ยาลดไข้สำหรับเด็กกำหนดโดยกุมารแพทย์ แต่มีเหตุฉุกเฉินคือมีไข้เมื่อเด็กต้องได้รับยาทันที จากนั้นผู้ปกครองจะรับผิดชอบและใช้ยาลดไข้ อนุญาตให้มอบอะไรให้กับทารกได้บ้าง? คุณจะลดอุณหภูมิในเด็กโตได้อย่างไร? ยาอะไรที่ปลอดภัยที่สุด?
ในปัญหาทางการคำนวณหลายๆ ปัญหา จะมีการแบ่งชุดใหญ่ๆ ในลักษณะที่สามารถศึกษาสถานการณ์ทั้งหมดที่เราสนใจได้โดยใช้ตัวอย่างที่เลือกอย่างถูกต้องหลายตัวอย่าง
คำจำกัดความ 1:ให้ A ¹ Æ และ (A i ),i= ชุดย่อยโดยที่ A= จากนั้นจึงเรียกการรวบรวมเซตย่อยเหล่านี้ เคลือบชุด A
ตัวอย่างเช่น (A, B) เป็นการปกปิดของ AÈB; (A, AÈB, B, C)-ครอบคลุม AÈBÈC
ความคิดเห็น: ในกรณีทั่วไปสามารถให้ความคุ้มครองได้ไม่จำกัด อย่างไรก็ตาม จากมุมมองของการศึกษาคุณสมบัติเฉพาะ สถานการณ์นี้ไม่ทำให้เกิดความกระตือรือร้น
คำจำกัดความ 2: โดยการแยก ของเซตที่ไม่ว่าง A เรียกว่าการคลุมโดยที่ถ้า i¹ j แล้ว A i çA j =Æ
ตัวอย่างเช่น (A, A’) คือพาร์ติชั่น ยู.
(A\B, A\B', A'\B, A'\B') – พาร์ติชัน ยู,
(A\B, AçB, B\A) – พาร์ติชัน AÈB
คุณสามารถจัดระเบียบพาร์ติชันของชุดที่ไม่ว่างได้โดยใช้ความสัมพันธ์ที่ทำงานเหมือนกับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันกับชุดตัวเลขหรือชุดหนึ่ง
คำจำกัดความ 3:ความสัมพันธ์แบบไบนารีบนเซตเรียกว่า ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันถ้าเป็นการสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา
ตัวอย่าง:
1. บนเซตของสามเหลี่ยมทั้งหมด: ((x, y)| x และ y มีพื้นที่เท่ากัน)
2. บนเซตของโปรแกรมทั้งหมด: ((a, b)| a, b คำนวณฟังก์ชันเดียวกันบนเครื่องเฉพาะ)
คำจำกัดความ 4:ให้ R เป็นความสัมพันธ์ที่เท่ากันบนเซต A และ xОA คลาสความเท่าเทียมกันที่สร้างโดย xเซต (y| xR y)=[x] R ถูกเรียก
คำจำกัดความ 5:องค์ประกอบใดๆ ของคลาสที่เทียบเท่าเรียกว่า ตัวแทนชั้นเรียนนี้. ตัวแทนเต็มระบบชุดของตัวแทนถูกเรียก หนึ่งคนจากแต่ละชั้นเรียน
ตัวอย่างที่ 3:
เอ็นเป็นจำนวนธรรมชาติ s เป็นองค์ประกอบคงที่ บน ซีความสัมพันธ์ถูกกำหนดไว้: r s = ((x, y)| x-y=ns, nО ซี- ทัศนคติ การเปรียบเทียบแบบโมดูโลเอส (สัญกรณ์: x°y(mod s))
เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าโมดูโลความสัมพันธ์ในการเปรียบเทียบเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันบนเซต ซี.
สมมุติว่า s=10 แล้ว:
= {11,21,-9,10 976 631,.... }
= {66,226,-24,... }
จริงๆ แล้ว ความสัมพันธ์นี้มีคลาสที่เท่ากันเพียง 10 คลาส และตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ตัวแทนเต็มระบบ- คลาสความเท่าเทียมกันตามความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันนี้เรียกว่า ประเภทของการหักเงิน โมดูโล่ เอส
คำจำกัดความ 6: ชุดปัจจัยของเซต A ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ที่เท่ากัน R เรียกว่าเซตของคลาสที่เทียบเท่าทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์นี้ และเขียนแทนด้วย A/R
ชุดของคลาสโมดูโล s ของสารตกค้างแสดงโดย ซี ส.
เกิดขึ้น
ทฤษฎีบท (เกี่ยวกับการแบ่งพาร์ติชัน):ให้ R เป็นความสัมพันธ์ที่เท่ากันบนเซต A ที่ไม่ว่าง จากนั้นเซตผลหาร A/R จะเป็นพาร์ติชั่นของเซต A
การพิสูจน์:
"xОA(xО[x] R) เราต้องพิสูจน์ว่าแต่ละองค์ประกอบของเซต A เป็นของคลาสเดียวเท่านั้น นั่นคือ เราจะพิสูจน์ว่าถ้าคลาสมีองค์ประกอบร่วมอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ มันก็จะตรงกัน ให้cО[ a] และ cО [b] ให้ xО [a] แต่แล้ว x R a, a R c, c R b Þ x R b (การถ่ายทอด R) ดังนั้น [a] М [b] ) คล้ายกับ [b ] М [ก]
Q.E.D.
การสนทนาก็ถือเช่นกัน ให้ S เป็นพาร์ติชันของเซต A และ R s เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีบน A โดยที่: R=((x,y)ïx และ y อยู่ในองค์ประกอบเดียวกันของพาร์ติชัน) จากนั้น R เราจะเรียก – ความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยพาร์ติชัน S
ทฤษฎีบท (ย้อนกลับ):ความสัมพันธ์ R บน A ซึ่งกำหนดโดยพาร์ติชันของ S เป็นความสัมพันธ์ที่เท่ากันบน A และ A/R s = S (อย่างอิสระ)
การออกกำลังกาย:
1. ให้ A เป็นเซตจำกัด ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันใดให้จำนวนคลาสที่เท่ากันมากที่สุดและน้อยที่สุด
2. ถ้า (A 1 , A 2 , ..., A n ) เป็นพาร์ติชั่นของ A และ A finite แล้ว
ความสัมพันธ์การสั่งซื้อ
จากแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกัน (เช่น ตัวเลข) ทำให้เกิดแนวคิดทางคณิตศาสตร์เรื่องความเท่าเทียมกัน และจากแนวคิดเรื่องความไม่เท่าเทียมกันก็เกิดความสัมพันธ์อีกประเภทหนึ่งซึ่งเรียกว่าความสัมพันธ์ของระเบียบ
คำจำกัดความ 1: สั่งบางส่วนบนเซต A เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารี่ที่มีการสะท้อนกลับ ต้านสมมาตร และสกรรมกริยา
ลำดับบางส่วนเป็นการสรุปความสัมพันธ์ £ ถึง R เราสามารถแนะนำแนวคิดนี้ได้ คำสั่งที่เข้มงวด สอดคล้องกับความสัมพันธ์< на R. Отношение строгого порядка - только транзитивно(оно еще и антирефлексивно).
