>> Periodičnost funkcij y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodičnost funkcij y \u003d sin x, y \u003d cos x

V prejšnjih odstavkih smo uporabili sedem lastnosti funkcije: domena, sodo ali liho, monotonost, omejenost, maksimalne in minimalne vrednosti, zveznost, območje funkcij. Te lastnosti smo uporabili bodisi za izdelavo funkcijskega grafa (kot je bilo na primer v § 9), bodisi za branje zgrajenega grafa (kot je bilo na primer v § 10). Zdaj je prišel ugoden trenutek za uvedbo še ene (osme) lastnosti funkcij, ki je popolnoma vidna na zgoraj konstruiranem lestvice funkcije y \u003d sin x (glej sliko 37), y \u003d cos x (glej sliko 41).

Opredelitev. Funkcijo imenujemo periodična, če obstaja neničelno število T, tako da je za vsak x iz množic dvojna enakost:

Število T, ki izpolnjuje navedeni pogoj, se imenuje obdobje funkcije y \u003d f (x).
Iz tega sledi, da za vsak x veljajo enakosti:

potem so funkcije y \u003d sin x, y \u003d cos x periodične in število 2 p služi kot obdobje obeh funkcij.
Periodičnost funkcije je obljubljena osma lastnost funkcij.

Zdaj si oglejte graf funkcije y \u003d sin x (slika 37). Za izgradnjo sinusoide je dovolj, da zgradimo enega od njegovih valov (na segmentu in nato premaknemo ta val vzdolž osi x za Kot rezultat, z uporabo enega vala, zgradimo celoten graf.

Poglejmo z istega vidika graf funkcije y \u003d cos x (slika 41). Vidimo, da je tudi tukaj za izris grafa dovolj, da najprej narišemo en val (na primer na segmentu

In ga nato premaknite vzdolž osi x za
Če povzamemo, naredimo naslednji zaključek.

Če ima funkcija y \u003d f (x) obdobje T, potem morate za risanje grafa funkcije najprej narisati vejo (val, del) grafa na katerem koli intervalu dolžine T (najpogosteje vzamejo interval s koncem v točkah in nato premaknite to vejo vzdolž osi x v desno in levo na T, 2T, ZT itd.
Periodična funkcija ima neskončno veliko period: če je T period, potem je 2T period in 3T je period in -T je period; na splošno je obdobje poljubno število v obliki KT, kjer je k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Običajno, če je mogoče, poskušajo izločiti najmanjše pozitivno obdobje, imenujemo ga glavno obdobje.
Torej, katero koli število v obliki 2pc, kjer je k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, je obdobje funkcij y \u003d sinn x, y \u003d cos x; 2p je glavna doba obeh funkcij.

Primer. Poiščite glavno obdobje funkcije:

A) Naj bo T glavno obdobje funkcije y \u003d sin x. Postavimo

Da je število T perioda funkcije, mora veljati identiteta Ho, ker govorimo o iskanju glavne periode, dobimo
b) Naj bo T glavna perioda funkcije y = cos 0,5x. Naj bo f(x)=cos 0,5x. Potem je f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

Da je število T perioda funkcije, mora biti izpolnjena identiteta cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

Torej, 0,5t = 2pp. Ker pa govorimo o iskanju glavnega obdobja, dobimo 0,5T = 2 l, T = 4l.

Posplošitev rezultatov, dobljenih v primeru, je naslednja trditev: glavno obdobje funkcije

A.G. Mordkovič algebra 10. razred

Vsebina lekcije povzetek lekcije podporni okvir predstavitev lekcije pospeševalne metode interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samopreizkus delavnice, treningi, primeri, naloge domače naloge diskusija vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetki in multimedija fotografije, slike grafike, tabele, sheme humor, anekdote, šale, stripi prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki izvlečkičlanki žetoni za radovedne goljufije učbeniki osnovni in dodatni slovarček pojmov drugo Izboljšanje učbenikov in poukapopravljanje napak v učbeniku posodobitev fragmenta v učbeniku elementi inovativnosti pri pouku zamenjava zastarelega znanja z novim Samo za učitelje popolne lekcije koledarski načrt za leto metodološka priporočila programa razprave Integrirane lekcije

Namen: posplošiti in sistematizirati znanje študentov o temi "Periodičnost funkcij"; oblikovati spretnosti pri uporabi lastnosti periodične funkcije, iskanju najmanjšega pozitivnega obdobja funkcije, risanju periodičnih funkcij; spodbujati zanimanje za študij matematike; gojiti opazovanje, natančnost.

Oprema: računalnik, multimedijski projektor, kartice z nalogami, diapozitivi, ure, ornamentne mize, elementi ljudske obrti

"Matematika je tisto, kar ljudje uporabljajo za nadzor nad naravo in samim seboj"
A.N. Kolmogorov

Med poukom

I. Organizacijska faza.

Preverjanje pripravljenosti učencev na pouk. Predstavitev teme in ciljev lekcije.

II. Preverjanje domače naloge.

Domače naloge preverjamo po vzorcih, razpravljamo o najtežjih točkah.

III. Posploševanje in sistematizacija znanja.

1. Ustno frontalno delo.

Teoretična vprašanja.

1) Oblikujte definicijo periode funkcije
2) Kakšna je najmanjša pozitivna perioda funkcij y=sin(x), y=cos(x)
3). Kakšna je najmanjša pozitivna perioda funkcij y=tg(x), y=ctg(x)
4) S krogcem dokažite pravilnost razmerij:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Kako narisati periodično funkcijo?

ustne vaje.

