สามเหลี่ยมที่มีด้าน 345 เป็นมุมฉาก สามเหลี่ยมอียิปต์ บทเรียนที่สมบูรณ์ - ไฮเปอร์มาร์เก็ตแห่งความรู้ วิธีสร้างมุมฉาก

แนวทางชีวิตทางคณิตศาสตร์จากสาขาเรขาคณิต “วิธีทำให้สามเหลี่ยมมีมุมฉากโดยใช้เชือกง่ายๆ”
ชาวอียิปต์เมื่อ 4,000 ปีที่แล้วใช้วิธีการสร้างปิรามิดโดยสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้เชือกที่แบ่งออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน

แนวคิดของ "สามเหลี่ยมอียิปต์"

ทำไมสามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4, 5 จึงเรียกว่าอียิปต์?

และประเด็นทั้งหมดก็คือผู้สร้างปิรามิดของอียิปต์โบราณต้องการวิธีที่ง่ายและเชื่อถือได้ในการสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก และนี่คือวิธีที่พวกเขานำไปใช้ เชือกถูกแบ่งออกเป็นยี่สิบส่วนเท่า ๆ กัน ทำเครื่องหมายขอบเขตระหว่างส่วนที่อยู่ติดกัน ปลายเชือกก็เชื่อมต่อกัน หลังจากนั้นคน 3 คนดึงเชือกจนเป็นรูปสามเหลี่ยม และระยะห่างระหว่างชาวอียิปต์สองคนที่ดึงเชือกเป็นสามส่วน สี่ส่วน และห้าส่วนตามลำดับ ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากโดยมีขาเป็นสามและสี่ส่วนและมีด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นห้าส่วน เป็นที่รู้กันว่ามุมระหว่างด้านของสามและสี่ส่วนนั้นถูกต้อง ดังที่คุณทราบนักสำรวจชาวอียิปต์โบราณซึ่งนอกเหนือจากการวัดที่ดินแล้วยังมีส่วนร่วมในการก่อสร้างบนพื้นดินในอียิปต์โบราณพวกเขาถูกเรียกว่า harpedonaptes (ซึ่งแปลตามตัวอักษรว่า "ดึงเชือก") Harpedonaptes ครองอันดับที่ 3 ในลำดับชั้นของนักบวชในอียิปต์โบราณ

ทฤษฎีบทคอนเวิร์สพีทาโกรัส

แต่อะไรทำให้สามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4, 5 กลายเป็นสี่เหลี่ยม? ส่วนใหญ่จะตอบคำถามนี้โดยบอกว่าความจริงข้อนี้คือทฤษฎีบท เนื่องจาก 3 กำลังสองบวกสี่กำลังสองเท่ากับห้ากำลังสอง แต่เขาบอกว่าถ้าสามเหลี่ยมมีมุมฉาก ผลรวมของกำลังสองของด้านทั้ง 2 ด้านจะเท่ากับกำลังสองของด้านที่สาม ต่อไปนี้เรากำลังพูดถึงทฤษฎีบทที่ผกผันกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส: หากผลรวมของกำลังสองของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับกำลังสองของด้านที่สาม สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก

การประยุกต์ใช้งานจริงที่สรุปไว้นั้นย้อนกลับไปในอดีตอันไกลโพ้น ทุกวันนี้แทบไม่มีใครได้มุมที่ถูกต้องโดยใช้วิธีนี้ แต่อย่างไรก็ตาม วิธีนี้เป็นแฮ็คชีวิตทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม และคุณสามารถนำไปใช้ได้ในทุกสถานการณ์ชีวิต

วิธีการกำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้เชือกได้ย้ายจากโลกแห่งการปฏิบัติไปสู่โลกแห่งความคิด เช่นเดียวกับวัฒนธรรมทางวัตถุในสมัยโบราณได้เข้าสู่วัฒนธรรมทางจิตวิญญาณของความเป็นจริงในปัจจุบัน

เป็นไปได้ว่าคำว่า “สามเหลี่ยมอียิปต์” เป็นคนให้ พีทาโกรัสได้มาเยี่ยมเยือนยืนกราน ทาเลสในอียิปต์…

“... ในบทความนี้ เรามีความสนใจในแง่มุมของคณิตศาสตร์ที่ไม่ได้นำไปใช้จริงและไม่ได้นำไปใช้จริง เราถือว่ามันจะเป็นความรู้ที่ดีมากที่จะรวมความรู้ว่าทำไม สามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4, 5 เรียกว่าอียิปต์

ประเด็นทั้งหมดก็คือผู้สร้างปิรามิดของอียิปต์โบราณจำเป็นต้องมีวิธีสร้างมุมฉาก นี่คือวิธีการที่จำเป็น เชือกแบ่งออกเป็น 12 ส่วนเท่า ๆ กัน มีการทำเครื่องหมายขอบเขตระหว่างส่วนที่อยู่ติดกัน และปลายเชือกเชื่อมต่อกัน จากนั้นเชือกจะถูกขึงด้วยคนสามคนจนเป็นรูปสามเหลี่ยม และระยะห่างระหว่างตัวปรับความตึงที่อยู่ติดกันคือ 3 ส่วน 4 ส่วน และ 5 ส่วนตามลำดับ ในกรณีนี้ รูปสามเหลี่ยมจะเป็นมุมฉาก โดยด้าน 3 และ 4 จะเป็นขา และด้าน 5 จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นมุมระหว่างด้าน 3 และ 4 จะเป็นมุมฉาก

ฉันกลัวว่าผู้อ่านส่วนใหญ่จะตอบคำถามว่า “ทำไมรูปสามเหลี่ยมถึงเป็นมุมฉาก” จะอ้างอิงถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ท้ายที่สุดแล้ว สามกำลังสองบวกสี่กำลังสอง เท่ากับห้ากำลังสอง อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่า หากสามเหลี่ยมมีมุมฉาก ในกรณีนี้ ผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งสองจะเท่ากับกำลังสองของด้านที่สาม

ในกรณีนี้ เราใช้ทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส: หากผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งสองของสามเหลี่ยมเท่ากับกำลังสองของด้านที่สาม ในกรณีนี้ สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก (ฉันไม่แน่ใจว่าทฤษฎีบทสนทนานี้มีความเหมาะสมในหลักสูตรของโรงเรียน)”

อุสเพนสกี้ วี.เอ. , คำขอโทษของคณิตศาสตร์หรือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของวัฒนธรรมทางจิตวิญญาณ, นิตยสาร "New World", 2007, N 11, p. 131.

ใครก็ตามที่ตั้งใจฟังครูสอนเรขาคณิตที่โรงเรียนอย่างตั้งใจจะคุ้นเคยกับความหมายของสามเหลี่ยมอียิปต์เป็นอย่างดี มันแตกต่างจากประเภทอื่นที่คล้ายกันที่มีมุม 90 องศาในอัตราส่วนพิเศษ เมื่อบุคคลได้ยินวลี “สามเหลี่ยมอียิปต์” เป็นครั้งแรก นึกถึงภาพปิรามิดและฟาโรห์อันยิ่งใหญ่ แต่ประวัติศาสตร์บอกว่าอย่างไร?