หากได้รับ £ เราก็สามารถกำหนดได้<: a
ชุดที่ให้ความสัมพันธ์ลำดับจะถูกแสดงโดย
(X, ปอนด์) (หรือ (X,<), если порядок строгий).
คำจำกัดความ 2:ชุดที่เรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับ สั่งมาบางส่วน.
ตัวอย่าง: A เป็นชุด - ป (AI) ง่ายต่อการตรวจสอบความสัมพันธ์ Í เป็นความสัมพันธ์ระหว่างการสั่งซื้อ ป (ก).
คำจำกัดความ 3:ความสัมพันธ์ของลำดับ R บน A เรียกว่า สมบูรณ์ (เชิงเส้น ) ตามลำดับ, ถ้า " x, yÎA (xR y Ú yR x) เซต (A, R) เรียกว่าเรียงลำดับเชิงเส้น
ตัวอย่าง:
1. อัตราส่วน £ ถึง รเป็นความสัมพันธ์เชิงลำดับที่สมบูรณ์ ดังนั้น ( อาร์£) - เรียงลำดับเชิงเส้น
2. และที่นี่ ( ป (AI) ไม่ได้เรียงลำดับเชิงเส้น
3. x£y Û y x บนกองถ่าย เอ็นไม่เป็นระเบียบเรียบร้อย
คำจำกัดความ 4:ให้ (A, £) เป็นชุดที่สั่งบางส่วน เรียกว่าองค์ประกอบ AOA เล็กที่สุด/ใหญ่ที่สุด/ใน A ถ้า " xОA (a£ x) /x £ a / องค์ประกอบbОАถูกเรียกว่า ขั้นต่ำ/สูงสุด/ถ้า " xÎA (x£ a Þ x=a) /a £ x Þ a=x /
งาน:พิสูจน์ว่าสำหรับลำดับเชิงเส้น ให้ตั้งค่าแนวคิดขององค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) และองค์ประกอบสูงสุด (น้อยที่สุด) ตรงกัน ยกตัวอย่างชุดที่เรียงลำดับบางส่วนซึ่งไม่ตรงกัน
องค์ประกอบของความสัมพันธ์
ให้เซต A, B และ C และความสัมพันธ์ S ระหว่าง A และ B (นั่นคือ SÌA´B) และ R ระหว่าง B และ C (RÌB´C) มอบให้ ลองกำหนดความสัมพันธ์ใหม่ระหว่าง A และ C ดังนี้:
คำจำกัดความ 1:เซตของคู่ทั้งหมด (x, y) ที่มีอยู่ zÎB โดยที่ (x, z)О S และ (z, y)О R เรียกว่า องค์ประกอบของความสัมพันธ์เอส และ อาร์ กำหนด: R o S . ดังนั้น R o S Ì A ´ C .
R oS = ((x, y)| $zÎB((x,z)ÎSÙ(z,y)ÎR)) หรือ x R o Sy Û $zÎB(xSzÙzRy)
ตัวอย่างที่ 1 : ให้ A=(1, 2, 3), B=(1, 2, 3, 4, 5, 6), C=(3, 6, 9, 12), s =((1,2), (2 ,4), (3,6)), r=((1,3), (2,6), (3,9), (4,12)) แล้วก็ r o s=((1.6), (2.12))
เรามาอธิบายสถานการณ์ในภาพกัน:
ตัวอย่างที่ 2 : ให้ s และ r มีความสัมพันธ์กัน เอ็นดังนั้น
S = ((x,x+1)ïxО เอ็น) และ r = ((x 2 ,x)ïxО เอ็น- จากนั้น D r = (x 2 ïxО เอ็น)=(1,4,9,16,25,...) และ D s = เอ็น.
D r o s =(xïxО เอ็นÙ x+1=y 2 )=(3,8,15,24,...).
ในกรณีที่กำหนดความสัมพันธ์บนเซต ความสัมพันธ์นั้นสามารถนำมารวมกับตัวมันเองได้:
sos = s 2 = ((x,x+2)½xО เอ็น) และ ror = r 2 = ((x 4 ,x)½xО เอ็น}.
เมื่อใช้สัญกรณ์นี้ เราสามารถกำหนดกำลังที่ n ของความสัมพันธ์ได้:
โดยที่ nО เอ็น, น>1.
ตัวอย่างเช่น สำหรับความสัมพันธ์จากตัวอย่างที่ 2 เรามี:
, 
ฉันอยากจะเสริมการเปรียบเทียบด้วยการคูณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแนะนำคำจำกัดความตามธรรมชาติต่อไปนี้:
คำจำกัดความ 2:ความสัมพันธ์แบบไบนารีเรียกว่า เท่ากันหากพวกมันเท่ากันเป็นเซตย่อย นั่นคือ R=S if"x,y((x,y)ÎRÛ(x,y)ÎS)
เห็นได้ชัดว่าความสัมพันธ์ต้องถูกกำหนดไว้ในเซตเดียวกัน
ทฤษฎีบท (คุณสมบัติขององค์ประกอบของความสัมพันธ์):สำหรับความสัมพันธ์ไบนารี่ R, S, T จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
1. (RoS)oT = Ro(SoT)
2. (RoS) -1 = ส -1 หรือ R -1
การพิสูจน์:
1) สำหรับ x และ y ใดๆ เรามี:
x(RoS)oTy º $z(xTzÙ(zRoSy)) º $z$t(xTzÙ(zStÙtRy)) º $z$t((xTzÙzSt)ÙtRy) º $t(($z(xTzÙzSt))ÙtRy) º $t((xSoTt)ÙtRy) º xRo(SoT)y.
2) x(RoS) -1 ปี º yRoSx º $z(ySzÙzRx) º $z(xR -1 zÙzS -1 ปี) º xS -1 oR -1 ปี
Q.E.D.