1) Dokažite naslednje relacije

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Dokaži, da je kot 540º ena od period funkcije y= cos(2x)

3. Dokažite, da je kot 360º ena od period funkcije y=tg(x)

4. Preoblikujte te izraze tako, da koti, ki jih vsebujejo, absolutno ne presegajo 90°.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Kje ste se srečali z besedama PERIODIČNOST, PERIODIČNOST?

Odgovori učencev: Obdobje v glasbi je konstrukcija, v kateri je podana bolj ali manj zaključena glasbena misel. Geološko obdobje je del dobe in je razdeljeno na epohe z obdobjem od 35 do 90 milijonov let.

Razpolovna doba radioaktivne snovi. Periodični ulomek. Periodika je tiskana publikacija, ki izhaja na točno določene datume. Periodični sistem Mendelejeva.

6. Slike prikazujejo dele grafov periodičnih funkcij. Določite obdobje funkcije. Določite periodo funkcije.

Odgovori: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Kje v življenju ste se srečali s konstrukcijo ponavljajočih se elementov?

Učenci odgovarjajo: Elementi ornamentov, ljudska umetnost.

IV. Kolektivno reševanje problemov.

(Reševanje nalog na diapozitivih.)

Razmislimo o enem od načinov preučevanja funkcije za periodičnost.

Ta metoda zaobide težave, povezane z dokazovanjem, da je eno ali drugo obdobje najmanjše, prav tako pa se ni treba dotikati vprašanj o aritmetičnih operacijah na periodičnih funkcijah in o periodičnosti kompleksne funkcije. Utemeljitev temelji le na definiciji periodične funkcije in na naslednjem dejstvu: če je T period funkcije, potem je nT(n? 0) njena perioda.

Naloga 1. Poiščite najmanjšo pozitivno periodo funkcije f(x)=1+3(x+q>5)

Rešitev: Predpostavimo, da je T-perioda te funkcije. Potem je f(x+T)=f(x) za vse x ∈ D(f), tj.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Naj bo x=-0,25

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Dobili smo, da so vse periode obravnavane funkcije (če obstajajo) med celimi števili. Med temi števili izberite najmanjše pozitivno število. to 1 . Preverimo, ali je res menstruacija 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Ker je (T+1)=(T) za kateri koli T, potem je f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), tj. 1 - obdobje f. Ker je 1 najmanjše od vseh pozitivnih celih števil, potem je T=1.

Naloga 2. Pokažite, da je funkcija f(x)=cos 2 (x) periodična in poiščite njeno glavno periodo.

Naloga 3. Poiščite glavno periodo funkcije

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Predpostavimo T-obdobje funkcije, nato pa za katero koli X razmerje

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Če je x=0 potem

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Če je x=-T, potem

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Če dodamo, dobimo:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Izberimo izmed vseh "sumljivih" števil za obdobje najmanjše pozitivno in preverimo, ali gre za obdobje za f. Ta številka

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Zato je glavna perioda funkcije f.

Naloga 4. Preverite, ali je funkcija f(x)=sin(x) periodična

Naj bo T perioda funkcije f. Potem za kateri koli x

sin|x+T|=sin|x|

Če je x=0, potem je sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Recimo. Da je za nekaj n število π n perioda

obravnavana funkcija π n>0. Potem je sin|π n+x|=sin|x|

To pomeni, da mora biti n sod in lih hkrati, kar je nemogoče. Zato ta funkcija ni periodična.

Naloga 5. Preverite, ali je funkcija periodična

f(x)=

Naj bo torej T obdobje f

, torej sinT=0, T=π n, n € Z. Predpostavimo, da je za nek n število π n res perioda dane funkcije. Potem bo tudi število 2π n točka

Ker sta števca enaka, sta enaka tudi njuna imenovalca, torej

Zato funkcija f ni periodična.

Skupinsko delo.

Naloge za skupino 1.

Naloge za skupino 2.

Preverite, ali je funkcija f periodična in poiščite njeno glavno periodo (če obstaja).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Naloge za skupino 3.

Ob koncu dela skupine predstavijo svoje rešitve.

VI. Povzetek lekcije.

Odsev.

Učitelj učencem podeli kartice z risbami in ponudi, da prebarvajo del prve risbe v skladu s tem, v kolikšni meri so, kot se jim zdi, obvladali metode preučevanja funkcije za periodičnost, in del druge risbe. , v skladu s svojim prispevkom k delu pri pouku.

VII. Domača naloga

1). Preverite, ali je funkcija f periodična in poiščite njeno glavno periodo (če obstaja)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) ima periodo T=2 in f(x)=x 2 +2x za x € [-2; 0]. Poiščite vrednost izraza -2f(-3)-4f(3,5)

Literatura/

1. Mordkovich A.G. Algebra in začetek analize s poglobljenim študijem.
2. Matematika. Priprave na izpit. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra in začetna analiza za razrede 10-11.

Trigonometrična funkcije periodično, torej po določenem obdobju ponoviti. Posledično je dovolj preučiti funkcijo na tem intervalu in razširiti odkrite lastnosti na vsa druga obdobja.

Navodilo

1. Če vam je dan primitiven izraz, v katerem je samo ena trigonometrična funkcija (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) in kot znotraj funkcije ni pomnožen z nobenim številom in sama ni dvignjena na nobeno moč - uporabite definicijo. Za izraze, ki vsebujejo sin, cos, sec, cosec, pogumno nastavite obdobje na 2P, in če je v enačbi tg, ctg, potem P. Recimo, za funkcijo y \u003d 2 sinx + 5 bo obdobje 2P .

