मुलांसाठी अँटीपायरेटिक्स बालरोगतज्ञांनी लिहून दिले आहेत. परंतु तापासह आपत्कालीन परिस्थिती असते जेव्हा मुलाला ताबडतोब औषध देणे आवश्यक असते. मग पालक जबाबदारी घेतात आणि अँटीपायरेटिक औषधे वापरतात. लहान मुलांना काय देण्याची परवानगी आहे? मोठ्या मुलांमध्ये तापमान कसे कमी करावे? कोणती औषधे सर्वात सुरक्षित आहेत?
या व्हिडिओमध्ये आम्ही समान अल्गोरिदम वापरून सोडवलेल्या रेखीय समीकरणांच्या संपूर्ण संचाचे विश्लेषण करू - म्हणूनच त्यांना सर्वात सोपा म्हटले जाते.
प्रथम, परिभाषित करूया: रेखीय समीकरण काय आहे आणि कोणते समीकरण सर्वात सोपे आहे?
रेखीय समीकरण हे असे असते ज्यामध्ये फक्त एकच चल असते आणि फक्त पहिल्या अंशापर्यंत.
सर्वात सोपा समीकरण म्हणजे बांधकाम:
अल्गोरिदम वापरून इतर सर्व रेषीय समीकरणे सर्वात सोपी केली जातात:
- कंस विस्तृत करा, जर असेल तर;
- व्हेरिएबल असलेल्या अटी समान चिन्हाच्या एका बाजूला हलवा आणि व्हेरिएबल नसलेल्या अटी दुसऱ्या बाजूला हलवा;
- समान चिन्हाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस समान संज्ञा द्या;
- परिणामी समीकरण व्हेरिएबल $x$ च्या गुणांकाने विभाजित करा.
अर्थात, हा अल्गोरिदम नेहमीच मदत करत नाही. वस्तुस्थिती अशी आहे की काहीवेळा या सर्व युक्तिवादानंतर $x$ व्हेरिएबलचे गुणांक शून्याच्या बरोबरीचे होते. या प्रकरणात, दोन पर्याय शक्य आहेत:
- समीकरणाला अजिबात उपाय नाही. उदाहरणार्थ, जेव्हा $0\cdot x=8$ सारखे काहीतरी निघते, उदा. डावीकडे शून्य आहे आणि उजवीकडे शून्याशिवाय दुसरी संख्या आहे. खालील व्हिडिओमध्ये आम्ही ही परिस्थिती का शक्य आहे याची अनेक कारणे पाहू.
- उपाय म्हणजे सर्व संख्या. जेव्हा हे समीकरण $0\cdot x=0$ वर कमी केले जाते तेव्हा हे शक्य होते. हे अगदी तार्किक आहे की आम्ही $x$ बदलले तरीही ते "शून्य म्हणजे शून्याच्या बरोबरीचे" असे निघेल, म्हणजे. योग्य संख्यात्मक समानता.
आता वास्तविक जीवनातील उदाहरणे वापरून हे सर्व कसे कार्य करते ते पाहू.
समीकरणे सोडवण्याची उदाहरणे
आज आपण रेखीय समीकरणे हाताळत आहोत आणि फक्त सर्वात सोपी समीकरणे. सर्वसाधारणपणे, एक रेखीय समीकरण म्हणजे कोणतीही समानता ज्यामध्ये अगदी एक व्हेरिएबल असते आणि ते फक्त पहिल्या अंशापर्यंत जाते.
अशा बांधकामांचे निराकरण अंदाजे त्याच प्रकारे केले जाते:
- सर्व प्रथम, आपल्याला कंस विस्तृत करणे आवश्यक आहे, जर काही असतील तर (आमच्या शेवटच्या उदाहरणाप्रमाणे);
- मग समान आणा
- शेवटी, व्हेरिएबल अलग करा, म्हणजे. व्हेरिएबलशी जोडलेली प्रत्येक गोष्ट—त्यामध्ये समाविष्ट असलेल्या अटी—एका बाजूला हलवा आणि त्याशिवाय राहिलेल्या सर्व गोष्टी दुसऱ्या बाजूला हलवा.
मग, नियमानुसार, तुम्हाला परिणामी समानतेच्या प्रत्येक बाजूला समान देणे आवश्यक आहे, आणि त्यानंतर जे काही उरले आहे ते "x" च्या गुणांकाने विभाजित करणे आहे आणि आम्हाला अंतिम उत्तर मिळेल.
सैद्धांतिकदृष्ट्या, हे छान आणि सोपे दिसते, परंतु व्यवहारात, अगदी अनुभवी हायस्कूल विद्यार्थी अगदी सोप्या रेखीय समीकरणांमध्ये आक्षेपार्ह चुका करू शकतात. सामान्यतः, कंस उघडताना किंवा "प्लस" आणि "वजा" ची गणना करताना त्रुटी केल्या जातात.
शिवाय, असे घडते की एका रेखीय समीकरणाला कोणतेही उपाय नसतात, किंवा समाधान संपूर्ण संख्यारेषा असते, म्हणजे. कोणतीही संख्या. आजच्या धड्यात आपण या बारकावे पाहणार आहोत. परंतु आम्ही तुम्हाला आधीच समजल्याप्रमाणे, सर्वात सोप्या कार्यांसह प्रारंभ करू.
साधी रेखीय समीकरणे सोडवण्याची योजना
प्रथम, मी पुन्हा एकदा सर्वात सोपी रेखीय समीकरणे सोडवण्याची संपूर्ण योजना लिहितो:
- कंस विस्तृत करा, असल्यास.