ความคิดเห็น:ถ้า R เป็นความสัมพันธ์บนเซต A ก็ชัดเจนว่า I A oR=RoI A =R นั่นคือ I A มีพฤติกรรมเหมือนหนึ่งเมื่อคูณตัวเลข อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถทำการเปรียบเทียบโดยสมบูรณ์ได้ เนื่องจาก ตัวอย่างเช่น การสับเปลี่ยนไม่มีที่ในกรณีทั่วไป เนื่องจาก RoS สามารถกำหนดได้ แต่ SoR ไม่สามารถทำได้ เช่นเดียวกับความเท่าเทียมกัน R -1 oR=RoR -1 = I A ไม่ได้สมเหตุสมผลเสมอไป
ปิดความสัมพันธ์
แนวคิดเรื่องการปิดเป็นแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์และใช้ในคณิตศาสตร์สาขาส่วนใหญ่ ให้เราอธิบายแนวคิดนี้ด้วยตัวอย่างทั่วไป: นำวัตถุ x 0 และกระบวนการ P ซึ่งเมื่อนำไปใช้ตามลำดับจะสร้างชุดที่แน่นอนและดังนั้นจึงกำหนดลำดับ x 1 , x 2 , ..., xn , . .. ดังนั้น x 1 ÎP(x 0), x 2 ÎP(x 1),..., x n ÎP(x n -1),... 
คำจำกัดความ 1:เซตที่มีองค์ประกอบทั้งหมดของลำดับทั้งหมดสามารถรับได้โดยใช้กระบวนการ P และเริ่มต้นด้วย x 0 เรียกว่า ปิดกระบวนการ P สัมพันธ์กับ x 0 .
ชัดเจนว่าผลลัพธ์คือการหา P n (x 0) บ้าง n.นี้ nเราไม่รู้ล่วงหน้า มันขึ้นอยู่กับกระบวนการเอง ยิ่งกว่านั้นถ้าเราเอาธาตุนั้นมา ยจากการปิดนี้และเราจะนำกระบวนการนี้ไปใช้ อาร์แล้วเราจะไม่ได้อะไรใหม่ นั่นคือไม่สามารถขยายชุดด้วยวิธีนี้ได้ - ปิดแล้ว!
ตัวอย่าง : ใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัส S แทน ABCD และพิจารณากระบวนการ r ซึ่งประกอบด้วยการหมุนสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามเข็มนาฬิกา 90°:
| |
| |
| |
| |
| |
ให้นิยามความสัมพันธ์ A ในบางเซต แล้ว:
คำจำกัดความ 2: การปิดสกรรมกริยา ความสัมพันธ์ A บนเซตที่กำหนดเรียกว่าความสัมพันธ์ A +:
ดังนั้น จากความสัมพันธ์แบบไม่สกรรมกริยา A บนเซตหนึ่ง เราจึงสามารถสร้างสกรรมกริยา A + ได้
ตัวอย่าง:
1. r - เปิดอัตราส่วน เอ็น: r=((x, y)| y=x+1) จากนั้น r + =((x, y)| x 2.เปิดอยู่ ถาม: s=((x, y)| x 3.เปิด ถาม: t=((x, y)| x×y=1) จากนั้น r + =((x, x)| x¹0) 4. ให้ L เป็นฉากของสถานีรถไฟใต้ดินในลอนดอน L=(a, b, c) สถานีต่อเนื่องกัน N=((x, y)| y ติดตาม x) ดังนั้น (a, b), (b, c) ОN; นอกจากนี้ (a, a), (b, b), (c, c), (a, c) О N 2 . ซึ่งหมายความว่า N + =L'L โดยทั่วไปแล้ว การปิดสกรรมกริยาไม่สะท้อนกลับ (ตัวอย่างที่ 2) ให้ A สัมพันธ์กับ X ให้ A 0 =I X คำจำกัดความ 3: ตัวปิดแบบสะท้อนแสง A*ความสัมพันธ์ A เรียกว่าความสัมพันธ์ ตัวอย่าง:
1. r*=((x, y)| x£y) เซตของคลาสที่เทียบเท่าทั้งหมดแสดงด้วย ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น แต่สำคัญอย่างยิ่ง: เมื่อแพทย์สั่งยาให้คุณ จริงๆ แล้วเขาจะระบุประเภทยาที่เทียบเท่าในใบสั่งยา เขาไม่สามารถระบุสำเนาของแพ็คเกจยาเม็ดหรือหลอดบรรจุยาได้อย่างสมบูรณ์ เหล่านั้น. ยาทุกชนิดแบ่งออกเป็นกลุ่มตามความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน หากไม่เป็นเช่นนั้น ยาแผนปัจจุบันก็คงเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นสูตรสลัดและค็อกเทลทุกประเภท GOST และตัวแยกประเภทยังกำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันที่สำคัญอีกด้วย ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเติมเต็มชีวิตของเราและไม่ใช่งานอดิเรกที่เป็นนามธรรมสำหรับนักคณิตศาสตร์ ชุดของคลาสความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันจะแสดงด้วยสัญลักษณ์และถูกเรียก ชุดปัจจัยค่อนข้าง นอกจากนี้ การทำแผนที่เชิงคาดการณ์ เรียกว่า การแสดงที่เป็นธรรมชาติ(หรือ การฉายภาพแบบบัญญัติ) ไปยังชุดแฟคเตอร์ อนุญาต เป็นเซต เป็นการแมป จากนั้นความสัมพันธ์ไบนารี่ที่กำหนดโดยกฎ เป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันบน ในกรณีนี้ การแมปจะทำให้เกิดการแมปที่กำหนดโดยกฎ หรือสิ่งที่เหมือนกัน ในกรณีนี้ปรากฎว่า การแยกตัวประกอบการแมปกับการแมปแบบ Surjective และการทำแผนที่แบบฉีด การแยกตัวประกอบการทำแผนที่มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขามนุษยศาสตร์และในสาขาเทคโนโลยีที่ไม่สามารถใช้ค่าตัวเลขได้ การแยกตัวประกอบการแมปช่วยให้คุณทำได้โดยไม่ต้องมีสูตรที่ไม่สามารถใช้สูตรได้ ลองยกตัวอย่างที่ทุกคนจะเข้าใจได้และไม่จำเป็นต้องเข้าใจสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน ตารางเรียนเป็นตัวอย่างทั่วไปของการแยกตัวประกอบ ในกรณีนี้คือชุดนักเรียนทุกคน ชุดวิชาวิชาการทั้งหมด แจกแจงตามวันในสัปดาห์โดยระบุเวลาเรียน ชั้นเรียนที่เท่าเทียมกันคือชั้นเรียน (กลุ่มนักเรียน) Display – ตารางเรียนแสดงในสมุดบันทึกของนักเรียน แสดงผล - ตารางเรียนติดไว้ที่ล็อบบี้ของโรงเรียน นอกจากนี้ยังมีการแสดงที่นี่ - รายชื่อชั้นเรียน ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงประโยชน์เชิงปฏิบัติของการแยกตัวประกอบ: เป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่าตารางเรียนเป็นตารางที่สะท้อนถึงนักเรียนทุกคนในโรงเรียนเป็นรายบุคคล การแยกตัวประกอบทำให้สามารถแสดงข้อมูลที่นักเรียนต้องการในรูปแบบกะทัดรัดซึ่งสะดวกสำหรับการใช้งานในสถานการณ์ที่ไม่สามารถใช้สูตรได้ อย่างไรก็ตาม