Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Непрерывность дифференцируемой функции Понятие дифференциала функции Геометрический смысл дифференциала. Производная Понятие о непрерывности функции производная

Содержание статьи

ПРОИЗВОДНАЯ –производной функции y = f (x ), заданной на некотором интервале (a , b ) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную принято обозначать так:

Широко употребляются и другие обозначения:

Мгновенная скорость.

Пусть точка M движется по прямой. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения M 0 , зависит от времени t , т.е. s есть функция времени t : s = f (t ). Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка M находилась на расстоянии s от начального положения M 0, а в некоторый следующий момент t + Dt оказалась в положении M 1 – на расстоянии s + Ds от начального положения (см. рис .).

Таким образом, за промежуток времени Dt расстояние s изменилось на величину Ds . В этом случае говорят, что за промежуток времени Dt величина s получила приращение Ds .

Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки M в момент времени t . Если, например, тело в начале промежутка Dt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать представление об истинной скорости ее движения в момент t . Чтобы точнее выразить истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Dt . Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при Dt ® 0. Этот предел называют скоростью движения в данный момент:

Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути Ds к приращению времени Dt , когда приращение времени стремится к нулю. Так как

Геометрическое значение производной. Касательная к графику функции.

Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления .

Пусть кривая есть график функции y = f (x ) в прямоугольной системе координат (см . рис.).

При некотором значении x функция имеет значение y = f (x ). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M 0(x , y ). Если аргументу x дать приращение Dx , то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+ Dy = f (x + Dx ). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M 1(x + Dx , y + Dy ). Если провести секущую M 0M 1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox , из рисунка непосредственно видно, что .

Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M 1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M 0, и угол j изменяется с изменением Dx . При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M 0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

Следовательно, f ´(x ) = tga

т.е. значение производной f ´(x ) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f (x ) в соответствующей точке M 0(x ,y ) с положительным направлением оси Ox .

Дифференцируемость функций.

Определение. Если функция y = f (x ) имеет производную в точке x = x 0, то функция дифференцируема в этой точке.

Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.

Если функция y = f (x ) дифференцируема в некоторой точке x = x 0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x 0 функция y = f (x ) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x | непрерывна для всех x (–Ґ х x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a ,b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f (a ) = f (b ) = 0), то внутри отрезка [a ,b ] существует, по крайней мере одна, точка x = с , a c b, в которой производная f ў(x ) обращается в нуль, т.е. f ў(c ) = 0.

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a , b ] найдется по крайней мере одна точка с , a c b, что

f (b ) – f (a ) = f ў(c )(b – a ).

Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f (x ) и g (x ) – две функции, непрерывные на отрезке [a , b ] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем g ў(x ) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a , b ] найдется такая точка x = с , a c b, что

Производные различных порядков.

Пусть функция y = f (x ) дифференцируема на некотором отрезке [a , b ]. Значения производной f ў(x ), вообще говоря, зависят от x , т.е. производная f ў(x ) представляет собой тоже функцию от x . При дифференцировании этой функции получается так называемая вторая производная от функции f (x ), которая обозначается f ўў (x ).

Производной n- го порядка от функции f (x ) называется производная (первого порядка) от производной n- 1- го и обозначается символом y (n ) = (y (n – 1))ў.

Дифференциалы различных порядков.

Дифференциал функции y = f (x ), где x – независимая переменная, есть dy = f ў(x )dx , некоторая функция от x , но от x может зависеть только первый сомножитель f ў(x ), второй же сомножитель (dx ) является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит. Так как dy есть функция от x , то можно определить дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d 2y :

d (dx ) = d 2y = f ўў(x )(dx ) 2 .

Дифференциалом n- го порядка называется первый дифференциал от дифференциала n- 1- го порядка:

d n y = d (d n –1 y ) = f (n )(x )dx (n ).

Частная производная.

Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов x i (i изменяется от 1 до n , i = 1, 2,… n ), f (x 1, x 2,… x n ), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, x i . Частная производная 1-ого порядка по x i определяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме x i , сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения

Определенные таким образом частные производные 1-ого порядка (как функции тех же аргументов) могут, в свою очередь, также иметь частные производные, это частные производные второго порядка и т.д. Взятые по разным аргументам такие производные называются смешанными. Непрерывные смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования и равны между собой.

