Uzay dersinde koordinat yöntemi. Uzayda koordinat yöntemi. a ve b çizgileri arasındaki açı

Koordinat yöntemi, uzaydaki stereometrik nesneler arasındaki açıları veya mesafeleri bulmanın çok etkili ve evrensel bir yoludur. Eğer matematik öğretmeniniz son derece nitelikliyse, bunu bilmesi gerekir. Aksi takdirde “C” kısmı için öğretmenin değiştirilmesini tavsiye ederim. Matematik C1-C6'daki Birleşik Devlet Sınavına hazırlığım genellikle aşağıda açıklanan temel algoritmaların ve formüllerin bir analizini içerir.

a ve b çizgileri arasındaki açı

Uzaydaki çizgiler arasındaki açı, onlara paralel kesişen çizgiler arasındaki açıdır. Bu açı, bu çizgilerin yön vektörleri arasındaki açıya eşittir (veya onu 180 dereceye tamamlar).

Matematik öğretmeni açıyı bulmak için hangi algoritmayı kullanıyor?

1) Herhangi bir vektörü seçin ve a ve b düz çizgilerinin yönlerine sahip (bunlara paralel).
2) Vektörlerin koordinatlarını, başlangıç ​​ve bitişlerinin karşılık gelen koordinatlarını kullanarak belirleriz (başlangıç ​​koordinatları, vektörün sonunun koordinatlarından çıkarılmalıdır).
3) Bulunan koordinatları formülde değiştirin:
. Açının kendisini bulmak için sonucun ark kosinüsünü bulmanız gerekir.

Düzlem için normal

Bir düzlemin normali, o düzleme dik olan herhangi bir vektördür.
Normal nasıl bulunur? Normalin koordinatlarını bulmak için, belirli bir düzlemde yer alan M, N ve K noktalarından herhangi birinin koordinatlarını bilmek yeterlidir. Bu koordinatları kullanarak vektörlerin koordinatlarını buluyoruz ve şartların karşılanmasını istiyoruz. Vektörlerin skaler çarpımını sıfıra eşitleyerek, normalin koordinatlarını bulabileceğimiz üç değişkenli bir denklem sistemi yaratırız.

Matematik öğretmeninin notu : Sistemi tamamen çözmek hiç de gerekli değil çünkü en az bir normal seçmek yeterli. Bunu yapmak için, bilinmeyen koordinatlarından herhangi birinin yerine herhangi bir sayıyı (örneğin bir) değiştirebilir ve iki denklem sistemini kalan iki bilinmeyenle çözebilirsiniz. Çözümü yoksa, bu, normaller ailesinde seçilen değişkende değeri bir olan hiç kimsenin olmadığı anlamına gelir. Daha sonra birini başka bir değişkenle (başka bir koordinat) değiştirin ve yeni sistemi çözün. Tekrar kaçırırsanız, normaliniz son koordinatta bir taneye sahip olacak ve kendisi de bir koordinat düzlemine paralel olacak (bu durumda sistem olmadan bulmak kolaydır).

Bize yön vektörü ve normalin koordinatlarına sahip bir düz çizgi ve bir düzlem verildiğini varsayalım.
Düz çizgi ile düzlem arasındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Bu düzlemlere herhangi iki normal olsun ve olsun. O halde düzlemler arasındaki açının kosinüsü, normaller arasındaki açının kosinüsünün modülüne eşittir:

Uzaydaki bir düzlemin denklemi

Eşitliği sağlayan noktalar normal olan bir düzlem oluşturur. Katsayı, aynı normale sahip iki düzlem arasındaki sapmanın (paralel kayma) miktarından sorumludur. Bir düzlemin denklemini yazmak için önce onun normalini (yukarıda açıklandığı gibi) bulmanız, ardından düzlemdeki herhangi bir noktanın koordinatlarını ve bulunan normalin koordinatlarını denklemde yerine koymanız ve katsayıyı bulmanız gerekir.

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Uzayda dikdörtgen koordinat sistemi. Vektör koordinatları.

Dikdörtgen koordinat sistemi

Uzayda bir noktadan geçen üç çift dik çizgi çizilirse, her birinde bir yön seçilir ve bölümler için bir ölçü birimi seçilirse, uzayda dikdörtgen bir koordinat sisteminin belirtildiğini söylerler.