2. Če se kot x pod znakom trigonometrične funkcije pomnoži z določenim številom, potem, da bi našli obdobje te funkcije, razdelite tipično obdobje s tem številom. Recimo, da vam je dana funkcija y = sin 5x. Tipično obdobje za sinus je 2P, če ga delite s 5, dobite 2P / 5 - to je želeno obdobje tega izraza.

3. Če želite poiskati periodo trigonometrične funkcije, dvignjene na potenco, ocenite enakomernost potence. Za enakomerno stopnjo prepolovite obdobje vzorčenja. Recimo, če vam je dana funkcija y \u003d 3 cos ^ 2x, potem se bo tipično obdobje 2P zmanjšalo za 2-krat, tako da bo obdobje enako P. Upoštevajte, da sta funkciji tg, ctg periodični v katerem koli obsegu P .

4. Če vam je podana enačba, ki vsebuje produkt ali količnik dveh trigonometričnih funkcij, najprej poiščite periodo za vse posebej. Nato poiščite najmanjše število, ki bi ustrezalo celotnemu številu obeh obdobij. Recimo, da je podana funkcija y=tgx*cos5x. Za tangento je perioda P, za kosinus 5x je perioda 2P/5. Najmanjše dovoljeno število, ki ustreza obema tema obdobjema, je 2P, zato je želeno obdobje 2P.

5. Če vam je težko narediti predlagani način ali dvomite o rezultatu, poskusite narediti po definiciji. Vzemite T kot periodo funkcije, večja je od nič. V enačbo nadomestite izraz (x + T) namesto x in rešite dobljeno enačbo, kot da bi bil T parameter ali število. Kot rezultat boste našli vrednost trigonometrične funkcije in lahko izbrali najmanjšo periodo. Recimo, da kot rezultat olajšanja dobite identitetni greh (T / 2) \u003d 0. Najmanjša vrednost T, pri kateri se izvaja, je 2P in to bo rezultat naloge.

Periodična funkcija je funkcija, ki ponavlja svoje vrednosti po nekem obdobju, ki ni nič. Perioda funkcije je število, katerega dodatek k argumentu funkcije ne spremeni vrednosti funkcije.

Boste potrebovali

• Poznavanje elementarne matematike in začetki anketiranja.

Navodilo

1. Označimo periodo funkcije f(x) s številom K. Naša naloga je najti to vrednost K. Če želite to narediti, si predstavljajte, da funkcija f(x) z uporabo definicije periodične funkcije enači f (x+K)=f(x).

2. Nastalo enačbo rešimo za neznano K, kot da je x konstanta. Glede na vrednost K bo na voljo več možnosti.

3. Če je K>0, je to perioda vaše funkcije Če je K=0, potem funkcija f(x) ni periodična Če rešitev enačbe f(x+K)=f(x) ne obstaja za kateri koli K, ki ni enak nič, se taka funkcija imenuje aperiodična in tudi nima periode.

Sorodni videoposnetki

Opomba!
Vse trigonometrične funkcije so periodične, vse polinomske funkcije s stopnjo večjo od 2 pa so aperiodične.

Koristen nasvet
Perioda funkcije, sestavljene iz 2 periodičnih funkcij, je najmanjši skupni večkratnik period teh funkcij.

Trigonometrične enačbe so enačbe, ki vsebujejo trigonometrične funkcije neznanega argumenta (na primer: 5sinx-3cosx =7). Če se želite naučiti, kako jih rešiti, morate poznati nekaj metod za to.

Navodilo

1. Rešitev takih enačb je sestavljena iz dveh stopenj.Prva je preoblikovanje enačbe, da dobi svojo najpreprostejšo obliko. Najenostavnejše trigonometrične enačbe se imenujejo: Sinx=a; cosx=a itd.

2. Drugi je rešitev dobljene najenostavnejše trigonometrične enačbe. Obstajajo osnovni načini za reševanje tovrstnih enačb: Reševanje na algebrski način. Ta metoda je znana iz šole, iz tečaja algebre. Drugače se imenuje metoda zamenjave spremenljivke in zamenjave. Z uporabo redukcijskih formul preoblikujemo, zamenjamo, po kateri najdemo korenine.

3. Razgradnja enačbe na faktorje. Najprej vse člene prenesemo v levo in razgradimo na faktorje.

4. Spravi enačbo v homogeno. Enačbe imenujemo homogene enačbe, če so vsi členi iste stopnje in sinus, kosinus enakega kota.Da bi jo rešili, morate: najprej prenesti vse njene člene z desne na levo stran; premakniti vse skupne faktorje iz oklepajev; enači faktorje in oklepaje na nič; enačeni oklepaji dajejo homogeno enačbo nižje stopnje, ki jo je treba deliti s cos (ali sin) na višjo stopnjo; rešite nastalo algebraično enačbo za tan.

5. Naslednji način je, da greste do polovice vogala. Recimo, rešite enačbo: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Preidimo na pol kota: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos? (x / 2) + 5 greh? (x / 2) = 7sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , nakar vse člene reduciramo na en del (sicer na desno) in rešimo enačbo.