ประโยชน์ของการแยกตัวประกอบไม่ได้จำกัดอยู่เพียงเท่านี้ การแยกตัวประกอบอนุญาตให้มีการแบ่งงานระหว่างผู้เข้าร่วมในกิจกรรม: ครูใหญ่จัดทำตารางเวลาและนักเรียนจดลงในสมุดบันทึก ในทำนองเดียวกัน การแยกตัวประกอบของใบสั่งยาทำให้เกิดการแบ่งงานระหว่างแพทย์ที่ทำการวินิจฉัยและเขียนใบสั่งยา และเภสัชกรที่ดูแลความเท่าเทียมกันของยาที่สั่งจ่าย การแยกตัวประกอบของการแยกตัวประกอบคือสายพานลำเลียงซึ่งใช้การแบ่งงานสูงสุดผ่านการกำหนดมาตรฐานของชิ้นส่วน แต่ประโยชน์ของการแยกตัวประกอบไม่ได้จำกัดอยู่เพียงเท่านี้ การแยกตัวประกอบช่วยให้มั่นใจได้ถึงความเป็นโมดูลาร์ของเทคโนโลยีสมัยใหม่ ซึ่งทำให้ฟังก์ชันมีความยืดหยุ่นอย่างที่ไม่เคยมีมาก่อน คุณสามารถเก็บซิมการ์ดเก่าไว้และซื้อโทรศัพท์ใหม่เพื่อพกพาไปด้วย หรือใส่หน่วยความจำวิดีโอใหม่ลงในคอมพิวเตอร์เครื่องเก่าของคุณ ทั้งหมดนี้คือความยืดหยุ่น ความเป็นโมดูล ซึ่งขึ้นอยู่กับการแยกตัวประกอบ มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010. ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน- - หัวข้อโทรคมนาคม แนวคิดพื้นฐาน ความสัมพันธ์เทียบเท่า EN... คู่มือนักแปลด้านเทคนิค ความสัมพันธ์ประเภทความเท่าเทียมกัน- ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันแนวคิดของตรรกะและคณิตศาสตร์แสดงความเป็นจริงของการมีอยู่ของสัญญาณ (คุณสมบัติ) เดียวกันในวัตถุต่าง ๆ ด้วยความเคารพต่อลักษณะทั่วไปดังกล่าว วัตถุที่แตกต่างกันเหล่านี้จึงแยกไม่ออก (เหมือนกัน เท่ากัน... ... ทัศนคติของความอดทน- คำนี้มีความหมายอื่น ดูที่ ความอดทน ความสัมพันธ์ที่ยอมรับได้ (หรือเพียงแค่ ความอดทน) บนเซตหนึ่งๆ เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารี่ที่เป็นไปตามคุณสมบัติของการสะท้อนกลับและสมมาตร แต่ไม่จำเป็นเสมอไป... ... Wikipedia อัตราส่วน (คณิตศาสตร์)- คำนี้มีความหมายอื่น ดูที่ ทัศนคติ ความสัมพันธ์คือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดคุณสมบัติของวัตถุต่างๆ และความสัมพันธ์อย่างเป็นทางการ ความสัมพันธ์มักจะถูกจำแนกตามจำนวนวัตถุที่ถูกเชื่อมโยง... Wikipedia ทัศนคติ- ในทางตรรกะ สิ่งที่แตกต่างจากคุณสมบัติ คือไม่ได้กำหนดลักษณะของวัตถุที่แยกจากกัน แต่เป็นคู่ สาม ฯลฯ รายการ ตรรกะดั้งเดิมไม่ได้พิจารณา O.; ในตรรกะสมัยใหม่ O. เป็นฟังก์ชันเชิงประพจน์ของตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ไบนารี่... สารานุกรมปรัชญา ความสัมพันธ์ตามความชอบ- ในทฤษฎีผู้บริโภค นี่เป็นคำอธิบายอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับความสามารถของผู้บริโภคในการเปรียบเทียบ (เรียงลำดับตามความปรารถนา) ชุดสินค้าต่างๆ (ชุดผู้บริโภค) ในการอธิบายความสัมพันธ์ของความชอบนั้น ไม่จำเป็นต้องวัดความพึงพอใจ... ... Wikipedia ทัศนคติ (ปรัชญา)- ทัศนคติหมวดหมู่ปรัชญาที่แสดงออกถึงธรรมชาติของการจัดเรียงองค์ประกอบของระบบบางอย่างและการพึ่งพาซึ่งกันและกัน ทัศนคติทางอารมณ์ของบุคคลต่อบางสิ่งบางอย่าง เช่น การแสดงออกของตำแหน่งของเขา การเปรียบเทียบทางจิตของวัตถุต่างๆ... ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต ทัศนคติ- RELATIONSHIP คือชุดของบุคคลที่ไม่เรียงลำดับ (โดยที่ n คือ 1) เช่น สอง สาม ฯลฯ จำนวน n เรียกว่า "locality" หรือ "arity", O. และด้วยเหตุนี้จึงพูดถึง n local (n arno) O. ตัวอย่างเช่น double O. เรียกว่า... ... สารานุกรมญาณวิทยาและปรัชญาวิทยาศาสตร์ ทัศนคติ- I Attitude เป็นหมวดปรัชญาที่แสดงออกถึงธรรมชาติของการจัดเรียงองค์ประกอบของระบบบางอย่างและการพึ่งพาซึ่งกันและกัน ทัศนคติทางอารมณ์ของบุคคลต่อบางสิ่งบางอย่าง เช่น การแสดงออกของตำแหน่งของเขา การเปรียบเทียบทางจิตที่แตกต่างกัน... ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต ระดับความเท่าเทียมกัน- ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน () บนเซต X คือความสัมพันธ์แบบไบนารี่ซึ่งตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: การสะท้อนกลับ: สำหรับ a ใดๆ ใน X, สมมาตร: ถ้า, ดังนั้น, การผ่านผ่าน: ถ้า... Wikipedia คำอธิบายประกอบ: มีการอธิบายแนวคิดใหม่ๆ มากมาย เช่น ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ความสัมพันธ์ลำดับบางส่วน และเซตบางส่วนแบบไอโซมอร์ฟิก ทฤษฎีบทหลายทฤษฎีในหัวข้อนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วพร้อมคำอธิบาย กราฟ และตัวอย่างโดยละเอียด มีตัวอย่างคำสั่งซื้อบางส่วนจำนวนมาก มีการอธิบายการก่อสร้างหลายอย่างที่อนุญาตให้สร้างชุดที่ได้รับคำสั่งจากผู้อื่น การบรรยายมีลักษณะงานหลายอย่างสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ ให้เรานึกถึงสิ่งนั้น ความสัมพันธ์แบบไบนารีบนเซตหนึ่งเรียกว่าสับเซต แทน ความสัมพันธ์แบบไบนารีบนเซตเรียกว่า ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันหากตรงตามคุณสมบัติต่อไปนี้: ข้อความที่ชัดเจนแต่ใช้บ่อยต่อไปนี้เป็นจริง: ทฤษฎีบท 11- (a) ถ้าเซตถูกแบ่งพาร์ติชั่นเป็นยูเนี่ยนของเซตย่อยที่ไม่ต่อเนื่องกัน ความสัมพันธ์ “ที่อยู่ในเซตย่อยเดียวกัน” จะเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน (ข) อะไรก็ได้ ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันได้รับในลักษณะที่อธิบายไว้จากพาร์ติชันบางส่วน การพิสูจน์- ข้อความแรกค่อนข้างชัดเจน เราจะให้ข้อพิสูจน์ประการที่สองเพื่อให้เห็นว่าจุดใดของคำจำกัดความของการเทียบเท่าถูกนำมาใช้ งั้น ขอเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน สำหรับแต่ละองค์ประกอบให้พิจารณาด้วย คลาสที่เท่าเทียมกัน- ชุดของทุกสิ่งที่เป็นจริง ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับสองเซตที่แตกต่างกัน เซตดังกล่าวจะไม่ตัดกันหรือตรงกัน ปล่อยให้พวกมันตัดกันนั่นคือมีองค์ประกอบร่วมกัน แล้ว และ ที่ไหน (สมมาตร) และ (การเปลี่ยนแปลง) เช่นเดียวกับ (สมมาตร) ดังนั้นสำหรับสิ่งใดสิ่งหนึ่งดังต่อไปนี้ (การถ่ายทอด) และในทางกลับกัน ยังคงเป็นที่น่าสังเกตว่า เนื่องจากการสะท้อนกลับ แต่ละองค์ประกอบจึงอยู่ในคลาสที่มันกำหนด นั่นคือทั้งเซตถูกแบ่งออกเป็นคลาสที่ไม่ต่อเนื่องกันจริงๆ 78. แสดงว่าข้อกำหนดของความสมมาตรและการเปลี่ยนแปลงสามารถแทนที่ได้ด้วยข้อใดข้อหนึ่ง: (โดยที่ยังคงข้อกำหนดของการสะท้อนกลับ) 79. เซตนี้มีความสัมพันธ์สมมูลที่แตกต่างกันกี่แบบ 80. ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันสองรายการถูกกำหนดไว้บนเซต ซึ่งแสดงโดย และ โดยมีคลาสที่เทียบเท่า ตามลำดับ จุดตัดของพวกเขาจะเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันหรือไม่? เขาสามารถเรียนได้กี่คลาส? คุณสามารถพูดอะไรเกี่ยวกับ การรวมกันของความสัมพันธ์? 81. (ทฤษฎีบทของแรมซีย์) เซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตอนันต์แบ่งออกเป็นคลาส (, - จำนวนธรรมชาติ) พิสูจน์ว่ามี ชุดอนันต์เซตย่อยขององค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ในคลาสเดียวกัน (สิ่งนี้ชัดเจน: ถ้า ชุดอนันต์ถูกแบ่งออกเป็นคลาสจำนวนจำกัด จากนั้นคลาสหนึ่งจะไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อใดและข้อความสามารถกำหนดได้ดังนี้: จากกลุ่มคนที่ไม่มีที่สิ้นสุด เราสามารถเลือกคนรู้จักแบบคู่หรือคนแปลกหน้าแบบคู่ได้ไม่จำกัดจำนวน เวอร์ชันสุดท้ายของข้อความนี้ - ในบรรดาหกคนมีคนรู้จักสามคนหรือคนแปลกหน้าสามคน - เป็นปัญหาที่รู้จักกันดีสำหรับเด็กนักเรียน) เซตของคลาสที่เทียบเท่าเรียกว่า ปัจจัย - มากมายกำหนดโดยความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน (หากความสัมพันธ์สอดคล้องกับโครงสร้างเพิ่มเติมบน เราจะได้กลุ่มตัวประกอบ วงแหวนตัวประกอบ ฯลฯ) เราจะพบความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันมากกว่าหนึ่งครั้ง แต่ตอนนี้หัวข้อหลักของเราคือความสัมพันธ์เชิงลำดับ ความสัมพันธ์แบบไบนารีบนเซตเรียกว่า ความสัมพันธ์คำสั่งซื้อบางส่วนหากตรงตามคุณสมบัติต่อไปนี้: (ตามประเพณี เราใช้สัญลักษณ์ (แทนที่จะเป็นตัวอักษร) เป็นสัญลักษณ์ของความสัมพันธ์เชิงลำดับ) ชุดที่มีความสัมพันธ์เชิงลำดับบางส่วนถูกกำหนดไว้นั้นเรียกว่า สั่งมาบางส่วน. พวกเขาบอกว่ามีองค์ประกอบสองประการ สั่งมาบางส่วนชุด เทียบเคียงได้, เพื่อ . โปรดทราบว่าคำจำกัดความของคำสั่งซื้อบางส่วนไม่จำเป็นต้องมีองค์ประกอบสองรายการใดๆ ของชุดที่เปรียบเทียบได้ เมื่อเพิ่มข้อกำหนดนี้ เราจะได้คำจำกัดความ ลำดับเชิงเส้น (ชุดสั่งเชิงเส้น). นี่คือตัวอย่างบางส่วนของคำสั่งซื้อบางส่วน: ให้เราพิจารณาความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันของเซตเศษส่วน X = ( ) ความสัมพันธ์นี้: หากมองย้อนกลับไป เนื่องจากทุกเศษส่วนมีค่าเท่ากับตัวมันเอง ในทางสมมาตร เนื่องจากจากข้อเท็จจริงที่ว่าเศษส่วนเท่ากับเศษส่วน จึงตามมาว่าเศษส่วนนั้นเท่ากับเศษส่วน สกรรมกริยา เนื่องจากจากข้อเท็จจริงที่ว่าเศษส่วนเท่ากับเศษส่วนและเศษส่วนเท่ากับเศษส่วน จึงตามมาว่าเศษส่วนนั้นเท่ากับเศษส่วน ความสัมพันธ์ของความเท่ากันของเศษส่วนเรียกว่าความสัมพันธ์ที่เท่ากัน คำนิยาม. ความสัมพันธ์ R บนเซต X เรียกว่าความสัมพันธ์สมมูล ถ้ามันมีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ สมมาตร และการเปลี่ยนผ่านไปพร้อมๆ กัน
. ตัวอย่างของความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ได้แก่ ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันของรูปทรงเรขาคณิต ความสัมพันธ์แบบขนานของเส้น (โดยมีเงื่อนไขว่าเส้นที่ประชิดกันจะถือว่าขนานกัน) เหตุใดความสัมพันธ์ประเภทนี้จึงถูกแยกออกมาในวิชาคณิตศาสตร์? ให้เราพิจารณาความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันของเศษส่วนที่กำหนดบนเซต X = ( ) (รูปที่ 7) เราจะเห็นว่าเซตนี้แบ่งออกเป็น 3 ชุดย่อย: เลย ถ้ากำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันให้กับเซต X มันจะสร้างพาร์ติชั่นของเซตนี้ให้เป็นเซตย่อยที่แยกจากกันแบบคู่ (คลาสที่เทียบเท่า)