เช่นเคย มีหลายทฤษฎีเกี่ยวกับชื่อ "สามเหลี่ยมอียิปต์" ตามที่หนึ่งในนั้นทฤษฎีบทของพีทาโกรัสที่มีชื่อเสียงได้รับแสงสว่างอย่างแม่นยำด้วยตัวเลขนี้ ใน 535 ปีก่อนคริสตกาล พีทาโกรัสตามคำแนะนำของทาลีส ไปอียิปต์เพื่อเติมเต็มความรู้ด้านคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ของเขา ที่นั่นเขาดึงความสนใจไปที่ลักษณะเฉพาะของงานของผู้สำรวจที่ดินชาวอียิปต์ ด้วยวิธีที่ผิดปกติมากพวกเขาทำการก่อสร้างด้วยมุมฉากซึ่งด้านข้างเชื่อมต่อกันในอัตราส่วน 3-4-5 ชุดคณิตศาสตร์นี้ทำให้ง่ายต่อการเชื่อมต่อกำลังสองของทั้งสามด้านด้วยกฎข้อเดียว นี่คือที่มาของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง และสามเหลี่ยมอียิปต์ก็เป็นตัวเลขเดียวกับที่ทำให้พีธากอรัสใช้วิธีแก้ปัญหาที่แยบยลที่สุด ตามข้อมูลทางประวัติศาสตร์อื่น ๆ ชาวกรีกตั้งชื่อร่างนี้: ในเวลานั้นพวกเขามักจะไปเยือนอียิปต์ซึ่งพวกเขาสามารถสนใจงานของผู้สำรวจที่ดินได้ มีความเป็นไปได้ที่เรื่องราวทั้งสองเกิดขึ้นพร้อมๆ กัน ซึ่งมักเกิดขึ้นกับการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะพูดได้อย่างแน่นอนว่าใครเป็นคนตั้งชื่อว่า "สามเหลี่ยมอียิปต์" เป็นคนแรก คุณสมบัติของมันน่าทึ่งมาก และแน่นอนว่าไม่ได้จำกัดอยู่เพียงอัตราส่วนภาพเพียงอย่างเดียว พื้นที่และด้านข้างแสดงด้วยจำนวนเต็ม ด้วยเหตุนี้ การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสช่วยให้เราได้จำนวนเต็มของกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากและขา: 9-16-25 แน่นอนว่านี่อาจเป็นเพียงเรื่องบังเอิญ แต่ในกรณีนี้ เราจะอธิบายความจริงที่ว่าชาวอียิปต์ถือว่าสามเหลี่ยม "ของพวกเขา" ศักดิ์สิทธิ์ได้อย่างไร พวกเขาเชื่อในการเชื่อมโยงระหว่างเขากับจักรวาลทั้งหมด

หลังจากที่ข้อมูลเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตที่ผิดปกตินี้เปิดเผยต่อสาธารณะ โลกก็เริ่มค้นหาสามเหลี่ยมอื่นที่คล้ายคลึงกันซึ่งมีด้านเป็นจำนวนเต็ม เห็นได้ชัดว่าพวกมันมีอยู่จริง แต่ความสำคัญของคำถามไม่ใช่แค่การคำนวณทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังต้องทดสอบคุณสมบัติ "ศักดิ์สิทธิ์" ด้วย ชาวอียิปต์ไม่เคยถูกมองว่าโง่ในเรื่องความผิดปกติทั้งหมด - นักวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถอธิบายได้ว่าปิรามิดถูกสร้างขึ้นได้อย่างไร และทันใดนั้น ร่างธรรมดาก็ถูกนำมาประกอบกับความเกี่ยวข้องกับธรรมชาติและจักรวาล และแท้จริงแล้ว อักษรคูนิฟอร์มที่พบมีคำแนะนำเกี่ยวกับสามเหลี่ยมที่คล้ายกันซึ่งมีด้านที่อธิบายขนาดด้วยตัวเลข 15 หลัก ปัจจุบัน สามเหลี่ยมอียิปต์ ซึ่งมีมุม 90 (ขวา) 53 และ 37 องศา ถูกพบในสถานที่ที่คาดไม่ถึงโดยสิ้นเชิง ตัวอย่างเช่น เมื่อศึกษาพฤติกรรมของโมเลกุลของน้ำธรรมดา ปรากฎว่าการเปลี่ยนแปลงนั้นมาพร้อมกับการปรับโครงสร้างโครงสร้างเชิงพื้นที่ของโมเลกุลใหม่ ซึ่งคุณสามารถมองเห็นได้... สามเหลี่ยมอียิปต์อันเดียวกันนั้น ถ้าเราจำได้ว่ามันประกอบด้วยอะตอมสามอะตอม เราก็สามารถพูดถึงด้านทั้งสามที่มีเงื่อนไขได้ แน่นอนว่าเราไม่ได้พูดถึงความบังเอิญของอัตราส่วนที่มีชื่อเสียง แต่ตัวเลขผลลัพธ์นั้นใกล้เคียงกับตัวเลขที่ต้องการมาก นี่เป็นสาเหตุที่ชาวอียิปต์ยอมรับว่าสามเหลี่ยม 3-4-5 ของพวกเขาเป็นกุญแจสำคัญสู่ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและความลับของจักรวาลหรือไม่ ท้ายที่สุดแล้วน้ำก็เป็นพื้นฐานของชีวิต ไม่ต้องสงสัยเลยว่ายังเร็วเกินไปที่จะยุติการศึกษาบุคคลที่มีชื่อเสียงชาวอียิปต์ วิทยาศาสตร์ไม่เคยรีบด่วนสรุปโดยพยายามพิสูจน์สมมติฐานของมัน และเราทำได้แต่รอและประหลาดใจกับความรู้เท่านั้น

วิทยาศาสตร์แต่ละอย่างมีรากฐานของตัวเองบนพื้นฐานของการพัฒนาที่ตามมาทั้งหมด แน่นอนว่านี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากโรงเรียนพวกเขาสอนสูตร: “กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกทิศทุกทาง” ในทางวิชาการฟังดูพูดน้อยไปหน่อย ทฤษฎีบทนี้แสดงเป็นภาพในรูปของด้าน 3-4-5 นี่คือสามเหลี่ยมอียิปต์อันมหัศจรรย์

เรื่องราว

นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวกรีกผู้โด่งดัง Pythagoras แห่ง Samos ผู้ให้ชื่อทฤษฎีบทนี้มีชีวิตอยู่เมื่อ 2.5 พันปีก่อน ชีวประวัติของนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นคนนี้ยังได้รับการศึกษาเพียงเล็กน้อย แต่บางคนก็รอดชีวิตมาได้จนถึงทุกวันนี้