6. Pomožni kotni vhod. Ko zamenjamo celoštevilsko vrednost cos(a) ali sin(a). Znak "a" je pomožni kot.

7. Način preoblikovanja produkta v vsoto. Tukaj morate uporabiti ustrezne formule. Recimo dano: 2 sin x sin 3x = cos 4x. Rešimo ga tako, da pretvorimo levo stran v vsoto, to je: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.

8. Zadnji način, imenovan večnamenska zamenjava. Izraz transformiramo in zamenjamo, recimo Cos(x/2)=u, nakar rešimo enačbo s parametrom u. Pri pridobivanju vsote vrednost prevedemo v nasprotje.

Sorodni videoposnetki

Če upoštevamo točke na krogu, potem točke x, x + 2π, x + 4π itd. ujemati med seboj. Torej trigonometrija funkcije na ravni liniji občasno ponovi njihov pomen. Če je obdobje slavno funkcije, je dovoljeno zgraditi funkcijo na tem obdobju in jo ponoviti na drugih.

Navodilo

1. Perioda je število T tako, da je f(x) = f(x+T). Če želite poiskati obdobje, rešite ustrezno enačbo, tako da kot argument nadomestite x in x + T. V tem primeru se uporabijo znane periode za funkcije. Za funkciji sinus in kosinus je perioda 2π, za tangens in kotangens pa π.

2. Naj bo dana funkcija f(x) = sin^2(10x). Razmislite o izrazu sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Za zmanjšanje stopnje uporabite formulo: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Nato dobite 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) ali cos 20x = cos (20x+20T). Če vemo, da je perioda kosinusa 2π, je 20T = 2π. Zato je T = π/10. T je minimalno pravilno obdobje in funkcija se bo ponovila po 2T in po 3T ter v drugi smeri vzdolž osi: -T, -2T itd.

Koristen nasvet
Uporabite formule za znižanje stopnje funkcije. Če ste bolj seznanjeni z obdobji nekaterih funkcij, poskusite zmanjšati obstoječo funkcijo na znane.

Iskanje funkcije za sodo in liho pomaga zgraditi graf funkcije in razumeti naravo njenega obnašanja. Za to raziskavo morate primerjati dano funkcijo, napisano za argument "x" in za argument "-x".

Navodilo

1. Funkcijo, ki jo želite raziskati, zapišite kot y=y(x).

2. Zamenjajte argument funkcije z "-x". Zamenjajte ta argument v funkcionalni izraz.

3. Poenostavite izraz.

4. Tako imate isto funkcijo, napisano za argumenta "x" in "-x". Poglejte ta dva vnosa. Če je y(-x)=y(x), je to soda funkcija. Če je y(-x)=-y(x), potem je to liha funkcija. Če je nemogoče recimo za funkcijo, da je y (-x)=y(x) ali y(-x)=-y(x), potem je to zaradi lastnosti parnosti funkcija univerzalne oblike. To pomeni, da ni niti sodo niti liho.

5. Zapišite svoje rezultate. Zdaj jih lahko uporabite pri izrisu funkcijskega grafa ali pri prihodnjem analitičnem iskanju lastnosti funkcije.

6. O sodih in lihih funkcijah lahko govorimo tudi v primeru, ko je graf funkcije natančneje definiran. Recimo, da je bil graf rezultat fizičnega eksperimenta. Če je graf funkcije simetričen glede na os y, potem je y(x) soda funkcija. Če je graf funkcije simetričen glede na os x, potem je x(y ) je soda funkcija. x(y) je inverzna funkcija y(x). Če je graf funkcije simetričen glede na izvor (0,0), potem je y(x) liha funkcija. Tudi inverzna funkcija x(y) bo liha.

7. Pomembno si je zapomniti, da je koncept sode in lihe funkcije neposredno povezan z domeno funkcije. Če recimo soda ali liha funkcija ne obstaja za x=5, potem ne obstaja za x=-5, kar pa je nemogoče reči za funkcijo splošne oblike. Pri določanju sodega in lihega bodite pozorni na domeno funkcije.

8. Iskanje sodih in lihih funkcij je v korelaciji z iskanjem nabora funkcijskih vrednosti. Če želite najti nabor vrednosti enakomerne funkcije, je dovolj, da vidite polovico funkcije, desno ali levo od ničle. Če za x>0 soda funkcija y(x) zavzame vrednosti od A do B, potem bo zavzela enake vrednosti za x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 liha funkcija y(x) sprejme obseg vrednosti od A do B, nato za x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonometrične" so se nekoč začele imenovati funkcije, ki so določene z odvisnostjo ostrih kotov v pravokotnem trikotniku od dolžin njegovih stranic. Te funkcije vključujejo, najprej, sinus in kosinus, in drugič, sekans in kosekans, ki sta inverzni tem funkcijam, njune tangens in kotangens odvode, kot tudi inverzne funkcije arksinus, arkosinus itd. To je Bolj pozitivno je govoriti ne o "rešitvi" takšnih funkcij, temveč o njihovem "izračunu", to je o iskanju numerične vrednosti.

Navodilo

1. Če argument trigonometrične funkcije ni znan, je dovoljeno izračunati njegovo vrednost s posredno metodo, ki temelji na definicijah teh funkcij. Če želite to narediti, morate poznati dolžine strani trikotnika, katerega trigonometrično funkcijo za enega od kotov želite izračunati. Recimo, po definiciji je sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med dolžino kraka nasproti tega kota in dolžino hipotenuze. Iz tega sledi, da je za iskanje sinusa kota dovolj poznati dolžini teh dveh strani. Podobna definicija pravi, da je sinus ostrega kota razmerje med dolžino noge, ki meji na ta kot, in dolžino hipotenuze. Tangens ostrega kota lahko izračunamo tako, da dolžino nasprotnega kraka delimo z dolžino sosednjega, kotangens pa zahteva deljenje dolžine sosednjega kraka z dolžino nasprotnega kota. Če želite izračunati sekans ostrega kota, morate najti razmerje med dolžino hipotenuze in dolžino noge, ki meji na zahtevani kot, kosekans pa je določen z razmerjem med dolžino hipotenuze in dolžino nasprotne noge.