- आम्ही व्हेरिएबल्स वेगळे करतो, म्हणजे. आम्ही "X's" असलेली प्रत्येक गोष्ट एका बाजूला आणि "X's" नसलेली प्रत्येक गोष्ट दुसरीकडे हलवतो.
- आम्ही समान अटी सादर करतो.
- आपण सर्व काही “x” च्या गुणांकाने विभाजित करतो.
अर्थात, ही योजना नेहमीच कार्य करत नाही; त्यात काही बारकावे आणि युक्त्या आहेत आणि आता आपण त्या जाणून घेऊ.
साध्या रेखीय समीकरणांची वास्तविक उदाहरणे सोडवणे
कार्य क्रमांक १
पहिल्या पायरीसाठी आपल्याला कंस उघडणे आवश्यक आहे. परंतु ते या उदाहरणात नाहीत, म्हणून आम्ही ही पायरी वगळतो. दुसऱ्या चरणात आपल्याला व्हेरिएबल्स वेगळे करणे आवश्यक आहे. कृपया लक्षात ठेवा: आम्ही फक्त वैयक्तिक अटींबद्दल बोलत आहोत. चला ते लिहूया:
आम्ही डावीकडे आणि उजवीकडे समान अटी सादर करतो, परंतु हे येथे आधीच केले गेले आहे. म्हणून, आम्ही चौथ्या चरणावर जाऊ: गुणांकाने विभाजित करा:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
तर आम्हाला उत्तर मिळाले.
कार्य क्रमांक 2
आपण या समस्येतील कंस पाहू शकतो, तर चला त्यांचा विस्तार करूया:
दोन्ही डावीकडे आणि उजवीकडे आपल्याला अंदाजे समान डिझाइन दिसते, परंतु अल्गोरिदमनुसार कार्य करूया, म्हणजे. व्हेरिएबल्स वेगळे करणे:
येथे काही समान आहेत:
हे कोणत्या मुळांवर काम करते? उत्तरः कोणत्याहीसाठी. म्हणून, आपण असे लिहू शकतो की $x$ ही कोणतीही संख्या आहे.
कार्य क्रमांक 3
तिसरे रेखीय समीकरण अधिक मनोरंजक आहे:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
येथे अनेक कंस आहेत, परंतु ते कशानेही गुणाकार केलेले नाहीत, ते फक्त वेगवेगळ्या चिन्हांनी आधी आहेत. चला त्यांना खंडित करूया:
आम्हाला आधीच माहित असलेली दुसरी पायरी आम्ही पार पाडतो:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
चला गणित करूया:
आम्ही शेवटची पायरी पार पाडतो - प्रत्येक गोष्ट “x” च्या गुणांकाने विभाजित करा:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
रेखीय समीकरणे सोडवताना लक्षात ठेवण्याच्या गोष्टी
जर आपण खूप सोप्या कार्यांकडे दुर्लक्ष केले, तर मी पुढील गोष्टी सांगू इच्छितो:
- मी वर म्हटल्याप्रमाणे, प्रत्येक रेखीय समीकरणाचे निराकरण नसते - काहीवेळा फक्त मुळे नसतात;
- जरी मुळे आहेत, त्यांच्यामध्ये शून्य असू शकते - त्यात काहीही चुकीचे नाही.
शून्य ही इतरांसारखीच संख्या आहे; तुम्ही त्याच्याशी कोणत्याही प्रकारे भेदभाव करू नये किंवा जर तुम्हाला शून्य मिळाले तर तुम्ही काहीतरी चुकीचे केले आहे असे मानू नये.
आणखी एक वैशिष्ट्य कंस उघडण्याशी संबंधित आहे. कृपया लक्षात ठेवा: जेव्हा त्यांच्या समोर "वजा" असतो, तेव्हा आम्ही ते काढून टाकतो, परंतु कंसात आम्ही चिन्हे बदलतो विरुद्ध. आणि मग आपण ते मानक अल्गोरिदम वापरून उघडू शकतो: वरील गणनेत आपण जे पाहिले ते आपल्याला मिळेल.
ही साधी वस्तुस्थिती समजून घेतल्याने तुम्हाला हायस्कूलमध्ये मूर्खपणाच्या आणि त्रासदायक चुका करणे टाळता येईल, जेव्हा अशा गोष्टी करणे गृहीत धरले जाते.
जटिल रेखीय समीकरणे सोडवणे
चला अधिक जटिल समीकरणांकडे जाऊया. आता बांधकामे अधिक जटिल होतील आणि विविध परिवर्तने करताना एक चतुर्भुज कार्य दिसून येईल. तथापि, आपण याची भीती बाळगू नये, कारण जर, लेखकाच्या योजनेनुसार, आपण एक रेखीय समीकरण सोडवत आहोत, तर परिवर्तन प्रक्रियेदरम्यान चतुर्भुज फंक्शन असलेले सर्व मोनोमियल नक्कीच रद्द होतील.
उदाहरण क्रमांक १
अर्थात, पहिली पायरी म्हणजे कंस उघडणे. चला हे अतिशय काळजीपूर्वक करूया:
आता गोपनीयतेकडे एक नजर टाकूया:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
येथे काही समान आहेत:
अर्थात, या समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत, म्हणून आम्ही हे उत्तरात लिहू:
\[\varnothing\]
किंवा मुळे नाहीत.
उदाहरण क्रमांक २
आम्ही समान क्रिया करतो. पहिली पायरी:
चला सर्व काही व्हेरिएबलसह डावीकडे हलवू या, आणि त्याशिवाय - उजवीकडे:
येथे काही समान आहेत:
अर्थात, या रेखीय समीकरणाला कोणतेही समाधान नाही, म्हणून आम्ही ते अशा प्रकारे लिहू:
\[\varnothing\],
किंवा मुळे नाहीत.