Yönleri seçilen düz çizgilere koordinat eksenleri adı verilir ve bunların ortak noktası koordinatların başlangıç ​​noktasıdır. Genellikle O harfiyle gösterilir. Koordinat eksenleri şu şekilde gösterilir: Ox, Oy, O z - ve isimleri vardır: abscissa ekseni, ordinat ekseni, uygulama ekseni.

Koordinat sisteminin tamamı Oxy z olarak gösterilir. Sırasıyla Ox ve Oy, Oy ve O z, O z ve Ox koordinat eksenlerinden geçen düzlemlere koordinat düzlemleri adı verilir ve Oxy, Oy z, O z x olarak adlandırılır.

O noktası koordinat eksenlerinin her birini iki ışına böler. Yönü eksen yönüyle çakışan ışına pozitif yarı eksen, diğer ışına negatif yarı eksen adı verilir.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde, uzaydaki her M noktası, koordinatları adı verilen üçlü bir sayıyla ilişkilendirilir.

Şekilde A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) olmak üzere altı nokta gösterilmektedir. , F (0; 0; -3).

Vektör koordinatları

Herhangi bir vektör koordinat vektörlerine genişletilebilir, yani x, y, z genişleme katsayılarının benzersiz bir şekilde belirlendiği biçimde temsil edilebilir.

Bir vektörün koordinat vektörlerine açılımındaki x, y ve z katsayılarına, belirli bir koordinat sistemindeki vektörün koordinatları denir.

Bu vektörlerin koordinatlarını, toplamlarının ve farklarının koordinatlarını ve ayrıca belirli bir vektörün belirli bir sayıya göre çarpımının koordinatlarını bulmak için kullanmamıza izin veren kuralları ele alalım.

10. İki veya daha fazla vektörün toplamının her koordinatı, bu vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının toplamına eşittir. Başka bir deyişle, a (x 1, y 1, z 1) ve b (x 2, y 2, z 2)'ye vektörler verilmişse, a + b vektörünün koordinatları vardır (x 1 + x 2, y 1 + y2, z1 + z2).

20. İki vektörün farkının her koordinatı, bu vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının farkına eşittir. Başka bir deyişle, a (x 1, y 1, z 1) ve b (x 2 y 2; z 2)'ye vektörler verilirse, a - b vektörünün koordinatları vardır (x 1 - x 2, y 1 - y) 2, z 1 - z 2 ).

otuz. Bir vektörün ve bir sayının çarpımının her koordinatı, vektörün karşılık gelen koordinatının ve bu sayının çarpımına eşittir. Başka bir deyişle, eğer a (x; y; x) belirli bir vektörse, α belirli bir sayıdır, bu durumda α a vektörünün koordinatları vardır (αх; αу; α z).

Konuyla ilgili: metodolojik gelişmeler, sunumlar ve notlar

Didaktik çalışma kağıdı "Ders şeklinde dersler yürütmek için "Uzayda koordinat yöntemi" konulu öğrenciler için notlar seti. Geometri notları 10-11....

Dersin amacı: Öğrencilerin “C2 Birleşik Devlet Sınavı görevlerini çözmek için uzayda koordinat yöntemini kullanma” konusundaki bilgi, beceri ve yeteneklerini test etmek. Planlanan eğitim sonuçları: Öğrenciler şunları gösterir: ...

Koordinat yöntemini kullanabilmek için formülleri iyi bilmeniz gerekmektedir. Bunlardan üç tane var:

İlk bakışta tehditkar görünüyor, ancak biraz pratikle her şey harika çalışacak.

Görev. a = (4; 3; 0) ve b = (0; 12; 5) vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulun.

Çözüm. Vektörlerin koordinatları bize verildiği için bunları ilk formülde yerine koyarız:

Görev. M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) ve K = (2; 1; 0) noktalarından geçmediği biliniyorsa, geçen bir düzlemin denklemini yazınız. köken.