Анна Чугайнова

Пусть функция у = f{x) определена на интервале (а, 6). Возьмем некоторое значение х € {а, Ь). Дадим х приращение Дя любое, но такое, чтобы х + Дя € (а, 6). Тогда функция у = f(x) получит прирашение Определение. Функция у = f(x) называется дифференцируемой в точке х £ (а, 6), если прирашение функции отвечающее прирашению Ах аргумента, можно представить в виде где А - некоторое число, которое не зависит от Ах (но, вообше говоря, зависит Пример. Рассмотрим функцию у = х2. Во всякой то»«е х и при любом Дх имеем Отсюда, в силу определения, функция у = х2 дифференцируема в любой точке х, причем Следующая теорема выражает необходимое и достаточное условие дифференци-руемости функции. Теорема 1. Для того чтобы функция у = fix) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы fix) в этой точке имела конечную производную f\x). Необходимость. Пусть функция у = fix) дифференцируема в точке х. Докажем, что в этой точке существует производная fix). Действительно, из дифференцируемости функции у = fix) в точке х следует, что приращение функции Ду, отвечающее приращению Дх аргумента, можно представить в виде Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Непрерывность дифференцируемой функции Понятие дифференциала функции Геометрический смысл дифференциала где величина А для данной точки х постоянна (не зависит от. По теореме о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно малой функцией, отсюда следует, что Существование производной доказано. Одновременно мы установили, что Достаточность. Пусть функция в точке х имеет конечную производную /"(х). Докажем, что fix) в этой точке дифференцируема. Действительно, существование производной /"(х) означает, что при Дх 0 существует предел отношения и что Отсюда, в силу теоремы о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно малой функцией, вытекает, что где, значит, Так как в правой части формулы (2) величина х) не зависит от, то равенство (2) доказывает, что функция у = /(х) дифференцируема в точке Теорема 1 устанавливает, что для функции /(х) дифференцируемостьв данной точке х и сушествованйе конечной производной в этой точке - понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной функции называют также дифференцированием этой функции. В дальнейшем, когда мы говорим, что функция /(х) имеет производную в данной точке, мы подразумеваем наличие конечной производной, если не оговорено противное. 2.1. Непрерывность дифференцируемой функции Теорема 2. Если функция дифференцируема в данной точке х, то она непрерывна в этой точке. Действительно, если функция у = /(х) дифференцируема в точке х, то приращение Ду этой функции, отвечающее приращению Дх аргумента, может быть представлено в виде где А - постоянная для данной точки х, а а 0 при Дх 0. Из равенства (3) следует, что Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Непрерывность дифференцируемой функции Понятие дифференциала функции Геометрический смысл дифференциала что и означает, согласно определению, непрерывность функции у = /(х) в данной точке х. Обратное заключение неверно: из непрерывности функции /(х) в некоторой точке х не следует дифференцируемость функции в этой точке. Пример. Например, функция /(х) = |х| непрерывна в точке х = 0, но, как мы показали выше (, не имеет производной в точке х = 0 и потому не является дифференцируемой в этой точке. Приведем еше пример. Пример. Функция непрерывна на интервале (-о#, +о#). Для всех х # 0 она имеет производную, но в точке х = 0 она не имеет ни правой, ни левой производной, потому что величина не имеет предела, как при В приведенных примерах производная отсутствует лишь в одной точке. Так и думали в XVIII и начале XIX в., когда считали, что непрерывная функция может не иметь производной самое большее в конечном числеточек. Позжебыли построены (Больца-но, Вейерштрасс, Пеано, Ван дер Варден) примеры непрерывных на отрезке [а, Ь\ функций, не имеющих производной ни в одной точке отрезка. Понятие дифференциала функции Пусть функция у - /(х) дифференцируема в точке х, т.е. прирашение Ду этой функции, отвечающее приращению Дх аргумента, представимо в виде Определение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, точасть приращения функции А Дх при Аф 0 называется дифференциаюм функции у = /(х) и обозначается символом dy или df{x): В случае А Ф 0 дифференциал функции называют главной линейной частью приращения Ду функции, поскольку при Дх 0 величина а(Дх)Дх в равенстве (4) есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем А Дх. В случае, когда >1 = 0, считают, что дифференциал dy равен нулю. В силу теоремы I имеем А = /"(х), так что формула (5) для dy принимает вид. Наряду с понятием дифференциала функции вводят понятие дифференциала dx независимой переменной х, полагая по определению Тогда формулу для дифференциала функции у = /(х) можно записать в более симметричной форме Отсюда в свою очередь имеем: /"(х) = Это еще одно обозначение производной (iобозначение Лейбница), которую можно рассматривать как дробь - отношение дифференциала функции dy к дифференциалу аргумента dx. Введем еше одно понятие. Будем говорить, что функция у = /(х) дифференцируема на интервале (а, Ь), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Непрерывность дифференцируемой функции Понятие дифференциала функции Геометрический смысл дифференциала Геометрический смысл дифференциала Пусть имеем кривую, заданную уравнением у = /(х),гдс /(х) - дифференцируемая в точке х € (а, 6). Проведем касательную к этой кривой в точке М(х,у) и отметим на кривой еще точку М\ с абсциссой х -f dx. Как известно, /"(х) есть угловой коэффициент касательной, т.е. Рассмотрим треугольник MPQ (рис.8). Из рисунка видно, что Таким образом, дифференциал dy = f"(x)dx функции у = f(x) есть приращение ординаты касательной, проведенной к кривой у = f(x) в точке с абсциссой ж, при переходе от точки касания к точке с абсциссой х + dx.