ดังนั้นเราจึงได้กำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันของเซตเศษส่วนแล้ว X = ( ) สอดคล้องกับพาร์ติชั่นของเซตนี้เป็นคลาสที่เทียบเท่า ซึ่งแต่ละคลาสประกอบด้วยเศษส่วนที่เท่ากัน การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: หากความสัมพันธ์ใด ๆ ที่กำหนดไว้บนเซต X สร้างพาร์ติชันของเซตนี้ให้เป็นคลาส มันก็จะเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาความสัมพันธ์ “มีเศษเท่ากันเมื่อหารด้วย 3” มันสร้างพาร์ติชันของเซต X ออกเป็นคลาส: อันหนึ่งจะรวมตัวเลขทั้งหมดซึ่งเศษเมื่อหารด้วย 3 จะเป็น 0 (นี่คือตัวเลข 3, 6, 9) ส่วนอันที่สองประกอบด้วยตัวเลขที่เมื่อหารด้วย 3 จะเหลือเศษ 1 ( เหล่านี้คือตัวเลข 1, 4, 7, 10) และในสาม - ตัวเลขทั้งหมดเมื่อหารด้วย 3 ส่วนที่เหลือคือ 2 (นี่คือตัวเลข 2, 5, 8) อันที่จริง เซตย่อยที่เป็นผลลัพธ์จะไม่ตัดกันและการรวมกันของเซตนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับเซต X ดังนั้น ความสัมพันธ์ "เพื่อให้มีเศษเท่ากันเมื่อหารด้วย 3" ที่กำหนดไว้บนเซต X จึงเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน โปรดทราบว่าข้อความเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันและการแบ่งส่วนของเซตออกเป็นคลาสต่างๆ จำเป็นต้องมีการพิสูจน์ เรากำลังวางมันลง สมมติว่าถ้าความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันมีชื่อ ชื่อที่ตรงกันก็จะถูกกำหนดให้กับคลาสต่างๆ ตัวอย่างเช่น หากมีการระบุความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันบนชุดของเซ็กเมนต์ (และเป็นความสัมพันธ์ที่เท่ากัน) ชุดของเซกเมนต์จะถูกแบ่งออกเป็นคลาสของเซ็กเมนต์ที่เท่ากัน (ดูรูปที่ 4) ความสัมพันธ์ความคล้ายคลึงสอดคล้องกับการแบ่งส่วนของชุดสามเหลี่ยมออกเป็นชั้นต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ดังนั้น เมื่อมีความสัมพันธ์สมมูลกับเซตใดเซตหนึ่ง เราก็สามารถแบ่งเซตนี้ออกเป็นคลาสต่างๆ ได้ แต่คุณยังสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้: ขั้นแรกให้แบ่งเซตออกเป็นคลาส จากนั้นกำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน โดยพิจารณาว่าองค์ประกอบทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน ถ้าหากพวกมันอยู่ในคลาสเดียวกันของพาร์ติชั่นที่เป็นปัญหา หลักการแบ่งเซตออกเป็นคลาสต่างๆ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเป็นหลักการสำคัญของคณิตศาสตร์ ทำไม ประการแรก, เทียบเท่า - นี่หมายถึงเทียบเท่า, ใช้แทนกันได้ ดังนั้นองค์ประกอบของคลาสการเทียบเท่าเดียวกันจึงใช้แทนกันได้ ดังนั้นเศษส่วนที่อยู่ในคลาสที่เท่ากันจึงแยกไม่ออกจากกัน จากมุมมองของความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันและเศษส่วนสามารถถูกแทนที่ด้วยสิ่งอื่นได้และการแทนที่นี้จะไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ของการคำนวณ ประการที่สองเนื่องจากในคลาสความเท่าเทียมกันมีองค์ประกอบที่ไม่สามารถแยกแยะได้จากมุมมองของความสัมพันธ์บางอย่าง เราจึงเชื่อว่าคลาสความเท่าเทียมกันนั้นถูกกำหนดโดยตัวแทนคนใดคนหนึ่งของมัน กล่าวคือ องค์ประกอบตามอำเภอใจของคลาสนี้ ดังนั้นจึงสามารถระบุคลาสที่มีเศษส่วนเท่ากันได้โดยการระบุเศษส่วนที่อยู่ในคลาสนี้ การกำหนดคลาสความเท่าเทียมกันโดยตัวแทนหนึ่งคน แทนที่จะต้องศึกษาองค์ประกอบทั้งหมดของเซต จึงสามารถศึกษาชุดของตัวแทนแต่ละคนจากคลาสที่เทียบเท่าได้ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สมมูล "เพื่อให้มีจำนวนจุดยอดเท่ากัน" ซึ่งกำหนดบนชุดของรูปหลายเหลี่ยม จะสร้างพาร์ติชันของชุดนี้ออกเป็นคลาสต่างๆ ของสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม เป็นต้น คุณสมบัติที่มีอยู่ในบางประเภทจะได้รับการพิจารณาจากตัวแทนคนใดคนหนึ่ง ที่สามการแบ่งชุดออกเป็นคลาสโดยใช้ความสัมพันธ์ที่เท่ากันจะถูกนำมาใช้เพื่อแนะนำแนวคิดใหม่ ตัวอย่างเช่น แนวคิดของ "มัดเส้น" สามารถกำหนดได้ว่าเป็นสิ่งธรรมดาสำหรับเส้นคู่ขนาน โดยทั่วไป แนวคิดใดๆ ที่บุคคลดำเนินการแสดงถึงความเท่าเทียมกันในระดับหนึ่ง “โต๊ะ” “บ้าน” “หนังสือ” - แนวคิดทั้งหมดเหล่านี้เป็นแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับวัตถุเฉพาะหลายอย่างที่มีจุดประสงค์เดียวกัน ความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกประเภทหนึ่งคือความสัมพันธ์ตามลำดับ มันถูกกำหนดไว้ดังนี้ คำนิยาม. ความสัมพันธ์ R บนเซต X เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงลำดับ ถ้ามันมีคุณสมบัติต่อต้านสมมาตรและทรานซิติวิตีไปพร้อมๆ กัน
ตัวอย่างของความสัมพันธ์ลำดับได้แก่ ความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” บนเซตของจำนวนธรรมชาติ ความสัมพันธ์ “สั้นกว่า” ในชุดของเซ็กเมนต์ เนื่องจากมี antisymmetric และสกรรมกริยา ถ้าความสัมพันธ์ลำดับมีคุณสมบัติของความเชื่อมโยงด้วย ก็จะเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” บนเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นความสัมพันธ์ของลำดับเชิงเส้น เนื่องจากมีคุณสมบัติของความไม่สมมาตร การผ่านผ่าน และความเชื่อมโยง คำนิยาม. เซต X จะถูกเรียกว่าลำดับหากมีความสัมพันธ์เชิงลำดับ