Çözüm. Düzlemin genel denklemi: Ax + By + Cz + D = 0, ancak istenilen düzlem koordinatların orijininden (0; 0; 0) noktasından geçmediğinden D = 1 koyarız. Düzlem M, N ve K noktalarından geçiyorsa bu noktaların koordinatları denklemi doğru sayısal eşitliğe çevirmelidir.

x, y ve z yerine M = (2; 0; 1) noktasının koordinatlarını yazalım. Sahibiz:
Bir 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Benzer şekilde N = (0; 1; 1) ve K = (2; 1; 0) noktaları için aşağıdaki denklemleri elde ederiz:
Bir 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
Bir 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Yani elimizde üç denklem ve üç bilinmeyen var. Bir denklem sistemi oluşturup çözelim:

Düzlemin denkleminin şu şekilde olduğunu bulduk: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Görev. Düzlem 7x − 2y + 4z + 1 = 0 denklemiyle verilmektedir. Vektörün bu düzleme dik koordinatlarını bulun.

Çözüm. Üçüncü formülü kullanarak n = (7; − 2; 4) elde ederiz - hepsi bu!

Vektör koordinatlarının hesaplanması

Peki ya problemde hiç vektör yoksa, yalnızca düz çizgiler üzerinde yer alan noktalar varsa ve bu düz çizgiler arasındaki açıyı hesaplamanız gerekiyorsa? Çok basit: Noktaların koordinatlarını (vektörün başlangıcı ve bitişi) bilerek, vektörün koordinatlarını hesaplayabilirsiniz.

Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, başlangıç ​​koordinatlarını bitiş koordinatlarından çıkarmanız gerekir.

Bu teorem hem düzlemde hem de uzayda eşit derecede iyi çalışır. “Koordinatları çıkarma” ifadesi, bir noktanın x koordinatından başka bir noktanın x koordinatının çıkarılması, ardından y ve z koordinatları için de aynı işlemin yapılması gerektiği anlamına gelir. İşte bazı örnekler:

Görev. Uzayda koordinatlarıyla tanımlanan üç nokta vardır: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) ve C = (− 4; 3; − 2). AB, AC ve BC vektörlerinin koordinatlarını bulun.

AB vektörünü düşünün: başlangıcı A noktasında ve sonu B noktasındadır. Bu nedenle koordinatlarını bulmak için A noktasının koordinatlarını B noktasının koordinatlarından çıkarmamız gerekir:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Benzer şekilde, AC vektörünün başlangıcı aynı A noktasıdır, ancak sonu C noktasıdır. Bu nedenle elimizde:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Son olarak, BC vektörünün koordinatlarını bulmak için B noktasının koordinatlarını C noktasının koordinatlarından çıkarmanız gerekir:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Cevap: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; - 3; - 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Son BC vektörünün koordinatlarının hesaplanmasına dikkat edin: birçok kişi negatif sayılarla çalışırken hata yapar. Bu, y değişkeniyle ilgilidir: B noktasının koordinatı y = − 1'dir ve C noktasının koordinatı y = 3'tür. Pek çok kişinin düşündüğü gibi 3 − 1 değil, tam olarak 3 − (− 1) = 4 elde ederiz. Böyle aptalca hatalar yapmayın!

Düz çizgiler için yön vektörlerinin hesaplanması

Eğer C2 problemini dikkatlice okursanız, orada hiç vektör olmadığını görünce şaşıracaksınız. Yalnızca düz çizgiler ve düzlemler vardır.

İlk önce düz çizgilere bakalım. Burada her şey basit: Herhangi bir doğru üzerinde en az iki farklı nokta vardır ve bunun tersine, herhangi iki farklı nokta benzersiz bir çizgiyi tanımlar...

Önceki paragrafta ne yazıldığını anlayan var mı? Ben de anlamadım, bu yüzden daha basit bir şekilde açıklayacağım: C2 probleminde düz çizgiler her zaman bir çift noktayla tanımlanır. Bir koordinat sistemi kurarsak ve başlangıcı ve sonu bu noktalarda olan bir vektörü ele alırsak, çizgi için yön vektörü olarak adlandırılan vektörü elde ederiz:

Bu vektöre neden ihtiyaç duyuldu? Gerçek şu ki, iki düz çizgi arasındaki açı, onların yön vektörleri arasındaki açıdır. Böylece anlaşılmaz düz çizgilerden koordinatları kolay hesaplanabilen belirli vektörlere geçiyoruz. Ne kadar kolay? Örneklere bir göz atın:

Görev. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünde AC ve BD 1 çizgileri çizilmiştir. Bu doğruların yön vektörlerinin koordinatlarını bulunuz.