उपाय च्या बारकावे
दोन्ही समीकरणे पूर्णपणे सोडवली आहेत. उदाहरण म्हणून या दोन अभिव्यक्तींचा वापर करून, आम्हाला पुन्हा एकदा खात्री पटली की अगदी सोप्या रेखीय समीकरणांमध्येही, सर्वकाही इतके सोपे असू शकत नाही: एकतर एक, किंवा एकही नाही किंवा अमर्यादपणे अनेक मुळे असू शकतात. आमच्या बाबतीत, आम्ही दोन समीकरणे विचारात घेतली, दोघांनाही मुळीच नाही.
परंतु मी तुमचे लक्ष आणखी एका वस्तुस्थितीकडे आकर्षित करू इच्छितो: कंसांसह कसे कार्य करावे आणि त्यांच्यासमोर उणे चिन्ह असल्यास ते कसे उघडायचे. या अभिव्यक्तीचा विचार करा:
उघडण्यापूर्वी, आपल्याला सर्वकाही "X" ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. कृपया लक्षात ठेवा: गुणाकार प्रत्येक वैयक्तिक पद. आत दोन संज्ञा आहेत - अनुक्रमे, दोन संज्ञा आणि गुणाकार.
आणि हे वरवरचे प्राथमिक, परंतु अत्यंत महत्वाचे आणि धोकादायक परिवर्तन पूर्ण झाल्यानंतरच, आपण ब्रॅकेट उघडू शकता की त्या नंतर एक वजा चिन्ह आहे. होय, होय: फक्त आता, जेव्हा परिवर्तने पूर्ण होतात, तेव्हा आम्हाला आठवते की कंसाच्या समोर एक वजा चिन्ह आहे, ज्याचा अर्थ असा आहे की खाली असलेली प्रत्येक गोष्ट फक्त चिन्हे बदलते. त्याच वेळी, कंस स्वतःच अदृश्य होतात आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे, समोरचा “वजा” देखील अदृश्य होतो.
आम्ही दुसऱ्या समीकरणासह असेच करतो:
मी या लहान, वरवर क्षुल्लक तथ्यांकडे लक्ष देणे योगायोगाने नाही. कारण समीकरणे सोडवणे हा नेहमीच प्राथमिक परिवर्तनाचा एक क्रम असतो, जेथे साध्या कृती स्पष्टपणे आणि सक्षमपणे करण्यास असमर्थतेमुळे हायस्कूलचे विद्यार्थी माझ्याकडे येतात आणि पुन्हा अशी साधी समीकरणे सोडवायला शिकतात.
अर्थात, असा दिवस येईल जेव्हा तुम्ही ही कौशल्ये आपोआप विकसित कराल. तुम्हाला यापुढे प्रत्येक वेळी इतके परिवर्तन करावे लागणार नाही, तुम्ही सर्व काही एका ओळीवर लिहाल. पण तुम्ही फक्त शिकत असताना, तुम्हाला प्रत्येक कृती स्वतंत्रपणे लिहायची आहे.
आणखी जटिल रेखीय समीकरणे सोडवणे
आता आपण जे सोडवणार आहोत त्याला सर्वात सोपा कार्य म्हणता येणार नाही, परंतु अर्थ तोच आहे.
कार्य क्रमांक १
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
पहिल्या भागातील सर्व घटकांचा गुणाकार करूया:
चला काही गोपनीयता करूया:
येथे काही समान आहेत:
चला शेवटची पायरी पूर्ण करूया:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
येथे आमचे अंतिम उत्तर आहे. आणि, सोडवण्याच्या प्रक्रियेत आमच्याकडे चतुर्भुज कार्यासह गुणांक होते हे असूनही, त्यांनी एकमेकांना रद्द केले, जे समीकरण रेखीय बनवते आणि द्विघाती नाही.
कार्य क्रमांक 2
\[\left(1-4x \उजवे)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \उजवे)\]
चला पहिली पायरी काळजीपूर्वक पार पाडूया: पहिल्या कंसातील प्रत्येक घटकाला दुसऱ्या घटकापासून प्रत्येक घटकाने गुणाकार करा. परिवर्तनानंतर एकूण चार नवीन अटी असाव्यात:
आता प्रत्येक टर्ममध्ये गुणाकार काळजीपूर्वक करू:
चला “X” असलेल्या अटी डावीकडे हलवू आणि त्याशिवाय - उजवीकडे:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
येथे समान अटी आहेत:
पुन्हा एकदा आम्हाला अंतिम उत्तर मिळाले आहे.
उपाय च्या बारकावे
या दोन समीकरणांबद्दलची सर्वात महत्वाची नोंद खालीलप्रमाणे आहे: आपण एकापेक्षा जास्त पद असलेल्या कंसाचा गुणाकार करण्यास सुरुवात केल्यावर, हे खालील नियमानुसार केले जाते: आपण पहिल्यापासून प्रथम पद घेतो आणि प्रत्येक घटकासह गुणाकार करतो. दुसरा; मग आपण पहिल्यापासून दुसरा घटक घेतो आणि त्याचप्रमाणे दुसऱ्या घटकासह गुणाकार करतो. परिणामी, आमच्याकडे चार पद असतील.