ดังนั้น เซต N ของจำนวนธรรมชาติจึงสามารถเรียงลำดับได้โดยระบุความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ไว้ ถ้าความสัมพันธ์ลำดับที่กำหนดบนเซต X มีคุณสมบัติเชื่อมโยงกัน กล่าวได้ว่าเป็นการเรียงลำดับเส้นตรงของเซต X ตัวอย่างเช่น ชุดของจำนวนธรรมชาติสามารถเรียงลำดับได้โดยใช้ทั้งความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" และความสัมพันธ์ "หลายรายการ" ซึ่งทั้งสองความสัมพันธ์เป็นความสัมพันธ์เชิงลำดับ แต่ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ต่างจากความสัมพันธ์ "พหุคูณ" ก็มีคุณสมบัติของความเชื่อมโยงเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" จะจัดลำดับเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นเส้นตรง เราไม่ควรคิดว่าความสัมพันธ์ทั้งหมดแบ่งออกเป็นความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันและความสัมพันธ์ของระเบียบ มีความสัมพันธ์จำนวนมากที่ไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันหรือความสัมพันธ์เชิงลำดับ การบรรยายครั้งที่ 22 ความเท่าเทียมกันและความสัมพันธ์เชิงลำดับของเซต 1. ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน การเชื่อมต่อระหว่างความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันและการแบ่งพาร์ติชันของเซตออกเป็นคลาส 2. ความสัมพันธ์การสั่งซื้อ ความสัมพันธ์เชิงลำดับที่เข้มงวดและไม่เข้มงวด ความสัมพันธ์เชิงลำดับเชิงเส้น การสั่งชุด. 3. ข้อสรุปหลัก มาดูเซตของเศษส่วนกัน เอ็กซ์= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ความสัมพันธ์นี้: หากมองย้อนกลับไป เนื่องจากทุกเศษส่วนมีค่าเท่ากับตัวมันเอง สมมาตรเนื่องจากจากข้อเท็จจริงที่ว่าเศษส่วน ม/nเท่ากับเศษส่วน พี/ถามตามด้วยเศษส่วนนั้น พี/ถามเท่ากับเศษส่วน ม/n; สกรรมกริยาเนื่องจากจากข้อเท็จจริงที่ว่าเศษส่วน ม/nเท่ากับเศษส่วน พี/ถามและเศษส่วน พี/ถามเท่ากับเศษส่วน ร/สตามด้วยเศษส่วนนั้น ม/nเท่ากับเศษส่วน ร/ส. ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันของเศษส่วนกล่าวได้ว่าเป็น ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน. คำนิยาม. ความสัมพันธ์ R บนเซต X เรียกว่าความสัมพันธ์สมมูล ถ้ามันมีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ สมมาตร และการเปลี่ยนแปลงสภาพไปพร้อมๆ กัน
ตัวอย่างของความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ได้แก่ ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันของรูปทรงเรขาคณิต ความสัมพันธ์แบบขนานของเส้น (โดยมีเงื่อนไขว่าเส้นที่ประชิดกันจะถือว่าขนานกัน) เหตุใดความสัมพันธ์ประเภทนี้จึงถูกแยกออกมาในวิชาคณิตศาสตร์? พิจารณาความสัมพันธ์ของความเท่ากันของเศษส่วนที่กำหนดบนเซต เอ็กซ์= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (รูปที่ 106) เราจะเห็นว่าเซตนั้นแบ่งออกเป็นสามเซตย่อย: (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4) เซตย่อยเหล่านี้ไม่ได้ตัดกัน และการรวมกันจะเกิดขึ้นพร้อมกับเซตนั้น เอ็กซ์,เหล่านั้น. เรามีพาร์ติชั่นของชุด เอ็กซ์ไปที่ชั้นเรียน นี่ไม่ใช่อุบัติเหตุ เลย ถ้ากำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันให้กับเซต X มันจะสร้างพาร์ติชั่นของเซตนี้ให้เป็นเซตย่อยที่แยกจากกันแบบคู่ (คลาสที่เทียบเท่า) ดังนั้นเราจึงกำหนดว่าความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันบนเซตของเศษส่วน (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) สอดคล้องกับการแบ่งส่วนของเซตนี้เป็นคลาสที่เท่ากัน ซึ่งแต่ละส่วนประกอบด้วยเศษส่วนเท่ากัน การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: หากความสัมพันธ์ใด ๆ ที่กำหนดไว้บนเซต X สร้างพาร์ติชันของเซตนี้ให้เป็นคลาส มันก็จะเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน พิจารณาตัวอย่างเช่นในกองถ่าย เอ็กซ์ =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) ความสัมพันธ์ “จะมีเศษเท่ากันเมื่อหารด้วย 3” มันสร้างพาร์ติชั่นของชุด เอ็กซ์แบ่งเป็นชั้นเรียน: ตัวหนึ่งจะรวมตัวเลขทั้งหมดที่เมื่อหารด้วย 3 จะเหลือเศษ 0 (ได้แก่ ตัวเลข 3, 6, 9) ตัวที่สองคือตัวเลขที่เมื่อหารด้วย 3 จะเหลือเศษ 1 (ได้แก่ ตัวเลข 1, 4 , 7 , 10) และในส่วนที่สาม - ตัวเลขทั้งหมดเมื่อหารด้วย 3 ส่วนที่เหลือคือ 2 (นี่คือตัวเลข 2, 5, 8) อันที่จริงเซตย่อยที่เป็นผลลัพธ์จะไม่ตัดกันและการรวมกันของเซตนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับเซตนั้น เอ็กซ์ดังนั้น ความสัมพันธ์ "มีเศษเท่ากันเมื่อหารด้วย 3" ที่กำหนดไว้บนเซต เอ็กซ์,เป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน โปรดทราบว่าข้อความเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ที่เท่ากันและการแบ่งส่วนของเซตออกเป็นคลาสต่างๆ จำเป็นต้องมีการพิสูจน์ เรากำลังวางมันลง สมมติว่าถ้าความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันมีชื่อ ชื่อที่ตรงกันก็จะถูกกำหนดให้กับคลาสต่างๆ ตัวอย่างเช่น หากมีการระบุความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันบนชุดของเซ็กเมนต์ (และเป็นความสัมพันธ์ที่เท่ากัน) ชุดของเซกเมนต์จะถูกแบ่งออกเป็นคลาสของเซ็กเมนต์ที่เท่ากัน (ดูรูปที่ 99) ความสัมพันธ์ความคล้ายคลึงสอดคล้องกับการแบ่งส่วนของชุดสามเหลี่ยมออกเป็นชั้นต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ดังนั้น