குழந்தைகளுக்கான ஆண்டிபிரைடிக்ஸ் ஒரு குழந்தை மருத்துவரால் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. ஆனால் குழந்தைக்கு உடனடியாக மருந்து கொடுக்க வேண்டியிருக்கும் போது காய்ச்சலுக்கான அவசர சூழ்நிலைகள் உள்ளன. பின்னர் பெற்றோர்கள் பொறுப்பேற்று ஆண்டிபிரைடிக் மருந்துகளைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். குழந்தைகளுக்கு என்ன கொடுக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது? வயதான குழந்தைகளின் வெப்பநிலையை எவ்வாறு குறைப்பது? என்ன மருந்துகள் பாதுகாப்பானவை?
கணிதம் என்றால் என்னமக்கள் இயற்கையையும் தங்களையும் கட்டுப்படுத்துகிறார்கள்.
சோவியத் கணிதவியலாளர், கல்வியாளர் ஏ.என். கோல்மோகோரோவ்
வடிவியல் முன்னேற்றம்.
கணிதத்தில் நுழைவுத் தேர்வுகளில் எண்கணித முன்னேற்றங்களுக்கான பணிகளுடன், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கருத்துடன் தொடர்புடைய பணிகளும் பொதுவானவை. இத்தகைய சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, நீங்கள் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பண்புகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதில் நல்ல திறன்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.
இந்த கட்டுரை வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய பண்புகளை வழங்குவதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. இது வழக்கமான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளையும் வழங்குகிறது, கணிதத்தில் நுழைவுத் தேர்வுகளின் பணிகளிலிருந்து கடன் வாங்கப்பட்டது.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய பண்புகளை முன்கூட்டியே கவனிப்போம் மற்றும் மிக முக்கியமான சூத்திரங்கள் மற்றும் அறிக்கைகளை நினைவுபடுத்துவோம், இந்த கருத்துடன் தொடர்புடையது.
வரையறை.ஒரு எண் வரிசையானது, அதன் ஒவ்வொரு எண்களும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய எண்ணுக்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கினால், அது வடிவியல் முன்னேற்றம் எனப்படும். எண் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்குசூத்திரங்கள் செல்லுபடியாகும்
, (1)
எங்கே . ஃபார்முலா (1) என்பது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல்லின் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் சூத்திரம் (2) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்து: முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் அதன் அண்டை உறுப்பினர்களின் வடிவியல் சராசரி மற்றும் .
குறிப்பு, இந்தச் சொத்தின் காரணமாகவே கேள்விக்குரிய முன்னேற்றம் "வடிவியல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.
மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் (1) மற்றும் (2) பின்வருமாறு சுருக்கப்பட்டுள்ளன:
, (3)
தொகையை கணக்கிடமுதலில் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள்சூத்திரம் பொருந்தும்
நாம் நியமித்தால்
எங்கே . , சூத்திரம் (6) என்பது சூத்திரத்தின் (5) பொதுமைப்படுத்தலாகும்.
வழக்கில் எப்போது மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றம்முடிவில்லாமல் குறைந்து வருகிறது. தொகையை கணக்கிடமுடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அனைத்து உறுப்பினர்களிலும், சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது
. (7)
உதாரணத்திற்கு , சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (7), ஒருவர் காட்டலாம், என்ன
எங்கே . , (முதல் சமத்துவம்) மற்றும் , (இரண்டாவது சமத்துவம்) சூத்திரம் (7) இலிருந்து இந்த சமத்துவங்கள் பெறப்படுகின்றன.
தேற்றம்.என்றால், பின்னர்
ஆதாரம். அப்படியானால்,
தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
"வடிவியல் முன்னேற்றம்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொண்டு செல்லலாம்.
உதாரணம் 1கொடுக்கப்பட்டது: , மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.சூத்திரம் (5) பயன்படுத்தப்பட்டால், பிறகு
பதில்: .
உதாரணம் 2நாம் மற்றும். கண்டுபிடி .
தீர்வு.இருந்து மற்றும் , நாம் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் (5), (6) மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்
அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாடு (9) முதல் ஆல் வகுக்கப்பட்டால், பின்னர் அல்லது. இதிலிருந்து பின்வருமாறு . இரண்டு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
1. என்றால், பின்னர் கணினியின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து (9) நம்மிடம் உள்ளது.
2. என்றால் , பிறகு .
எடுத்துக்காட்டு 3விடு , மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.இது சூத்திரம் (2) அல்லது . முதல் , பின்னர் அல்லது .
நிபந்தனையின்படி. எனினும் , எனவே . ஏனெனில் மற்றும், பின்னர் இங்கே சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது
கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாடு முதலில் வகுக்கப்பட்டால், அல்லது .
சமன்பாடு ஒரு பொருத்தமான மூலத்தைக் கொண்டிருப்பதால். இந்த வழக்கில், அமைப்பின் முதல் சமன்பாடு குறிக்கிறது.
கணக்கு சூத்திரம் (7) எடுத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்.
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 4கொடுக்கப்பட்டது: மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.அப்போதிருந்து .
ஏனெனில் , பின்னர் அல்லது
சூத்திரம் (2) படி, எங்களிடம் உள்ளது. இது சம்பந்தமாக, சமத்துவத்திலிருந்து (10) நாம் பெறுகிறோம் அல்லது .
இருப்பினும், நிபந்தனையின்படி, எனவே .
உதாரணம் 5என்பது தெரிந்ததே. கண்டுபிடி .
தீர்வு. தேற்றத்தின்படி, நமக்கு இரண்டு சமத்துவங்கள் உள்ளன
முதல் , பின்னர் அல்லது . ஏனெனில் , அப்போது .
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 6கொடுக்கப்பட்டது: மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.கணக்கு சூத்திரம் (5) எடுத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்
அப்போதிருந்து . முதல் , மற்றும் , பின்னர் .
எடுத்துக்காட்டு 7நாம் மற்றும். கண்டுபிடி .
தீர்வு.சூத்திரம் (1) படி, நாம் எழுதலாம்
எனவே, எங்களிடம் உள்ளது அல்லது . அது அறியப்படுகிறது மற்றும் , எனவே மற்றும் .
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 8என்றால் எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறியவும்
மற்றும் .
தீர்வு. சூத்திரம் (7) இலிருந்து பின்வருமாறுமற்றும் . இங்கிருந்து மற்றும் சிக்கலின் நிலையிலிருந்து, நாம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்
கணினியின் முதல் சமன்பாடு சதுரமாக இருந்தால், பின்னர் வரும் சமன்பாட்டை இரண்டாவது சமன்பாட்டால் வகுக்கவும், பிறகு நாம் பெறுவோம்
அல்லது .
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 9வரிசை , ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாக இருக்கும் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்.
தீர்வு.விடு , மற்றும் . வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்தை வரையறுக்கும் சூத்திரம் (2) படி, நாம் எழுதலாம் அல்லது .
இங்கிருந்து நாம் இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், யாருடைய வேர்கள்மற்றும் .
சரிபார்ப்போம்: என்றால், பின்னர் , மற்றும்; என்றால் , பின்னர் , மற்றும் .
முதல் வழக்கில் எங்களிடம் உள்ளதுமற்றும் , மற்றும் இரண்டாவது - மற்றும் .
பதில்:,.
எடுத்துக்காட்டு 10சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
, (11)
எங்கே மற்றும்.
தீர்வு. சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் (11) என்பது எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையாகும், இதில் மற்றும் , வழங்கப்பட்டுள்ளது: மற்றும் .
சூத்திரம் (7) இலிருந்து பின்வருமாறு, என்ன . இது சம்பந்தமாக, சமன்பாடு (11) வடிவம் எடுக்கிறதுஅல்லது . பொருத்தமான வேர் இருபடி சமன்பாடு ஆகும்
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 11.பி நேர்மறை எண்களின் வரிசைஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகிறது, ஏ - வடிவியல் முன்னேற்றம், அதற்கும் என்ன சம்பந்தம் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.ஏனெனில் எண்கணித வரிசை, அந்த (ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்து). ஏனெனில், பின்னர் அல்லது. இது குறிக்கிறது, வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று. சூத்திரத்தின் படி (2), பிறகு என்று எழுதுகிறோம் .
முதல் மற்றும் , பின்னர் . அந்த வழக்கில், வெளிப்பாடுவடிவம் எடுக்கிறது அல்லது. நிபந்தனையின்படி, எனவே சமன்பாட்டிலிருந்துபரிசீலனையில் உள்ள சிக்கலின் தனித்துவமான தீர்வைப் பெறுகிறோம், அதாவது .
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 12.தொகையைக் கணக்கிடுங்கள்
. (12)
தீர்வு. சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் (12) 5 ஆல் பெருக்கி பெறவும்
விளைந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து (12) கழித்தால், அந்த
அல்லது .
கணக்கிட, நாம் மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் (7) மாற்றி, பெறுகிறோம். அப்போதிருந்து .
பதில்: .
நுழைவுத் தேர்வுகளுக்குத் தயாராகும் விண்ணப்பதாரர்களுக்கு இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். சிக்கலைத் தீர்க்கும் முறைகள் பற்றிய ஆழமான ஆய்வுக்கு, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்துடன் தொடர்புடையது, பரிந்துரைக்கப்பட்ட இலக்கியங்களின் பட்டியலிலிருந்து நீங்கள் பயிற்சிகளைப் பயன்படுத்தலாம்.
1. தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகங்களுக்கு விண்ணப்பிப்பவர்களுக்கான கணிதத்தில் பணிகளின் சேகரிப்பு / எட். எம்.ஐ. ஸ்கானாவி. – எம்.: மிர் ஐ ஒப்ராசோவனி, 2013. – 608 பக்.
2. சுப்ருன் வி.பி. உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கான கணிதம்: பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் கூடுதல் பிரிவுகள். – எம்.: லெனாண்ட் / யுஆர்எஸ்எஸ், 2014. - 216 பக்.
3. மெடின்ஸ்கி எம்.எம். பணிகள் மற்றும் பயிற்சிகளில் அடிப்படைக் கணிதத்தின் முழுமையான படிப்பு. புத்தகம் 2: எண் வரிசைகள் மற்றும் முன்னேற்றங்கள். - எம்.: எடிடஸ், 2015. - 208 பக்.
உங்களுக்கு ஏதேனும் கேள்விகள் உள்ளனவா?
ஒரு ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற - பதிவு செய்யுங்கள்.
தளத்தில், பொருளின் முழு அல்லது பகுதி நகலுடன், மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.
எண் வரிசைகள் VI
§ l48. முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை
இப்போது வரை, தொகைகளைப் பற்றி பேசுகையில், இந்த தொகைகளில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும் என்று நாங்கள் எப்போதும் கருதுகிறோம் (எடுத்துக்காட்டாக, 2, 15, 1000, முதலியன). ஆனால் சில சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது (குறிப்பாக உயர் கணிதம்), எண்ணற்ற சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கையாள வேண்டும்.
எஸ்= அ 1 + அ 2 + ... + அ n + ... . (1)
இந்த தொகைகள் என்ன? A-priory எண்ணற்ற சொற்களின் கூட்டுத்தொகை அ 1 , அ 2 , ..., அ n , ... தொகை S இன் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது n முதலில் பி எண்கள் எப்போது பி -> ∞ :
S=S n = (அ 1 + அ 2 + ... + அ n ). (2)
வரம்பு (2), நிச்சயமாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம். அதன்படி, கூட்டுத்தொகை (1) உள்ளது அல்லது இல்லை என்று கூறப்படுகிறது.
ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட வழக்கிலும் கூட்டுத்தொகை (1) உள்ளதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி? இந்த கேள்விக்கான பொதுவான தீர்வு எங்கள் திட்டத்தின் நோக்கத்திற்கு அப்பாற்பட்டது. இருப்பினும், நாம் இப்போது கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய முக்கியமான சிறப்பு வழக்கு ஒன்று உள்ளது. எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையைப் பற்றி பேசுவோம்.
விடுங்கள் அ 1 , அ 1 கே , அ 1 கே 2 , ... என்பது எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். இதன் பொருள் | கே |< 1. Сумма первых பி இந்த முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் சமமானவர்கள்
மாறிகளின் வரம்புகளின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளிலிருந்து (§ 136 ஐப் பார்க்கவும்) நாம் பெறுகிறோம்:
ஆனால் 1 = 1, ஏ q n = 0. எனவே
எனவே, முடிவில்லாமல் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையானது, இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்தை, இந்த முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கழித்தால் வகுக்கப்படும்.
1) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை 1, 1/3, 1/9, 1/27, ...
மற்றும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை 12; -6; 3; - 3/2 , ... சமம்
2) ஒரு எளிய கால பின்னம் 0.454545 ... சாதாரணமாக மாறவும்.
இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, இந்தப் பகுதியை எல்லையற்ற தொகையாகக் குறிப்பிடுகிறோம்:
இந்த சமத்துவத்தின் வலது பக்கம் எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை ஆகும், இதன் முதல் சொல் 45/100, மற்றும் வகுத்தல் 1/100 ஆகும். அதனால் தான்
விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறையில், எளிய கால பின்னங்களை சாதாரண பின்னங்களாக மாற்றுவதற்கான பொதுவான விதியையும் பெறலாம் (அத்தியாயம் II, § 38 ஐப் பார்க்கவும்):
ஒரு எளிய காலப் பகுதியை சாதாரணமாக மாற்ற, நீங்கள் பின்வருமாறு தொடர வேண்டும்: தசமப் பகுதியின் காலத்தை எண்களில் வைக்கவும், வகுப்பில் - ஒன்பதுகளைக் கொண்ட எண், அந்தக் காலகட்டத்தில் எத்தனை முறை இலக்கங்கள் உள்ளனவோ அவ்வளவு முறை எடுக்கப்பட்டது. தசமப் பகுதியின்.
3) கலப்பு கால பின்னம் 0.58333 .... ஒரு சாதாரண பின்னமாக மாறவும்.
இந்த பின்னத்தை எல்லையற்ற தொகையாகக் குறிப்பிடுவோம்:
இந்த சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில், 3/1000 இலிருந்து தொடங்கும் அனைத்து சொற்களும் எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன, இதன் முதல் சொல் 3/1000, மற்றும் வகுத்தல் 1/10 ஆகும். அதனால் தான்
விவரிக்கப்பட்டுள்ள விதத்தில், கலப்பு கால பின்னங்களை சாதாரண பின்னங்களாக மாற்றுவதற்கான பொதுவான விதியையும் பெறலாம் (அத்தியாயம் II, § 38 ஐப் பார்க்கவும்). நாங்கள் வேண்டுமென்றே அதை இங்கே சேர்க்கவில்லை. இந்த சிக்கலான விதியை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. எந்த ஒரு கலப்பு கால பின்னமும் எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் சில எண்ணின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்படலாம் என்பதை அறிவது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். மற்றும் சூத்திரம்
முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கு, ஒருவர் நிச்சயமாக நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.
ஒரு பயிற்சியாக, கீழே உள்ள சிக்கல் எண். 995-1000 தவிர, மீண்டும் சிக்கல் எண் 301 § 38 க்கு திரும்ப உங்களை அழைக்கிறோம்.
பயிற்சிகள்
995. எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை என்ன?
996. எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் தொகைகளைக் கண்டறியவும்:
997. என்ன மதிப்புகளுக்கு எக்ஸ் முன்னேற்றம்
முடிவில்லாமல் குறைகிறதா? அத்தகைய முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.
998. ஒரு பக்கத்துடன் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில் ஏ ஒரு புதிய முக்கோணம் அதன் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைப்பதன் மூலம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது; இந்த முக்கோணத்தில் அதே வழியில் ஒரு புதிய முக்கோணம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.
a) இந்த அனைத்து முக்கோணங்களின் சுற்றளவுகளின் கூட்டுத்தொகை;
b) அவற்றின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை.
999. ஒரு பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தில் ஏ ஒரு புதிய சதுரம் அதன் பக்கங்களின் நடுப்பகுதிகளை இணைப்பதன் மூலம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது; ஒரு சதுரம் இந்த சதுரத்தில் அதே வழியில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் விளம்பர முடிவில்லாதது. இந்த அனைத்து சதுரங்களின் சுற்றளவுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.
1000. எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தை உருவாக்கவும், அதன் கூட்டுத்தொகை 25/4 க்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் அதன் சொற்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 625/24 க்கு சமமாக இருக்கும்.
ஒரு தொடரைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
7 28 112 448 1792...
அதன் எந்த உறுப்புகளின் மதிப்பு முந்தையதை விட சரியாக நான்கு மடங்கு அதிகம் என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது. எனவே இந்தத் தொடர் ஒரு முன்னேற்றம்.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது எண்களின் எல்லையற்ற வரிசையாகும், இதன் முக்கிய அம்சம் என்னவென்றால், சில குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் அடுத்த எண் முந்தைய எண்ணிலிருந்து பெறப்படுகிறது. இது பின்வரும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
a z +1 =a z q, இங்கு z என்பது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை.
அதன்படி, z ∈ N.
பள்ளியில் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் படிக்கும் காலம் தரம் 9 ஆகும். கருத்தைப் புரிந்துகொள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் உதவும்:
0.25 0.125 0.0625...
இந்த சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினை பின்வருமாறு காணலாம்:
q அல்லது b z பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது. மேலும், முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது.
அதன்படி, தொடரின் அடுத்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் கடைசி எண்ணை q ஆல் பெருக்க வேண்டும்.
இந்த முன்னேற்றத்தைக் குறிப்பிட, நீங்கள் அதன் முதல் உறுப்பு மற்றும் வகுப்பினைக் குறிப்பிட வேண்டும். அதன் பிறகு, அடுத்தடுத்த விதிமுறைகள் மற்றும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய முடியும்.
வகைகள்
q மற்றும் a 1 ஐப் பொறுத்து, இந்த முன்னேற்றம் பல வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது:
- ஒரு 1 மற்றும் q இரண்டும் ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், அத்தகைய வரிசையானது ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்புக்கும் அதிகரிக்கும் வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். அத்தகைய ஒரு உதாரணம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு: a 1 =3, q=2 - இரண்டு அளவுருக்களும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை.
பின்னர் எண் வரிசையை இப்படி எழுதலாம்:
3 6 12 24 48 ...
- என்றால் |q| ஒன்றுக்குக் குறைவானது, அதாவது, அதன் மூலம் பெருக்குவது வகுபடுதலுக்குச் சமம், பின்னர் ஒத்த நிலைகளைக் கொண்ட முன்னேற்றம் குறைந்து வரும் வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். அத்தகைய ஒரு உதாரணம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு: a 1 =6, q=1/3 - a 1 என்பது ஒன்றை விட பெரியது, q என்பது குறைவு.