बीजगणितीय बेरीज बद्दल
या शेवटच्या उदाहरणासह, मी विद्यार्थ्यांना बीजगणितीय बेरीज म्हणजे काय याची आठवण करून देऊ इच्छितो. शास्त्रीय गणितात, $1-7$ ने आमचा अर्थ एक साधी रचना आहे: एकातून सात वजा करा. बीजगणितामध्ये, आपला अर्थ खालीलप्रमाणे आहे: “एक” या संख्येमध्ये आपण दुसरी संख्या जोडतो, ती म्हणजे “वजा सात”. अशाप्रकारे बीजगणितीय बेरीज सामान्य अंकगणिताच्या बेरजेपेक्षा वेगळी असते.
सर्व परिवर्तने, प्रत्येक बेरीज आणि गुणाकार करताना, तुम्हाला वर वर्णन केलेल्या प्रमाणेच रचना दिसू लागतात, बहुपदी आणि समीकरणांसह कार्य करताना तुम्हाला बीजगणितात कोणतीही अडचण येणार नाही.
शेवटी, आणखी काही उदाहरणे पाहू या जी आपण नुकतीच पाहिली त्यापेक्षा अधिक गुंतागुंतीची असतील आणि त्यांचे निराकरण करण्यासाठी आपल्याला आपला मानक अल्गोरिदम किंचित वाढवावा लागेल.
अपूर्णांकांसह समीकरणे सोडवणे
अशी कार्ये सोडवण्यासाठी, आम्हाला आमच्या अल्गोरिदममध्ये आणखी एक पाऊल जोडावे लागेल. पण प्रथम, मी तुम्हाला आमच्या अल्गोरिदमची आठवण करून देतो:
- कंस उघडा.
- वेगळे व्हेरिएबल्स.
- समान आणा.
- गुणोत्तराने भागा.
अरेरे, हे आश्चर्यकारक अल्गोरिदम, त्याच्या सर्व प्रभावीतेसाठी, जेव्हा आपल्यासमोर अपूर्णांक असतात तेव्हा ते पूर्णपणे योग्य नसते. आणि आपण खाली पाहणार आहोत, दोन्ही समीकरणांमध्ये डावीकडे आणि उजवीकडे दोन्हीकडे एक अंश आहे.
या प्रकरणात कसे कार्य करावे? होय, हे खूप सोपे आहे! हे करण्यासाठी, आपल्याला अल्गोरिदममध्ये आणखी एक पाऊल जोडणे आवश्यक आहे, जे पहिल्या क्रियेपूर्वी आणि नंतर दोन्ही केले जाऊ शकते, म्हणजे, अपूर्णांकांपासून मुक्त होणे. तर अल्गोरिदम खालीलप्रमाणे असेल:
- अपूर्णांकांपासून मुक्त व्हा.
- कंस उघडा.
- वेगळे व्हेरिएबल्स.
- समान आणा.
- गुणोत्तराने भागा.
"अपूर्णांकांपासून मुक्त होणे" म्हणजे काय? आणि हे पहिल्या मानक चरणानंतर आणि आधी दोन्ही का केले जाऊ शकते? खरं तर, आमच्या बाबतीत, सर्व अपूर्णांक त्यांच्या भाजकात संख्यात्मक आहेत, म्हणजे. सर्वत्र भाजक फक्त एक संख्या आहे. म्हणून, जर आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना या संख्येने गुणाकार केला तर आपण अपूर्णांकांपासून मुक्त होऊ.
उदाहरण क्रमांक १
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=(x)^(2))-1\]
चला या समीकरणातील अपूर्णांकांपासून मुक्त होऊ या:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot ४\]
कृपया लक्षात ठेवा: प्रत्येक गोष्ट एकदा "चार" ने गुणाकार केली जाते, म्हणजे. तुमच्याकडे दोन कंस आहेत याचा अर्थ असा नाही की तुम्हाला प्रत्येकाला "चार" ने गुणावे लागेल. चला खाली लिहू:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
आता विस्तार करूया:
आम्ही व्हेरिएबल वेगळे करतो:
आम्ही समान अटी कमी करतो:
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
आम्हाला अंतिम समाधान मिळाले आहे, चला दुसऱ्या समीकरणाकडे जाऊया.
उदाहरण क्रमांक २
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+(x)^(2))=1\]
येथे आम्ही सर्व समान क्रिया करतो:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
समस्या सुटली आहे.
खरं तर, आज मला तुम्हाला एवढंच सांगायचं होतं.
महत्त्वाचे मुद्दे
मुख्य निष्कर्ष आहेत:
- रेखीय समीकरणे सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम जाणून घ्या.
- कंस उघडण्याची क्षमता.
- तुमच्याकडे कुठेतरी चतुर्भुज फंक्शन्स असतील तर काळजी करू नका, ते पुढील परिवर्तनाच्या प्रक्रियेत कमी होतील.
- रेखीय समीकरणांमध्ये तीन प्रकारची मुळे असतात, अगदी सोपी: एकच मूळ, संपूर्ण संख्यारेषा ही मूळ असते आणि मुळीच मुळी नसते.
मला आशा आहे की हा धडा तुम्हाला सर्व गणिताच्या अधिक समजून घेण्यासाठी एका सोप्या, परंतु अतिशय महत्त्वाच्या विषयावर प्रभुत्व मिळवण्यास मदत करेल. काहीतरी स्पष्ट नसल्यास, साइटवर जा आणि तेथे सादर केलेली उदाहरणे सोडवा. संपर्कात रहा, आणखी अनेक मनोरंजक गोष्टी तुमची वाट पाहत आहेत!
समीकरणएक समानता आहे ज्यामध्ये एक किंवा अधिक चल उपस्थित असतात.
जेव्हा समीकरणामध्ये एक व्हेरिएबल असते, म्हणजे एक अज्ञात संख्या असते तेव्हा आपण त्या केसचा विचार करू. मूलत:, समीकरण हे एक प्रकारचे गणितीय मॉडेल आहे. म्हणून, सर्व प्रथम, आपल्याला समस्या सोडवण्यासाठी समीकरणे आवश्यक आहेत.