2. Če se izvede argument trigonometrične funkcije, ni treba poznati dolžin strani trikotnika - dovoljeno je uporabljati tabele vrednosti ali kalkulatorje trigonometričnih funkcij. Takšen kalkulator je med standardnimi programi operacijskega sistema Windows. Če ga želite zagnati, lahko pritisnete kombinacijo tipk Win + R, vnesete ukaz calc in kliknete gumb V redu. V programskem vmesniku odprite razdelek »Pogled« in izberite element »Inženiring« ali »Znanstvenik«. Kasneje je dovoljeno uvesti argument trigonometrične funkcije. Če želite izračunati funkcije sinus, kosinus in tangens, raje po vnosu vrednosti kliknite na ustrezen gumb vmesnika (sin, cos, tg), za iskanje njihovih recipročnih vrednosti arksinusa, arkosinusa in arktangensa pa predhodno označite potrditveno polje Inv.

3. Obstajajo tudi alternativne metode. Eden od njih je, da greste na stran iskalnika Nigma ali Google in kot iskalno poizvedbo vnesete želeno funkcijo in njen argument (recimo sin 0,47). Ti iskalniki imajo vgrajene kalkulatorje, zato boste po pošiljanju takšne zahteve prejeli vrednost trigonometrične funkcije, ki ste jo vnesli.

Sorodni videoposnetki

Nasvet 7: Kako zaznati vrednost trigonometričnih funkcij

Trigonometrične funkcije so se najprej pojavile kot orodje za abstraktne matematične izračune odvisnosti velikosti ostrih kotov v pravokotnem trikotniku od dolžin njegovih stranic. Zdaj se pogosto uporabljajo tako na znanstvenih kot tehničnih področjih človeške dejavnosti. Za utilitarne izračune trigonometričnih funkcij iz danih argumentov je dovoljeno uporabljati različna orodja - nekaj najbolj dostopnih med njimi je opisanih spodaj.

Navodilo

1. Uporabite, recimo, kalkulator, ki je privzeto nameščen skupaj z operacijskim sistemom. Odpre se z izbiro elementa »Kalkulator« v mapi »Pripomočki« v pododdelku »Tipično« v razdelku »Vsi programi«. Ta razdelek najdete tako, da odprete glavni meni operacijskega sistema s klikom na gumb "Start". Če uporabljate različico sistema Windows 7, lahko preprosto vnesete besedo "Kalkulator" v polje "Zaznaj programe in datoteke" v glavnem meniju in nato kliknete ustrezno povezavo v rezultatih iskanja.

2. Vnesite vrednost kota, za katerega želite izračunati trigonometrično funkcijo, in nato kliknite na gumb, ki ustreza tej funkciji - sin, cos ali tan. Če vas skrbijo inverzne trigonometrične funkcije (arkusinus, arkkosinus ali arktangens), potem najprej kliknite gumb z oznako Inv - obrne funkcije, dodeljene kontrolnim gumbom kalkulatorja.

3. V prejšnjih različicah operacijskega sistema (recimo Windows XP) morate za dostop do trigonometričnih funkcij odpreti razdelek »Pogled« v meniju kalkulatorja in izbrati vrstico »Inženiring«. Poleg tega je namesto gumba Inv v vmesniku starih različic programa potrditveno polje z enakim napisom.

4. Če imate dostop do interneta, lahko storite brez kalkulatorja. Na spletu je veliko storitev, ki ponujajo različno organizirane kalkulatorje trigonometričnih funkcij. Ena posebej priročna možnost je vgrajena v iskalnik Nigma. Ko greste na njeno glavno stran, v polje iskalne poizvedbe primitivno vnesite vrednost, ki vas navdušuje - recimo "lok tangens 30 stopinj". Po pritisku na "Odkrij!" iskalnik bo izračunal in prikazal rezultat izračuna - 0,482347907101025.

Sorodni videoposnetki

Trigonometrija je veja matematike za razumevanje funkcij, ki izražajo različne odvisnosti stranic pravokotnega trikotnika od velikosti ostrih kotov pri hipotenuzi. Takšne funkcije imenujemo trigonometrične in za lažje delo z njimi so bile izpeljane trigonometrične funkcije. identitete .