Küpün kenarlarının uzunluğu koşulda belirtilmediğinden AB = 1 olarak belirledik. Orijini A noktasında olan ve x, y, z eksenleri AB, AD ve düz çizgileri boyunca yönlendirilen bir koordinat sistemi tanıtıyoruz. Sırasıyla AA 1. Birim segmenti AB = 1'e eşittir.

Şimdi AC doğrusunun yön vektörünün koordinatlarını bulalım. İki noktaya ihtiyacımız var: A = (0; 0; 0) ve C = (1; 1; 0). Buradan AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) vektörünün koordinatlarını elde ederiz - bu yön vektörüdür.

Şimdi BD 1 düz çizgisine bakalım. Ayrıca iki noktası vardır: B = (1; 0; 0) ve D 1 = (0; 1; 1). BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1) yön vektörünü elde ederiz.

Cevap: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Görev. Tüm kenarları 1'e eşit olan ABCA 1 B 1 C 1 normal üçgen prizmasında, AB 1 ve AC 1 düz çizgileri çizilir. Bu doğruların yön vektörlerinin koordinatlarını bulunuz.

Bir koordinat sistemi tanıtalım: başlangıç ​​noktası A noktasındadır, x ekseni AB ile çakışır, z ekseni AA 1 ile çakışır, y ekseni ABC düzlemiyle çakışan x ekseni ile OXY düzlemini oluşturur.

İlk önce AB 1 düz çizgisine bakalım. Burada her şey basit: A = (0; 0; 0) ve B 1 = (1; 0; 1) noktalarımız var. AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1) yön vektörünü elde ederiz.

Şimdi AC 1'in yön vektörünü bulalım. Her şey aynı; tek fark C1 noktasının irrasyonel koordinatlara sahip olmasıdır. Yani A = (0; 0; 0), yani elimizde:

Cevap: AB 1 = (1; 0; 1);

Son örnekle ilgili küçük ama çok önemli bir not. Vektörün başlangıcı koordinatların orijini ile çakışıyorsa hesaplamalar büyük ölçüde basitleştirilir: vektörün koordinatları sonun koordinatlarına eşittir. Ne yazık ki bu yalnızca vektörler için geçerlidir. Örneğin, uçaklarla çalışırken, üzerlerinde koordinatların kökeninin bulunması yalnızca hesaplamaları zorlaştırır.

Düzlemler için normal vektörlerin hesaplanması

Normal vektörler iyi veya iyi hissettiren vektörler değildir. Tanım gereği, bir düzleme normal bir vektör (normal), belirli bir düzleme dik bir vektördür.

Başka bir deyişle normal, belirli bir düzlemdeki herhangi bir vektöre dik olan bir vektördür. Muhtemelen bu tanımla karşılaşmışsınızdır; ancak vektörler yerine düz çizgilerden bahsediyorduk. Bununla birlikte, C2 probleminde, ister düz bir çizgi ister bir vektör olsun, uygun herhangi bir nesneyle işlem yapabileceğiniz hemen yukarıda gösterilmiştir.

Uzayda her düzlemin A, B, C ve D'nin bazı katsayılar olduğu Ax + By + Cz + D = 0 denklemiyle tanımlandığını bir kez daha hatırlatayım. Çözümün genelliğini kaybetmeden, düzlem orijinden geçmiyorsa D = 1, geçiyorsa D = 0 olduğunu varsayabiliriz. Her durumda, normal vektörün bu düzleme koordinatları n = (A; B; C)'dir.

Böylece düzlem aynı normal olan bir vektörle de başarılı bir şekilde değiştirilebilir. Her düzlem uzayda üç noktayla tanımlanır. Düzlemin denkleminin (ve dolayısıyla normalin) nasıl bulunacağını makalenin başında zaten tartışmıştık. Ancak bu süreç birçok kişi için sorun yaratıyor, bu yüzden birkaç örnek daha vereceğim:

Görev. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünde A 1 BC 1 bölümü çizilir. Koordinatların orijini A noktasındaysa ve x, y ve z eksenleri sırasıyla AB, AD ve AA 1 kenarlarıyla çakışıyorsa, bu bölümün düzlemi için normal vektörü bulun.

