วิธีพิกัดในบทเรียนอวกาศ วิธีพิกัดในอวกาศ มุมระหว่างเส้น a และ b

ยาลดไข้สำหรับเด็กกำหนดโดยกุมารแพทย์ แต่มีเหตุฉุกเฉินคือมีไข้เมื่อเด็กต้องได้รับยาทันที จากนั้นผู้ปกครองจะรับผิดชอบและใช้ยาลดไข้ อนุญาตให้มอบอะไรให้กับทารกได้บ้าง? คุณจะลดอุณหภูมิในเด็กโตได้อย่างไร? ยาอะไรที่ปลอดภัยที่สุด?

วิธีการพิกัดเป็นวิธีสากลที่มีประสิทธิภาพมากในการค้นหามุมหรือระยะห่างระหว่างวัตถุสามมิติในอวกาศ หากครูสอนคณิตศาสตร์ของคุณมีคุณสมบัติสูง เขาควรรู้เรื่องนี้ ไม่เช่นนั้น ฉันแนะนำให้เปลี่ยนครูสอนพิเศษในส่วน "C" การเตรียมตัวของฉันสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ C1-C6 มักจะมีการวิเคราะห์อัลกอริธึมและสูตรพื้นฐานที่อธิบายไว้ด้านล่าง

มุมระหว่างเส้น a และ b

มุมระหว่างเส้นในอวกาศคือมุมระหว่างเส้นตัดกันใดๆ ที่ขนานกับเส้นเหล่านั้น มุมนี้เท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ (หรือเสริมให้เท่ากับ 180 องศา)

ครูสอนคณิตศาสตร์ใช้อัลกอริทึมอะไรในการหามุม

1) เลือกเวกเตอร์ใดๆ และมีทิศทางเป็นเส้นตรง a และ b (ขนานกัน)
2) เรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์โดยใช้พิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด (พิกัดของจุดเริ่มต้นจะต้องลบออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์)
3) แทนที่พิกัดที่พบลงในสูตร:
- ในการหามุม คุณต้องหาโคไซน์ส่วนโค้งของผลลัพธ์

ปกติกับเครื่องบิน

เส้นตั้งฉากของระนาบคือเวกเตอร์ใดๆ ที่ตั้งฉากกับระนาบนั้น
จะหาปกติได้อย่างไร?ในการค้นหาพิกัดของเส้นปกติ ก็เพียงพอที่จะทราบพิกัดของจุดสามจุด M, N และ K ที่อยู่ในระนาบที่กำหนด เมื่อใช้พิกัดเหล่านี้ เราจะค้นหาพิกัดของเวกเตอร์และกำหนดให้เป็นไปตามเงื่อนไขและต้องเป็นไปตามนั้น ด้วยการทำให้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เท่ากับศูนย์ เราจะสร้างระบบสมการที่มีตัวแปร 3 ตัว ซึ่งเราสามารถหาพิกัดของเส้นปกติได้

บันทึกของครูสอนคณิตศาสตร์ : ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องแก้ปัญหาระบบให้สมบูรณ์ เพราะเพียงแค่เลือกอย่างน้อยหนึ่งรายการตามปกติก็เพียงพอแล้ว ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถแทนที่ตัวเลขใดๆ (เช่น หนึ่ง) แทนพิกัดที่ไม่รู้จักใดๆ และแก้ระบบสมการสองสมการด้วยอีกสองตัวที่ไม่ทราบที่เหลือ หากไม่มีวิธีแก้ปัญหาก็หมายความว่าในกลุ่มปกติไม่มีใครมีค่าเท่ากับหนึ่งในตัวแปรที่เลือก จากนั้นแทนที่ตัวแปรหนึ่งด้วยตัวแปรอื่น (พิกัดอื่น) และแก้ระบบใหม่ หากคุณพลาดอีกครั้ง ปกติของคุณจะมีหนึ่งพิกัดที่พิกัดสุดท้าย และตัวมันเองจะกลายเป็นขนานกับระนาบพิกัดบางอัน (ในกรณีนี้ หาได้ง่ายโดยไม่มีระบบ)

สมมติว่าเราได้รับเส้นตรงและระนาบที่มีพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางและเส้นปกติ
มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ปล่อยให้และเป็นสองบรรทัดฐานใดๆ บนระนาบเหล่านี้ จากนั้นโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบจะเท่ากับโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างบรรทัดฐาน:

สมการของเครื่องบินในอวกาศ

คะแนนที่พึงพอใจกับความเท่าเทียมกันจากระนาบที่มีเส้นปกติ ค่าสัมประสิทธิ์มีหน้าที่รับผิดชอบต่อปริมาณการเบี่ยงเบน (การเลื่อนขนาน) ระหว่างระนาบสองระนาบโดยมีค่าเท่ากันโดยให้ค่าปกติ ในการเขียนสมการของระนาบ คุณต้องหาเส้นปกติ (ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น) ก่อน จากนั้นจึงแทนที่พิกัดของจุดใดๆ บนระนาบพร้อมกับพิกัดของเส้นปกติที่พบลงในสมการแล้วหาค่าสัมประสิทธิ์

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในอวกาศ พิกัดเวกเตอร์

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

หากลากเส้นตั้งฉากสามคู่ผ่านจุดในอวกาศ จะมีการเลือกทิศทางในแต่ละเส้นและเลือกหน่วยการวัดสำหรับส่วนต่างๆ จากนั้นพวกเขาบอกว่ามีการระบุระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในอวกาศ

เส้นตรงที่มีทิศทางที่เลือกไว้เรียกว่าแกนพิกัด และจุดร่วมคือจุดกำเนิดของพิกัด โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร O แกนพิกัดถูกกำหนดดังนี้: Ox, Oy, O z - และมีชื่อ: แกน abscissa, แกนพิกัด, แกนประยุกต์

ระบบพิกัดทั้งหมดแสดงแทน Oxy z ระนาบที่ผ่านแกนพิกัด Ox และ Oy, Oy และ O z, O z และ Ox ตามลำดับเรียกว่าระนาบพิกัดและถูกกำหนดให้เป็น Oxy, Oy z, O z x

จุด O แบ่งแกนพิกัดแต่ละแกนออกเป็นสองรังสี รังสีที่มีทิศทางตรงกับทิศทางของแกนเรียกว่ากึ่งแกนบวก และอีกรังสีหนึ่งเรียกว่ากึ่งแกนลบ

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม แต่ละจุด M ในอวกาศจะสัมพันธ์กับตัวเลขสามตัว ซึ่งเรียกว่าพิกัดของมัน

รูปแสดงหกจุด A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , ฉ (0; 0; -3)

พิกัดเวกเตอร์

เวกเตอร์ใดๆ สามารถขยายเป็นเวกเตอร์พิกัดได้ กล่าวคือ แสดงในรูปแบบที่สัมประสิทธิ์การขยายตัว x, y, z ถูกกำหนดด้วยวิธีเฉพาะ

ค่าสัมประสิทธิ์ x, y และ z ในการขยายตัวของเวกเตอร์ไปเป็นเวกเตอร์พิกัดเรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์ในระบบพิกัดที่กำหนด

ลองพิจารณากฎที่อนุญาตให้เราใช้พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้เพื่อค้นหาพิกัดของผลรวมและผลต่างของพวกมัน รวมถึงพิกัดของผลคูณของเวกเตอร์ที่ระบุด้วยตัวเลขที่กำหนด

10. แต่ละพิกัดของผลรวมของเวกเตอร์สองตัวขึ้นไปจะเท่ากับผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์เหล่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า a (x 1, y 1, z 1) และ b (x 2, y 2, z 2) ได้รับเวกเตอร์ แล้วเวกเตอร์ a + b จะมีพิกัด (x 1 + x 2, y 1 + ปี 2 , z 1 + z 2 )

20. แต่ละพิกัดของความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากับผลต่างของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์เหล่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า a (x 1, y 1, z 1) และ b (x 2 y 2; z 2) ได้รับเวกเตอร์ แล้วเวกเตอร์ a - b จะมีพิกัด (x 1 - x 2, y 1 - y 2, ซี 1 - ซี 2 ).

สามสิบ แต่ละพิกัดของผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์และตัวเลขจะเท่ากับผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์และตัวเลขนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า a (x; y; x) เป็นเวกเตอร์ที่กำหนด α คือตัวเลขที่กำหนด แล้วเวกเตอร์ α a จะมีพิกัด (αх; αу; α z)

ในหัวข้อ: การพัฒนาระเบียบวิธี การนำเสนอ และบันทึกย่อ

เอกสารประกอบการสอน "ชุดบันทึกสำหรับนักเรียน ในหัวข้อ "วิธีพิกัดในอวกาศ" สำหรับดำเนินบทเรียนในรูปแบบบรรยาย เรขาคณิต เกรด 10-11....

