Значение "начала" евклида в истории математики. Древнегреческий математик Евклид: биография ученого, открытия и интересные факты

Глава 11. От Евклида до Декарта 11.1. Число и величина Во времена Пифагора и ранних пифагорейцев руководящую высоту в греческой математике занимало понятие числа. Пифагорейцы считали: Бог положил числа в основу мирового порядка. Бог - это единство, а мир - множественность.

Мурзагалиева А. Х.
Раздел 1. Использование исторического материала по теме « Начало» Евклида на уроках математики.

1. 
   Исторический материал по теме « Начало» Евклида

Слайд1

Там, где с морем сливается Нил,

В древнем жарком краю пирамид,

математик греческий жил –многознающий,

мудрый Евклид.

Геометрию он изучал.

Геометрии он обучал.

Написал он великий труд.

Эту книгу «Начало» зовут.

Слайд 2. Евклид – древнегреческий математик (III век до н.э.) работал в Александрии и написал несколько трудов, которые стали основой для образования и использовались около 2200 лет.

В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из “Начал” Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Классическую геометрию стали называть евклидовой. Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что не редко высказываются сомнения в самом его существовании.

Слайд3 (легенда о изучении геометрии) Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», - ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

Слайд4 .Учитель Евклида- Платон

Слайд5 .(Открытие Евклидом математической школы) В Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединенный под общим названием «Начала» - главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.

Предшественники Евклида - Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.

Слайд6.( Ватиканский манускрипт)

«Начала» оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. Книга переведена на множество языков мира. По количеству переизданий «Начала» не имеют себе равных среди светских книг.

Слайд7. (о структуре «Начала»)

Как современников, так и последователей Евклида привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала» состоят из тринадцати книг, построенных по единой логической схеме. Каждая из тринадцати книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

Слайд8.(что изучает каждая книга)

I книга – изучаются свойства треугольников и параллелограммов;

II книга – посвящена «геометрической алгебре»;

III-IV книги – излагается геометрия окружностей;

V книга – вводится общая теория пропорций;

VI книга – прилагается к теории подобных фигур;

VII-IX книги – посвящены теории чисел;

X книга – строится классификация иррациональностей;

XI книга – содержит основы стереометрии;

XII книга – доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, объёмов пирамид и конусов;

XIII книга – посвящена построению пяти правильных многогранников.

Слайд9.( о первой книге Евклида)

Первая книга Евклида начинается с 23”определений”, среди них такие:

Точка есть то, что не имеет частей;

Линяя есть длина без ширины;

Линия ограничена точками;

Прямая есть линия, одинакова расположенная относительно всех своих точек;

Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолжены, не встречаются..

Слайд10 (о бесконечности пространства)

Бесконечность пространства характеризуется тремя постулатами:

«От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию».

«Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой».

«Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг».

Слайд11-12 .(о пятом постулате и его доказательстве Проклом)
Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат («Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.
Прокл даёт доказательство V постулата, исходя из того предположения, принимаемого им за очевидное, что расстояние от точки, лежащей на одной стороне острого угла, до другой его стороны при удалении этой точки от вершины угла может быть сделано сколь угодно большим. Отметим, что это предложение принадлежит абсолютной геометрии.

На основании этого предположения Прокл доказывает V постулат следующим образом.

Пусть требуется доказать, что прямые g" и g" пересекаются в некоторой точке C.

Проведём через точку A прямую g""", параллельную g". Возьмём на прямой g" точку B и опустим из неё

перпендикуляр на g""". Так как при удалении точки B от A её расстояние от g""" неограниченно растёт,

а расстояние между параллельными прямыми g" и g""" конечно, то на g"" найдётся точка C,

принадлежащая g". В этой точке пересекаются прямые g" и g"". Что приводит к справедливости V постулата.

Но это достигнуто только потому, что Прокл пользуется предпосылкой, что расстояние между

параллельными прямыми конечно. Однако, это есть новый постулат, равносильный V постулату

Слайд13.( Задачи по геометрии и их решения Евклидом)

Из 1-й книги «Начал»

1. Данный прямолинейный угол рассечь пополам.

2.Данную ограниченную прямую(т.е. отрезок)

рассечь пополам.

Из 3-й книги «Начал»

1.Найти центр данного круга.

2.Рассечь данную дугу пополам.

Из 4-й книги «Начал»

1.В данный круг вписать хорду данной длины.

Из 6-й книги «Начал»

1.Для данных двух отрезков найти

средний пропорциональный.

2.Для трёх данных отрезков найти

четвёртый средний пропорциональный.
1.Чтобы разделить угол ВАС пополам, Евклид берёт на АВ произвольную точку D и на АС откладывает АЕ = А D. Далее, на DЕ он строит равносторонний треугольник DЕF. Прямая АF делит угол ВАС пополам.

2.Чтобы разделить отрезок АВ пополам, Евклид строит на нём равносторонний треугольник АВС, делит угол АСВ пополам прямой СD. Точка D – середина отрезка АВ.

