एका टोकाला कडकपणे बांधलेल्या सरळ पट्ट्यांच्या टॉर्शनची गणना करताना, तसेच शाफ्टची गणना करताना (जे परस्पर संतुलित टॉर्सनल क्षणांनी लोड केलेले फिरणारे बार आहेत), क्रॉस सेक्शनमधील टॉर्क्सची मूल्ये केवळ समतोल समीकरणे वापरून निर्धारित केली जाऊ शकतात ( विभागांची पद्धत). परिणामी, अशा समस्या स्थिरपणे परिभाषित केल्या जाऊ शकतात.

ट्विस्टेड बारच्या क्रॉस सेक्शनमध्ये उद्भवणारे टॉर्क केवळ समतोल समीकरणे वापरून निर्धारित केले जाऊ शकत नसल्यास टॉर्शनल डिझाइन समस्या स्थिरपणे अनिश्चित असतात. या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, संपूर्ण प्रणालीसाठी किंवा त्याच्या कट-ऑफ भागासाठी संकलित केलेल्या समतोल समीकरणांव्यतिरिक्त, सिस्टमच्या विकृतीच्या स्वरूपाचा विचार करून विस्थापन समीकरणे देखील संकलित करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण म्हणून, वर्तुळाकार क्रॉस-सेक्शनचा बीम, दोन्ही टोकांना कठोरपणे एम्बेड केलेला आणि डाव्या टोकापासून एक अंतरावर ZL ने लोड केलेला एक बीम (चित्र 23.6, अ) विचारात घेऊ या.

या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आपण फक्त एक समतोल समीकरण तयार करू शकता - तुळईच्या अक्षाच्या शून्याच्या बरोबरीच्या क्षणांच्या बेरजेच्या स्वरूपात:

सीलमध्ये उद्भवणारे प्रतिक्रियात्मक टॉर्शनल क्षण कुठे आणि आहेत.

विचाराधीन समस्येचे निराकरण करण्यासाठी अतिरिक्त समीकरण खालीलप्रमाणे मिळू शकते. चला बीमचे डावे समर्थन फास्टनिंग टाकून देऊ, परंतु उजवीकडे सोडू (चित्र 23.6, ब).

अशा प्रकारे प्राप्त केलेल्या बीमच्या डाव्या टोकाचे रोटेशन शून्याच्या बरोबरीचे असले पाहिजे, म्हणजे, प्रत्यक्षात हे टोक कठोरपणे निश्चित केले गेले आहे आणि फिरवले जाऊ शकत नाही.

शक्तींच्या कृतीच्या स्वातंत्र्याच्या तत्त्वावर आधारित, विस्थापन समीकरणाचे स्वरूप आहे

बाह्य वळणाच्या क्षणाच्या क्रियेमुळे बीमच्या डाव्या टोकाच्या रोटेशनचा कोन येथे आहे (चित्र 23.6, c); - बाह्य क्षणाच्या क्रियेमुळे डाव्या टोकाच्या रोटेशनचा कोन (चित्र 23.6, डी).

सूत्रांचा दुसरा (१४.६) वापरून, बीमचे उजवे टोक फिरत नाही हे लक्षात घेऊन (म्हणजे), आणि सूत्र (१३.६) वापरून आपल्याला आढळते.

या मूल्यांना विस्थापन समीकरणात बदलू या:

समतोल समीकरणातून

क्षण निश्चित केल्यानंतर, टॉर्क आकृती नेहमीच्या पद्धतीने तयार केली जाऊ शकते, म्हणजे, स्थिरपणे निर्धारित बीमसाठी (चित्र 23.6, ई). विचारात घेतलेल्या समस्येसाठी, हा आकृती अंजीर मध्ये सादर केला आहे. 23.6, ई.

बीमच्या क्रॉस सेक्शन्सच्या रोटेशनच्या कोनांमध्ये त्याच्या लांबीच्या बाजूने होणाऱ्या बदलाचे दृश्य प्रतिनिधित्व रोटेशनच्या कोनांच्या आकृतीद्वारे दिले जाते (कधीकधी वळणाच्या कोनांचा आकृती म्हणतात). या आकृतीचा प्रत्येक ऑर्डिनेट स्वीकारलेल्या स्केलवर बीमच्या संबंधित क्रॉस-सेक्शनच्या रोटेशनच्या कोनाचे मूल्य देते.

अंजीर नुसार बीमसाठी अशी आकृती बनवू. 23.6, d, मूल्य आधीच सापडले आहे हे लक्षात घेऊन आणि टॉर्क आकृती तयार केली गेली आहे (चित्र 23.6, f पहा). तुळईचा सर्वात उजवा विभाग A हा गतिहीन आहे, म्हणजे, सेक्शन AC चा एक अनियंत्रित क्रॉस सेक्शन आहे आणि उजव्या टोकापासून काही अंतरावर आहे तो एका कोनाने फिरेल [पहा. सूत्रांचा दुसरा (१४.६)]

फॉर्म्युला (13.6) द्वारे निर्धारित केलेल्या लांबीच्या विभागात वळणाचा कोन येथे आहे.

अशाप्रकारे, परिभ्रमणाचे कोन अंतराच्या आधारे एका रेषीय नियमानुसार बदलतात, परिणामी अभिव्यक्तीमध्ये बदलून, आम्हाला विभाग C च्या रोटेशनचा कोन सापडतो:

लक्षात ठेवा की जेव्हा सतत क्रॉस-सेक्शनचा बीम एकाग्र टॉर्शनल क्षणांनी लोड केला जातो, तेव्हा बीमच्या प्रत्येक विभागावरील क्रॉस सेक्शनच्या रोटेशनच्या कोनांचा आकृती रेषीय असतो.