பின்னர் எண் வரிசையை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
6 2 2/3 ... - எந்த உறுப்பும் அதைத் தொடர்ந்து வரும் உறுப்பை விட 3 மடங்கு அதிகமாகும்.
- குறி-மாறி. கே என்றால்<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
எடுத்துக்காட்டு: a 1 = -3 , q = -2 - இரண்டு அளவுருக்களும் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும்.
பின்னர் வரிசையை இப்படி எழுதலாம்:
3, 6, -12, 24,...
சூத்திரங்கள்
வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் வசதியான பயன்பாட்டிற்கு, பல சூத்திரங்கள் உள்ளன:
- z-வது உறுப்பினரின் சூத்திரம். முந்தைய எண்களைக் கணக்கிடாமல் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் கீழ் உள்ள உறுப்பைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.
உதாரணமாக:கே = 3, அ 1 = 4. முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கணக்கிடுவது அவசியம்.
தீர்வு:அ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- எண் இருக்கும் முதல் உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை z. வரையிலான வரிசையின் அனைத்து உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறதுஒரு இசட்உள்ளடக்கியது.
முதல் (1-கே) வகுப்பில் உள்ளது, பின்னர் (1 - q)≠ 0, எனவே q என்பது 1க்கு சமமாக இருக்காது.
குறிப்பு: q=1 எனில், முன்னேற்றமானது எண்ணற்ற எண்ணின் தொடராக இருக்கும்.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை, எடுத்துக்காட்டுகள்:அ 1 = 2, கே= -2. S 5 ஐக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு:எஸ் 5 = 22 - சூத்திரம் மூலம் கணக்கீடு.
- தொகை என்றால் |கே| < 1 и если z стремится к бесконечности.
உதாரணமாக:அ 1 = 2 , கே= 0.5. தொகையைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
சில பண்புகள்:
- பண்பு சொத்து. பின்வரும் நிபந்தனை என்றால் எதற்காகவும் நிகழ்த்தப்பட்டதுz, கொடுக்கப்பட்ட எண் தொடர் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம்:
ஒரு இசட் 2 = ஒரு இசட் -1 · அz+1
- மேலும், இந்த உறுப்பிலிருந்து சமமான தொலைவில் இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட தொடரில் உள்ள மற்ற இரண்டு எண்களின் சதுரங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த எண்ணின் வர்க்கமும் கண்டறியப்படுகிறது.
ஒரு இசட் 2 = ஒரு இசட் - டி 2 + ஒரு இசட் + டி 2 , எங்கேடிஇந்த எண்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம்.
- கூறுகள்q இல் வேறுபடுகின்றனஒருமுறை.
- முன்னேற்ற உறுப்புகளின் மடக்கைகளும் ஒரு முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன, ஆனால் ஏற்கனவே எண்கணிதம், அதாவது அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் முந்தையதை விட அதிகமாக உள்ளன.
சில கிளாசிக்கல் பிரச்சனைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்
வடிவியல் முன்னேற்றம் என்றால் என்ன என்பதை நன்கு புரிந்துகொள்ள, தரம் 9க்கான தீர்வுடன் எடுத்துக்காட்டுகள் உதவும்.
- நிபந்தனைகள்:அ 1 = 3, அ 3 = 48. கண்டுபிடிகே.
தீர்வு: ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த உறுப்பும் முந்தையதை விட அதிகமாக உள்ளதுகே ஒருமுறை.ஒரு வகுப்பைப் பயன்படுத்தி சில கூறுகளை மற்றவற்றின் மூலம் வெளிப்படுத்துவது அவசியம்.
எனவே,அ 3 = கே 2 · அ 1
மாற்றும் போதுகே= 4
- நிபந்தனைகள்:அ 2 = 6, அ 3 = 12. S 6 ஐக் கணக்கிடவும்.
தீர்வு:இதைச் செய்ய, முதல் உறுப்பு q ஐக் கண்டுபிடித்து அதை சூத்திரத்தில் மாற்றினால் போதும்.
அ 3 = கே· அ 2 , எனவே,கே= 2
a 2 = q ஒரு 1,அதனால் தான் a 1 = 3
எஸ் 6 = 189
- · அ 1 = 10, கே= -2. முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு: இதைச் செய்ய, நான்காவது உறுப்பை முதல் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் வெளிப்படுத்தினால் போதும்.
a 4 = q 3· a 1 = -80
விண்ணப்ப உதாரணம்:
- வங்கியின் வாடிக்கையாளர் 10,000 ரூபிள் தொகையில் டெபாசிட் செய்தார், அதன் விதிமுறைகளின் கீழ் ஒவ்வொரு ஆண்டும் வாடிக்கையாளர் அதில் 6% அசல் தொகையில் சேர்ப்பார். 4 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கணக்கில் எவ்வளவு பணம் இருக்கும்?
தீர்வு: ஆரம்ப தொகை 10 ஆயிரம் ரூபிள் ஆகும். எனவே, முதலீட்டிற்கு ஒரு வருடம் கழித்து, கணக்கில் 10,000 + 10,000 க்கு சமமான தொகை இருக்கும் · 0.06 = 10000 1.06
அதன்படி, மற்றொரு வருடத்திற்குப் பிறகு கணக்கில் உள்ள தொகை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:
(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000
அதாவது, ஒவ்வொரு ஆண்டும் தொகை 1.06 மடங்கு அதிகரிக்கிறது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், 4 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கணக்கில் உள்ள நிதிகளின் அளவைக் கண்டுபிடிக்க, முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கண்டறிவது போதுமானது, இது 10 ஆயிரத்திற்கு சமமான முதல் உறுப்பு மற்றும் 1.06 க்கு சமமான வகுப்பால் வழங்கப்படுகிறது.
எஸ் = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
தொகையைக் கணக்கிடுவதற்கான பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:
பல்வேறு சிக்கல்களில், ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தொகையைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணம் பின்வருமாறு கொடுக்கப்படலாம்:
அ 1 = 4, கே= 2, கணக்கிடுங்கள்S5.
தீர்வு: கணக்கீட்டிற்கு தேவையான அனைத்து தரவுகளும் அறியப்படுகின்றன, நீங்கள் அவற்றை சூத்திரத்தில் மாற்ற வேண்டும்.
எஸ் 5 = 124
- அ 2 = 6, அ 3 = 18. முதல் ஆறு தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடவும்.
தீர்வு:
Geom. முன்னேற்றம், ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பும் முந்தையதை விட q மடங்கு அதிகம், அதாவது, தொகையைக் கணக்கிட, நீங்கள் உறுப்பை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்அ 1 மற்றும் வகுத்தல்கே.
அ 2 · கே = அ 3
கே = 3
இதேபோல், நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்அ 1 , தெரிந்துகொள்வதுஅ 2 மற்றும்கே.
அ 1 · கே = அ 2
a 1 =2
எஸ் 6 = 728.
எனவே உட்கார்ந்து சில எண்களை எழுத ஆரம்பிக்கலாம். உதாரணத்திற்கு:
நீங்கள் எந்த எண்களையும் எழுதலாம், மேலும் நீங்கள் விரும்பும் பல இருக்கலாம் (எங்கள் விஷயத்தில், அவை). நாம் எத்தனை எண்களை எழுதினாலும், அவற்றில் எது முதல், எது இரண்டாவது என்று எப்போதும் சொல்லலாம், கடைசி வரை, அதாவது அவற்றை எண்ணலாம். எண் வரிசைக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு:
எண் வரிசைஎண்களின் தொகுப்பாகும், ஒவ்வொன்றும் ஒரு தனிப்பட்ட எண்ணை ஒதுக்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் வரிசைக்கு:
ஒதுக்கப்பட்ட எண் ஒரு வரிசை எண்ணுக்கு மட்டுமே குறிப்பிட்டது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வரிசையில் மூன்று வினாடி எண்கள் இல்லை. இரண்டாவது எண் (-வது எண் போன்றது) எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
எண்ணைக் கொண்ட எண் வரிசையின் -வது உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
நாம் வழக்கமாக முழு வரிசையையும் சில கடிதம் (உதாரணமாக,) என்று அழைக்கிறோம், மேலும் இந்த வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் - இந்த உறுப்பினரின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான குறியீட்டுடன் ஒரே கடிதம்: .
எங்கள் விஷயத்தில்:
முன்னேற்றத்தின் மிகவும் பொதுவான வகைகள் எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் ஆகும். இந்த தலைப்பில், நாம் இரண்டாவது வகை பற்றி பேசுவோம் - வடிவியல் முன்னேற்றம்.
நமக்கு ஏன் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமும் அதன் வரலாறும் தேவை.
பண்டைய காலங்களில் கூட, இத்தாலிய கணிதவியலாளர், பிசாவின் துறவி லியோனார்டோ (பிபோனச்சி என்று அழைக்கப்படுபவர்), வர்த்தகத்தின் நடைமுறைத் தேவைகளைக் கையாண்டார். துறவி, பொருட்களை எடைபோட பயன்படுத்தக்கூடிய மிகச்சிறிய எடைகள் எது என்பதை தீர்மானிக்கும் பணியை எதிர்கொண்டார்? ஃபிபோனச்சி தனது எழுத்துக்களில், அத்தகைய எடை அமைப்பு உகந்தது என்பதை நிரூபிக்கிறது: இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை மக்கள் எதிர்கொள்ள வேண்டிய முதல் சூழ்நிலைகளில் ஒன்றாகும், இது நீங்கள் கேள்விப்பட்டிருக்கலாம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பொதுவான யோசனையைப் பெற்றிருக்கலாம். நீங்கள் தலைப்பை முழுமையாகப் புரிந்துகொண்டவுடன், அத்தகைய அமைப்பு ஏன் உகந்தது என்று யோசித்துப் பாருங்கள்?