3. Доказательство Евклида (методом от противного) сводится к тому, что центр круга лежит на перпендикуляре, восстановленном из середины хорды.

4.Евклид делит пополам хорду АВ, стягивающую данную дугу. Из точки С, середины хорды, он строит перпендикуляр к АВ, пересекающий дугу в искомой точке D.

Алгоритм Евклида – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток - на второй и т.д. Последний ненулёвой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.Приведём пример. Пусть а=777, b=629. Тогда 777=629*1+148, 629=148*4+37, 148=37*4.Последний ненулевой остаток 37 есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.

Для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично. Операцию деления с остатком заменяют его геометрическим аналогом: меньше отрезок откладывают на большим столько раз, сколько возможно: оставшуюся часть большего отрезка (принимаемую за остаток отделения) откладывают на меньшем отрезке и т.д.если отрезки a и b соизмеримы, то последний не нулевой остаток даст наибольшую общую меру этих отрезков. В случае несоизмеримых отрезков получаемая последовательность не нулевых остатков будет бесконечной.Рассмотрим пример. Возьмём в качестве исходных отрезков сторону AB и AC равнобедренного треугольника ABC, у которого A=C = 72°, B= 36°. В качестве первого остатка мы получим отрезок AD (CD-биссектриса угла C), и, как легко видеть, последовательность и нулевых остатков будет бесконечной. Значит, отрезки AB и AC не соизмеримы.

Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2000 лет. Этот алгоритм сформулирован в “Началах” Евклида, где из него выводятся свойства простых чисел, наименьшего общего кратного и т.д. Как способ нахождения наибольшей общей меры двух отрезков алгоритм Евклида (иногда называемый методом попеременного вычитания) был известен ещё пифагорейцам. К середине XVI в. алгоритм Евклида был распространён на многочлены, от одного переменного в дальнейшем удалось определить алгоритм Евклида и для некоторых других алгебраических объектах.

Алгоритм Евклида имеет много применений. Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший делитель d чисел a и b в виде d=ax+by (x;y- целые числа), а это позволяет находить решение Диофантовых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Алгоритм Евклида является средством для представления рационального числа в виде цепной дроби. Он часто используется в программах для электронных вычислительных машин.

Слайд15.( «Начало»-памятник древности)

Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6-7 изданий. До XX века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

Слайд16.( других сочинениях Евклида)

«Данные» - задачи, решаемые с помощью геометрической алгебры.

«О делении фигур» - задачи на построение.

«Явления» - астрономическое сочинение.

«Оптика»

«Сечения канона» - небольшой трактат, содержит десять задач о музыкальных интервалах.

Изложение во всех этих сочинениях, как и в «Началах» подчинено строгой логике, причём теоремы выводятся из точно сформулированных физических гипотез и математических постулатов.

Слайд 17.( Выдающиеся геометры после Евклида)

Евклид умер между 275 и 270годами до н.э.Большой вклад в дальнейшее исследование различных вопросов геометрии внесли Архимед, Аполлоний Пергский.После Аполлония в Древней Греции не было крупных открытий в области геометрии. Труды Архимеда и Аполлония считались слишком сложными, они не читались, и часть их со временем была утеряна

Слайд18.(притча о трех ученых)

Чтоб попасть к нему в ученики и постигнуть мудрость старика,

морем плыли, шли издалека…

А вопросы были нелегки.

Что есть точка? -

вопрошал Евклид,

взглядом обводя своих гостей.

Точка - это то,

в чём нет частей, -

Архелай кудрявый говорит.

Правильно ответил.

Молодец! -

улыбнулся ласково мудрец. -

Ну, а в чем же линии секрет?

Есть длина,

а ширины в ней нет!

Снова в точку!

Я б хотел узнать:

для чего учёным хочешь стать?

Ведь дороги к знаньям -непросты?!

Я богатым стать хочу,

как ты! Я слыхал:

наука - это клад!

Я уверен -

ты, Евклид, богат

Две монеты достаёт мудрец -

их берёт растерянный юнец

Всё! Ступай! -

учёный говорит. -

Ты теперь богаче, чем Евклид…

Тёплый ветер вдруг подул сильней,

пальмы раскачал на берегу.

Кто поделит круг

на пять частей?

Архилох поднялся:

Я смогу!

Циркуль сжав уверенно в руке,

круг он делит ловко на песке.

Головой кивнул ему старик:

Потом спросил Евклид:

А тебя к науке что манит?! -

юношу погладил по плечу.

Знаменитым стать,

как ты, хочу.Слышу всюду:

«Как умен Евклид!»

Значит, славу знание сулит!

Взял Евклид заточенный тростник,

пишет на папирусе старик:

«Люди! Он умней, чем я,

Евклид».

Теперь ты знаменит!

Ну, а третий думает…

чем-то увлечён…

Что ты чертишь?