एखाद्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी गणिताचे मॉडेल कसे संकलित केले जाते ते आठवूया.
उदाहरणार्थ, नवीन शैक्षणिक वर्षात शाळा क्रमांक 5 मधील विद्यार्थ्यांची संख्या दुप्पट झाली आहे. 20 विद्यार्थी दुसऱ्या शाळेत गेल्यानंतर एकूण 720 विद्यार्थी शाळा क्रमांक 5 मध्ये शिकू लागले. गेल्या वर्षी किती विद्यार्थी होते?
कंडिशनमध्ये जे म्हटले आहे ते गणितीय भाषेत व्यक्त केले पाहिजे. मागच्या वर्षीच्या विद्यार्थ्यांची संख्या दहावी असू द्या. मग समस्येच्या परिस्थितीनुसार,
2X – 20 = 720. आमच्याकडे एक गणितीय मॉडेल आहे जे प्रतिनिधित्व करते एका व्हेरिएबलसह समीकरण. अधिक स्पष्टपणे, हे एका व्हेरिएबलसह प्रथम पदवीचे समीकरण आहे. फक्त त्याचे मूळ शोधणे बाकी आहे.
समीकरणाचे मूळ काय आहे?
ज्या व्हेरिएबलच्या मूल्यावर आपले समीकरण खऱ्या समानतेमध्ये बदलते त्याला समीकरणाचे मूळ म्हणतात. अनेक मुळे असलेली समीकरणे आहेत. उदाहरणार्थ, समीकरण 2*X = (5-3)*X मध्ये, X चे कोणतेही मूल्य मूळ असते. आणि X = X +5 या समीकरणाला मुळीच मुळीच नाही, कारण X साठी आपण कितीही मूल्य बदलले तरी आपल्याला योग्य समानता मिळणार नाही. समीकरण सोडवणे म्हणजे त्याची सर्व मुळे शोधणे किंवा त्याला मुळीच नाही हे ठरवणे. तर आपल्या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, आपल्याला 2X – 20 = 720 हे समीकरण सोडवावे लागेल.
एका चलने समीकरणे कशी सोडवायची?
प्रथम, काही मूलभूत व्याख्या लिहू. प्रत्येक समीकरणाला उजवी आणि डावी बाजू असते. आमच्या बाबतीत, (2X – 20) ही समीकरणाची डावी बाजू आहे (ती समान चिन्हाच्या डावीकडे आहे), आणि 720 ही समीकरणाची उजवी बाजू आहे. समीकरणाच्या उजव्या आणि डाव्या बाजूस असलेल्या संज्ञांना समीकरणाच्या संज्ञा म्हणतात. आमच्या समीकरण संज्ञा 2X, -20 आणि 720 आहेत.
चला ताबडतोब समीकरणांच्या 2 गुणधर्मांबद्दल बोलूया:
- समीकरणाची कोणतीही संज्ञा समीकरणाच्या उजव्या बाजूकडून डावीकडे हस्तांतरित केली जाऊ शकते आणि त्याउलट. या प्रकरणात, समीकरणाच्या या संज्ञेचे चिन्ह विरुद्ध बदलणे आवश्यक आहे. म्हणजेच, 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X या फॉर्मच्या नोंदी समतुल्य आहेत.
- समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान संख्येने गुणाकार किंवा भागाकार करता येतो. ही संख्या शून्य असू नये. म्हणजेच, फॉर्म 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 च्या नोंदी देखील समतुल्य आहेत.
विरुद्ध चिन्हासह -20 उजवीकडे हलवू. आम्हाला मिळते:
2X = 720 + 20. उजव्या बाजूला काय आहे ते जोडू. आम्हाला ते 2X = 740 मिळते.
आता समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना 2 ने विभाजित करा.
2X:2 = 740:2 किंवा X = 370. आम्हाला आमच्या समीकरणाचे मूळ सापडले आणि त्याच वेळी आमच्या समस्येच्या प्रश्नाचे उत्तर सापडले. मागील वर्षी शाळा क्रमांक 5 मध्ये 370 विद्यार्थी होते.
आपले मूळ हे समीकरण खऱ्या समानतेत बदलते का ते तपासूया. 2X – 20 = 720 या समीकरणामध्ये X ऐवजी 370 क्रमांक घेऊ.
2*370-20 = 720.
ते बरोबर आहे.
तर, एका चलने समीकरण सोडवण्यासाठी, ते ax = b फॉर्मच्या तथाकथित रेषीय समीकरणापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे, जेथे a आणि b काही संख्या आहेत. नंतर डाव्या आणि उजव्या बाजूंना a या संख्येने विभाजित करा. आम्हाला ते x = b:a मिळेल.
रेखीय समीकरणात समीकरण कमी करणे म्हणजे काय?
हे समीकरण विचारात घ्या:
5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X.
हे देखील एका अज्ञात चल X सह समीकरण आहे. हे समीकरण ax = b प्रमाणे कमी करणे हे आमचे कार्य आहे.
हे करण्यासाठी, आम्ही प्रथम समीकरणाच्या डाव्या बाजूला X हा घटक असलेल्या सर्व संज्ञा आणि उजव्या बाजूला उर्वरित संज्ञा एकत्रित करतो. ज्या अटींमध्ये घटकासारखे समान अक्षर असते त्यांना समान संज्ञा म्हणतात.
5X - 2X + 7X - 3X = 59 - 10.