தற்போது, வாழ்க்கை நடைமுறையில், வங்கியில் நிதியை முதலீடு செய்யும் போது, முந்தைய காலக்கட்டத்தில் கணக்கில் திரட்டப்பட்ட தொகைக்கு வட்டி வசூலிக்கப்படும் போது, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் வெளிப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நீங்கள் சேமிப்பு வங்கியில் டெர்ம் டெபாசிட்டில் பணத்தை வைத்தால், ஒரு வருடத்தில் வைப்புத்தொகை அசல் தொகையிலிருந்து அதிகரிக்கும், அதாவது. புதிய தொகை பங்களிப்பை பெருக்குவதற்கு சமமாக இருக்கும். மற்றொரு ஆண்டில், இந்தத் தொகை அதிகரிக்கும், அதாவது. அந்த நேரத்தில் பெறப்பட்ட தொகை மீண்டும் பெருக்கப்படுகிறது மற்றும் பல. கம்ப்யூட்டிங்கில் உள்ள சிக்கல்களில் இதேபோன்ற நிலைமை விவரிக்கப்பட்டுள்ளது கூட்டு வட்டி- முந்தைய வட்டியை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, கணக்கில் இருக்கும் தொகையிலிருந்து ஒவ்வொரு முறையும் சதவீதம் எடுக்கப்படுகிறது. இந்த பணிகளைப் பற்றி சிறிது நேரம் கழித்து பேசுவோம்.
வடிவியல் முன்னேற்றம் பயன்படுத்தப்படும் இன்னும் பல எளிய வழக்குகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, இன்ஃப்ளூயன்ஸாவின் பரவல்: ஒரு நபர் ஒரு நபரைத் தொற்றினார், அவர் மற்றொரு நபரைப் பாதித்தார், இதனால் இரண்டாவது அலை தொற்று ஒரு நபர், மேலும் அவர்கள் மற்றொருவருக்கு தொற்று ... மற்றும் பல. .
மூலம், நிதி பிரமிடு, அதே MMM, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பண்புகளின் படி ஒரு எளிய மற்றும் உலர் கணக்கீடு ஆகும். சுவாரஸ்யமானதா? அதை கண்டுபிடிக்கலாம்.
வடிவியல் முன்னேற்றம்.
எங்களிடம் ஒரு எண் வரிசை உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:
இது எளிதானது மற்றும் அத்தகைய வரிசையின் பெயர் அதன் உறுப்பினர்களின் வித்தியாசத்துடன் உள்ளது என்று நீங்கள் உடனடியாக பதிலளிப்பீர்கள். இது போன்ற ஒன்றைப் பற்றி எப்படி:
முந்தைய எண்ணை அடுத்த எண்ணிலிருந்து கழித்தால், ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் ஒரு புதிய வித்தியாசத்தைப் பெறுவீர்கள் (மற்றும் பல), ஆனால் வரிசை நிச்சயமாக உள்ளது மற்றும் கவனிக்க எளிதானது - ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த எண்ணும் முந்தையதை விட மடங்கு பெரியது !
இந்த வகை வரிசை அழைக்கப்படுகிறது வடிவியல் முன்னேற்றம்மற்றும் குறிக்கப்பட்டுள்ளது.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் ( ) என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
முதல் சொல் ( ) சமமாக இல்லை மற்றும் சீரற்றதாக இல்லை என்ற கட்டுப்பாடுகள். எதுவும் இல்லை என்றும், முதல் சொல் இன்னும் சமம் என்றும், q என்பது, ஹ்ம்ம் .. விடுங்கள், பின்னர் அது மாறிவிடும்:
இது எந்த முன்னேற்றமும் இல்லை என்பதை ஒப்புக்கொள்.
நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எந்த எண்ணாக இருந்தாலும் அதே முடிவுகளைப் பெறுவோம், ஆனால். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், எந்த முன்னேற்றமும் இருக்காது, ஏனெனில் முழு எண் தொடர் அனைத்து பூஜ்ஜியங்கள் அல்லது ஒரு எண் மற்றும் மீதமுள்ள அனைத்து பூஜ்ஜியங்களாக இருக்கும்.
இப்போது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பைப் பற்றி மேலும் விரிவாகப் பேசலாம், அதாவது.
மீண்டும், இது எண் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் எத்தனை முறை மாறுகிறதுவடிவியல் முன்னேற்றம்.
அது என்னவாக இருக்கும் என்று நினைக்கிறீர்கள்? அது சரி, நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை, ஆனால் பூஜ்ஜியம் அல்ல (நாங்கள் இதைப் பற்றி கொஞ்சம் அதிகமாகப் பேசினோம்).
நம்மிடம் ஒரு பாசிட்டிவ் இருக்கிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். எங்கள் விஷயத்தில், ஏ. இரண்டாவது தவணை என்றால் என்ன? நீங்கள் எளிதாக பதிலளிக்கலாம்:
எல்லாம் சரி. அதன்படி, முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களுக்கும் ஒரே அடையாளம் இருந்தால் - அவர்கள் நேர்மறை.
எதிர்மறையாக இருந்தால் என்ன செய்வது? உதாரணமாக, ஏ. இரண்டாவது தவணை என்றால் என்ன?
இது முற்றிலும் மாறுபட்ட கதை
இந்த முன்னேற்றத்தின் காலத்தை எண்ண முயற்சிக்கவும். உங்களுக்கு எவ்வளவு கிடைத்தது? என்னிடம் உள்ளது. இவ்வாறு, என்றால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் அறிகுறிகள் மாறி மாறி வருகின்றன. அதாவது, அதன் உறுப்பினர்களில் மாற்று அறிகுறிகளுடன் ஒரு முன்னேற்றத்தைக் கண்டால், அதன் வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்கும். இந்தத் தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது உங்களை நீங்களே சோதிக்க இந்த அறிவு உங்களுக்கு உதவும்.
இப்போது கொஞ்சம் பயிற்சி செய்வோம்: எந்த எண் வரிசைகள் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் அவை எண்கணிதம் என்பதை தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:
அறிந்துகொண்டேன்? எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுக:
- வடிவியல் முன்னேற்றம் - 3, 6.
- எண்கணித முன்னேற்றம் - 2, 4.
- இது ஒரு எண்கணிதமோ அல்லது வடிவியல் முன்னேற்றமோ அல்ல - 1, 5, 7.
எங்கள் கடைசி முன்னேற்றத்திற்குத் திரும்புவோம், மேலும் எண்கணிதத்தைப் போலவே அதன் காலத்தையும் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் யூகித்தபடி, அதைக் கண்டுபிடிக்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன.
ஒவ்வொரு சொல்லையும் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்குகிறோம்.
எனவே, விவரிக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் -வது உறுப்பினர் சமம்.
நீங்கள் ஏற்கனவே யூகித்தபடி, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் கண்டுபிடிக்க உதவும் சூத்திரத்தை நீங்களே உருவாக்குவீர்கள். அல்லது நிலைகளில் வது உறுப்பினரை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை விவரித்து, உங்களுக்காக ஏற்கனவே கொண்டு வந்திருக்கிறீர்களா? அப்படியானால், உங்கள் நியாயத்தின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும்.
இந்த முன்னேற்றத்தின் -வது உறுப்பினரைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணத்தின் மூலம் இதை விளக்குவோம்:
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்:
கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரின் மதிப்பை நீங்களே கண்டறியவும்.
நடந்ததா? எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுக:
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு முந்தைய உறுப்பினரையும் நாங்கள் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்கும்போது, முந்தைய முறையின் அதே எண்ணைப் பெற்றுள்ளீர்கள் என்பதைக் கவனியுங்கள்.
இந்த சூத்திரத்தை "தனிப்பயனாக்க" முயற்சிப்போம் - நாங்கள் அதை ஒரு பொதுவான வடிவத்தில் கொண்டு வருகிறோம்:
பெறப்பட்ட சூத்திரம் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் உண்மை - நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை. பின்வரும் நிபந்தனைகளுடன் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் அதை நீங்களே சரிபார்க்கவும்: , a.
நீங்கள் எண்ணினீர்களா? முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்:
ஒரு உறுப்பினரைப் போலவே முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரையும் கண்டுபிடிப்பது சாத்தியமாகும் என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறேன், இருப்பினும், தவறாகக் கணக்கிடுவதற்கான வாய்ப்பு உள்ளது. மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல்லை நாம் ஏற்கனவே கண்டுபிடித்திருந்தால், a, சூத்திரத்தின் "துண்டிக்கப்பட்ட" பகுதியைப் பயன்படுத்துவதை விட எளிதாக இருக்கும்.
எல்லையில்லாமல் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம்.
மிக சமீபத்தில், பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருப்பதைப் பற்றி பேசினோம், இருப்பினும், வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் சிறப்பு மதிப்புகள் உள்ளன. முடிவில்லாமல் குறைகிறது.
அதற்கு ஏன் இப்படி ஒரு பெயர் இருக்கிறது என்று நினைக்கிறீர்கள்?
தொடங்குவதற்கு, உறுப்பினர்களைக் கொண்ட சில வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எழுதுவோம்.
அப்படியானால் சொல்லலாம்:
ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் முந்தைய காலத்தை விட குறைவாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், ஆனால் ஏதேனும் எண் இருக்குமா? நீங்கள் உடனடியாக "இல்லை" என்று பதிலளிப்பீர்கள். அதனால்தான் முடிவில்லாமல் குறைகிறது - குறைகிறது, குறைகிறது, ஆனால் பூஜ்ஜியமாக மாறாது.