Düzlem orijinden geçmediği için denklemi şu şekilde görünür: Ax + By + Cz + 1 = 0, yani. katsayısı D = 1. Bu düzlem A 1, B ve C 1 noktalarından geçtiği için bu noktaların koordinatları düzlemin denklemini doğru sayısal eşitliğe dönüştürür.

bir 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Benzer şekilde B = (1; 0; 0) ve C 1 = (1; 1; 1) noktaları için aşağıdaki denklemleri elde ederiz:
bir 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ Bir + 1 = 0 ⇒ Bir = − 1;
Bir 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ Bir + B + C + 1 = 0;

Ancak A = − 1 ve C = − 1 katsayılarını zaten biliyoruz, dolayısıyla geriye B katsayısını bulmak kalıyor:
B = − 1 − Bir − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Düzlemin denklemini elde ederiz: − A + B − C + 1 = 0. Dolayısıyla normal vektörün koordinatları n = (− 1; 1; − 1)'e eşittir.

Görev. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünde AA 1 C 1 C bölümü vardır. Koordinatların orijini A noktasındaysa ve x, y ve z eksenleri çakışıyorsa, bu bölümün düzlemi için normal vektörü bulun. sırasıyla AB, AD ve AA 1 kenarları.

Bu durumda düzlem orijinden geçer, dolayısıyla D = 0 katsayısı ve düzlemin denklemi şu şekilde görünür: Ax + By + Cz = 0. Düzlem A 1 ve C noktalarından geçtiği için koordinatları bu noktalar düzlemin denklemini doğru sayısal eşitliğe dönüştürür.

x, y ve z yerine A 1 = (0; 0; 1) noktasının koordinatlarını koyalım. Sahibiz:
bir 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Benzer şekilde C = (1; 1; 0) noktası için şu denklemi elde ederiz:
bir 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ Bir + B = 0 ⇒ Bir = − B;

B = 1 olarak kabul edelim. O zaman A = − B = − 1 olur ve tüm düzlemin denklemi şu şekilde olur: − A + B = 0. Bu nedenle normal vektörün koordinatları n = (− 1)'e eşittir. 1; 0).

Genel olarak konuşursak, yukarıdaki problemlerde bir denklem sistemi oluşturup çözmeniz gerekir. Üç denklem ve üç değişken elde edeceksiniz, ancak ikinci durumda bunlardan biri serbest olacaktır; keyfi değerler alın. Bu nedenle çözümün genelliğine ve cevabın doğruluğuna halel getirmeksizin B = 1 değerini belirleme hakkına sahibiz.

Problem C2'de sıklıkla bir parçayı ikiye bölen noktalarla çalışmanız gerekir. Segmentin uçlarının koordinatları biliniyorsa bu tür noktaların koordinatları kolayca hesaplanır.

Öyleyse parçanın uçlarıyla tanımlanmasına izin verin - A = (x a; y a; z a) ve B = (x b; y b; z b) noktaları. Daha sonra parçanın ortasının koordinatları (hadi bunu H noktasıyla gösterelim) aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Başka bir deyişle, bir doğru parçasının ortasının koordinatları, uçlarının koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

Görev. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 birim küpü, x, y ve z eksenleri sırasıyla AB, AD ve AA 1 kenarları boyunca yönlendirilecek ve başlangıç ​​noktası A noktasıyla çakışacak şekilde bir koordinat sistemine yerleştirilir. K noktası A 1 B 1 kenarının ortası. Bu noktanın koordinatlarını bulun.

K noktası A 1 B 1 segmentinin ortası olduğundan, koordinatları uçların koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşittir. Uçların koordinatlarını yazalım: A 1 = (0; 0; 1) ve B 1 = (1; 0; 1). Şimdi K noktasının koordinatlarını bulalım:

Görev. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 birim küpü, x, y ve z eksenleri sırasıyla AB, AD ve AA 1 kenarları boyunca yönlendirilecek ve başlangıç ​​noktası A noktasıyla çakışacak şekilde bir koordinat sistemine yerleştirilir. A 1 B 1 C 1 D 1 karesinin köşegenleriyle kesiştikleri L noktasının koordinatları.