ตามคำร้องขอของ Thales เพื่อศึกษาคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ใน 535 ปีก่อนคริสตกาล เขาได้เดินทางไกลไปยังอียิปต์และบาบิโลน ในอียิปต์ ท่ามกลางทะเลทรายอันกว้างใหญ่ไร้ขอบเขต เขาได้เห็นปิรามิดอันยิ่งใหญ่ น่าทึ่งด้วยขนาดอันมหึมาและรูปทรงเรขาคณิตที่เพรียวบาง เป็นที่น่าสังเกตว่าพีทาโกรัสเห็นพวกมันในรูปแบบที่แตกต่างจากที่นักท่องเที่ยวเห็นอยู่เล็กน้อยเล็กน้อย โครงสร้างเหล่านี้เป็นโครงสร้างขนาดใหญ่เกินจินตนาการในสมัยนั้น โดยมีขอบที่ชัดเจนและสม่ำเสมอตัดกับพื้นหลังของวิหารเล็กๆ ที่อยู่ติดกันสำหรับภรรยา ลูกๆ และญาติคนอื่นๆ ของฟาโรห์ นอกเหนือจากจุดประสงค์โดยตรง (หลุมฝังศพและผู้พิทักษ์ร่างอันศักดิ์สิทธิ์ของฟาโรห์) แล้ว ปิรามิดยังถูกสร้างขึ้นเพื่อเป็นสัญลักษณ์ของความยิ่งใหญ่ ความมั่งคั่ง และอำนาจของอียิปต์อีกด้วย

ในระหว่างการศึกษาโครงสร้างเหล่านี้อย่างละเอียด พีทาโกรัสก็สังเกตเห็นรูปแบบที่เข้มงวดในความสัมพันธ์ระหว่างขนาดและรูปร่างของโครงสร้าง ปิรามิดแห่ง Cheops สอดคล้องกับขนาดของสามเหลี่ยมอียิปต์ซึ่งถือว่าศักดิ์สิทธิ์และมีความหมายวิเศษพิเศษ

พีระมิดแห่ง Cheops เป็นหลักฐานที่เชื่อถือได้ว่าชาวอียิปต์ใช้ความรู้เกี่ยวกับสัดส่วนของสามเหลี่ยมอียิปต์มานานก่อนการค้นพบพีทาโกรัส

แอปพลิเคชัน

รูปร่างของสามเหลี่ยมนั้นเรียบง่ายที่สุดและกลมกลืนกันมากที่สุดซึ่งง่ายต่อการใช้งาน โดยจะต้องใช้เครื่องมือที่ง่ายที่สุดเท่านั้น - เข็มทิศและไม้บรรทัด

สมมติว่าเรามีเส้นตรงที่เราต้องตั้งค่าตั้งฉาก เช่น อีกเส้นหนึ่งทำมุม 90 องศาสัมพันธ์กับเส้นแรก หรือเรามีมุม (เช่น มุมห้อง) และเราต้องตรวจสอบว่ามันเท่ากับ 90 องศาหรือไม่

ทั้งหมดนี้สามารถทำได้โดยใช้เพียงสายวัดและดินสอ

มีสองสิ่งที่ยอดเยี่ยม เช่น สามเหลี่ยมอียิปต์และทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่จะช่วยเราในเรื่องนี้

เมื่อค้นพบสาเหตุและเป้าหมายแล้ว การค้นหาความรู้เชิงนวัตกรรมก็จะเป็นผลตามมาตามธรรมชาติ คุณต้องมองโลกในแง่ดี แต่นั่นยังไม่เพียงพอ ความเชื่อจะต้องกลายเป็นการกระทำ หากเป็นไปได้ ไม่ใช่การดำเนินการแบบแยกส่วน หากห้องเรียนเป็นเพียงพื้นที่เดียวที่คุณต้องมี คุณจะต้องครอบครองอย่างชาญฉลาดและทำให้สิ่งที่คุณเคยฝันไว้เป็นจริง

ต้นกำเนิดของเรขาคณิตค่อนข้างคลุมเครือ เนื่องจากเป็นหนึ่งในความรู้ทางคณิตศาสตร์มากมาย ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะให้เครดิตคนๆ เดียวในการค้นพบมัน อย่างไรก็ตาม จุดเริ่มต้นในอียิปต์และหลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดของเรขาคณิตสมัยใหม่ เชื่อกันว่ามีอายุย้อนกลับไปประมาณ 600 ปีก่อนคริสตกาล

ดังนั้น, สามเหลี่ยมอียิปต์เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีอัตราส่วนทุกด้านเท่ากับ 3:4:5 (ด้าน 3: ด้าน 4: ด้านตรงข้ามมุมฉาก 5)

สามเหลี่ยมอียิปต์มีความสัมพันธ์โดยตรงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยผลรวมของกำลังสองของขาเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก (3*3 + 4*4 = 5*5)

สิ่งนี้จะช่วยเราได้อย่างไร? ทุกอย่างง่ายมาก

ภารกิจที่ 1คุณต้องสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง (เช่น เส้นที่ทำมุม 90 องศากับผนัง)

แม้จะมีความสำคัญในบริบททางประวัติศาสตร์และวัฒนธรรม แต่เรขาคณิตยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างเพียงพอ ในขณะเดียวกันทักษะที่จะพัฒนาในตัวนักเรียนก็ล้าสมัยไปด้วย ตามข้อเสนอการสอนของ Santa Catarina เกี่ยวกับการสอนเรขาคณิตและความสามารถที่ต้องพัฒนาในตัวนักเรียน จะต้องคำนึงถึงปัจจัยบางประการด้วย.

การศึกษาหรือการสำรวจพื้นที่และรูปแบบทางกายภาพ การวางแนวและการแสดงภาพและการเป็นตัวแทนของพื้นที่ทางกายภาพ การแสดงภาพและทำความเข้าใจรูปทรงเรขาคณิต การตั้งชื่อและการจดจำรูปแบบตามคุณลักษณะ การจำแนกประเภทของวัตถุตามรูปร่าง

ขั้นตอนที่ 1- ในการทำเช่นนี้ จากจุดที่ 1 (ซึ่งมุมของเราจะอยู่ที่) เราจำเป็นต้องวัดระยะทางใดๆ ที่เป็นผลคูณของสามหรือสี่บนเส้นนี้ - นี่จะเป็นขาแรกของเรา (เท่ากับสามหรือสี่ส่วนตามลำดับ ) เราได้จุดที่ 2

เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น คุณสามารถใช้ระยะทางได้ เช่น 2 ม. (นี่คือ 4 ส่วน ส่วนละ 50 ซม.)

ศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขและความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขเหล่านั้น การสร้างรูปทรงเรขาคณิตและแบบจำลอง การสร้างและการพิสูจน์ความสัมพันธ์และคำบุพบทโดยอาศัยเหตุผลเชิงนิรนัยเชิงสมมุติฐาน เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ ความสามารถที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตจะต้องถูกถ่ายโอนจากชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 โดยคำนึงถึงระดับการดูดซึมเนื้อหาของนักเรียน

เป็นที่ยอมรับและยอมรับกันในสังคมว่าหลักการ “ทำคณิตศาสตร์คือการแก้ปัญหา” ในเรื่องนี้การแก้ปัญหาเป็นเรื่องของนักวิจัยและนักคณิตศาสตร์ การทำความเข้าใจความยากลำบากที่นักเรียนส่วนใหญ่เผชิญในกิจกรรมสำคัญนี้ถือเป็นความท้าทายที่สำคัญ ประการแรกคือความเข้าใจที่ถูกต้องเกี่ยวกับปัญหา สำหรับ Lakatos และ Marconi "ปัญหาคือความยากลำบากทั้งทางทฤษฎีหรือทางปฏิบัติ ในการรู้บางสิ่งที่มีความสำคัญอย่างแท้จริงซึ่งจะต้องพบวิธีแก้ไข" และความเข้าใจนี้เป็นพื้นฐานสำหรับนักเรียนในการทำงานเพื่อแก้ไขปัญหา

ขั้นตอนที่ 2- จากนั้นจากจุดเดียวกันหมายเลข 1 เราวัดขึ้นไป 1.5 ม. (3 ส่วนส่วนละ 50 ซม.) ขึ้นไป (เราตั้งค่าตั้งฉากโดยประมาณ) ลากเส้น (สีเขียว)

ขั้นตอนที่ 3- จากจุดที่ 2 คุณต้องทำเครื่องหมายบนเส้นสีเขียวที่ระยะ 2.5 ม. (5 ส่วนส่วนละ 50 ซม.) จุดตัดของเครื่องหมายเหล่านี้จะเป็นจุดที่ 3 ของเรา

โดยการเชื่อมต่อจุดที่ 1 และหมายเลข 3 เราจะได้เส้นตั้งฉากกับบรรทัดแรกของเรา

ประการแรกอาจกล่าวได้ว่าการแก้ปัญหาซึ่งเป็นกลยุทธ์ในการพัฒนาการศึกษาคณิตศาสตร์จะต้องกำจัดความรู้สึก "ความชั่วร้ายที่จำเป็น" ที่สร้างขึ้นโดยรายการ "ปัญหา" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งตามกฎแล้วในตอนท้ายของ แต่ละหน่วยของโปรแกรมที่ครูนำเสนอให้นักเรียน

การใช้ปัญหาแบบดั้งเดิมลดลงเหลือเพียงการประยุกต์ใช้และจัดระบบความรู้ ดึงดูดความเกลียดชังและไม่สนใจนักเรียน ขัดขวางการพัฒนาทางปัญญาอย่างสมบูรณ์ การเตรียมคำจำกัดความ วิธีการ และการสาธิตที่มากเกินไปกลายเป็นกิจวัตรและกิจกรรมเชิงกลซึ่งมีการประเมินเฉพาะผลิตภัณฑ์ขั้นสุดท้ายเท่านั้น การไม่ปฏิบัติตามขั้นตอนการวิจัยและการสื่อสารแนวคิดเชิงตรรกะ - คณิตศาสตร์ไม่อนุญาตให้มีการสร้างแนวคิด ดังนั้น “ความรู้ทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นตัวแทนของนักเรียนในฐานะระบบของแนวคิดที่ช่วยให้เขาสามารถแก้ปัญหาต่างๆ ได้ แต่เป็นคำพูดที่เป็นสัญลักษณ์ เป็นนามธรรม และไม่อาจเข้าใจได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด”

ภารกิจที่ 2สถานการณ์ที่สองคือมีมุมและคุณต้องตรวจสอบว่าตรงหรือไม่

นี่คือมุมของเรา ตรวจสอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ได้ง่ายกว่ามาก ถ้าเขาไม่อยู่ล่ะ?

>>เรขาคณิต: สามเหลี่ยมอียิปต์ บทเรียนที่สมบูรณ์

ความรู้ทางคณิตศาสตร์มีวิวัฒนาการมาจากคำตอบมากมายต่อคำถามมากมายที่ถามตลอดประวัติศาสตร์เท่านั้น ความคิดสร้างสรรค์ การสำรวจสำมะโนประชากรเชิงวิพากษ์ ความอยากรู้อยากเห็น และความพึงพอใจเป็นเชื้อเพลิงที่ขับเคลื่อนกระบวนการค้นพบนี้ ตามความเห็นของพอล โครงการแก้ปัญหา

การใช้โครงร่างนี้อย่างเป็นระบบช่วยให้นักเรียนจัดระเบียบความคิดของเขา การเผชิญหน้ากับแนวคิดการแก้ปัญหาเดิมของเขากับวิธีแก้ปัญหาของเพื่อนร่วมงานหรือกลุ่มจะส่งเสริมการเรียนรู้ ดังนั้นจึงเน้นย้ำบทบาทของครูอีกครั้ง หลักฐานแรกสุดของความเป็นพื้นฐานของวิชาตรีโกณมิติเกิดขึ้นทั้งในอียิปต์และบาบิโลน จากการคำนวณความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขและระหว่างด้านของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

หัวข้อบทเรียน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

• ทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความใหม่และจำไว้ว่ามีบางคำที่ได้ศึกษาไปแล้ว
• เพิ่มพูนความรู้เรขาคณิตของคุณให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ศึกษาประวัติความเป็นมา
• เพื่อรวบรวมความรู้ทางทฤษฎีของนักเรียนเกี่ยวกับสามเหลี่ยมในกิจกรรมภาคปฏิบัติ
• แนะนำนักเรียนให้รู้จักสามเหลี่ยมอียิปต์และการใช้ในการก่อสร้าง
• เรียนรู้การนำคุณสมบัติของรูปทรงไปใช้ในการแก้ปัญหา
• พัฒนาการ – เพื่อพัฒนาความสนใจ ความอุตสาหะ ความอุตสาหะ การคิดเชิงตรรกะ การพูดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน
• การศึกษา - ผ่านบทเรียน ปลูกฝังทัศนคติที่เอาใจใส่ต่อกัน ปลูกฝังความสามารถในการฟังสหาย การช่วยเหลือซึ่งกันและกัน และความเป็นอิสระ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

• ทดสอบทักษะการแก้ปัญหาของนักเรียน

แผนการเรียน

1. การแนะนำ.
2. มันมีประโยชน์ที่จะจำ
3. โทกอน.

การแนะนำ

พวกเขารู้จักคณิตศาสตร์และเรขาคณิตในอียิปต์โบราณหรือไม่? พวกเขาไม่เพียงแต่รู้เท่านั้น แต่ยังใช้มันอย่างต่อเนื่องในการสร้างสรรค์ผลงานทางสถาปัตยกรรมชิ้นเอก หรือแม้แต่... ในช่วงงานประจำปีของทุ่งนาที่น้ำท่วมทำลายขอบเขตทั้งหมด มีบริการพิเศษของผู้สำรวจที่ฟื้นฟูขอบเขตของทุ่งนาอย่างรวดเร็วโดยใช้เทคนิคทางเรขาคณิตเมื่อน้ำลดลง

Achemic Papyrus เป็นเอกสารเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของอียิปต์ที่ครอบคลุมมากที่สุดที่ยังคงอยู่มาจนถึงทุกวันนี้ ซึ่งอยู่ในอำนาจของอาลักษณ์อาเมส ชาวบาบิโลนมีความสนใจในเรื่องดาราศาสตร์เป็นอย่างมาก ทั้งด้วยเหตุผลทางศาสนา ความเชื่อมโยงกับปฏิทินและฤดูกาลเพาะปลูก เป็นไปไม่ได้ที่จะศึกษาระยะของดวงจันทร์ จุดสำคัญ และฤดูกาลของปีโดยไม่ใช้รูปสามเหลี่ยมซึ่งเป็นระบบหน่วยวัดและมาตราส่วน