பார்வைக்கு இது எப்படி இருக்கிறது என்பதை தெளிவாக புரிந்து கொள்ள, நமது முன்னேற்றத்தின் வரைபடத்தை வரைய முயற்சிப்போம். எனவே, எங்கள் விஷயத்தில், சூத்திரம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:
விளக்கப்படங்களில், நாங்கள் சார்ந்து இருக்கப் பழகிவிட்டோம், எனவே:
வெளிப்பாட்டின் சாராம்சம் மாறவில்லை: முதல் பதிவில், வடிவியல் முன்னேற்ற உறுப்பினரின் மதிப்பை அதன் ஆர்டினல் எண்ணின் மீது நாங்கள் காட்டினோம், மேலும் இரண்டாவது பதிவில், வடிவியல் முன்னேற்ற உறுப்பினரின் மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டோம். ஆர்டினல் எண் என குறிப்பிடப்படவில்லை, ஆனால். வரைபடத்தைத் திட்டமிடுவது மட்டுமே மீதமுள்ளது.
உங்களுக்கு என்ன கிடைத்தது என்று பார்ப்போம். எனக்கு கிடைத்த விளக்கப்படம் இதோ:
பார்க்கவா? செயல்பாடு குறைகிறது, பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது, ஆனால் அதை ஒருபோதும் கடக்காது, எனவே அது முடிவில்லாமல் குறைகிறது. வரைபடத்தில் எங்கள் புள்ளிகளைக் குறிப்போம், அதே நேரத்தில் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பொருள் என்ன:
அதன் முதல் காலமும் சமமாக இருந்தால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரைபடத்தை திட்டவட்டமாக சித்தரிக்க முயற்சிக்கவும். எங்கள் முந்தைய விளக்கப்படத்திற்கும் என்ன வித்தியாசம் என்பதை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்?
சமாளித்தாயா? எனக்கு கிடைத்த விளக்கப்படம் இதோ:
இப்போது வடிவியல் முன்னேற்றத் தலைப்பின் அடிப்படைகளை நீங்கள் முழுமையாகப் புரிந்துகொண்டுள்ளீர்கள்: அது என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியும், அதன் சொல்லை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்பது உங்களுக்குத் தெரியும், மேலும் முடிவில்லாமல் குறைந்துவரும் வடிவியல் முன்னேற்றம் என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியும், அதன் முக்கிய சொத்துக்கு செல்லலாம்.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்து.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் சொத்து உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? ஆம், ஆம், இந்த முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த மதிப்புகள் இருக்கும்போது, ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான முன்னேற்றத்தின் மதிப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. நினைவிருக்கிறதா? இது:
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளுக்கு இப்போது நாம் அதே கேள்வியை எதிர்கொள்கிறோம். அத்தகைய சூத்திரத்தைப் பெற, வரைதல் மற்றும் தர்க்கம் செய்ய ஆரம்பிக்கலாம். நீங்கள் பார்ப்பீர்கள், இது மிகவும் எளிதானது, நீங்கள் மறந்துவிட்டால், அதை நீங்களே வெளியே கொண்டு வரலாம்.
மற்றொரு எளிய வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எடுத்துக் கொள்வோம், அதில் நமக்குத் தெரியும். எப்படி கண்டுபிடிப்பது? எண்கணித முன்னேற்றத்துடன், இது எளிதானது மற்றும் எளிமையானது, ஆனால் அது எப்படி இருக்கிறது? உண்மையில், வடிவவியலில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை - சூத்திரத்தின்படி எங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மதிப்பையும் நீங்கள் வரைய வேண்டும்.
நீங்கள் கேட்கிறீர்கள், நாங்கள் இப்போது அதை என்ன செய்வது? ஆம், மிகவும் எளிமையானது. தொடங்குவதற்கு, இந்த சூத்திரங்களை படத்தில் சித்தரிப்போம், மேலும் ஒரு மதிப்புக்கு வருவதற்கு அவற்றுடன் பல்வேறு கையாளுதல்களைச் செய்ய முயற்சிப்போம்.
நாம் கொடுக்கப்பட்ட எண்களில் இருந்து சுருக்கமாக, ஒரு சூத்திரத்தின் மூலம் அவற்றின் வெளிப்பாட்டிற்கு மட்டுமே கவனம் செலுத்துவோம். ஆரஞ்சு நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதை ஒட்டிய சொற்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். அவர்களுடன் பல்வேறு செயல்களைச் செய்ய முயற்சிப்போம், இதன் விளைவாக நாம் பெறலாம்.
கூட்டல்.
இரண்டு வெளிப்பாடுகளைச் சேர்க்க முயற்சிப்போம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:
இந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து, நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாங்கள் எந்த வகையிலும் வெளிப்படுத்த முடியாது, எனவே, நாங்கள் மற்றொரு விருப்பத்தை முயற்சிப்போம் - கழித்தல்.
கழித்தல்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இதிலிருந்து எங்களால் வெளிப்படுத்த முடியாது, எனவே, இந்த வெளிப்பாடுகளை ஒருவருக்கொருவர் பெருக்க முயற்சிப்போம்.
பெருக்கல்.
இப்போது நம்மிடம் இருப்பதைக் கவனமாகப் பாருங்கள், கண்டுபிடிக்க வேண்டியவற்றுடன் ஒப்பிடுகையில் நமக்கு வழங்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளைப் பெருக்கி:
நான் எதைப் பற்றி பேசுகிறேன் என்று யூகிக்கவா? சரியாக, அதைக் கண்டுபிடிக்க, நாம் விரும்பிய எண்ணுடன் ஒன்றோடொன்று பெருக்கப்படும் வடிவியல் முன்னேற்ற எண்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்க வேண்டும்:
இதோ போ. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்தை நீங்களே கழித்துவிட்டீர்கள். இந்த சூத்திரத்தை பொதுவான வடிவத்தில் எழுத முயற்சிக்கவும். நடந்ததா?
நிபந்தனை மறந்தது எப்போது? இது ஏன் முக்கியமானது என்பதைப் பற்றி சிந்தியுங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, அதை நீங்களே கணக்கிட முயற்சிக்கவும். இந்த வழக்கில் என்ன நடக்கிறது? அது சரி, முழு முட்டாள்தனம், ஏனெனில் சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:
அதன்படி, இந்த வரம்பை மறந்துவிடாதீர்கள்.
இப்போது என்னவென்று கணக்கிடுவோம்
சரியான பதில் - ! கணக்கிடும் போது இரண்டாவது சாத்தியமான மதிப்பை நீங்கள் மறக்கவில்லை என்றால், நீங்கள் ஒரு சிறந்த தோழர், நீங்கள் உடனடியாக பயிற்சிக்கு செல்லலாம், நீங்கள் மறந்துவிட்டால், கீழே பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளதைப் படித்து, இரு வேர்களும் ஏன் பதிலில் எழுதப்பட வேண்டும் என்பதைக் கவனியுங்கள். .
நமது இரண்டு வடிவியல் முன்னேற்றங்களையும் வரைவோம் - ஒன்று மதிப்புடன், மற்றொன்று மதிப்புடன், இரண்டுக்கும் இருப்பதற்கான உரிமை உள்ளதா எனச் சரிபார்க்கவும்:
அத்தகைய வடிவியல் முன்னேற்றம் உள்ளதா இல்லையா என்பதைச் சரிபார்க்க, அது கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து உறுப்பினர்களுக்கும் இடையில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கிறதா என்று பார்க்க வேண்டுமா? முதல் மற்றும் இரண்டாவது நிகழ்வுகளுக்கு qஐக் கணக்கிடவும்.
நாம் ஏன் இரண்டு பதில்களை எழுத வேண்டும் என்று பாருங்கள்? ஏனெனில் தேவையான காலத்தின் அடையாளம் அது நேர்மறையா எதிர்மறையா என்பதைப் பொறுத்தது! அது என்னவென்று நமக்குத் தெரியாததால், இரண்டு பதில்களையும் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் மூலம் எழுத வேண்டும்.
இப்போது நீங்கள் முக்கிய புள்ளிகளில் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளீர்கள் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்துக்கான சூத்திரத்தைக் கண்டறிந்து, கண்டுபிடித்து, தெரிந்து கொள்ளுங்கள் மற்றும்
உங்கள் பதில்களை சரியானவற்றுடன் ஒப்பிடுக:
நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள், விரும்பிய எண்ணுக்கு அருகில் உள்ள வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் மதிப்புகள் அல்ல, ஆனால் அதிலிருந்து சமமான தொலைவில் இருந்தால் என்ன. உதாரணமாக, நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட மற்றும். இந்த வழக்கில் நாம் பெறப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாமா? இந்த சாத்தியத்தை அதே வழியில் உறுதிப்படுத்த அல்லது மறுக்க முயற்சிக்கவும், ஒவ்வொரு மதிப்பும் எதைக் கொண்டுள்ளது என்பதை விவரிக்கவும், ஆரம்பத்தில் சூத்திரத்தைப் பெறும்போது நீங்கள் செய்ததைப் போல.
உனக்கு என்ன கிடைத்தது?
இப்போது மீண்டும் கவனமாக பாருங்கள்.
மற்றும் அதற்கேற்ப:
இதிலிருந்து சூத்திரம் செயல்படுகிறது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம் அண்டை நாடுகளுடன் மட்டுமல்லவடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விரும்பிய விதிமுறைகளுடன், ஆனால் உடன் சம தூரம்உறுப்பினர்கள் என்ன தேடுகிறார்கள்.