Линии черчу.

Теорему доказать хочу.

Но другим путем,

не как Евклид! -

юноша упрямо говорит.

Слёзы на глазах

у старика:

он нашёл себе ученика.

Кто же ты?

И слышит он в ответ:

Я из Сиракуз.

Я - Архимед.

Данный материал целесообразно использовать на уроках по следующим темам

Начальные геометрические сведения

Аксиомы геометрии

Цель урока: познакомить с формулировками утверждений во времена Евклида и сравнить их с современной формулировкой.

Задачи урока:

- Развивать, познавательный интерес к математике, логическое мышление.

Активизировать познавательную активность.

Расширять кругозор учащихся.

Этапы урока : актуализация знаний или «открытие» новых знаний

сообщение учащихся, презентация проекта.

Виды учебной деятельности:

- решать задачи, анализируя и осмысливая её текст;

Планируемые образовательные результаты :

Умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме;

Развитие представления о числе, овладение символьным языком математики, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и символику.

Форма организации внеурочной деятельности – занятие математического кружка.

Формы преподнесения исторического материала: сообщение учащихся, показ презентации.

Виды учебной деятельности:

- решать задачи,анализируя и осмысливая текст задачи;

Извлекать необходимую математическую информацию, строить логическую цепочку рассуждений.

Планируемые образовательные результаты:

Представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах её развития;

Умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять ее в понятной форме;

Источники информации:

1.http :// biographera . net / biography . php ? id =50

2.http :// www - history . mcs . st - andrews . ac . uk / PictDisplay / Euclid . html

3.referat . ru / referats / view /13700

Древнегреческий мыслитель Евклид стал первым математиком Александрийской школы и автором одного из наиболее древних теоретических математических трактатов. О биографии этого ученого известно намного меньше, чем о его работах. Так, в известном труде «Начала» Евклид изложил стереометрию, планиметрию, аспекты теории чисел, создал базу для последующего развития математики.

Биография Евклида предположительно началась в 325 году до нашей эры (это примерная дата, точный год рождения неизвестен) в Александрии. Некоторые исследователи предполагают, что будущий математик появился на свет в Тире, а большую часть взрослой жизни провел в Дамаске. Вероятно, Евклид происходил из богатой семьи, так как он учился в афинской школе (на то время такое образование было доступно только состоятельным гражданам).

Ученым удалось установить, что автор «Начал» был моложе известных последователей Платона, живших и творивших в период с 427 по 347 века до нашей эры, однако старше , родившегося в 287 году и скончавшегося в 212 году до нашей эры. Евклид разбирался в философской концепции Платона и разделял ее основные положения.

Приведенная выше информация о личности и жизненном пути Евклида почерпнута исследователями из комментариев Прокла, написанных им к первой книге «Начала». Также известны высказывания Стобея и Паппа о личности древнегреческого мыслителя. Стобей якобы рассказывал, что в ответ на вопрос ученика о выгоде от науки Евклид приказал рабу выдать ему несколько монет. Папп же отмечал, что ученый умел быть любезным и мягким с любым человеком, который мог хоть в какой-то степени быть полезным для развития математических наук.

Сохранившиеся данные о Евклиде настолько малочисленны и сомнительны, что бытовала версия о присвоении псевдонима «Евклид» целым коллективам ученых из древней Александрии. Евклида Александрийского путают с греческим философом Евклидом из Мегар, учеником , жившим в 400 столетии до нашей эры. В средние века Евклида из Мегар даже считали автором «Начал».

Математика

Немалую часть свободного времени Евклид проводил в Александрийской библиотеке – храме знаний, основанном Птолемеем. В стенах этого учреждения древнегреческий ученый занялся объединением арифметических законов, геометрических принципов и теории иррациональных чисел в геометрию. Результаты своих трудов Евклид описал в книге «Начала» - сочинении, принесшем большой вклад в развитие математики.

Книга состоит из пятнадцати томов:

• В книге I автор рассказывает о свойствах параллелограммов и треугольников, завершая изложение применением теоремы Пифагора при расчете параметров прямоугольных треугольников.
• Книга под номером II описывает принципы и закономерности геометрической алгебры и восходит к багажу знаний, накопленных пифагорейцами.
• В книгах III и IV Евклид рассматривает геометрию окружностей, описанных и вписанных многоугольников. В ходе создания этих томов автор мог обратиться к использованию работ Гиппократа Хиосского.
• В V книге древнегреческий математик рассмотрел общую теорию пропорций, разработанную Евдоксом Книдским.
• В материалах VI книги автор прилагает общую теорию пропорций Евдокса Книдского к теории подобных фигур.
• Книги под номерами VII-IX описывают теорию чисел. При написании этих томов математик вновь обратился к материалам, созданным и собранным пифагорейцами – представителями учения, в котором центральную роль занимает число. В этих произведениях автор говорит о геометрических прогрессиях и пропорциях, доказывает бесконечность множества простых чисел, изучает четные совершенные числа, вводит понятие НОД (наибольшего общего делителя). Алгоритм нахождения такого делителя в настоящее время называется алгоритмом Евклида. Есть предположение, что VIII книгу написал не сам Евклид, а Архит Тарентский.