गुणाकाराच्या वितरण गुणधर्मानुसार, आपण कंसातून समान घटक काढू शकतो आणि गुणांक जोडू शकतो (x व्हेरिएबलसाठी गुणक). या प्रक्रियेला रिडक्शन ऑफ लाईक टर्म असेही म्हणतात.
X(५-२+७-३) = ४९.
7X = 49. आपण समीकरण ax = b या फॉर्ममध्ये कमी केले आहे, जेथे a = 7, b = 49.
आणि आपण वर लिहिल्याप्रमाणे, ax = b फॉर्मच्या समीकरणाचे मूळ x = b:a आहे.
म्हणजेच, X = 49:7 = 7.
एका व्हेरिएबलसह समीकरणाची मुळे शोधण्यासाठी अल्गोरिदम.
- समीकरणाच्या डाव्या बाजूला समान संज्ञा आणि समीकरणाच्या उजव्या बाजूला उर्वरित संज्ञा गोळा करा.
- समान अटी द्या.
- फॉर्म ax = b पर्यंत समीकरण कमी करा.
- x = b:a सूत्र वापरून मुळे शोधा.
मागील धड्यांमध्ये, आम्ही अभिव्यक्तींशी परिचित झालो, आणि ते कसे सोपे करावे आणि त्यांची गणना कशी करावी हे देखील शिकलो. आता आपण आणखी गुंतागुंतीच्या आणि मनोरंजक गोष्टींकडे जाऊया, म्हणजे समीकरणे.
समीकरण आणि त्याची मुळे
व्हेरिएबल असलेली समानता म्हणतात समीकरणे. समीकरण सोडवा , म्हणजे व्हेरिएबलचे मूल्य शोधणे ज्यावर समानता सत्य असेल. व्हेरिएबलचे मूल्य म्हणतात समीकरणाचे मूळ .
समीकरणांमध्ये एक मूळ, अनेक किंवा काहीही असू शकते.
समीकरणे सोडवताना, खालील गुणधर्म वापरले जातात:
- तुम्ही समीकरणातील एक पद समीकरणाच्या एका भागातून दुसऱ्या भागात हलवल्यास, विरुद्ध चिन्हावर बदल केल्यास, तुम्हाला दिलेल्या समीकरणाचे समीकरण मिळेल.
- समीकरणाच्या दोन्ही बाजू एकाच संख्येने गुणाकार किंवा भाग घेतल्यास, तुम्हाला दिलेल्या एका समीकरणाचे समीकरण मिळते.
उदाहरण क्रमांक १कोणती संख्या: -2, -1, 0, 2, 3 ही समीकरणाची मुळे आहेत:
हे कार्य सोडवण्यासाठी, तुम्हाला फक्त x या व्हेरिएबलसाठी प्रत्येक संख्या एक-एक करून बदलायची आहे आणि ज्या संख्यांसाठी समानता सत्य मानली जाते त्या संख्या निवडणे आवश्यक आहे.
"x = -2" वर:
\(-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)
\(4=4\) - समानता सत्य आहे, याचा अर्थ (-2) हे आपल्या समीकरणाचे मूळ आहे
"x= -1" वर
\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)
\(1=7\) - समानता असत्य आहे, म्हणून (-1) समीकरणाचे मूळ नाही
\(0^2=10-3 \cdot 0 \)
\(0=10\) - समानता असत्य आहे, म्हणून 0 हे समीकरणाचे मूळ नाही
\(2^2=10-3 \cdot 2\)
\(4=4\) - समानता सत्य आहे, याचा अर्थ 2 हे आपल्या समीकरणाचे मूळ आहे
\(3^2=10-3 \cdot 3 \)
\(9=1\) - समानता असत्य आहे, म्हणून 3 हे समीकरणाचे मूळ नाही
उत्तर: सादर केलेल्या संख्यांवरून, \(x^2=10-3x\) समीकरणाची मुळे -2 आणि 2 आहेत.
एका चलसह रेखीय समीकरण ax = b फॉर्मची समीकरणे आहेत, जिथे x एक चल आहे आणि a आणि b काही संख्या आहेत.
समीकरणांचे प्रकार मोठ्या संख्येने आहेत, परंतु त्यापैकी अनेक सोडवताना रेखीय समीकरणे सोडवण्यापर्यंत येतात, त्यामुळे पुढील प्रशिक्षणासाठी या विषयाचे ज्ञान अनिवार्य आहे!
उदाहरण क्रमांक २समीकरण सोडवा: 4(x+7) = 3-x
हे समीकरण सोडवण्यासाठी, सर्वप्रथम, तुम्हाला कंसातून मुक्त होणे आवश्यक आहे आणि हे करण्यासाठी, कंसातील प्रत्येक पदाचा 4 ने गुणाकार करा, आम्हाला मिळेल:
4x + 28 = 3 - x
आता आपल्याला सर्व मूल्ये “x” वरून एका बाजूला आणि इतर सर्व काही दुसऱ्या बाजूला हलवण्याची आवश्यकता आहे (चिन्ह उलट्याकडे बदलण्यास विसरू नका), आम्हाला मिळेल:
4x + x = 3 - 28
आता डावीकडून उजवीकडे वजा करा:
अज्ञात घटक (x) शोधण्यासाठी, तुम्हाला ज्ञात घटक (5) ने उत्पादन (25) विभाजित करणे आवश्यक आहे:
उत्तर x = -5
तुम्हाला उत्तराबद्दल शंका असल्यास, तुम्ही x ऐवजी परिणामी मूल्य आमच्या समीकरणात बदलून तपासू शकता:
4(-5+7) = 3-(-5)
8 = 8 - समीकरण बरोबर सोडवले आहे!
