İki değişkenli denklemler (belirsiz denklemler). Tek değişkenli denklem Denklemleri 2 x ile çözün

Bu videoda aynı algoritma kullanılarak çözülen bir dizi doğrusal denklemi analiz edeceğiz; bu yüzden bunlara en basit denir.

Öncelikle şunu tanımlayalım: Doğrusal denklem nedir ve hangisine en basit denir?

Doğrusal bir denklem, yalnızca bir değişkenin ve yalnızca birinci dereceden olduğu bir denklemdir.

En basit denklem inşaat anlamına gelir:

Diğer tüm doğrusal denklemler algoritma kullanılarak en basit düzeye indirgenir:

1. Varsa parantezleri genişletin;
2. Değişken içeren terimleri eşittir işaretinin bir tarafına, değişken içermeyen terimleri ise diğer tarafına taşıyın;
3. Eşittir işaretinin soluna ve sağına benzer terimler verin;
4. Ortaya çıkan denklemi $x$ değişkeninin katsayısına bölün.

Elbette bu algoritma her zaman yardımcı olmuyor. Gerçek şu ki, bazen tüm bu entrikalardan sonra $x$ değişkeninin katsayısının sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor. Bu durumda iki seçenek mümkündür:

1. Denklemin hiçbir çözümü yoktur. Örneğin, $0\cdot x=8$ gibi bir şey ortaya çıktığında, yani. solda sıfır, sağda ise sıfırdan farklı bir sayı var. Aşağıdaki videoda bu durumun mümkün olmasının çeşitli nedenlerine bakacağız.
2. Çözüm tüm sayılardır. Bunun mümkün olduğu tek durum, denklemin $0\cdot x=0$ yapısına indirgenmiş olmasıdır. Hangi $x$'ı değiştirirsek değiştirelim, yine de "sıfır sıfıra eşittir" sonucunun ortaya çıkması oldukça mantıklıdır, yani. Doğru sayısal eşitlik.

Şimdi gerçek hayattan örnekler kullanarak tüm bunların nasıl çalıştığını görelim.

Denklem çözme örnekleri

Bugün doğrusal denklemlerle ilgileniyoruz ve yalnızca en basitleriyle. Genel olarak doğrusal denklem, tam olarak bir değişken içeren herhangi bir eşitlik anlamına gelir ve yalnızca birinci dereceye kadar gider.

Bu tür yapılar yaklaşık olarak aynı şekilde çözülür:

1. Öncelikle varsa parantezleri genişletmeniz gerekiyor (son örneğimizde olduğu gibi);
2. O zaman benzerini getir
3. Son olarak değişkeni izole edin, yani. Değişkenle bağlantılı olan her şeyi (içinde bulunduğu terimleri) bir tarafa, onsuz kalan her şeyi ise diğer tarafa taşıyın.

Daha sonra, kural olarak, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafına da benzerlerini vermeniz gerekir ve bundan sonra geriye kalan tek şey "x" katsayısına bölmek ve son cevabı alacağız.

Teorik olarak bu hoş ve basit görünüyor, ancak pratikte deneyimli lise öğrencileri bile oldukça basit doğrusal denklemlerde rahatsız edici hatalar yapabilir. Tipik olarak, parantez açılırken veya "artılar" ve "eksiler" hesaplanırken hatalar yapılır.

Ek olarak, doğrusal bir denklemin hiçbir çözümü olmadığı veya çözümün sayı doğrusunun tamamı olduğu durumlar da vardır; herhangi bir numara. Bugünkü dersimizde bu inceliklere bakacağız. Ancak zaten anladığınız gibi en basit görevlerle başlayacağız.

Basit doğrusal denklemleri çözme şeması

Öncelikle, en basit doğrusal denklemleri çözmek için şemanın tamamını bir kez daha yazayım:

1. Varsa parantezleri genişletin.
2. Değişkenleri izole ediyoruz, yani. Üzerinde “X” olan her şeyi bir tarafa, “X” içermeyen her şeyi diğer tarafa taşıyoruz.
3. Benzer terimleri sunuyoruz.
4. Her şeyi “x” katsayısına bölüyoruz.