विभाग NE मध्ये आकृती तयार करण्यासाठी, आम्ही विभाग B च्या रोटेशनच्या कोनाची गणना करतो. सूत्र (14.6) आणि सूत्र (13.6) च्या दुसऱ्यावर आधारित

हा परिणाम समस्येच्या निराकरणाच्या शुद्धतेची पुष्टी करतो, कारण स्थितीनुसार, विभाग बी कठोरपणे सील केलेले आहे. अशा प्रकारे, पूर्णपणे स्पष्टीकरणात्मक मूल्याव्यतिरिक्त, क्रॉस सेक्शनच्या रोटेशन कोनांचे आकृती तयार करणे ही काही स्थिरपणे अनिश्चित समस्यांच्या निराकरणाचे परीक्षण करण्याची एक पद्धत मानली जाऊ शकते.

प्राप्त मूल्यांमधून तयार केलेल्या रोटेशन कोनांचा आकृती अंजीर मध्ये दर्शविला आहे. 23.6, डब्ल्यू.

जेव्हा बीमवर अनेक बाह्य टॉर्शनल क्षण लागू केले जातात, तसेच विशिष्ट विभागांमध्ये भिन्न क्रॉस सेक्शन असलेल्या बीमसाठी, दर्शविल्याप्रमाणे एक अतिरिक्त समीकरण तयार केले जाते (उदाहरण 5.6 पहा).

बेलनाकार स्प्रिंग्सची गणना करताना, स्थिरपणे निर्धारित समस्यांसह, स्थिरपणे अनिश्चित समस्या देखील आहेत.

जर स्प्रिंगची टोके निश्चित नसतील आणि स्प्रिंगच्या अक्षावर मुक्तपणे फिरू शकत असतील किंवा फक्त एक टोक निश्चित केले असेल तर अशा स्प्रिंगची गणना करण्याची समस्या स्थिरपणे निश्चित आहे. जर स्प्रिंगची दोन्ही टोके निश्चितपणे निश्चित केली गेली असतील तर त्याच्या गणनाची समस्या स्थिरपणे अनिश्चित आहे. त्याचे निराकरण करण्यासाठी, अतिरिक्त विस्थापन समीकरण तयार करणे आवश्यक आहे. या समीकरणाचे संकलन त्याच्या अक्षावर काम करणाऱ्या बाह्य भारांसाठी दोन्ही टोकांना निश्चित केलेल्या सरळ रॉडची गणना करण्याच्या समस्या सोडवण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या समीकरणाच्या संकलनासारखे आहे. या प्रकारच्या समस्येसाठी अतिरिक्त समीकरणांची रचना वर § 9.2 मध्ये चर्चा केली आहे (उदाहरण 3.6 देखील पहा).

स्थिरपणे अनिश्चित टॉर्शन समस्या

टॉर्शनमध्ये, तसेच तणावामध्ये, अशा समस्या आहेत ज्यांचे निराकरण केवळ समतोल समीकरणे वापरून मिळू शकत नाही. अशा समस्यांमधील अज्ञातांची संख्या समतोल समीकरणांच्या संख्येपेक्षा जास्त आहे. अशा समस्यांचे निराकरण करण्याची प्रक्रिया स्थिरपणे अनिश्चित तणाव-संक्षेप समस्या सोडवण्यासारखीच असते.

तुळई रॉड विकृत रूप टॉर्शन

इथून आम्ही TA ठरवतो आणि क्षयरोग ठरवण्यासाठी बदलतो

बंद प्रोफाइलसह पातळ-भिंतीच्या तुळईचे टॉर्शन.

बंद प्रोफाइलसह पातळ-भिंतीच्या रॉड्स अधिक कठोर असतात आणि म्हणून टॉर्शनसाठी अधिक योग्य असतात.

दंडगोलाकार रॉडचा विचार करा, ज्याचा क्रॉस सेक्शन बऱ्यापैकी सामान्य आहे.

t - हळूहळू बदलते

क्रॉस सेक्शनच्या बाह्य आणि आतील आराखड्यांपासून समान अंतरावर असलेल्या बिंदूंच्या भौमितिक स्थानाला विभागाची मध्यरेषा म्हणतात.

टॉर्शन दरम्यान उद्भवणारे स्पर्शिक ताण संपूर्ण जाडीमध्ये स्थिर असतात आणि स्पर्शिकपणे मध्य रेषेकडे निर्देशित केले जातात.

कातरणे ताण आणि जाडीचे उत्पादन हे असे मूल्य आहे जे विभागाच्या मध्य रेषेवरील सर्व बिंदूंसाठी स्थिर असते.

चला सर्व शक्ती रॉडच्या अक्षाच्या दिशेने प्रक्षेपित करू.

बाह्य पृष्ठभागावर कोणतेही भार नाहीत आणि म्हणूनच, स्पर्शिक ताणांच्या जोडणीच्या कायद्यानुसार.

2. बाह्य कोपऱ्यातील स्पर्शिक ताण शून्य होतात.