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อทดสอบความรู้ทักษะและความสามารถของนักเรียนในหัวข้อ “การใช้วิธีพิกัดในอวกาศเพื่อแก้งานการสอบ C2 Unified State” ผลการศึกษาที่วางแผนไว้: นักเรียนสาธิต: ...

หากต้องการใช้วิธีการพิกัด คุณต้องรู้สูตรให้ดี มีสามคน:

เมื่อดูเผินๆ มันดูคุกคาม แต่เมื่อฝึกฝนเพียงเล็กน้อย ทุกอย่างก็จะออกมาดี

งาน. ค้นหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ a = (4; 3; 0) และ b = (0; 12; 5)

สารละลาย. เนื่องจากเราได้รับพิกัดของเวกเตอร์ เราจึงแทนที่พวกมันลงในสูตรแรก:

งาน. เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุด M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) และ K = (2; 1; 0) หากรู้ว่าไม่ผ่าน ต้นกำเนิด

สารละลาย. สมการทั่วไปของระนาบ: Ax + By + Cz + D = 0 แต่เนื่องจากระนาบที่ต้องการไม่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด - จุด (0; 0; 0) - จากนั้นเราจึงใส่ D = 1 เนื่องจากสิ่งนี้ ระนาบผ่านจุด M, N และ K จากนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้ควรเปลี่ยนสมการให้เป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ลองแทนพิกัดของจุด M = (2; 0; 1) แทน x, y และ z เรามี:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

ในทำนองเดียวกัน สำหรับจุด N = (0; 1; 1) และ K = (2; 1; 0) เราได้สมการต่อไปนี้:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

เรามีสมการสามอันและไม่ทราบสามอัน มาสร้างและแก้ระบบสมการกัน:

เราพบว่าสมการของระนาบมีรูปแบบ: − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0

งาน. ระนาบได้มาจากสมการ 7x − 2y + 4z + 1 = 0 จงหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบนี้

สารละลาย. เมื่อใช้สูตรที่สาม เราจะได้ n = (7; − 2; 4) - เท่านั้นเอง!

การคำนวณพิกัดเวกเตอร์

แต่จะเกิดอะไรขึ้นหากไม่มีเวกเตอร์ในปัญหา มีเพียงจุดที่วางอยู่บนเส้นตรง และคุณต้องคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงเหล่านี้ ง่ายมาก: การทราบพิกัดของจุด - จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ - คุณสามารถคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ได้

ในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ คุณต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุด

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้ดีพอๆ กันทั้งบนเครื่องบินและในอวกาศ นิพจน์ "พิกัดลบ" หมายความว่าพิกัด x ของจุดอื่นถูกลบออกจากพิกัด x ของจุดหนึ่ง จากนั้นจะต้องทำเช่นเดียวกันกับพิกัด y และ z นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

งาน. มีจุดสามจุดในอวกาศ ซึ่งกำหนดโดยพิกัด: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) และ C = (− 4; 3; − 2) ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ AB, AC และ BC

พิจารณาเวกเตอร์ AB: จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุด A และจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์อยู่ที่จุด B ดังนั้น เพื่อหาพิกัดของมัน เราจำเป็นต้องลบพิกัดของจุด A ออกจากพิกัดของจุด B:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4)

ในทำนองเดียวกัน จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ AC คือจุด A เดียวกัน แต่จุดสิ้นสุดคือจุด C ดังนั้นเราจึงได้:
เอซี = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5)

สุดท้าย หากต้องการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ BC คุณต้องลบพิกัดของจุด B ออกจากพิกัดของจุด C:
ก่อนคริสต์ศักราช = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9)

คำตอบ: AB = (2; − 7; 4); เอซี = (− 5; − 3; − 5); ก่อนคริสต์ศักราช = (− 7; 4; − 9)

ให้ความสนใจกับการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ BC สุดท้าย: หลายคนทำผิดพลาดเมื่อทำงานกับจำนวนลบ สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับตัวแปร y: จุด B มีพิกัด y = − 1 และจุด C มีพิกัด y = 3 เราได้ 3 − (− 1) = 4 พอดี ไม่ใช่ 3 − 1 ตามที่หลายๆ คนคิด อย่าทำผิดพลาดโง่ ๆ แบบนี้!

การคำนวณเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

หากคุณอ่านปัญหา C2 อย่างถี่ถ้วน คุณจะแปลกใจที่พบว่าไม่มีเวกเตอร์อยู่ที่นั่น มีเพียงเส้นตรงและระนาบเท่านั้น

ก่อนอื่นเรามาดูเส้นตรงกันก่อน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: บนบรรทัดใดๆ มีจุดที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองจุด และในทางกลับกัน สองจุดที่แตกต่างกันจะกำหนดเส้นที่ไม่ซ้ำใคร...

มีใครเข้าใจสิ่งที่เขียนในย่อหน้าก่อนหน้าบ้างไหม? ฉันเองก็ไม่เข้าใจ ดังนั้นฉันจะอธิบายให้ง่ายกว่านี้: ในปัญหา C2 เส้นตรงมักจะถูกกำหนดด้วยจุดคู่หนึ่งเสมอ หากเราแนะนำระบบพิกัดและพิจารณาเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่จุดเหล่านี้ เราจะได้สิ่งที่เรียกว่าเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นตรง:

เหตุใดเวกเตอร์นี้จึงจำเป็น? ความจริงก็คือมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นคือมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นเราจึงย้ายจากเส้นตรงที่เข้าใจยากไปยังเวกเตอร์เฉพาะซึ่งมีพิกัดที่คำนวณได้ง่าย มันง่ายแค่ไหน? ลองดูตัวอย่าง:

งาน. ในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ให้ลากเส้น AC และ BD 1 ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้

เนื่องจากความยาวของขอบของลูกบาศก์ไม่ได้ระบุไว้ในเงื่อนไข เราจึงตั้งค่า AB = 1 เราแนะนำระบบพิกัดที่มีจุดกำเนิดที่จุด A และแกน x, y, z ที่กำกับไปตามเส้นตรง AB, AD และ เอเอ 1 ตามลำดับ ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1

ทีนี้ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง AC กัน เราต้องการสองจุด: A = (0; 0; 0) และ C = (1; 1; 0) จากที่นี่เราจะได้พิกัดของเวกเตอร์ AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - นี่คือเวกเตอร์ทิศทาง

ทีนี้ลองดูเส้นตรง BD 1 นอกจากนี้ยังมีสองจุด: B = (1; 0; 0) และ D 1 = (0; 1; 1) เราได้เวกเตอร์ทิศทาง BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1)

คำตอบ: เอซี = (1; 1; 0); บีดี 1 = (− 1; 1; 1)

งาน. ในปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ขอบทั้งหมดเท่ากับ 1 เส้นตรง AB 1 และ AC 1 จะถูกวาด ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้

ขอแนะนำระบบพิกัด: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x ตรงกับ AB แกน z ตรงกับ AA 1 แกน y ก่อตัวเป็นระนาบ OXY ด้วยแกน x ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันกับระนาบ ABC

ก่อนอื่น ลองดูที่เส้นตรง AB 1 ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ เรามีคะแนน A = (0; 0; 0) และ B 1 = (1; 0; 1) เราได้เวกเตอร์ทิศทาง AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1)

ทีนี้ลองหาเวกเตอร์ทิศทางของ AC 1 กัน ทุกอย่างเหมือนกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือจุด C 1 มีพิกัดที่ไม่ลงตัว ดังนั้น A = (0; 0; 0) เราก็จะได้:

คำตอบ: AB 1 = (1; 0; 1);

หมายเหตุเล็กๆ น้อยๆ แต่สำคัญมากเกี่ยวกับตัวอย่างสุดท้าย หากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตรงกับที่มาของพิกัด การคำนวณจะง่ายขึ้นอย่างมาก: พิกัดของเวกเตอร์นั้นเท่ากับพิกัดของจุดสิ้นสุด น่าเสียดายที่นี่เป็นเรื่องจริงสำหรับเวกเตอร์เท่านั้น ตัวอย่างเช่น เมื่อทำงานกับเครื่องบิน การมีอยู่ของจุดกำเนิดของพิกัดบนเครื่องบินเหล่านั้นจะทำให้การคำนวณซับซ้อนเท่านั้น

การคำนวณเวกเตอร์ปกติสำหรับเครื่องบิน

เวกเตอร์ปกติไม่ใช่เวกเตอร์ที่ดีหรือรู้สึกดี ตามคำนิยาม เวกเตอร์ตั้งฉาก (ปกติ) กับระนาบคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นปกติคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ใดๆ ในระนาบที่กำหนด คุณคงเคยเจอนิยามนี้ แต่แทนที่จะพูดถึงเวกเตอร์ เรากำลังพูดถึงเส้นตรง อย่างไรก็ตาม แสดงให้เห็นข้างต้นว่าในปัญหา C2 คุณสามารถทำงานกับวัตถุที่สะดวกใดก็ได้ ไม่ว่าจะเป็นเส้นตรงหรือเวกเตอร์

ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าระนาบทุกอันถูกกำหนดไว้ในอวกาศด้วยสมการ Ax + By + Cz + D = 0 โดยที่ A, B, C และ D คือสัมประสิทธิ์บางส่วน โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไปของสารละลาย เราสามารถถือว่า D = 1 หากระนาบไม่ผ่านจุดกำเนิด หรือ D = 0 หากผ่านจุดกำเนิด ไม่ว่าในกรณีใด พิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบนี้คือ n = (A; B; C)

ดังนั้นเครื่องบินยังสามารถถูกแทนที่ด้วยเวกเตอร์ได้สำเร็จซึ่งเป็นเรื่องปกติเช่นเดียวกัน เครื่องบินทุกลำถูกกำหนดไว้ในอวกาศด้วยจุดสามจุด เราได้พูดคุยไปแล้วถึงวิธีการหาสมการของระนาบ (และดังนั้นจึงเป็นค่าปกติ) ในตอนต้นของบทความ อย่างไรก็ตาม กระบวนการนี้ทำให้เกิดปัญหาสำหรับหลาย ๆ คน ดังนั้นฉันจะยกตัวอย่างเพิ่มเติมสองสามตัวอย่าง:

งาน. ในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 จะมีการดึงส่วน A 1 BC 1 ค้นหาเวกเตอร์ปกติสำหรับระนาบของส่วนนี้หากจุดกำเนิดของพิกัดอยู่ที่จุด A และแกน x, y และ z ตรงกับขอบ AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ

เนื่องจากระนาบไม่ผ่านจุดกำเนิด สมการจึงมีลักษณะดังนี้: Ax + By + Cz + 1 = 0 เช่น สัมประสิทธิ์ D = 1 เนื่องจากระนาบนี้ผ่านจุด A 1, B และ C 1 พิกัดของจุดเหล่านี้จึงเปลี่ยนสมการของระนาบให้เป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

ในทำนองเดียวกัน สำหรับจุด B = (1; 0; 0) และ C 1 = (1; 1; 1) เราได้สมการต่อไปนี้:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

แต่เรารู้ค่าสัมประสิทธิ์ A = − 1 และ C = − 1 แล้ว ดังนั้นจึงยังคงต้องหาค่าสัมประสิทธิ์ B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1

เราได้สมการของระนาบ: − A + B − C + 1 = 0 ดังนั้น พิกัดของเวกเตอร์ปกติจึงเท่ากับ n = (− 1; 1; − 1)

งาน. ในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 มีส่วน AA 1 C 1 C ค้นหาเวกเตอร์ปกติสำหรับระนาบของส่วนนี้หากต้นกำเนิดของพิกัดอยู่ที่จุด A และแกน x, y และ z ตรงกับ ขอบ AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ

ในกรณีนี้ ระนาบจะผ่านจุดกำเนิด ดังนั้นสัมประสิทธิ์ D = 0 และสมการของระนาบจะเป็นดังนี้: Ax + By + Cz = 0 เนื่องจากเครื่องบินผ่านจุด A 1 และ C พิกัดของ จุดเหล่านี้เปลี่ยนสมการของระนาบให้เป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง

ให้เราแทนที่พิกัดของจุด A 1 = (0; 0; 1) แทน x, y และ z เรามี:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

ในทำนองเดียวกัน สำหรับจุด C = (1; 1; 0) เราได้สมการ:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

ให้เราตั้งค่า B = 1 จากนั้น A = − B = − 1 และสมการของระนาบทั้งหมดมีรูปแบบ: − A + B = 0 ดังนั้น พิกัดของเวกเตอร์ปกติจึงเท่ากับ n = (− 1 ; 1; 0)

โดยทั่วไปแล้ว ในปัญหาข้างต้น คุณต้องสร้างระบบสมการและแก้ไขมัน คุณจะได้รับสมการสามตัวและตัวแปรสามตัว แต่ในกรณีที่สองหนึ่งในนั้นจะว่างนั่นคือ ใช้ค่าที่กำหนดเอง นั่นคือเหตุผลที่เรามีสิทธิ์ตั้งค่า B = 1 - โดยไม่กระทบต่อความทั่วไปของคำตอบและความถูกต้องของคำตอบ