Elbette bu şema her zaman işe yaramıyor; içinde bazı incelikler ve püf noktaları var ve şimdi bunları tanıyacağız.

Basit doğrusal denklemlerin gerçek örneklerini çözme

Görev No.1

İlk adım parantezleri açmamızı gerektiriyor. Ancak bu örnekte bunlar yok, dolayısıyla bu adımı atlıyoruz. İkinci adımda değişkenleri izole etmemiz gerekiyor. Lütfen unutmayın: yalnızca bireysel terimlerden bahsediyoruz. Bunu yazalım:

Solda ve sağda benzer terimleri sunuyoruz, ancak bu burada zaten yapıldı. Bu nedenle dördüncü adıma geçiyoruz: katsayıya bölelim:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Böylece cevabı aldık.

Görev No.2

Bu problemde parantezleri görebiliyoruz, öyleyse onları genişletelim:

Hem solda hem de sağda yaklaşık olarak aynı tasarımı görüyoruz ama hadi algoritmaya göre hareket edelim yani. değişkenleri ayırmak:

İşte benzerlerinden bazıları:

Bu hangi köklerde işe yarıyor? Cevap: herhangi biri için. Bu nedenle $x$'in herhangi bir sayı olduğunu yazabiliriz.

Görev No.3

Üçüncü doğrusal denklem daha ilginçtir:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Burada birkaç parantez var, ancak hiçbir şeyle çarpılmıyorlar, sadece önlerinde farklı işaretler var. Bunları parçalayalım:

Zaten bildiğimiz ikinci adımı gerçekleştiriyoruz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hadi matematik yapalım:

Son adımı gerçekleştiriyoruz - her şeyi "x" katsayısına bölüyoruz:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Doğrusal Denklemleri Çözerken Hatırlanması Gerekenler

Çok basit görevleri göz ardı edersek şunu söylemek isterim:

• Yukarıda söylediğim gibi, her doğrusal denklemin bir çözümü yoktur; bazen kökler yoktur;
• Kökler olsa bile aralarında sıfır olabilir - bunda yanlış bir şey yok.

Sıfır diğerleriyle aynı sayıdır; hiçbir şekilde ayrımcılık yapmamalı veya sıfır alırsanız yanlış bir şey yaptığınızı varsaymamalısınız.

Bir diğer özellik ise braketlerin açılmasıyla ilgilidir. Lütfen dikkat: Önlerinde bir “eksi” olduğunda onu kaldırırız, ancak parantez içindeki işaretleri şu şekilde değiştiririz: zıt. Ve sonra onu standart algoritmalar kullanarak açabiliriz: Yukarıdaki hesaplamalarda gördüklerimizi elde edeceğiz.

Bu basit gerçeği anlamak, lisede böyle şeyleri yapmanın olağan karşılandığı aptalca ve incitici hatalar yapmaktan kaçınmanıza yardımcı olacaktır.

Karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Daha karmaşık denklemlere geçelim. Artık yapılar daha karmaşık hale gelecek ve çeşitli dönüşümler gerçekleştirilirken ikinci dereceden bir fonksiyon ortaya çıkacak. Ancak bundan korkmamalıyız, çünkü yazarın planına göre doğrusal bir denklem çözüyorsak, dönüşüm süreci sırasında ikinci dereceden bir fonksiyon içeren tüm monomlar mutlaka iptal edilecektir.

Örnek No.1

Açıkçası, ilk adım parantezleri açmaktır. Bunu çok dikkatli yapalım:

Şimdi gizliliğe bir göz atalım:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası bu denklemin çözümü yok, bu yüzden cevaba şunu yazacağız:

\[\varhiçbir şey\]

ya da kökleri yoktur.