बाह्य पृष्ठभागावर कार्य करणारे जोडलेले स्पर्शिक ताण शून्याच्या समान असणे आवश्यक आहे. म्हणून, आणि

आयताकृती क्रॉस-सेक्शनच्या तुळईसाठी लवचिकता सिद्धांताच्या पद्धतींद्वारे प्राप्त केलेल्या समाधानामध्ये खालील आकृती आहे

रॉड्स लवचिकतेच्या पलीकडे टॉर्शनच्या अधीन आहेत

पहिल्या आणि दुसऱ्या विभागांचे विभाग पूर्णपणे प्लास्टिकच्या विकृतींनी झाकलेले असताना टॉर्शन दरम्यान संरचना त्याची लोड-असर क्षमता गमावेल.

त्या. T1 = T1u T2 = T2u

समतोल स्थितीतून Тu = T1u + T2u

T1u आणि T2u निश्चित करण्यासाठी, विशिष्ट क्रॉस-सेक्शनल आकारांचा विचार करा

गोल विभाग

रिंग विभाग

पातळ-भिंती असलेला विभाग ()

समोच्चाच्या मध्यरेषेने बांधलेले क्षेत्र

चौरस विभाग

वाळूचे साधर्म्य पहा

जेथे V हा 450 कोन असलेल्या स्थिर उताराच्या पृष्ठभागाचा आकारमान आहे

टीप: अनेक बाह्य क्षणांसाठी, अनेक गतिमान स्थितींचा विचार करणे आवश्यक आहे.

चला T ला स्पर्शिक ताणांशी जोडूया.

बिंदू O बद्दल प्राथमिक क्षण.

जेथे समोच्च s च्या संपूर्ण लांबीवर एकीकरण विस्तारते.

T = 1500 N.m असल्यास ट्यूबलर रॉडमधील जास्तीत जास्त ताण निश्चित करा

टॉर्शन मध्ये पडदा सादृश्य

बीमच्या टॉर्शनची समस्या समान बाह्यरेषेच्या समोच्च वर पसरलेल्या आणि समान वितरीत दाबाने लोड केलेल्या फिल्मच्या समतोलाच्या समस्येच्या समान भिन्न समीकरणापर्यंत कमी केली जाते.

तणावाचा एक ॲनालॉग म्हणजे पृष्ठभागाच्या समोच्च वरून चित्रपटाच्या पृष्ठभागावर स्पर्शिकेद्वारे तयार केलेला कोन.

टी - टॉर्कचा एक ॲनालॉग म्हणजे समोच्च आणि फिल्मच्या पृष्ठभागाच्या दरम्यान बंद केलेला खंड.

दबावाच्या प्रभावाखाली चित्रपटाच्या विकृतीचे स्वरूप कमीतकमी अंदाजे कल्पना करता येते. अशा प्रकारे, दिलेल्या क्रॉस-सेक्शनल आकारासह बीमच्या टॉर्शन दरम्यान तणाव वितरणाच्या कायद्याची कल्पना करणे नेहमीच शक्य आहे.

झिल्ली सादृश्य वापरून, आपण केवळ गुणात्मकच नाही तर परिमाणात्मक संबंध देखील मिळवू शकता. यासाठी, एक साधे उपकरण वापरले जाते जे मायक्रोमीटर वापरून विक्षेपण मोजते. झिल्ली लोड करण्यासाठी हायड्रोस्टॅटिक द्रवपदार्थाचा दाब वापरल्याने झिल्ली आणि विमान यांच्यातील द्रवपदार्थाच्या प्रमाणावरून टॉर्क निर्धारित केला जाऊ शकतो. या प्रकारची साधने कॅलिब्रेट करण्यासाठी, काहींसाठी सर्वात सोपा क्रॉस सेक्शन वापरले जाऊ शकतात, विश्लेषणात्मक उपाय ओळखले जातात;

स्थिरपणे अनिश्चित टॉर्शन समस्या

ज्ञात आहे की, ज्या समस्यांमध्ये अज्ञात समर्थन प्रतिक्रियांची संख्या किंवा अंतर्गत शक्तींची संख्या संभाव्य स्थिर समीकरणांच्या संख्येपेक्षा जास्त आहे त्यांना स्थिरपणे अनिश्चित म्हणतात. स्थिरपणे अनिश्चित समस्यांचे निराकरण करण्याच्या पद्धतींपैकी एक खालीलप्रमाणे आहे:

अ) दिलेल्या समस्येतील सर्व संभाव्य स्थिर समीकरणे संकलित केली आहेत;

ब) दिलेल्या संरचनेत होणाऱ्या विकृतीचे चित्र सादर केले जाते, आणि विकृती समीकरणे लिहिली जातात, ज्याची संख्या समस्येच्या स्थिर अनिश्चिततेच्या प्रमाणात असावी;

c) स्थिर आणि विकृत समीकरणांची संयुक्त प्रणाली सोडवली जाते.

स्टॅटिकली अनिश्चित टॉर्शन समस्येच्या निराकरणाचा विचार करूया.

उदाहरण क्रमांक १

लांबीच्या बाजूने स्थिर क्रॉस-सेक्शन असलेल्या शाफ्टसाठी टॉर्क्सचा एक आकृती तयार करा, दोन्ही टोकांना कडकपणे पकडा आणि एकाग्र टॉर्सनल क्षणाने लोड करा एम(आकृती पहा), अंतरावर स्थित एडाव्या अँकरेजमधून.

उपाय.