Izvedba identitete v matematiki označuje enakost, ki je izpolnjena za vse vrednosti argumentov funkcij, ki so vanjo vključene. Trigonometrična identitete- to so enakosti trigonometričnih funkcij, potrjene in sprejete za poenostavitev dela s trigonometričnimi formulami.Trigonometrična funkcija je elementarna funkcija odvisnosti ene od nog pravokotnega trikotnika od velikosti ostrega kota pri hipotenuzi. Pogosteje se uporablja šest osnovnih trigonometričnih funkcij: sin (sinus), cos (kosinus), tg (tangens), ctg (kotangens), sec (sekant) in cosec (kosekant). Te funkcije se imenujejo neposredne, obstajajo tudi inverzne funkcije, recimo sinus - arkusin, kosinus - arkosinus itd. Sprva so se trigonometrične funkcije odražale v geometriji, nato pa so se razširile na druga področja znanosti: fizika, kemija, geografija, optika , teorija verjetnosti , pa tudi akustika, glasbena teorija, fonetika, računalniška grafika in mnogi drugi. Zdaj si je težje predstavljati matematične izračune brez teh funkcij, čeprav so jih v daljni preteklosti uporabljali le v astronomiji in arhitekturi. identitete se uporabljajo za poenostavitev dela z dolgimi trigonometričnimi formulami in njihovo prebavljivo obliko. Obstaja šest osnovnih trigonometričnih identitet, ki so povezane z neposrednimi trigonometričnimi funkcijami: tg ? = sin?/cos?; greh^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d sin?. Ti identitete enostavno potrditi iz lastnosti razmerja stranic in kotov v pravokotnem trikotniku: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = b/a Prva identiteta tg ? = greh?/ker? izhaja iz razmerja stranic v trikotniku in izključitve stranice c (hipotenuze) pri deljenju sin s cos. Na enak način je definirana identiteta ctg? = cos ?/sin ?, ker ctg ? = 1/tg ?. Po Pitagorovem izreku je a^2 + b^2 = c^2. Če to enakost delimo s c^2, dobimo drugo identiteto: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Tretji in četrti identitete dobimo z deljenjem z b^2 oziroma a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? ali 1 + ctg^2? \u003d 1 / sin ^ 2?. Peti in šesti glavni identitete se dokazujejo z določitvijo vsote ostrih kotov pravokotnega trikotnika, ki je enaka 90 ° ali? / 2. Težja trigonometrija identitete: formule za seštevanje argumentov, dvojnih in trojnih kotov, znižanje stopnje, preoblikovanje vsote ali zmnožka funkcij, kot tudi trigonometrične substitucijske formule, in sicer izrazi glavnih trigonometričnih funkcij v pol kota tg: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Potreba po iskanju minimuma pomen matematični funkcije je dejansko zanimiva za reševanje uporabnih problemov, recimo v ekonomiji. Ogromen pomen za podjetniško dejavnost ima minimiziranje izgub.

Navodilo

1. Da bi našli minimum pomen funkcije, je treba ugotoviti, pri kateri vrednosti argumenta x0 bo neenakost y(x0) izpolnjena? y(x), kjer je x? x0. Kot običajno se ta problem rešuje v določenem intervalu ali v vsakem območju vrednosti funkcije, če ta ni nastavljen. Eden od vidikov rešitve je iskanje fiksnih točk.

2. Stacionarna točka se imenuje pomen argument, da izpeljanka funkcije gre na nič. Po Fermatovem izreku, če ima diferenciabilna funkcija ekstrem pomen na neki točki (v tem primeru lokalni minimum), potem ta točka miruje.

3. Najmanjša pomen funkcija pogosto nastopi točno na tej točki, vendar je ni mogoče vedno določiti. Poleg tega ni vedno mogoče natančno reči, kolikšen je minimum funkcije ali sprejme neskončno majhno pomen. Nato, kot običajno, poiščejo mejo, do katere gravitira pri zmanjševanju.

4. Da bi določili minimalno pomen funkcije, je potrebno izvesti zaporedje dejanj, sestavljenih iz štirih stopenj: iskanje domene definicije funkcije, pridobitev fiksnih točk, pregled vrednosti funkcije na teh točkah in na koncih vrzeli je zaznavanje minimuma.

5. Izkaže se, da naj bo neka funkcija y(x) podana na intervalu z mejami v točkah A in B. Poiščite njeno definicijsko domeno in ugotovite, ali je interval njena podmnožica.

6. Izračunajte izpeljanko funkcije. Dobljeni izraz izenačite z nič in poiščite korenine enačbe. Preverite, ali te stacionarne točke spadajo v interval. Če ne, se na naslednji stopnji ne upoštevajo.

7. Poglejte vrzel za vrsto meja: odprta, zaprta, sestavljena ali brezrazsežna. Odvisno od tega, kako najdeš minimum pomen. Recimo, da je segment [A, B] zaprt interval. Nadomestite jih v funkcijo in izračunajte vrednosti. Enako storite s stacionarno točko. Izberite najmanjšo vsoto.

8. Z odprtimi in brezmejnimi intervali je situacija nekoliko težja. Tu moramo iskati enostranske meje, ki ne dajejo vedno nedvoumnega rezultata. Recimo, za interval z eno zaprto in eno preluknjano mejo [A, B) bi morali najti funkcijo pri x = A in enostransko mejo lim y pri x? B-0.

Argument x, potem se imenuje periodično, če obstaja število T tako, da je za vsak x F(x + T) = F(x). To število T imenujemo perioda funkcije.

Lahko je več obdobij. Na primer, funkcija F = const ima enako vrednost za vse vrednosti argumenta, zato se lahko katero koli število šteje za njegovo obdobje.

Običajno se zanima za najmanjšo različno periodo funkcije. Zaradi kratkosti se preprosto imenuje obdobje.

Klasičen primer periodičnih funkcij je trigonometrija: sinus, kosinus in tangens. Njihova perioda je enaka in enaka 2π, to je sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) in tako naprej. Seveda pa trigonometrične funkcije niso edine periodične.

Kar zadeva enostavne, osnovne funkcije, je edini način za ugotavljanje njihove periodičnosti ali neperiodičnosti z izračuni. Toda za zapletene funkcije že obstaja nekaj preprostih pravil.