• Том под номером X – это наиболее сложный и объемный труд в составе «Начал», который содержит в себе классификацию иррациональностей. Авторство этой книги также доподлинно неизвестно: ее мог написать как сам Евклид, так и Теэтет Афинский.
• На страницах XI книги математик рассказывает об основах стереометрии.
• Книга XII содержит доказательства теорем об объемах конусов и пирамид, отношениях площадей кругов. Для построения этих доказательств используется метод исчерпывания. Большинство исследователей сходятся в том, что эту книгу также написал не Евклид. Вероятным автором является Евдокс Книдский.

• Материалы XIII книги содержат информацию о построении пяти правильных многогранников («платоновых тел»). Некоторую часть приведенных в томе построений мог разработать Теэтет Афинский.
• Книги XIV и XV, по общепризнанному мнению, также принадлежат другим авторам. Так, предпоследний том «Начал» написал Гипсикл (также живший в Александрии, но позже Евклида), а последний – Исидор Милетский (строивший храм святой Софии в Константинополе в начале шестого века до нашей эры).

До появления «Начал» Евклида труды с таким же названием, суть которых заключалась в последовательном изложении ключевых фактов теоретической арифметики и геометрии, были составлены Леонтом, Гиппократом Хиосским, Февдием. Все они практически исчезли из обихода после появления работы Евклида.

На протяжении двух тысяч лет пятнадцать томов «Начал» выступали в роли базового учебного пособия по геометрии. Работа переведена на арабский язык, затем – на английский. «Начала» перепечатывались сотни раз, и указанные в них базовых математических выкладок остаются актуальными по сей день.

Значительная часть материалов, которые автор включил в труд – не собственные открытия, а известные ранее теории. Суть работы Евклида заключалась в переработке материала, его систематизации и сведении разрозненных данных воедино. Некоторые книги Евклид начинал списком определений, в первой книге имеется также перечень аксиом и постулатов.

Постулаты Евклида делятся на две группы: общие понятия, включающие в себя общепризнанные научные утверждения, и геометрические аксиомы. Так, в первой группе встречаются такие утверждения:

«Если две величины порознь равны одной и той же третьей, то они равны между собой».

«Целое больше суммы частей».

Во второй группе находятся, например, следующие утверждения:

«От всякой точки до всякой точки можно провести прямую».

«Все прямые углы равны между собой».

«Начала» - не единственная книга, написанная Евклидом. Также он написал ряд работ по катоптрике (новой отрасли оптики, в немалой степени утверждавшей математическую функцию зеркал). Несколько работ ученый посвятил изучению конических сечений. Математик также разрабатывал предположения и гипотезы, касающиеся траектории движения тел и законов механики. Он стал автором ключевых инструментов, которыми оперирует геометрия – так называемых «евклидовых построений». Многие работы этого древнегреческого мыслителя не дошли до наших дней.

Философия

В древние времена философия была тесно сплетена со многими другими отраслями научных знаний. Так, геометрия, астрономия, арифметика и музыка считались математическими науками, понимание которых необходимо для качественного изучения философии. Евклид развивал учение Платона о четырех элементах, которым приводятся в соответствие четыре правильных многогранника:

• стихию огня олицетворяет тетраэдр;
• воздушной стихии соответствует октаэдр;
• стихия земли ассоциируется с кубом;
• водная стихия связывается с икосаэдром.

В этом контексте «Начала» можно рассматривать как своеобразное учение о построении «платоновых тел», то есть пяти правильных многогранников. Учение содержит все необходимые предпосылки, доказательства и связки. Доказательство возможности построения таких тел завершается утверждением того факта, что никаких других правильных тел, за исключением данных пяти, не существует.

Практически каждая теорема Евклида в «Началах» соответствует также показателям учения о доказательстве . Так, автор последовательно выводит следствия из причин, формируя цепочку логических доказательств. При этом он доказывает даже утверждения общего характера, что также соответствует учению Аристотеля.

Личная жизнь

До нас дошла лишь некоторая информация о работе Евклида в науке, о его личной жизни же неизвестно практически ничего. Существует легенда, что царь Птолемей, решивший изучить геометрию, был раздосадован ее сложностью. Тогда он обратился к Евклиду и попросил его указать на более легкий путь к знаниям, на что мыслитель ответил: «К геометрии нет царской дороги». Выражение впоследствии стало крылатым.

Есть доказательства того, что при Александрийской библиотеке этот древнегреческий ученый основал частную математическую школу. В ней учились такие же энтузиасты науки, как и сам Евклид. Даже на закате своей жизни Евклид помогал ученикам в написании работ, создании собственных теорий и разработке соответствующих доказательств.