शाफ्ट दोन टोकांना पिंच केलेला असल्याने, दोन्ही पिंचमध्ये रिऍक्टिव्ह सपोर्ट क्षण निर्माण होतील एम एआणि एम व्ही. ते निश्चित करण्यासाठी, आम्ही प्रथम स्टॅटिक्सची समीकरणे वापरतो. या प्रकरणात, आपण फक्त एक समतोल समीकरण तयार करू शकता: , किंवा

M A + M B + M = 0.(1)

समीकरणात दोन अज्ञात परिमाण आहेत: एम एआणि एम व्ही. म्हणून, ही समस्या एकदा स्थिरपणे अनिश्चित आहे.

आम्ही शाफ्टच्या विकृतीच्या चित्राचा विचार करतो (चित्र. b). हे पाहिले जाऊ शकते की डावीकडील उजव्या टोकाच्या वळणाचा परस्पर कोन शून्याच्या समान आहे. डाव्या बाजूच्या उजव्या टोकाच्या रोटेशनचा कोन शाफ्टच्या वैयक्तिक विभागांच्या वळण कोनांची बेरीज म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो.

सूत्रानुसार, विभागांमधील वळणाचे कोन खालीलप्रमाणे निर्धारित केले जातील: लांबीच्या भागासाठी एविभागाच्या लांबीसाठी bकुठे टी एआणि टीबी- शाफ्टच्या संबंधित विभागांवर टॉर्क. टोके निश्चित करण्याच्या स्थितीनुसार वळणाचा एकूण कोन शून्य असतो, म्हणजे.

(2)

हे या समस्येचे विकृत समीकरण आहे. त्याचे रूपांतर करूया. विभाग पद्धत वापरून, आम्ही टॉर्क व्यक्त करतो टी एआणि ट b:

टी ए= एम ए ,टb = एम व्ही.

क्षणांची ही मूल्ये समीकरण (2) मध्ये बदलून, आणि परिणामी समीकरण स्थिर घटकाने कमी करून, आपल्याला मिळते

.(3)

समीकरणे (1) आणि (3) एकत्र सोडवल्यास, आपल्याला आढळते

“–” चिन्ह सूचित करते की प्रतिक्रियात्मक क्षणांची खरी दिशा सुरुवातीला निवडलेल्या विरुद्ध आहे. प्रतिक्रियात्मक क्षणांची गणना केल्यावर, आम्ही ज्ञात नियमांनुसार टॉर्कचे आकृती तयार करतो (चित्र. व्ही).

स्टॅटिकली अनिश्चित शाफ्टमध्ये टॉर्क डायग्रामचे खालील वैशिष्ट्य आम्ही लक्षात घेऊ शकतो = const: टॉर्क आकृतीचे एकूण क्षेत्रफळ शून्य आहे, जे मूलत: समीकरण (3) द्वारे पूर्वनिर्धारित आहे. जर शाफ्ट स्टेप केले असेल, तर संबंधित विभागांमधील विभागांच्या जडत्वाच्या क्षणांशी संबंधित टॉर्क आकृतीच्या क्षेत्रांची बेरीज शून्य इतकी असली पाहिजे.

उदाहरण क्रमांक २

टॉर्क आकृत्या तयार करा ट, गोल सॉलिड स्टेप्ड रॉडच्या वळणाचे निरपेक्ष आणि सापेक्ष कोन, दोन टोकांना चिकटलेले आणि बाह्य टॉर्कने लोड केलेले एम(चित्र पहा).

उपाय.

समस्या एकदा स्थिरपणे अनिश्चित आहे. खालील प्रकारे समस्या सोडवू. चला मानसिकदृष्ट्या योग्य पिंचिंग टाकून देऊया, म्हणजे. अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या स्टॅटिकली निर्धारीत रॉडचा विचार करूया. b. बाह्य टॉर्कच्या क्रियेतून त्यासाठी टॉर्कचे आरेखन एमअंजीर मध्ये दर्शविलेले फॉर्म आहे. व्ही. उजव्या टोकाच्या वळणाचा कोन ठरवू INस्थिरपणे परिभाषित रॉड:

उत्तर "+" चिन्हासह आले, म्हणून, विभाग INएका अक्षाभोवती फिरेल एक्सबाह्य क्षणाच्या दिशेने एम. पण प्रत्यक्षात विभाग 4 स्थिरपणे अनिश्चित रॉड (चित्र. ए) वळत नाही. स्टॅटिकली निर्धारीत रॉडवर टॉर्क लावू एम व्ही(तांदूळ. जी) आणि केवळ क्षणाच्या क्रियेवरून उजव्या टोकाच्या रोटेशनचा कोन निश्चित करा एम व्ही, टॉर्क आकृती वापरून (चित्र. d),

आता आपण एक विकृत स्थिती लिहू शकतो जे दर्शविते की स्थिरपणे अनिश्चित रॉडच्या कलम 4 मधील रोटेशनचा कोन शून्य बरोबर असणे आवश्यक आहे:

या स्थितीवरून आपण शोधतो एम व्ही= एम/6. टॉर्क एम व्हीस्थिरपणे अनिश्चित रॉडसाठी समर्थन प्रतिक्रिया असेल,

M B = M 4.

टॉर्क्सचा अंतिम आकृती दोन आकृत्या जोडून प्राप्त केला जातो आणि (चित्र. e).

चला वळण कोनांचा एक आकृती तयार करण्यास सुरवात करूया, ज्यासाठी आपण सूत्र वापरून प्रत्येक विभागासाठी वळण कोनांची गणना करू.