บ่อยครั้งในปัญหา C2 คุณต้องทำงานกับจุดที่แบ่งส่วนออก พิกัดของจุดดังกล่าวสามารถคำนวณได้ง่ายหากทราบพิกัดของส่วนท้ายของส่วน

ดังนั้น ให้กำหนดเซกเมนต์โดยจุดสิ้นสุด - จุด A = (x a; y a; z a) และ B = (x b; y b; z b) จากนั้นพิกัดของจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์ - ให้เราเขียนแทนด้วยจุด H - สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดที่อยู่กึ่งกลางของส่วนคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดส่วนปลาย

งาน. หน่วยลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 วางอยู่ในระบบพิกัดโดยที่แกน x, y และ z หันไปตามขอบ AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ และจุดกำเนิดเกิดขึ้นพร้อมกับจุด A โดยจุด K คือ ตรงกลางขอบ A 1 B 1 . ค้นหาพิกัดของจุดนี้

เนื่องจากจุด K อยู่ตรงกลางของกลุ่ม A 1 B 1 พิกัดจึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดปลาย ลองเขียนพิกัดของจุดสิ้นสุด: A 1 = (0; 0; 1) และ B 1 = (1; 0; 1) ทีนี้ลองหาพิกัดของจุด K:

งาน. หน่วยลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 วางอยู่ในระบบพิกัดเพื่อให้แกน x, y และ z หันไปตามขอบ AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ และจุดกำเนิดเกิดขึ้นตรงกับจุด A จงหา พิกัดของจุด L ที่พวกเขาตัดเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม A 1 B 1 C 1 D 1 .

จากหลักสูตรระนาบระนาบ เรารู้ว่าจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีระยะห่างเท่ากันจากจุดยอดทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง A 1 L = C 1 L เช่น จุด L คือจุดกึ่งกลางของส่วน A 1 C 1 แต่ A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1) ดังนั้นเราจึงได้:

คำตอบ: L = (0.5; 0.5; 1)

สาระสำคัญของวิธีการประสานงานในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

สาระสำคัญของการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีพิกัดคือการแนะนำระบบพิกัดที่สะดวกสำหรับเราในบางกรณีและเขียนข้อมูลทั้งหมดโดยใช้มันใหม่ หลังจากนั้น ปริมาณหรือการพิสูจน์ที่ไม่ทราบทั้งหมดจะดำเนินการโดยใช้ระบบนี้ เราได้พูดคุยถึงวิธีป้อนพิกัดของจุดในระบบพิกัดใด ๆ ในบทความอื่น - เราจะไม่พูดถึงเรื่องนี้ที่นี่

ให้เราแนะนำคำสั่งหลักที่ใช้ในวิธีการประสานงาน

คำชี้แจง 1:พิกัดของเวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์นี้กับจุดเริ่มต้น

คำชี้แจง 2:พิกัดตรงกลางของส่วนจะถูกกำหนดเป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของขอบเขต

คำชี้แจง 3:ความยาวของเวกเตอร์ $\overline(δ)$ ใดๆ ที่มีพิกัดที่กำหนด $(δ_1,δ_2,δ_3)$ จะถูกกำหนดโดยสูตร

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

คำชี้แจง 4:ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่ระบุโดยพิกัด $(δ_1,δ_2,δ_3)$ และ $(β_1,β_2,β_3)$ จะถูกกำหนดโดยสูตร

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

โครงการแก้ปัญหาเรขาคณิตโดยใช้วิธีพิกัด

ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้วิธีพิกัด วิธีที่ดีที่สุดคือใช้โครงร่างนี้:

วิเคราะห์สิ่งที่ได้รับในปัญหา:

กำหนดระบบพิกัดให้เหมาะสมกับงานมากที่สุด
เงื่อนไขของปัญหา คำถามของปัญหาจะถูกเขียนลงในทางคณิตศาสตร์ และสร้างภาพวาดสำหรับปัญหานี้

เขียนข้อมูลงานทั้งหมดในพิกัดของระบบพิกัดที่เลือก
สร้างความสัมพันธ์ที่จำเป็นจากเงื่อนไขของปัญหา และเชื่อมโยงความสัมพันธ์เหล่านี้กับสิ่งที่ต้องพบ (พิสูจน์แล้วในปัญหา)
แปลผลลัพธ์ที่ได้เป็นภาษาของเรขาคณิต