Точных данных о внешности ученого нет. Его портреты и скульптуры – это плод воображения их создателей, придуманный образ, передававшийся из поколения в поколение.

Смерть

Предположительно, Евклид скончался в 260-тых годах до нашей эры. Точные причины смерти не известны. Наследие ученого пережило его на две тысячи лет и вдохновляло многих великих людей спустя столетия после его кончины.

Существует мнение, что политический деятель любил цитировать высказывания Евклида в своих речах и имел при себе несколько томов «Начал».

Ученые последующих лет базировали труды на работах Евклида. Так, русский математик Николай Лобачевский использовал материалы древнегреческого мыслителя для разработки гиперболической геометрии, или геометрии Лобачевского. Формат математики, который создал Евклид, ныне известен как «евклидова геометрия». Ученый также создал прибор для определения высоты тона струны и изучал интервальные соотношения, поспособствовав созданию клавишных музыкальных инструментов.

Библиография

• «Начала»
• «Данные»
• «О делении»
• «Явления»
• «Оптика»
• «Поризмы»
• «Конические сечения»
• «Поверхностные места»
• «Псевдария»
• «Катоптрика»
• «Деление канона»

​ (англ.)

Ватиканский манускрипт (XI, Предложения, 31-33 )

Содержание [ | ]

Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно . Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, например, ссылка «I, Определения, 2 » - второе определение первой книги. Всего в 13 книгах «Начал» 130 определений, 5 постулатов, 5 (в части изданий - 9) аксиом, 16 лемм и 465 теорем (включая задачи на построение) .

Первая книга [ | ]

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I, Определения, 1-7 ) гласят:

1. Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν - букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
2. Линия - длина без ширины.
3. Края же линии - точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ" ἑαυτῆς σημείοις κεῖται )
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Края же поверхности - линии.
7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

Постулаты Евклида

За определениями Евклид приводит постулаты (I, Постулаты, 1-5 ):

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый пятый постулат . Среди других, интуитивно очевидных постулатов, он нарочито чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл ; а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия . Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии , то есть не опираются на V постулат.

За постулатами следуют аксиомы (I, Аксиомы, 1-9 ), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:

В скобки взяты аксиомы, принадлежность которых Евклиду Гейберг, автор классической реконструкции текста «Начал», счёл сомнительной. Постулаты 4-5 (I, Постулаты, 4-5 ) в ряде списков выступают как аксиомы (I, Аксиомы, 10-11 ).

За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение, давно вызывающие споры. Так, вторая из них (I, Предложения, 2 ) предлагается «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Нетривиальность этой задачи состоит в том, что Евклид не переносит отрезок на прямую соответствующим раствором циркуля, полагая такую операцию недозволенной, и использует третий постулат (I, Постулаты, 3 ) в неожиданно узком смысле.

При доказательстве четвёртой теоремы (I, Предложения, 4 ), выражающей признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах. Все комментаторы отмечали эту лакуну, Гильберт не нашел ничего лучшего, как сделать признак равенства треугольников по трём сторонам (I, Утверждения, 8 ) аксиомой III-5 в своей системе. С другой стороны, четвёртый постулат (I, Постулаты, 4 ) теперь принято доказывать, как это сделал впервые Христиан Вольф , у Гильберта это утверждение выводится из аксиом конгруэнтности .

Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора .

Книги II-XIII [ | ]

II книга - теоремы так называемой «геометрической алгебры».

III книга - предложения об окружностях , их касательных и хордах , центральных и вписанных углах .

V книга - общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским .

X книга - классификация несоизмеримых величин. Это самая объёмная из книг «Начал».

XI книга - начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах , объём параллелепипеда и призмы , теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов.

В целом содержание «Начал» покрывает значительную часть античной теоретической математики. Однако некоторая часть известного древнегреческим математикам материала осталась вне этого труда - например, конические сечения (Евклид посвятил им отдельный труд, который не сохранился), длина окружности , теория приближённых вычислений .

Взаимозависимости книг [ | ]

Критика [ | ]

Для своего времени и вплоть до (примерно) XIX века «Начала» считались образцом логического изложения математической теории. Структура трудов Декарта , Ньютона и даже Спинозы строилась по образцу «Начал». Однако уже в античные времена были критически отмечены некоторые недостатки евклидовского труда - например, Архимед обосновал необходимость добавить «аксиому Архимеда » (которую сформулировал ещё Евдокс , живший до Евклида). Со временем число признанных недостатков постепенно увеличивалось. Современные взгляды на обоснование, содержание и методы как геометрии, так и арифметики существенно отличаются от античных.