การศึกษานี้แบ่งออกเป็นสองส่วนเพิ่มเติม: ตรีโกณมิติระนาบและตรีโกณมิติทรงกลม การใช้ตรีโกณมิติในสาขาต่างๆ ของวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนเป็นข้อเท็จจริงที่เถียงไม่ได้ การรู้ความจริงนี้เป็นพื้นฐานของนักเรียนมัธยมปลาย และเป็นความรับผิดชอบของครูคณิตศาสตร์ในการสอนวิชานี้อย่างเต็มความสามารถ โดยสร้างความเชื่อมโยงที่จำเป็นกับการเลือกอาชีพในอนาคต ปัจจุบันตรีโกณมิติไม่ได้จำกัดอยู่เพียงการศึกษารูปสามเหลี่ยมเท่านั้น การนำไปประยุกต์ใช้ครอบคลุมถึงสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ เช่น "การวิเคราะห์" และสาขาอื่นๆ ของความพยายามของมนุษย์ เช่น ไฟฟ้า เครื่องกล เสียง ดนตรี ภูมิประเทศ วิศวกรรมโยธา ฯลฯ

ยังไม่ทราบว่าเราจะเรียกรุ่นน้องของเราว่าอะไรซึ่งเติบโตขึ้นมาบนคอมพิวเตอร์ที่ทำให้เราไม่สามารถจำตารางสูตรคูณและไม่ต้องคำนวณทางคณิตศาสตร์เบื้องต้นหรือสร้างทางเรขาคณิตในหัวของเรา อาจเป็นหุ่นยนต์มนุษย์หรือไซบอร์ก ชาวกรีกเรียกผู้ที่ไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทง่ายๆ โดยไม่ได้รับความช่วยเหลือจากภายนอก ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่ทฤษฎีบทซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์ประยุกต์รวมถึงการทำเครื่องหมายสนามหรือการสร้างปิรามิดถูกชาวกรีกโบราณเรียกกันว่า "สะพานลา" และพวกเขารู้จักคณิตศาสตร์อียิปต์เป็นอย่างดี

อย่างไรก็ตาม มีข้อสังเกตว่าปัญหาใหญ่ที่สุดประการหนึ่งที่นักเรียนระดับมัธยมศึกษาต้องเผชิญตามที่กล่าวไว้ในวิชาตรีโกณมิติเกี่ยวข้องกับการท่องจำสูตร อย่างไรก็ตาม การจำไม่ได้จะต้องใช้เวลาในการอนุมานระหว่างการทดสอบ ซึ่งจะทำให้สถานการณ์เป็นไปไม่ได้

ที่นี่เราจะนำเสนอความสัมพันธ์พื้นฐานและทฤษฎีบทบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตรีโกณมิติ โปรดจำไว้ว่าสาเหตุและแทนเจนต์ของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ตามลำดับนั้นใช้ได้กับสามเหลี่ยมที่ค้นพบก่อนหน้านี้ และไม่จำเป็นต้องตกแต่งหรือยึดถือตามกฎ ดังนั้น แนวคิดจึงถูกประเมินมากกว่าการท่องจำสูตร

มีประโยชน์ในการจำ

สามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมเส้นตรง เป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยส่วนตรงสามส่วน (ด้านข้างของสามเหลี่ยม (ในเรขาคณิต)) แต่ละส่วนมีปลายด้านหนึ่งเหมือนกันเป็นคู่ (จุดยอดของสามเหลี่ยม (ในเรขาคณิต)) สามเหลี่ยมที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากันเรียกว่า ด้านเท่ากันหมด, หรือ ถูกต้อง, สามเหลี่ยมที่มีสองด้านเท่ากัน - หน้าจั่ว- สามเหลี่ยมนั้นเรียกว่า มุมแหลมถ้าทุกมุมของมันคม สี่เหลี่ยม- ถ้ามุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง มุมป้าน- ถ้ามุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมป้าน สามเหลี่ยม (ในเรขาคณิต) ไม่สามารถมีมุมฉากหรือมุมป้านได้มากกว่าหนึ่งมุม เนื่องจากผลรวมของมุมทั้งสามมุมจะเท่ากับมุมฉากสองมุม (180° หรือในหน่วยเรเดียน, p) พื้นที่ของสามเหลี่ยม (ในเรขาคณิต) เท่ากับ ah/2 โดยที่ a คือด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมซึ่งถือเป็นฐาน และ h คือความสูงที่สอดคล้องกัน ด้านของสามเหลี่ยมมีเงื่อนไขดังนี้ ความยาวของด้านแต่ละด้านน้อยกว่าผลรวมและมากกว่าความแตกต่างของความยาวของด้านอีกสองด้าน

วิวัฒนาการที่สำคัญของแนวคิดตรีโกณมิติเกิดขึ้นหลังจากการใช้วงจรตรีโกณมิติ ซึ่งเดิมเรียกว่าวงกลมตรีโกณมิติ สิ่งเหล่านี้คือ "แกนพิกัดที่มีหน่วยวัดรัศมีของวงกลมเชิงแนวซึ่งตรงกับจุดศูนย์กลางพิกัดของแกนพิกัด"

ออยเลอร์เกิดในบาเซิล เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่เก่งที่สุดและมีประสิทธิผลมากที่สุดในประวัติศาสตร์ และด้วยผลงานที่กล่าวมาข้างต้น เขาจึงตกลงที่จะใช้ลำแสงเดียวสำหรับวงจรตรีโกณมิติ ดังนั้น "เมื่อวัฏจักรถูกกำหนดไว้ การวัดองศาแต่ละครั้งจะสัมพันธ์กับจุดหนึ่งในวัฏจักร"

สามเหลี่ยม- รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งมี 3 จุดยอด (มุม) และ 3 ด้าน ส่วนหนึ่งของระนาบล้อมรอบด้วยจุดสามจุดและสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่

ด้วยคำจำกัดความนี้ เราสามารถสร้างแนวคิดเดียวกันสำหรับไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ได้ดังนี้ ลองดูที่รูปด้านข้างที่แสดงวงกลมตรีโกณมิติ นั่นคือ: โคไซน์ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับขาที่อยู่ติดกันหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นอยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก

โปรดจำไว้ว่ารัศมีของวงกลมตรีโกณมิติคือ 1 สรุปได้ว่าไซน์และโคไซน์ของส่วนโค้งเป็นจำนวนจริงซึ่งแปรผันในช่วงเวลาจริงตั้งแต่ -1 ถึง สเกลที่ใช้บนแกนแทนเจนต์จะเหมือนกับแกนแอบซิสซาและแกนกำหนด

• จุดสามจุดในอวกาศที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันนั้นสอดคล้องกับระนาบเดียวเท่านั้น
• รูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ - กระบวนการนี้เรียกว่า สามเหลี่ยม.
• มีส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับการศึกษากฎของรูปสามเหลี่ยมโดยเฉพาะ - ตรีโกณมิติ.