เมื่อมีความสัมพันธ์สมมูลกับเซตใดเซตหนึ่ง เราก็สามารถแบ่งเซตนี้ออกเป็นคลาสต่างๆ ได้ แต่คุณยังสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้: ขั้นแรกให้แบ่งเซตออกเป็นคลาส จากนั้นกำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน โดยพิจารณาว่าองค์ประกอบทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน ถ้าหากพวกมันอยู่ในคลาสเดียวกันของพาร์ติชั่นที่เป็นปัญหา หลักการแบ่งเซตออกเป็นคลาสต่างๆ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเป็นหลักการสำคัญของคณิตศาสตร์ ทำไม ประการแรก, เทียบเท่า - นี่หมายถึงเทียบเท่า, ใช้แทนกันได้ ดังนั้นองค์ประกอบของคลาสความเท่าเทียมกันจึงสามารถใช้แทนกันได้ ดังนั้นเศษส่วนที่อยู่ในคลาสความเท่าเทียมกัน (1/2, 2/4, 3/6) จึงแยกไม่ออกจากมุมมองของความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกัน และเศษส่วน 3/6 สามารถถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนอื่นได้ เช่น 1 /2. และการแทนที่นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงผลการคำนวณ ประการที่สองเนื่องจากในคลาสความเท่าเทียมกันมีองค์ประกอบที่ไม่สามารถแยกแยะได้จากมุมมองของความสัมพันธ์บางอย่าง เราจึงเชื่อว่าคลาสความเท่าเทียมกันนั้นถูกกำหนดโดยตัวแทนคนใดคนหนึ่งของมัน กล่าวคือ องค์ประกอบตามอำเภอใจของคลาสนี้ ดังนั้นจึงสามารถระบุคลาสที่มีเศษส่วนเท่ากันได้โดยระบุเศษส่วนที่อยู่ในคลาสนี้ การกำหนดคลาสความเท่าเทียมกันโดยตัวแทนหนึ่งคน แทนที่จะต้องศึกษาองค์ประกอบทั้งหมดของเซต จึงสามารถศึกษาชุดของตัวแทนแต่ละคนจากคลาสที่เทียบเท่าได้ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สมมูล "เพื่อให้มีจำนวนจุดยอดเท่ากัน" ซึ่งกำหนดบนชุดของรูปหลายเหลี่ยม จะสร้างพาร์ติชันของชุดนี้ออกเป็นคลาสต่างๆ ของสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม เป็นต้น คุณสมบัติที่มีอยู่ในบางประเภทจะได้รับการพิจารณาจากตัวแทนคนใดคนหนึ่ง ที่สามการแบ่งชุดออกเป็นคลาสโดยใช้ความสัมพันธ์ที่เท่ากันจะถูกนำมาใช้เพื่อแนะนำแนวคิดใหม่ ตัวอย่างเช่น แนวคิดของ "มัดเส้น" สามารถกำหนดได้ว่าเป็นสิ่งธรรมดาสำหรับเส้นคู่ขนาน โดยทั่วไป แนวคิดใดๆ ที่บุคคลดำเนินการแสดงถึงความเท่าเทียมกันในระดับหนึ่ง “โต๊ะ” “บ้าน” “หนังสือ” - แนวคิดทั้งหมดเหล่านี้เป็นแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับวัตถุเฉพาะหลายอย่างที่มีจุดประสงค์เดียวกัน ความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกประเภทหนึ่งก็คือ ความสัมพันธ์เพื่อการสั่งซื้อ คำนิยาม. ความสัมพันธ์ R บนเซต X เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงลำดับ ถ้ามันมีคุณสมบัติต่อต้านสมมาตรและทรานซิติวิตีไปพร้อมๆ กัน
.
ตัวอย่างของความสัมพันธ์ลำดับได้แก่ ความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” บนเซตของจำนวนธรรมชาติ ความสัมพันธ์จะ "สั้นกว่า" ในชุดเซ็กเมนต์ เนื่องจากพวกมันไม่สมมาตรและสกรรมกริยา หากความสัมพันธ์เชิงลำดับมีคุณสมบัติของความเชื่อมโยงด้วย ก็จะเรียกว่าเป็นความสัมพันธ์ ลำดับเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” บนเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นความสัมพันธ์ของลำดับเชิงเส้น เนื่องจากมีคุณสมบัติของความไม่สมมาตร การผ่านผ่าน และความเชื่อมโยง คำนิยาม. เซต X จะถูกเรียกว่าลำดับหากมีความสัมพันธ์เชิงลำดับ
ดังนั้น เซต N ของจำนวนธรรมชาติจึงสามารถเรียงลำดับได้โดยระบุความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ไว้ หากความสัมพันธ์เพื่อกำหนดไว้ในชุด เอ็กซ์,มีคุณสมบัติแห่งความเชื่อมโยงกัน เราก็ว่าอย่างนั้น มันสั่งเป็นเส้นตรงพวงของ เอ็กซ์ ตัวอย่างเช่น ชุดของจำนวนธรรมชาติสามารถเรียงลำดับได้โดยใช้ทั้งความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" และความสัมพันธ์ "หลายรายการ" ซึ่งทั้งสองความสัมพันธ์เป็นความสัมพันธ์เชิงลำดับ แต่ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ต่างจากความสัมพันธ์ "พหุคูณ" ก็มีคุณสมบัติของความเชื่อมโยงเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" จะจัดลำดับเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นเส้นตรง เราไม่ควรคิดว่าความสัมพันธ์ทั้งหมดแบ่งออกเป็นความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันและความสัมพันธ์ของระเบียบ มีความสัมพันธ์จำนวนมากที่ไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันหรือความสัมพันธ์เชิงลำดับ
- นั่นคือ 
.
คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง
ตัวอย่างของความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน
การแยกตัวประกอบของการแมป
วรรณกรรม
ดูสิ่งนี้ด้วย
ดูว่า "ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:
หนังสือ
ความเท่าเทียมกันและความสัมพันธ์เชิงลำดับ
มักจะเขียน
?
ต่อหน้าทุกคน คำสั่งนี้จะไม่เป็นแบบเชิงเส้น
เซตย่อยเหล่านี้ไม่ได้ตัดกัน และสหภาพของพวกมันเกิดขึ้นพร้อมกับเซต X นั่นคือเรามีพาร์ติชั่นของเซต X ออกเป็นคลาสต่างๆ นี่ไม่ใช่อุบัติเหตุ