Прежде всего, следует отметить, что сейчас прямая понимается как линия бесконечной длины. Античные учёные полностью избегали понятия актуальной бесконечности , у Евклида всюду используются только конечные отрезки прямой . Видимо, по этой причине постулат параллельности Евклида сформулирован довольно громоздко - зато он имеет локальный характер, то есть описывает событие на ограниченном участке плоскости, в то время как, например, аксиома Прокла («через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной») утверждает факт параллельности, который требует рассмотрения всей бесконечной прямой . Ещё одной архаичной особенностью «Начал» является ограничение только двумя видами кривых - прямыми и окружностями, которые греки считали единственно совершенными , а также чрезмерно узкое понятие числа, которое не включало иррациональных чисел и поэтому вынудило античных математиков без особой нужды ввести параллельное с арифметикой исчисление «геометрических величин» («геометрическая алгебра», книга II «Начал») .

Многие комментаторы Евклида отмечали, что данные им определения геометрических понятий бессодержательны и создают не более чем наглядный образ - например, «линия есть длина без ширины». Фактически подобные «определения» нигде далее в тексте не используются, ни одна теорема на них не опирается . Излишним оказался, как уже говорилось выше, и IV постулат Евклида о равенстве всех прямых углов , его можно доказать как теорему .

Далее, по замыслу все доказательства теорем должны вытекать из явно сформулированных аксиом. На самом деле многие факты у Евклида опираются на подразумеваемую или наглядную очевидность. Прежде всего это касается понятия движения , которое неявно используется во многих местах - например, при наложении треугольников для доказательства признаков их равенства. Уже Прокл отметил этот факт как существенный методический пробел. Аксиом движения Евклид не дал - возможно, чтобы не смешивать высокую геометрию с «низкой» механикой. Современные авторы аксиоматики предусматривают специальную группу «аксиом конгруэнтности » .

Уже в доказательстве самого первого предложения («на любом отрезке можно построить равносторонний треугольник») Евклид подразумевает, что две окружности радиуса R , чьи центры находятся на расстоянии R , пересекаются в двух точках. Ни из каких аксиом это не следует ; для логической полноты следовало бы добавить аксиому непрерывности . Аналогичные упущения имеют место для пересечения прямой и окружности , в употреблении неопределяемого понятия «находиться между» (для точек) и в ряде иных мест. Аксиоматика Евклида не позволяет, например, доказать, что не существует прямой, проходящей через все три стороны треугольника.

Одним из важнейших открытий XIX века стало обнаружение и исследований непротиворечивых неевклидовых геометрий ; оно показало, что преимущественное использование на практике евклидовой геометрии не означает, что эта геометрия «абсолютно истинна».

Манускрипты и издания [ | ]

Греческий текст «Начал» [ | ]

При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты «Начал» Евклида. Самый известный был найден в «городе папирусов» Оксиринхе в - и содержит формулировку одного из утверждений второй книги с рисунком (II, Предложения, 5 ) .

Греческий текст «Начал» Евклида известен по византийским манускриптам, два самых известных из них хранятся Бодлианской библиотеке и Ватиканской апостольской библиотеке (двухтомный Ватиканский манускрипт) .

На их основе, а также с учётом арабских переводов «Начал» (датируемых IX веком и позднее) оригинальный текст был реконструирован датским историком науки Гейбергом в конце XIX века, его методы подробно описаны Хизом ) . Гейберг использовал в своей реконструкции 8 греческих манускриптов, датируемых современными исследователями IX-XI веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку «из издания Теона » или «из лекций Теона» и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта, немного (наиболее существенный - концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают «Начала» в контекст греческой культуры, например, сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принёс в жертву быков.

История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу ещё в XVI веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 годами под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого языка в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии XVI века. Лишь в 1808 году Пейрар во время наполеоновских экспроприаций нашёл три манускрипта в Риме и среди них важнейший - двухтомный ватиканский манускрипт.

Латинский текст «Начал» [ | ]

В Европе «Начала» Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века , и в эпоху Возрождения , однако далеко не в привычном теперь виде. Средневековые латинские трактаты, содержащие фрагменты «Начал» Евклида, каталогизированы мюнхенским учёным Фолькертсом , разделившим манускрипты на следующие группы:

Печатные издания «Начал» Евклида каталогизированы Томасом-Стэнфордом . Первое печатное издание «Начал» было осуществлено Эрхардом Ратдольтом в Венеции в 1482 году и воспроизводило «Начала» в обработке Кампано. Следующее издание не копировало первое, было осуществлено Бартоломео Дзамберти в 1505 году . Из предисловия известно, что Дзамберти переводил греческий манускрипт, передающий «Начала» в обработке Теона, однако, Гейбергу не удалось его идентифицировать.

В XVI веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже; были распространены издания «Начал» без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Кампана и Дзамберти . Этот взгляд имел вполне твёрдую основу: в начале XVI века была издана геометрия Боэция , которая тоже являлась переводом «Начал» Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Считалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.