Če je F(x) s periodo T in je zanjo definiran odvod, potem je tudi ta odvod f(x) = F′(x) periodična funkcija z obdobjem T. Navsezadnje je vrednost odvoda pri točka x je enaka tangensu tangente grafa njenega antiodvoda na tej točki na os x, in ker se antiodvod periodično ponavlja, se mora ponoviti tudi odvod. Na primer, odvod funkcije sin(x) je cos(x) in je periodičen. Če vzamemo izpeljanko cos(x), dobimo -sin(x). Periodičnost ostaja nespremenjena.

Vendar obratno ne velja vedno. Tako je funkcija f(x) = const periodična, njena protiodpeljava F(x) = const*x + C pa ni.

Če je F(x) periodična funkcija s periodo T, potem je G(x) = a*F(kx + b), kjer so a, b in k konstante in k ni enak nič - prav tako periodična funkcija, in njegova doba je enaka T/k. Na primer sin(2x) je periodična funkcija in njena perioda je π. Vizualno je to mogoče predstaviti na naslednji način: z množenjem x z nekim številom se zdi, da stisnete graf funkcije vodoravno natanko tolikokrat

Če sta F1(x) in F2(x) periodični funkciji in sta njuni periodi enaki T1 oziroma T2, potem je lahko tudi vsota teh funkcij periodična. Vendar pa njegovo obdobje ne bo preprosta vsota obdobij T1 in T2. Če je rezultat deljenja T1/T2 racionalno število, potem je vsota funkcij periodična, njena perioda pa je enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku (LCM) period T1 in T2. Na primer, če je obdobje prve funkcije 12 in obdobje druge 15, bo obdobje njune vsote LCM (12, 15) = 60.

Vizualno je to mogoče predstaviti na naslednji način: funkcije imajo različne "širine korakov", če pa je razmerje med njihovimi širinami racionalno, bodo prej ali slej (ali bolje rečeno, natančno skozi LCM korakov) spet postale enake. , njihov seštevek pa bo začel novo obdobje.

Če pa je razmerje obdobij iracionalno, potem skupna funkcija sploh ne bo periodična. Naj bo na primer F1(x) = x mod 2 (ostanek x deljen z 2) in F2(x) = sin(x). T1 bo tukaj enak 2, T2 pa 2π. Razmerje obdobij je enako π – iracionalnemu številu. Zato funkcija sin(x) + x mod 2 ni periodična.

ki izpolnjuje sistem neenakosti:

b) Oglejmo si množico števil na številski osi, ki zadovoljujejo sistem neenačb:

Poiščite vsoto dolžin segmentov, ki sestavljajo to množico.

§ 7. Najenostavnejše formule

V § 3 smo določili naslednjo formulo za ostre kote α:

			sin2α + cos2α = 1.
				Ista formula			kdaj,
				ko je α katerikoli			de-
				le, naj bo M točka na trigonometriji
				kalični krog, ki ustreza
				število α (slika 7.1). Potem		M ima so-
				ordinate x = cos α, y
				Vendar pa vsaka točka (x; y), ki leži na
				krogi enotskega polmera s središčem
				trom ob izvoru, zadovoljivo
				reši enačbo x2 + y2		1, od koder
				cos2 α + sin2 α = 1, kot je zahtevano.

Iz enačbe kroga torej izhaja formula cos2 α + sin2 α = 1. Morda se zdi, da smo na ta način podali nov dokaz te formule za ostre kote (v primerjavi z navedenim v § 3, kjer smo uporabili Pitagorov izrek). Razlika pa je čisto zunanja: pri izpeljavi enačbe kroga x2 + y2 = 1 se uporablja isti Pitagorov izrek.

Za ostre kote smo dobili tudi druge formule, npr

simbola je desna stran vedno nenegativna, medtem ko je leva stran lahko negativna. Da bi formula veljala za vse α, jo je treba kvadrirati. Dobimo enakost: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). Dokažimo, da ta formula velja za vse α:1

1/(1 + tg2			sin2α			cos2α	Cos2α.
			cos2α			sin2α + cos2α

Problem 7.1. Iz definicij in formule sin2 α + cos2 α = 1 izpeljite vse spodnje formule (nekatere smo že dokazali):

sin2α + cos2α = 1;

tg2α =

tg2α

sin2α =

tg α ctg α = 1;

cos2α

1 + tg2α

ctg2α

Ctg2

cos2α =

1 + ctg2α

greh2

Te formule omogočajo, da ob poznavanju vrednosti ene od trigonometričnih funkcij danega števila skoraj najdemo vse ostale

nye. Naj na primer vemo, da je sin x = 1/2. Potem je cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, torej je cos x 3/2 ali − 3/2. Da bi ugotovili, kateremu od teh dveh števil je cos x enak, so potrebne dodatne informacije.

Problem 7.2. Pokažite s primeri, da sta možna oba zgornja primera.

Problem 7.3. a) Naj bo tgx = −1. Poišči sinx. Koliko odgovorov ima ta problem?

b) Naj poleg pogojev iz točke a) vemo, da sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Za katerega je definiran tg α, tj. cos α 6= 0.

Problem 7.4. Naj bo sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Poiščite tgx.

Problem 7.5. Naj bo tg x = 3, cos x > sin x. Poiščite cos x, sin x.