Örnek No.2

Aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz. İlk adım:

Değişken olan her şeyi sola ve değişken olmadan sağa taşıyalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası, bu doğrusal denklemin çözümü yok, bu yüzden onu şu şekilde yazacağız:

\[\varhiçbir şey\],

ya da kökleri yoktur.

Çözümün nüansları

Her iki denklem de tamamen çözülmüştür. Bu iki ifadeyi örnek olarak kullanarak, en basit doğrusal denklemlerde bile her şeyin bu kadar basit olmayabileceğine bir kez daha ikna olduk: ya bir olabilir, ya hiç olmayabilir ya da sonsuz sayıda kök olabilir. Bizim durumumuzda, her ikisinin de kökleri olmayan iki denklemi ele aldık.

Ancak bir başka gerçeğe dikkatinizi çekmek isterim: parantezlerle nasıl çalışılır ve önlerinde eksi işareti varsa nasıl açılır. Bu ifadeyi düşünün:

Açmadan önce her şeyi “X” ile çarpmanız gerekir. Lütfen dikkat: çoğalır her bir terim. İçinde iki terim vardır - sırasıyla iki terim ve çarpılır.

Ve ancak bu görünüşte basit ama çok önemli ve tehlikeli dönüşümler tamamlandıktan sonra, parantezi kendisinden sonra bir eksi işareti olduğu gerçeği açısından açabilirsiniz. Evet, evet: ancak şimdi, dönüşümler tamamlandığında, parantezlerin önünde bir eksi işareti olduğunu hatırlıyoruz, bu da aşağıdaki her şeyin yalnızca işaret değiştirdiği anlamına geliyor. Aynı zamanda parantezlerin kendisi de kaybolur ve en önemlisi öndeki "eksi" de kaybolur.

Aynısını ikinci denklem için de yapıyoruz:

Bu küçük, görünüşte önemsiz gerçeklere dikkat etmem tesadüf değil. Çünkü denklemleri çözmek her zaman bir dizi temel dönüşümdür; burada basit eylemleri net ve yetkin bir şekilde gerçekleştirememek, lise öğrencilerinin bana gelip bu kadar basit denklemleri çözmeyi yeniden öğrenmelerine yol açar.

Elbette bu becerileri otomatiklik noktasına kadar bileyeceğiniz gün gelecek. Artık her seferinde bu kadar çok dönüşüm yapmanıza gerek kalmayacak; her şeyi tek satıra yazacaksınız. Ancak henüz öğrenirken her eylemi ayrı ayrı yazmanız gerekir.

Daha da karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Şimdi çözeceğimiz şeyin en basit görev olduğu söylenemez, ancak anlamı aynı kalıyor.

Görev No.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

İlk kısımdaki tüm elemanları çarpalım:

Biraz gizlilik yapalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Son adımı tamamlayalım:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

İşte son cevabımız. Ve çözme sürecinde ikinci dereceden fonksiyona sahip katsayılarımız olmasına rağmen, bunlar birbirini iptal etti, bu da denklemi ikinci dereceden değil doğrusal hale getiriyor.

Görev No.2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

İlk adımı dikkatli bir şekilde gerçekleştirelim: ilk parantezdeki her elemanı ikinci parantezdeki her elemanla çarpalım. Dönüşümlerden sonra toplam dört yeni terim bulunmalıdır:

Şimdi her terimde çarpma işlemini dikkatli bir şekilde yapalım:

Üzerinde “X” olan terimleri sola, olmayanları ise sağa taşıyalım:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

İşte benzer terimler:

Son cevabı bir kez daha aldık.

Çözümün nüansları

Bu iki denklemle ilgili en önemli not şudur: Birden fazla terim içeren parantezleri çarpmaya başladığımızda, bunu şu kurala göre yaparız: İlk terimden ilk terimi alırız ve her elemanla çarparız. ikinci; daha sonra birinciden ikinci elemanı alırız ve benzer şekilde ikincinin her elemanıyla çarparız. Sonuç olarak dört dönemimiz olacak.