Русские переводы [ | ]

Первое издание «Начал» на русском языке издано в 1739 году; книга вышла в Петербурге под названием «Евклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранныя и в осьмь книг через профессора мафематики Андрея Фархварсона сокращенныя, с латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенныя» . Перевод выполнил Иван Сатаров под руководством шотландского математика Генри Фарварсона , служившего в это время при российском Морском корпусе . Имя Ньютона («Нефтона») в названии упомянуто то ли по недоразумению, то ли в рекламных целях, к содержанию книги он никакого отношения не имеет. Перевод был сделан с сокращённого и модернизированного французского издания «Начал» Андре Таке , куда переводчиками были добавлены ряд числовых примеров и критические комментарии .

Немного позднее вышли ещё 2 перевода, также сокращённые до 8 книг:

• (1769) Перевод Н. Г. Курганова , преподавателя Морского кадетского корпуса: «Евклидовы Елементы Геометрии, то есть первыя основания науки о измерении протяжения»;
• (1784) Перевод Прохора Суворова и Василия Никитина «Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: первая, вторая, третья, четвёртая, пятая, шестая, одиннадцатая и двенадцатая; к сим прилагаются книги тринадцатая и четырнадцатая. Переведены с греческого и поправлены. В Санкт-Петербурге, в типографии Морского шляхетного Кадетского Корпуса» (переизданы в 1789 году).

Практически полностью (кроме X книги) «Начала» на русском языке вышли в переводе Фомы Петрушевского : книги 1-6 и 11-13 в 1819 году, книги 7-9 в 1835 году . В 1880 году вышел перевод Ващенко-Захарченко . Ещё один сокращённый перевод был издан в Кременчуге (1877 год) под названием «Восемь книг геометрии Эвклида»; перевод под руководством А. А. Соковича (1840-1886), директора местного реального училища, выполнили два воспитанника этого училища .

Последнее по времени полное академическое издание было опубликовано в 1949-1951 годах, перевод с греческого и комментарии - Дмитрия Мордухай-Болтовско́го .

Евклид родился около 330 г. до н.э., предположительно, в г. Александрия. Некоторые арабские авторы полагают, что он происходил из богатой семьи из Нократа. Есть версия, что Евклид мог родиться в Тире, а всю свою дальнейшую жизнь провести в Дамаске. Согласно некоторым документам, Евклид учился в древней школе Платона в Афинах, что было под силу только состоятельным людям. Уже после этого он переедет в г. Александрия в Египте, где и положит начало разделу математики, ныне известному как «геометрия».

Жизнь Евклида Александрийского часто путают с жизнью Евклида из Мегуро, что делает сложным обнаружение любых надёжных источников жизнеописания математика. Достоверно известно только то, что именно он привлёк внимание общественности к математике и вывел эту науку на совершенно новый уровень, совершив революционные открытия в этой области и доказав множество теорем. В те времена Александрия была не только крупнейшим городом в западной части мира, но и центром крупной, процветающей отрасли производства папируса. Именно в этом городе Евклид разработал, записал и представил миру свои труды по математике и геометрии.

Научная деятельность

Евклида обоснованно считают «отцом геометрии». Именно он заложил основы этой области знаний и возвёл её на должный уровень, открыв обществу законы одного самых сложных разделов математики в то время. После переезда в Александрию, Евклид, как и многие учёные того времени, благоразумно проводит большую часть времени в Александрийской библиотеке. Этот музей, посвящённый литературе, искусству и наукам, был основан ещё Птолемеем. Здесь Евклид начинает объединять геометрические принципы, арифметические теории и иррациональные числа в единую науку геометрию. Он продолжает доказывать свои теоремы и сводит их в колоссальный труд «Начала».

За всё время своей малоисследованной научной деятельности, учёный закончил 13 изданий «Начал», охватывающих широкий спектр вопросов, начиная с аксиом и утверждений и заканчивая стереометрией и теорией алгоритмов. Наряду с выдвижением различных теорий, он начинает разрабатывать методику доказательства и логическое обоснование этих идей, которые докажут предложенные Евклидом утверждения.

Его труд содержит более 467 утверждений касательно планиметрии и стереометрии, а также гипотез и тезисов, выдвигающих и доказывающих его теории относительно геометрических представлений. Доподлинно известно, что в качестве одного из примеров в своих «Началах» Евклид использовал теорему Пифагора, устанавливающую соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Евклид утверждал, что «теорема верна для всех случаев прямоугольных треугольников».

Известно, что за время существования «Начал», вплоть до XX века, было продано больше экземпляров этой книги, чем Библии. «Начала», изданные и переизданные бесчисленное количество раз, в своей работе использовали разные математики и авторы научных трудов. Евклидова геометрия не знала границ, и учёный продолжал доказывать всё новые теоремы в совершенно разных областях, как, например, в области «простых чисел», а также в области основ арифметических знаний. Цепочкой логических рассуждений Евклид стремился открыть тайные знания человечеству. Система, которую учёный продолжал разрабатывать в своих «Началах», станет единственной геометрией, которую будет знать мир вплоть до XIX века. Однако современные математики открыли новые теоремы и гипотезы геометрии, и разделили предмет на «евклидову геометрию» и «неевклидову геометрию».