आणि मग आम्हाला वैशिष्ट्यपूर्ण विभागांमध्ये वळण कोनांची मूल्ये सापडतात:

शेवटचा परिणाम केलेल्या गणनेच्या शुद्धतेची पुष्टी करतो. संक्षेपासाठी नवीन नोटेशन सादर करून, आम्ही शेवटी प्राप्त करतो:

मग आपण परिपूर्ण वळण कोनांचा एक आकृती तयार करतो (चित्र. आणि).

सापेक्ष वळण कोनांचा आकृती तयार करण्यासाठी (चित्र. h) प्रथम गणना करणे आवश्यक आहे

म्हणून जेथे ते स्वीकारले जाते,

चला रॉडचे आवश्यक व्यास निश्चित करूया. बाह्य टॉर्क असे गृहीत धरू एम= 20 kNm , रॉड सामग्रीच्या कातरणे प्रतिरोधकतेची गणनाआर एस = 100 MPa, अनुज्ञेय सापेक्ष वळण कोन , आणि कातरणे मॉड्यूलसजी = 8·10 4 MPa.

आत रॉड व्यासआयआणि IIआम्ही भूखंड दर्शवूd 1 , आणि परिसरातIII – d 4 . दरम्यान समस्या परिस्थितीनुसारd 1 आणि d 4 , एक संबंध आहे (चित्र. ए):

आणि मग कुठून

याशिवाय,

आवश्यक व्यास d 1, रॉडची ताकद सुनिश्चित केली गेली असेल तर, आम्ही आकृतीवरून टॉर्क मूल्य घेऊन सूत्र वापरून ते निर्धारित करतो ट, अंजीर मध्ये सादर. e:

विभागातील रॉडमध्ये निर्माण होणारा जास्तीत जास्त कातरण ताण निश्चित करूया III:

आवश्यक व्यास, रॉडची कडकपणा सुनिश्चित केल्यावर, सूत्र वापरून आढळते :

परिणामांची तुलना करून, आम्ही शेवटी स्वीकारतो d 1 = 13 सेमी, d 4 =11 सेमी, कडकपणा स्थितीवरून निर्धारित.

व्यासाचा d 4, कठीण आकृती वापरून देखील निर्धारित केले जाऊ शकते (चित्र. h), ज्यावरून हे स्पष्ट आहे की साइटवरआय, म्हणून समीकरण

आम्ही शोधतो आणि शेवटी आम्ही परिभाषित करतो

उदाहरण क्रमांक 3

वर्तुळाकार क्रॉस-सेक्शनच्या स्टील शाफ्टमध्ये जडत्वाच्या वेगवेगळ्या ध्रुवीय क्षणांसह तीन विभाग असतात (चित्र अ). शाफ्टचे टोक शाफ्टच्या रेखांशाच्या अक्षाशी संबंधित रोटेशनच्या विरूद्ध कठोरपणे सुरक्षित केले जातात. लोड दिले आहेत: बल जोड्या एम 1 आणि एम 2, शाफ्टच्या क्रॉस-सेक्शनच्या विमानात अभिनय करणे; शाफ्ट विभागांच्या जडत्वाच्या ध्रुवीय क्षणांमधील संबंध आणि ; विभागाची लांबी l 1 , l 2 , l 3 .

आवश्यक:

1) टॉर्कचे आकृती तयार करा;

2) ताकदीच्या परिस्थितीवर आधारित क्रॉस सेक्शनचे परिमाण निवडा;

3) वळणाच्या कोनांचा एक आकृती तयार करा.

उपाय.

दोन कठोर समर्थन फास्टनिंग्सच्या उपस्थितीमुळे, लोडच्या प्रभावाखाली, प्रतिक्रियाशील जोड्या आणि त्या प्रत्येकामध्ये उद्भवतात. शाफ्टसाठी समतोल स्थिती निर्माण करणे

आम्हाला खात्री आहे की लिखित समीकरण अद्वितीयपणे सोडवले जाऊ शकत नाही, कारण त्यात दोन अज्ञात प्रमाण आहेत: आणि . दिलेल्या लोडसाठी उर्वरित समतोल समीकरणे समान रीतीने चालविली जातात. परिणामी, समस्या एकदा स्थिरपणे अनिश्चित आहे.

स्थिर अनिश्चितता प्रकट करण्यासाठी, आम्ही विकृतींच्या अनुकूलतेसाठी एक अट तयार करतो. सपोर्टिंग फास्टनिंग्जच्या कडकपणामुळे, शाफ्टचे शेवटचे विभाग फिरत नाहीत. हे क्षेत्रामध्ये शाफ्टच्या रोटेशनचे एकूण कोन या वस्तुस्थितीशी समतुल्य आहे A-Bशून्याच्या समान: , किंवा .

शेवटचे समीकरण म्हणजे विकृतींच्या सुसंगततेची अट. समतोल समीकरणाशी जोडण्यासाठी, आम्ही रॉडच्या प्रत्येक भागासाठी टॉर्क आणि वळणाचे कोन (टॉर्शनसाठी हुकचा नियम) संबंधित भौतिक समीकरणे लिहून ठेवतो:

, ,.

शारीरिक संबंधांना विकृतीच्या सुसंगततेच्या स्थितीत बदलून, आम्हाला प्रतिक्रियात्मक क्षण सापडतो आणि नंतर समतोल समीकरणावरून आम्ही निर्धारित करतो. टॉर्क आकृती अंजीर मध्ये दर्शविली आहे. b.

विभाग निवडण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही शाफ्टच्या प्रत्येक विभागावर जास्तीत जास्त स्पर्शिक ताण निर्धारित करण्यासाठी सूत्रे लिहितो:

; ;.