Cebirsel toplam hakkında

Bu son örnekle öğrencilere cebirsel toplamın ne olduğunu hatırlatmak istiyorum. Klasik matematikte $1-7$ ile basit bir yapıyı kastediyoruz: birden yediyi çıkarın. Cebirde bununla şunu kastediyoruz: “bir” sayısına başka bir sayı yani “eksi yedi” ekliyoruz. Cebirsel bir toplamın sıradan bir aritmetik toplamdan farkı budur.

Tüm dönüşümleri, her toplama ve çarpma işlemini gerçekleştirirken, yukarıda açıklananlara benzer yapılar görmeye başladığınız anda, polinomlar ve denklemlerle çalışırken cebirde herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.

Son olarak, az önce incelediklerimizden daha karmaşık olacak birkaç örneğe daha bakalım ve bunları çözmek için standart algoritmamızı biraz genişletmemiz gerekecek.

Kesirli Denklem Çözme

Bu tür görevleri çözmek için algoritmamıza bir adım daha eklememiz gerekecek. Ama önce size algoritmamızı hatırlatayım:

1. Parentezleri aç.
2. Ayrı değişkenler.
3. Benzerlerini getirin.
4. Orana bölün.

Ne yazık ki, bu harika algoritma, tüm etkinliğine rağmen, önümüzde kesirler varken pek de uygun olmadığı ortaya çıkıyor. Aşağıda göreceğimiz gibi, her iki denklemde de hem solda hem de sağda bir kesirimiz var.

Bu durumda nasıl çalışılır? Evet, çok basit! Bunu yapmak için algoritmaya, ilk eylemden önce ve sonra yapılabilen, yani kesirlerden kurtulmaya bir adım daha eklemeniz gerekir. Yani algoritma aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Kesirlerden kurtulun.
2. Parentezleri aç.
3. Ayrı değişkenler.
4. Benzerlerini getirin.
5. Orana bölün.

“Kesirlerden kurtulmak” ne anlama geliyor? Peki bu neden ilk standart adımdan hem sonra hem de önce yapılabiliyor? Aslında bizim durumumuzda tüm kesirler paydalarında sayısaldır, yani. Her yerde payda sadece bir sayıdır. Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da bu sayıyla çarparsak kesirlerden kurtuluruz.

Örnek No.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Bu denklemdeki kesirlerden kurtulalım:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lütfen dikkat: her şey bir kez “dört” ile çarpılır, yani. iki parantezinizin olması her birini "dört" ile çarpmanız gerektiği anlamına gelmez. Hadi yazalım:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Şimdi genişletelim:

Değişkeni ayırıyoruz:

Benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştiriyoruz:

\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nihai çözümü bulduk, ikinci denkleme geçelim.

Örnek No.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Burada aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem çözüldü.

Aslında bugün sana söylemek istediğim tek şey buydu.

Anahtar noktaları

Temel bulgular şunlardır:

• Doğrusal denklemlerin çözüm algoritmasını bilir.
• Parantez açma yeteneği.
• Bir yerlerde ikinci dereceden fonksiyonlarınız varsa endişelenmeyin; daha sonraki dönüşümler sırasında bunlar azalacaktır.
• Doğrusal denklemlerde üç tür kök vardır, en basitleri bile: tek bir kök, sayı doğrusunun tamamı bir köktür ve hiç kökü yoktur.

Umarım bu ders, tüm matematiğin daha iyi anlaşılması için basit ama çok önemli bir konuda uzmanlaşmanıza yardımcı olur. Bir şey net değilse siteye gidin ve orada sunulan örnekleri çözün. Bizi izlemeye devam edin, daha birçok ilginç şey sizi bekliyor!