எனவே, எங்கள் அசல் சூத்திரம்:
அதாவது, முதலில் அப்படிச் சொன்னோம் என்றால், இப்போது அது குறைவான எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் சமமாக இருக்கலாம் என்று சொல்கிறோம். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு எண்களுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்.
குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில் பயிற்சி செய்யுங்கள், மிகவும் கவனமாக இருங்கள்!
- , . கண்டுபிடி.
- , . கண்டுபிடி.
- , . கண்டுபிடி.
முடிவு செய்ததா? நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருந்தீர்கள் மற்றும் ஒரு சிறிய பிடிப்பை கவனித்தீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.
நாங்கள் முடிவுகளை ஒப்பிடுகிறோம்.
முதல் இரண்டு நிகழ்வுகளில், மேலே உள்ள சூத்திரத்தை நாங்கள் அமைதியாகப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:
மூன்றாவது வழக்கில், எங்களுக்கு கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் வரிசை எண்களை கவனமாக பரிசீலிக்கும்போது, அவை நாம் தேடும் எண்ணிலிருந்து சமமான தொலைவில் இல்லை என்பதை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்: இது முந்தைய எண், ஆனால் நிலையில் அகற்றப்பட்டது, எனவே அது சாத்தியமில்லை. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த.
அதை எப்படி தீர்ப்பது? இது உண்மையில் தோன்றுவது போல் கடினம் அல்ல! எங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட ஒவ்வொரு எண்ணும், விரும்பிய எண்ணும் எதைக் கொண்டுள்ளது என்பதை உங்களுடன் எழுதுவோம்.
எனவே நாம் மற்றும். அவர்களை என்ன செய்யலாம் என்று பார்ப்போம். நான் பிரிக்க பரிந்துரைக்கிறேன். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
நாங்கள் எங்கள் தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:
அடுத்த படியை நாம் கண்டுபிடிக்கலாம் - இதற்காக நாம் விளைந்த எண்ணின் கனசதுர மூலத்தை எடுக்க வேண்டும்.
இப்போது நம்மிடம் இருப்பதை மீண்டும் பார்ப்போம். எங்களிடம் உள்ளது, ஆனால் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மேலும் இது இதற்கு சமம்:
கணக்கீட்டிற்கு தேவையான அனைத்து தரவையும் நாங்கள் கண்டறிந்தோம். சூத்திரத்தில் மாற்று:
எங்கள் பதில்: .
இதேபோன்ற மற்றொரு சிக்கலை நீங்களே தீர்க்க முயற்சிக்கவும்:
கொடுக்கப்பட்டது:,
கண்டுபிடி:
உங்களுக்கு எவ்வளவு கிடைத்தது? என்னிடம் உள்ளது - .
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, உண்மையில், உங்களுக்கு வேண்டும் ஒரே ஒரு சூத்திரத்தை மட்டும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்- . மீதமுள்ள அனைத்தையும் நீங்கள் எந்த நேரத்திலும் எந்த சிரமமும் இல்லாமல் திரும்பப் பெறலாம். இதைச் செய்ய, ஒரு காகிதத்தில் எளிமையான வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எழுதி, மேலே உள்ள சூத்திரத்தின்படி, அதன் ஒவ்வொரு எண்களும் சமமானவை என்பதை எழுதுங்கள்.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை.
கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையை விரைவாகக் கணக்கிட அனுமதிக்கும் சூத்திரங்களைக் கவனியுங்கள்:
வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெற, மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் அனைத்து பகுதிகளையும் நாம் பெருக்குகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
கூர்ந்து பாருங்கள்: கடைசி இரண்டு சூத்திரங்கள் பொதுவானவை என்ன? அது சரி, பொதுவான உறுப்பினர்கள், எடுத்துக்காட்டாக மற்றும் பல, முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்பினர் தவிர. 2 வது சமன்பாட்டிலிருந்து 1 வது சமன்பாட்டை கழிக்க முயற்சிப்போம். உனக்கு என்ன கிடைத்தது?
இப்போது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரின் சூத்திரத்தின் மூலம் வெளிப்படுத்தவும், அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை எங்கள் கடைசி சூத்திரத்தில் மாற்றவும்:
வெளிப்பாட்டைக் குழுவாக்கு. நீங்கள் பெற வேண்டும்:
செய்ய வேண்டியது எல்லாம் வெளிப்படுத்துவதுதான்:
அதன்படி, இந்த வழக்கில்.
என்றால் என்ன? பிறகு என்ன சூத்திரம் வேலை செய்கிறது? ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அவள் எப்படிப்பட்டவள்? ஒரே மாதிரியான எண்களின் வரிசை முறையே, சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:
எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைப் போலவே, பல புராணக்கதைகள் உள்ளன. அவற்றில் ஒன்று சதுரங்கத்தை உருவாக்கிய சேத்தின் புராணக்கதை.
செஸ் விளையாட்டு இந்தியாவில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பது பலருக்கும் தெரியும். இந்து மன்னன் அவளைச் சந்தித்தபோது, அவளுடைய புத்திசாலித்தனம் மற்றும் அவளில் சாத்தியமான பல்வேறு நிலைகள் ஆகியவற்றால் மகிழ்ச்சியடைந்தார். இது அவரது குடிமக்களில் ஒருவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பதை அறிந்ததும், ராஜா அவருக்கு தனிப்பட்ட முறையில் வெகுமதி அளிக்க முடிவு செய்தார். அவர் கண்டுபிடிப்பாளரை அவரிடம் அழைத்து, அவர் விரும்பியதைக் கேட்கும்படி கட்டளையிட்டார், மிகவும் திறமையான விருப்பத்தை கூட நிறைவேற்றுவதாக உறுதியளித்தார்.
செட்டா சிந்திக்க நேரம் கேட்டார், மறுநாள் சேட்டா ராஜா முன் தோன்றியபோது, அவர் தனது கோரிக்கையின் இணையற்ற அடக்கத்தால் ராஜாவை ஆச்சரியப்படுத்தினார். சதுரங்கப் பலகையின் முதல் சதுரத்திற்கு கோதுமை தானியம், இரண்டாவது கோதுமை, மூன்றாவது, நான்காவது, மற்றும் பலவற்றைக் கேட்டார்.
அரசன் கோபமடைந்து சேத்தை விரட்டினான், வேலைக்காரனின் வேண்டுகோள் அரச பெருந்தன்மைக்கு தகுதியற்றது என்று கூறி, ஆனால் வேலைக்காரன் பலகையின் அனைத்து கலங்களுக்கும் தனது தானியங்களைப் பெறுவதாக உறுதியளித்தார்.
இப்போது கேள்வி: ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, சேத் எத்தனை தானியங்களைப் பெற வேண்டும் என்பதைக் கணக்கிடுங்கள்?
விவாதிக்க ஆரம்பிக்கலாம். நிபந்தனையின்படி, சதுரங்கப் பலகையின் முதல் கலத்திற்கு, இரண்டாவது, மூன்றாவது, நான்காவது போன்றவற்றுக்கு, சேத் கோதுமை தானியத்தைக் கேட்டதால், பிரச்சனை ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தைப் பற்றியது என்பதைக் காண்கிறோம். இந்த வழக்கில் என்ன சமம்?
சரி.
சதுரங்கப் பலகையின் மொத்த செல்கள். முறையே, . எங்களிடம் எல்லா தரவுகளும் உள்ளன, இது சூத்திரத்தில் மாற்றுவதற்கும் கணக்கிடுவதற்கும் மட்டுமே உள்ளது.
கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் தோராயமாவது "அளவை" குறிக்க, பட்டத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மாற்றுகிறோம்:
நிச்சயமாக, நீங்கள் விரும்பினால், நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டரை எடுத்து, நீங்கள் எந்த வகையான எண்ணுடன் முடிவடைகிறீர்கள் என்பதைக் கணக்கிடலாம், இல்லையெனில், அதற்கான எனது வார்த்தையை நீங்கள் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்: வெளிப்பாட்டின் இறுதி மதிப்பு இருக்கும்.
அது:
quintillion quadrillion trillion பில்லியன் மில்லியன் ஆயிரம்.
Fuh) இந்த எண்ணின் மகத்துவத்தை நீங்கள் கற்பனை செய்ய விரும்பினால், தானியத்தின் முழு அளவையும் இடமளிக்க எந்த அளவு களஞ்சியம் தேவைப்படும் என்பதை மதிப்பிடுங்கள்.
களஞ்சியத்தின் உயரம் மீ மற்றும் அகலம் கொண்டால், அதன் நீளம் கிமீ வரை நீட்டிக்க வேண்டும், அதாவது. பூமியிலிருந்து சூரியனுக்கு இரு மடங்கு தூரம்.
ராஜா கணிதத்தில் வலிமையானவராக இருந்தால், அவர் விஞ்ஞானிக்கு தானியங்களை எண்ணுவதற்கு முன்வருவார், ஏனென்றால் ஒரு மில்லியன் தானியங்களை எண்ணுவதற்கு, அவருக்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு நாளாவது அயராது எண்ண வேண்டும், மேலும் க்வின்டில்லியன்களைக் கணக்கிடுவது அவசியம். தானியங்கள் அவரது வாழ்நாள் முழுவதும் கணக்கிடப்பட வேண்டும்.
இப்போது நாம் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையில் ஒரு எளிய சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.