ประเภทของรูปสามเหลี่ยม

ตามประเภทของมุม

พิจารณาการนำเสนอกฎแห่งเต้านมดังต่อไปนี้ สัดส่วนที่เกี่ยวข้องกับกฎหมายของต่อมน้ำนมที่ระบุไว้ข้างต้นถูกกำหนดโดยคำจำกัดความต่อไปนี้ จากสมการต่อไปนี้สำหรับกฎโคไซน์ ตามกฎของโคไซน์ ตามที่ระบุข้างต้น สามเหลี่ยมคือหน่วยวัดกำลังสองของด้านหนึ่ง เท่ากับผลรวมของกำลังสองของหน่วยวัดของอีกสองด้านลบด้วยสองเท่าของผลคูณของหน่วยวัดของด้านเหล่านี้ด้วยโคไซน์ของ มุมที่พวกมันก่อตัว

จุดประสงค์ของบทนี้คือเพื่อพัฒนาหลักสูตรสำหรับเนื้อหาเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติโดยอาศัยปัญหา บริบท และการซักถามทางประวัติศาสตร์ เพื่อให้สามารถเรียนรู้ในส่วนของนักเรียนได้ เน้นย้ำว่าเป็นที่เข้าใจว่าแผนการสอนเป็นข้อกำหนดเบื้องต้นในการชี้แนะกระบวนการศึกษาผ่านการสอนเนื้อหาใดๆ โดยเน้นดังที่เราจะเห็นด้านล่าง เนื้อหา วัตถุประสงค์ การพัฒนาแผน วัสดุที่ ควรจะเป็นอย่างไร และจะประเมินเนื้อหาที่ต้องการบริหารจัดการอย่างไร

เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180° มุมอย่างน้อยสองมุมในรูปสามเหลี่ยมจึงต้องมีมุมแหลม (น้อยกว่า 90°) สามเหลี่ยมประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

• ถ้ามุมทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมเป็นแบบเฉียบพลัน สามเหลี่ยมนั้นจะเรียกว่ามุมแหลม
• ถ้ามุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (มากกว่า 90°) สามเหลี่ยมนั้นจะเรียกว่ามุมป้าน
• ถ้ามุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเป็นมุมฉาก (เท่ากับ 90°) รูปสามเหลี่ยมนั้นจะเรียกว่ามุมฉาก ด้านทั้งสองที่ประกอบเป็นมุมฉากเรียกว่าขา และด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตามจำนวนด้านที่เท่ากัน

จากโครงการเฉพาะเรื่อง ตรีโกณมิติเกิดขึ้น: ปัญหาและบริบท กำหนดบริบทตรีโกณมิติของเนื้อหาโดยใช้แนวทางทางประวัติศาสตร์และสำรวจพื้นที่ทางกายภาพและรูปร่างที่มีอยู่ในสิ่งแวดล้อม เปิดโอกาสให้นักเรียนได้เรียนรู้พื้นฐานวิชาตรีโกณมิติ

ตระหนักถึงพื้นที่ที่มันแพร่กระจายและผลกระทบที่มันเกิดขึ้น จัดเตรียมเทคนิคให้นักเรียนเอื้อต่อการทำความเข้าใจ การตีความ และการแก้ปัญหา เนื้อหาตรีโกณมิติจะถูกนำไปใช้ตามวัสดุที่ออกแบบมาเพื่อติดตามเนื้อหา ซึ่งจะทำตามขั้นตอนต่อไปนี้

• สามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากันคือสามเหลี่ยมที่ด้านทั้งสามด้านยาวต่างกันแบบคู่กัน
• สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านเท่ากัน ด้านเหล่านี้เรียกว่าด้านข้าง ด้านที่สามเรียกว่าฐาน ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมฐานจะเท่ากัน ความสูง ค่ามัธยฐาน และเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่อยู่ต่ำกว่าฐานจะเท่ากัน
• สามเหลี่ยมด้านเท่าคือสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามด้านเท่ากัน ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มุมทุกมุมจะเท่ากับ 60° และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่อยู่ภายในและวงกลมที่ถูกกำหนดไว้จะตรงกัน

ในส่วนของการวิจัยสามารถทำได้เป็นกลุ่มและแบ่งตามหัวข้อ การขัดเกลาทางสังคมสามารถทำได้ด้วยการนำเสนอที่คู่ควรกับความคิดสร้างสรรค์และความสนใจของแต่ละกลุ่ม หลังจากการนำเสนอ ครูสามารถจัดตำแหน่งโดยจัดลำดับความสำคัญของเนื้อหา

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาสามเหลี่ยม โดยเฉพาะสามเหลี่ยมในระนาบ โดยที่มุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมีขนาด 90 องศา นอกจากนี้ยังศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมโดยเฉพาะ ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการคำนวณตามฟังก์ชันเหล่านั้น วิธีตรีโกณมิติได้ขยายไปสู่สาขาอื่นๆ ของเรขาคณิต เช่น การศึกษาทรงกลมโดยใช้ตรีโกณมิติทรงกลม

– สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีอัตราส่วนภาพ 3:4:5 ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ (3+4+5=12) ถูกนำมาใช้ตั้งแต่สมัยโบราณเป็นหน่วยของการคูณเมื่อสร้างมุมฉากโดยใช้เชือกที่มีปมที่ 3/12 และ 7/12 ของความยาว รูปสามเหลี่ยมอียิปต์ถูกนำมาใช้ในสถาปัตยกรรมของยุคกลางเพื่อสร้างโครงร่างตามสัดส่วน

ไม่ทราบต้นกำเนิดของตรีโกณมิติ สามเหลี่ยมคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีสามด้านและสามมุม หากต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยม เพียงเชื่อมต่อจุดทั้งสามจุดเข้าด้วยกันหากจุดเหล่านั้นไม่ตรงกัน ด้านล่างเป็นรูปสามเหลี่ยม รูรับแสงที่ได้รับจากเส้นสองเส้นที่เชื่อมต่อกันด้วยจุดเดียวกันเรียกว่ามุม ซึ่งมีเรเดียนเป็นระบบการวัดสากล และองศาก็มีประโยชน์มากเช่นกัน ในรูปสามเหลี่ยม ผลรวมของมุมภายในคือ 180°

มุมขวาจะถูกระบุด้วยสัญลักษณ์ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามของมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ผู้เขียนบางคนเชื่อว่าพีทาโกรัสเป็นลูกศิษย์ของเทลส์ อีฟ เมื่อเขากล่าวว่า "เขาอายุน้อยกว่านี้ห้าสิบปีและอาศัยอยู่ใกล้เมืองมิเลทัส ซึ่งเป็นที่ที่ทาเลสอาศัยอยู่" บอยเยอร์กล่าวว่า "แม้ว่าบางข้อความจะอ้างว่าพีทาโกรัสเป็นนักเรียนของนิทาน แต่สิ่งนี้แทบจะไม่ให้ความแตกต่างระหว่างอายุของเขาถึงครึ่งศตวรรษเลย"