Denklem bir veya daha fazla değişkenin mevcut olduğu bir eşitliktir.
Denklemin bir değişkene, yani bir bilinmeyen sayıya sahip olduğu durumu ele alacağız. Esasen, bir denklem bir tür matematiksel modeldir. Bu nedenle problemleri çözmek için öncelikle denklemlere ihtiyacımız var.

Bir problemi çözmek için matematiksel bir modelin nasıl derlendiğini hatırlayalım.
Örneğin yeni eğitim-öğretim yılında 5 numaralı okulun öğrenci sayısı ikiye katlandı. 20 öğrencinin başka okula taşınmasının ardından 5 numaralı okulda toplam 720 öğrenci eğitim görmeye başladı. Geçen yıl kaç öğrenci vardı?

Durumda söylenenleri matematik diliyle ifade etmemiz gerekiyor. Geçen yılki öğrenci sayısına X diyelim. Daha sonra problemin koşullarına göre,
2X – 20 = 720. Bunu temsil eden bir matematiksel modelimiz var. tek değişkenli denklem. Daha doğrusu, birinci dereceden tek değişkenli bir denklemdir. Geriye kalan tek şey onun kökünü bulmaktır.

Bir denklemin kökü nedir?

Denklemin gerçek eşitliğe dönüştüğü değişkenin değerine denklemin kökü denir. Çok sayıda kökü olan denklemler vardır. Örneğin 2*X = (5-3)*X denkleminde X'in herhangi bir değeri bir köktür. Ve X = X +5 denkleminin hiçbir kökü yoktur, çünkü X'in yerine hangi değeri koyarsak koyalım, doğru eşitliği elde edemeyiz. Bir denklemi çözmek, denklemin tüm köklerini bulmak veya kökleri olmadığını belirlemek anlamına gelir. Sorumuzu cevaplamak için 2X – 20 = 720 denklemini çözmemiz gerekiyor.

Tek değişkenli denklemler nasıl çözülür?

Öncelikle bazı temel tanımları yazalım. Her denklemin sağ ve sol tarafı vardır. Bizim durumumuzda (2X – 20) denklemin sol tarafıdır (eşittir işaretinin solundadır), 720 ise denklemin sağ tarafıdır. Denklemin sağ ve sol tarafındaki terimlere denklemin terimleri denir. Denklem terimlerimiz 2X, -20 ve 720'dir.

Hemen denklemlerin 2 özelliğinden bahsedelim:

1. Denklemin herhangi bir terimi denklemin sağ tarafından sola veya tam tersi şekilde aktarılabilir. Bu durumda denklemin bu teriminin işaretini ters yönde değiştirmek gerekir. Yani 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X formundaki kayıtlar eşdeğerdir.
2. Denklemin her iki tarafı da aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir. Bu sayı sıfır olmamalıdır. Yani 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 formundaki kayıtlar da eşdeğerdir.

Denklemimizi çözmek için bu özellikleri kullanalım.

-20'yi ters işaretle sağ tarafa taşıyalım. Şunu elde ederiz:

2X = 720 + 20. Sağ taraftakileri toplayalım. 2X = 740 sonucunu elde ederiz.

Şimdi denklemin sol ve sağ taraflarını 2'ye bölün.

2X:2 = 740:2 veya X = 370. Denklemimizin kökünü bulduk ve aynı zamanda problemimizin sorusunun cevabını da bulduk. Geçen yıl 5 numaralı okulda 370 öğrenci vardı.

Kökümüzün denklemi gerçekten gerçek bir eşitliğe dönüştürüp dönüştürmediğini kontrol edelim. 2X – 20 = 720 denkleminde X yerine 370 sayısını yazalım.

2*370-20 = 720.

Bu doğru.

Dolayısıyla, tek değişkenli bir denklemi çözmek için, bunun ax = b formundaki doğrusal denklem denilen bir denkleme indirgenmesi gerekir; burada a ve b bazı sayılardır. Daha sonra sol ve sağ tarafları a sayısına bölün. x = b:a sonucunu elde ederiz.