गुणांक आणि , शाफ्टच्या दुसऱ्या आणि तिसऱ्या विभागांच्या विभागांच्या प्रतिकाराच्या ध्रुवीय क्षणांचे गुणोत्तर आणि पहिल्या विभागाच्या विभागाच्या प्रतिकाराच्या ध्रुवीय क्षणांचे गुणोत्तर, ज्ञात पॅरामीटर्सद्वारे निर्धारित केले जाईल आणि .

जडत्वाचा ध्रुवीय क्षण दोन प्रकारे लिहिला जाऊ शकतो:

कुठे, - रॉडच्या पहिल्या आणि दुसऱ्या विभागांची त्रिज्या. येथून आपण त्रिज्या याद्वारे व्यक्त करतो:

नंतर दुसऱ्या विभागाच्या प्रतिकाराचा ध्रुवीय क्षण

,

ते आहे . तसेच.

आता तुम्ही वैयक्तिक क्षेत्रातील जास्तीत जास्त स्पर्शिक ताणांची तुलना करू शकता आणि त्यातील सर्वात मोठ्या भागासाठी ताकद स्थिती लिहू शकता. या स्थितीतून आपल्याला आवश्यक प्रतिरोधक ध्रुवीय क्षण सापडतो आणि नंतर, सूत्र वापरून, प्रत्येक विभागातील शाफ्टची त्रिज्या.

;;.

ट्विस्ट अँगलचा आकृती तयार करण्यासाठी, आम्ही सूत्र वापरून रॉडच्या प्रत्येक विभागातील वळण कोनांची गणना करतो. शाफ्टच्या एका टोकापासून सुरू होणाऱ्या वैयक्तिक विभागांसाठी क्रमवार परिणामांची बेरीज करून आकृतीचे निर्देशांक प्राप्त केले जातात. सोल्यूशनची शुद्धता शाफ्टच्या दुसऱ्या टोकाला शून्य ते वळणाच्या कोनाच्या समानतेद्वारे तपासली जाते. व्ही.

ज्या सिस्टीममध्ये सुपरइम्पोज्ड कनेक्शनची संख्या जास्त असते, स्वतंत्र समतोल समीकरणांची संख्या असते, त्यांना म्हणतात स्टेट अपरिभाषित.सांख्यिकीयदृष्ट्या परिभाषित करण्यायोग्य प्रणालींशी तुलना करता, शंभर अनिश्चित मध्ये. सिस्टममध्ये अतिरिक्त अतिरिक्त कनेक्शन असतात. गणना परिसराच्या दृष्टिकोनातून हे कनेक्शन अनावश्यक आहेत. खरं तर, हे कनेक्शन स्ट्रक्चर्ससाठी अतिरिक्त राखीव तयार करतात, त्यांची कडकपणा आणि ताकद दोन्ही अंजीर मध्ये. 2.5, आणि एक कंस दाखवते ज्यामध्ये 2 रॉड एकमेकांना जोडलेले आहेत. संरचनेवर केवळ अनुलंब शक्ती कार्य करते या वस्तुस्थितीमुळे आर, आणि सिस्टम सपाट आहे, हे दिसून येते की रॉडमधील शक्ती सहजपणे निर्धारित केल्या जातात. नोडच्या समतोल स्थितीपासून ए, म्हणजे x= 0, y= 0. या समीकरणांचा विस्तार केल्याने, आम्हाला अज्ञात शक्तींसाठी रेखीय समीकरणांची बंद प्रणाली मिळते एन 1 आणि एन 2 ज्यामध्ये समीकरणांची संख्या अज्ञातांच्या संख्येइतकी आहे: N 1  एन 2 पाप  = 0; N 2 cos   आर = 0.

ब्रॅकेटची रचना आणखी एक रॉड जोडून गुंतागुंतीची असल्यास (चित्र 2.5, b), नंतर rods मध्ये सैन्याने एन 1 ,एन 2 आणि एन 3 यापुढे मागील पद्धत वापरून निर्धारित केले जाऊ शकत नाही, कारण समान दोन समतोल समीकरणांसह (2.16), रॉड्समध्ये 3 अज्ञात बल आहेत. अर्ध-प्रणाली एकदा शंभर अनिश्चित असते. अज्ञात शक्तींची संख्या आणि या शक्तींना जोडणाऱ्या स्वतंत्र (अर्थपूर्ण) समतोल समीकरणांमधील फरक याला अनिश्चित प्रणालीचा अंश म्हणतात na स्टॅटिकली अनिश्चित प्रणाली ही एक प्रणाली म्हणून समजली जाते ज्यामध्ये अज्ञात बाह्य समर्थन प्रतिक्रिया आणि अंतर्गत शक्तींची संख्या स्वतंत्र आणि अर्थपूर्ण समतोल समीकरणांच्या संख्येपेक्षा जास्त असते. nयुनिट्स शक्तींच्या पद्धतीद्वारे स्थिरपणे अनिश्चित समस्यांचे निराकरण खालील क्रमाने केले जाते. 1 अनिश्चित प्रणालीची डिग्री st शोधलेल्या अज्ञात शक्तींची संख्या आणि स्वतंत्र समतोल समीकरणांची संख्या यांच्यातील फरक म्हणून सेट करा. हे लक्षात घेतले जाते की सिस्टीमच्या 2 रॉड्सला जोडणारा एक साधा बिजागर st ची डिग्री 1 ने कमी करतो, कारण ते एक कनेक्शन काढून टाकते जे सिस्टमच्या एका भागाच्या दुसर्या भागाशी संबंधित रोटेशन प्रतिबंधित करते. एक साधा बिजागर तुम्हाला Eq मध्ये जोडण्याची परवानगी देतो. समान संपूर्ण प्रणालीचे, या बिजागराने जोडलेल्या प्रणालीच्या भागाचे समतोल समीकरण.2. दिलेल्या सेंट undef पासून. प्रणाली, अनावश्यक कनेक्शन आणि बाह्य भार काढून मुख्य प्रणाली वेगळी केली जाते.3. निवडलेल्या मुख्यशी संबंधित समतुल्य प्रणालीचे चित्रण केले आहे, ज्यामध्ये काढलेल्या अतिरिक्त बंधांऐवजी आणि त्यांच्या दिशेने बल लागू केले जातात. X i, जर जोडण्यांनी रेषीय हालचाली आणि जोड्या रोखल्या असतील Xk, जर त्यांनी विभाग रोटेशन वगळले असेल.4. बल पद्धतीची प्रमाणिक समीकरणे संकलित केली आहेत.5. विहित समीकरणांचे गुणांक विश्लेषणात्मक पद्धतीने मोजले जातात