5 ஆம் வகுப்பு படிக்கும் வாஸ்யா காய்ச்சலால் பாதிக்கப்பட்டார், ஆனால் தொடர்ந்து பள்ளிக்குச் செல்கிறார். ஒவ்வொரு நாளும், வாஸ்யா இரண்டு நபர்களை பாதிக்கிறது, அதையொட்டி, மேலும் இரண்டு நபர்களை பாதிக்கிறது, மற்றும் பல. வகுப்பில் ஒரே ஒரு நபர். எத்தனை நாட்களில் முழு வகுப்பினருக்கும் காய்ச்சல் வரும்?
எனவே, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் உறுப்பினர் வாஸ்யா, அதாவது ஒரு நபர். வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது உறுப்பினர், அவர் வந்த முதல் நாளில் அவர் தொற்றிய இருவர். முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் மொத்த தொகை 5A மாணவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். அதன்படி, நாங்கள் ஒரு முன்னேற்றத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம்:
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தில் எங்கள் தரவை மாற்றுவோம்:
சில நாட்களில் முழு வகுப்பும் நோய்வாய்ப்படும். சூத்திரங்கள் மற்றும் எண்களில் நம்பிக்கை இல்லையா? மாணவர்களின் "தொற்றுநோயை" நீங்களே சித்தரிக்க முயற்சிக்கவும். நடந்ததா? இது எனக்கு எப்படி இருக்கிறது என்று பாருங்கள்:
ஒருவருக்கு எல்லாரும் தொற்றினால் மாணவர்களுக்கு எத்தனை நாட்களுக்கு காய்ச்சல் வரும் என்பதை நீங்களே கணக்கிடுங்கள், வகுப்பில் ஒருவர் இருந்தார்.
உங்களுக்கு என்ன மதிப்பு கிடைத்தது? ஒரு நாள் கழித்து அனைவருக்கும் உடம்பு சரியில்லாமல் போனது.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அத்தகைய பணியும் அதற்கான வரைபடமும் ஒரு பிரமிட்டை ஒத்திருக்கிறது, அதில் ஒவ்வொன்றும் புதிய நபர்களைக் கொண்டுவருகிறது. இருப்பினும், விரைவில் அல்லது பின்னர் ஒரு கணம் வருகிறது, பிந்தையது யாரையும் ஈர்க்க முடியாது. எங்கள் விஷயத்தில், வகுப்பு தனிமைப்படுத்தப்பட்டதாக நாம் கற்பனை செய்தால், அந்த நபர் சங்கிலியை மூடுகிறார் (). எனவே, ஒரு நபர் நிதி பிரமிட்டில் ஈடுபட்டிருந்தால், அதில் நீங்கள் மற்ற இரண்டு பங்கேற்பாளர்களை அழைத்து வந்தால், அந்த நபர் (அல்லது பொது வழக்கில்) முறையே யாரையும் கொண்டு வரமாட்டார், இந்த நிதி மோசடியில் அவர்கள் முதலீடு செய்த அனைத்தையும் இழக்க நேரிடும். .
மேலே கூறப்பட்ட அனைத்தும் குறைந்து வரும் அல்லது அதிகரிக்கும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் குறிக்கிறது, ஆனால், நீங்கள் நினைவில் வைத்திருப்பது போல், எங்களிடம் ஒரு சிறப்பு வகை உள்ளது - முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம். அதன் உறுப்பினர்களின் தொகையை எவ்வாறு கணக்கிடுவது? இந்த வகை முன்னேற்றம் ஏன் சில அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது? அதை ஒன்றாகக் கண்டுபிடிப்போம்.
எனவே, தொடக்கத்தில், எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் இருந்து வரம்பற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் இந்த படத்தை மீண்டும் பார்ப்போம்:
இப்போது சற்று முன்னர் பெறப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம்:
அல்லது
நாம் எதற்காக பாடுபடுகிறோம்? அது சரி, வரைபடம் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதைக் காட்டுகிறது. அதாவது, எப்போது, அது முறையே கிட்டத்தட்ட சமமாக இருக்கும், வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிடும் போது, நாம் கிட்டத்தட்ட பெறுவோம். இது சம்பந்தமாக, முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடும் போது, இந்த அடைப்புக்குறி சமமாக இருக்கும் என்பதால், புறக்கணிக்கப்படலாம் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம்.
- சூத்திரம் என்பது எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.
முக்கியமான!நாம் தொகையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று நிபந்தனை வெளிப்படையாகக் கூறினால் மட்டுமே, எண்ணற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். முடிவில்லாதஉறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கை.
ஒரு குறிப்பிட்ட எண் n குறிக்கப்பட்டால், அல்லது n சொற்களின் கூட்டுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
இப்போது பயிற்சி செய்வோம்.
- மற்றும் உடன் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.
- மற்றும் உடன் எண்ணற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.
நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருந்தீர்கள் என்று நம்புகிறேன். எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுக:
இப்போது நீங்கள் வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றி அனைத்தையும் அறிந்திருக்கிறீர்கள், மேலும் கோட்பாட்டிலிருந்து நடைமுறைக்கு செல்ல வேண்டிய நேரம் இது. தேர்வில் காணப்படும் மிகவும் பொதுவான அதிவேக சிக்கல்கள் கூட்டு வட்டி சிக்கல்கள். அவர்களைப் பற்றித்தான் பேசுவோம்.
கூட்டு வட்டியைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கல்கள்.
கூட்டு வட்டி சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பற்றி நீங்கள் கேள்விப்பட்டிருப்பீர்கள். அவள் என்ன சொல்கிறாள் என்று புரிகிறதா? இல்லையென்றால், அதைக் கண்டுபிடிப்போம், ஏனென்றால் செயல்முறையை உணர்ந்த பிறகு, வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும் அதற்கும் என்ன சம்பந்தம் என்பதை நீங்கள் உடனடியாக புரிந்துகொள்வீர்கள்.
நாம் அனைவரும் வங்கிக்குச் சென்று, வைப்புத்தொகைகளுக்கு வெவ்வேறு நிபந்தனைகள் உள்ளன என்பதை அறிவோம்: இது கால அளவு, மற்றும் கூடுதல் பராமரிப்பு மற்றும் வட்டி கணக்கிடுவதற்கான இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் - எளிய மற்றும் சிக்கலானது.
உடன் எளிய ஆர்வம்எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக உள்ளது: வைப்பு காலத்தின் முடிவில் ஒரு முறை வட்டி வசூலிக்கப்படும். அதாவது, ஒரு வருடத்திற்கு 100 ரூபிள் வைப்பதைப் பற்றி நாங்கள் பேசுகிறோம் என்றால், அவை ஆண்டின் இறுதியில் மட்டுமே வரவு வைக்கப்படும். அதன்படி, வைப்புத்தொகையின் முடிவில், நாங்கள் ரூபிள் பெறுவோம்.
கூட்டு வட்டிஇதில் ஒரு விருப்பம் உள்ளது வட்டி மூலதனமாக்கல், அதாவது வைப்புத்தொகையின் தொகையுடன் அவற்றின் சேர்த்தல் மற்றும் வருமானத்தின் கணக்கீடு ஆரம்பத்திலிருந்து அல்ல, ஆனால் வைப்புத்தொகையின் திரட்டப்பட்ட தொகையிலிருந்து. மூலதனமாக்கல் தொடர்ந்து நிகழவில்லை, ஆனால் சில கால இடைவெளியுடன். ஒரு விதியாக, அத்தகைய காலங்கள் சமமாக இருக்கும் மற்றும் பெரும்பாலும் வங்கிகள் ஒரு மாதம், ஒரு காலாண்டு அல்லது ஒரு வருடம் பயன்படுத்துகின்றன.
ஆண்டுக்கு ஒரே மாதிரியான ரூபிள்களை வைப்போம், ஆனால் வைப்புத்தொகையின் மாதாந்திர மூலதனத்துடன். நமக்கு என்ன கிடைக்கும்?
இங்கே உங்களுக்கு எல்லாம் புரிகிறதா? இல்லை என்றால், படிப்படியாக எடுத்துச் செல்லலாம்.
நாங்கள் வங்கிக்கு ரூபிள் கொண்டு வந்தோம். மாத இறுதிக்குள், எங்கள் கணக்கில் ரூபிள் மற்றும் வட்டியுடன் கூடிய ஒரு தொகை இருக்க வேண்டும், அதாவது:
ஒப்புக்கொள்கிறீர்களா?
நாம் அதை அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுக்கலாம், பின்னர் நாம் பெறுவோம்:
ஒப்புக்கொள், இந்த சூத்திரம் ஏற்கனவே நாம் ஆரம்பத்தில் எழுதியதைப் போலவே உள்ளது. இது சதவீதங்களை சமாளிக்க உள்ளது
பிரச்சினையின் நிலையில், நாங்கள் ஆண்டு பற்றி கூறுகிறோம். உங்களுக்குத் தெரியும், நாங்கள் பெருக்குவதில்லை - சதவீதங்களை தசமங்களாக மாற்றுகிறோம், அதாவது:
சரியா? இப்போது நீங்கள் கேட்கிறீர்கள், எண் எங்கிருந்து வந்தது? மிக எளிய!
நான் மீண்டும் சொல்கிறேன்: பிரச்சனையின் நிலை பற்றி கூறுகிறது ஆண்டுவட்டி திரட்டப்பட்டது மாதாந்திர. உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, ஒரு வருடத்தில் முறையே, மாதத்திற்கு ஆண்டு வட்டியில் ஒரு பகுதியை வங்கி எங்களிடம் வசூலிக்கும்:
உணர்ந்ததா? வட்டி தினசரி கணக்கிடப்படுகிறது என்று நான் சொன்னால், சூத்திரத்தின் இந்த பகுதி எப்படி இருக்கும் என்பதை இப்போது எழுத முயற்சிக்கவும்.