Bir denklemi doğrusal bir denkleme indirgemek ne anlama gelir?

Bu denklemi düşünün:

5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X.

Bu aynı zamanda bilinmeyen bir X değişkenine sahip bir denklemdir. Görevimiz bu denklemi ax = b formuna indirgemektir.

Bunu yapmak için öncelikle denklemin sol tarafında çarpanı X olan tüm terimleri, sağ tarafında ise geri kalan terimleri topluyoruz. Çarpan olarak aynı harfi taşıyan terimlere benzer terimler denir.

5X - 2X + 7X – 3X = 59 – 10.

Çarpmanın dağılma özelliğine göre aynı faktörü parantezlerden çıkarıp katsayıları (x değişkeninin çarpanları) toplayabiliriz. Bu işleme aynı zamanda benzer terimlerin indirgenmesi de denir.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Denklemi ax = b formuna indirdik, burada a = 7, b = 49.

Ve yukarıda yazdığımız gibi ax = b formundaki bir denklemin kökü x = b:a'dır.

Yani X = 49:7 = 7.

Tek değişkenli bir denklemin köklerini bulma algoritması.

1. Benzer terimleri denklemin sol tarafında, geri kalan terimleri ise denklemin sağ tarafında toplayın.
2. Benzer terimler verin.
3. Denklemi ax = b formuna indirgeyin.
4. x = b:a formülünü kullanarak kökleri bulun.

Not. Bu makalede, bir değişkenin herhangi bir kuvvete yükseltildiği durumları dikkate almadık. Yani birinci dereceden tek değişkenli denklemleri ele aldık.

Önceki derslerde ifadelere aşina olduk ve bunları nasıl basitleştirip hesaplayacağımızı da öğrendik. Şimdi daha karmaşık ve ilginç bir şeye, yani denklemlere geçiyoruz.

Denklem ve kökleri

Değişken(ler)i içeren eşitliklere denir denklemler. Denklemi çözün , eşitliğin doğru olacağı değişkenin değerini bulmak anlamına gelir. Değişkenin değerine denir denklemin kökü .

Denklemlerin bir kökü olabilir, birkaç kökü olabilir veya hiç kökü olmayabilir.

Denklemleri çözerken aşağıdaki özellikler kullanılır:

• Bir denklemdeki bir terimi denklemin bir kısmından diğerine taşırsanız, işaretini diğer tarafa değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz.
• Bir denklemin her iki tarafı da aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Örnek No.1-2, -1, 0, 2, 3 sayılarından hangisi denklemin kökleridir:

Bu görevi çözmek için, sayıların her birini x değişkeninin yerine birer birer koymanız ve eşitliğin doğru olduğu kabul edilen sayıları seçmeniz yeterlidir.

“x= -2”de:

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\(4=4\) - eşitlik doğrudur, yani (-2) denklemimizin köküdür

"x= -1"de

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7\) - eşitlik yanlıştır, dolayısıyla (-1) denklemin kökü değildir

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10\) - eşitlik yanlıştır, dolayısıyla 0 denklemin kökü değildir

\(2^2=10-3 \cdot 2\)

\(4=4\) - eşitlik doğrudur, yani denklemimizin kökü 2'dir

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1\) - eşitlik yanlıştır, dolayısıyla 3 denklemin kökü değildir

Cevap: Sunulan sayılardan \(x^2=10-3x\) denkleminin kökleri -2 ve 2 sayılarıdır.

Tek değişkenli doğrusal denklem ax = b formundaki denklemlerdir; burada x bir değişkendir ve a ve b bazı sayılardır.

Çok sayıda denklem türü vardır, ancak bunların çoğunu çözmek doğrusal denklemlerin çözülmesine bağlıdır, bu nedenle ileri eğitim için bu konu hakkında bilgi sahibi olmak zorunludur!