आता आणखी क्लिष्ट काहीतरी सोडवूया:
उदाहरण क्रमांक 3समीकरणाची मुळे शोधा: \((y+4)-(y-4)=6y \)
सर्व प्रथम, कंसापासून देखील मुक्त होऊ या:
आम्हाला डाव्या बाजूला y आणि -y ताबडतोब दिसतो, याचा अर्थ आम्ही त्यांना सहजपणे ओलांडू शकतो आणि परिणामी संख्या जोडू आणि अभिव्यक्ती लिहू:
आता तुम्ही “y” असलेली मूल्ये डावीकडे आणि संख्या असलेली मूल्ये उजवीकडे हलवू शकता. परंतु हे आवश्यक नाही, कारण व्हेरिएबल्स कोणत्या बाजूला आहेत हे महत्त्वाचे नाही, मुख्य गोष्ट अशी आहे की ते संख्याशिवाय आहेत, याचा अर्थ आम्ही काहीही हस्तांतरित करणार नाही. परंतु ज्यांना समजत नाही त्यांच्यासाठी, आम्ही नियम सांगितल्याप्रमाणे करू आणि दोन्ही भागांना (-1) ने विभाजित करू, जसे की मालमत्ता सांगते:
अज्ञात घटक शोधण्यासाठी, आपल्याला ज्ञात घटकाद्वारे उत्पादन विभाजित करणे आवश्यक आहे:
\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)
उत्तर: y = \(1\frac(1)(3)\)
तुम्ही उत्तर देखील तपासू शकता, परंतु ते स्वतः करा.
उदाहरण क्रमांक 4\(0.5x+1.2)-(3.6-4.5x)=(4.8-0.3x)+(10.5x+0.6) \)
आता मी स्पष्टीकरणाशिवाय ते सोडवीन आणि तुम्ही सोल्यूशनची प्रगती आणि समीकरणे सोडवण्यासाठी योग्य नोटेशन पहा:
\(0.5x+1.2)-(3.6-4.5x)=(4.8-0.3x)+(10.5x+0.6) \)
\(0.5x+1.2-3.6+4.5x=4.8-0.3x+10.5x+0.6\)
\(0.5x+4.5x+0.3x-10.5x=4.8+0.6-1.2+3.6\)
\(x=\frac(7.8)(-5.2)=\frac(3)(-2) =-1.5\)
उत्तर: x = -1.5
सोल्यूशन दरम्यान काहीतरी स्पष्ट नसल्यास, टिप्पण्यांमध्ये लिहा.
समीकरणे वापरून समस्या सोडवणे
समीकरणे काय आहेत हे जाणून घेणे आणि त्यांची गणना करणे शिकणे, तुम्ही स्वतःला अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी प्रवेश देखील देऊ शकता जिथे समीकरणे निराकरणासाठी वापरली जातात.
मी सिद्धांतात जाणार नाही, उदाहरणांसह सर्वकाही एकाच वेळी दर्शविणे चांगले आहे
उदाहरण क्र. 5बॉक्सच्या तुलनेत बास्केटमध्ये 2 पट कमी सफरचंद होते. बास्केटमधून बॉक्समध्ये 10 सफरचंद हस्तांतरित केल्यानंतर, बॉक्समध्ये टोपलीपेक्षा 5 पट जास्त सफरचंद होते. बास्केटमध्ये किती सफरचंद होते आणि किती बॉक्समध्ये होते?
सर्व प्रथम, आपण "x" म्हणून काय स्वीकारू हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे, या समस्येमध्ये आपण बॉक्स आणि बास्केट दोन्ही स्वीकारू शकतो, परंतु मी टोपलीमध्ये सफरचंद घेईन.
तर, बास्केटमध्ये x सफरचंद असू द्या, कारण बॉक्समध्ये दुप्पट सफरचंद आहेत, तर हे 2x म्हणून घेऊ. सफरचंद बास्केटमधून बॉक्समध्ये हस्तांतरित केल्यानंतर, बास्केटमधील सफरचंदांची संख्या झाली: x - 10, याचा अर्थ बॉक्समध्ये - (2x + 10) सफरचंद होते.
आता तुम्ही समीकरण तयार करू शकता:
5(x-10) - बास्केटपेक्षा बॉक्समध्ये 5 पट जास्त सफरचंद आहेत.
प्रथम मूल्य आणि दुसरे समान करूया:
2x+10 = 5(x-10) आणि सोडवा:
2x + 10 = 5x - 50
2x - 5x = -50 - 10
x = -60/-3 = 20 (सफरचंद) - टोपलीमध्ये
आता, बास्केटमध्ये किती सफरचंद आहेत हे जाणून घेतल्यास, बॉक्समध्ये किती सफरचंद आहेत ते शोधू या - त्यापेक्षा दुप्पट असल्याने, आपण परिणाम फक्त 2 ने गुणाकार करू:
2*20 = 40 (सफरचंद) - एका बॉक्समध्ये
उत्तरः एका बॉक्समध्ये 40 सफरचंद आणि टोपलीमध्ये 20 सफरचंद आहेत.
मला समजले आहे की तुमच्यापैकी बऱ्याच जणांना समस्यांचे निराकरण कसे करावे हे कदाचित पूर्णपणे समजले नसेल, परंतु मी तुम्हाला खात्री देतो की आम्ही आमच्या धड्यांमध्ये या विषयावर एकापेक्षा जास्त वेळा परत येऊ, परंतु यादरम्यान, आपल्याकडे अद्याप प्रश्न असल्यास, त्यांना टिप्पण्यांमध्ये विचारा. .