Теорема: Если функция y = f (x ) дифференцируема в некоторой точке x = x 0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x 0 функция y = f (x ) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x | непрерывна для всех x (–Ґ< х < Ґ), но в точке x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Производная сложной функции

Теорема: Пусть функция , определенная и непрерывная в окрестности , имеет производную в точке . Функция определена и непрерывна в окрестности , где , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке и

.

где и - б.м.ф. Тогда

и , где б.м.ф. в точке .

28. Производная суммы, произведения и частного двух функций.

Производная суммы (разности) функций

Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0 , то производная частного этих функций вычисляется по формуле

29. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически.

ТЕОРЕМА (производная обратной функции)

Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке и имеющая в точке производную . Тогда обратная функция имеет производную в точке и

.

ДОК.

= .

Теорема. (производная функции, заданной параметрически) Пусть функция x = φ(t) имеет обратную функцию t = Ф(x). Если функцииx=φ(t) , y = ψ(t) дифференцируемы и φ"(t) ≠ 0 , тогда

Доказательство

Так как функция x = φ(t) имеет обратную функцию, то формально y можно выразить черезx : y = ψ(Ф (x)) . Так как функция x = φ(t) дифференцируема, то, по теореме 5 , функция t = Ф(x) также дифференцируема.

Используя правила дифференцирования, получаем чтд

Аналогичную формулу можно получить и для второй производной y"" x :

Окончательно получаем

30. Производные высших порядков. Формула Лейбница.

Если f определена на интервале (a,b)®R, диф-ма в " точке xÎ(a,b) то на (a,b) возникает новая функция f’ :(a,b)®R, значение которой в точке x=f’ (x). Функция f’ сама может иметь производную (f’ )’ : на (a,b)®R она по отношению к исходной функции называется второй производной от f и обозначается f” (x), d 2 f(x)/dx 2 или f” xx (x), f” x 2 (x); Опр . Если определена производная f (n -1) (x) порядка n-1 от f то производная порядка n определяется формулой f (n) (x)=(f n -1))’(x). Для нее принято обозначение f (n) (x)=d n f(x)/dx n – ф-ла Лейбница , f (0) (x):=f(x).

31. Понятие дифференцируемости функции и первого дифференциала. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

1.Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно D x часть приращения D y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f" (x )D x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = D x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

2. Дифференцируемость. Функция называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение ∆y в этой точке может быть представлено в виде: ∆y=A∆x + α(∆x) ∆x, где A не зависит от ∆x, α и α(∆x) – бесконечно малая функция относительно ∆x при ∆x→0.