Örnek No.2 Denklemi çözün: 4(x+7) = 3-x

Bu denklemi çözmek için öncelikle parantezden kurtulmanız gerekir ve bunu yapmak için parantez içindeki terimlerin her birini 4 ile çarpmanız gerekir, şunu elde ederiz:

4x + 28 = 3 - x

Şimdi tüm değerleri “x” ten bir tarafa ve diğer her şeyi diğer tarafa taşımamız gerekiyor (işareti diğer tarafa değiştirmeyi unutmadan), şunu elde ederiz:

4x + x = 3 - 28

Şimdi değeri soldan ve sağdan çıkarın:

Bilinmeyen faktörü (x) bulmak için ürünü (25) bilinen faktöre (5) bölmeniz gerekir:

Cevap x = -5

Cevap konusunda şüpheniz varsa, ortaya çıkan değeri denklemimizde x yerine değiştirerek kontrol edebilirsiniz:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - denklem doğru çözüldü!

Şimdi daha karmaşık bir şeyi çözelim:

Örnek No.3 Denklemin köklerini bulun: \((y+4)-(y-4)=6y \)

Öncelikle parantezlerden de kurtulalım:

Hemen sol tarafta y ve -y'yi görüyoruz, bu da bunların üzerini kolayca çizebileceğimiz ve elde edilen sayıları toplayıp ifadeyi yazabileceğimiz anlamına geliyor:

Artık “y”li değerleri sola, rakamlı değerleri ise sağa taşıyabilirsiniz. Ancak bu gerekli değil, çünkü değişkenlerin hangi tarafta olduğu önemli değil, asıl önemli olan onların numarasız olmasıdır, bu da hiçbir şey aktarmayacağımız anlamına gelir. Ama anlamayanlar için kuralın dediğini yapıp her iki parçayı da özelliğin dediği gibi (-1)'e böleceğiz:

Bilinmeyen faktörü bulmak için ürünü bilinen faktöre bölmeniz gerekir:

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)

Cevap: y = \(1\frac(1)(3)\)

Cevabı da kontrol edebilirsiniz, ancak bunu kendiniz yapın.

Örnek No. 4\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Şimdi ben bunu açıklama yapmadan çözeceğim ve siz de çözümün ilerleyişine ve denklemleri çözmek için doğru gösterime bakacaksınız:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6\)

\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6\)

\(x=\frac(7,8)(-5,2)=\frac(3)(-2) =-1,5\)

Cevap: x = -1,5

Çözüm sırasında bir şey net değilse, yorumları yazın.

Denklemleri kullanarak problemleri çözme

Denklemlerin ne olduğunu bilerek ve onları hesaplamayı öğrenerek, denklemlerin çözüm için kullanıldığı birçok problemi çözme olanağına da sahip olursunuz.

Teoriye girmeyeceğim, her şeyi aynı anda örneklerle göstermek daha iyi

Örnek No. 5 Sepette kutudakinden 2 kat daha az elma vardı. Sepetten kutuya 10 elma aktarıldığında kutuda sepettekinin 5 katı elma vardı. Sepette kaç tane elma vardı ve kutuda kaç tane vardı?

Öncelikle neyi “x” olarak kabul edeceğimizi belirlememiz gerekiyor, bu problemde hem kutu hem de sepet kabul edebiliriz ama ben sepetteki elmaları alacağım.

Yani sepette x elma olsun, kutuda iki katı elma olduğuna göre bunu 2x olarak alalım. Elmalar sepetten kutuya aktarıldıktan sonra sepetteki elma sayısı x - 10 oldu, yani kutuda - (2x + 10) elma vardı.

Artık denklemi oluşturabilirsiniz:

5(x-10) - Kutuda sepettekinden 5 kat daha fazla elma var.