แล้วจะเริ่มต้นที่ไหน? เป็นเพราะเหตุนี้ 3 + 5 = 8 และเลข 4 ก็คือครึ่งหนึ่งของเลข 8 หยุด! ตัวเลข 3, 5, 8... พวกมันคล้ายกับสิ่งที่คุ้นเคยมากใช่ไหม? แน่นอนว่าพวกมันเกี่ยวข้องโดยตรงกับอัตราส่วนทองคำและรวมอยู่ในสิ่งที่เรียกว่า "ซีรีย์ทองคำ": 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... ในชุดนี้ แต่ละเทอมต่อมาจะเท่ากับผลรวมของสองเทอมก่อนหน้า: 1 + 1= 2. 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 และอื่น ๆ ปรากฎว่าสามเหลี่ยมอียิปต์มีความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ? และชาวอียิปต์โบราณรู้หรือไม่ว่าพวกเขากำลังเผชิญกับอะไร? แต่อย่ารีบด่วนสรุป จำเป็นต้องค้นหารายละเอียดเพิ่มเติม

ตามที่บางคนกล่าวไว้ สำนวน "อัตราส่วนทองคำ" ถูกนำมาใช้ครั้งแรกในศตวรรษที่ 15 เลโอนาร์โด ดา วินชี - แต่ "ซีรีส์ทองคำ" นั้นเป็นที่รู้จักในปี 1202 เมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีตีพิมพ์ครั้งแรกใน "Book of Counting" ของเขา เลโอนาร์โดแห่งปิซา - ชื่อเล่นฟีโบนัชชี อย่างไรก็ตาม เกือบสองพันปีก่อนหน้าพวกเขา อัตราส่วนทองคำเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว พีทาโกรัสและนักเรียนของเขา จริงอยู่ที่มันถูกเรียกแตกต่างออกไปว่า "การหารในอัตราส่วนเฉลี่ยและสุดขีด" แต่สามเหลี่ยมอียิปต์ก็มีด้วย “อัตราส่วนทองคำ” เป็นที่รู้จักในสมัยที่ห่างไกลจากการสร้างปิรามิดในอียิปต์เมื่อแอตแลนติสเจริญรุ่งเรือง

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมอียิปต์ จำเป็นต้องใช้ส่วนของเส้นตรงที่ทราบความยาว A-A1 (รูปที่) มันจะทำหน้าที่เป็นมาตราส่วนหรือหน่วยวัด และช่วยให้คุณกำหนดความยาวของทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ A-A1 สามส่วนมีความยาวเท่ากันกับด้านที่เล็กที่สุดของสามเหลี่ยม BC ซึ่งมีอัตราส่วนเท่ากับ 3 และ A-A1 ทั้งสี่ด้านมีความยาวเท่ากับด้านที่สอง ซึ่งมีอัตราส่วนแสดงด้วยเลข 4 และสุดท้าย ความยาวของด้านที่สามเท่ากับห้าส่วน A -A1 อย่างที่พวกเขาพูดกันมันเป็นเรื่องของเทคนิค บนกระดาษ เราจะวาดส่วน BC ซึ่งเป็นด้านที่เล็กที่สุดของรูปสามเหลี่ยม จากนั้น จากจุด B ที่มีรัศมีเท่ากับส่วนที่มีอัตราส่วน 5 เราจะวาดส่วนโค้งวงกลมด้วยเข็มทิศ และจากจุด C ซึ่งเป็นส่วนโค้งของวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับความยาวของส่วนที่มีอัตราส่วน 4 ถ้า ตอนนี้เราเชื่อมต่อจุดตัดของส่วนโค้งด้วยเส้นกับจุด B และ C เราได้อัตราส่วนภาพสามเหลี่ยมมุมฉาก 3:4:5

Q.E.D.

รูปสามเหลี่ยมอียิปต์ถูกใช้ในสถาปัตยกรรมยุคกลางเพื่อสร้างโครงร่างตามสัดส่วน และสร้างมุมฉากโดยนักสำรวจและสถาปนิก สามเหลี่ยมอียิปต์เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด (และเป็นที่รู้จักครั้งแรก) ของสามเหลี่ยมเฮโรเนียน - สามเหลี่ยมที่มีด้านและพื้นที่เป็นจำนวนเต็ม

สามเหลี่ยมอียิปต์ - ความลึกลับของสมัยโบราณ

พวกคุณแต่ละคนรู้ดีว่าพีทาโกรัสเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่มีคุณูปการอันล้ำค่าในการพัฒนาพีชคณิตและเรขาคณิต แต่ทฤษฎีบทของเขากลับมีชื่อเสียงมากยิ่งขึ้น

และพีทาโกรัสได้ค้นพบทฤษฎีบทสามเหลี่ยมของอียิปต์ในเวลาที่เขาบังเอิญไปเยือนอียิปต์ ขณะที่อยู่ในประเทศนี้ นักวิทยาศาสตร์รู้สึกทึ่งกับความงดงามและความงดงามของปิรามิด บางทีนี่อาจเป็นแรงผลักดันที่ทำให้เขาเกิดความคิดที่ว่ารูปแบบเฉพาะบางอย่างมองเห็นได้ชัดเจนในรูปทรงของปิรามิด

ประวัติความเป็นมาของการค้นพบ

รูปสามเหลี่ยมของอียิปต์ได้รับชื่อมาจากชาวเฮลเลเนสและพีทาโกรัสซึ่งเป็นแขกประจำในอียิปต์ และสิ่งนี้เกิดขึ้นประมาณศตวรรษที่ 7-5 ก่อนคริสต์ศักราช จ.

ปิรามิด Cheops ที่มีชื่อเสียงนั้นแท้จริงแล้วเป็นรูปหลายเหลี่ยมสี่เหลี่ยม แต่ปิรามิดแห่ง Khafre ถือเป็นสามเหลี่ยมศักดิ์สิทธิ์ของอียิปต์

ชาวอียิปต์เปรียบเทียบธรรมชาติของสามเหลี่ยมอียิปต์ดังที่พลูทาร์กเขียนไว้กับเตาไฟของครอบครัว ในการตีความของพวกเขา เราได้ยินว่าในรูปทรงเรขาคณิตนี้ ขาแนวตั้งของมันเป็นสัญลักษณ์ของผู้ชาย ฐานของร่างที่เกี่ยวข้องกับหลักการของผู้หญิง และด้านตรงข้ามมุมฉากของปิรามิดถูกกำหนดให้บทบาทของเด็ก

และจากหัวข้อที่คุณได้ศึกษาไปแล้ว คุณทราบดีว่าอัตราส่วนภาพของรูปนี้คือ 3: 4: 5 และด้วยเหตุนี้ สิ่งนี้จึงนำเราไปสู่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เนื่องจาก 32 + 42 = 52

และหากเราพิจารณาว่าสามเหลี่ยมอียิปต์อยู่ที่ฐานของปิรามิดคาเฟร เราก็สามารถสรุปได้ว่าผู้คนในโลกยุคโบราณรู้จักทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงนี้มานานก่อนที่มันจะถูกสร้างขึ้นโดยพีทาโกรัส

ลักษณะหลักของรูปสามเหลี่ยมอียิปต์น่าจะเป็นอัตราส่วนที่แปลกประหลาด ซึ่งเป็นรูปแรกและง่ายที่สุดของรูปสามเหลี่ยมเฮโรเนียน เนื่องจากทั้งสองด้านและพื้นที่เป็นจำนวนเต็ม