சமாளித்தாயா? முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்:
சபாஷ்! எங்கள் பணிக்குத் திரும்புவோம்: திரட்டப்பட்ட வைப்புத் தொகைக்கு வட்டி வசூலிக்கப்படுகிறது என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, இரண்டாவது மாதத்திற்கு நமது கணக்கில் எவ்வளவு வரவு வைக்கப்படும் என்பதை எழுதுங்கள்.
எனக்கு நடந்தது இதோ:
அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால்:
நீங்கள் ஏற்கனவே ஒரு வடிவத்தை கவனித்திருக்கிறீர்கள் என்று நினைக்கிறேன், இவை அனைத்திலும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் கண்டீர்கள். அதன் உறுப்பினர் எதற்கு சமமாக இருப்பார், அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், மாத இறுதியில் எவ்வளவு பணம் பெறுவோம் என்பதை எழுதுங்கள்.
செய்தது? சரிபார்க்கிறது!
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நீங்கள் ஒரு வருடத்திற்கு ஒரு வங்கியில் எளிய வட்டியில் பணத்தை வைத்தால், நீங்கள் ரூபிள் பெறுவீர்கள், நீங்கள் அதை கூட்டு விகிதத்தில் வைத்தால், நீங்கள் ரூபிள் பெறுவீர்கள். நன்மை சிறியது, ஆனால் இது வது ஆண்டில் மட்டுமே நடக்கும், ஆனால் நீண்ட காலத்திற்கு, மூலதனமாக்கல் மிகவும் லாபகரமானது:
மற்றொரு வகை கூட்டு வட்டி சிக்கல்களைக் கவனியுங்கள். நீங்கள் கண்டுபிடித்த பிறகு, அது உங்களுக்கு அடிப்படையாக இருக்கும். எனவே பணி:
ஸ்வெஸ்டா 2000 ஆம் ஆண்டில் டாலர் மூலதனத்துடன் தொழில்துறையில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கினார். 2001 முதல் ஒவ்வொரு ஆண்டும், முந்தைய ஆண்டு மூலதனத்திற்கு இணையான லாபத்தை ஈட்டுகிறது. புழக்கத்தில் இருந்து லாபம் திரும்பப் பெறப்படாவிட்டால், 2003 ஆம் ஆண்டின் இறுதியில் Zvezda நிறுவனம் எவ்வளவு லாபம் பெறும்?
2000 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் தலைநகரம்.
- 2001 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் தலைநகரம்.
- 2002 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் தலைநகரம்.
- 2003 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் தலைநகரம்.
அல்லது சுருக்கமாக எழுதலாம்:
எங்கள் விஷயத்தில்:
2000, 2001, 2002 மற்றும் 2003.
முறையே:
ரூபிள்
இந்தச் சிக்கலில், சதவிகிதம் ஆண்டுதோறும் கொடுக்கப்பட்டு, அது ஆண்டுதோறும் கணக்கிடப்படுவதால், எங்களிடம் எந்த வகையிலும் பிரிவு இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதாவது, கூட்டு வட்டிக்கான சிக்கலைப் படிக்கும்போது, எவ்வளவு சதவீதம் கொடுக்கப்படுகிறது, எந்தக் காலத்தில் வசூலிக்கப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள், அதன் பிறகுதான் கணக்கீடுகளுக்குச் செல்லுங்கள்.
இப்போது உங்களுக்கு வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றி எல்லாம் தெரியும்.
பயிற்சி.
- அது தெரிந்தால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொல்லைக் கண்டறியவும்
- ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும், அது தெரிந்தால், மற்றும்
- MDM Capital 2003 இல் ஒரு டாலர் மூலதனத்துடன் தொழில்துறையில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கியது. 2004 முதல் ஒவ்வொரு ஆண்டும், முந்தைய ஆண்டின் மூலதனத்திற்கு நிகரான லாபத்தை அவள் ஈட்டினாள். நிறுவனம் "MSK Cash Flows" 2005 இல் $10,000 தொகையில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கியது, 2006 இல் லாபம் ஈட்டத் தொடங்கியது. புழக்கத்தில் இருந்து லாபம் திரும்பப் பெறப்படாவிட்டால், 2007 ஆம் ஆண்டின் இறுதியில் ஒரு நிறுவனத்தின் மூலதனம் மற்றொரு நிறுவனத்தை விட எத்தனை டாலர்கள் அதிகமாகும்?
பதில்கள்:
- சிக்கலின் நிலை, முன்னேற்றம் எல்லையற்றது என்று கூறாததால், அதன் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான உறுப்பினர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது அவசியம் என்பதால், கணக்கீடு சூத்திரத்தின்படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது:
நிறுவனம் "MDM கேபிடல்":2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- 100% அதிகரிக்கிறது, அதாவது 2 மடங்கு.
முறையே:
ரூபிள்
MSK பணப்புழக்கங்கள்:2005, 2006, 2007.
- அதிகரிக்கிறது, அதாவது, முறை.
முறையே:
ரூபிள்
ரூபிள்
சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.
1) ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் ( ) என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
2) ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் சமன்பாடு -.
3) மற்றும் தவிர, எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம்.
- என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களும் ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளனர் - அவர்கள் நேர்மறை;
- என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களும் மாற்று அறிகுறிகள்;
- மணிக்கு - முன்னேற்றம் எல்லையற்ற குறைதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
4), at என்பது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்து (அண்டை உறுப்பினர்கள்)
அல்லது
, மணிக்கு (சமமான விதிமுறைகள்)
நீங்கள் அதைக் கண்டுபிடித்தால், அதை மறந்துவிடாதீர்கள் இரண்டு பதில்கள் இருக்க வேண்டும்..
உதாரணத்திற்கு,
5) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
அல்லது
அல்லது
முக்கியமான!எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று நிபந்தனை வெளிப்படையாகக் கூறினால் மட்டுமே, எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.
6) கூட்டு வட்டிக்கான பணிகளும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது உறுப்பினரின் சூத்திரத்தின்படி கணக்கிடப்படுகின்றன, நிதிகள் புழக்கத்தில் இருந்து திரும்பப் பெறப்படவில்லை என்றால்:
ஜியோமெட்ரிக் ப்ரோக்ரெஷன். முக்கிய பற்றி சுருக்கமாக
வடிவியல் முன்னேற்றம்( ) என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் அழைக்கப்படுகிறது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்மற்றும் தவிர எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம்.
- முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களுக்கும் ஒரே அறிகுறி இருந்தால் - அவை நேர்மறையானவை;
- என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களும் மாற்று அறிகுறிகள்;
- மணிக்கு - முன்னேற்றம் எல்லையற்ற குறைதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் சமன்பாடு - .
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
அல்லது
முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைந்துவிட்டால், பின்:
YouClever இன் மாணவராகுங்கள்,
OGE அல்லது கணிதத்தில் பயன்படுத்துவதற்கு தயாராகுங்கள்,
மேலும் YouClever டுடோரியலுக்கான வரம்பற்ற அணுகலைப் பெறுங்கள்...
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியமற்றது, மேலும் ஒவ்வொரு அடுத்த காலமும் அதே பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கப்படும் முந்தைய சொல்லுக்கு சமம்.
வடிவியல் முன்னேற்றம் குறிக்கப்படுகிறது b1,b2,b3, ..., bn, ....
வடிவியல் பிழையின் எந்தச் சொல்லின் விகிதமும் அதன் முந்தைய காலத்துக்கும் அதே எண்ணுக்குச் சமமாக இருக்கும், அதாவது, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn =…. இது ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்தொடர்கிறது. இந்த எண் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வழக்கமாக வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பானது q என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.
மோனோடோனிக் மற்றும் நிலையான வரிசை
வடிவியல் முன்னேற்றத்தை அமைப்பதற்கான ஒரு வழி, அதன் முதல் கால b1 மற்றும் வடிவியல் பிழையின் வகுப்பினை அமைப்பதாகும் q. உதாரணமாக, b1=4, q=-2. இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளும் 4, -8, 16, -32, ….
q>0 (q என்பது 1க்கு சமம் இல்லை) என்றால், முன்னேற்றம் மோனோடோன் வரிசை.எடுத்துக்காட்டாக, வரிசை, 2, 4,8,16,32, ... என்பது சலிப்பாக அதிகரிக்கும் வரிசை (b1=2, q=2).
வடிவியல் பிழையில் வகுத்தல் q=1 எனில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், முன்னேற்றம் என்று கூறப்படுகிறது நிலையான வரிசை.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது உறுப்பினரின் சூத்திரம்
எண் வரிசை (bn) ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாக இருக்க, அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல், அண்டை உறுப்பினர்களின் வடிவியல் சராசரியாக இருப்பது அவசியம். அதாவது, பின்வரும் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்வது அவசியம்
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), எந்த n>0க்கும், n என்பது N இயற்கை எண்களின் தொகுப்பைச் சேர்ந்தது.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது உறுப்பினருக்கான சூத்திரம்:
bn=b1*q^(n-1),
இங்கு n என்பது N இயற்கை எண்களின் தொகுப்பைச் சேர்ந்தது.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம்
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம்:
Sn = (bn*q - b1)/(q-1) இதில் q என்பது 1க்கு சமமாக இருக்காது.
ஒரு எளிய உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:
வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் b1=6, q=3, n=8 Sn ஐக் கண்டறியவும்.
S8 ஐக் கண்டறிய, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.