टॉर्सियनमध्ये (कार्य क्रमांक 11)

कार्य

वर्तुळाकार क्रॉस-सेक्शनच्या स्टील शाफ्टमध्ये जडत्वाच्या वेगवेगळ्या ध्रुवीय क्षणांसह तीन विभाग असतात (चित्र 3.6, ए). शाफ्टचे टोक शाफ्टच्या रेखांशाच्या अक्षाशी संबंधित रोटेशनच्या विरूद्ध कठोरपणे सुरक्षित केले जातात. भार निर्दिष्ट केले आहेत: सैन्याच्या जोड्या आणि , शाफ्टच्या क्रॉस-सेक्शनच्या प्लेनमध्ये कार्य करणे; शाफ्ट विभागांच्या जडत्वाच्या ध्रुवीय क्षणांमधील संबंध आणि ; विभागांची लांबी , , .

आवश्यक:

1) टॉर्कचे आकृती तयार करा;

2) ताकदीच्या परिस्थितीवर आधारित क्रॉस सेक्शनचे परिमाण निवडा;

3) वळणाच्या कोनांचा एक आकृती तयार करा.

उपाय

दोन कठोर समर्थन फास्टनिंग्सच्या उपस्थितीमुळे, लोडच्या प्रभावाखाली, प्रतिक्रियाशील जोड्या आणि त्या प्रत्येकामध्ये उद्भवतात. शाफ्टसाठी समतोल स्थिती निर्माण करणे

आम्हाला खात्री आहे की लिखित समीकरण अद्वितीयपणे सोडवले जाऊ शकत नाही, कारण त्यात दोन अज्ञात प्रमाण आहेत: आणि . दिलेल्या लोडसाठी उर्वरित समतोल समीकरणे समान रीतीने चालविली जातात. परिणामी, समस्या एकदा स्थिरपणे अनिश्चित आहे.

स्थिर अनिश्चितता प्रकट करण्यासाठी, आम्ही विकृतींच्या अनुकूलतेसाठी एक अट तयार करतो. सपोर्टिंग फास्टनिंग्जच्या कडकपणामुळे, शाफ्टचे शेवटचे विभाग फिरत नाहीत. हे क्षेत्रामध्ये शाफ्टच्या रोटेशनचे एकूण कोन या वस्तुस्थितीशी समतुल्य आहे A-Bशून्याच्या समान: , किंवा .

शेवटचे समीकरण म्हणजे विकृतींच्या सुसंगततेची अट. समतोल समीकरणाशी जोडण्यासाठी, आम्ही रॉडच्या प्रत्येक भागासाठी टॉर्क आणि वळणाचे कोन (3.3) (टॉर्शनसाठी हुकचा नियम) संबंधित भौतिक समीकरणे लिहून ठेवतो:

, , .

शारीरिक संबंधांना विकृतीच्या सुसंगततेच्या स्थितीत बदलून, आम्हाला प्रतिक्रियात्मक क्षण सापडतो आणि नंतर समतोल समीकरणावरून आम्ही निर्धारित करतो. टॉर्क आकृती अंजीर मध्ये दर्शविली आहे. ३.६, b.

विभाग निवडण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही शाफ्टच्या प्रत्येक विभागावर जास्तीत जास्त स्पर्शिक ताण (3.5) निर्धारित करण्यासाठी सूत्रे लिहितो:

; ; .

गुणांक आणि, शाफ्टच्या दुसऱ्या आणि तिसऱ्या विभागांच्या विभागांच्या प्रतिकाराच्या ध्रुवीय क्षणांचे गुणोत्तर आणि पहिल्या विभागाच्या विभागाच्या प्रतिकाराच्या ध्रुवीय क्षणांचे गुणोत्तर, ज्ञात पॅरामीटर्सद्वारे निर्धारित केले जाईल आणि .

जडत्वाचा ध्रुवीय क्षण दोन प्रकारे लिहिला जाऊ शकतो:

; ,

जेथे , रॉडच्या पहिल्या आणि दुसऱ्या विभागांची त्रिज्या आहेत. येथून आपण त्रिज्या याद्वारे व्यक्त करतो:

नंतर दुसऱ्या विभागाच्या प्रतिकाराचा ध्रुवीय क्षण

,

ते आहे . तसेच.