32. Геометрический смысл производной и дифференциала. Касательная и нормаль к графику.

Пусть f определена на (a,b) и непрерывна в точке x 0 Î(a,b), пусть y 0 =f(x 0), M 0 (x 0 ,y 0); x 0 +DxÎ(a,b), Dy=f(x 0 +Dx)-f(x 0), M(x 0 +Dx, y 0 +Dy). M 0 M: y=k(x-x 0)+y 0 (1),

1 )Если $ кон. предел lim D x ® 0 k(Dx)=k 0 то прямая y=k 0 (x-x 0)+y 0 (2) назыв.

(наклонной) касательной к графику f в точке (x 0 ,y 0);

2 ) Если $ бесконечный предел

lim D x ® 0 k(Dx)=¥, то прямая x=x 0 – вертикальная касательная к графику в точке (х 0 ,у 0);

При х=х 0 (2) – предельное положение (1) т.о. предельное положение секущей М 0 М

Dх®0 это касательная y=f(x) в точке х 0 , т.к. lim D x ® 0 k(Dx)=lim D x ® 0 Dy/Dx=f’ (x 0) то уравнение

касательной имеет вид y=f’ (x 0)(x-x 0)+ y 0 , где y 0 =f(x 0) (3). Из 3 получаем что производная в точке х 0 =tga, a - угол между касательной и осью Ох, первое слагаемое f’ (x 0)(x-x 0)=f’ (x 0)Dx, Dx=x-x 0 является диф-ом dy в точке х 0 Þ y-y 0 =dy т.о. дифференциал функции равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика.

3 )Если lim D x ® 0 Dy/Dx=¥, то касательной является прямая х=х 0 при этом в точке х 0 бескон. производная может существовать или не существовать.

33. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков, неинвариантность их формы в общем случае .

Дифференциалы высших порядков . Диф-ал от диф-ла первого порядка dy=f’(x)dx функции y=f(x) (рассматриваемого только как ф-и переменной х т.е. приращение аргумента х (dx) принимается постоянным, при условии что повторное приращ-е переменной х совпадает с начальным) называется вторым диф-ом d 2 f(x):d(df(x))=d(f’(x)dx)=d(f’(x))dx=f”(x)dxdx=f”(x)dx 2 отсюда f”(x)=d 2 f(x)/dx 2 ; Опр . Диф-ом n-го порядка n=1,2… называется дифференциалом от дифференциала порядка n-1 при условии что в диф-ле берутся одни и те же приращения dx, независимого от х. d n f(x)=d(d n -1 f(x)) не трудно видеть, что d n f(x)=f (n) (x)dx n (dx n =(dx) n) Þ f (n) (x)=d n f(x)/dx n .

Неинвариантность формы дифференциала порядка выше первого

Рассмотрим случай, когда х является не независимой переменной, а функцией от другой переменной

Теперь в правой части формулы (3) от переменной u зависит не только функция f (x ), но и дифференциал dx . Следовательно

Сравнивая формулы (2) и (4), убеждаемся, что дифференциалы второго (и более высоких порядков) не обладают инвариантностью формы.

34. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума (теорема Ферма).

Точки экстремума

Экстре́мум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума . Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума , а если максимум - точкой максимума . В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум) .

Точка x 0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x ), если для всех значений аргумента из некоторой достаточно малой δ - окрестности точки х 0 выполняется неравенство

f (x ) < f (x 0) (f (x ) > f (x 0))

при х ≠ x 0 .
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием экстремум. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что неравенство f (x ) < f (x 0) (f (x ) > f (x 0)) может и не выполняться для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки x 0 .