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมอียิปต์

ตอนนี้เรามาดูคุณสมบัติที่โดดเด่นของสามเหลี่ยมอียิปต์กันดีกว่า:

ประการแรก ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว ด้านและพื้นที่ทั้งหมดประกอบด้วยจำนวนเต็ม

ประการที่สอง ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรารู้ว่าผลรวมของกำลังสองของขาเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ประการที่สามด้วยความช่วยเหลือของสามเหลี่ยมดังกล่าวคุณสามารถวัดมุมขวาในอวกาศได้ซึ่งสะดวกและจำเป็นมากเมื่อสร้างโครงสร้าง และความสะดวกคือเรารู้ว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นมุมฉาก

ประการที่สี่ ดังที่เราทราบกันดีอยู่แล้ว แม้ว่าจะไม่มีเครื่องมือวัดที่เหมาะสม แต่สามเหลี่ยมนี้ก็สามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยใช้เชือกธรรมดา

การประยุกต์รูปสามเหลี่ยมอียิปต์

ในศตวรรษโบราณ รูปสามเหลี่ยมของอียิปต์ได้รับความนิยมอย่างมากในด้านสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง จำเป็นอย่างยิ่งหากใช้เชือกหรือสายไฟเพื่อสร้างมุมฉาก

ท้ายที่สุดเป็นที่ทราบกันดีว่าการวางมุมฉากในอวกาศนั้นเป็นงานที่ค่อนข้างยากดังนั้นชาวอียิปต์ที่กล้าได้กล้าเสียจึงคิดค้นวิธีที่น่าสนใจในการสร้างมุมฉาก เพื่อจุดประสงค์เหล่านี้พวกเขาใช้เชือกซึ่งทำเครื่องหมายสิบสองส่วนเท่า ๆ กันด้วยปมจากนั้นพวกเขาก็พับสามเหลี่ยมจากเชือกนี้โดยมีด้านที่เท่ากับ 3, 4 และ 5 ส่วนและในที่สุดก็ไม่มีปัญหาใด ๆ , พวกเขามีสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้วยเครื่องมืออันซับซ้อนนี้ ชาวอียิปต์จึงวัดพื้นที่สำหรับงานเกษตรกรรม สร้างบ้าน และปิรามิดได้อย่างแม่นยำ

นี่คือวิธีที่การไปเยือนอียิปต์และศึกษาลักษณะของปิรามิดอียิปต์ทำให้พีทาโกรัสค้นพบทฤษฎีบทของเขาซึ่งรวมอยู่ใน Guinness Book of Records เป็นทฤษฎีบทที่มีหลักฐานมากที่สุด

ล้อ Reuleaux ทรงสามเหลี่ยม

ล้อ- วงกลม (ตามกฎ) หมุนอย่างอิสระหรือยึดไว้บนดิสก์แกน ช่วยให้ร่างกายที่วางอยู่บนนั้นสามารถหมุนได้แทนที่จะเลื่อน ล้อถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในกลไกและเครื่องมือต่างๆ ใช้กันอย่างแพร่หลายในการขนส่งสินค้า

ล้อช่วยลดต้นทุนด้านพลังงานในการเคลื่อนย้ายสิ่งของบนพื้นผิวที่ค่อนข้างเรียบได้อย่างมาก เมื่อใช้ล้อ จะมีการทำงานต้านแรงเสียดทานจากการหมุน ซึ่งในสภาพถนนเทียมจะน้อยกว่าแรงเสียดทานจากการเลื่อนอย่างมาก ล้อสามารถแข็งได้ (เช่น ล้อคู่ของตู้รถไฟ) และประกอบด้วยชิ้นส่วนจำนวนมาก เช่น ล้อรถยนต์ประกอบด้วยดิสก์ ขอบล้อ ยาง บางครั้งเป็นท่อ สลักเกลียวยึด เป็นต้น การสึกหรอของยางรถยนต์เป็นปัญหาที่เกือบจะแก้ไขได้ (หากตั้งค่ามุมล้ออย่างถูกต้อง) ยางทันสมัย เดินทางเกิน 100,000 กม- ปัญหาที่แก้ไขไม่ได้คือการสึกหรอของยางบนล้อเครื่องบิน เมื่อล้อที่อยู่นิ่งสัมผัสกับพื้นผิวคอนกรีตของทางวิ่งด้วยความเร็วหลายร้อยกิโลเมตรต่อชั่วโมง จะทำให้ยางสึกหรออย่างมหาศาล

• ในเดือนกรกฎาคม พ.ศ. 2544 ได้รับสิทธิบัตรนวัตกรรมสำหรับล้อโดยมีข้อความต่อไปนี้: "อุปกรณ์ทรงกลมที่ใช้สำหรับการขนส่งสินค้า" สิทธิบัตรนี้ออกให้กับ John Kao ทนายความจากเมลเบิร์น ที่ต้องการแสดงให้เห็นถึงความไม่สมบูรณ์ของกฎหมายสิทธิบัตรของออสเตรเลีย
• ในปี 2009 บริษัท Michelin ของฝรั่งเศสได้พัฒนาล้อรถยนต์ที่ผลิตจำนวนมากซึ่งมีชื่อว่า Active Wheel โดยมีมอเตอร์ไฟฟ้าในตัวที่ขับเคลื่อนล้อ สปริง โช้คอัพ และเบรก ดังนั้นล้อเหล่านี้จึงทำให้ระบบยานพาหนะต่อไปนี้ไม่จำเป็น: เครื่องยนต์ คลัตช์ กระปุกเกียร์ เฟืองท้าย ระบบขับเคลื่อนและเพลาขับ
• ในปี 1959 American A. Sfredd ได้รับสิทธิบัตรสำหรับล้อสี่เหลี่ยม มันเดินผ่านหิมะ ทราย โคลน และเอาชนะหลุมต่างๆ ได้อย่างง่ายดาย ตรงกันข้ามกับความกลัว รถที่ล้อแบบนี้ไม่ได้ “เดินกะโผลกกะเผลก” และทำความเร็วได้ถึง 60 กม./ชม.

ฟรานซ์ เรโล(Franz Reuleaux, 30 กันยายน พ.ศ. 2372 - 20 สิงหาคม พ.ศ. 2448) - วิศวกรเครื่องกลชาวเยอรมัน อาจารย์ที่ Berlin Royal Academy of Technology ซึ่งต่อมาได้เป็นประธาน ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2418 เพื่อพัฒนาและร่างหลักการพื้นฐานของโครงสร้างและจลนศาสตร์ของกลไก เขาจัดการกับปัญหาความสวยงามของวัตถุทางเทคนิค การออกแบบทางอุตสาหกรรม และในการออกแบบของเขาให้ความสำคัญอย่างยิ่งกับรูปแบบภายนอกของเครื่องจักร Reuleaux มักถูกเรียกว่าบิดาแห่งจลนศาสตร์

คำถาม

1. สามเหลี่ยมคืออะไร?
2. ประเภทของสามเหลี่ยม?
3. สามเหลี่ยมอียิปต์มีความพิเศษอย่างไร?
4. สามเหลี่ยมอียิปต์ใช้ที่ไหน? > คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8