आता आपण वैयक्तिक विभागांमधील जास्तीत जास्त स्पर्शिक ताणांची तुलना करू शकतो आणि त्यातील सर्वात मोठ्या भागांसाठी ताकद स्थिती (3.13) लिहू शकतो. या स्थितीतून आपल्याला आवश्यक प्रतिरोधक ध्रुवीय क्षण सापडतो आणि नंतर, सूत्र (3.8) वापरून, प्रत्येक विभागातील शाफ्टची त्रिज्या.

; ; .

ट्विस्ट अँगलचे आकृती तयार करण्यासाठी, आम्ही फॉर्म्युला (3.3) वापरून रॉडच्या प्रत्येक विभागातील वळण कोनांची गणना करतो. शाफ्टच्या एका टोकापासून सुरू होणाऱ्या वैयक्तिक विभागांसाठी क्रमवार परिणामांची बेरीज करून आकृतीचे निर्देशांक प्राप्त केले जातात. सोल्यूशनची शुद्धता शाफ्टच्या दुसऱ्या टोकाला शून्य ते वळणाच्या कोनाच्या समानतेद्वारे तपासली जाते. ३.६, व्ही.

ग्रंथलेखन

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P. सामग्रीचा प्रतिकार. एम.: उच्च. शाळा, 1995.

2. गस्तेव व्ही. ए. सामग्रीच्या प्रतिकारावर लहान कोर्स. एम.: फिझमॅटगिज, 1977.

3. डार्कोव्ह ए.व्ही., श्पिरो जी.एस. सामग्रीचा प्रतिकार. एम.: उच्च. शाळा, 1989.

4. सामग्रीची ताकद: पद्धत. सर्व खासियत / SPbGASU विद्यार्थ्यांसाठी गणना आणि ग्राफिक कार्यांसाठी सूचना आणि योजना; संगीतकार: आय.ए. कुप्रियानोव, एन.बी. लेव्हचेन्को, जी.एस. शुलमन. सेंट पीटर्सबर्ग, 2010.

गणना आणि ग्राफिक कार्य करण्यासाठी सामान्य सूचना.................................4

वापरलेली चिन्हे ................................................... ........................................................5

1. स्ट्रेचिंग-संक्षेप................................................................................................7

१.१. स्टॅटिकली निर्धारित रॉड सिस्टमची गणना................................ .....८

समस्या सोडवण्याची उदाहरणे................................................. ........................................................10

१.१.१. तणाव-संक्षेप अधीन असलेल्या रॉडच्या क्रॉस-सेक्शनची निवड

(कार्य क्र. १) ................................................ ........................................................ ...१०

१.१.२. येथे रॉडमध्ये तणाव आणि विस्थापनांचे निर्धारण

टेंशन-कॉम्प्रेशन स्वतःचे वजन लक्षात घेऊन (कार्य क्र. 2).........13

१.१.३. स्थिरपणे निर्धारित लोड क्षमतेचे निर्धारण

टेंशन-कॉम्प्रेशनमध्ये काम करणारी रचना (कार्य क्र. 3).......15

१.२. स्टॅटिकली अनिश्चित रॉड सिस्टमची गणना.................................१८

समस्या सोडवण्याची उदाहरणे................................................. ..........................................२१

१.२.१. स्थिरपणे अनिश्चित मिश्रित रॉडची गणना,

टेंशन-कंप्रेशनमध्ये काम करणे (टास्क क्र. 4).................................21

१.२.२. टेंशन-कंप्रेशन (समस्या क्रमांक ५) मध्ये कार्यरत स्थिरपणे अनिश्चित रॉड संरचनेची गणना................................. ...........................२५

१.२.३. स्थिरपणे अनिश्चित लोड क्षमतेचे निर्धारण

हिंगेड-रॉड रचना (समस्या क्रमांक 6)................................................ .............32

2. विमानाच्या तणावाच्या स्थितीची तपासणी. सामर्थ्य चाचणी

जटिल तणाव स्थितीसाठी..........................................................45

समस्या सोडवण्याची उदाहरणे................................................. ..........................................54

२.१. विमानाच्या तणावाच्या स्थितीची तपासणी

अनियंत्रित साइटवर दिलेल्या व्होल्टेजवर.

ताकद तपासत आहे (कार्य क्र. 7).................................. .........................54

२.२. विमानाच्या तणावाच्या स्थितीची तपासणी

मुख्य साइट्सवर निर्दिष्ट व्होल्टेजवर.

सामर्थ्य तपासत आहे (कार्य क्रमांक 8)......................................... ..........................६४

२.३. अंतर्गत उघडलेल्या पातळ-भिंतीच्या पाईपची गणना

दाब, अनुदैर्ध्य बल आणि टॉर्क (कार्य क्र. 9)...68

3. टॉर्शन...............................................................................................................73

समस्या सोडवण्याची उदाहरणे................................................. .......................................................... ...७७

३.१. संमिश्र रॉडच्या क्रॉस-सेक्शनची निवड (शाफ्ट),

टॉर्शनमध्ये काम करणे (कार्य क्र. 10)................................................. .......... 77

३.२. टॉर्शन दरम्यान स्थिरपणे अनिश्चित शाफ्टची गणना (समस्या क्रमांक 11)...81

संदर्भग्रंथ ................................................. .................................................................... ..... ..84

नीना बोरिसोव्हना लेव्हचेन्को

लेव्ह मार्लेनोविच कागन-रोसेन्झवेग

इगोर अलेक्झांड्रोविच कुप्रियानोव्ह

ओल्गा बोरिसोव्हना खलेत्स्काया