3 Определение производной функции в точке Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует (конечный) предел отношения то f(x) называется дифференцируемой точке х 0, а сам предел называется производной функции f(x) в точке х 0 и обозначается f "(x 0), то есть Обозначим x = x – x 0 – приращение аргумента при переходе из точки х 0 в точку х, а y = f(x 0 + x) – f(x 0) – соответствующее приращение функции. Тогда производная функции f(x) в точке х 0 предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

4 Пример 1. Приведем примеры вычисления производных некоторых простейших элементарных функций, исходя из определения производной. y = a x (0 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то">

0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R." title="5 Пример 3. Возьмем х 0 > 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R." class="link_thumb"> 5 5 Пример 3. Возьмем х 0 > 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R. 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R."> 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R."> 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R." title="5 Пример 3. Возьмем х 0 > 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R."> title="5 Пример 3. Возьмем х 0 > 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R.">

6 ТЕОРЕМА. Если функция f(x) дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть существует Тогда Отсюда получим, что f (x) – f (x 0) = f "(x 0) (х – х 0) + (х – х 0)α(x) при х х 0. То есть f(x) непрерывна в точке x 0. Непрерывность дифференцируемой функции (1)

7 ЗАМЕЧАНИЕ. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования в этой точке производной. Пример 5. f (x) = х. Исследуем поведение f (x) в окрестности х 0 = 0. Здесь и f (x) f (0) = 0 при x 0. Т.е. функция непрерывна в точке х 0 = 0. Рассмотрим x y 0 Предел не существует, так как Итак, функция f (x) = х не имеет производной в точке х = 0, хотя непрерывна в этой точке

8 Пример x y 0 при х 0. при х 0. Т.е. f(x) непрерывна в точке х = 0. Т.е. f(x) не имеет производной в точке х = 0 и, следовательно, не дифференцируема в этой точке. Исследуем поведение f (x) в окрестности точки х = 0.

9 Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х 0. Тогда, согласно (1), ее приращение в точке х 0 можно записать в виде y = f(x 0 + x) – f(x 0) = f (x 0) х + о(x) при х. Дифференциал функции f (x 0) x – главная линейная относительно x часть приращения функции у = f(x) в точке х 0 называется дифференциалом функции в точке х 0 при приращении x и обозначается df(х 0 ; x) или df(х 0) или df или dу. y = f(x 0 + x) – f(x 0) = df(х 0 ; x) + о(x) при х. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Главная часть приращения, линейная относительно х. Бесконечно малая более высокого порядка, чем х. Теперь приращение функции можно записать так:

10 ЗАМЕЧАНИЕ. Приращение х часто обозначают символом dх и называют дифференциалом независимой переменной. Таким образом, дифференциал функции в точке x 0 можно записать в виде df(х 0) = f "(x 0) dх. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал dy – функция от х и dx: dy = f "(x) dx. Отсюда, в частности, получается выражение для производной То есть производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

11 Геометрический смысл производной и дифференциала Пусть функция у = f(x) определена в U(x 0) и дифференцируема в точке х 0. М0М0 М x0x0 x 0 + x y x y = f(x) y0y0 y 0 + у 0 L – секущая L 0 – касательная x y = f(x 0 + x) – f(x 0) при х в силу непрерывности функции. Касательной к графику функции у = f(x) в точке М 0 называется предельное положение секущей L при х. y Если функция дифференцируема в точке х 0, то в уравнении секущей у/ х f (x 0) при х и уравнение касательной имеет вид у = у 0 + f (x 0) (х – х 0).

12 М0М0 М x0x0 x 0 + x dy = df(х 0 ; x) = f (x 0) x x y = f(x) f(x0)f(x0) f(x 0 + x) 0 x y F E EM = o(x) при x 0 L0L0 tg = f (x 0) Если же у/ х при х, то прямая х = х 0, получающаяся из уравнения секущей, называется вертикальной касательной к графику функции в точке М 0. Из уравнения касательной получим у – у 0 = f (x 0) (х – х 0) = df(х 0) – приращение ординаты касательной при переходе из точки х 0 в точку х. Нормалью к графику функции в точке М 0 называется прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку М 0. Ее уравнение имеет вид у = у 0 – 1/f (x 0) (х – х 0). L 1 – нормаль

13 Физические приложения производной и дифференциала Если S(t) – путь, пройденный материальной точкой за время t, то S "(t) – мгновенная скорость материальной точки, а dS = S "(t)dt – расстояние, которое прошла бы материальная точка за промежуток времени от t до t + dt, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости в момент t. Если Q(t) – количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t, то Q "(t) = I – сила тока. Если N(t) – количество вещества, образующегося в момент t в ходе химической реакции, то N "(t) – скорость химической реакции.