शेवटी, समीकरणे सोडवण्याची आणखी काही उदाहरणे
उदाहरण क्रमांक 6\(2x - 0.7x = 0\)
उदाहरण क्र. 7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)
उदाहरण क्रमांक 8\(6y-(y-1) = 4+5y\)
\(6y-y+1=4+5y\)
\(6y-y-5y=4-1\)
\(0y=3 \) - मुळे नाहीत, कारण तुम्ही शून्याने भागू शकत नाही!
तुमचे लक्ष दिल्याबद्दल सर्वांचे आभार. काहीतरी अस्पष्ट असल्यास, टिप्पण्यांमध्ये विचारा.
तुमच्या ब्राउझरमध्ये Javascript अक्षम आहे.गणना करण्यासाठी, तुम्ही ActiveX नियंत्रणे सक्षम करणे आवश्यक आहे!
समीकरणांच्या प्रणालींसाठी दोन प्रकारच्या उपायांचे विश्लेषण करूया:
1. प्रतिस्थापन पद्धत वापरून प्रणाली सोडवणे.
2. प्रणाली समीकरणांची टर्म-दर-टर्म बेरीज (वजाबाकी) करून प्रणाली सोडवणे.
समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी प्रतिस्थापन पद्धतीद्वारेआपल्याला साध्या अल्गोरिदमचे अनुसरण करण्याची आवश्यकता आहे:
1. एक्सप्रेस. कोणत्याही समीकरणातून आपण एक चल व्यक्त करतो.
2. पर्याय. आम्ही व्यक्त व्हेरिएबलऐवजी परिणामी मूल्य दुसऱ्या समीकरणात बदलतो.
3. परिणामी समीकरण एका चलने सोडवा. आम्ही प्रणालीवर उपाय शोधतो.
सोडवण्याकरिता टर्म-दर-टर्म बेरीज (वजाबाकी) पद्धतीने प्रणालीगरज आहे:
1. एक व्हेरिएबल निवडा ज्यासाठी आपण एकसारखे गुणांक बनवू.
2. आम्ही समीकरणे जोडतो किंवा वजा करतो, परिणामी एक व्हेरिएबल असलेले समीकरण बनते.
3. निकाल सोडवा रेखीय समीकरण. आम्ही प्रणालीवर उपाय शोधतो.
सिस्टीमचे समाधान म्हणजे फंक्शन आलेखांचे छेदनबिंदू.
उदाहरणे वापरून सिस्टम्सच्या सोल्यूशनचा तपशीलवार विचार करूया.
उदाहरण #1:
प्रतिस्थापन पद्धतीने सोडवू
प्रतिस्थापन पद्धती वापरून समीकरणांची प्रणाली सोडवणे2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दुसरे समीकरण)
1. एक्सप्रेस
हे पाहिले जाऊ शकते की दुसऱ्या समीकरणामध्ये 1 च्या गुणांकासह व्हेरिएबल x आहे, याचा अर्थ दुसऱ्या समीकरणातून x हे व्हेरिएबल व्यक्त करणे सर्वात सोपे आहे.
x=3+10y
2.आम्ही ते व्यक्त केल्यावर, x च्या ऐवजी पहिल्या समीकरणात 3+10y बदलतो.
2(3+10y)+5y=1
3. परिणामी समीकरण एका चलने सोडवा.
2(3+10y)+5y=1 (कंस उघडा)
6+20y+5y=1
25y = 1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
समीकरण प्रणालीचे समाधान हे आलेखांचे छेदनबिंदू आहे, म्हणून आपल्याला x आणि y शोधणे आवश्यक आहे, कारण छेदनबिंदूमध्ये x आणि y आहे, चला x शोधू, जिथे आपण ते व्यक्त केले त्या ठिकाणी आपण y बदलू.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
बिंदू लिहिण्याची प्रथा आहे पहिल्या ठिकाणी आपण व्हेरिएबल x लिहितो आणि दुसऱ्या ठिकाणी व्हेरिएबल y.
उत्तर: (1; -0.2)
उदाहरण #2:
संज्ञा-दर-टर्म बेरीज (वजाबाकी) पद्धती वापरून सोडवू.
जोड पद्धत वापरून समीकरणांची प्रणाली सोडवणे3x-2y = 1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दुसरे समीकरण)
1. आपण व्हेरिएबल निवडतो, समजा आपण x निवडतो. पहिल्या समीकरणात, x चे गुणांक 3 आहे, दुसऱ्यामध्ये - 2. आपल्याला गुणांक समान बनवायचे आहेत, यासाठी आपल्याला समीकरणांचा गुणाकार करण्याचा किंवा कोणत्याही संख्येने भाग घेण्याचा अधिकार आहे. आपण पहिले समीकरण 2 ने गुणाकार करतो आणि दुसरे 3 ने गुणाकार करतो आणि एकूण 6 गुणांक मिळवतो.
3x-2y=1 |*2
6x-4y = 2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y =-30
2. रेखीय समीकरण सोडवण्यासाठी पहिल्या समीकरणातून दुसरे वजा करा.
__6x-4y=2
५y=३२ | :5
y=6.4
3. x शोधा. आम्ही सापडलेल्या y ला कोणत्याही समीकरणामध्ये बदलतो, चला पहिल्या समीकरणात म्हणू.
3x-2y = 1
३x-२*६.४=१
३x-१२.८=१
३x=१+१२.८
३x=१३.८ |:३
x=4.6
छेदनबिंदू असेल x=4.6; y=6.4
उत्तर: (४.६; ६.४)
तुम्हाला परीक्षेची मोफत तयारी करायची आहे का? शिक्षक ऑनलाइन विनामूल्य. मी चेष्टा नाही करत आहे.