Birinci değer ile ikinciyi eşitleyelim:

2x+10 = 5(x-10) ve çözelim:

2x + 10 = 5x - 50

2x - 5x = -50 - 10

x = -60/-3 = 20 (elmalar) - sepette

Şimdi sepette kaç elma olduğunu bildiğimize göre, kutuda kaç elma olduğunu bulalım - iki kat daha fazla elma olduğu için sonucu 2 ile çarpacağız:

2*20 = 40 (elma) – bir kutuda

Cevap: Bir kutuda 40, bir sepette 20 elma vardır.

Birçoğunuzun problemlerin nasıl çözüleceğini tam olarak anlamamış olabileceğini anlıyorum ama sizi temin ederim ki derslerimizde bu konuya birden fazla kez döneceğiz ancak bu arada hala sorularınız varsa yorumlarda sorun. .

Son olarak denklem çözümüne ilişkin birkaç örnek daha

Örnek No. 6\(2x - 0,7x = 0\)

Örnek No. 7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Örnek No. 8\(6y-(y-1) = 4+5y\)

\(6y-y+1=4+5y\)

\(6y-y-5y=4-1\)

\(0y=3 \) - kök yok çünkü Sıfıra bölünemezsin!

İlginiz için hepinize teşekkür ederim. Bir şey net değilse, yorumlarda sorun.

Tarayıcınızda Javascript devre dışı.
Hesaplamaları gerçekleştirmek için ActiveX kontrollerini etkinleştirmelisiniz!
Denklem sistemlerinin iki tür çözümünü analiz edelim:

1. Sistemin yerine koyma yöntemini kullanarak çözülmesi.
2. Sistem denklemlerini terim terim toplayarak (çıkararak) sistemi çözmek.

Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemiyle basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. Ekspres. Herhangi bir denklemden bir değişkeni ifade ederiz.
2. Değiştir. Ortaya çıkan değeri, ifade edilen değişken yerine başka bir denklemde değiştiririz.
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.

Çözmek için terim dönem toplama (çıkarma) yöntemiyle sistemşunları yapmanız gerekir:
1. Katsayılarını aynı yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri topluyor veya çıkarıyoruz, sonuçta tek değişkenli bir denklem elde ediliyor.
3. Sonucu çözün Doğrusal Denklem. Sisteme çözüm buluyoruz.

Sistemin çözümü fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarıdır.

Örnekleri kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.

Örnek 1:

Yerine koyma yöntemiyle çözelim

Bir denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözme

2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)

1. Ekspres
İkinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeninin olduğu görülmektedir, bu da x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay olduğu anlamına gelir.
x=3+10y

2.Bunu ifade ettikten sonra ilk denklemde x değişkeni yerine 3+10y yazıyoruz.
2(3+10y)+5y=1

3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün.
2(3+10y)+5y=1 (parantezleri açın)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesişim noktalarıdır, dolayısıyla x ve y'yi bulmamız gerekiyor çünkü kesişim noktası x ve y'den oluşuyor. x'i bulalım, ifade ettiğimiz ilk paragrafta yerine y koyalım.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Noktaları ilk sıraya x değişkenini, ikinci sıraya da y değişkenini yazarak yazmak gelenekseldir.
Cevap: (1; -0,2)

Örnek #2:

Terim terim toplama (çıkarma) yöntemini kullanarak çözelim.

Toplama yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözme

3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)

1. Bir değişken seçiyoruz, diyelim ki x'i seçiyoruz. İlk denklemde x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2'dir. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayıya bölme hakkımız var. İlk denklemi 2, ikincisini 3 ile çarpıyoruz ve toplam 6 katsayısını elde ediyoruz.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. X değişkeninden kurtulmak için ikinciyi birinci denklemden çıkarın. Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x'i bulun. Bulunan y'yi denklemlerden herhangi birinin yerine koyarız, diyelim ki ilk denklemin içine.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Kesişme noktası x=4,6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)

Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? Çevrimiçi öğretmen ücretsiz. Şaka yapmıyorum.