекция скорости тела на ось Ох. В электромагнитных колебаниях с течение времени по периодическому закону будет изменяться заряд q конденсатора, и сила тока в цепи колебательного контура.

Величины будут иметь одинаковый характер изменения. Это происходит потому, что имеется аналогия между условиями, в которых возникают колебания. Когда мы отводим груз на пружине из положения равновесии, в пружине возникает сила упругости F упр., которая стремится вернуть груз обратно, в положение равновесия. Коэффициентом пропорциональности этой силы будет являться жесткость пружины k.

При разрядке конденсатора в цепи колебательного контура появляется ток. Разрядка обусловлена тем, что на пластинах конденсатора есть напряжение u. Это напряжение будет пропорционально заряду q любой из пластин. Коэффициентом пропорциональности будет служить величина 1/C, Где С - емкость конденсатора.

При движении груза на пружине, когда мы отпускаем его, скорость тела увеличивается постепенно, вследствие инертности. И после прекращения силы скорость тела не становится сразу равной нулю, она тоже постепенно уменьшается.

Механическое движение. Траектория, путь, перемещение. Механическое движение - изменение положения тела в пространстве относительно других тел. Траектория движения - линия, вдоль которой двигается тело. По форме траектории движение тел может быть прямолинейным и криволинейным. Прямолинейное равномерное движение - движение, при котором тело за любые (!) равные (!) промежутки времени проходит одинаковые пути.

Относительность движения означает, что характеристики движения (траектория, путь, скорость и др.) зависят от выбора тела отсчета. Тело отсчета - тело, относительно которое рассматривают движение. Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях пренебрегают. (масса тела сосредоточена в этой точке)