Planimetri dersinden, bir karenin köşegenlerinin kesişme noktasının tüm köşelerinden eşit uzaklıkta olduğunu biliyoruz. Özellikle A 1 L = C 1 L, yani. L noktası A 1 C 1 doğru parçasının ortasıdır. Fakat A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), dolayısıyla elimizde:

Cevap: L = (0,5; 0,5; 1)

Geometrik problemleri çözmek için koordinat yönteminin özü

Koordinat yöntemini kullanarak problem çözmenin özü, belirli bir durumda bizim için uygun olan bir koordinat sistemini tanıtmak ve onu kullanarak tüm verileri yeniden yazmaktır. Daha sonra bilinmeyen tüm miktarlar veya ispatlar bu sistem kullanılarak gerçekleştirilir. Herhangi bir koordinat sistemindeki noktaların koordinatlarının nasıl girileceğini başka bir makalede tartıştık - burada bunun üzerinde durmayacağız.

Koordinat yönteminde kullanılan ana ifadeleri tanıtalım.

Açıklama 1: Vektörün koordinatları, bu vektörün sonu ile başlangıcının karşılık gelen koordinatları arasındaki farkla belirlenecektir.

Açıklama 2: Segmentin ortasının koordinatları, sınırlarının karşılık gelen koordinatlarının toplamının yarısı kadar belirlenecektir.

Açıklama 3: Verilen $(δ_1,δ_2,δ_3)$ koordinatlarına sahip herhangi bir $\overline(δ)$ vektörünün uzunluğu formülle belirlenecektir.

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Açıklama 4:$(δ_1,δ_2,δ_3)$ ve $(β_1,β_2,β_3)$ koordinatlarıyla belirtilen herhangi iki nokta arasındaki mesafe formülle belirlenecektir.

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Koordinat yöntemini kullanarak geometrik problemleri çözme şeması

Koordinat yöntemini kullanarak geometrik problemleri çözmek için bu şemayı kullanmak en iyisidir:

Problemde verilenleri analiz edin:

• Göreve en uygun koordinat sistemini ayarlayın;
• Problemin durumu, problemin sorusu matematiksel olarak yazılır ve bu problemin çizimi yapılır.

1. Seçilen koordinat sisteminin koordinatlarındaki tüm görev verilerini yazın.

2. Problemin koşullarından gerekli ilişkileri kurun ve bu ilişkileri bulunması gereken (problemde kanıtlanmış) şeylerle de bağlayın.
3. Elde edilen sonucu geometri diline çevirin.

Koordinat yöntemiyle çözülen problem örnekleri

Koordinat yöntemine yol açan temel sorunları şu şekilde tespit edebiliriz (çözümlerini burada vermeyeceğiz):

1. Bir vektörün sonu ve başlangıcına göre koordinatlarını bulma problemleri.
2. Bir segmentin herhangi bir açıdan bölünmesiyle ilgili problemler.
3. Üç noktanın aynı doğru üzerinde olduğunun veya dört noktanın aynı düzlemde olduğunun kanıtı.
4. Verilen iki nokta arasındaki mesafeyi bulma problemleri.
5. Geometrik şekillerin hacim ve alanlarını bulma problemleri.

Birinci ve dördüncü problemlerin çözümünün sonuçları tarafımızdan yukarıdaki ana ifadeler olarak sunulmaktadır ve sıklıkla koordinat yöntemini kullanarak diğer problemleri çözmek için kullanılır.

Koordinat yöntemini kullanan problem örnekleri

örnek 1

Taban kenarı 4$ cm ise yüksekliği 3$ cm olan düzgün bir piramidin yan kenarını bulun.

Bize yüksekliği $SO$ olan düzenli bir $ABCDS$ piramidi verilsin. Şekil 1'deki gibi bir koordinat sistemi tanıtalım.

$A$ noktası oluşturduğumuz koordinat sisteminin merkezi olduğuna göre, o zaman

$B$ ve $D$ noktaları sırasıyla $Ox$ ve $Oy$ eksenlerine ait olduğundan, o zaman,

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

$C$ noktası $Oxy$ düzlemine ait olduğundan, o zaman

Piramit düzenli olduğundan $O$, $$ segmentinin orta noktasıdır. Açıklama 2'ye göre şunu elde ederiz:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

$SO$'ın yüksekliğinden bu yana