Problem 7.6. Naj bo tgx = 3/5. Poiščite sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Problem 7.7. Dokažite istovetnosti:

tgα − sinα

c) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α =

Problem 7.8. Poenostavite izraze:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

c) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Obdobja trigonometričnih funkcij

Števila x, x+2π, x−2π ustrezajo isti točki na trigonometričnem krogu (če greste dodatni krog vzdolž trigonometričnega kroga, boste končali tam, kjer ste bili). To pomeni naslednje identitete, o katerih je bilo govora že v § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sinx; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cosx.

V zvezi s temi identitetami smo že uporabili izraz »obdobje«. Zdaj podajamo natančne definicije.

Opredelitev. Število T 6= 0 imenujemo perioda funkcije f, če za vse x veljajo enakosti f(x − T) = f(x + T) = f(x) (predpostavimo, da sta x + T in x − T so vključeni v domeno funkcije , če vključuje x). Funkcija se imenuje periodična, če ima obdobje (vsaj eno).

Periodične funkcije se naravno pojavljajo pri opisu nihajnih procesov. Eden od teh procesov je bil že obravnavan v § 5. Tukaj je več primerov:

1) Naj bo ϕ = ϕ(t) kot odstopanja nihalnega nihala ure od navpičnice v trenutku t. Potem je ϕ periodična funkcija t.

2) Napetost (»potencialna razlika«, kot bi rekel fizik) med dvema vtičnicama v vtičnici AC, npr.

ali jo obravnavati kot funkcijo časa, je periodična funkcija1.

3) Slišimo glasbeni zvok. Potem je zračni tlak na dani točki periodična funkcija časa.

Če ima funkcija periodo T , bodo tudi periode te funkcije števila −T , 2T , −2T . . . - z eno besedo vsa števila nT , kjer je n celo število, ki ni enako nič. Dejansko preverimo na primer, da je f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Opredelitev. Najmanjša pozitivna perioda funkcije f je - v skladu z dobesednim pomenom besed - pozitivno število T, tako da je T perioda f in nobeno pozitivno število, manjše od T, ni perioda f.

Ni nujno, da ima periodična funkcija najmanjšo pozitivno periodo (npr. funkcija, ki je konstantna, ima na splošno periodo poljubnega števila in zato nima najmanjše pozitivne periode). Navedemo lahko tudi primere nekonstantnih periodičnih funkcij, ki nimajo najmanjše pozitivne periode. Kljub temu pa imajo v najbolj zanimivih primerih periodične funkcije najmanjšo pozitivno periodo.

1 Ko rečejo "napetost v omrežju je 220 voltov", mislijo na njeno "efektivno vrednost", o kateri bomo govorili v § 21. Sama napetost se ves čas spreminja.

riž. 8.1. Perioda tangente in kotangensa.

Zlasti je najmanjša pozitivna perioda sinusa in kosinusa 2π. Dokažimo to na primer za funkcijo y = sin x. V nasprotju s tem, kar pravimo, naj ima sinus periodo T tako, da je 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Najmanjšo pozitivno periodo funkcije, ki opisuje nihanje (kot v naših primerih 1-3), preprosto imenujemo perioda teh nihanj.

Ker je število 2π obdobje sinusa in kosinusa, bo to tudi obdobje tangensa in kotangensa. Vendar za te funkcije 2π ni najmanjša perioda: najmanjša pozitivna perioda tangensa in kotangensa je π. Točki, ki ustrezata številoma x in x + π na trigonometričnem krogu, sta namreč diametralno nasprotni: od točke x do točke x + 2π je treba preteči razdaljo π, ki je natanko enaka polovici kroga. Zdaj, če uporabimo definicijo tangensa in kotangensa z uporabo osi tangentov in kotangensov, postaneta očitni enakosti tg (x + π) = tg x in ctg (x + π) = ctg x (slika 8.1). Preprosto je preveriti (to bomo predlagali v nalogah), da je π res najmanjša pozitivna perioda tangensa in kotangensa.

Ena opomba glede terminologije. Pogosto se besede "obdobje funkcije" uporabljajo v pomenu "najmanjše pozitivno obdobje". Če vas torej na izpitu vprašajo: »Ali je 100π perioda sinusne funkcije?«, si vzemite čas z odgovorom, a razjasnite, ali mislite na najmanjšo pozitivno periodo ali le na eno od period.

Trigonometrične funkcije so tipičen primer periodičnih funkcij: vsako "ne zelo slabo" periodično funkcijo je mogoče v nekem smislu izraziti s trigonometričnimi funkcijami.

Problem 8.1. Poiščite najmanjše pozitivne periode funkcij:

				c) y = cos πx;

d) y = cosx + cos(1,01x).

Problem 8.2. Odvisnost napetosti v izmeničnem omrežju od časa je podana s formulo U = U0 sin ωt (tu je t čas, U napetost, U0 in ω sta konstanti). Frekvenca izmeničnega toka je 50 Hertzov (to pomeni, da napetost naredi 50 nihanj na sekundo).

a) Poiščite ω ob predpostavki, da se t meri v sekundah;

b) Poiščite (najmanjšo pozitivno) periodo U kot funkcijo t.

Problem 8.3. a) Dokaži, da je najmanjša pozitivna perioda kosinusa 2π;

b) Dokaži, da je najmanjša pozitivna perioda tangente π.

Problem 8.4. Najmanjša pozitivna perioda funkcije f je enaka T . Dokažite, da so vse ostale periode oblike nT za nekatera cela števila n.

Problem 8.5. Dokaži, da naslednje funkcije niso periodične.