Сам учёный называл это «обобщённым подходом», основанным не на методе проб и ошибок, а на представлении неоспоримых фактов теорий. Во времена, когда доступ к знаниям был ограничен, Евклид принимался за изучение вопросов совершенно разных областей, в том числе и «арифметики и чисел». Он заключил, что обнаружение «самого большого простого числа» физически невозможно. Это утверждение он обосновал тем, что, если к самому большому известному простому числу добавить единицу, это неизбежно приведёт к образованию нового простого числа. Этот классический пример является доказательством ясности и точности мысли учёного, несмотря на его почтенный возраст и времена, в которые он жил.

Аксиомы

Евклид говорил, что аксиомы – это утверждения, не требующие доказательств, но при этом он понимал, что слепое принятие на веру этих утверждений не может использоваться в построении математических теорий и формул. Он осознавал, что даже аксиомы должны быть подкреплены неоспоримыми доказательствами. А потому учёный начал приводить логические заключения, подтверждавшие его геометрические аксиомы и теоремы. Для лучшего понимания этих аксиом, он разделил их на две группы, которые назвал «постулатами». Первая группа известна как «общие понятия», состоящие из признанных научных утверждений. Вторая группа постулатов является синонимом самой геометрии. Первая группа включает такие понятия, как «целое больше суммы частей» и «если две величины порознь равны одной и той же третьей, то они равны между собой». Вот лишь два из пяти постулатов, записанных Евклидом. Пять постулатов второй группы относятся непосредственно к геометрии, утверждая, что «все прямые углы равны между собой», и что «от всякой точки до всякой точки можно провести прямую».

Научная деятельность математика Евклида процветала, и в начале 1570-х г.г. его «Начала» были переведены с греческого языка на арабский, а затем и на английский язык Джоном Ди. С момента своего написания, «Начала» были перепечатаны 1 000 раз и, в конце концов, заняли почётное место в учебных классах XX столетия. Известно множество случаев, когда математики пытались оспорить и опровергнуть геометрические и математические теории Евклида, но все попытки неизменно оканчивались провалом. Итальянский математик Джироламо Саккери стремился усовершенствовать труды Евклида, но оставил свои попытки, не в силах отыскать в них ни малейшего изъяна. И лишь спустя столетие новая группа математиков сможет представить новаторские теории в области геометрии.

Другие работы

Не переставая трудиться над изменением теории математики, Евклид успел написать ряд работ на другую тематику, которые используются и на которые ссылаются по сей день. Эти труды были чистыми предположениями, основанными на неопровержимых доказательствах, красной нитью проходящими через все «Начала». Учёный продолжил изучение и открыл новую область оптики – катоптрику, в значительной мере утверждавшую математическую функцию зеркал. Его работы в области оптики, математических соотношений, систематизаций данных и изучения конических сечений затерялись в глубине веков. Известно, что Евклид успешно окончил восемь изданий, или книг, по теоремам, касающимся конических сечений, но ни одна из них не дошла до наших дней. Он также сформулировал гипотезы и предположения, основанные на законах механики и траектории движения тел. По-видимому, все эти работы были взаимосвязаны, и высказанные в них теории произрастали из единого корня – его знаменитых «Начал». Он также разработал ряд евклидовых «построений» – основных инструментов, необходимых для выполнения геометрических построений.

Личная жизнь

Есть свидетельства, что Евклид открыл при Александрийской библиотеке частную школу, чтобы иметь возможность обучать математике таких же энтузиастов, как он сам. Также бытует мнение, что в поздний период своей жизни он продолжал помогать своим ученикам в разработке собственных теорий и написании трудов. У нас нет даже чёткого представления о внешности учёного, а все скульптуры и портреты Евклида, которые мы видим сегодня, являются лишь плодом воображения их творцов.

Смерть и наследие

Год и причины смерти Евклида остаются для человечества тайной. В литературе встречаются туманные намёки на то, что он мог умереть около 260 г. до н.э. Наследие, оставленное учёным после себя, куда более значимо, чем впечатление, которое он производил при жизни. Его книги и труды продавались по всему миру до самого XIX века. Наследие Евклида пережило учёного на целых 200 веков, и служило источником вдохновения для таких личностей, как, например, Авраам Линкольн. По слухам, Линкольн всегда суеверно носил при себе «Начала», и во всех своих речах цитировал работы Евклида. Даже после смерти учёного, математики разных стран продолжали доказывать теоремы и издавать труды под его именем. В общем и целом, в те времена, когда знания были закрыты для широких масс, Евклид логическим и научным путём создал формат математики древности, который в наши дни известен миру под названием «евклидовой геометрии».

Оценка по биографии

Новая функция! Средняя оценка, которую получила эта биография. Показать оценку